第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛试题及答案--20130323
【数学】第十八届华杯赛初赛试卷_小学高年级组解析
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题C （小学高年级组）（时间: 2013 年3月23日）一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 如果mn =+⨯⨯20122014201420132013（其中m 与n 为互质的自然数）, 那么m +n 的值是（ ）. （A ）1243 （B ）1343 （C ）4025 （D ）4029解答：B 。
在考试中，选择恰当的方法很重要。
这道题，看到这道题后，我第一个想法就是归纳。
2222315=+、2231422=+、2244537=+、2255648=+、写完前三个，发现第二个算式很不和谐，又写出了第四个，仔细一想，原来第二个可以写成2233426=+，规律找到了，分子是原式中分子部分的一个因数，分母比分子大3！答案一定是20132016，很简单，第一题是很容易的年份题，等等，年份2013这个数是我们非常熟悉的，2013=3×11×61，是3的倍数，那么加3不还是3的倍数么？可以约分，所以最后的答案是20136712016672=所以选B ！ 如果本题需要详细的过程，那么用规纳的方法是不合适的，因为这是不完全归纳法，你这么知道前几个适用的情况下，最后的2013也适用呢，所以最正确的方法是这样思考：如果这道题直接计算，分别算出分子分母，然后必然需要一个约分的过程（从选项可以看出），那么就太麻烦了，如果不计算出最后结果就可以约分，是件好事儿，那么转化分子还是转化分母呢？我们都知道，当分子分母都是乘法的形式，是比较好约分的，所以要转化分母，要在分母中“凑”出2013.具体过程是这样的：201320132014(20131)2012201320132014201320142012201320132014201320132201320132013671,2013(20142)2016672⨯=⨯++⨯=⨯++⨯=⨯+⨯⨯===⨯+原式 6716721343.m n +=+=这个题做完了，很容易得分的一道题，也是容易马虎的一个题，如果不仔细读题，忽略了“m 与n 为互质的自然数”，那么就容易把答案写成D 。
【数学】第十八届华杯赛初赛试卷_小学中年级组
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷A （小学中年级组）第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷A （小学中年级组） （时间: 2013 年 3 月 23 日10:00 ~ 11:00） 一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.) 1. 45与40的积的数字和是（ ）. （A ）9 （B ）11 （C ）13 （D ）15 2. 在下面的阴影三角形中, 不能由右图中的阴影三角形经过旋转、平移得到的是图（ ）中的三角形. （A ） （B ） （C ） （D ） 3. 小东、小西、小南、小北四个小朋友在一起做游戏时, 捡到了一条红领巾, 交给了老师. 老师问是谁捡到的？小东说不是小西；小西说是小南；小南说小东说的不对；小北说小南说的也不对. 他们之中只有一个人说对了, 这个人是（ ）. （A ）小东 （B ）小西 （C ）小南 （D ）小北 4. 2013年的钟声敲响了, 小明哥哥感慨地说：这是我有生以来遇到的第一个没有重复数字的年份. 已知小明哥哥出生的年份是19的倍数, 那么2013年小明哥哥的年龄是（ ）岁.（A ）16 （B ）18 （C ）20 （D ）22装订线总分第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷A（小学中年级组）5.如右图, 一张长方形的纸片, 长20厘米, 宽16厘米. 如果从这张纸上剪下一个长10厘米, 宽5厘米的小长方形, 而且至少有一条边在原长方形的边上, 那么剩下纸片的周长最大是（）厘米.（A）72 （B）82 （C）92 （D）1026.张老师每周的周一、周六和周日都跑步锻炼20分钟, 而其余日期每日都跳绳20分钟. 某月他总共跑步5小时, 那么这个月的第10天是（）.（A）周日（B）周六（C）周二（D）周一二、填空题(每小题 10 分, 满分40分)7.如右图, 一个正方形被分成了4个相同的长方形, 每个长方形的周长都是20厘米. 则这个正方形的面积是平方厘米.8.九个同样的直角三角形卡片, 拼成了如右图所示的平面图形.这种三角形卡片中的两个锐角较大的一个是度.9.幼儿园的老师给班里的小朋友送来55个苹果, 114块饼干, 83块巧克力. 每样都平均分发完毕后, 还剩3个苹果, 10块饼干, 5块巧克力. 这个班最多有位小朋友.10.如下图, 将长度为9的线段AB九等分, 那么图中所有线段的长度的总和是.。
