海南省2020届高三数学第一次联考试题(含解析)
天一大联考2019-2020学年海南省高三年级第一次模拟考试数学试题(解析版)
得到曲线 2 的解析式为 = cos2 ⋅ 2 = cos .
故选：B.
【分析】由三角函数平移和伸缩的性质，以及运用诱导公式化简，便可得出答案.
5.【答案】 A
【考点】一元二次不等式的解法
5
【解析】【解答】原不等式等价于 2 + 1 > 3 + 5 ≥ 0 ，解得 − 3 ≤ < −1 或 > 4 .
（1）若 = 30∘ ， = 75∘ ， √3 + √2 = 5 ，求 , 的长；
（2）若 + > 90∘ ，求证： < .
19.如图（1），在平面五边形 中，已知四边形 为正方形， 为正三角形.沿着 将
四边形 折起得到四棱锥 − ，使得平面 ⊥ 平面 ，设 在线段 上且满
“ 1 = 2 ”的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
4.将函数 = sin2 的图象向左平移
4
C. 充要条件
个单位长度后得到曲线 1 ，再将 1 上所有点的横坐标伸长到
原来的 2 倍得到曲线 2 ，则 2 的解析式为（
A. = sin
B. = cos
1
1
5
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
海南省天一大联考 2020 届高三数学第一次模拟考试试卷
一、单选题
1.已知集合 = { ∈ ∗ |0 ≤ < 2} ，则集合 的子集的个数为（
A. 2
B. 3
1−
2.1+2 +
A.
6−2
2020届全国100所名校高三模拟金典卷(一)数学(文)试题(解析版)
2020届全国100所名校高三模拟金典卷（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|24}x x -≤≤ C ．{|22}x x -≤≤ D ．{|24}x x -<≤【答案】B【解析】直接利用并集的定义计算即可. 【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2．已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A ．2B CD ．1【答案】C【解析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模的计算的公式计算即可. 【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C 【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题.3．某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（ ） A ．36.5 B ．30C ．33D ．27【答案】D【解析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】 由已知，1(4235) 3.54x =+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D 【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A ．3 B ．7C ．7-D ．3-【答案】C【解析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.5．已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】B【解析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==， 解得7m =. 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6．已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则23a b -r r （ ）A ．BC ．4D ．5【答案】A【解析】由(2)0a a b ⋅-=r r r，可得2a b ⋅=r r，将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ，且(2)0a a b ⋅-=r r r，即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r， 所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r==故选：A 【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 7．已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点()1,2对称 B ．关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于点()3,3对称 D ．关于点()1,3对称【答案】B【解析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到. 【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B 【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【答案】C【解析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.9．函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D. 【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C 【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．163πB ．3π C ．29π D ．169π【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形，高是4的圆锥体， 容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选：D 【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.11．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ） A ．2sin 2x - B ．2sin2xC ．2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 3cos 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 所得图象对应的函数为()g x ， 所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12．如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A ．2B 21C ．2D 21【答案】D【解析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可. 【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD，SA SB SC SP、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R.四棱锥的体积211222 3323P ABCD ABCDVS PD-⨯=⨯⨯=⨯=W，四棱锥的表面积S22112222222242222PAD PAB ABCDS S S=++=⨯⨯+⨯⨯⨯+=+ V V W，因为13P ABCDV S-=⨯R⨯，所以3222142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题13．设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344z y x =-，易知截距越小，z 越大，平移直线34y x =，可知当目标函数经过点A 时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4 【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．曲线()e 43xf x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________.【答案】52y x =-【解析】直接利用导数的几何意义计算即可. 【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =- 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15．已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +--【解析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可. 【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--，又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +-- 【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16．已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，11222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a， 由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意.因为b a >，所以22211b e a=->，所以2e >，所以2 3.e <≤故答案为：(2,3] 【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题17．某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组 频数[)75,80 2 [)80,85 6[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】（1）0.85；（2）715【解析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ， 高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18．在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =. （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+， 又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =， 由余弦定理2222cosb ac ac B =+-，得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）.（2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，,a A c C ∴==，sin )a c A C ∴+=+sin()]A A B =++1sin sin sin sin cos322A A A A A π⎡⎤⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎥⎝⎭⎦⎣⎦6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由203A π<<，得5666A πππ<+=，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 19．在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ； （Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -的体积为32时，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =.【解析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ． 推出OD '⊥平面ABCO ． 然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可． 【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥． 因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． （Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ； 因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点， 所以//PM AB ，12PM AB =． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ， 所以122a OC CD ==． 所以OC //AB ，12OC AB =． 所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形， 所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=23332228a a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= ,'2a OD = 因为3133'3162a V S OD =⨯⨯==， 所以2a =． 【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△将根与系数的关系代入化简即可解决. 【详解】 (1)由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+Q，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△1m =≥， 得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.21．设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x -=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【解析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a--<，即证明2111ln a a a--<， 构造函数()211ln 1h a a a a=++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减； 当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->．∴()211ln 10h a a a a=++->．∴()1g a <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决. 【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ，可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>；直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为21x y ⎧=-⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=， 设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>， 由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅， 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题. 23．已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|21}x x-＃；（2）[7,3]-【解析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1x ≥三种情况讨论即可；（2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =. 综上所述，不等式的解集为{|21}x x-＃.（2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …，有()050f x -…成立，∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-， ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。
