四川省成都市高中数学第一章计数原理1.3.3“杨辉三角”与二项式系数的性质导学提纲学案新人教A版选修2_3
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质_1
答案：C
12/13/2021
4．(1－x)6 的展开式中 x 的奇数次项的二项式系数的和为________． 解析：令 x＝1，则 C06－C16＋C26－C36＋C46－C56＋C66＝0，且(C06＋C26＋C46＋C66)＋(C16＋ C36＋C56)＝26， ∴C16＋C36＋C56＝25＝32. 答案：32
[规范与警示] (1)解答本题易失分的三个关键步骤．
12/13/2021
(2)解答该问题 ①注重对性质的理解 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好， 如本例中利用性质可确定出展开式中第 6 项的二项式系数最大． ②注意对概念的区分 要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中 间项，而系数最大的不一定是中间项．如本例中求二项式系数的最大的项与系数的绝 对值最大的项的区别.
(2)设第 r＋1 项的系数的绝对值最大，
因为 Tr＋1＝Cr10·(2x)10－r·－1xr＝(－1)rCr10·210－r·x10－2r，
所以CCr1r100··221100－ －rr≥ ≥CC1r1r＋－00 11··221110－－rr，－1，
8分
得C2Cr10r1≥0≥2CCr1r1－ ＋00 11，， 即121r－＋r1≥≥2r1，0－r， 解得83≤r≤131. 因为 r∈N，所以 r＝3，10 分 故系数的绝对值最大的项是第 4 项， T4＝－C310·27·x4＝－15 360x4.12 分
… 解析：由 1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以 an＝2n－1. 答案：2n－1
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答案：C
12/13/2021
2．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则 a8 等于( )
四川省成都市高中数学第一章计数原理1.3.3“杨辉三角”与二项式系数的性质导学提纲学案新人教A版选
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1 / 312 / 321.3.3 “杨辉三角”与二项式系数的性质导学提纲班级：___________ 姓名：______________ 小组：_______________【学习目标】1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用．【重点难点】重点：会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.难点：理解二项式系数的性质并灵活运用．一、基础感知知识点一 杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数________；(2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的________，即C rn ＋1＝__________________.知识点二 二项式系数的性质对称性 在(a ＋b )n 展开式中，与首末两端“__________”的两个二项式系数相等，即C mn ＝_____________________________增减性 与最大值 增减性：当k ＜n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当k ＞n ＋12时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n 为偶数时，中间一项的二项式系数C n 2n ，最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数C n －12n ，C n ＋12n 相等，且同时取得最大值各二项式系数 的和①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝________ ②C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝________ 二、深入学习例 1 如图在“杨辉三角”中，斜线AB 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n 项和为S n ，求S 19的值．跟踪训练1 (1)求(3x ＋1)4的展开式；3 / 33。
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质讲义新人教A版
1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质知识点“杨辉三角”与二项式系数的性质(a ＋b )n的展开式的二项式系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数□01相等． (2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的□02和，即C r n ＋1＝□03C r －1n＋C rn .2．二项式系数的性质(1)要区分二项式系数与二项式项的系数的区别，二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n是组合数，而二项式项的系数是指该项除字母以外的常数部分，与二项式系数有关，但不一定等于二项式系数．(2)在求二项式系数时常用赋值法．如－1,0,1等，赋值法体现了函数思想f(x)＝(ax＋b)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a n.在解题时要注意审题，恰当赋值．(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )(2)二项式展开式的二项式系数和为C1n＋C2n＋…＋C n n.( )(3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( )答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是第________项． (2)若(a ＋b )n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n ＝________.(3)已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________. 答案 (1)6和7 (2)8 (3)1解析 (1)由n ＝11为奇数，则展开式中第11＋12项和第11＋12＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．(2)由二项式系数的性质可知，第5项为二项展开式的中间项，即二项展开式有9项，故n ＝8.(3)展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5·a5－r·x r ，令r ＝2，则a 2＝(－1)2C 25·a 3＝80，所以a＝2.则(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 5＝1.探究1 杨辉三角的有关问题例 1 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S n ，求S 19.[解] 由题图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第17项是C 210，第18项是C 110，第19项是C 211.∴S 19＝(C 12＋C 22)＋(C 13＋C 23)＋(C 14＋C 24)＋…＋(C 110＋C 210)＋C 211 ＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 211) ＝(2＋10)×92＋C 312＝274. 拓展提升解决与杨辉三角有关的问题的一般思路[跟踪训练1] (1)如图数表满足：①第n 行首尾两数均为n ；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行的第2个数是________；(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________．