第十八届华罗庚金杯少数学邀请赛
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A （初一组）（时间: 2013年4月20日10:00～11:30）一、填空题（每小题 10分, 共80分）1. 计算:1124248(1)24100200400139261839100300900n n n n n n n +⨯⨯-⨯⨯++-⨯⨯+-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯++⨯⨯= . 2. 如图, 将ABC ∆沿DE , HG , EF 翻折后压平,ABC ∆三个顶点A , B , C 均落在点O 处. 若︒=∠512, 则1∠的度数为_______.3. 若干人完成了植树2013棵的任务, 每人植树的数目相同. 如果有5人不参加植树, 则剩余的人每人多植2棵不能完成任务, 而每人多植3棵可以超额完成任务. 那么共有 人参加了植树.4. 将长为8, 宽为6的长方形ABCD 纸片一组对角的顶点B , D 重合, 压平, 折出右面的图形D AEFC ', 则三角形AED 的面积为________. 5. 设a , b , c 是0~9中的数字且至少有两个不相等, 将循环小数∙∙c b a .0化成最简分数后, 分子有 种不同的值.6. 甲、乙两车分别从A, B 地同时出发相向而行, 甲车每小时行40千米, 乙车每小时行50千米. 两车分别到达B 地和A 地后, 立即返回, 返回时甲车的速度增加二分之一, 乙车的速度增加五分之一. 已知两车两次相遇处的距离是50千米, 则A, B 两地的距离为 千米.7. 设 d cx bx ax x P +++=23)(, 若4,3,2,1,1)(==k kk P . 那么b a d c +-= . 8. 见右图, 长宽比例为2:1的长方形镶有黑色宽边且一端带有1:1正方形对角线的图案, 用8个这种长方形拼成一个正方形图形, 要求其中4个水平放置, 4个竖直放置. 若一个这样拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同, 则认为两个拼成的正方形图形相同. 那么有对称轴的不同的图形有 种.二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）9. 恰用4个数码4和一些加、乘、幂运算、负号、分数线和括号, 写出5个值都等于5的不同算式.10. 解关于x 的方程：259]15[]2[-=+++x x x , 其中][x 表示不超过x 的最大整数. 11. 若用一张斜边长为15厘米的红色直角三角形纸片,一张斜边长为20厘米的蓝色直角三角形纸片, 一张黄色的正方形纸片, 如右图恰拼成一个直角三角形,则黄色正方形纸片面积是多少平方厘米. 12. 整数d c b a ,,,满足105,183,82+=-=+=d c c b b a , 求||a d 7+的最小值.三、解答下列各题（每小题 15分, 共30分, 要求写出详细过程）13. 如图所示, 两个等腰三角形ABC 和ECD 的底边在一条直线BD 上, AD 交EC 与O , 顶角CED BAC ∠=∠且它们的腰长分别为5cm 和10cm. 若三角形COD 的面积为8cm 2, 求四边形ABDE 的面积.14. 若干红, 黄, 蓝三种颜色的球放在155个盒子中, 现将这些盒子分类: 第一种分类方法是将红色球数目相同的盒子归为一类, 第二种方法是将黄色球数目相同的盒子归为一类, 第三种方法是将蓝色球数目相同的盒子归为一类.2015结果发现从1到30之间所有整数都是某种方法分类中的某一类的盒子数. 那么, 1) 三种分类的类数之和是多少? 2) 说明, 可以找到三个盒子, 其中至少有两种颜色的球, 它们的数目分别相同.。
小学华杯赛中年级组初赛真题及答案(第十八届-第二十三届)
华罗庚金杯少年数学邀请赛（小学中年级组）初赛试卷及答案（第18届-第23届）共9套（内部资料）第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷A（小学中年级组）（时间：2013年3月23日10:00～11:00）一、选择题（每小题10分，满分60分。
以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。
）1.45与40的积的数字和是（）。