天一大联考2020-2021学年海南省高三第一次模拟考试数学试题(含答案解析)
(n)设直线AD.BC的斜率分别为占，自，求证:幺为定值.
22(12分)
已知函数/(幻=/+以-2e•在R上单调递减.
(I)求实数Q的取值范围；
(n)若存在非零实数阳/2满足/(勺)4。)4々)依次成等差数列,求证四+巧
天一大联考
2020—2021
数学•答案
一■单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分
VA
--= 兽 <lanL胃川，所以两个角不可能相等，D错误.
号AB显加
12.答案AB
命题意图本题考伐导数的几何意义、数影结合的数学思想.
解析根据隔禹宜线的定义,>=/(*)的图象总在隔离宜线的下方,)=双幻的图象总在偏离直线的上方，并口
—2—
可以有公共点/（%）=上譬,/（外在（o,e）上单调递增，在（e,+8 ）上单调递减，同时注意到，（1）=0,x
4.答案A
命题意图本题考查三角形和圆的有关计算.
解析 由已知可得加=有,△力RC的外接帆半径为1.由题意，内侧网弧为△/1的的外接回的一部分，旦其对应 的恻心角为竽，则弓形力BC的面积为/x H x序-sin引弋-亨，外侧恻弧以AB为直径,所以半圆AB的面枳为/X7TX(李j *,则月牙形的面积为普-(年-亨卜亨+芬
三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.
13.答案4
命题意图本题考查平而向员的坐标运算，向呈共线.
解析。+36 = （2+3,〃,7）,。-方=（2-切，-1）,因为。+3力与4-8共线,所以-1乂（2+3小）=7x（2-m）,解 得m=4.
14.答案1
命题意图 本题考行三角恒等变换的应用.
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三数学第一次联考试题(含解析)
浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届高三数学第一次联考试题（含解析）一、选择题1.已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖，则()R C A B ⋂=（ ） A. [1,0)(2,3]-B. (2,3]C. (,0)(2,)-∞+∞D. (1,0)(2,3)-【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式和绝对值不等式，化简集合A ， B 利用集合的交、补运算求得结果.【详解】因为集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖， 所以{|3A x x =>或1}x <-，{|2B x x =>或0}x <， 所以{|13}R C A x x =-≤≤，所以()R C A B ⋂={|23x x <≤或10}x -≤<，故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查集合的交、补运算.2.已知双曲线22:193x y C -=，则C 的离心率为（ ）D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的方程得229,3a b ==，又根据222c a b =+，可得,a c 的值再代入离心率公式.【详解】由双曲线的方程得229,3a b ==，又根据2229312c a b =+=+=，解得：3,23a c ==，所以23c e a ==，故选C. 【点睛】本题考查离心率求法，考查基本运算能力.3.已知,a b 是不同的直线，αβ，是不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//a β，则下列命题中正确的是（ ） A. b α⊥ B. //b αC. αβ⊥D. //αβ【答案】C 【解析】 【分析】构造长方体中的线、面与直线,,,a b αβ相对应，从而直观地发现αβ⊥成立，其它情况均不成立.【详解】如图在长方体1111ABCD A B C D -中，令平面α为底面ABCD ，平面β为平面11BCC B ，直线a 为1AA若直线AB 为直线b ，此时b α⊂，且αβ⊥，故排除A,B,D ；因为a α⊥，//a β，所以β内存在与a 平行的直线，且该直线也垂直α，由面面垂直的判定定理得：αβ⊥，故选C.【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，求解时要排除某个答案必需能举出反例加以说明.4.已知实数,x y 满足312(1)x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 11B. 10C. 6D. 4【答案】B 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的可行域，根据目标函数2z x y =+的几何意义，当直线2y x z =-+在y 轴上的截距达到最大时，z 取得最大值，观察可行域，确定最优解的点坐标，代入目标函数求得最值.【详解】画出约束条件312(1)x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩所表示的可行域，如图所示，根据目标函数2z x y =+的几何意义，当直线2y x z =-+在y 轴上的截距达到最大时，z 取得最大值，当直线过点(3,4)A 时，其截距最大，所以max 23410z =⨯+=，故选B. 【点睛】本题考查线性规划，利用目标函数的几何意义，当直线2y x z =-+在y 轴上的截距达到最大时，z 取得最大值，考查数形结合思想的应用.5.已知圆C 的方程为22(3)1x y -+=，若y 轴上存在一点A ，使得以A 为圆心、半径为3的圆与圆C 有公共点，则A 的纵坐标可以是（ ） A. 1B. –3C. 5D. -7【答案】A 【解析】 【分析】设0(0,)A y ，以A 为圆心、半径为3的圆与圆C 有公共点，可得圆心距大于半径差的绝对值，同时小于半径之和，从而得到0y <<【详解】设0(0,)A y，两圆的圆心距d =因为以A 为圆心、半径为3的圆与圆C 有公共点，所以313124d -<<+⇒<<，解得0y <<B 、C 、D 不合题意，故选A.【点睛】本题考查两圆相交的位置关系，利用代数法列出两圆相交的不等式，解不等式求得圆心纵坐标的范围，从而得到圆心纵坐标的可能值，考查用代数方法解决几何问题.6.已知函数221,0()log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是（ ） A. (4][2,)-∞-+∞ B. [1,2]-C. [4,0)(0,2]-D. [4,2]-【答案】D 【解析】 【分析】不等式()1f a ≤等价于0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩分别解不等式组后，取并集可求得a 的取值范围.【详解】()1f a ≤⇔0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩，解得：40a -≤≤或02a <≤，即[4,2]a ∈-，故选D.【点睛】本题考查与分段函数有关的不等式，会对a 进行分类讨论，使()f a 取不同的解析式，从而将不等式转化为解绝对值不等式和对数不等式.7.已知函数()ln(||)cos f x x x =⋅，以下哪个是()f x 的图象（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由2x π=时的函数值，排除C,D ；由2x π=的函数值和322x ππ<<函数值的正负可排除A. 【详解】当2x π=时，(2)ln 20f ππ=>排除C,D ， 当2x π=时，()02f π=，当322x ππ<<时，ln 0,cos 0x x ><， 所以()0f x <排除A, 故选B.【点睛】本题考查通过研究函数解析式，选择函数对应的解析式，注意利用特殊值进行检验，考查数形结合思想的运用.8.在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成A BE ∆'，使得点A '在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角A BE C '--的大小为θ，直线A B '，'A C 与平面BCDE 所成的角分别为,αβ，则（ ）A. βαθ<<B. βθα<<C. αθβ<<D. αβθ<<【答案】D 【解析】 【分析】由折叠前后图象的对比得点A '在面BCDE 内的射影'O 在线段OF 上，利用二面角、线面有的定义，求出tan ,tan ,tan αβθ的表达式，再进行大小比较.【详解】如图所示，在矩形ABCD 中，过A 作AF BE ⊥交于点O ，将ABE ∆沿直线BE 折成A BE ∆'，则点A '在面BCDE 内的射影'O 在线段OF 上，设A '到平面BCDE 上的距离为h ，则''h AO =，由二面角、线面角的定义得：'tan h O O θ=，'tan h O B α=，'tan hO Cβ=，显然'''',O O O B O O O C <<，所以tan θ最大，所以θ最大， 当'O 与O 重合时，max (tan )h OB α=，min (tan )h OCβ=， 因为h OB <hOC，所以max (tan )α<min (tan )β，则tan tan αβ<，所以αβ<， 所以αβθ<<，故选D.【点睛】本题以折叠问题为背景，考查二面角、线面角大小比较，本质考查角的定义和正切函数的定义，考查空间想象能力和运算求解能力.9.已知函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，则“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”的一个（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，所以判别式240a b ∆=->，再从函数在[0]2，上的零点个数得出相应条件，从而解出+a b 的范围.【详解】函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，所以判别式240a b ∆=->，函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，分为两种情况： （1）函数()f x 在区间[0]2，上只有一个零点0,(0)(2)0,f f ∆>⎧⇔⎨⋅≤⎩2222(0)(2)(42)2424f f b a b b ab b b ab a b a ⋅=++=++=+++- 22()40a b b a =++-≤，即22()4a b a b +≤-又因为240a b ->，所以，a b ≤+≤（2）函数()f x 在[0]2，上有2个零点0,(0)0,(2)420,02,2f b f a b a ∆>⎧⎪=≥⎪⎪⇔⎨=++≥⎪⎪<-<⎪⎩解得：20a b -≤+≤； 综上所述“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”⇔20a b -≤+≤或a b ≤+≤所以20a b -≤+≤⇒20a b -≤+≤或a b ≤+≤ 而后面推不出前面（前面是后面的子集），所以“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题考查二次函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查推理能力与计算能力，属于基础题.10.已知数列{}n a 满足：1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-．则下列说法正确的是（ ） A. 2019102a << B. 2019112a <<C. 2019312a <<D. 2019322a <<【答案】B 【解析】 【分析】考察函数()ln(2)(02)f x x x x =+-<<，则'11()1022xf x x x-=-=>--先根据单调性可得1n a <，再利用单调性可得1231012n a a a a <<<<<<<<.【详解】考察函数()ln(2)(02)f x x x x =+-<<，由'11()1022xf x x x-=-=>--可得()f x ()0,1单调递增，由'()0f x <可得()f x 在()1,2单调递减且()()11f x f ≤=，可得1n a <，数列{}n a 为单调递增数列， 如图所示：且1(0)ln 2ln 4ln 2f e ==>=，211()(0)2a f a f =>>，图象可得1231012n a a a a <<<<<<<<，所以2019112a <<，故选B. 【点睛】本题考查数列通项的取值范围，由于数列是离散的函数，所以从函数的角度来研究数列问题，能使解题思路更简洁，更容易看出问题的本质，考查数形结合思想和函数思想.二、填空题11.复数2(1)1i z i-=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为_____，||z =__________.【答案】 (1). -1 (2). 2 【解析】 【分析】复数z 进行四则运算化简得1i z =--，利用复数虚部概念及模的定义得虚部为1-，模为2.【详解】因为2(1)2(1)11(1)(1)i i i z i i i i ---===--++-，所以z 的虚部为1-，22||(1)12z =-+=，故填：1-;2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部、模的概念，考查基本运算能力.12.某几何体的三视图为如图所示的三个正方形（单位：cm ），则该几何体的体积为_____3cm ，表面积为____2cm .【答案】 (1). 233(2). 23 【解析】 【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积与表面积. 【详解】由题意可知几何体为正方体去掉一个三棱锥的多面体，如图所示：正方体的棱长为2，去掉的三棱锥的底面是等腰直角三角形，直角边长为1，棱锥的高为2， 所以多面体的体积为：1123222112323⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=3cm ， 表面积为：2212116222(5)()11212232222⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯⨯=2cm【点睛】本题考查几何体的三视图的应用，几何体的体积与表面积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力.13.若7280128(2)(21)x x a a x a x a x +-=++++，则0a =______，2a =_____.【答案】 (1). –2 (2). –154 【解析】 【分析】令0x =得：02a =-，求出两种情况下得到2x 项的系数，再相加得到答案. 【详解】令0x =得：02a =-，展开式中含2x 项为：（1）当(2)x +出x ，7(21)x -出含x 项，即1617(2)(1)T x C x =⋅⋅⋅-； （2）当(2)x +出2，7(21)x -出含2x 项，即225272(2)(1)T C x =⋅⋅⋅-； 所以2a =1277224(1)154C C ⋅+⋅⋅⋅-=-，故填：2-；154-.