高三第一次联考数学(理)试题

湖北省部分重点中学高三第一次联考试题（数学理）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在试题卷和答题卡上。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．非选择题的作答：用钢笔或黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将答题卡上交。

[来源:Z|xx|]选择题一、选择题。

本大题共有10个小题，每小题5分，共50分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{(,)|},{(,)|A x y x a B x y y ====，若AB =φ，则a 的取值范围为（ ）A ．3a <B ．23a <<C ．23a ≤≤D ．23a ≤<2．复数20115(1)i Z i =-的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．如果n的展开式中存在常数项，那么n 可能为 （ ）A ．6B ．7C ．8D ．94．设a 与α分别为空间中的直线与平面，那么下列三个判断中 （ ）（1）过a 必有唯一平面β与平面α垂直 （2）平面α内必存在直线b 与直线a 垂直 （3）若直线a 上有两点到平面α的距离为1，则a//α， 其中正确的个数为 （ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个5．在右边程序框图中，如果输出的结果(400,4000)P∈，那么输入的正整数N应为（）A．6 B．8C．5 D．76．设数列{}na满足：120111,21nnnaa aa++==-，那么1a等于（）A．12-B．2C．13D．-37．设||||||0,a b a b a b b==+=-那么与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°8．设A为圆228x y+=上动点，B（2，0），O为原点，那么OAB∠的最大值为（）A．90°B．60°C．45°D．30°9．设甲：函数2()||f x x mx n=++有四个单调区间，乙：函数2()lg()g x x mx n=++的值域为R，那么甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．以上均不对10．设()f x为定义域为R的奇函数，且(2)()f x f x+=-，那么下列五个判断（）（1）()f x的一个周期为T=4 （2）()f x的图象关于直线x=1对称（3）(2010)0f=（4）(2011)0f=（5）(2012)0 f=其中正确的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题：（25分）11．设1010210x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，那么23z x y =-的最大值为 。

12．如果一个几何体的正视图、左视图、俯视图均为如右图所示的面积 为2的等腰直角三角形，那么该几何体的表面积等于 。

13．F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点，若椭圆上存在点A 使AOF ∆为正三角形，那么椭圆的离心率为 。

14．设123,,e e e 为空间的三个向量，如果1122330e e e λλλ++=成立的充要条件为1230λλλ===，则称123,,e e e 线性无关，否则称它们线性相关。

今已知(1,2,3),(3,1,1),(2,1,)a b c m =-=-=-线性相关，那么实数m 等于 。

15．用0，1，2（全用）可组成的四位偶数共 个。

三、解答题（共75分） 16．（12）设()4cos 2cos(2) 1.3f x x x π=⋅+-（1）求()f x 的最小值及此时x 的取值集合；（2）把()f x 的图象向右平移(0)m m >个单位后所得图象关于y 轴对称，求m 的最小值。

17．（12分） 袋中有大小相同的4个红球与2个白球。

（1）若从袋中依次不放回取出一个球，求第三次取出白球的概率； （2）若从袋中依次不放回取出一个球，求第一次取出红球的条件下第三次仍取出红球的概率。

（3）若从中有放回的依次取出一个球，记6次取球中取出红球的次数为ξ，求(4)P ξ≤与(91).E ξ-18．（本小题满分12分） 已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，，E 为线段PD 上一点。

（1）当E 为PD 的中点时，求证：;BD CE ⊥（2）是否存在E 使二面角E —AC —D 为30°？若存在，求PEED ，若不存在，说明理由。

19．已知数列{}n a 满足：115,231,n n a a a n +=-=++已知存在常数p ，q 使数列{}n a pn q ++为等 比数列。

（13分） （1）求常数p 、q 及{}n a 的通项公式；（2）解方程0.n a =（3）求12||||||.n a a a +++[来源:学&科&网]20．设直线:0l x y m -+=与抛物线2:4C y x =交于不同两点A 、B ，F 为抛物线的焦点。

（13分）（1）求ABF∆的重心G的轨迹方程；（2）如果2,m ABF=-∆求的外接圆的方程。

21．设函数2()().nf x l x a x=+-（13分）（1）若(]0,0,a m=求f(x)在(0)m>上的最大值().g m（2）若()f x在区间[1，2]上为减函数，求a的取值范围。