（A）9（B）11（C）13（D）152.在下面的阴影三角形中，不能由右图中的阴影三角形经过旋转、平移得到的是图（）中的三角形。
3.小东、小西、小南、小北四个小朋友在一起做游戏时，捡到了一条红领巾，交给了老师.老师问是谁捡到的？小东说不是小西；小西说是小南；小南说小东说的不对；小北说小南说的也不对。
他们之中只有一个人说对了，这个人是（）。
（A）小东（B）小西（C）小南（D）小北4.2013年的钟声敲响了，小明哥哥感慨地说：这是我有生以来遇到的第一个没有重复数字的年份.己知小明哥哥出生的年份是19的倍数，那么2013年小明哥哥的年龄是（）岁。
（A）16（B）18（C）20（D）225.如右图，一张长方形的纸片，长20厘米，宽16厘米，如果从这张纸片上剪下一个长10厘米，宽5厘米的小长方形，而且至少有一条边在原长方形的边上，那么剩下纸片的周长最大是（）厘米。
（A）72（B）82（C）92（D）1026.张老师每周的周一，周六和周日都跑步锻炼20分钟，而其余日期每日都跳绳20分钟，某月他总共跑步5小时，那么这个月的第10天是（）（A）周日（B）周六（C）周二（D）周一二、填空题（每小题10分，满分40分）7.如右图，一个正方形被分成了4个相同的长方形，每个长方形的周长都是20厘米，则这个正方形的面积是_______平方厘米。
8.九个同样的直角三角形卡片，拼成了如右图所示的平面图形，这种三角形卡片中的两个锐角较大的一个是_______度。
9.幼儿园的老师给班里的小朋友送来55个苹果，114块饼干，83块巧克力，每样都平均分发完毕后，还剩3个苹果，10块饼干，5块巧克力，这个班最多有_______位小朋友。
第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小中组a卷)
2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组A卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：（2014×2014+2012）﹣2013×2013 ．2．（10分）将长方形的纸片ABCD按右图的方式折叠后压平，使三角形DCF 落在三角形DEF的位置，顶点E恰落在边AB上．已知∠1＝22°，那么∠2是度．3．（10分）鸡兔同笼，共有40个头，兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只，那么兔有只．4．（10分）第一次操作将图a左下角的正方形分为四个小正方形，见图b；第二次操作再将图b左下角的小正方形分为四个更小的正方形，见图c；这样继续下去，当完成第六次操作时，得到的图形中共有个正方形．5．（10分）如图加法竖式中，相同的汉字代表1至 9中的相同数字，而不同的汉字代表不同的数字．则竖式中的“数学”所表示的两位数共有个．6．（10分）大小两个正方体积木粘在一起，构成如图所示的立体图形，其中小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点．如果大积木的棱长为2，那么这个立体图形的表面积是．7．（10分）某班学生人数大于20而小于30，其中女同学的人数是男同学的2倍．全班报名参加“华杯赛”的人数是未报名人数的3倍少1人．这个班有学生名．8．（10分）如图，图形内的数字分别表示所在的矩形或三角形的面积，那么阴影三角形的面积为．二、简答题（每小题15分，共60分，要求写出简要过程）9．（15分）用四个数字4和一些加、减、乘、除号和括号，写出四个分别等于3、4、5和6的算式．10．（15分）如图是U，V，W，X四辆不同类型的汽车每百千米的耗油量．如果每辆车都有50升油，那么这四辆车最多可行驶的路程总计是多少千米？11．（15分）某商店卖出一支钢笔的利润是9元，一个小熊玩具的进价为2元．一次商家采取“买4支钢笔赠送一个小熊玩具”的打包促销，共获利润1922元．问这次促销最多卖出了多少支钢笔？12．（15分）编号从1到10的10个白球排成一行，现按照如下方法涂红色：（1）涂2个球；（2）被涂色的2个球的编号之差大于2．那么不同的涂色方法有多少种？2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组A卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：（2014×2014+2012）﹣2013×2013 6039 ．【分析】把2014看作2013+1，把2012看作2013﹣1，进行简算即可．【解答】解：（2014×2014+2012）﹣2013×2013＝[（2013+1）×（2013+1）+（2013﹣1）]﹣2013×2013＝（2013+1）×（2013+1）+2013﹣1﹣2013×2013＝2013×2013+2013+2013+1+2013﹣1﹣2013×2013＝（2013×2013﹣2013×2013）+（1﹣1）+（2013+2013+1+2013）＝6039．