【点睛】本题考查二项式定理展开式中特定项的系数，考查逻辑推理和运算求解，注意利用二项式定理展开式中，项的生成原理进行求解.14.在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点,D E 分别在线段,BC AB 上,36AC BC BD ===，60EDC ∠=︒，则BE =________，cos CED ∠=________.【答案】 (1). 326+ (2). 2 【解析】 【分析】在BDE ∆中利用正弦定理直接求出BE ，然后在CEB ∆中用余弦定理求出CE ，再用余弦定理求出cos CEB ∠，进一步得到cos CED ∠的值.【详解】如图ABC ∆中，因为60EDC ∠=︒，所以120EDB ∠=︒， 所以sin sin BE BD EDB BED =∠∠，即2sin120sin15BE =，解得：33326sin152321BE ===+⋅-⋅在CEB ∆中，由余弦定理，可得：2222cos CE BE CB BE CB B =+-⋅2242(422)=-=-，所以422CE =-2221cos 22CE BE CB CEB CE BE +-∠==⋅，CEB 60,︒∠=CED CEB BED 45∠=∠-∠=，所以2cos 2CED ∠=326；22.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在三角形中的运用，求解过程中注意把相关的量标在同一个三角形中，然后利用正、余弦定理列方程，考查方程思想的应用.15.某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不能相邻、体育不能排在第一节，则不同的排法总数是_______（用数字作答）． 【答案】60 【解析】 【分析】先求出体育不能排在第一节的所有情况，从中减去体育不能排在第一节，且语文与英语相邻的情况，即为所求.【详解】体育不能排在第一节，则从其他4门课中选一门排在第一节，其余的课任意排，它的所有可能共有144496A A ⋅=种.其中，体育不能排在第一节，若语文与英语相邻，则把语文与英语当做一节，方法有22A 种，则上午相当于排4节课，它的情况有：13233236A A A ⋅⋅=种.故语文与英语不能相邻，体育不能排在第一节，则所有的方法有963660-=种.【点睛】本题考查用间接法解决分类计数原理问题，以及特殊元素特殊处理，属于中档题.16.已知,A B 是抛物线24y x =上的两点，F 是焦点，直线,AF BF 的倾斜角互补，记,AF AB 的斜率分别为1k ,2k ，则222111k k -=____. 【答案】1 【解析】 分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的对称性知点22(,)x y -在直线AF 上，直线1:(1)AF y k x =-代入24y x =得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理得到12,k k 的关系，从而求得222111k k -的值. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的对称性知点22(,)x y -在直线AF 上，直线1:(1)AF y k x =-代入24y x =得：2222111(24)0k x k x k -++=，所以2112211224,1,k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，因为2221122221121121212y y k k k x x k x x x x x x -==⇒==-++++，所以212222211111111k k k k k +-=-=，故填：1. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，会用坐标法思想把所要求解的问题转化成坐标运算，使几何问题代数化求解.17.已知非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ⋅==，记3144c a b =+，当,b c 的夹角取得最大值时，||a b -的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】先建系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量b ，进而通过运算求得||a b -的值.【详解】由非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ⋅==，建立如图所示的平面直角坐标系：则(2,0),(2,),0A B b b >，则(2,0),(2,)a b b ==，由3144c a b =+，则(2,)4b C ， 则直线,OB OC 的斜率分别为,28b b， 由两直线的夹角公式可得：3328tan BOC 841282b b b b b b -∠==≤=+⨯+，当且仅当82bb =，即4b =时取等号，此时(2,4)B ，则(0,4)a b -=-， 所以||4a b -=，故填：4.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及基本不等式求最值的运用，考查转化与化归思想，在使用基本不等式时，注意等号成立的条件.三、解答题18.已知函数2()cos cos f x x x x =+． （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α的值. 【答案】(1)1；(2) 4cos 10α= 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式、辅助角公式化简1()sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再把3x π=代入求值； （2）由13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，43sin ,cos 6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用角的配凑法得：66ππαα=+-，再利用两角差的余弦公式得cos α=. 【详解】解:（1）因为21cos21()cos cos sin 22226x f x x x x x x π+⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭，所以121511sin sin 132362622f ππππ⎛⎫⎛⎫=++=+=+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得43sin ,cos 6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 334cos cos cos cos sin sin 66666610ππππππαααα+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查三角恒等变换中的倍角公式、辅助角公式、两角差的余弦公式等，考查角的配凑法，考查运算求解能力.19.在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等腰三角形，且90ABC ∠=︒，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，平面11ABB A ⊥平面BAC ，点M 是1AA 的中点．（1）求证：1BB CM ⊥；（2）求直线BM 与平面1CB M 所成角的正弦值．【答案】(1) 证明见解析；10【解析】 【分析】（1）证明直线1BB 垂直CM 所在的平面BCM ，从而证明1BB CM ⊥；（2）以A 为原点，BC 为x 轴正方向，AB 为y 轴正方向，垂直平面ABC 向上为z 轴正方向建立平面直角坐标系，设2AB =，线面角为θ，可得面1B MC 的一个法向量(23,3,5)n =-，330,,22BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，代入公式sin |cos ,|n BM θ=<>进行求值. 【详解】（1）证明：在Rt ABC ∆中，B 是直角，即BC AB ⊥，平面ABC ⊥平面11AA B B ， 平面ABC平面11AA B B AB =，BC ⊂平面ABC ，BC ∴⊥平面11AA B B AB =，1BC B B ∴⊥.在菱形11AA B B 中，160A AB ︒∠=，连接BM ，1A B 则1A AB ∆是正三角形，∵点M 是1AA 中点，1AA BM ∴⊥. 又11//AA B B ，1BB BM ∴⊥.又BMBC B =，1BB ∴⊥平面BMC1BB MC ∴⊥.（2）作1BG MB ⊥于G ，连结CG ．由（1）知BC ⊥平面11AA B B ，得到1BC MB ⊥， 又1BG MB ⊥，且BCBG B =，所以1MB ⊥平面BCG .又因为1MB ⊂平面1CMB ，所以1CMB ⊥BCG ， 又平面1CMB 平面BCG CG =,作BH CG ⊥于点H ，则BH ⊥平面1CMB ，则BMH ∠即为所求线面角． 设 2AB BC ==， 由已知得1221302,3,BB BM BG BH ====sinBHBMHBM∠===，则BM与平面1CB M所成角的正弦值为5．【点睛】本题考查空间中线面垂直判定定理、求线面所成的角，考查空间想象能力和运算求解能力.20.已知数列{}n a为等差数列，n S是数列{}n a的前n项和，且55a=，36S a=，数列{}n b满足1122(22)2n n na b a b a b n b+++=-+．（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）令*,nnnac n Nb=∈，证明：122nc c c++<．【答案】(1) n a n=.2nnb=. (2)证明见解析【解析】【分析】（1）利用55a=，36S a=得到关于1,a d的方程，得到na n=；利用临差法得到12nnbb-=，得到{}n b是等比数列，从而有2nnb=；（2）利用借位相减法得到12111121222222n n nn n-+++++-=-，易证得不等式成立. 【详解】（1）设等差数列{}n a的公差为d，11145335a da d a d+=⎧∴⎨+=+⎩，解得111ad=⎧⎨=⎩，∴数列{}n a的通项公式为n a n=.122(22)2n nb b nb n b∴++=-+，当2n≥时，12112(1)(24)2n nb b n b n b--++-=-+11(24)(2)2nn n n b n b n b b --⇒-=-⇒=， 即{}n b 是等比数列，且12b =，2q =，2n n b ∴=. （2）2n n n n a nc b ==，记121212222n nn S c c c =++=++⋯+， 则1212321222n nS -=++++， 1211112212222222n n n n n S S S -+∴=-=++++-=-<．【点睛】本题考查数列通项公式、前n 项和公式等知识的运用，考查临差法、错位相减法的运用，考查运算求解能力.21.已知抛物线24x y =，F 为其焦点，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 为其左右焦点，离心率12e =，过F 作x 轴的平行线交椭圆于,P Q 两点，46||3PQ =.（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于,B C 两点，设l 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴为K ，KED ∆，FOD ∆的面积分别记为1S ，2S ，若121849S S =，且点A 在第一象限．求点A 的坐标．【答案】(1)22143x y+=. (2) ()2,1【解析】【分析】（1）由题设可知26,13P⎛⎫⎪⎝⎭，又12e=，把,a b均用c表示，并把点26,13P⎛⎫⎪⎝⎭代入标圆方程，求得1c=；（2）根据导数的几可意义求得直线BC的方程，根据韦达定理及中点坐标公式求得点E的坐标，求得中垂线方程，即可求得K点坐标，根据三角形面积公式，即可求得点A坐标. 【详解】（1）不妨设P在第一象限，由题可知26,1P⎛⎫⎪⎝⎭，228113a b∴+=，又12e=，22811123c c∴+=，可得1c=，椭圆的方程为22143x y+=.（2）设2,4xA x⎛⎫⎪⎝⎭则切线l的方程为20024x xy x=-代入椭圆方程得：()422300031204xx x x x+-+-=，设()()()112233,,,,,B x yC x y E x y，则()31232223xx xxx+==+，()2200033232443x x xy xx=-=-+，KE 的方程为()()230022000324323x x y x x x x ⎡⎤+=--⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 即()20200243x y x x x =-++， 令0y =得()32083K x x x =+， 在直线l 方程中令0y =得02D x x =， 222004124x x FD +⎛⎫=+=⎪⎝⎭()()()23000022003428383x x x x DK x x +=-=++，002,2FD BC x k k x =-=， 1FD BC k k ∴⋅=-，FD BC ⊥，DEK FOD ∴∆∆∽，()()22200122220941849163x x S DK S FD x +∴===+. 化简得()()2200177240x x+-=，02x ∴=（02x =-舍去）A ∴的坐标为()2,1.()4223031204x x x x x +-+-=，()()462420000431234814404x x x x x ⎛⎫∆=-+-=---≥ ⎪⎝⎭，因为2008x ≤≤+【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理、中点坐标公式、三角形的面积公式，考查逻辑推理和运算求解能力.22.设a 为实常数，函数2(),(),xf x axg x e x R ==∈．（1）当12a e=时，求()()()h x f x g x =+的单调区间； （2）设m N *∈，不等式(2)()f x g x m +≤的解集为A ，不等式()(2)f x g x m +≤的解集为B ，当(]01a ∈，时，是否存在正整数m ，使得A B ⊆或B A ⊆成立．若存在，试找出所有的m ；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ()h x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增．(2)存在，1m =【解析】【分析】（1）当12a e =时得21()2x h x x e e=+，求导后发现()h x '在R 上单调递增，且(1)0h '-=，从而得到原函数的单调区间；（2）令2()(2)()4x F x f x g x ax e =+=+，22()()(2)x G x f x g x ax e =+=+，利用导数和零点存在定理知存在120x x <≤，使得()()12F x F x m ==，再对m 分1m =和1m 两种情况进行讨论.【详解】解:（1）21()2x h x x e e =+，1()x h x x e e'=+， ∵()h x '在R 上单调递增，且(1)0h '-=，∴()h x '在(),1-∞-上负,在()1,-+∞上正， 故()h x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增．（2）设2()(2)()4x F x f x g x ax e =+=+，22()()(2)xG x f x g x ax e =+=+ ()8x F x ax e '=+，()80x F x a e ''=+>，()F x '∴单调递增．又(0)0F '>，0F '⎛ < ⎪ ⎪⎝⎭（也可依据lim ()0x F x '→-∞<）， ∴存在00 x <使得()00F x '=，故()F x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．又∵对于任意*m N ∈存在ln x m >使得()F x m >，又lim ()x F x →-∞→+∞，且有()0(0)1F x F m <=≤，由零点存在定理知存在120x x <≤，使得()()12F x F x m ==，故[]34,B x x =.()()222()()4x x F x G x ax e ax e -=---，令2()xH x ax e =-，由0a >知()H x 在(,0)-∞上单调递减，∴当0x <时，()()(2 )()0F x G x H x H x -=->又∵m 1≥，3x 和1x 均在各自极值点左侧,结合()F x 单调性可知()()()133F x m G x F x ==<，310x x ∴<<当1m =时，240x x ==， A B ∴⊆成立，故1m =符合题意．当0x >时，2222()()33x x x x F x G x ax e e x e e -=+-≤+-， 令1()2ln P t t t t =--，则22(1)()0t P t t '-=>， ∴当1t >时，()(1)0P t P >=． 在上式中令2x t e =，可得当0x >时，有22x xe e x -->成立， 322x x x e e xe ∴-> 令()2t Q t e t =-，则()2tQ t e '=-， ()(ln2)22ln20Q t Q ∴≥=->，2x e ∴>恒成立. 故有32223x x x e e xe x ->>成立，知当0x >时，()()0F x G x -<又∵()F x ，()G x 在[)0,+∞上单调递增，∴当1m 时，()()()244F x m G x F x ==>，240x x ∴>>，而31 0x x <<，∴此时A B ⊆和B A ⊆均不成立.综上可得存在1m =符合题意.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、零点存在定理，特别要注意使用零点存在定理判断零点的存在性，要注意说明端点值的正负.同时，对本题对构造法的考查比较深入，对逻辑推理、运算求解的能力要求较高，属于难题.。
