太和二中高三第一次统考数学试题(理工类)
安徽省太和中学高三数学上学期第一次联考试题理(扫描版)
2016届安徽省太和中学高三第一次联考理数试题2016届安徽省太和中学高三第一次联考理数参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C 【解析】因为2{|0}{|01}A x x x x x x =+≥=≥≤-或，{|55}{|1}x B x x x =≥=≥，所以{|1}A B x x ⋂=≥.2.A 【解析】1(1)(1)(1)(1)1(1)(1)2ai ai i a a iz i i i +++-++===--+，因为复数在第一象限，所以 1010a a ->⎧⎨+>⎩，解得11a -<<，故选A. 3.B 【解析】全称命题的否定，要把量词任意改为存在，且否定结论，故非p 为：存在0x >，34log log x x ≤.4. C 【解析】 根据题意，三角形F 1F 2P 是以F 1F 2为斜边的直角三角形，设|F 2P|=m ，|F 1P|=2m ，则由双曲线定义可得m=2a ，所以222(2)(4)(2)a a c +=，即225a c =，则2b a ===，故一条渐近线方程是2b y x x a ==. 5.D 【解析】由题意知2tan log 164θ==，所以2sin 22sin 2tan 8cos cos θθθθθ===，故选D. 6.A 【解析】二项式5()a x -的通项公式为515()r r r r T C a x -+=-，其中2323235()10T C a x a x =-=，所以3210270a a ==，解得3a =.7.B 【解析】可行域为ABC ∆及其内部，三个顶点分别为(0,4)(0,1)(2,0)A B C 、、，当y x z -=过点A 时取得最小值，此时min 044z =-=-．8. C 【解析】由三视图的俯视图、正视图和侧视图可还原的空间几何体一个四棱锥M-ABCD ，如图所示，由勾股定理计算CD=5，即知底面是边长为5的正方形ABCD ，补形为三棱柱，则所求的几何体的体积：12×3×4×5-1134532⨯⨯⨯⨯=20. 9.C 【解析】由流程图可知，57923S n =+++++，只要480S <，就再一次进入循环体循环，直到首次出现2011S ≥，才跳出循环体，输出x ，程序结束.由2579234480S n n n =+++++=+≥得20n ≥，所以220343x =⨯+=.10.D 【解析】如图，4,2AB AD CD ===，所以AC BC ==即AC BC ⊥.取AC 的中点为E ，AB 的中点为O ，连接DE,OE,OC ，因为三棱锥D ABC-体积最大，所以平面DCA ⊥平面ABC ，此时容易计算出O D=2，即OD=OB=OA=OC=2，故O 是外接球的球心，OA 是球的半径，于是三棱锥D ABC -外接球的表面积是24216ππ⨯=. 11.B【解析】()2015sin 2016cos )f x x x x ϕ=-=-，其中2016tan 2015ϕ=，且02πϕ<<，因为()f x 一个对称中心为(,0)a ，所以()sin 0a ϕ-=，∴()a k k Z ϕπ-=∈，即()a k k Z πϕ=+∈.由2016tan 2015ϕ=，可知1tan ϕ<02πϕ<<，所以43ππϕ<<，于是可得()43k a k k Z ππππ+<<+∈，故当0k =时，43a ππ<<，选B.12.C 【解析】因为()f x 是R 上的奇函数，所以22()()()g x x f x x f x -=-=-，所以2()()g x x f x =是奇函数.由对任意正实数x 满足()2()xf x f x '>-，可得()2()xf x f x '>-，即2()2()x f x xf x '>-，即2()2()0x f x xf x '+>，即()0g x '>，所以2()()g x x f x =在(0,)+∞上是增函数，而(0)0g =，故2()()g x x f x =在R 上是增函数，于是由()(13)g x g x <-得13x x <-，即14x <. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 5 【解析】因为2(4,3)-a +b =，所以(2)5+⋅=a b a .14. 4230x y --= 【解析】易知点1(1,)2P 在此圆的内部，当且仅当直线AB PC ⊥时，ACB ∠最小，此时1AB PCk k =-，而1112012PC k -==--，则2AB k =，故直线l 的方程为4230x y --=.15. 15 【解析】若甲同学分配到A 工厂，则其余3人应安排到B ，C 两个工厂，一共有2232C A 种分配方案.若甲同学分配到B 工厂，则又分为两类：一是其余3人安排到A ，C 两个工厂，而A 工厂只能安排1名同学，所以一共有13C 种分配方案；二是从其余3人中选出1人安排到B 工厂，其余2人安排到A,C 工厂，所以一共有1232C A 种分配方案.综上，共有221123233215C A C C A ++=种不同的分配方案.【解析】以AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系.设C (x,y)，则A(-1,0),B(1,0),由题意得2222(1)(1)10x y x y +++-+=，即224x y +=，故点C 的轨迹为圆（除去与x 轴的两个交点），易知1||22ABC C S AB y ∆=⋅≤.此时最大的边长为AC BC =三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.解：（Ⅰ）由于1{}n a 为等差数列，若设其公差为d ，则32711118,4a a a ==⋅， 1128d a +=，11111(6)4d d a a +=+，解得112,3d a ==， ………3分 于是123(1)nn a =+-，整理得131n a n =-； ………5分 （Ⅱ）由（1）得11111()(31)(32)33132n n n b a a n n n n +===--+-+， ………7分所以1111111()3255831322(32)n n S n n n =-+-++-=-++. ………10分18.【解析】（Ⅰ）()sin )(cos sin )2sin cos 222222x x x x x xf x =-++ 22sin )sin 22x x x =-+sin x x =+)cos 23sin 21(2x x +=)3sin(2π+=x ． …………4分所以)(x f 的最小正周期为π2． ……………6分（Ⅱ） 将)(x f 的图象向右平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象， ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=3)6(sin 2)6()(πππx x f x g )6sin(2π+=x ， ………8分由22()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，可得222()33k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以单调递增区间为2[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈. ………12分 19．（Ⅰ）证明：∵PA ⊥平面ABC ，∴PA BC ⊥ 又AC BC ⊥，∴BC ⊥平面PAC ；又∵//BC DE ，∴DE ⊥面PAC . ………5分（Ⅱ）解：因为//MN DE ，结合（Ⅰ）中结论，∴MN ⊥平面PAC ，∴,MN FM MN DM ⊥⊥，∴FMD ∠即为二面角F MN D --的平面角. ………7分由条件可得：1260,30,,23APC ACP FM CD ︒︒∠=∠===，∴DM FD ====，………9分 ∴在FMD ∆中，1731cos FMD +-∠== .………12分 20.解：依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为13，去京东商城购物的概率为23．设“这4个人中恰有i 人去淘宝网购物”为事件(0,1,2,3,4)i A i =，则4412()()()(0,1,2,3,4)33i i ii P A C i -==.（Ⅰ）这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率 113141232()()()3381P A C == (5)分（II ）易知X 的所有可能取值为0,3,4.0044400444121216117(0)()()()()()()3333818181P X P A P A C C ==+=+=+=,1133311344121232840(3)()()()()()()3333818181P X P A P A C C ==+=+=+=,222241224(4)()()()3381P X P A C ====. (8)分所以X 的分布列是随机变量ξ的数学期望0348181813EX =⨯+⨯+⨯=. ………12分（第19题） A DPBCF EM N21. （Ⅰ）解：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则12c a =，又抛物线214x y =的焦点为(1,0)，所以1c =，所以234,3a b ==，所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 （Ⅱ）证明：设直线AB 的方程为：1122111,(,),(,),(,)x ty A x y B x y A x y '=+-，直线A B '与x 轴的交点为0(,0)M x .,,A B M '三点共线，12112101210121,1()y y y y y yx x x x x ty t y y ++∴=∴=-----，化简整理可得1201221ty y x y y =++ …………①……………8分联立221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得：22121226(43)690,,43t t y ty y y y y t -++-=∴+=⋅=+ 2943t -+ …………②……………10分将②代入①得：20292431314643tt x t t -+=+=+=-+，即直线A B '过x 轴的另一个定点(4,0)M .证毕.……………12分22.解：（Ι）当1a =时，()(5)cos sin (0)f x x x x x π=--≤≤，则()cos (5)sin cos (5)sin 0f x x x x x x x '=---=-≥，所以()f x 在[0,]π上单调递增，又(0)50,()50f f ππ=-<=->，所以()f x 在[0,]π上只有1个的零点.………………4分（Ⅱ）()cos (5)sin cos (5)sin f x a x ax x a x ax x '=---=-(0)x π≤≤，令()0f x '=，取其中的50,,x aπ=. ………………5分 （1）若5a π≥，即50a π<≤，则()f x 在(0,)π上恒有()0f x '>，于是()f x 在 [0,]π上单调递增，则此时最大值为()()(0)10g a f f a ππ=-=-. ………………6分（2）50a π<<，即5a π>，则当50x a <<时，()0f x '>，当5x a π<<时，()0f x '<， 所以()f x 在5[0,]a 上单调递增，在5[,]aπ上单调递减.又因为(0)50,()50f f a ππ=-<=->，所以(0)()10f f a ππ-=-+ .…………8分① 若(0)()100f f a ππ-=-+<，即510a ππ<≤，则此时的最大值为55()()(0)sin 5g a f f a a a=-=-+；②若(0)()100f f a ππ-=-+>，即10a π>，则此时的最大值为55()()()sin 5g a f f a a a aππ=-=--+.综上所述，()g a 的表达式为510(0)5510()sin 5()510sin 5()a x g a a a a a a a a ππππππ⎧-<≤⎪⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪--+>⎪⎩. ………………12分。
太和区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
太和区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则函数y=f （x ）对应的解析式为（ ）A． B． C． D．2． 如果a ＞b ，那么下列不等式中正确的是（ ） A ．B ．|a|＞|b|C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 33． 函数f （x ）=sin ωx+acos ωx （a ＞0，ω＞0）在x=处取最小值﹣2，则ω的一个可能取值是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．94． 函数21()ln 2f x x x ax =++存在与直线03=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. ),0(+∞ B. )2,(-∞ C. ),2(+∞ D. ]1,(-∞【命题意图】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力． 5． 已知函数y=2sinx 的定义域为[a ，b]，值域为[﹣2，1]，则b ﹣a 的值不可能是（ ） A．B ．πC ．2πD．6． 函数y=2|x|的定义域为[a ，b]，值域为[1，16]，当a 变动时，函数b=g （a ）的图象可以是（ ）A． B． C．D．7． 已知角θ的终边经过点P （4，m ），且sin θ=，则m 等于（ ） A ．﹣3 B ．3 C．D ．±3班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________8． 若定义在R 上的函数f （x ）满足f （0）=﹣1，其导函数f ′（x ）满足f ′（x ）＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是（ ） A． B．C．D．9． 已知F 1、F 2分别是双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．（1，）B．（，+∞） C．（，2）D ．（2，+∞）10．在△ABC 中，关于x 的方程（1+x 2）sinA+2xsinB+（1﹣x 2）sinC=0有两个不等的实根，则A 为（ ） A ．锐角 B ．直角 C ．钝角 D ．不存在11．对一切实数x ，不等式x 2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣2） B ． D ．上是减函数，那么b+c （ ）A．有最大值 B．有最大值﹣C．有最小值D．有最小值﹣12．已知椭圆，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5C ．7D ．8二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，若目标函数ay x z +=2仅在点)4,3(取得最小值，则a 的取值范围是 ．14．已知()212811f x x x -=-+,则函数()f x 的解析式为_________.15．若不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形，则k 的取值范围是 ．16．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为 ．17．已知点F是抛物线y2=4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，M，N，F三点不共线，则△MNF 的重心到准线距离为．18．