故答案为：6039．2．（10分）将长方形的纸片ABCD按右图的方式折叠后压平，使三角形DCF 落在三角形DEF的位置，顶点E恰落在边AB上．已知∠1＝22°，那么∠2是44 度．【分析】由题意可知：因为是翻折，∠CFD应该和∠EFD相等，又因∠DEF 等于90°，∠1＝22°，于是利用三角形的内角和定理即可求出∠DFE的度数，又因∠CFD和∠EFD和∠2构成了一个平角，平角是180°，据此即可求出∠2的度数．【解答】解：因为翻折，∠CFD＝∠EFD＝90°﹣22°＝68°，∠2＝180°﹣68°﹣68°＝44°．故答案为：44．3．（10分）鸡兔同笼，共有40个头，兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只，那么兔有33 只．【分析】设兔有x只，则鸡有（40﹣x）只，根据脚的倍数关系：兔脚的数＝鸡脚的数×10倍+8只，可列方程解答即可．【解答】解：设兔有x只，则鸡有（40﹣x）只，根据脚的倍数关系可列方程：4x+8＝10×2×（40﹣x）4x+8＝800﹣20xx＝33答：兔子有33只．故答案为：33．4．（10分）第一次操作将图a左下角的正方形分为四个小正方形，见图b；第二次操作再将图b左下角的小正方形分为四个更小的正方形，见图c；这样继续下去，当完成第六次操作时，得到的图形中共有29 个正方形．【分析】图a有5个正方形，以后每次操作将一个正方形数目变成四个小正方形，每次增加4个正方形．所以答案为5+6×4＝29．【解答】解：5+6×4＝29．故答案为：29．5．（10分）如图加法竖式中，相同的汉字代表1至 9中的相同数字，而不同的汉字代表不同的数字．则竖式中的“数学”所表示的两位数共有 3 个．【分析】根据“学+学+学”没有进位，可知“学”只有3种可能．“学”＝1，“学习”＝17，“数学”＝51；“学”＝2，“学习”＝24，“数学”＝72；“学”＝3，“学习”＝31，“数学”＝93．竖式中的“数学”所表示的两位数共有3个．【解答】解：根据题干分析可得：所以数学表示的两位数是51或72或93，一共有3个．答：竖式中的“数学”所表示的两位数共有 3个．故答案为：3．6．（10分）大小两个正方体积木粘在一起，构成如图所示的立体图形，其中小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点．如果大积木的棱长为2，那么这个立体图形的表面积是32 ．【分析】如图，因为小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点，所以大正方体一个面的面积是小正方体一个面的面积的2倍．因此，这个立体图形的表面积是大正方体的表面积加上小正方体四个面的面积．据此解答．【解答】解：6×2×2+4×（2×2÷2）＝24+4×2＝24+8＝32．答：这个立体图形的表面积是32．故答案为：32．7．（10分）某班学生人数大于20而小于30，其中女同学的人数是男同学的2倍．全班报名参加“华杯赛”的人数是未报名人数的3倍少1人．这个班有学生27 名．【分析】女同学的人数是男同学的2倍，所以全班人数是3的倍数，全班人数只能是21，24，27；全班报名参加“华杯赛”的人数是未报名人数的3倍少1人，所以全班人数加1人，是4的倍数；检验的全班人数为27人．【解答】解：根据分析知：全班人数是3的倍数，全班人数只能是21，24，27；全班报名参加“华杯赛”的人数是未报名人数的3倍少1人，所以全班人数加1人，是4的倍数；检验的全班人数为27人．故答案为：27．8．（10分）如图，图形内的数字分别表示所在的矩形或三角形的面积，那么阴影三角形的面积为9 ．【分析】如下图所示：OA×OC＝30，OD×OF＝12，将两个式子的等号的两边分别相乘，得出OA×OC×OD×OF＝30×12，而OC×OD＝10×2＝20，由此得出OA×OF，进而求出阴影三角形的面积．【解答】解：因为OA×OC＝30，OD×OF＝12，所以OA×OC×OD×OF＝30×12＝360．又因为OC×OD＝10×2＝20，所以OA×OF＝360÷20＝18．所以S△AGF＝GF•AG＝OA•OF＝×18＝9；答：阴影三角形的面积为9．故答案为：9．二、简答题（每小题15分，共60分，要求写出简要过程）9．（15分）用四个数字4和一些加、减、乘、除号和括号，写出四个分别等于3、4、5和6的算式．【分析】因为12÷4＝3，4+4+4＝12，所以可以写成（4+4+4）÷4＝3；因为4×（4﹣4）＝0，4﹣0＝4，所以可以写成4﹣（4﹣4）×4＝4；因为4×5＝20，20÷4＝5，所以可以写成（4×4+4）÷4＝5；因为2+4＝6，（4+4）÷4＝2，所以可以写成（4+4）÷4+4＝6．