2020届天一大联考海南省高三年级第一次模拟考试数学试题
绝密★启用前2020届天一大联考海南省高三年级第一次模拟考试数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}*02A x N x =∈≤<，则集合A 的子集的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．8答案：A根据已知条件，求出{}1A =，再根据子集的含义得出答案. 解：{}{}*021A x N x =∈≤<=，则集合A 的子集的个数为2.故选：A. 点评：本题考查集合的子集个数，需要学生理解N *和子集的含义，属于基础概念的考查.2．162125i ii --+=+（ ） A ．135i - B ．135i --C ．1i +D ．1i -答案：D根据复数的除法运算，化简即可. 解：()()11216262136211255555i i i i i i i i i --------+=+=+=-+. 故选：D. 点评：本题考查复数的除法运算，属于简单题.3．祖暅原理“幂势既同，则积不容异”中的“幂”指面积，“势”即是高，意思是：若两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积恒等，则这两几何体的体积相等.设夹在两个平行平面之间的几何体的体积分别为12,V V ，它们被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为12,S S ，则“12S S =恒成立”是“12V V =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可． 解：根据祖暅原理，由“12S S =恒成立”可得到“12V V =”，反之不一定. 解：由祖暅原理知，若1S ，2S 总相等，则1V ，2V 相等成立，即充分性成立， 若1V ，2V 相等，则只需要底面积和高相等即可，则1S ，2S 不一定相等，即必要性不成立，即“12S S =恒成立”是“12V V =”的充分不必要条件. 故选：A. 点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合祖暅原理是解决本题的关键．考查学生的推理能力．4．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度后得到曲线1C ，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为（ ） A ．sin y x = B ．cos y x =C ．sin 4y x =D ．cos 4y x =答案：B由三角函数平移和伸缩的性质，以及运用诱导公式化简，便可得出答案. 解：将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度后, 得到曲线1C ，1C 的解析式为sin 2cos 24y x x π⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍, 得到曲线2C 的解析式为cos 2cos 2xy x =⋅=. 故选：B. 点评：本题考查三角函数图像的平移伸缩，结合应用诱导公式化简，属于简单题. 5．不等式()()11222135x x +>+的解集为（ ）A ．()5,14,3⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭UB ．()1,4-C ．()4,+∞D ．()(),14,-∞-+∞U答案：A利用幂函数12y x =的定义域{}0x x >和单调递增，列式，解不等式即可得出解集. 解：原不等式等价于21350x x +>+≥，解得513x -≤<-或4x >. 即解集为：()5,14,3⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭U 故选：A. 点评：本题考查幂函数12y x =的定义域和单调性的应用，以及一元二次不等式的解法，同时考查知识点间的转化运用.6．已知,a b 是不同的直线，,αβ是不同的平面，给出以下四个命题： ①若//a α，//b β，//a b ，则//αβ；②若//a α，//b β，//αβ，则//a b ；③若a α⊥，b β⊥，a b ⊥r r ，则αβ⊥；④若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥r r.其中真命题的序号是（ ） A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．③答案：B根据线面和面面平行垂直的性质分别进行判断即可． 解：解：①若//a α，b β//，//a b ，则αβ⊥或者//αβ，也有可能是相交的；故①错误， ②若//a α，b β//，//αβ，则//a b 或者异面，也有可能相交；故②错误， ③若a α⊥，b β⊥，a b ⊥r r，则αβ⊥；故③正确，④若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥r r，故④正确， 故选：B. 点评：本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线平行和垂直以及面面平行和垂直的性质和判断，结合相应的定理是解决本题的关键． 7．函数421y x x =-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A观察选项中的图象，代入特殊值0x =时，1y =，排除C ，根据换元求二次函数最值和对称轴，即可得出正确选项. 解：当0x =时，1y =，排除C ， 令20x t =≥，2314y t t =-+≥， 当且仅当12t =，即2122x =>时，34y =，排除BD 选项. 故选：A. 点评：本题考查函数图象的识别，一般通过代入特殊值、值域、奇偶性、单调性以及零点个数等来排除.8．如图所示，矩形ABCD 的边AB 靠在墙PQ 上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD 所需要篱笆的（ ）A ．最小长度为8B ．最小长度为2C ．最大长度为8D ．最大长度为答案：B设,BC a =CD b =，得到4ab =，所求的篱笆长度为2a b +，根据基本不等式，得到最小值. 解：设,BC a =CD b =，因为矩形的面积为4，所以4ab =， 所以围成矩形ABCD 所需要的篱笆长度为422a b a a +=+≥= 当且仅当42,a a=即a =. 故选：B. 点评：本题考查基本不等式求和的最小值，属于简单题. 9．若133log 80a =，b =，2log 102c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<答案：C通过对数的运算进行化简以及对数单调性，得出23a <<，根据指数函数单调性得出2b <，利用公式logaMa M =，得出10c =，即可比较出,,abc 的大小.解： 因为133380log log 803a ==，3332780812log log log 3333=<<=， 所以23a <<，122b =<=，2log 102103c ==>.即：b a c >>. 故选：C. 点评：本题考查指数函数和对数函数的单调性，还利用对数函数的运算公式进行数据比较大小，属于知识点的转化应用.10．如图为函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，,,P R S 为图象与x 轴的三个交点，Q 为函数图象在y 轴右侧部分上的第一个最大值点，则()()QP QR QR QS +⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r的值为（ ）A ．2π-B ．4π+C ．22π-D ．24π+答案：D根据题意，由函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可得出顶点和最高最低点坐标，求出相应向量坐标，利用向量的数量积，即可求出答案. 解：设PR 的中点为A ，RS 的中点为B ，则5,112Q π⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,03A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，17,012B π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()()()()224QP QR QR QS QA QB QA QB +⋅+=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.()24,1,144πππ⎛⎫=-⋅-=+ ⎪⎝⎭故选：D. 点评：本题考查向量的数量积，通过利用三角函数的性质以及向量的坐标和数量积公式. 11．已知1a >，若存在[)1,x ∈+∞，使不等式()3ln 1ln ax a x a <+成立，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．()2,+∞答案：C由题意，利用分离参数法求出31xa x >+，求函数31x x +的最小值，即可求得a 的取值范围. 解：因为1a >，所以()()3ln 1ln 3ln 1ln ax a x a x a a x a <+⇔<+.即：()3311xx a x a x <+⇔>+ 因为存在[)1,x ∈+∞使不等式()3ln 1ln ax a x a <+成立， 所以min min 3333112x a x x ⎛⎫⎛⎫>=-=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭. 即：a 的取值范围是3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：C. 点评：本题考查不等式恒成立问题求参数的取值范围，通过分离参数法，将不等式恒成立问题转化成求函数最值问题，属于中等题目.12．已知函数()()22,0,32,0,x bx c x f x f x x ⎧++≤⎪=⎨⎪->⎩()21g x x =-.若()()13f f -=-，()02f =，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦在(],2n -∞()n N ∈上的零点之和为（ ）A ．22n +B ．221n n +-C ．2231n n ++D ．241n n ++答案：B由()()13f f -=-，()02f =，求出分段函数的解析式，得出函数的周期性为2，将函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点转化为()23g x k =-的零点，即可求出零点之和. 解：因为()()13f f -=-，()02f =，所以2,432,bc ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得83b =，2c =，所以()()2282,0,332,0.x x x f x f x x ⎧++≤⎪=⎨⎪->⎩所以()f x 在()2,-+∞上是周期为2的函数，()f x 在R 上的所有零点为()23k k N -∈，所以()y f g x ⎡⎤=⎣⎦在(],2n -∞()n N ∈上的所有零点为()23g x k =-()k N ∈的零点且2x n ≤，所以()2123x k k N -=-∈且2x n ≤，解得1=-x k （021k n ≤≤+且k ∈N ），所以函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦在(],2n -∞()n N ∈上的零点之和为()()22212212n n n n +-+=+-.故选：B. 点评：本题考查复合函数的零点问题，还涉及分段函数的解析式、周期性等，同时考查学生的转化和理解能力.二、填空题 13．函数()()21x f x x e =-的图象在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为______.答案：()454πo求导，求出()01f '=，即可得出切线斜率，根据斜率和倾斜角关系，即可得出答案. 解：由题意得()()()22121xxxf x e x e x e '=+-=+，所以()01f '=，所以函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线的斜率为1，倾斜角为4π. 故答案为：()454πo. 点评：本题考查通过导数求切线的斜率，以及斜率和倾斜角关系式，属于基础题. 14．已知向量()1,a x =，()2,4b x =.若a b ∥，则x 的值为______.由两向量共线的公式：12210x y x y -=，代数即可求出结果. 解：因为a b ∥，所以1420x x ⨯-⋅=，所以x =. 点评：本题考查平面向量的共线公式，考查对公式的识记.15．在四棱锥1A ABCD -中，若2224BC BA AD DC ====，1A A ⊥平面ABCD ，14A A =，则该四棱锥的外接球的体积为______.答案：3通过补形法，将四棱锥1A ABCD -的外接球，转化成正六棱柱111111A B E FC D ABEFCD -的外接球，利用2221222O O BC OB ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求出球的半径，即可求出四棱锥的外接球的体积. 解：由已知可得四边形ABCD 为一个等腰梯形.将四棱锥1A ABCD -补成一个正六棱柱111111A B E FG D ABEFCD -，四棱锥1A ABCD -的外接球即为正六棱柱111111A B E FC D ABEFCD -的外接球为， 设正六棱柱的上下底面的中心分别为12,O O ，则12O O 的中点为外接球的球心O ， 因为4BC =，1214O O A A ==，所以外接球的半径OB ==所以该四棱锥的外接球的体积为3433OB π⨯=.故答案为：3. 点评：本题考查四棱锥的外接球的体积，通过补形法以及运用球的体积公式343V R π=，还考查空间想象能力和计算能力.16．顶角为36o 的等腰三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形看起来标准又美观.如图所示，ABC ∆是黄金三角形，AB AC =，作ABC ∠的平分线交AC 于点D ，易知BCD ∆也是黄金三角形.若1BC =，则AB =______；借助黄金三角形可计算sin 234=o ______.