设x，y满足的约束条件，则z=x+2y的最大值为．三、解答题19．△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=，5（a2+b2﹣c2）=3ab．（Ⅰ）求cos2C和角B的值；（Ⅱ）若a﹣c=﹣1，求△ABC的面积．20．2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p（x）件与月份x的近似关系是且x≤12），该商品的进价q（x）元与月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）．（1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式；（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？21．在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题可获得分，答对问题可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题．答题终止后，获得的总分决定获奖的等次．若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对问题的概率分别为．（Ⅰ）记甲先回答问题再回答问题得分为随机变量，求的分布列和数学期望；（Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲选修41-：几何证明选讲 如图，,,A B C 为O 上的三个点，AD 是BAC ∠的平分线，交O 于 点D ，过B 作O 的切线交AD 的延长线于点E ．（Ⅰ）证明：BD 平分EBC ∠； （Ⅱ）证明：AE DC AB BE ⨯=⨯．23．设函数f （x ）=lg （a x ﹣b x ），且f （1）=lg2，f （2）=lg12（1）求a ，b 的值．（2）当x ∈[1，2]时，求f （x ）的最大值．（3）m 为何值时，函数g （x ）=a x 的图象与h （x ）=b x﹣m 的图象恒有两个交点．24．如图的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）．（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结BC ′，证明：BC ′∥面EFG ．太和区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1． 【答案】A【解析】解：由函数的图象可得A=1， =•=﹣，解得ω=2，再把点（，1）代入函数的解析式可得 sin （2×+φ）=1，结合，可得φ=，故有，故选：A ．2． 【答案】D【解析】解：若a ＞0＞b ，则，故A 错误；若a ＞0＞b 且a ，b 互为相反数，则|a|=|b|，故B 错误； 若a ＞0＞b 且a ，b 互为相反数，则a 2＞b 2，故C 错误； 函数y=x 3在R 上为增函数，若a ＞b ，则a 3＞b 3，故D 正确； 故选：D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，难度不大，属于基础题．3． 【答案】C【解析】解：∵函数f （x ）=sin ωx+acos ωx （a ＞0，ω＞0）在x=处取最小值﹣2，∴sin+acos=﹣=﹣2，∴a=，∴f （x ）=sin ωx+cos ωx=2sin （ωx+）．再根据f （）=2sin （+）=﹣2，可得+=2k π+，k ∈Z ，∴ω=12k+7，∴k=0时，ω=7，则ω的可能值为7， 故选：C ．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．4． 【答案】D 【解析】因为1()f x x a x'=++，直线的03=-y x 的斜率为3，由题意知方程13x a x ++=（0x >）有解，因为12x x+?，所以1a £，故选D ． 5． 【答案】C【解析】解：函数y=2sinx 在R 上有﹣2≤y ≤2 函数的周期T=2π值域[﹣2，1]含最小值不含最大值，故定义域[a，b]小于一个周期b﹣a＜2π故选C【点评】本题考查了正弦函数的图象及利用图象求函数的值域，解题的关键是熟悉三角函数y=2sinx的值域[﹣2，2]，而在区间[a，b]上的值域[﹣2，1]，可得函数的定义域与周期的关系，从而可求结果．6．【答案】B【解析】解：根据选项可知a≤0a变动时，函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，∴2|b|=16，b=4故选B．【点评】本题主要考查了指数函数的定义域和值域，同时考查了函数图象，属于基础题．7．【答案】B【解析】解：角θ的终边经过点P（4，m），且sinθ=，可得，（m＞0）解得m=3．故选：B．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，基本知识的考查．8．【答案】C【解析】解；∵f′（x）=f′（x）＞k＞1，∴＞k＞1，即＞k＞1，当x=时，f（）+1＞×k=，即f（）﹣1=故f（）＞，所以f（）＜，一定出错，故选：C．9．【答案】D【解析】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF2|，即有＞c2，∴b2＞3a2，∴c2﹣a2＞3a2，即c＞2a．则e=＞2．∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．故选：D．【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键．10．【答案】A【解析】解：在△ABC中，关于x的方程（1+x2）sinA+2xsinB+（1﹣x2）sinC=0有两个不等的实根，即（sinA﹣sinC）x2+2sinB x+（sinA+sinC）=0 有两个不等的实根，∴△=4sin2B﹣4 （sin2A﹣sin2C）＞0，由正弦定理可得b2+c2﹣a2＞0，再由余弦定理可得cosA=＞0，故A为锐角，故选A．11．【答案】B【解析】解：由f（x）在上是减函数，知f′（x）=3x2+2bx+c≤0，x∈，则⇒15+2b+2c ≤0⇒b+c ≤﹣．故选B ．12．【答案】D【解析】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m ﹣2＞10﹣m ，即m ＞6，，解得m=8故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．二、填空题13．【答案】(,2)-∞-【解析】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为(1,0),(0,1),(3,4)A B C , ∴2A z =，B z a =，64C z a =+． ∴64264a a a+<⎧⎨+<⎩，解得2a <-．14．【答案】()2245f x x x =-+ 【解析】试题分析：由题意得，令1t x =-，则1x t =+，则()222(1)8(1)11245f t t t t t =+-++=-+，所以函数()f x 的解析式为()2245f x x x =-+.考点：函数的解析式.15．【答案】 （﹣1，0） ．【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A （0，5），B （2，7），C （2，2k+5） △ABC 的形状随着直线AC ：y=kx+5斜率的变化而变化， 将直线AC 绕A 点旋转，可得当C 点与C 1（2，5）重合或与C 2（2，3）重合时，△ABC 是直角三角形， 当点C 位于B 、C 1之间，或在C 1C 2的延长线上时，△ABC 是钝角三角形， 当点C 位于C 1、C 2之间时，△ABC 是锐角三角形， 而点C 在其它的位置不能构成三角形综上所述，可得3＜2k+5＜5，解之得﹣1＜k ＜0 即k 的取值范围是（﹣1，0）故答案为：（﹣1，0）【点评】本题给出二元一次不等式组，在表示的图形为锐角三角形的情况下，求参数k的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．16．【答案】．【解析】解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角设边长为1，则BE=B1F=，EF=1∴cos∠EB1F=，故答案为【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．17．【答案】．【解析】解：∵F是抛物线y2=4x的焦点，∴F（1，0），准线方程x=﹣1，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6，解得x1+x2=4，∴△MNF的重心的横坐标为，∴△MNF的重心到准线距离为．故答案为：．【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．18．【答案】7．【解析】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即B（3，2），此时z的最大值为z=1+2×3=1+6=7，故答案为：7．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．三、解答题19．【答案】【解析】解：（I）由∵cosA=，0＜A＜π，∴sinA==，∵5（a2+b2﹣c2）=3ab，∴cosC==，∵0＜C＜π，∴sinC==，∴cos2C=2cos2C﹣1=，∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣×+×=﹣∵0＜B＜π，∴B=．（II）∵=，∴a==c，∵a﹣c=﹣1，∴a=，c=1，∴S=acsinB=××1×=．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，两角和与差的正弦公式等知识．考查学生对基础知识的综合运用．20．【答案】【解析】解：（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37.当2≤x≤12时，且x≤12）验证x=1符合f（x）=﹣3x2+40x，∴f（x）=﹣3x2+40x（x∈N*且x≤12）．该商场预计销售该商品的月利润为g（x）=（﹣3x2+40x）（185﹣150﹣2x）=6x3﹣185x2+1400x，（x∈N*且x≤12），令h（x）=6x3﹣185x2+1400x（1≤x≤12），h'（x）=18x2﹣370x+1400，令h'（x）=0，解得（舍去）．＞0；当5＜x≤12时，h'（x）＜0．∴当x=5时，h（x）取最大值h（5）=3125．max=g（5）=3125（元）．综上，5月份的月利润最大是3125元.【点评】本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．同时要熟练地利用导数的知识解决函数的求最值问题．21．【答案】【解析】【知识点】随机变量的期望与方差随机变量的分布列【试题解析】（Ⅰ）的可能取值为．，，分布列为：（Ⅱ）设先回答问题，再回答问题得分为随机变量，则的可能取值为．，，，分布列为：．应先回答所得分的期望值较高． 22．【答案】【解析】【解析】（Ⅰ）因为BE 是⊙O 的切线，所以BAD EBD ∠=∠…………2分 又因为CAD BAD CAD CBD ∠=∠∠=∠,………………4分 所以CBD EBD ∠=∠,即BD 平分EBC ∠．………………5分 （Ⅱ）由⑴可知BAD EBD ∠=∠，且BED BED ∠=∠，BDE ∆∽ABE ∆,所以ABBDAE BE =,……………………7分 又因为DBC DBE BAE BCD ∠=∠=∠=∠,所以DBC BCD ∠=∠，CD BD =．……………………8分所以ABCDAB BD AE BE ==，……………………9分 所以BE AB DC AE ⋅=⋅．……………………10分23．【答案】【解析】解：（1）∵f （x ）=lg （a x﹣b x），且f （1）=lg2，f （2）=lg12，∴a ﹣b=2，a 2﹣b 2=12，解得：a=4，b=2；（2）由（1）得：函数f （x ）=lg （4x ﹣2x），当x ∈[1，2]时，4x﹣2x∈[2，12]， 故当x=2时，函数f （x ）取最大值lg12，（3）若函数g（x）=a x的图象与h（x）=b x﹣m的图象恒有两个交点．则4x﹣2x=m有两个解，令t=2x，则t＞0，则t2﹣t=m有两个正解；则，解得：m∈（﹣，0）【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．24．【答案】【解析】解：（1）如图（2）它可以看成一个长方体截去一个小三棱锥，设长方体体积为V1，小三棱锥的体积为V2，则根据图中所给条件得：V1=6×4×4=96cm3，V2=••2•2•2=cm3，∴V=v1﹣v2=cm3（3）证明：如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，连接AD′，则AD′∥BC′因为E，G分别为AA′，A′D′中点，所以AD′∥EG，从而EG∥BC′，又EG⊂平面EFG，所以BC′∥平面EFG；2016年4月26日。
安徽省太和县第二中学2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析
安徽省太和县第二中学2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A ．12B ．13C ．41π- D ．42π-2．如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且EF =22，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF //平面ABCDC ．三棱锥A -BEF 的体积为定值D ．异面直线AE ,BF 所成的角为定值3．若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A B =A ．{}10x x x ><或B ．{}12x x << C ．{|2}x x >D ．{}1x x >4．已知随机变量X 的分布列是X12 3P1213a则()2E X a +=（ ） A ．53B ．73C ．72D ．2365．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若(,)CA CE DB R λμλμ=+∈，则λ＋μ的值为（ ）A ．65B ．85C ．2D ．836．已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则3=3f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．22B ．12C ．3log 2-D ．3log 27．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ） A ．73斤 B ．72斤 C ．52斤 D ．3斤8．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．101020219．如图，2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）A ．22B ．32C ．212+ D ．312+ 10．已知函数()23sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．54π B ．34π C ．2π D ．3π 11．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（ ）A ．2eB ．4eC ．2ee - D ．4ee- 12．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
太和区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