答案 (1)n 2－n ＋22(2)2n－1 32解析 (1)由图中数字规律可知，第n 行的第2个数是[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋1＝n (n －1)2＋1.(2)观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n 次全行的数都为1的是第2n－1行；∵n ＝6⇒26－1＝63，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1.探究2 二项展开式的系数和问题 例2 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)各项的二项式系数的和；(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和； (3)各项系数之和；(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和． [解] 在(2x －3y )10的展开式中：(1)各项的二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210＝1024. (2)奇数项的二项式系数的和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29＝512， 偶数项的二项式系数的和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29＝512.(3)设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10(*)，各项系数之和即为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求解．令(*)中x ＝y ＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(4)奇数项系数的和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10，偶数项系数的和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9. 由(3)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1.①令(*)中x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510.②①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510，故奇数项系数的和为12(1＋510)；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510,故偶数项系数的和为12(1－510)．拓展提升求展开式的各项系数之和常用赋值法．“赋值法”是求二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x ＝－1则可得各项系数绝对值之和．[跟踪训练2] 设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100·x 100，求下列各式的值． (1)a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2； (5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|.解 (1)令x ＝0，则展开式为a 0＝2100. (2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，(*) 所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100.(3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100.与(2)中(*)式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)]＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100) ＝[(2－3)(2＋3)]100＝1100＝1. (5)因为T r ＋1＝(－1)r C r 1002100－r·(3)r x r，所以a 2k －1<0(k ∈N *)．所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 100| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100 ＝(2＋3)100.探究3 求二项展开式中的最大项问题 例3 已知在的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． [解] 令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n. 又展开式中二项式系数和为2n. ∴22n2n ＝2n＝32，n ＝5. (1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，拓展提升1.二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n中的n 进行讨论． (1)当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大． (2)当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 2．展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第r ＋1 项最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1，A r ≥A r ＋1，解得r ，即得出系数的最大项．[跟踪训练3] 已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n .(1)若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解 (1)由题意，得C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ， ∴n 2－21n ＋98＝0，∴n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，T 4的系数为C 37×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×23＝352，T 5的系数为C 47×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×24＝70.故展开式中二项式系数最大项的系数分别为352，70.当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8，∵T 8的系数为C 714×⎝ ⎛⎭⎪⎫127×27＝3432.故展开式中二项式系数最大项的系数为3432. (2)由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79， 解得n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设展开式中第r ＋1项的系数最大，由于⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·(1＋4x )12，则⎩⎪⎨⎪⎧C r12·4r≥C r －112·4r －1，C r 12·4r ≥C r ＋112·4r ＋1，∴9.4≤r ≤10.4.又r ∈{0,1,2，…，12}，∴r ＝10，∴系数最大的项为T 11，且T 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·C 1012·(4x )10＝16896x 10.1．(2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 B 解析∴展开式中x 4项的系数为C 88＝1.又∵(2－x )8展开式中各项系数和为(2－1)8＝1， ∴展开式中不含x 4项的系数的和为0.2．