答案：512514-根据题意，得出~ABC BCD ∆∆，求出51AB AC +==，再利用两角和与差公式以及余弦定理求出cos36o ，利用诱导公式，即可求出sin 234o . 解：由题可得36A ABD DBC ∠=∠=∠=o ，72C BDC ∠=∠=o ，所以~ABC BCD ∆∆，得AB BCBC CD=，且1AD BD BC ===. 设AB AC x ==，则1CD x =-，所以111x x =-，可解得51x +=. 因为()sin 234sin 18054sin54cos36=+=-=-oo ooo .在ABC ∆中，根据余弦定理可得222151cos362x x x +-+==o， 所以51sin 2344=-o . 故答案为：512；514-.点评：本题考查三角形相关的角的正弦值和余弦值，其中运用相似三角形和余弦定理，以及两角和与差公式和诱导公式化简.三、解答题17．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()132n n S a -=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设3311log log n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .答案：（1）3nn a =；（2）1n nT n =+ （1）根据()132n n S a -=，再利用递推公式11n n n S S a ++-=，证出{}n a 为等比数列，且可得出首项和公差，即可求出通项公式；（2）利用对数的运算化简，得出()11n b n n =+，再根据裂项相消法求数列{}n b 的前n项和n T . 解：（1）因为()312n n S a =-， 所以()11312n n S a ++=-. 相减得()1132n n n n S S a a ++-=-，所以()1132n n n a a a ++=-，所以13n n a a +=. 又()111312S a a ==-，解得13a =， 所以{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以1133n nn a a -=⋅=，即{}n a 的通项公式为3nn a =.（2）由（1）可得()33111log log 1n n n b a a n n +==+111n n =-+.所以12111111......12231n n T b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n =-=++. 点评：本题考查等比数列的通项公式和利用裂项相消法求数列前n 项和，还结合运用递推关系证明等比数列以及11n n n S S a ++-=，属于常考题型.18．在平面四边形ABCD 中，已知//AD BC ，CBD BDC α∠=∠=，ACD β∠=.（1）若30α=o ，75β=o 5+=，求,AC CD 的长； （2）若90αβ+>o，求证：AB AD <.答案：（1）AC =CD =；（2）见解析（1）根据题意，得出45ACB ∠=o ，ADC 60∠=o ，再利用正弦定理求得AC =，结合已知条件，即可求出,AC CD 的长；（2）利用余弦定理以及三角形的内角和，得出ACB ACD ∠<∠，通过判断三角形中边角关系，即可得出结论. 解：（1）由已知得30CBD BDC ∠=∠=o ，75ACD ∠=o ，所以45ACB ∠=o . 因为AD BC ∥，所以30ADB CBD ∠=∠=o ，45DAC BCA ∠=∠=o . 所以ADC 60∠=o . 在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AC CD ADC CAD=∠∠，所以sin 60sin 45AC CD=o o，所以2AC CD =.5=，所以AC =CD =.（2）在ACB ∆中，由余弦定理得AB 在ACD ∆中，由余弦定理得AD =.因为90αβ+>o，1802ACB αβ∠=--o，所以()()180218020ACB ACD αββαβ∠-∠=---=-+<oo，即ACB ACD ∠<∠.又0180ACB <∠<o o ，0180ACD <∠<o o ，所以cos cos ACB ACD ∠>∠， 所以AB AD <. 点评：本题考查正弦定理和余弦定理的应用，通过正弦定理和余弦定理、以及三角形边和角的有关性质等，同时考查学生化归和转化思想.19．如图（1），在平面五边形EADCB 中，已知四边形ABCD 为正方形，EAB ∆为正三角形.沿着AB 将四边形ABCD 折起得到四棱锥E ABCD -，使得平面ABCD ⊥平面EAB ，设F 在线段AD 上且满足2DF AF =，G 在线段CF 上且满足FG CG =，O 为ECD ∆的重心，如图（2）.（1）求证：//GO 平面ABE ；（2）求直线CF 与平面BCE 所成角的正弦值. 答案：（1）见解析；（2）33926（1）取CD 的中点P ，AB 的中点H ，连接,,PH PE HE ，可知,,P G H 三点共线，,,P O E 三点共线.，因而可得O 为ECD ∆的重心，再利用线面平行的判定，及可证出；（2）根据条件，通过面面垂直的性质，证出EH ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，标点，求CF uuu r 及平面BCE 的法向量为n r，通过利用空间向量法求出线面角. 解：（1）如图，取CD 的中点P ，AB 的中点H ，连接,,PH PE HE . 由已知易得,,P G H 三点共线，,,P O E 三点共线. 因为2DF AF =，FG CG =，所以233DF DA PHPG ===. 又O 为ECD ∆的重心，所以3PE PO =， 所以OG HE P .因为OG ⊄平面ABE ，HE ⊂平面ABE ， 所以OG ∥平面ABE .（2）在EAB ∆中，因为H 为AB 的中点，所以EH AB ⊥.因为平面ABCD ⊥平面EAB ，平面ABCD I 平面EAB AB =，EH ⊂平面EAB ， 所以EH ⊥平面ABCD . 由（1）得，PH AB ⊥.所以,,HE HB HP 两两垂直，如图，分别以射线,,HB HP HE 的方向为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系H xyz -. 设1OB =，因为3PH PG =，3PE PO =，所以3HEOG =， 所以3HE =，23AB =所以)3,23,0C，233,3F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，)3,0,0B，()0,0,3E .所以4323,3CF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()0,23,0BC =u u ur ，()3,0,3BE =-u u u r .设平面BCE 的法向量为(),,n a b c =r ，则0,0,BC n BE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v 所以0,330.b c a =⎧⎪⎨=⎪⎩令1c =，则3a =()3,0,1n =r .设直线CF 与平面BCE 所成的角为α，则()()2222233339sin 264313233n CFn CFα-⨯⋅===⎛⎫+⨯-+- ⎪⎝⎭r u u u r r u u u r .点评：本题主要考查线面平行的判定和通过向量法求线面夹角，还涉及三点共线、重心、面面垂直的性质等知识点相结合，同时考查空间思维能力和想象能力.20．某大型企业生产的某批产品细分为10个等级，为了了解这批产品的等级分布情况，从仓库存放的100000件产品中随机抽取1000件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行打分：1级或2级产品打100分；3级或4级产品打90分；5级、6级、7级或8级产品打70分；其余产品打60分.现在有如下检测统计表：规定：打分不低于90分的为优良级.（1）①试估计该企业库存的100000件产品为优良级的概率； ②请估计该企业库存的100000件产品的平均得分.（2）从该企业库存的100000件产品中随机抽取4件，请估计这4件产品的打分之和为350分的概率.答案：（1）①25，②78；（2）36625（1）根据统计表，分别求出在1000件产品中，分别求出打分为100分、90分、70分、60分对应的概率，则优良级的概率即为100分、90分对应的概率之和；（2）利用平均数公式1122n n x x p x p x p =++L ，即可估计出100000件产品的平均得分；（3）由题可知，4件产品的打分之和为350分，即为21009060350⨯++=或者10029070350+⨯+=，再根据二项分布以及分类加法原则，求出概率.解：解：在1000件产品中，设任意1件产品打分为100分、90分、70分、60分， 分别记为事件,,,A B C D ，由统计表可得，()10901100010P A +==，()1002003100010P B +==，()200100100100110002P C +++==，()70301100010P D +==.（1）①估计该企业库存的100000件产品为优良级的概率为()()()25P A B P A P B +=+=.②估计该企业库存的100000件产品的平均得分为1311100907060781010210⨯+⨯+⨯+⨯=(分). （2）因为3502100906010029070=⨯++=+⨯+，所以从该企业库存的100000件产品随机抽取4件，估计这4件产品的打分之和为350分的概率为22211242431311313610101010102625C C C C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 点评：本题考查通过频率分布表求频率和平均数，其中还运用二项分布以及分类加法原则，属于基础题.21．已知抛物线()2:20C y px p =>上横坐标为2的点到焦点的距离为4.（1）求抛物线C 的方程；（2）若过(),0A m ()4m >的直线与圆()22:24D x y -+=切于B 点，与抛物线C 交于,P Q点，证明：PQ >. 答案：（1）28y x =；（2）见解析（1）通过抛物线的性质，列式求出p ，即可得出抛物线C 的方程；（2）根据题意，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的AB 的距离，联立方程，写出韦达定理，再利用弦长公式求出PQ，再通过新函数的单调性，证明出PQ >.解：（1）由已知可得242p+=，解得4p =. 所以抛物线C 的方程为28y x =.（2）设直线AB 的方程为x ty m =+，因为直线AB 与圆D 相切，2=，即2244m mt -=. 将x ty m =+与28y x =联立消去x 得2880y ty m --=，所以8P Q y y t +=，8P Q y y m =-.因为P Q y y -==所以22P Q m PQ y y -=-=⋅=因为4m >，()()32g m m m =-单调递增，所以()()33244232m m ->⨯-=，所以PQ >点评：本题考查抛物线的标准方程，运用抛物线的定义和性质、直线与圆的位置关系、韦达定理、弦长公式，以及直线与圆相切、点到直线的距离公式，属于综合题. 22．设函数()cos xf x e x =，()22xg x eax =-.（1）当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域； （2）当[)0,x ∈+∞时，不等式()()2xf xg x e'≥恒成立（()f x '是()f x 的导函数），求实数a 的取值范围.答案：（1）41,2e π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）(],2-∞ （1）求导，令()0f x '=，求出极值点0,43x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，利用导数求出函数()f x 的单调性，即可得出0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的最值，即可得出值域；（2）根据题意，构造新函数，将不等式()()2x f x g x e '≥的恒成立问题，转化为在[)0,x ∈+∞内()2sin cos 20xxx x h x e ax e-=+-≥的恒成立问题，求导()h x '，再二次求导，通过单调性求出最值，即可求出参数a 的取值范围.解：（1）由题可得()()cos sin cos sin xxxf x e x e x ex x '=-=-.令()()cos sin 0xf x ex x '=-=，得0,43x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦.当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当,43x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 所以()4max42f x f e ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()min min 0,3f x f fπ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭. 因为()333103222e e ef f ππ⎛⎫=>=>= ⎪⎝⎭，所以()min 1f x =，所以()f x的值域为41,2e π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）由()()2xf xg x e'≥得2cos sin 2x x x x e ax e --≥， 即2sin cos 20xxx x e ax e -+-≥.设()2sin cos 2x x x x h x e ax e -=+-，则()22cos 22x xxh x e a e'=+-. 设()()x h x ϕ='，则()344x xe x x e πϕ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=. 当[)0,x ∈+∞时，344x e ≥，4x π⎛+≤ ⎝，所以()0x ϕ'>. 所以()x ϕ即()h x '在[)0,+∞上单调递增，则()()042h x h a ''≥=-. 若2a ≤，则()()0420h x h a ''≥=-≥，所以()h x 在[)0,+∞上单调递增. 所以()()00h x h ≥=恒成立，符合题意.若2a >，则()0420h a '=-<，必存在正实数0x ，满足：当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，此时()()00h x h <=，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是(],2-∞. 点评：本题考查通过导数研究函数的单调性、最值以及恒成立问题，属于综合题，同时考查学生的综合分析能力和解题计算能力.。
2020届广东省七校联合体高三上学期第一次联考数学(理)试题(解析版)
故选：B.
【点睛】
本题考查了和几何图形相关的概率题，考查了分类讨论思想，情况特别多，在解题时注意不重不漏，计算繁琐，属于较难题.
12．已知数列 的前 项和为 ，若 为函数 的最大值，且满足 ，则数列 的前2019项之积 （）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】首先根据题意得到 ，从而得到 ，根据递推公式 得到 ，从而得到数列是以周期为 的数列，再根据 即可得到答案.
设 ，则 ，故四棱锥P-ABCD的体积为
因为
故当 时，即 时，四棱锥的体积P-ABCD最大.
建立如图所示的空间直角坐标系，
故
设平面BPC的法向量 ，则由 , 得
解得
同理可求出平面DPC的法向量 ，从而平面BPC与平面DPC夹角 的余弦值为
19．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量 (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
3
4
3
3
5
4
乙的数据分析素养弱于甲，故 错误；
乙的数学建模素养弱于数学抽象素养，故 错误；
甲的六大素养整体水平优于乙，故 正确；
甲的六大素养中数学抽象、数学建模、数学运算能力都是一个水平，故 错误；
故选： .