太和区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则函数y=f （x ）对应的解析式为（）A ．B ．C ．D ．2． 如果a ＞b ，那么下列不等式中正确的是（ ）A ．B ．|a|＞|b|C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 33． 函数f （x ）=sin ωx+acos ωx （a ＞0，ω＞0）在x=处取最小值﹣2，则ω的一个可能取值是（）A ．2B ．3C ．7D ．94． 函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（ ）21()ln 2f x x x ax =++03=-y x a A.B. C. D. ),0(+∞)2,(-∞),2(+∞]1,(-∞【命题意图】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力．5． 已知函数y=2sinx 的定义域为[a ，b]，值域为[﹣2，1]，则b ﹣a 的值不可能是（ ）A ．B ．πC ．2πD ．6． 函数y=2|x|的定义域为[a ，b]，值域为[1，16]，当a 变动时，函数b=g （a ）的图象可以是（）A ．B ．C ．D ．7． 已知角θ的终边经过点P （4，m ），且sin θ=，则m 等于（ ）A ．﹣3B ．3C ．D ．±3班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________8． 若定义在R 上的函数f （x ）满足f （0）=﹣1，其导函数f ′（x ）满足f ′（x ）＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．9． 已知F 1、F 2分别是双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．（1，）B ．（，+∞）C ．（，2）D ．（2，+∞）10．在△ABC 中，关于x 的方程（1+x 2）sinA+2xsinB+（1﹣x 2）sinC=0有两个不等的实根，则A 为（ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不存在11．对一切实数x ，不等式x 2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣2）B ．D ．上是减函数，那么b+c （）A ．有最大值B ．有最大值﹣C ．有最小值D ．有最小值﹣12．已知椭圆，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ）A ．4B ．5C ．7D ．8二、填空题13．已知实数，满足约束条件，若目标函数仅在点取得最小值，则的x y ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ay x z +=2)4,3(a 取值范围是．14．已知,则函数的解析式为_________.()212811f x x x -=-+()f x 15．若不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形，则k 的取值范围是 ．16．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为 ．17．已知点F是抛物线y2=4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，M，N，F三点不共线，则△MNF 的重心到准线距离为 ．18．设x，y满足的约束条件，则z=x+2y的最大值为 ．三、解答题19．△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=，5（a2+b2﹣c2）=3ab．（Ⅰ）求cos2C和角B的值；（Ⅱ）若a﹣c=﹣1，求△ABC的面积．20．2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p（x ）件与月份x的近似关系是且x≤12），该商品的进价q（x）元与月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）．（1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式；（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？21．在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题可获得分，答对问题可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题．答题终止后，获得的总分决定获奖的等次．若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对问题的概率分别为．（Ⅰ）记甲先回答问题再回答问题得分为随机变量，求的分布列和数学期望；（Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲选修：几何证明选讲41-如图，为上的三个点，是的平分线，交,,A B C O e AD BAC ∠O e 于点，过作的切线交的延长线于点．D B O e AD E （Ⅰ）证明：平分；BD EBC ∠（Ⅱ）证明：．AE DC AB BE ⨯=⨯23．设函数f （x ）=lg （a x ﹣b x ），且f （1）=lg2，f （2）=lg12（1）求a ，b 的值．（2）当x ∈[1，2]时，求f （x ）的最大值．（3）m 为何值时，函数g （x ）=a x 的图象与h （x ）=b x ﹣m 的图象恒有两个交点． 24．如图的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）．（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结BC ′，证明：BC ′∥面EFG ．太和区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1． 【答案】A【解析】解：由函数的图象可得A=1， =•=﹣，解得ω=2，再把点（，1）代入函数的解析式可得 sin （2×+φ）=1，结合，可得φ=，故有，故选：A ． 2． 【答案】D【解析】解：若a ＞0＞b ，则，故A 错误；若a ＞0＞b 且a ，b 互为相反数，则|a|=|b|，故B 错误；若a ＞0＞b 且a ，b 互为相反数，则a 2＞b 2，故C 错误；函数y=x 3在R 上为增函数，若a ＞b ，则a 3＞b 3，故D 正确；故选：D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，难度不大，属于基础题． 3． 【答案】C【解析】解：∵函数f （x ）=sin ωx+acos ωx （a ＞0，ω＞0）在x=处取最小值﹣2，∴sin+acos=﹣=﹣2，∴a=，∴f （x ）=sin ωx+cos ωx=2sin （ωx+）．再根据f （）=2sin （+）=﹣2，可得+=2k π+，k ∈Z ，∴ω=12k+7，∴k=0时，ω=7，则ω的可能值为7，故选：C ．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，属于基础题． 4． 【答案】D 【解析】因为，直线的的斜率为，由题意知方程（）有解，1()f x x a x '=++03=-y x 313x a x++=0x >因为，所以，故选D ．12x x+³1a £5． 【答案】C【解析】解：函数y=2sinx 在R 上有﹣2≤y ≤2函数的周期T=2π值域[﹣2，1]含最小值不含最大值，故定义域[a，b]小于一个周期b﹣a＜2π故选C【点评】本题考查了正弦函数的图象及利用图象求函数的值域，解题的关键是熟悉三角函数y=2sinx的值域[﹣2，2]，而在区间[a，b]上的值域[﹣2，1]，可得函数的定义域与周期的关系，从而可求结果．6．【答案】B【解析】解：根据选项可知a≤0a变动时，函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，∴2|b|=16，b=4故选B．【点评】本题主要考查了指数函数的定义域和值域，同时考查了函数图象，属于基础题．7．【答案】B【解析】解：角θ的终边经过点P（4，m），且sinθ=，可得，（m＞0）解得m=3．故选：B．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，基本知识的考查．8．【答案】C【解析】解；∵f′（x）=f′（x）＞k＞1，∴＞k＞1，即＞k＞1，当x=时，f（）+1＞×k=，即f（）﹣1=故f（）＞，所以f（）＜，一定出错，故选：C．9．【答案】D【解析】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF2|，即有＞c2，∴b2＞3a2，∴c2﹣a2＞3a2，即c＞2a．则e=＞2．∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．故选：D．【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键．10．【答案】A【解析】解：在△ABC中，关于x的方程（1+x2）sinA+2xsinB+（1﹣x2）sinC=0有两个不等的实根，即（sinA﹣sinC）x2+2sinB x+（sinA+sinC）=0 有两个不等的实根，∴△=4sin2B﹣4 （sin2A﹣sin2C）＞0，由正弦定理可得b2+c2﹣a2＞0，再由余弦定理可得cosA=＞0，故A为锐角，故选A．11．【答案】B【解析】解：由f（x）在上是减函数，知f′（x）=3x2+2bx+c≤0，x∈，则⇒15+2b+2c ≤0⇒b+c ≤﹣．故选B ． 12．【答案】D【解析】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m ﹣2＞10﹣m ，即m ＞6，，解得m=8故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了． 二、填空题13．【答案】(,2)-∞-【解析】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为,(1,0),(0,1),(3,4)A B C ∴，，．2A z =B z a =64C z a =+∴，解得．64264a a a +<⎧⎨+<⎩2a <-14．【答案】()2245f x x x =-+【解析】试题分析：由题意得，令，则，则，所以函数1t x =-1x t =+()222(1)8(1)11245f t t t t t =+-++=-+()f x 的解析式为.()2245f x x x =-+考点：函数的解析式.15．【答案】 （﹣1，0） ．【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A （0，5），B （2，7），C （2，2k+5）△ABC 的形状随着直线AC ：y=kx+5斜率的变化而变化，将直线AC 绕A 点旋转，可得当C 点与C 1（2，5）重合或与C 2（2，3）重合时，△ABC 是直角三角形，当点C 位于B 、C 1之间，或在C 1C 2的延长线上时，△ABC 是钝角三角形，当点C 位于C 1、C 2之间时，△ABC 是锐角三角形，而点C 在其它的位置不能构成三角形综上所述，可得3＜2k+5＜5，解之得﹣1＜k ＜0即k 的取值范围是（﹣1，0）故答案为：（﹣1，0）【点评】本题给出二元一次不等式组，在表示的图形为锐角三角形的情况下，求参数k的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．16．【答案】 ．【解析】解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角设边长为1，则B1E=B1F=，EF=∴cos∠EB1F=，故答案为【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 17．【答案】 ．【解析】解：∵F是抛物线y2=4x的焦点，∴F（1，0），准线方程x=﹣1，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6，解得x1+x2=4，∴△MNF的重心的横坐标为，∴△MNF的重心到准线距离为．故答案为：．【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．18．【答案】 7 ．【解析】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即B（3，2），此时z的最大值为z=1+2×3=1+6=7，故答案为：7．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．三、解答题19．【答案】【解析】解：（I）由∵cosA=，0＜A＜π，∴sinA==，∵5（a2+b2﹣c2）=3ab，∴cosC==，∵0＜C＜π，∴sinC==，∴cos2C=2cos2C﹣1=，∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣×+×=﹣∵0＜B＜π，∴B=．（II）∵=，∴a==c，∵a﹣c=﹣1，∴a=，c=1，∴S=acsinB=××1×=．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，两角和与差的正弦公式等知识．考查学生对基础知识的综合运用．20．【答案】【解析】解：（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37.当2≤x≤12时，且x≤12）验证x=1符合f（x）=﹣3x2+40x，∴f（x）=﹣3x2+40x（x∈N*且x≤12）．该商场预计销售该商品的月利润为g（x）=（﹣3x2+40x）（185﹣150﹣2x）=6x3﹣185x2+1400x，（x∈N*且x≤12），令h（x）=6x3﹣185x2+1400x（1≤x≤12），h'（x）=18x2﹣370x+1400，令h'（x）=0，解得（舍去）．＞0；当5＜x≤12时，h'（x）＜0．∴当x=5时，h（x）取最大值h（5）=3125．max=g（5）=3125（元）．综上，5月份的月利润最大是3125元.【点评】本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．同时要熟练地利用导数的知识解决函数的求最值问题．21．【答案】【解析】【知识点】随机变量的期望与方差随机变量的分布列【试题解析】（Ⅰ）的可能取值为．，，分布列为：（Ⅱ）设先回答问题，再回答问题得分为随机变量，则的可能取值为． ，，，分布列为：．应先回答所得分的期望值较高．22．【答案】【解析】【解析】（Ⅰ）因为是⊙的切线，所以…………2分BE O BAD EBD ∠=∠又因为………………4分CAD BAD CAD CBD ∠=∠∠=∠,所以,即平分．………………5分CBD EBD ∠=∠BD EBC ∠（Ⅱ）由⑴可知，且，BAD EBD ∠=∠BED BED ∠=∠∽,所以,……………………7分BDE ∆ABE ∆ABBD AE BE =又因为,DBC DBE BAE BCD ∠=∠=∠=∠所以，．……………………8分DBC BCD ∠=∠CD BD =所以，……………………9分ABCD AB BD AE BE ==所以．……………………10分BE AB DC AE ⋅=⋅23．【答案】【解析】解：（1）∵f （x ）=lg （a x ﹣b x ），且f （1）=lg2，f （2）=lg12，∴a ﹣b=2，a 2﹣b 2=12，解得：a=4，b=2；（2）由（1）得：函数f （x ）=lg （4x ﹣2x ），当x ∈[1，2]时，4x ﹣2x ∈[2，12]，故当x=2时，函数f （x ）取最大值lg12，（3）若函数g（x）=a x的图象与h（x）=b x﹣m的图象恒有两个交点．则4x﹣2x=m有两个解，令t=2x，则t＞0，则t2﹣t=m有两个正解；则，解得：m∈（﹣，0）【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键． 24．【答案】【解析】解：（1）如图（2）它可以看成一个长方体截去一个小三棱锥，设长方体体积为V1，小三棱锥的体积为V2，则根据图中所给条件得：V1=6×4×4=96cm3，V2=••2•2•2=cm3，∴V=v1﹣v2=cm3（3）证明：如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，连接AD′，则AD′∥BC′因为E，G分别为AA′，A′D′中点，所以AD′∥EG，从而EG∥BC′，又EG⊂平面EFG，所以BC′∥平面EFG；2016年4月26日。