【解答】解：（4+4+4）÷4＝3；4﹣（4﹣4）×4＝4；（4×4+4）÷4＝5；（4+4）÷4+4＝6；10．（15分）如图是U，V，W，X四辆不同类型的汽车每百千米的耗油量．如果每辆车都有50升油，那么这四辆车最多可行驶的路程总计是多少千米？【分析】根据统计图所提供的信息，可以看出每种车每百千米的耗油量，用50（升）除以每种车的百千米耗油量（升），就是每种车行驶的路程，把四辆车行驶的路程相加即可．【解答】解：（50÷20+50÷25+50÷5+50÷10）×100＝（2.5+2+10+5）×100＝19.5×100＝1950（千米）答：这四辆车最多可行驶的路程总计是1950千米．11．（15分）某商店卖出一支钢笔的利润是9元，一个小熊玩具的进价为2元．一次商家采取“买4支钢笔赠送一个小熊玩具”的打包促销，共获利润1922元．问这次促销最多卖出了多少支钢笔？【分析】根据题意，“买4支钢笔赠送一个小熊玩具”这样卖4支钢笔实得利润9×4﹣2＝34元，要这次促销钢笔卖出最多，则要求尽量打包销售．由此可以求出1922是34的多少倍就是打包卖出多少个4支，进而求出最多卖出多少支钢笔．据此解答．【解答】解析：要这次促销钢笔卖出最多，则要求尽量打包销售．1922÷（4×9﹣2）＝1922÷34＝56（倍）…18（元）；18÷9＝2（支）；56×4+2＝224+2＝226（支）．答：这次促销最多卖出了226支钢笔．12．（15分）编号从1到10的10个白球排成一行，现按照如下方法涂红色：（1）涂2个球；（2）被涂色的2个球的编号之差大于2．那么不同的涂色方法有多少种？【分析】本题采用枚举法，令被涂色的第一个球的编号小于第二个球的编号，由于8+2＝10，要使编号之差大于2，所以第二个球编号最大是7，那么第一个球可以是1～7号中的任意一个，由此进行逐个情况讨论，最后再把各种情况的种数相加即可．【解答】解：第一个球涂1号，则另一个球可涂4～10；有7种不同的情况；第一个球涂2号，则另一个球可涂5～10；有6种不同的情况；第一个球涂3号，则另一个球可涂6～10；有5种不同的情况；第一个球涂4号，则另一个球可涂7～10；有4种不同的情况；第一个球涂5号，则另一个球可涂8～10；有3种不同的情况；第一个球涂6号，则另一个球可涂9～10；有2种不同的情况；第一个球涂7号，则另一个球可涂10；有1种不同的情况；所以，不同的涂色方法有：7+6+5+4+3+2+1＝28（种）．答：不同的涂色方法有28种．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:52:49；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800第11页（共11页）。
2013第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷四年级
2013年第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学四年级组）（时间: 2013年 3 月22 日）一、选择题 (每小题10分.)1. 在左面的加法算式中, 每个汉字代表一个非零数字, 不同的汉字代表不同的数字. 当算式成立时, 贺＋新＋春＝（）.（A）24 （B）22 （C）20 （D）182. 北京时间16时, 小龙从镜子里看到挂在身后墙上的4个钟表(如下图), 其中最接近16时的是（）.（A）（B）（C）（D）3. 平面上有四个点, 任意三个点都不在一条直线上. 以这四个点为端点连接六条线段, 在所组成的图形中, 最少可以形成（）个三角形．（A）3 （B）4 （C）6 （D）84. 在10□10□10□10□10的四个□中填入“+” “－” “×” “÷”运算符号各一个, 所成的算式的最大值是（）.（A）104 （B）109 （C）114 （D）1195. 牧羊人用15段每段长2米的篱笆, 一面靠墙围成一个正方形或长方形羊圈, 则羊圈的最大面积是（）平方米.（A）100 （B）108 （C）112 （D）1226. 小虎在19×19的围棋盘的格点上摆棋子, 先摆成了一个长方形的实心点阵. 然后再加上45枚棋子, 就正好摆成一边不变的较大的长方形的实心点阵. 那么小虎最多用了（）枚棋子.（A）285 （B）171 （C）95 （D）57二、填空题(每小题 10 分，满分40分)7. 三堆小球共有2012颗,如果从每堆取走相同数目的小球以后,第二堆还剩下17颗小球,并且第一堆剩下的小球数是第三堆剩下的2倍,那么第三堆原有颗小球．8. 右图的计数器三个档上各有10个算珠, 将每档算珠分成上下两部分, 按数位得到两个三位数, 要求上面的三位数的数字不同, 且是下面三位数的倍数, 那么满足题意的上面的三位数是 .9. 把一块长 90 厘米, 宽42厘米的长方形纸板恰无剩余地剪成边长都是整数厘米、面积都相等的小正方形纸片, 最少能剪出块, 这种剪法剪成的所有正方形纸片的周长之和是厘米.10. 体育馆正在进行乒乓球单打、双打比赛, 双打比赛的运动员比单打的运动员多4名, 比赛的乒乓球台共有13张, 那么双打比赛的运动员有名.。