【点睛】
本题考查统计图表的理解和分析，属综合基础题.
4．已知 ，则 （）
A． B． C． D．
【详解】
（1）∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ；
高考数学《立体几何》练习题及答案
立体几何1．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．2B ．1C ．D ．【答案】B2．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】D 【解析】3．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在棱1BB 上，动点F 在线段11A C 上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O AEF -的体积 A ．与,x y 都有关 B ．与,x y 都无关 C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关【答案】B4．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]5．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学] 一个圆锥SC的高和底面直径相等，且这个圆锥SC和圆柱OM的底面半径及体积也都相等，则圆锥SC和圆柱OM的侧面积的比值为A．322B．23C．35D．45【答案】C6．[辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试数学理科试题]【答案】D【解析】7．[广东省三校（广州真光中学、深圳市第二中学、珠海市第二中学）2020届高三上学期第一次联考数学（理）试题] 在如图直二面角ABDC中，△ABD、△CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD的中点E，将△ABE 沿BE 翻折到△A1BE，在△ABE的翻折过程中，下列不可能成立的是A．BC与平面A1BE内某直线平行B．CD∥平面A1BEC．BC与平面A1BE内某直线垂直D．BC⊥A1B【答案】D8．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】D【解析】9．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题] 圆锥的侧面展开图是半径为R 的半圆，则该圆锥的体积为________. 【答案】33πR 10．[辽宁省本溪高级中学2020届高三一模考试数学（理）试卷]【答案】4π11．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P ∥平面1A BM ，则1C P 的最小值是________．【答案】305【解析】 【分析】由面面平行找到点P 在底面ABCD 内的轨迹为线段DN ，再找出点P 的位置，使1C P 取得最小值，即1C P 垂直DN 于点O ，最后利用勾股定理求出最小值. 【详解】取BC 中点N ，连接11,,B D B N DN ，作CO DN ⊥，连接1C O ，因为平面1B DN ∥平面1A BM ，所以动点P 在底面ABCD 内的轨迹为线段DN ，当点P 与点O 重合时，1C P 取得最小值，因为11152225DN CO DC NC CO ⋅=⋅⇒==，所以221min 11130()155C P C O CO CC ==+=+=. 故1C P 的最小值是305. 【点睛】本题考查面面平行及最值问题，求解的关键在于确定点P 的位置，再通过解三角形的知识求最值.12．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为________．21【答案】【解析】【分析】根据三视图还原几何体，设球心为O，根据外接球的性质可知，O与PAB△和正方形ABCD中心的连线分别与两个平面垂直，从而可得到四边形OGEQ 为矩形，求得OQ和PQ后，利用勾股定理可求得外接球半径.【详解】由三视图还原几何体如下图所示：设PAB△的中心为Q，正方形ABCD的中心为G，外接球球心为O，则OQ⊥平面PAB，OG⊥平面ABCD，E为AB中点，∴四边形OGEQ为矩形，112OQ GE BC ∴===，2233PQ PE ==， ∴外接球的半径：22213R GE PQ =+=. 故答案为21. 【点睛】本题考查多面体外接球半径的求解，关键是能够根据球的性质确定球心的位置，从而根据长度关系利用勾股定理求得结果. 13．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】【解析】14．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]【答案】1 315．[江苏省南通市2020届高三第一学期期末考试第一次南通名师模拟试卷数学试题]如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是平行四边形，平面ABP⊥平面BCP，90APB=，M为CP的中点．求证：∠=︒，BP BC（1）AP//平面BDM；（2）BM ACP⊥平面．【解析】（1）设AC 与BD 交于点O ，连接OM ， 因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 中点， 因为M 为CP 的中点，所以AP ∥OM ， 又AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ， 所以AP ∥平面BDM ．（2）平面ABP ⊥平面BCP ，交线为BP ， 因为90APB ∠=︒，故AP BP ⊥，因为AP ⊂平面ABP ，所以AP ⊥平面BCP ， 因为BM ⊂平面BCP ，所以AP ⊥BM ． 因为BP BC =，M 为CP 的中点，所以BM CP ⊥． 因为AP CP P =I ，AP CP ⊂，平面ACP ， 所以BM ⊥平面ACP .16．[河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）] 如图，在四棱锥ABCDV -中，二面角D BC V --为︒60，E 为BC 的中点. （1）证明：VE BC =；（2）已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为︒60，求.VA VFABCDPMABCDPMO【解析】17．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，点E，F分别为BC，PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q．（1）已知平面PAB∩平面PCD=l，求证：AB∥l．（2）求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值． 【解析】 【分析】（1）证明AB ∥平面PCD ，然后利用直线与平面平行的性质定理证明AB ∥l ； （2）以点A 为原点，直线AE 、AD 、AP 分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面PCD 的法向量和直线AQ 的方向向量，然后利用空间向量的数量积求解直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值即可．【详解】（1）证明：∵AB ∥CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ． ∴AB ∥平面PCD ，∵AB ⊂平面PAB ，平面PAB ∩平面PCD =l ， ∴AB ∥l ；（2）∵底面是菱形，E 为BC 的中点，且AB =2， ∴13BE AE AE BC ==⊥,,， ∴AE ⊥AD ，又PA ⊥平面ABCD ，则以点A 为原点，直线AE 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()020,002,30,300D P C E,,,,,,,,，∴()0,1,1F ，()()()()3000,11310022AE AF DC DP ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r,,,,,,,,,,，设平面PCD 的法向量为(),,x y z =n ，有0PD ⋅=u u u r n ，0CD ⋅=u u u rn ，得()133=，，n ，设()1AQ AC AP λλ=+-u u u r u u u r u u u r，则()()321AQ λλλ=-u u u r ,,，再设(3,,)AQ mAE n m n n AF =+=u u u r u u u r u u u r，则()3321m n nλλλ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩，解之得23m n λ===，∴2223333AQ ⎛⎫=⎪⎝⎭u u u r ,,， 设直线AQ 与平面PCD 所成角为α，则3105sin cos ,AQ AQ AQα⋅>=<==u u u r u u u r u u u r n n n ，∴直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值为3105． 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的向量求法，合理构建空间直角坐标系是解决本题的关键，属中档题.18．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 已知三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，D 是BC 的中点，160B BA ∠=︒，1B D AB ⊥.（1）求证：ABC △为直角三角形；（2）求二面角1C AD B --的余弦值． 【解析】（1）取AB 中点O ，连接OD ，1B O ，易知1ABB △为等边三角形，从而得到1B O AB ⊥，结合1B D AB ⊥，可根据线面垂直判定定理得到AB ⊥平面1B OD ，由线面垂直的性质知AB OD ⊥，由平行关系可知AB AC ⊥，从而证得结论；（2）以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据空间向量法可求得平面1ADC 和平面ADB 的法向量的夹角的余弦值，根据所求二面角为钝二面角可得到最终结果. 【详解】（1）取AB 中点O ，连接OD ，1B O ，在1ABB △中，1AB B B =，160B BA ∠=︒，1ABB ∴△是等边三角形， 又O 为AB 中点，1B O AB ∴⊥，又1B D AB ⊥，111B O B D B =I ，11,B O B D ⊂平面1B OD ，AB ∴⊥平面1B OD ，OD ⊂Q 平面1B OD ，AB OD ∴⊥， 又OD AC ∥，AB AC ∴⊥， ∴ABC △为直角三角形.（2）以O 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系：令12AB AC AA ===，则()1,2,0C -，()1,0,0A -，()0,1,0D ，()1,0,0B ，()10,0,3B ，()11,0,3BB ∴=-u u u v ，()0,2,0AC =u u u v ，()1,1,0AD =u u u v，()1111,2,3AC AC CC AC BB =+=+=-u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v，设平面1ADC 的法向量为(),,x y z =m ，10230AD x y AC x y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=++=⎪⎩u u u v u u u u v m m ，令1x =，则1y =-，3z =，()1,1,3∴=-m ， 又平面ADB 的一个法向量为()0,0,1=n ，315cos ,5113∴<>==++m n ， Q 二面角1C AD B --为钝二面角，∴二面角1C AD B --的余弦值为15-.【点睛】本题考查立体几何中垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题，涉及到线面垂直判定定理和性质定理的应用；证明立体几何中线线垂直关系的常用方法是通过证明线面垂直得到线线垂直的关系.19．[江西省宜春市上高二中2020届高三上学期第三次月考数学（理）试题]20．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]21．[辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试数学理科试题]【解析】22．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD,2AB=,1BC=，2PC PD==，E为PB中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求二面角E AC D--的余弦值；（3）在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD？若存在，求PMPD的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）设BD交AC于点F，连接EF. 因为底面ABCD是矩形，所以F为BD中点 . 又因为E为PB中点，所以EF∥PD.因为PD ⊄平面,ACE EF ⊂平面ACE ，所以PD ∥平面ACE.（2）取CD 的中点O ，连接PO ，FO .因为底面ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥.因为PC PD =，O CD 为中点，所以,PO CD OF ⊥∥BC ，所以OF CD ⊥. 又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面,PCD 平面PCD ∩平面ABCD =CD . 所以PO ⊥平面ABCD ，如图，建立空间直角坐标系O xyz -， 则111(1,1,0)(0,1,0)(1,1,0),(0,0,1),(,,)222A C B P E -，,， 设平面ACE 的法向量为(,,)x y z =m ，131(1,2,0),(,,)222AC AE =-=-u u u r u u u r ， 所以20,2,0,131.00222x y x y AC z y x y z AE -+=⎧⎧=⎧⋅=⎪⇒⇒⎨⎨⎨=--++=⋅=⎩⎩⎪⎩u u u v u u u v m m 令1y =，则2,1x z ==-，所以2,11=-（，）m .平面ACD 的法向量为(0,0,1)OP =u u u r ，则6cos ,OP OP OP⋅<>==-⋅u u u r u u u r u u u r m m |m |. 如图可知二面角E AC D --为钝角，所以二面角E AC D --的余弦值为66-. （3）在棱PD 上存在点M ，使AM BD ⊥.设([0,1]),(,,)PM M x y z PD=∈λλ，则,01,0PM PD D =-u u u u r u u u r λ（，）.因为(,,1)(0,1,1)x y z -=--λ，所以(0,,1)M --λλ. (1,1,1),(1,2,0)AM BD =---=--u u u u r u u u r λλ.因为AM BD ⊥，所以0AM BD ⋅=u u u u r u u u r .所以12(1)0λ--=，解得1=[0,1]2∈λ. 所以在棱PD 上存在点M ，使AM BD ⊥，且12PM PD =。
海南省海南中学2020届高三第一次月考数学试题含解析
若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1，m2；平均数分别为s1，s2,则下面正确的是（ )
A.m1＞m2，s1＞s2B。m1＞m2，s1＜s2
【详解】解:因为 所以1＜ ＜2，2+2ln2＞2，0＜ ＜1，
∴c＜a＜b． 故选A．
【点睛】本题考查了有关对数式的大小比较．
8. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( ）
A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
（2)若 ，求 的值域.