安徽省太和县第一中学2025届高三下学期第一次模拟考试数学试题试卷-解析版
安徽省太和县第一中学2025届高三下学期第一次模拟考试数学试题试卷-解析版注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1a =，30B =︒，27cos 7C -=，则ABC 的面积为（ ） A ．32B ．3C ．7D ．722．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A ．若m α，m β，n α∥，n β∥，则αβB ．若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α，n β⊥，则αβ⊥ 3．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在ABC ∆中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+等于（ ）A ．12B ．23C ．16D ．135．下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的是（ ）A ．y x =B ．()sin f x x x =C ．()2f x x x =+ D ．1y x =+6．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '，当0x ≥时，恒有())03(xf f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（ ）．A ．{|31}x x -<<-B ．1{|1}3x x -<<- C ．{|3x x <-或1}x >-D ．{|1x x <-或1}3x >-7．已知全集{},1,2,3,4,U Z A ==()(){}130,B x x x x Z =+->∈，则集合()U A C B ⋂的子集个数为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．168．已知命题p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥；命题q ：a b >，则有22a b >．则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨9．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(3,4)P -，则sin 2α=（ ）． A ．1225-B ．2425-C ．165D ．8510．已知向量a 与a b +的夹角为60︒，1a =，3b =，则a b ⋅=( ) A． B ．0C ．0或32-D ．32-11．2021年某省将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A ．18B ．14C ．16D ．1212．点(,)P x y 为不等式组+4x y y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域上的动点，则+22-y x 的取值范围是（ ）A ．()(),21,-∞-⋃+∞B ．(][),11,-∞-+∞ C ．()2,1- D ．[]2,1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
太和区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
太和区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 已知函数f （x ）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x ＜0时，函数的部分图象如图所示，则不等式xf （x ）＜0的解集是（ ）A ．（﹣2，﹣1）∪（1，2）B ．（﹣2，﹣1）∪（0，1）∪（2，+∞）C ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（1，2）D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）2． 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ）A ．﹣3 B．﹣ C． D ．23． 运行如图所示的程序框图，输出的所有实数对（x ，y ）所对应的点都在某函数图象上，则该函数的解析式为（ ）A ．y=x+2B ．y= C ．y=3x D ．y=3x 34．（）0﹣（1﹣0.5﹣2）÷的值为（ ）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．﹣B ．C ．D ．5． 某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．6． 自圆C ：22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则点P 轨迹方程为（ ）A ．86210x y --=B ．86210x y +-=C ．68210x y +-=D ．68210x y --=【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．7． 如图可能是下列哪个函数的图象（ ）A ．y=2x ﹣x 2﹣1B ．y=C ．y=（x 2﹣2x ）e xD ．y=8． 某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动，若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（ ）A ．4320B ．2400C ．2160D ．13209． 四面体ABCD 中,截面 PQMN 是正方形， 则在下列结论中，下列说法错误的是（ ）A ．AC BD ⊥B ．AC BD =C.AC PQMN D ．异面直线PM 与BD 所成的角为4510．以椭圆+=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左、右焦点分别是F 1，F 2，已知点M 坐标为（2，1），双曲线C 上点P （x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0）满足=，则﹣S（ ） A ．2 B ．4C ．1D ．﹣111．已知实数x ，y 满足，则z=2x+y 的最大值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．412．若f （x ）为定义在区间G 上的任意两点x 1，x 2和任意实数λ（0，1），总有f （λx 1+（1﹣λ）x 2）≤λf （x 1）+（1﹣λ）f （x 2），则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（ ）①f （x ）=，②f （x ）=，③f （x ）=，④f （x ）=．A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．已知函数f （x ）=，若关于x 的方程f （x ）=k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．14．如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PBC △为等边三角形，则PC 与平面ABC 所成角的正弦值为______________.【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力．15．已知函数y=log（x 2﹣ax+a ）在区间（2，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．16．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）间的关系为0ektP P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了 消除27.1%的污染物，则需要___________小时.【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用.17．已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，g （x ）≠0，f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），且f （x ）=a x g（x ）（a ＞0且a ≠1），+=．若数列{}的前n 项和大于62，则n 的最小值为 ．18．已知x 是400和1600的等差中项，则x= ．三、解答题19．如图，已知AB 为⊙O 的直径，CE ⊥AB 于点H ，与⊙O 交于点C 、D ，且AB=10，CD=8，DE=4，EF 与⊙O 切于点F ，BF 与HD 交于点G ．（Ⅰ）证明：EF=EG；（Ⅱ）求GH的长．20．设函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值．21．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中选择题3道，判断题2道，甲、乙两人各抽一道（不重复）．（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？22．已知椭圆Γ：（a＞b＞0）过点A（0，2），离心率为，过点A的直线l与椭圆交于另一点M．（I）求椭圆Γ的方程；（II）是否存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆Γ的右焦点F且与直线x﹣2y﹣2=0相切？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．23．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且bsinA=acosB．（1）求B；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．24．选修4﹣5：不等式选讲已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若恒成立，求k的取值范围．太和区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：根据奇函数的图象关于原点对称，作出函数的图象，如图则不等式xf（x）＜0的解为：或解得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）故选：D．2．【答案】B【解析】解：由程序框图得：第一次运行S==﹣3，i=2；第二次运行S==﹣，i=3；第三次运行S==，i=4；第四次运行S==2，i=5；第五次运行S==﹣3，i=6，…S的值是成周期变化的，且周期为4，当i=2015时，程序运行了2014次，2014=4×503+2，∴输出S=﹣．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据程序的运行功能判断输出S值的周期性变化规律是关键．3．【答案】C【解析】解：模拟程序框图的运行过程，得；该程序运行后输出的是实数对（1，3），（2，9），（3，27），（4，81）；这组数对对应的点在函数y=3x的图象上．故选：C ．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．4． 【答案】D【解析】解：原式=1﹣（1﹣）÷=1﹣（1﹣）÷=1﹣（1﹣4）×=1﹣（﹣3）×=1+=． 故选：D ．【点评】本题考查了根式与分数指数幂的运算问题，解题时应细心计算，是易错题．5． 【答案】C【解析】解：设A 表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B 表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P （A ）==，P （B ）=，∴甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为： p （A+B ）=P （A ）+P （B ）﹣P （A ）P （B ）==．故选：C ．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意事件概率加法公式的合理运用．6． 【答案】D【解析】由切线性质知PQ CQ ⊥，所以222PQ PC QC=-，则由PQ PO =，得，2222(3)(4)4x y x y -++-=+，化简得68210x y --=，即点P 的轨迹方程，故选D ，7． 【答案】C【解析】解：A 中，∵y=2x ﹣x 2﹣1，当x 趋向于﹣∞时，函数y=2x 的值趋向于0，y=x 2+1的值趋向+∞，∴函数y=2x ﹣x 2﹣1的值小于0，∴A 中的函数不满足条件；B 中，∵y=sinx 是周期函数，∴函数y=的图象是以x 轴为中心的波浪线，∴B 中的函数不满足条件；C 中，∵函数y=x 2﹣2x=（x ﹣1）2﹣1，当x ＜0或x ＞2时，y ＞0，当0＜x ＜2时，y ＜0；且y=e x＞0恒成立，∴y=（x 2﹣2x ）e x的图象在x 趋向于﹣∞时，y ＞0，0＜x ＜2时，y ＜0，在x 趋向于+∞时，y 趋向于+∞；∴C 中的函数满足条件；D 中，y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x ∈（0，1）时，lnx ＜0，∴y=＜0，∴D 中函数不满足条件．故选：C ．【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征，是综合性题目．8． 【答案】D【解析】解：依题意，6名同学可分两组：第一组（1，1，1，3），利用间接法，有•=388，第二组（1，1，2，2），利用间接法，有（﹣）•=932根据分类计数原理，可得388+932=1320种， 故选D ．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与转化思想，考查理解与运算能力，属于中档题．9． 【答案】B 【解析】试题分析：因为截面PQMN 是正方形，所以//,//PQ MN QM PN ，则//PQ 平面,//ACD QM 平面BDA ，所以//,//PQ AC QM BD ,由PQ QM ⊥可得AC BD ⊥，所以A 正确；由于//PQ AC 可得//AC 截面PQMN ，所以C 正确；因为PN PQ ⊥，所以AC BD ⊥，由//BD PN ，所以MPN ∠是异面直线PM 与BD所成的角，且为045，所以D 正确；由上面可知//,//BD PN PQ AC ，所以,PN AN MN DN BD AD AC AD==，而,AN DN PN MN ≠=，所以BD AC ≠，所以B 是错误的，故选B. 1考点：空间直线与平面的位置关系的判定与证明.【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键. 10．