第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组b卷)
2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）一、填空题（每空3分，第8小题6分，共30分）1．（3分）计算：19×0.125+281×+12.5＝．2．（6分）农谚‘逢冬数九’讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九，冬至那天是一九的第一天．2012年12月21日是冬至，那么2013年的2月10日是九的第天．3．（3分）某些整数分别被，，，除后，所得的商化作带分数时，分数部分分别是，，，，则满足条件且大于1的最小整数是．4．（3分）如图，P，Q分别是正方形ABCD的边AD和对角线 AC上的点，且PD：AP＝4：1，QC：AQ＝2：3，如果正方形ABCD的面积为25，那么三角形PBQ的面积是．5．（3分）有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩10个；乙班分，每人4个还剩11个；丙班分，每人5个还剩12个．那么这筐苹果至少有个．6．（3分）两个大小不同的正方体积木粘在一起，构成图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边不是中点的一个四等分点．如果大积木的棱长为4，则这个立体图形的表面积为．7．（6分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米．两车分别到达B地和A地后，立即返回．返回时，甲车的速度增加二分之一，乙车的速度不变．已知两车两次相遇处的距离是50千米，则A，B两地的距离为千米．8．（3分）用“学”和“习”代表两个不同的数字，四位数“”与“”的积是一个七位数，且它的个位和百万位数字与“学”所代表的数字相同，那么“”所能代表的两位数共有个．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）如图中，不含“*”的长方形有多少个？10．（10分）如图，三角形ABC中，AD＝2BD，AD＝EC，BC＝18，三角形AFC 的面积和四边形DBEF的面积相等，那么AB的长度是多少？11．（10分）若干人完成了植树2013棵的任务，每人植树的棵数相同．如果有5人不参加植树，其余的人每人多植2棵不能完成任务，而每人多植3棵可以超额完成任务．问：共有多少人参加了植树？12．（10分）由四个完全相同的正方体堆积成如图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至多是．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）用八个如图所示的2×1的小长方形可以拼成一个4×4的正方形．若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同．问：可以拼成几种两条对角线都是其对称轴的正方形图形？14．（15分）对于155个装有红、黄、蓝三种颜色球的盒子，有三种分类方法：对于每种颜色，将该颜色的球数目相同的盒子归为一类．若从1到30之间所有的自然数都是某种分类中一类的盒子数，那么，（ 1）三种分类的类数之和是多少？（ 2）说明，可以找到三个盒子，其中至少有两种颜色的球，它们的数目分别相同．2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）参考答案与试题解析一、填空题（每空3分，第8小题6分，共30分）1．（3分）计算：19×0.125+281×+12.5＝50 ．【分析】根据乘法分配律进行简算．【解答】解：19×0.125+281×+12.5＝19×0.125+281×0.125+100×0.125＝（19+281+100）×0.125＝400×0.125＝50．故答案为：50．2．（6分）农谚‘逢冬数九’讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九，冬至那天是一九的第一天．2012年12月21日是冬至，那么2013年的2月10日是六九的第7 天．