【答案】（1） 。（2）
【解析】
【分析】
（1）将点 代入函数中，可求得 ,整理 ,即可求得最小正周期；
（2)先求得 ，进而根据正弦函数的性质求解即可.
【详解】（1）因为函数 的图象经过点 ,
所以 ，
解得 ，
所以
所以 最小正周期为 .
（2）因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时, 取得最大值,最大值是 ;
当 ，即 时， 取得最小值,最小值是
所以 的值域是 。
【点睛】本题考查正弦型函数的周期性，考查正弦型函数的值域,考查运算能力。
18。近年电子商务蓬勃发展，现从某电子商务平台评价系统中随机选出200次成功交易，并对其评价进行统计,统计结果显示：网购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60，其中对商品和快递都满意的交易为80次。
故选B。
【点睛】本题考查分段函数的零点，考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了分析转化问题的能力，属于中档题．
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海南省2020届高三数学第一次联考试题（含解析）考生注意：1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.请将试卷答案填在试卷后面的答题卷上.3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2{|23,},|1=-<<∈=>A x x x N B x x A ，则集合A B =（ ）A. {2}B. {1,0,1}-C. {2,2}-D.{1,0,1,2}-【答案】A 【解析】 【分析】化简集合A ,B ，按交集定义，即可求解.【详解】集合{|23,}{0,1,2}=-<<∈=A x x x N ，{|11}=><-或B x x x ，则{2}A B =.故选:A.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2.命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为（ ）A. 20,(1)(1)∀>+-x x x xB. 20,(1)(1)∀+>-x x x xC. 20,(1)(1)∃>+-x x x x D. 20,(1)(1)∃+>-x x x x【答案】C 【解析】 【分析】根据命题否定形式，即可求解.【详解】命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为“20,(1)(1)∃>+-x x x x ”.【点睛】本题考查全称命题的否定，要注意全称量词和存在量词之间的转换，属于基础题. 3.设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】作出韦恩图，数形结合，即可得出结论. 【详解】如图所示，⊆⇒⋂=∅UA B A B ，同时⋂=∅⇒⊆UA B A B .故选:C.【点睛】本题考查集合关系及充要条件，注意数形结合方法的应用，属于基础题.4.已知函数()f x 的导函数2()33'=-f x x x ，当0x =时，()f x 取极大值1，则函数()f x 的极小值为（ ） A.12B. 1C.32D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据已知设323()2=-+f x x x c ，由(0)1f =，求出解析时，再由()0f x '=，即可求出结论 【详解】当2()330'=-=f x x x 时，0x =或1，又()f x 在0x =处取极大值，在1x =处取极小值.令323()2=-+f x x x c ，(0)1f =，∴1c =， ∴323()12f x x x =-+，则1()(1)2f x f ==极小值.【点睛】本题考查函数的极值，属于基础题.5.已知函数2,0()0x x f x x -⎧⎪=>，若()02f x <，则0x 的取值范围是（ ）A. (,1)-∞-B. (1,0]-C. (1,)-+∞D. (,0)-∞【答案】B 【解析】 【分析】对0x 分类讨论，代入解析式求出0()f x ，解不等式，即可求解.【详解】函数2,0()0xx f x x -⎧⎪=>，由()02f x <得00220xx -⎧<⎪⎨⎪⎩或020x <>⎪⎩解得010-<x . 故选:B.【点睛】本题考查利用分段函数性质解不等式，属于基础题. 6.已知01021:1,log 2p x x ∃>>；:,xq x R e x ∀∈>，则下列说法中正确的是（ ） A. p 真q 真 B. p 假q 假C. p 真q 假D. p 假q 真【答案】D 【解析】 【分析】先判断命题,p q 真假，根据对数函数单调性，可判断命题p 为假，构造函数()xf x e x =-，判断命题q 为真，即可得出结论. 【详解】命题p ：当01021,log 0x x ><，命题p 为假命题；命题q ：设(),()1xxf x e x f x e '=-=-，()0,0,()0,0f x x f x x ''>><<，()f x 递增区间是(0,)+∞，递减区间是(,0)-∞，0x =时，()f x 取得极小值，也是最小值为1，即()10,xf x e x ≥>>恒成立，所以命题p 为真.故选:D.【点睛】本题考查含有量词的命题的真假，作差法构造函数是解题的关键，或利用函数的图像亦可判断命题真假，属于基础题.7.已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x ，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ）A. {|61}-<x xB. {|112}<x xC. {|110}-<x xD. {|56}-<x x【答案】C 【解析】 【分析】根据*A B 定义，求出*A B ，即可求出结论.【详解】因为集合{|15}=-B x x ，所以{|51}=--B x x ， 则*{|61}=-<A B x x ，所以*(*){|110}=-<B A B x x . 故选:C.【点睛】本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题. 8.函数2log y x x =-的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】结合图象只需研究函数零点个数，即可判断选择. 【详解】当4x =时2log 0y x x ==，所以舍去D; 当16x =时2log 0y x x ==，所以舍去BC ； 故选：A【点睛】本题考查利用函数零点判断函数图象，考查基本分析判断能力，属基础题.9.已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x xf xg x a a -+=-+（0a >且1a ≠），若(2)g a =，则函数()22f x x +的单调递增区间为（ ） A. (1,1)- B. (,1)-∞ C. (1,)+∞ D. (1,)-+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性用方程法求出(),()f x g x 的解析式，进而求出a ，再根据复合函数的单调性，即可求出结论.【详解】依题意有()()2xxf xg x a a-+=-+， ①()()2()()--+-=-+=-+x x f x g x a a f x g x ， ②①-②得(),()2-=-=x xf x a ag x ，又因为(2)g a =，所以2,()22-==-x xa f x ，()f x 在R 上单调递增，所以函数()22f x x +的单调递增区间为(1,)-+∞. 故选:D.【点睛】本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.10.如图是二次函数2()f x x bx a=-+的部分图象，则函数()ln()g x a x f x'=+的零点所在的区间是（）A.11,42⎛⎫⎪⎝⎭B.1,12⎛⎫⎪⎝⎭C. (1,2)D. (2,3)【答案】B【解析】【分析】根据二次函数图象的对称轴得出b范围，y轴截距，求出a的范围，判断()g x在区间端点函数值正负，即可求出结论.【详解】∵2()f x x bx a=-+，结合函数的图象可知，二次函数的对称轴为2b x=，0(0)1<=<f a，1122<=<b x，∵()2'=-f x x b，所以()ln()ln2'=+=+-g x a x f x a x x b在(0,)+∞上单调递增. 又因为11ln10,(1)ln12022⎛⎫=+-<=+->⎪⎝⎭g a b g a b，所以函数()g x的零点所在的区间是1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选:B.【点睛】本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题.11.对于任意x∈R，函数()f x满足(2)()f x f x-=-，且当1x时，函数()1f x x=-若111,,223⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a fb fc f，则,,a b c大小关系是（）A. b c a <<B. b a c <<C. c a b <<D.c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得[1,)+∞的单调性，再由(2)()f x f x -=-可得()f x 对称性，可求出()f x 在(,1)-∞单调性，即可求出结论.【详解】对于任意x ∈R ，函数()f x 满足(2)()f x f x -=-， 因为函数()f x 关于点(1,0)对称，当1x ≥时，()f x =所以()f x 在定义域R 上是单调增函数. 因为111232-<-<，所以111232⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f ， b c a <<.故选:A.【点睛】本题考查利用函数性质比较函数值的大小，解题的关键要掌握函数对称性的代数形式，属于中档题..12.已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ） A. 12a >-B. 1016a <<C. 116a >或102a -<< D. 116a >【答案】D 【解析】 【分析】先求函数在(1,4)上不单调的充要条件，即()0f x '=在(1,4)上有解，即可得出结论.【详解】21241()24--'=--=ax ax f x ax a x x，若()f x 在(1,4)上不单调，令2()241=--g x ax ax ，则函数2()241=--g x ax ax对称轴方程为1x=在区间(1,4)上有零点（可以用二分法求得）.当0a=时，显然不成立；当0a≠时，只需(1)210(4)1610ag ag a>⎧⎪=--<⎨⎪=->⎩或(1)210(4)1610ag ag a<⎧⎪=-->⎨⎪=-<⎩，解得116a>或12a<-.故选:D.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件，要注意二次函数零点的求法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13.如图，直线l是曲线()y f x=在3x=处的切线，则(3)f'=________.【答案】12.【解析】【分析】求出切线l的斜率，即可求出结论.【详解】由图可知直线l过点3(3,3),0,2⎛⎫⎪⎝⎭，可求出直线l的斜率3312302-==-k，由导数的几何意义可知，1(3)2f'=.故答案为:12.【点睛】本题考查导数与曲线的切线的几何意义，属于基础题.14.已知集合{|||4,},{1,}=<∈=A x x x Z B m ，若A B A ⋃=，且3m A -∈，则实数m 所有的可能取值构成的集合是________. 【答案】{0,2,3}. 【解析】 【分析】化简集合A ，由B A ⊆，以及3m A -∈，即可求出结论. 【详解】集合{3,2,1,0,1,2,3}A =---，若A B A ⋃=， 则m 的可能取值为3,2,1---，0，2，3， 又因为3m A -∈，所以实数m 所有的可能取值构成的集合是{0,2,3}. 故答案为:{0,2,3}.【点睛】本题考查集合与元素的关系，理解题意是解题的关键，属于基础题. 15.设函数2()36f x x x =-+在区间[,]a b 上的值域是[9,3]-，则b a -的取值范围是__________. 【答案】[2,4]. 【解析】 【分析】2()36f x x x =-+配方求出顶点，作出图像，求出()9f x =-对应的自变量，结合函数图像，即可求解.【详解】22()363(1)3f x x x x =-+=--+，顶点为(1,3) 因为函数的值域是[9,3]-，令2369-+=-x x ，可得1x =-或3x =.