【答案】 A【解析】解：∵椭圆方程为+=1，∴其顶点坐标为（3，0）、（﹣3，0），焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0），∴双曲线方程为，设点P （x ，y ），记F 1（﹣3，0），F 2（3，0），∵=，∴=，整理得：=5，化简得：5x=12y﹣15，又∵，∴5﹣4y2=20，解得：y=或y=（舍），∴P（3，），∴直线PF1方程为：5x﹣12y+15=0，∴点M到直线PF1的距离d==1，易知点M到x轴、直线PF2的距离都为1，结合平面几何知识可知点M（2，1）就是△F1PF2的内心．故﹣===2，故选：A．【点评】本题考查椭圆方程，双曲线方程，三角形面积计算公式，注意解题方法的积累，属于中档题．11．【答案】D【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，将z=2x+y转化为：y=﹣2x+z，由图象得：y=﹣2x+z过（1，2）时，z最大，Z最大值=4，故选：D．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道基础题．12．【答案】C【解析】解：由区间G上的任意两点x1，x2和任意实数λ（0，1），总有f（λx1+（1﹣λ）x2）≤λf（x1）+（1﹣λ）f（x2），等价为对任意x∈G，有f″（x）＞0成立（f″（x）是函数f（x）导函数的导函数），①f（x）=的导数f′（x）=，f″（x）=，故在（2，3）上大于0恒成立，故①为“上进”函数；②f（x）=的导数f′（x）=，f″（x）=﹣•＜0恒成立，故②不为“上进”函数；③f（x）=的导数f′（x）=，f″（x）=＜0恒成立，故③不为“上进”函数；④f（x）=的导数f′（x）=，f″（x）=，当x∈（2，3）时，f″（x）＞0恒成立．故④为“上进”函数．故选C．【点评】本题考查新定义的理解和运用，同时考查导数的运用，以及不等式恒成立问题，属于中档题．二、填空题13．【答案】（0，1）．【解析】解：画出函数f（x）的图象，如图示：令y=k，由图象可以读出：0＜k＜1时，y=k和f（x）有3个交点，即方程f（x）=k有三个不同的实根，故答案为（0，1）．【点评】本题考查根的存在性问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．14．【答案】21 7【解析】15．【答案】a≤4．【解析】解：令t=x 2﹣ax+a ，则由函数f （x ）=g （t ）=logt 在区间[2，+∞）上为减函数，可得函数t 在区间[2，+∞）上为增函数且t （2）＞0，故有，解得a ≤4，故实数a 的取值范围是a ≤4， 故答案为：a ≤4【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．16．【答案】15【解析】由条件知5000.9e kP P -=，所以5e 0.9k-=.消除了27.1%的污染物后，废气中的污染物数量为00.729P ，于是000.729ekt P P -=，∴315e 0.7290.9e ktk --===，所以15t =小时.17．【答案】 1 ．【解析】解：∵x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数， ∴如图，当x ∈[0，1）时，画出函数f （x ）=x ﹣[x]的图象，再左右扩展知f （x ）为周期函数． 结合图象得到函数f （x ）=x ﹣[x]的最小正周期是1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．18．【答案】 1000 ．【解析】解：∵x 是400和1600的等差中项，∴x==1000．故答案为：1000．三、解答题19．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：连接 AF 、OE 、OF ，则A ，F ，G ，H 四点共圆 由EF 是切线知OF ⊥EF ，∠BAF=∠EFG ∵CE ⊥AB 于点H ，AF ⊥BF ，∴∠FGE=∠BAF∴∠FGE=∠EFG，∴EF=EG…（Ⅱ）解：∵OE2=OH2+HE2=OF2+EF2，∴EF2=OH2+HE2﹣OF2=48，∴EF=EG=4，∴GH=EH﹣EG=8﹣4…【点评】本题考查圆的内接四边形的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．20．【答案】【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合【试题解析】（Ⅰ）因为．所以函数的最小正周期为．（Ⅱ）由（Ⅰ），得．因为，所以，所以．所以．且当时，取到最大值；当时，取到最小值．21．【答案】【解析】（本小题满分12分）解：（1）甲、乙两人从5道题中不重复各抽一道，共有5×4=20种抽法记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，则事件A含有的基本事件数为3×2=6…（4分）∴，∴甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是…（6分）（2）记“甲、乙二人中至少有一人抽到选择题”为事件B，其对立事件为“甲、乙二人都抽到判断题”，记为事件C，则事件C含有的基本事件数为2×1=2…（8分）∴，∴，…（11分）∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是．…（12分）【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件、对立事件概率计算公式的合理运用．22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）依题意得，解得，所以所求的椭圆方程为；（Ⅱ）假设存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆后的右焦点F且与直线x﹣2y﹣2=0相切，因为以AM为直径的圆C过点F，所以∠AFM=90°，即AF⊥AM，又=﹣1，所以直线MF的方程为y=x﹣2，由消去y，得3x2﹣8x=0，解得x=0或x=，所以M（0，﹣2）或M（，），（1）当M为（0，﹣2）时，以AM为直径的圆C为：x2+y2=4，则圆心C到直线x﹣2y﹣2=0的距离为d==≠，所以圆C与直线x﹣2y﹣2=0不相切；（2）当M为（，）时，以AM为直径的圆心C为（），半径为r===，所以圆心C到直线x﹣2y﹣2=0的距离为d==r，所以圆心C与直线x﹣2y﹣2=0相切，此时k AF=，所以直线l的方程为y=﹣+2，即x+2y﹣4=0，综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为x+2y﹣4=0．【点评】本题考直线与圆锥曲线的关系、椭圆方程的求解，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想，解决探究型问题，往往先假设存在，由此推理，若符合题意，则存在，否则不存在．23．【答案】【解析】（本小题满分12分）解：（1）∵bsinA=，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，即得tanB=，∴B=…（2）△ABC的面积．由已知及余弦定理，得．又a2+c2≥2ac，故ac≤4，当且仅当a=c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为…24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3得﹣4≤ax≤2∵不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．∴当a≤0时，不合题意；当a＞0时，，∴a=2；（Ⅱ）记，∴h（x）=∴|h（x）|≤1∵恒成立，∴k≥1．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，将绝对值符号化去是关键，属于中档题．。
2020-2021学年安徽省阜阳市太和一中高三(上)第一次反馈数学试卷(理科)(附答案详解)
2020-2021学年安徽省阜阳市太和一中高三（上）第一次反馈数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x ≥3}，集合B ={x|x 2−3x −10≤0}，则A ∩B =( )A. ⌀B. [3,5]C. [−2,3]D. (3,5)2. 已知a <0，b >0，那么下列不等式中一定成立的是( )A. b −a <0B. |a|>|b|C. a 2<abD. 1a <1b3. 已知命题p ：函数f(x)=(a −2)x 为增函数，命题q ：对任意的x ∈[12,1]，不等式ax −1>0恒成立，则p 是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n(n ∈N ∗)，若m −n =5，则a m −a n =( )A. 2B. 5C. −5D. 105. 在R 上定义运算：∣∣∣ab cd ∣∣∣=ad −bc ，若不等式∣∣∣x −1a −2a +1x ∣∣∣≥1对任意实数x 恒成立，实数a 的最大值为( )A. −12B. −32C. 13D. 326. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2=4，S 10=110，则S n +64a n的最小值为( )A. 7B. 8C. 152D. 1727. 在△ABC 中，cosAcosB >sinAsinB ，则△ABC 为( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判定8. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则ω，φ的值为( )A. ω=3，φ=π4 B. ω=3，φ=−π4 C. ω=6，φ=−π2D. ω=6，φ=π29. 为得到函数y =cos(2x +π3)的图象，只需将函数y =sin2x 的图象( )A. 向左平移5π12个长度单位 B. 向右平移5π12个长度单位 C. 向左平移5π6个长度单位D. 向右平移5π6个长度单位10. 设实数x ，y 满足约束条件{x +2y −3≤02x +y −1≥03x −4y ≤0，则z =x+2y+4x+2的最大值为( )A. 85B. 165C. 215D. 13511. 如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +2y 的最小值为( ) A. 2 B. 13C. 3+2√23D. 3412. 已知函数f(x)={−x 2+2x,x ≤0ln(x +1),x >0，若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是( )A. (−∞,0]B. (−∞,1]C. [−2,1]D. [−2,0]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在三角形ABC 中，cos2A =−12，则角A =______．14. 若函数f(x)在R 上可导，f(x)=x 3+x 2f′(1)，则∫f 20(x)dx =______．15. 已知f(x)={x 2−4x +3,x ≤0−x 2−2x +3,x >0，不等式f(x +a)>f(2a −x)在[a,a +1]上恒成立，则a 的取值范围是______．16.给出下列命题：①函数y=cos(23x+π2)是奇函数；②存在实数x，使sinx+cosx=2；③若α，β是第一象限角且α<β，则tanα<tanβ；④x=π8是函数y=sin(2x+5π4)的一条对称轴；⑤函数y=sin(2x+π3)的图象关于点(π12,0)成中心对称．其中正确命题的序号为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=x2−x−6．(1)求不等式f(x)<0的解集；(2)若对于一切x>1，均有f(x)≥(m+3)x−m−10成立，求实数m的取值范围18.数列{a n}满足：a12+a23+⋯+a nn+1=n2+n，n∈N∗．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=1a n ，数列{b n}的前n项和为S n，求满足S n>920的最小正整数n．19.已知函数f(x)=cos2x+2sin2x+2sinx．(1)将函数f(2x)的图象向右平移π6个单位得到函数g(x)的图象，若x∈[π12,π2]，求函数g(x)的值域；(2)已知a，b，c分别为锐角三角形ABC中角A，B，C的对边，且满足b=2，f(A)=√2+1,√3a=2bsinA，求△ABC的面积．20.已知函数f(x)=e x−x−1(e是自然对数的底数)．(1)求证：e x≥x+1；(2)若不等式f(x)>ax−1在x∈[12,2]上恒成立，求正数a的取值范围．21.已知a⃗=(sinx,cosx)，b⃗ =(sinx−2cosx,sinx)，令f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及f(x)=12的解集；(Ⅱ)锐角△ABC中，f(A2−π8)=2−√64，边BC=√3，求△ABC周长最大值．22.已知函数f(x)=axlnx+2x+a+1(a∈R)．(1)若f(x)在[1,+∞)上单调递增，求a的取值范围；(2)若对∀x∈(1,+∞)，f(x)+x2>0恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合B ={x|x 2−3x −10≤0}={x|−2≤x ≤5}， 又集合A ={x|x ≥3}， 所以A ∩B ={x|3≤x ≤5}． 故选：B ．先利用一元二次不等式的解法求出集合B ，再由集合交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：若a <0，b >0，则−a >0， 则b −a >0，故A 错误， |a|>|b|不一定成立， a 2>ab ，则C 不成立，1a<0，1b >0，则1a <1b ，成立，故D 正确， 故选：D ．根据a ，b 飞符号和范围，结合不等式的关系进行判断即可．本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键．比较基础．3.【答案】A【解析】解：命题p ：函数f(x)=(a −2)x 为增函数，故a −2>1， 从而命题p 为真时，a >3，命题q ：对任意的x ∈[12,1]，不等式ax −1>0恒成立， 有{12a −1>0a −1>0， 即a >2．因为(3,+∞)⊊(2,+∞) ∴p 是q 的充分不必要条件，分别求出命题p，q为真命题的等价条件，结合充分条件必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件必要条件的判断，根据函数的性质和恒成立问题分别求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键．4.【答案】D【解析】解：由S n=n2+2n，得a1=S1=3，当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2+2n−(n−1)2−2(n−1)=2n+1．验证a1=3适合上式，∴a n=2n+1．又∵m−n=5，则m=n+5，∴a m−a n=a n+5−a n=2(n+5)+1−2n−1=10．故选：D．由已知数列的前n项和，求出数列的通项公式，结合m−n=5，可求出a m−a n的值．本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．5.【答案】D【解析】解：∵不等式∣∣∣x−1a−2a+1x∣∣∣≥1对任意实数x恒成立，∴(x−1)x−(a+1)(a−2)≥1，即x2−x−a2+a+1≥0恒成立，∴△=1+4a2−4a−4=4a2−4a−3≤0，∴−12≤a≤32，∴实数a的最大值为32．故选：D．由行列式展开式法则得到x2−x−a2+a+1≥0恒成立，由此能求出实数a的最大值．