高三第一次联考(理数)

湖北省重点中学届高三第一次联考
数学试卷（理科）
一. 选择题（5′×10=50′）
1.
复数
2
i
z =
的虚部是（ ）
..B C d
2.命题P ：若()()2
2
120x y -+-=，则x=1且y=2，则命题P 的否命题为（ ）
A.若()()2
2
120,x y -+-≠则x ≠1且y ≠2 B. 若()()2
2
120x y -+-=，则x ≠1且y ≠2 C. 若()()2
2
120,x y -+-≠则x ≠1或y ≠2 D. 若()()2
2
120x y -+-=，则x ≠1或y ≠2
3.已知A （0，1），B （-2，1），C （1，2），则AB AC 在上的投影是（
）
..A B C D 4.已知[)02cos sin θπθθ∈，，〈，
且sin tan θθ〈，则θ的取值范围是（ ） ()33.02.022253353..42422442A B C D ππππππππππππππ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⋃⋃ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，，，，，，，
5.若不等式1x m -〈成立的充分非必要条件是113
2
x 〈〈，
则实数m 的取值范围是（ ） 411414....322323A B C D ⎡⎤
⎡⎤⎛
⎤⎡⎫
---∞-+∞ ⎪⎢⎥⎢⎥⎥
⎢⎣⎦⎣⎦⎝⎦⎣⎭
，，，，
6.函数(
)(2
ln 1y x x =-≤的反函数是（
）
)).0.0A y x B y x =≤=≤
)).0.0C y x D y x =≥=≥
7.若等比数列的各项均为正数，前n 项之和为S ，前n 项之积为P ，前n 项倒数之和为M ，则（ ）
22....n
n
S S S S A P B P C P D P M
M
M M ⎛⎫⎛⎫=
= ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
〉
〉 8.函数ln 1x
y e
x =--的图像大致是（ ）
9.在算式“9×△+1×□=48”中的△、□分别填入两个正整数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对应为（ ）
()()
().230.321.412.53A B C D ，，（，）
，
10.已知函数()221y f x =
+-是定义在R 上的奇函数，函数()y g x =的图象与函数
()y f x =的图象关于直线0x y -=对称，若122x x +=，则()()12g x g x +=（ ）
.2
.2.4.4A B C D --
二.填空题（5′×5=25′）
11.为了了解某地区高三学生的身体发育情况。

抽查了该地区100名高三男生的体重（kg ）得到的频率分布直方图如图所示，根据下图可得这100名学生中体重在[]56.564.5，的学生人数是
x y O x y O x y O x y O 1111111
1A
B C
D （
kg ）
12.过△ABC 的重心作一直线分别交AB 、AC 于D 、E ，若
1
0AD xAB AE y AC xy y
==≠+1，，，则x 的值为
13.已知方程21211x x a --+=+有实数根，则a 的取值范围是
14.在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数
15.定义在()-∞+∞，上的偶函数()f x 满足：()()1f x f x +=-，且在[]10-，上为增函数，下面是关于()f x 的判断：○1()f x 是周期函数；○2()f x 的图象关于直线x=1对称；○3()f x 在[0，1]上是增函数；○
4()f x 在[1，2]上是减函数；○5()()20f f =. 其中判断正确的是 （把你认为正确的判断都填上） 三.解答题（共75分）
16.（12分）已知函数()2
2cos sin sin cos 3f x x x x x x π⎛⎫
=⋅++⋅ ⎪⎝
⎭
（1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）将函数()f x 的图象按向量()0a m =，平移，使得平移后的图象关于直线2
x π
=对称，
求m 的最小正值.
17.（12分）在△ABC 中，2AB AC AB AC ⋅=-=
（1）求2
2
AB AC +的值； （2）当△ABC 的面积最大时，求∠A 的大小.
18. （12分）甲有一只放有x 个红球，y 个黄球，z 个白球的箱子，且x+y+z=6（x ，y ，z ∈N ），乙有一只放有3个红球，2个黄球，1个白球的箱子.两人各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时甲胜，异色时乙胜.
（1）用x 、y 、z 表示甲胜的概率；
（2）若又规定当甲取红、黄、白球而胜的得分分别为1、2、3分，否则得0分.求甲得分的期望的最大值及此时x 、y 、z 的值.
19. （12分）已知()()()2
,2ln .f x ax
a R g x =∈=
（1）讨论函数()()()F x f x g x =-的单调性；
（2）是否存在这样的a 值，使得()()()
2f x g x x R +≥+∈恒成立，若不存在，请说明理由；若存在，求出所有这样的值
20.（13分）已知函数()f x 在（-1，1）上有意义，112f ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，
且对任意的x ，y ∈（-1，1），都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫
++=
⎪+⎝⎭
.
（1）若数列{}n x 满足()11221,21n n n
x x x n N x *
+=
=∈+，求()n f x ； （2）求211111511312f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫+++++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
的值.
21.（14分）已知点P 在曲线C ：()1
1y x x
=
>，
曲线C 在点P 的切线与函数()0y kx k =>的图象交于点A ，与x 轴交于点B ，设点P 的横坐标为t ，设A 、B 的横坐标分别为,A B x x ，记
()A B f t x x =⋅.
（1）求()f t 的解析式；
（2）设数列{}()1,n a n n N ≥∈满足()11,2a a f n ==≥，求数列{}n
a 的通项
公式；
（3）在（2）的条件下，当13k <<时，证明不等式：12338n n k
a a a a k
-+++
+>
.
参考答案
一. 选择题ACDCB DCDCD
二.填空题11.40； 12.3； 13.-3≤a ＜-1； 14.27
2
； 15.○1○2○5. 三.16.（1）7,,12
12k k k Z π
πππ⎡⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
. （2）当k=0时，m 的最小正值为5
12
π. 17.（1）8；（2）∠A=
3
π.
18.（1）
3236x y z ++；（2）当y=6时，E ξ取最大值为2
3
.此时x=z=0.
19.（1）当a ＞0时，()F x
的递增区间为⎫+∞⎪⎭
，递减区间为⎛ ⎝
；当a ≤0
时，()F x 在()0,+∞上单调递减.（2）存在[),a e ∈+∞
20.（1）()1
2
n n f x -=-；（2）0.
21.()()22411t f t t kt =>+；
（2）1
134;43n n n a k k
--⋅=⋅+- ()()11
11
12
112312212
3343
3,13,4339110,0,4343391391.44
383334339111181444n n n n n n n n n n n a k k k k k k k k k k k k a k k k k n k a a a a a a a k k k k k k k k -------⋅-=-<<⋅+--∴<<<⋅+-⋅--∴->⋅=⋅⋅-⎛⎫⎛⎫⎛
⎫++++-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭--⎛⎫
⎛⎫>++++>- ⎪ ⎝⎭⎝⎭()()()
()()
22
2
8434231423113,0
n
k k k k k k k k k ⎡⎤+⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦-+->
=+-<<∴>
故不等式12338n n k
a a a a k -++++>成立.。