【分析】先求出2012年12月21日到2013年的2月10日经过了多少天，再求这些天里有几个9天，还余几天，再根据余数推算是几九第几天即可．【解答】解：2012年12月21日到2013年的2月10日的元旦共有11+31+10＝52天，52÷9＝5…7，说明已经经过了5个9天，还余7天，这一天就是六九的第7天．答：2013年的2月10日是六九的第7天．故答案为：六，7．3．（3分）某些整数分别被，，，除后，所得的商化作带分数时，分数部分分别是，，，，则满足条件且大于1的最小整数是3466 ．【分析】设这个数为x，则：x÷＝x，x÷＝x，x÷＝x，x÷＝x，因此这个数应是分母的最小公倍数+1，据此解答．【解答】解：设这个数为x，则：x÷＝x，x÷＝x，x÷＝xx÷＝x因此这个数应是分母的最小公倍数+1，即5×7×9×11+1＝3465+1＝3466答：满足条件且大于1的最小整数是3466．故答案为：3466．4．（3分）如图，P，Q分别是正方形ABCD的边AD和对角线 AC上的点，且PD：AP＝4：1，QC：AQ＝2：3，如果正方形ABCD的面积为25，那么三角形PBQ的面积是 6.5 ．【分析】过Q点作，EF∥AB，交AD于F，交BC于E，QG⊥DC于G，根据相似比可以求出各线段的长度，再用正方形的面积分别减去其余的部分，可得最后结果．【解答】解：连结QD，作EF∥AB，交AD于F，交BC于E，QG⊥DC于G，因为正方形ABCD的面积为25，所以AD＝EF＝5；因为QC：AQ＝2：3，根据正方形的对称性，所以QE＝QG＝2，QF＝3．因为PD：AP＝4：1，所以AP＝1，PD＝4．S△PQD＝S正方形ABCD﹣S△CQB﹣S△DQC﹣S△PQD﹣S△PAB＝25﹣2×5÷2﹣2×5÷2﹣4×3÷2﹣1×5÷2＝25﹣5﹣5﹣6﹣2.5＝6.5．答：三角形PBQ的面积是6.5．故答案为：6.5．5．（3分）有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩10个；乙班分，每人4个还剩11个；丙班分，每人5个还剩12个．那么这筐苹果至少有67 个．【分析】因为10÷3＝3…1，11÷4＝2…3，12÷5＝2…2，苹果个数除以3余1，除以4少1，除以5余2，满足除以3余1，除以4少1的数最少是7，7除以5余数刚好是2，又因为苹果个数大于12，3、4、5的最小公倍数是60，所以这筐苹果至少有：60+7＝67；由此解答即可．【解答】解：10÷3＝3…1，11÷4＝2…3，12÷5＝2…2，满足除以3余1，除以4少1的数最少是7，7除以5余数刚好是2，又因为苹果个数大于12，所以苹果至少：3×4×5+7＝60+7＝67（个）；答：这筐苹果至少有67个．故答案为：67．6．（3分）两个大小不同的正方体积木粘在一起，构成图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边不是中点的一个四等分点．如果大积木的棱长为4，则这个立体图形的表面积为136 ．【分析】观察图形可知，大正方体与小正方体的相连的两个面如图所示：因为大正方体的棱长是4，则四周的小直角三角形的直角边分别是3、1；如果把四周的四个直角三角形剪下来，正好拼成一个一个面的面积是4×4﹣3×1÷2×4＝10的正方形，根据正方形的面积公式可得：大正方体的一个面的面积是4×4＝16；则这个立方体的表面积就是大正方体的表面积与小正方体的四个面的面积之和，据此即可解答．【解答】解：根据题干分析可得：大正方体的一个面的面积是：4×4＝16，小正方体一个面的面积是：4×4﹣3×1÷2×4＝16﹣6＝10，所以这个立体图形的表面积是：16×6+10×4＝96+40＝136，答：这个立体图形的表面积为136．故答案为：136．7．（6分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米．两车分别到达B地和A地后，立即返回．返回时，甲车的速度增加二分之一，乙车的速度不变．已知两车两次相遇处的距离是50千米，则A，B两地的距离为千米．【分析】已知原来甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米，则此时两车的速度比是40：60＝2：3，则第一次相遇时，甲行了全程的＝，乙行了全程的＝；甲车加速后，速度是每小时60×（1+）＝60千米，即两车返回时的速度相同．当甲到达B地时，乙速度快，在此之前就返回了，由于此时甲行完全程，则乙所行路程是甲的，即此时乙从A地返回又行了全程的﹣1＝，剩下路程两人速度一样，则各行一半，即在距B地处相遇，所以50千米占全程的﹣＝，则全程是50÷千米．【解答】解：甲乙两车的速度比是：40：60＝2：3，甲车加速后是每小时行：60×（1+）＝60千米，（﹣1）÷2＝50÷（﹣）＝50÷（﹣）＝50＝（千米）答：两地相距千米．故答案为：．