本题考查实数的最大值的求法，考查行列式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】D【分析】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及基本不等式求最值，属基础题． 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知易得a n 和S n ，代入可得n2+32n+12，由基本不等式可求． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 2=a 1+d =4S 10=10a 1+10×92d =110，解得{a 1=2d =2故a n =2+2(n −1)=2n ，S n =2n +n(n−1)2×2=n 2+n所以S n +64a n =n 2+n+642n =n 2+32n+12≥2√n 2⋅32n +12=172，当且仅当n2=32n，即n =8时取等号，故选：D ．7.【答案】C【解析】解：依题意可知cosAcosB −sinAsinB =cos(A +B)>0，−cosC >O ，cosC <O ， ∴C 为钝角 故选C利用余弦的两角和公式整理题设不等式求得cos(A +B)>0进而判断出cosC <O ，进而断定C 为钝角．本题主要考查了三角形形状的判断，两角和公式的化简求值．在判断三角形的形状的问题上，可利用边的关系或角的范围来判断．8.【答案】A【解析】解：根据函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π)的图象， 可得A =1，14⋅2πω=5π12−π4，求得ω=3．再根据五点法作图可得3⋅π4+φ=π，求得φ=π4， 故选：A ．由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，求出函数的解析式．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：∵y =cos(2x +π3)=sin(2x +5π6)=sin2(x +5π12)，只需将函数y =sin2x 的图象向左平移5π12个单位得到函数y =cos(2x +π3)的图象． 故选：A ．先根据诱导公式将函数y =cos(2x +π3)化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．10.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x +2y −3=02x +y −1=0，解得A(−13,53)，z =x+2y+4x+2=x+2+2(y+1)x+2=1+2⋅y+1x+2，其几何意义为可行域内动点与定点P(−2,−1)连线的斜率，∵k PA =53+1−13+2=85， ∴z 的最大值为1+2×85=215．故选：C ．由约束条件作出可行域，把目标函数变形，结合两点连线的斜率求解． 本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．11.【答案】C【解析】解：∵M ，N ，G 三点共线， ∴MG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λGN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AG ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∵点G 是△ABC 的重心，∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ))， ∴{13−x =−13λ13=λy −13λ，解得，(3x −1)(3y −1)=1； 结合图象可知12≤x ≤1，12≤y ≤1；令3x −1=m ，3y −1=n ，(12≤m ≤2,12≤n ≤2)； 故mn =1，x =1+m 3，y =1+n 3；故x +2y =1+m 3+2×1+n 3=m 3+2n 3+1≥13⋅2√2+1，(当且仅当m3=2n3，即m =√2，n =√22时，等号成立)， 故x +2y 的最小值为13⋅2√2+1=3+2√23； 故选：C ．由题意可得MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λGN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而化简可得13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ))，从而可得(3x −1)(3y −1)=1，换元3x −1=m ，3y −1=n ，从而可得x +2y =1+m 3+2×1+n3=m3+2n3+1，从而利用基本不等式求最值．本题考查了平面向量的线性运算的应用及共线定理的应用，同时考查了基本不等式在求最值中的应用．12.【答案】D【解析】解：由题意可作出函数y=|f(x)|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为y=x2−2x，求其导数可得y′=2x−2，因为x≤0，故y′≤−2，故直线l的斜率为−2，故只需直线y=ax的斜率a介于−2与0之间即可，即a∈[−2,0]故选：D．由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f(x)|的图象，和函数y= ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．13.【答案】π3或2π3【解析】解：因为cos2A=2cos2A−1=−12，解得cos2A=14，可得cosA=±12，因为A∈(0,π)，所以A=π3或2π3．故答案为：π3或2π3．由已知利用二倍角的余弦公式可求得cos A 的值，结合范围A ∈(0,π)，可得A 的值． 本题主要考查了二倍角的余弦公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14.【答案】−4【解析】解：∵f(x)=x 3+x 2f′(1)， ∴f′(x)=3x 2+2xf′(1)， ∴f′(1)=3+2f′(1)， ∴f′(1)=−3， ∴f(x)=x 3−3x 2，∴∫f 20(x)dx =(14x 4−x 3)|02=4−8=−4，故答案为：−4．先根据导数的运算法则求导，再求出f′(1)=−3，再根据定积分的计算法计算即可． 本题主要考查了导数的运算法则和定积分的计算，属于基础题．15.【答案】(−∞,−2)【解析】解：作出分段函数f(x)={x 2−4x +3,x ≤0−x 2−2x +3,x >0的图象如图，要使不等式f(x +a)>f(2a −x)在[a,a +1]上恒成立， 则x +a <2a −x 在x ∈[a,a +1]上恒成立， 即a >2x 在x ∈[a,a +1]上恒成立， ∴a >2(a +1)，解得：a <−2．故答案为：(−∞,−2)．作出分段函数的图象，由图象得到函数f(x)的单调性，然后把不等式f(x+a)>f(2a−x)在[a,a+1]上恒成立转化为不等式a>2(a+1)求解．本题考查了恒成立问题，考查了分段函数的应用，解答此题的关键是把恒成立问题转化为含a的不等式，是中档题．16.【答案】①④【解析】解：①函数y=cos(23x+π2)=−sin23x，而y=−sin23x是奇函数，故函数y=cos(23x+π2)是奇函数，故①正确；②因为sin x，cos x不能同时取最大值1，所以不存在实数x使sinx+cosx=2成立，故②错误．③令α=π3，β=13π6，则tanα=√3，tanβ=tan13π6=tanπ6=√33，tanα>tanβ，故③不成立．④把x=π8代入函数y=sin(2x+5π4)，得y=−1，为函数的最小值，故x=π8是函数y=sin(2x+5π4)的一条对称轴，故④正确；⑤因为y=sin(2x+π3)图象的对称中心在图象上，而点(π12,0)不在图象上，所以⑤不成立．故答案为：①④．利用诱导公式、正弦函数和余弦函数性质以及图象特征，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查诱导公式、正弦函数和余弦函数性质以及图象特征，属于基础题．17.【答案】解：(1)∵f(x)<0，∴x2−x−6<0，∴(x+2)(x−3)<0，∴f(x)<0的解集为(−2,3)；(2)∵f(x)=x2−x−6，∴当对于一切x>1，均有x2−x−6≥(m+3)x−m−10成立∴x2−4x+4≥m(x−1)，∴对一切x>1均有m≤x2−4x+4x−1成立，又x2−4x+4x−1=(x−1)+1x−1−2≥2−2=0，当且仅当x=2时，等号成立．∴实数m的取值范围为(−∞,0]．【解析】(1)直接解一元二次不等式即可；(2)将不等式转化为恒成立问题，分离参数，借助基本不等式得到m的取值范围．本题考查了一元二次不等式的解法，以及将不等式转化为恒成立问题，分离参数，基本不等式的应用，考查化简整理的运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由题意，a12+a23+⋯+a nn+1=n2+n，当n≥2时，a12+a23+⋯+a n−1n=(n−1)2+n−1，两式相减得，a nn+1=2n，即a n=2n(n+1)(n≥2)．当n=1时，a1=4也符合，∴a n=2n(n+1)；(Ⅱ)b n=1a n =12n(n+1)=12(1n−1n+1)，∴S n=12(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=12(1−1n+1)=n2(n+1)．由S n=n2(n+1)>920，解得n>9．∴满足S n>920的最小正整数n=10．【解析】(Ⅰ)由已知数列递推式可得a12+a23+⋯+a n−1n=(n−1)2+n−1(n≥2)，与原递推式作差可得{a n}的通项公式；(Ⅱ)把{a n}的通项公式代入b n=1a n，然后利用裂项相消法求数列{b n}的前n项和为S n，再求解不等式得答案．本题考查数列递推式，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．19.【答案】解：函数f(x)=cos2x+2sin2x+2sinx=cos2x+(1−cos2x)+2sinx= 1+2sinx，(1)函数f(2x)=1+2sin2x的图象向右平移π6个单位得到函数g(x)=1+2sin2(x−π6).∴g(x)=2sin(2x−π3)+1，∵x∈[π12,π2 ]，∴2x−π3∈[−π6,2π3]，当x=π12时，g(x)min=0；当x=512π时，g(x)max=3∴函数g(x)的值域为[0,3]．(2)由已知√3a=2bsinA及正弦定理得：√3sinA=2sinBsinA，∴sinB=√32，∵0<B<π2，∴B=π3，由f(A)=√2+1可得sinA=√22，从而A=π4由正弦定理得：a=2√63，∴S△ABC=12absinC=12×2√63×2×√6+√24=3+√33．【解析】(1)先利用二倍角和辅助角公式将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式，根据三角函数平移变换的规律，求解出g(x)，x∈[π12,π2]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f(x)的取值最大和最小值，即得到f(x)的值域．(2)利用f(A)=√2+1,√3a=2bsinA，b=2，求出角A和a的大小，可得求△ABC的面积．本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简和平移变换是解决本题的关键．同时考查了正弦定理的运用．属于中档题．20.【答案】(1)证明：由题意知，要证e x≥x+1，只需证f(x)=e x−x−1≥0，求导得f′(x)=e x−1，当x∈(0,+∞)时，f′(x)=e x−1>0，当x∈(−∞,0)时，f′(x)=e x−1<0，∴f(x)在(0,+∞)上是增函数，在(−∞,0)上是减函数，即f(x)在x=0处取得极小值，这个极小值也为最小值，即f(x)min=f(0)=0，∴f(x)≥f(0)=0，即f(x)=e x −x −1≥0， ∴e x ≥x +1；(2)解：不等式f(x)>ax −1在x ∈[12,2]上恒成立， 即e x −x −1>ax −1在x ∈[12,2]上恒成立， 亦即a <e x −x x在x ∈[12,2]上恒成立， 令g(x)=e x −x x ，x ∈[12,2]，则g′(x)=e x (x−1)x 2，所以当x ∈[12,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 当x ∈(1,2]时，g ′(x)>0，g(x)单调递增， ∴g(x)在x =1处取得最小值为g(1)=e −1， ∴正数a 的取值范围是(0,e −1)．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的最值，考查了不等式的恒成立问题，属于中档题．(1)要证e x ≥x +1，只需证f(x)=e x −x −1≥0，求导得f ′(x)=e x −1，利用导数求出函数的最值，即可证明e x ≥x +1；(2)不等式f(x)>ax −1在x ∈[12,2]上恒成立，即a <e x −x x在x ∈[12,2]上恒成立，令g(x)=e x −x x，x ∈[12,2]，利用导数求出g(x)=e x −x x在x ∈[12,2]上的最小值，由此能求出正数a 的取值范围．21.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ =sin 2x −2sinxcosx +sinxcosx =12−√22sin(2x +π4)，∴T =π，∵f(x)=12， ∴sin(2x +π4)=0，∴x =k 2π−π8，k ∈Z ，∴f(x)=12的解集是{x|x =k2π−π8,k ∈Z}．(Ⅱ)f(A2−π8)=2−√64，∴sinA =√32，∴A =π3，∵asinA =b sinB =csinC =2，∴a +b +c =√3+2sinB +2sinC =√3+2sinB +2sin(2π3−B)=√3+2√3sin(B +π6)，∵锐角三角形且角A=π3，∴B∈(π6,π2)，当B=π3时，a+b+c最大为3√3，∴△ABC周长最大值为3√3．【解析】(Ⅰ)先根据数量积以及三角函数的有关知识整理解析式，进而求解结论即可．(Ⅱ)先根据条件求出角A，根据正弦定理表示出周长，结合角的范围即可求解．本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)f′(x)=alnx+a+2，依题意得，对∀x∈[1,+∞)，f′(x)≥0恒成立，①a≥0时，∵x∈[1,+∞)，∴lnx≥0，∴f′(x)≥0恒成立，满足题意，②a<0时，取x=e−2a∈(1,+∞)，∵f′(x0)=a<0，∴f′(x)≥0在[1,+∞)上不能恒成立，不满足题意，综上所述，a的取值范围是[0,+∞)，(2)f(x)+x2=axlnx+x2+2x+a+1(x>1)，∵x>0，f(x)+x2>0⇔alnx+a+1x+x+2>0，设g(x)=alnx+a+1x+x+2(x>1)，则g′(x)=ax −a+1x2+1=x2+ax−(a+1)x2=(x−1)(x+a+1)x2，①当a≥−2时，∵x+a+1>1−2+1=0，∴g′(x)>0，∴g(x)在(1,+∞)上单调递增，依题意得g(x)>g(1)=a+1+1+2≥2>0，满足题意，②当a<−2时，当1<x<−a−1时，g′(x)<0，当x>−a−1时，g′(x)>0，∴g(x)在(1,−a−1)上单调递减，在(−a−1,+∞)上单调递增，∴[g(x)]min=g(−a−1)=aln(−a−1)+a+1−a−1−a−1+2=aln(−a−1)−a，依题意得[g(x)]min=aln(−a−1)−a>0，解得−e−1<a<−2，综上所述，a的取值范围是(−e−1,+∞)．【解析】本题主要考查了利用导数研究函数单调性及不等式恒成立问题的求解，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．(1)先对函数求导，由题意可可得，对∀x∈[1,+∞)，f′(x)≥0恒成立，对a进行分类讨论即可求解；+x+2>0在x>1上恒成立，结合导数研究其性(2)由已知可转化为g(x)=alnx+a+1x质，可求．。