（3）若直线y x=为函数()f x的图象的一条切线，求a的值。

[来源:学科网ZXXK]参考答案一、选择题：1、D2、B3、B4、C5、A6、A7、D8、C9、A 10、C二、填空题：11、2 12、413114、0 15、17三、解答题：16、解：①()14cos 2cos 2sin 212f x x x x ⎛=⋅⋅-- ⎝⎭22cos 22cos 21x x x =-⋅-cos 442cos 43x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ （4分） ∴()f x 的最小值为-2，此时423x k πππ+=+，k ∈Z ， （6分）∴x 的取值集合为：,26k x x k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ （7分） ②()f x 图象向右平移m 个单位后所得图象对应的解析式为()2cos 42cos 4433y x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ （9分） 其为偶函数，那么图象关于直线0x =对称，故：43m k ππ-+=，k ∈Z∴124k m ππ=-，所以正数m 的最小值为12π（12分） 17、解：①13p =（3分）②35p =（3分）③记取一次球取出红球为事件A ，则()4263p A ==，分析知ξ服从二项分布，即ξ～B （6，23）∴729473)32(31.)32(1)4(1)4(6556=--=>-=≤C p p ξξ（3分）()29191961353E E ξξ-=-=⋅⋅-=（3分）18、①证明：不妨设2AB =，则2PA PD ==，取AD 的中点F ，连EF ，CF 。

易知BCD∆∽CDF ∆，∴DBC DCF ∠=∠∴90DBC BCF DCF BCF ∠+∠=∠+∠=︒∴BD ⊥CF又EF ∥PA ，PA ⊥平面ABCD ∴EF ⊥平面ABCD故由三垂线定理知BD ⊥CE （5分） ②作EG ⊥AD 于G ，过G 作GH ⊥A C 于H ，连EH ，则可证∠EHG 为二面角E-AC-D 的平面角。

设EG x =，则DG x =，∴2AG x =-，又HG AGCD AC =，∴26=，∴32xHG -=， ∴33tan 23EG x EHG GH x ∠===-，∴12x =，所以存在点E 满足条件，且3PEED =（7分）19、解：①由条件令，()()q pn a k q n p a n n ++=++++11，则：()1n n a ka kp p n kq q p+=+-+--故：231k kp p kq q p =⎧⎪-=⎨⎪--=⎩⇒234k p q =⎧⎪=⎨⎪=⎩又12a p q ++=∴13422n n a n -++=⋅，∴234n n a n =--（5分）②计算知15a =-，26a =-，35a =-，40a =，513a =，故猜测n ≥5，na ＞0即2n＞34n +，下证。

（1）当5n =成立（2）假设n k =（k ≥5）成立，即2k＞34k +那么12k +＞()23468k k ⋅+=+＞()37314k k +=++[来源:]故1n k =+成立。

由（1）、（2）可知命题成立。

故n a =的解为4n =。

（4分）③由②可得，n ≤3时，12na a a +++()12n a a a =-+++()2213114222312422nn n n n n +++⎡⎤=-+++-+++-=-⎣⎦n ＞3时，12na a a +++[来源:学科网ZXXK]()12345na a a a a a =-++++++ ()121232n a a a a a a =+++-++()22113114311602216222n n n n n n +++++-=--⋅-=-（4分）20、解：①设()11y x A ，()22,y x B ，()0,1F ，重心()y x G ,，0440422=+-⇒⎩⎨⎧=+-=m y y m y x xy∴△＞0⇒m ＜1且1-≠m （因为A 、B 、F 不共线）故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-=+-+=++=34332531231212121y y y m m y y x x x∴重心G 的轨迹方程为⎪⎭⎫⎝⎛≠>=37134x x y 且 （6分）②2-=m ，则0842=--y y ，设AB 中点为()00,y x ∴22210=+=y y y ∴4200=-=-=m m y x那么AB 的中垂线方程为06=-+y x 令△ABF 外接圆圆心为()a a C -6,又6411212=-+=y y k AB ，C 到AB 的距离为282-=a d ∴()()()22226128262a a a CF CA -+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⇒=219=⇒a ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-27,219C ∴216927217222=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=CF ∴所求的圆的方程为21692721922=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x （7分） 21、解：①()2x x l x f n -=，0>x令()021212>-=-='x x x x x f ∴220<<x∴()x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,0为增函数，同理可得()x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,22为减函数故220<<m 时，()x f 最大值为()()2m m l m f m g n -==当22≥m 时，()x f 最大值为()212222-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n l f m g综上：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-=22,2122220,2m l m m m l m g n n （4分）②∵()x f 在[1，2]上为减函数∴[]2,1∈x 有0>+a x 恒成立⇒1->a且[]()021,2,1≤-+='∈x a x x f x 恒成立x x a -≥⇒21，而x x y -=21在[1，2为减函数]， ∴21-≥a ，又1->a 故21-≥a 为所求 （4分） ③设切点为()00,x x P则()000002111211x a x x a x x f +=+⇒=-+⇒='且()()020000x x a x l x x f n =-+⇒=∴0200211x x x l n=-+ 即：()0210200=+++x l x x n 再令()()x l x x x h n 212+++=，21->x第5页 共8页 ∴()021221>+++='x x x h ∴()x h 在为增函数，又()00=h ∴()0000=⇔=x x h 则1=a 为所求（5分）。