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x－3x n (n ∈N *)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有系数之和为( )A ．32B ．－32C ．0D ．1 答案 D解析 由题意得2n ＝32，得n ＝5.令x ＝1，得展开式所有项的系数之和为(2－1)5＝1.故选D.3．若(1－2x )2019＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x2019(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 201922019的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．－1 答案 D 解析 (1－2x )2019＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x2019，令x ＝12，则⎝⎛⎭⎪⎫1－2×122019＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 201922019＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 201922019＝－1.4．如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第n (n ≥3)行第3个数字是________．答案2n (n －1)(n －2)(n ∈N *，n ≥3)解析 杨辉三角形中的每一个数都换成分数，就得到一个如题图所示的分数三角形，即为莱布尼茨三角形．∵杨辉三角形中第n (n ≥3)行第3个数字是n C 2n －1，则“莱布尼茨调和三角形”第n (n ≥3)行第3个数字是1n C 2n －1＝2n (n －1)(n －2). 5．在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和．解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9. (1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29. (2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝1，y ＝1，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1， 令x ＝1，y ＝－1，可得：a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，将两式相加除以2可得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和．(4)解法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59.解法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9展开式中各项系数和，令x ＝1，y ＝1得：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59.。
高中数学第一章计数原理1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质说课稿新人教版
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质一、教材背景分析1．教材的地位和作用《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是全日制普通高级中学教科书人教A版选修2-3第1章第3节第2课时. 教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感.本节内容以前面学习的二项式定理为基础，由于二项式系数组成的数列就是一个离散函数，引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法，可以画出它的图象，利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想方法进行思考，这对发现规律，形成证明思路等都有好处. 这一过程不仅有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识.研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位.2．学情分析知识结构：学生已学习两个计数原理和二项式定理，再让学生课前探究“杨辉三角”包含的规律，结合“杨辉三角”，并从函数的角度研究二项式系数的性质.心理特征：高二的学生已经具备了一定的分析、探究问题的能力，恰时恰点的问题引导就能建立知识之间的相互联系，解决相关问题.3．教学重点与难点重点：体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质.难点：结合函数图象，理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质.关键：函数思想的渗透.二、教学目标1．通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感.2．通过学生从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.3．通过体验“发现规律、寻找联系、探究证明、性质运用”的学习过程，使学生掌握二项式系数的一些性质，体会应用数形结合、特殊到一般进行归纳、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程.4．通过恰时恰点的问题引入、引申，采用学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索、研究我国古代数学的热情.三、教法选择和学法指导教法：问题引导、合作探究．学法：从课前探究和课上展示中感知规律，结合“杨辉三角”和函数图象性质领悟性质，在探究证明性质中理解知识，螺旋上升地学习核心数学知识和渗透重要数学思想.四、教学过程1. 展示成果话杨辉课前开展学习活动：了解“杨辉三角”的历史背景、地位和作用，探究与发现“杨辉三角”包含的规律.（1）学生从不同的角度畅谈“杨辉三角”，对它有何了解及认识.（2）各小组展示探究与发现的成果——“杨辉三角”包含的一些规律.【设计意图】引导学生开展课外学习，了解“杨辉三角”，探究与发现“杨辉三角”包含的规律，弘扬我国古代数学文化；展示探究与发现的杨辉三角的规律，为学习二项式系数的性质埋下伏笔.2. 感知规律悟性质通过课外学习，同学们观察发现了杨辉三角的一些规律，并且知道杨辉三角的第行就是展开式的二项式系数，展开式的二项式系数具有杨辉三角同行中的规律——对称性和增减性与最大值.【设计意图】寻找二项式系数与杨辉三角的关系，从而让学生理解二项式系数具有杨辉三角同行中的规律.3. 联系旧知探新知【问题提出】怎样证明展开式的二项式系数具有对称性和增减性与最大值呢？【问题探究】探究：（1）展开式的二项式系数，可以看成是以n为自变量的函数吗？它的定义域是什么？（2）画出函数图象，并观察分析他们是否具有对称性和增减性与最大值.（3）结合杨辉三角和所画函数图象说明或证明二项式系数的性质.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．．增减性与最大值：k n C 相对于1-k n C 的增减情况由n k n 1+-决定．由2111+<⇔>+-n k n k n 可知，当 21+<n k 时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 的偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项21-n n C ，21+n nC 相等，且同时取得最大值． 【设计意图】教师引导学生用函数思想探究二项式系数的性质，学生画图并观察分析图象性质；运用特殊到一般、数形结合的数学思想归纳二项式系数的性质，升华认识；通过分组讨论、自主探究、合作交流，说明或证明二项式系数的对称性和增减性与最大值，提高学生合作意识.4. 合作交流议方法【继续探究】问题： 展开式的各二项式系数的和是多少？探究：（1）计算()nb a +展开式的二项式系数的和（ n=1，2，3，4，5，6）. （2）猜想()nb a +展开式的二项式系数的和. （3）怎样证明你猜想的结论成立？