2014年安徽省阜阳市十二所重点高中及太和二中高考数学一模试卷(理科)
2014年安徽省阜阳市十二所重点高中及太和二中高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)1.设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U(A∪B)=()A.{2}B.{3}C.{1，2，4}D.{1，4}【答案】B【解析】试题分析：根据并集的含义先求A∪B，注意2只能写一个，再根据补集的含义求解．集合A∪B={1，2，4}，则C U(A∪B)={3}，故选B．2.已知函数f(x)=1-2x，若a=f(log30.8)，，，则()A.a＜b＜cB.b＜c＜aC.c＜a＜bD.a＜c＜b【答案】B【解析】试题分析：由a=f(log30.8)=1-2log30.8，=1-2×，1-2×，，能够比较a，b，c的大小关系．∵a=f(log30.8)=1-2log30.8＞1，=1-2×＜1，1-2×＜1，，∴b＜c＜a．故选B．3.下列命题不正确的是()A.如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直B.如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行C.如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直D.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行【答案】C【解析】试题分析：由线面垂直的定义，面面垂直的判定定理，面面平等的判定定理，两条直线位置关系的定义，及线面平行的判定定理，我们对四个答案逐一进行分析，即可得到结论．如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，由线面垂直的定义得，该直线垂直于另一个平面，再由面面垂直的判定定理，我们可得两平面垂直，故A正确；如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则一个平面内必有两条相交直线平行于另一个平面，则由面面平行的判定定理，我们可得两平面平行，故B正确；如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线不一定垂直，故C错误如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，由线面平行的性质定理，我们可得这条直线和交线平行，故D正确；故选C4.函数(0＜a＜1)的图象的大致形状是()A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：先根据x与零的关系对解析式进行化简，并用分段函数表示，根据a的范围和指数函数的图形选出答案．因，且0＜a＜1，故选D．5.设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点P，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是() A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由，可得y2=ax-x2＞0，故0＜x＜a，代入=1，整理得(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0在(0，a )上有解，令f(x)=(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0，，结合图形，求出椭圆的离心率e的范围．A1(-a，0)，A2(a，0)，设P(x，y)，则=(-x，-y)，=(a-x，-y)，∵，∴(a-x)(-x)+(-y)(-y)=0，y2=ax-x2＞0，∴0＜x＜a．代入=1，整理得(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0在(0，a )上有解，令f(x)=(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0，∵f(0)=-a2b2＜0，f(a)=0，如图：△=(a3)2-4×(b2-a2)×(-a2b2)=a2(a4-4a2b2+4b4 )=a2(a2-2c2)2≥0，∴对称轴满足0＜-＜a，即0＜＜a，∴＜1，＞，又0＜＜1，∴＜＜1，故选D．6.如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，，AB=AC=A1A=1，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点(不包括端点)．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是()A.[，1)B.[，2)C.[1，)D.[，)【答案】A【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，设出F、D的坐标，求出向量，利用GD⊥EF求得关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值即可．建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，E(0，1，)，G(，0，1)，F(x，0，0)，D(0，y，0)由于GD⊥EF，所以x+2y-1=0DF===∵0＜x＜1，0＜y＜1，∴0＜y＜，当y=时，线段DF长度的最小值是当y=0时，线段DF长度的最大值是1，而不包括端点，故y=0不能取1；故选A．7.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为()A..0.0324B.0.0434C.0.0528D.0.0562【答案】B【解析】试题分析：第4次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红；然后分别求出每种情形的概率，从而求出第4次恰好取完所有红球的概率．第4次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红∴第4次恰好取完所有红球的概率为×()2×+×××+()2××=0.0434．故选：B．8.任意a、b∈R，定义运算，则f(x)=x*e x的()A.最小值为-eB.最小值为C.最大值为D.最大值为e【答案】B【解析】试题分析：先由定义求出f(x)的表达式，在利用分段函数求值域分段找的方法求出函数的最值．由题中定义可得f(x)=，∴f′(x)=，当x≤0时，f(x)在(-∞，-1)上为增函数，在(-1，0)上为减函数，所以f(x)在x=-1时取极小值f(-1)=-，当x＞0时，f(x)在(1，+∞)上为增函数，在(0，1)上为减函数，所以f(x)在x=1时取极小值f(1)=-，又因为f(-1)=f(1)=-，所以f(x)=x*e x的最小值为-，故选B．二、填空题(本大题共7小题，共35.0分)9.若框图(如图)所给程序运行的结果，那么判断框中可以填入的关于k的判断条件是．【答案】k＜2010(或其他适合的条件)【解析】试题分析：按照程序框图执行几次，找出此框图的算法功能，由条件解不等式得出k的范围，进一步确定判断框内的条件即可．按照程序框图依次执行：s=0，k=1，s=0+k=2，s=k=3，s=1-以此类推，s=1-=，所以k＞2009，k的最小值为2010．故判断框内的条件可为k＜2010故答案为：k＜201010.已知定义域为R的函数f(x)满足①f(x)+f(x+2)=2x2-4x+2，②f(x+1)-f(x-1)=4(x-2)，若成等差数列，则t的值为．【答案】2或3【解析】试题分析：由成等差数列，根据等差数列的性质列出关系式，根据f(x+1)-f(x-1)=4(x-2)，设x-1=m，解出x，代入得到一个关系式，记作(i)，又根据f(x)+f(x+2)=2x2-4x+2，记作(ii)，由(ii)-(i)化简即可得到f(x)的解析式，利用求出的解析式化简前面的关系式，得到关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．因为成等差数列，所以f(t-1)+f(t)=-1，又f(x+1)-f(x-1)=4(x-2)，令x-1=m，则x=m+1，得f(m+2)-f(m)=4(m-1)，即f(x+2)-f(x)=4x-4，(i)而f(x)+f(x+2)=2x2-4x+2，(ii)由(ii)-(i)得：f(x)=(2x2-8x+6)=x2-4x+3，∴f(t-1)+f(t)=t2-2t+1-4t+4+t2-4t+3=2t2-10t+11=-1，即t2-5t+6=0，解得t=2或t=3．故答案为：2或311.若对一切θ∈R，复数z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】试题分析：由题意可得(a+cosθ)2+(2a-sinθ)2=5a2+1+2asin(θ+∅)≤4，即2asin(θ+∅)+5a2-3≤0，即，求得实数a的取值范围．由题意可得(a+cosθ)2+(2a-sinθ)2=5a2+1+2a(cosθ-2sinθ)=5a2+1+2asin(θ+∅)≤4，即2asin(θ+∅)+5a2-3≤0．令sin(θ+∅)=x，-x≤x≤1，则f(x)=2ax+5a2-3(-x≤x≤1)是一次函数，由题意得f(x)≤0，∴，解得，故答案为．12.设O点在△ABC内部，且有，则△ABC的面积与△AOC的面积的比为．【答案】3【解析】试题分析：根据，变形得∴，利用向量加法的平行四边形法则可得2=-4，从而确定点O的位置，进而求得△ABC 的面积与△AOC 的面积的比．分别取AC、BC的中点D、E，∵，∴，即2=-4，∴O是DE的一个三等分点，∴=3，故答案为：3．13.记集合T={0，1，2，3，4，5，6}，，将M中的元素按从大到小顺序列，则第2005个数是．【答案】【解析】试题分析：理解集合描述法的含义．根据M中元素的取值发现规律，类似于7进制的问题，然后根据7进制进行转换即可．M={}，其中，可以看出是7进制数(a1a2a3a4)7，则最大的数为(6666)7=74-1=2400，按从大到小顺序列，第2005个数是2400-2004=396，即从1起从小到大排的第396个数，396=73+72+4，即(1104)7，故原数是．故答案为：．14.已知双曲线x2-y2=1的一条渐近线与曲线y=相切，则a的值为．【答案】或-【解析】试题分析：求出双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意可得曲线y=与直线y=x相切，利用导数的几何意义建立关于a的方程，解出切点坐标，再将其代入切线方程即可得到实数a的值．∵双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x∴曲线y=与直线y=±x相切可得y'=1或-1即=1(舍负)，解之得切点坐标为(1，1)或(-1，-1)当切点为(1，1)时，代入y=得a=；当切点为(-1，-1)时，代入y=得a=-综上所述，a的值为或-故答案为：或-15.曲线C的极坐标方程ρ=2cosθ，直角坐标系中的点M的坐标为(0，2)，P为曲线C 上任意一点，则|MP|的最小值是．【答案】【解析】试题分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心和半径，|MP|的最小值是MC线段的长度减去半径．由题设知：曲线C的直角坐标方程是x2+y2=2x，即是以C(1，0)为圆心，1为半径的圆，∴；故答案为．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知(其中ω＞0)的最小正周期为π．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，求角C．【答案】解：(1)==∵T=π，ω＞0，∴∴故递增区间为(2)∴∵∴或即或又a＜b，∴A＜B，故舍去，∴．由得，∴或，若，则．若，则．注意：没有说明“∵”扣(2分)【解析】(1)利用二倍角公式、两角差的余弦函数展开，合并后，化为一个角的一个三角函数的形式，利用周期求出ω，结合正弦函数的单调增区间，求出函数的单调增区间．(2)通过f(A)=1，求出A的值，利用正弦定理求出B，C．17.在甲、乙等7个选手参加的一次演讲比赛中，采用抽签的方式随机确定每个选手的演出顺序(序号为1，2，…7)，求：(1)甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两选手之间的演讲选手个数ξ的分布列与期望．【答案】解：(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”．由等可能性事件的概率计算公式得．(2)ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，，，，，，．从而ξ的分布列为所以，．【解析】(1)由题意设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，则由等可能性事件的概率计算公式即可求得；(2)由于题意知道ξ表示甲、乙两选手之间的演讲选手个数，有题意则ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，再有古典概型随机事件的概率公式及离散型随机变量的定义与其分布列即可求得．18.如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB， AOB=120°，且OA=OB=OC=1(Ⅰ)设为P为AC的中点，Q为AB上一点，使PQ⊥OA，并计算的值；(Ⅱ)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值．【答案】解：法一：(Ⅰ)在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连接NC．又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC∵NC⊂平面ONC，∴OA⊥NC．取Q为AN的中点，则PQ∥NC．∴PQ⊥OA在等腰△AOB中， AOB=120°，∴ OAB=OBA=30°在R t△AON中， OAN=30°，∴在△ONB中， NOB=120°-90°=30°=NBO，∴NB=ON=AQ．∴解：(Ⅱ)连接PN，PO，由OC⊥OA，OC⊥OB知：OC⊥平面OAB．又ON⊂OAB，∴OC⊥ON又由ON⊥OA，ON⊥平面AOC．∴OP是NP在平面AOC内的射影．在等腰R t△COA中，P为AC的中点，∴AC⊥OP根据三垂线定理，知：∴AC⊥NP∴ OPN为二面角O-AC-B的平面角在等腰R t△COA中，OC=OA=1，∴在R t△AON中，，∴在R t△PON中，．∴解法二：(I)取O为坐标原点，分别以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz(如图所示)则∵P为AC中点，∴设，∵．∴，∴．∵，∴即，．所以存在点使得PQ⊥OA且．(Ⅱ)记平面ABC的法向量为=(n1，n2，n3)，则由，，且，得，故可取又平面OAC的法向量为=(0，1，0)．∴cos＜，＞=．两面角O-AC-B的平面角是锐角，记为θ，则【解析】解法一：(1)要计算的值，我们可在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连接NC．则根据已知条件结合平面几何中三角形的性质我们易得NB=ON=AQ，则易求出的值．(2)要求二面角O-AC-B的平面角的余弦值，我们可连接PN，PO，根据三垂线定理，易得 OPN为二面角O-AC-B的平面角，然后解三角形OPN得到二面角O-AC-B的平面角的余弦值．