又因为函数2()36f x x x =-+图象的对称轴为1x =， 且(1)3f =，所以b a -的取值范围为[2,4]. 故答案为:[2,4].【点睛】本题考查函数值域，考查数形结合思想，属于基础题.16.已知函数32()32=-+f x ax x ，若函数()f x 只有一个零点0x ，且00x >，则实数a 的取值范围_______. 【答案】(,2)-∞. 【解析】 【分析】求出()f x '，对a 分类讨论，求出()f x 单调区间、极值点，即可求出结论.【详解】32()32=-+f x ax x ，∴2()363(2)f x ax x x ax '=-=-.又(0)2f =.①当0a =时，2()32=-+f x x 有两个零点，不合题意;②当0a >时，令()0,0f x x '==或2x a=， 当()0f x '>时，0x <或2x a>， ()f x ∴在(,0)-∞时单调递增，(0)2,,()f x f x =→-∞→-∞，()f x 在(,0)-∞存在一个零点，不合题意；③当0a <时， ()f x 的递减区间为2(,),(0,)a -∞∞，递增区间是2(,0)a，(0)2,,()f x f x =→+∞→-∞，()f x ∴在(0,)+∞存在唯一零点，当2x a=时，()f x 在(,0)-∞上取得最小值， 而32()32=-+f x ax x 在(,0)-∞上不能有零点，故32222()320f a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2a <-故答案为:a <【点睛】本题考查函数的零点及含参系数的取值范围，熟练掌握三次函数图象是解题的关键，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合|⎧⎪==⎨⎪⎩A x y ，集合{|12}=-+B x x a .（1）求集合A ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|12}=<-或A x x x ；（2）(,3](3,)-∞-+∞.【解析】 【分析】 （1）求出函数y =（2）化简集合B ，根据B A ⊆确定集合B 的端点位置，建立a 的不等量关系，即可求解. 【详解】（1）由21101--+x x ，即201x x -+得1x <-或2x ≥， 所以集合{|1A x x =<-或2}x .（2）集合{|12}{|12}=-+=---B x x a x a x a ， 由B A ⊆得21-<-a 或12--a ，解得3a >或3a -，所以实数a 的取值范围为(,3](3,)-∞-+∞.【点睛】本题考查集合的运算，集合间的关系求参数，考查函数的定义域，属于基础题.18.已知:p x R ∀∈，()241+>m x x ；:[2,8]∃∈q x ，2log 10+m x .（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p 与q 的真假性相同，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）1m <-或14m >.【解析】 【分析】（1）即求()241+>m x x 解集为R 时，m 的取值范围，对m 分类讨论，结合根的判别式，即可求解；（2）先求出q 为真时m 的范围，转化为求21[2,8],log x m x∃∈-，再由命题的真假，求出结论.【详解】（1）∵()2,41∀∈+>x R m x x ，∴0m >且21160-<m ， 解得14m >.所以当p 为真命题时，实数m 的取值范围是1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）[2,8]∃∈x ，221log 10[2,8],log +⇒∃∈-m x x m x. 又∵当[2,8]x ∈时，2111,log 3⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦x ，∴1m ≥-. ∵p 与q 的真假性相同.当p 假q 假时，有141m m ⎧⎪⎨⎪<-⎩，解得1m <-；当p 真q 真时，有141m m ⎧>⎪⎨⎪-⎩，解得14m >.∴当p 与q 的真假性相同时，可得1m <-或14m >. 【点睛】本题考查不等式的含有量词的命题的恒成立问题，存在性问题，考查命题的真假判断，意在考查对这些知识的掌握水平和分析推理能力，属于中档题.19.已知函数2()3log ,[1,16]=+∈f x x x ，若函数()22()[()]2=+g x f x f x .（1）求函数()g x 的定义域； （2）求函数()g x 的最值.【答案】（1）[1,4]；（2）函数()g x 的最大值为39，最小值为15. 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义域以及复合函数的定义域求法，即可求解； （2）利用对数运算法则化简()g x ，配方转化为求二次函数的最值. 【详解】（1）函数()22()[()]=+g x f x f x满足2116,116,x x ⎧⎨⎩解得14x ，即函数()22()[()]=+g x f x f x 的定义域为[1,4].（2）因为[1,4]x ∈，所以2log [0,2]∈x .()()222222()[()]23log 62log =+=+++g x f x f x x x()22222log 10log 15log 510x x x =+⨯+=+-，当2log 0x =时，min ()15=g x ，当2log 2x =时，max ()39=g x ， 即函数()g x 的最大值为39，最小值为15.【点睛】本题考查复合函数的定义域及含对数的二次函数最值，熟练掌握二次函数性质是解题的关键，属于基础题.20.已知322()3(1)f x x ax bx a a =+++>的图象在1x =-处的切线方程为0y =.（1）求常数,a b 的值；（2）若方程()f x c =在区间[4,1]-上有两个不同的实根，求实数c 的值.【答案】（1）29a b =⎧⎨=⎩；（2）0c 或4c =.【解析】 【分析】（1）求出()f x '，由(1)0,(1)0f f '-=-=，建立,a b 方程求解，即可求出结论；（2）根据函数的单调区间，极值，做出函数在[4,1]-的图象，即可求解.【详解】（1）2()36'=++f x x ax b ，由题意知2(1)0360(1)0130f a b f a b a ⎧-=-+=⎧⇒⎨⎨-=-+-+=⎩'⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩（舍去）或29a b =⎧⎨=⎩.（2）当2,9a b ==时，2()31293(3)(1)'=++=++f x x x x x故方程()0f x '=有根，根为3x =-或1x =-，x (,3)-∞- 3-(3,1)--1-(1,)-+∞()f x '+-+()f x极大值 极小值由表可见，当1x =-时，()f x 有极小值0. 由上表可知()f x 的减函数区间为(3,1)--， 递增区间为(,3)-∞-，(1,)-+∞.因为(4)0,(3)4,(1)0,(0)4-=-=-==f f f f ，(1)20=f .由数形结合可得0c 或4c =.【点睛】本题考查导数几何意义，应用函数的图象是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.21.已知函数2()2,()2==+x f x g x x ax .（1）当1a =-时，求函数(())(23)=-y f g x x 的值域.（2）设函数(),()(),f x x b h x g x x b⎧=⎨<⎩，若0ab >，且()h x 的最小值为2，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1,2562⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）⎛-∞ ⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）令22,2μμ=-=x x y ，求出u 的范围，再由指数函数的单调性，即可求出结论；（2）对a 分类讨论，分别求出()f x 以及()g x 的最小值或范围，与()h x 建立方程关系，求出b 的值，进而求出a 的取值关系. 【详解】（1）当1a =-时，22(())2(23)-=-xxf g x x ，令22,2μμ=-=x x y ，∵[2,3]x ∈-∴[1,8]μ∈-，而2μ=y 是增函数，∴12562y ， ∴函数的值域是1,2562⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）当0a >时，则0,()>b g x 在(,)a -∞-上单调递减，在(,)a b -上单调递增，所以()g x 的最小值为2()0-=-<g a a ，()f x 在[,)+∞b 上单调递增，最小值为0221>=b ，而()h x 的最小值为2，所以这种情况不可能. 当0a <时，则0,()<b g x 在(,)b -∞上单调递减且没有最小值， ()f x 在[,)+∞b 上单调递增最小值为2b ，所以()h x 的最小值为2=b 12b =-（满足题意），所以111()2422⎛⎫⎛⎫=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g b g a f ，解得1224-a .所以实数a 的取值范围是1,4⎛--∞ ⎝⎦. 【点睛】本题考查复合函数的值域与分段函数的最值，熟练掌握二次函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.22.已知函数2()(1)1(,)xg x e a x bx a b R =----∈，其中e 为自然对数的底数. （1）若函数()()f x g x '=在区间[0,1]上是单调函数，试求a 的取值范围； （2）若函数()g x 在区间[0,1]上恰有3个零点，且(1)0g =，求a 的取值范围. 【答案】（1）3,1,22⎛⎤⎡⎫-∞⋃++∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭e ；（2）(1,2)e -.【解析】 【分析】（1）求出()()g x f x '=，再求()0,[0,1]f x x '≥∈恒成立，以及()0,[0,1]f x x '≤∈恒成立时，a 的取值范围；（2）由已知(1)(0)0g g ==，()g x 在区间(0,1)内恰有一个零点，转化为()()f x g x '=在区间(0,1)内恰有两个零点，由（1）的结论对a 分类讨论，根据()f x 单调性，结合零点存在性定理，即可求出结论.【详解】（1）由题意得()2(1)=---x f x e a x b ，则()2(1)x f x e a '=--，当函数()f x 在区间[0,1]上单调递增时，()2(1)0'=--x f x e a 在区间[0,1]上恒成立.∴()min2(1)1-=xa e （其中[0,1]x ∈），解得32a. 当函数()f x 在区间[0,1]上单调递减时，()2(1)0'=--x f x e a 在区间[0,1]上恒成立，∴()max2(1)-=xa e e （其中[0,1]x ∈），解得12+ea. 综上所述，实数a 的取值范围是3,1,22⎛⎤⎡⎫-∞⋃++∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭e .（2）()2(1)()'=---=xg x e a x b f x .由(0)(1)0g g ==，知()g x 在区间(0,1)内恰有一个零点， 设该零点为0x ，则()g x 在区间()00,x 内不单调. ∴()f x 在区间()00,x 内存在零点1x ， 同理()f x 在区间()0,1x 内存在零点2x . ∴()f x 在区间(0,1)内恰有两个零点. 由（1）易知，当32a时，()f x 在区间(0,1)上单调递增， 故()f x 在区间(0,1)内至多有一个零点，不合题意. 当12+ea时，()f x 在区间[0,1]上单调递减， 故()f x 在区间(0,1)内至多有一个零点，不合题意， ∴3122<<+ea .令()0f x '=，得ln(22)(0,1)x a =-∈， ∴函数()f x 在区间(0,ln(22)]-a 上单凋递减， 在区间(ln(22),1)-a 上单调递增. 记()f x 的两个零点为()1212,x x x x <，∴12(0,ln(22)],(ln(22),1)∈-∈-x a x a ，必有(0)10,(1)220=->=-+->f b f e a b . 由(1)0g =，得+=a b e .∴11()102f a b e ⎛⎫=-+=-<⎪⎝⎭又∵(0)10,(1)20=-+>=->f a e f a ， ∴12-<<e a .e .综上所述，实数a的取值范围为(1,2)【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、零点问题，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.。