【设计意图】通过学生归纳猜想各二项式系数的和，引导学生验证猜想结论是否正确；同时为了突破利用赋值法证明二项式系数性质的难点，引导学生从模型化的角度出发，多角度的分析问题、探究问题、解决问题，将学生思维推向高潮，既加深学生对前后知识的内在联系的理解，又从深度和广度上让学生感受数学知识的串联和呼应.5. 悬念小结再求索【课堂小结】 通过本节课的学习，你有什么收获和体会（从数学和生活的角度）？还有什么疑问吗？【课堂延伸】今天同学们展示了一些杨辉三角的规律，但是作为我国古代数学重要成就之一的杨辉三角还有更多有趣的规律，相信大家一定有极高的热情和严谨的态度去探究与发现杨辉三角的奥妙之处.【课外活动】（研究性学习）活动主题：杨辉三角中的奥妙.活动目标：探究与发现杨辉三角中的更多奥妙.活动方案步骤：查阅资料，收集信息；独立思考，发现规律，猜想证明；合作探究，小组讨论，形成初步结论；与指导老师及其他小组成员交流展示；撰写研究性学习报告.【设计意图】通过课堂的整理、总结与反思，使学生更好的掌握主干知识，体会探究过程中渗透的数学思想方法，再次感受我国古代数学成就，激励自己努力学习.“杨辉三角”还有很多有趣的规律，让学生带着问题走进课堂，带着疑问离开教室，培养学生自主研修的习惯，提高学生探究问题、解决问题的能力.设计研究性学习活动，诱发学生创造性的想象和推理.同时教会学生如何开展研究性学习.。
2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质(1)学案新人教A版选修2-3.doc
2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质（1）学案新人教A 版选修2-3【学习目标】1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力；2．理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用；3．理解和初步掌握赋值法. 【能力目标】能识别和计算两个系数,并会利用不等式求最大值. 【重点难点】体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质，结合函数图象，理解增减性与最大值时，根据n 的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质 【学法指导】二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段. 【学习过程】 一.【课前预习】 阅读教材P32-P35, 二．【课堂学习与研讨】 二项定理:一般地,对于*n N ∈有()n a b +=01122211n n n r n r rn n n nn n n n n n C a C a b C a b C a b C ab C b -----+++++++二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个?下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n 为特殊值时，二项式系数有什么特点? 杨辉三角1．“杨辉三角”的来历及规律()n a b +展开式中的二项式系数，如下表所示：1()a b + 1 1 0111C C 2()a b + 1 2 1 012222C C C 3()a b + 1 3 3 1 01233333C C C C 4()a b + 1 4 6 4 1 0123444444C C C C C 5()a b + 1 5 10 10 5 1 012345555555C C C C C C 6()a b + 1 6 15 20 15 6 1 01234566666666C C C C C C C………… …… ……()n a b + (012)1rn n n n nnn n C C C C C C -二项式系数的性质:()n a b +展开式的二项式系数依次是0121,,,,,,,rn nn n n n n nC C C C C C - 从函数角度看，rn C 可看成是以r 为自变量的函数()f r ,其定义域是：{0,1,2,,}n当6n =时，其图象是右图中的7个孤立点（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等；这一性质可直接由公式m n m n nC C -=得到，图象的对称轴2nr = （2）增减性与最大值 由于：1(1)(2)(1)1(1)!kk n n n n n n k n k C C k k k----+-+==⋅-， 所以kn C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k-+决定。
高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质 新人教A版
[变式训练] 在由二项式系数所构成的杨辉三角形 中，第________行中从左至右第 14 与第 15 个数的比为 2∶3.
解析：由题可设第 n 行的第 14 个与第 15 个数的比为
2∶3，即二项展开式的第 14 项和第 15 项的系数比为 C1n3∶
n！
n！
C
14 n
＝Leabharlann 2∶3，即13！（n－13）！
2．关于(a－b)10 的说法，错误的是( ) A．展开式中的二项式系数之和为 1 024 B．展开式中第 6 项的二项式系数最大 C．展开式中第 5 项或第 7 项的二项式系数最大 D．展开式中第 6 项的系数最小
解析：根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系 数的性质知：二项式系数之和为 2n，故 A 正确；当 n 为 偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故 B 正确，C 错误；D 也是正确的，因为展开式中第 6 项的系数是负数， 所以是系数中最小的．
（2＋9）×8 10×9×8
2
＋ 3×2×1 ＝164.
答案：C
归纳升华 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：先通过观 察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相 互联系，然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来， 使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、 隔行看、从多角度观察．
A．144 B．146
C．164 D．461
解析：由题图知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C12，
第 3 项是 C23，第 4 项是 C13……第 15 项是 C29，第 16 项是 C19.
所以 S16＝C12＋C22＋C13＋C23＋…＋C19＋C29＝(C12＋C13
＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29)＝(2＋3＋…＋9)＋C310＝
高中数学第一章计数原理1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质课件1新人教A版选修2_3
3 4
4 7 7
3
4
解析 由图中数字规律可知，第n行的第2个数是
nn－1 [1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝ 2 ＋1.
5 11
…
14
…
11
5
…
解析答案
(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成
0，得到如图所示的三角数表.从上往下数，
第1次全行的数都为1的是第1行，第2次
全行的数都为1的是第3行，…，第n次全
已知
1 2 n x － x
解
1 8 2 n 7 2 －2 ＝128，n＝8，x － x 的通项
1 r r 2 8－r 16－3r Tr＋1＝C8(x ) －x ＝(－1)rCr x . 8
当r＝4时，展开式中的系数最大，
2 2 1
内容
m n－m Cn ＝Cn ，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个
与最大值 如果n为奇数，那么其展开式中间两项 Tn 1 与 Tn 1 的二项式
2 1
二项展开式中各二项式系数的和等于
1 2 ，即 C0 ＋ C ＋ C n n n＋…
二项式
＝
.