解法二：取O为坐标原点，分别以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，我们易根据已知给出四面体中各点的坐标，利用向量法进行求解，(1)由A、Q、B三点共线，我们可设，然后根据已知条件，构造关于λ的方程，解方程即可得到λ的值，即的值；(2)要求二面角O-AC-B的平面角的余弦值，我们可以分别求出平面OAC及平面ABC的法向量，然后根据求二面角O-AC-B的平面角的余弦值等于两个法向量夹角余弦的绝对值进行求解．19.在平面直角坐标系xoy中，给定三点，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项．(Ⅰ)求点P的轨迹方程；(Ⅱ)若直线L经过△ABC的内心(设为D)，且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)直线AB、AC、BC的方程依次为．点P(x，y)到AB、AC、BC的距离依次为．依设，d1d2=d32，得|16x2-(3y-4)2|=25y2，即16x2-(3y-4)2+25y2=0，或16x2-(3y-4)2-25y2=0，化简得点P的轨迹方程为圆S：2x2+2y2+3y-2=0与双曲线T：8x2-17y2+12y-8=0(Ⅱ)由前知，点P的轨迹包含两部分圆S：2x2+2y2+3y-2=0①与双曲线T：8x2-17y2+12y-8=0②△ABC的内心D也是适合题设条件的点，由d1=d2=d3，解得，且知它在圆S上．直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为③(i)当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点．(ii)当k≠0时，L与圆S有两个不同的交点．这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率，直线L的方程为x=±(2y-1)．代入方程②得y(3y-4)=0，解得或．表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F．故当时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点．情况2：直线L不经过点B和C(即)，因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点．即方程组有且只有一组实数解，消去y并化简得该方程有唯一实数解的充要条件是8-17k2=0④或⑤解方程④得，解方程⑤得．综合得直线L的斜率k的取值范围．【解析】(Ⅰ)直线AB、AC、BC的方程依次为．点P(x，y)到AB、AC、BC的距离依次为．由此能求出点P的轨迹方程．(Ⅱ)点P的轨迹包含圆S：2x2+2y2+3y-2=0与双曲线T：8x2-17y2+12y-8=0．△ABC 的内心D也是适合题设条件的点，由d1=d2=d3，解得．设L的方程为．再分情况讨论能够求出直线L的斜率k的取值范围．20.已知α，β是方程4x2-4tx-1=0(t∈R)的两个不等实根，函数的定义域为[α，β]．(Ⅰ)求g(t)=maxf(x)-minf(x)；(Ⅱ)证明：对于，若sinu1+sinu2+sinu3=1，则++＜．【答案】解：(Ⅰ)设α≤x1＜x2≤β，则4x12-4tx1-1≤0，4x22-4tx2-1≤0，∴则又故f(x)在区间[α，β]上是增函数．∵，∴=(Ⅱ)证：∵且，而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立，∴++＜．【解析】(Ⅰ)先设α≤x1＜x2≤β，则4x12-4tx1-1≤0，4x22-4tx2-1≤0，利用单调函数的定义证明f(x)在区间[α，β]上是增函数．从而求得函数f(x)的最大值与最小值，最后写出g(t)(Ⅱ)先证：从而利用均值不等式与柯西不等式即得：++＜．21.(I)已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n(n=1，2，3…)，{b n}满足b1=1，(n=1，2，3…)，求证：．．(II) 已知数列{a n}满足：a1=1且．设m∈N+，m≥n≥2，证明(a n+)(m-n+1)≤．【答案】解：(I)证明：记，则．而．因为a1=1，a n+1=a n+2n，所以a k+1-1=k(k+1)．从而有．①又因为，所以，即．从而有．②由(1)和(2)即得I n＜1．综合得到．左边不等式的等号成立当且仅当n=1时成立．(II)不妨设即与比较系数得c=1．即又，故{}是首项为公比为的等比数列，故这一问是数列、二项式定理及不等式证明的综合问题．综合性较强．即证(，当m=n时显然成立．易验证当且仅当m=n=2时，等号成立．设下面先研究其单调性．当m＞n时，即数列{b n}是递减数列．因为n≥2，故只须证，即证．事实上，故上不等式成立．综上，原不等式成立．【解析】(I)记，则．而．从而有．由，知，从而有．所以．(II)设，与比较系数得c=1．由此入手能够证明(a n+)(m-n+1)≤．。
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太和二中高三第一次统考数 学 试 题(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上，考试结束，将答题卡交回。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )；如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )=P (A )·P (B )；如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：kn kkn n P PC k P --⋅⋅=)1()(.第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合A ={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，则=⋃⋂C B A )(( )A. {1,2,3}B. {1,2,4}C. {2,3,4}D. {1,2,3,4}2. 复数i215+的共轭复数是( )A. 1+2iB. 1－2iC. i31035+-D.i31035--3. 若),2(tan cos )(Z k k x x x x f ∈+≠⋅=ππ，则)37(π-f 的值为（ ） A.23B.21 C.23-D.21-4. 二项式5)2(-x 的展开式中2x 的系数是（ ）A. －40B. －80C. 40D. 805. 在ΔABC 中，=2AB AB ·CBCA ⋅+，则ΔABC 是（ ）A. 正三角形B. 直角三角形C. 非特殊的锐角三角形D. 钝角三角形6. ,53==且12=⋅ba ，则向量a 在向量b 上的投影长为（ ）A.512 B. 3C. 4D. 57. 设函数f (x )是定义域为R 且以3为周期的奇函数，若f (1)>1,f (2)=a ，则（ ） A. a >2 B. a >－1 C. a >1 D. a <－18.])1,0[(43)(3∈-=x x x x f 的最大值是（ ）A. 21 B. －1C. 0D. 19. 已知等差数列}{n a 的前20项的和为100，那么a 7·a 14的最大值为（ ） A. 不存在 B. 25C. 50D. 10010. 已知24)(xx f --=在区间M 上的反函数是其本身，则M 可以是（ ）A. [－2，2]B. （－2，2）C. [－2，0]D. [0，2]11. 设,2)(2x x f -=若,b a <<且)()(b f a f =，则ab 的取值范围是（ ）A. （0，2）B. （0，2]C. （0，4]D. （0，2）12. 设+-=-++-+-=+++=212222121)(,)()()(,a x q x x x x x x p nx x x x n n22)(a x -+…+,)(2a x n-若xa≠，则一定有（ ） A. p >qB. p <qC. p ≥qD. p 、q 的大小不定攀枝花市高2006级高三第一次统考数 学 试 题(理工农医类)第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）题号 二 三总分 17 18 19 20 21 22 得分二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上）13. 不等式123-<x x 的解集为 。
14. 设函数4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f （其中βα,,,b a 为非零实数），若f (2005)=5，则f (2006)的值是 。
15. 如图所示，在A 、B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通。
今发现A 、B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有 种。
16. 汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是teλμμ-=0，其中λμ、0是正常数。
经检测，当t =2时，μ=0.900μ，则当稳定性系数降为0.500μ时，该种汽车的使用年数为 （结果精确到1，参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）。
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）17. （本题满分12分）设平面上P 、Q 两点的坐标分别是)2sin,2(cos x x ，)23sin ,23cos(x x -，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 。
（1（2）记)4)(2R PQ x f ∈-=λλ，求函数f (x )的最小值。
得分 评卷人得分 评卷人18. （本题满分12分）已知数列}{n a 中，a n >0，前n 项的和为S ，且满足2)2(81+=n n a S（1）求数列{a n }的通项a n 。
（2）若数列{b n }满足)21()1(42<<-=+t t b n a n ，T n 为数列{b n }的前n 项的和，求nn T ∞→lim 。
19. （本题满分12分）2005年12月，四川省首届冬旅会在我市召开，设我市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.7，0.5，0.3，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开我市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。
（1）求ξ的分布列及数学期望； （2）记“函数13)(2+∙-=x xx f ξ在区间[)+∞,2上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率。
20. （本题满分12分）设命题p ：函数f (x )=lg (ax ax 1612+-)的定义域为R ；命题q ：不等式axx +<+112对一切正实数均成立，如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围。
得分 评卷人得分 评卷人得分 评卷人21. （本题满分13分）设函数f (x )是定义在[)(]1,00,1⋃-上的奇函数，当[)0,1-∈x 时，)(12)(2R a xax x f ∈+=。
（1）当(]1,0∈x 时，求f (x )的解析式； （2）若1->a，试判断f (x )在(]1,0上的单调性，并证明你的结论。
（3）是否存在a ，使得当x =(0, 1]时，f (x )有最大值－6。
22. （本题满分13分）已知函数)10(22)(22<<--+=x xx xx x f 的反函数为)(1x f-。
（1）已知数列}{n a 满足),)((,1*111N n a f a a n n ∈==-+求数列{a n }的通项公式；（2）已知数列{b n }满足),)(()1(,21*1211N n b f b b b n n n ∈⋅+==-+求证：对一切2≥n的正整数，都满足：2121112211<++++++<nnb nab a b a 。
得分 评卷人得分 评卷人2005—2006年度（上）高三数学（理）参考答案一、选择题：DACBBA DDBCAB 二、填空题：13.)3,1()0,(⋃-∞ 14. 3 15. 13 16. 13三、解答题17. 解：（I ）|PQ |22)23sin2(sin)23cos2(cosx x x x -++=])2,0[(cos 2cos42cos 222π∈Θ==+=x x x x（II ）2224)(cos 4cos 8cos4)(λλλ--=-=x x x x f∴∈],1,0[cos x 当10≤≤λ时，222min 44)(4)(λλλλ-=--=x f ；当1>λ时，;844)1(4)(22min λλλ-=---=x f当0<λ时，4)0(4)(22min =---λλx f 。
（12分）18. 解：（1）由已知：2)2(8112111=⇒+==a a a S 。
],)2()2[(8122111+-+=-=+++n n n n n a a S S a)0( .4)(4))((1111>Θ=-⇒+=-+⇒++++n n n n n n n n n a a a a a a a a a}{n a ∴是首项为2，公差为4的等差数列。
,244)1(1-=-+=∴n n a a n（2）.)1()1(4224nn nt t b -=-=+-)1](21)1([lim lim ),1](21)1([])1(1)1(1)[1(----=----=-----=∞→∞→t t t T t t t t t t T nn n n nnn 。
tt T t n n --=∴<<Θ∞→21lim ,21。
（12分）19. 解：（1）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件A 1，A 2，A 3。
由已知A 1，A 2，A 3相互独立，P(A 1)=0.7,P(A 2)=0.5,P(A 3)=0.3。
客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3。
相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3。
)()()3(321321A A A P A A A P P ⋅⋅+⋅⋅==ξ=)()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P +=21.03.05.07.02=⨯⨯⨯，79.021.01)3(1)1(=-==-==ξξP P 。
所以ξ的分布列为ξ1 3 P0.790.21 42.121.0379.01=⨯+⨯=ξE 。
（2）解法一 因为,491)23()(22ξξ-+-=x x f所以函数13)(2+⋅-=x xx f ξ在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23ξ上单调递增，要使f (x )在[)+∞,2上单调递增，当且仅当,223≤ξ即34≤ξ。
从而79.0)1()34()(===≤=ξξP P A P 。
（12分）解法二：ξ的可能取值为1，3。
当ξ=1时，函数13)(2+-=x xx f 在区间[)+∞,2上单调递增，当ξ=3时，函数19)(2+-=x xx f 在区间[)+∞,2上不单调递增。
所以P (A )=P (ξ=1)=0.79。
20. 解：a =0时显然不成立。
由01612>+-a x ax 恒成立，得,016410⎪⎩⎪⎨⎧<⨯⨯-=∆>aa a 解得a >2；∴命题p 为真的充要条件是a>2。
法一：由axx +<+112对一切正实数均成立，令112>+=x t，则,211,2122-+<∴-=tat tx即)1()1(22-<-ta t对一切t >1均成立，),1(2+<∴t a 即12+>t a对一切t>1均成立，1≥∴a 。