项的二项式系数之和，都 .
系数的和 奇数项的二项式系数之和等于
(3)所有奇数项系数之和.
解析答案
类型三
二项式系数性质的应用
例3
已知f(x)＝(
＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和
大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项.
反思与感悟
解析答案
展开式中的二项式系数的和比(3a＋2b)7展开式的 1 2 n 展开式中的系数最大的项和系数最小的项. 二项式系数的和大128，求 x － x 跟踪训练3
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
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课堂互动探究
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探究2 二项展开式的系数和问题 例 2 在(2x－3y)10 的展开式中，求： (1)各项的二项式系数的和； (2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和； (3)各项系数之和； (4)奇数项系数的和与偶数项系数的和．
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答案
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答案
拓展提升 1.二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n 中的 n 进行讨 论． (1)当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大． (2)当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
[解] 在(2x－3y)10 的展开式中： (1)各项的二项式系数的和为 C010＋C110＋…＋C1100＝210＝1024. (2)奇数项的二项式系数的和为 C100＋C210＋…＋C1100＝29＝512， 偶数项的二项式系数的和为 C110＋C310＋…＋C910＝29＝512. (3)设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10(*)，各项系数之和即为 a0＋a1＋a2＋…＋a10，由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求解．令(*)中 x ＝y＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1.
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(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．
2 n * 跟踪训练 3 已知( x－ 2) (n∈N )的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数的比是 10∶1.
x
3 (1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含 x 的项；(3)求展开式中系数的绝对值最大的项． 2
2
1.3.3 “杨辉三角”与二项式系数的性质导学提纲
班级：___________ 姓名：______________ 小组：_______________ 【学习目标】 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数. 2.理解二项式系数的性质并灵活运用． 【重点难点】 重点：会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数. 难点：理解二项式系数的性质并灵活运用． 一、基础感知 知识点一 杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数________； (2)在相邻的两行中，除 1 外的每一个数都等于它“肩上”两个数的________， 即 Cn＋1＝__________________.
r
知识点二 二项式系数的性质 对称性 在(a＋b) 展开式中，与首末两端“__________”的两个二项式系数相 等，即 Cn＝_____________________________ 增减性：当 k＜ 增减性 与最 大值
m n
n＋1
2
时，二项式系数是逐渐增大的；当 k＞
n＋1
2
时，二
项式系数是逐渐减小的．最大值：当 n 为偶数时，中间一项的二项式
5 5 4 3 2
1 3 1
6 4 1 10 5 1
10
„ „
跟踪训练 2 已知(1－3x) ＝a0＋a1x＋„＋a7x ＋a8x .求： (1)a0＋a1＋„＋a8；(2)a0＋a2＋a4＋a6＋a8；(3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋„＋|a8|.
8
7
8
例 3 已知 f(x)＝( 3 x2 ＋3x ) 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992.
n
如图在“杨辉三角”中，斜线 AB 的上方，从 1 开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：
1,2,3,3,6,4,10,5，„，记其前 n 项和为 Sn，求 S19 的值．
跟踪训练 1 (1)求(3 x＋
5 4
1
1
x
) 的展开式；
3 2
4
(2)化简(x－1) ＋5(x－1) ＋10(x－1) ＋10(x－1) ＋5(x－1)．
跟踪训练 1 如图， 在由二项式系数所构成的杨辉三角中， 第________行中从左到右第 14 与第 15 个数 的比为 2∶3. 第0行1 第1行1 1 第2行1 2 第3行1 3 第4行1 4 第5行1 5 „ 题型二 二项展开式的系数和问题 例 2 已知(2x－1) ＝a0x ＋a1x ＋a2x ＋a3x ＋a4x＋a5. (1)求 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5；(2)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|；(3)求 a1＋a3＋a5.
n n－1 n＋1 系数 C n，最大；当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数 C C n， 2 2 2
n
相等，且同时取得最大值
0 1 2
各二项 式系数 的和 二、深入学习 例 1
①Cn＋Cn＋Cn＋„＋Cn＝_______ ②Cn＋Cn＋Cn＋„＝Cn＋Cn＋Cn＋„＝________
0 2 4 1 3 5