8．（3分）用“学”和“习”代表两个不同的数字，四位数“”与“”的积是一个七位数，且它的个位和百万位数字与“学”所代表的数字相同，那么“”所能代表的两位数共有 3 个．【分析】因为四位数“”与“”的积是一个七位数，且它的个位和百万位数字与“学”所代表的数字相同，那么习＝1，若习取大于1的数字，则不满足题意，又因为1111×2222＝2468642，1111×3333＝3702963，1111×4444＝4937284，1111×5555＝6171605，不符合题意，据此即可解答问题．【解答】解：根据题干分析可得：1111×2222＝2468642，1111×3333＝3702963，1111×4444＝4937284，它们的积的个位和百万位数字与“学”所代表的数字相同，那么习＝1，所以“”所能代表的两位数有21、31、41，一共有3个．答：“”所能代表的两位数共有 3个．故答案为：3．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）如图中，不含“*”的长方形有多少个？【分析】如下图：含有A的标记*的长方形有4×15＝60个，含有B的标记*的长方形有4×15＝60个，含有标记A和标记B的长方形有4×4＝16个，所以含有*的三角形有60+60﹣16＝104个，再算出图中一共长方形的个数，据此解答．【解答】解：图中共有长方形：×＝21×10＝210（个），含有A的标记*的长方形：4×15＝60（个），含有B的标记*的长方形：4×15＝60（个），含有标记A和标记B的长方形：4×4＝16（个），所以含有*的长方形：60+60﹣16＝104（个），不含“*”的长方形：210﹣104＝106．答：不含“*”的长方形有106个．10．（10分）如图，三角形ABC中，AD＝2BD，AD＝EC，BC＝18，三角形AFC 的面积和四边形DBEF的面积相等，那么AB的长度是多少？【分析】此题可以设想通过求得AD、BD的长度，来求AB的长度．因为AD ＝EC，只要求出EC的长度，就可知AD的长度．根据三角形AFC的面积和四边形DBEF的面积相等，求得＝，即可求出EC＝BC＝×18＝6；再根据AD＝2BD，求得2BD＝6，则BD＝3，因此求出AB的长度，解决问题．【解答】解：设S△AFC＝S四边形DBEF＝1，S△CEF＝x，S△ADF＝y，因为AD＝2BD，所以＝＝，即＝＝，解得y＝2x+1则＝＝＝，所以＝．所以EC＝×BC＝×18＝6，则AD＝EC＝6．又因为AD＝2BD，BD＝AD÷2＝6÷2＝3．综上，AB＝AD+BD＝6+3＝9．答：AB的长度是9．11．（10分）若干人完成了植树2013棵的任务，每人植树的棵数相同．如果有5人不参加植树，其余的人每人多植2棵不能完成任务，而每人多植3棵可以超额完成任务．问：共有多少人参加了植树？【分析】根据时间知“若干人完成了植树2013棵的任务，每人植树的棵数相同”，则人数与棵数是2013的因数，可设原来有a人，每人植树b棵，则ab＝2013，因有5人不参加植树，所以，a＞5．“如果有5人不参加植树，其余的人每人多植2棵不能完成任务，而每人多植3棵可以超额完成任务”．则2（a﹣5）＜5b＜3（a﹣5）．据此解答．【解答】解：设原来a人，每人b棵ab＝2013，a＞52（a﹣5）＜5b＜3（a﹣5）2（a﹣5）÷5＜b＜3（a﹣5）÷5b在0.5（a﹣5）附近2013＝33×61符合a＝61，b＝33共有61人参加植树．答：共有61人参加了植树．12．（10分）由四个完全相同的正方体堆积成如图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至多是59 ．【分析】每个正方体总点数为1+2+3+4+5+6＝21，4个正方体共84个黑点，因为要求黑点的总数至多是多少，因此，遮住的部分的点数应尽量少．然后根据相邻边的点数推出个正方体被遮住的面上的点数，解决问题．【解答】解：每个正方体总点数为1+2+3+4+5+6＝21，4个正方体共84个黑点，因为要求黑点的总数至多是多少，因此，遮住的部分的点数应尽量少．根据相邻边的点数推出：最上面正方体底面点数为5；右面正方体的左面的点数为6；中间正方体5的对面是2，因此被遮住部分的总点数为21﹣5﹣2﹣6＝8；左边正方体右面的点数为6．因此立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至多是84﹣（5+6+8+6）＝84﹣25＝59．故答案为：59．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）用八个如图所示的2×1的小长方形可以拼成一个4×4的正方形．若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同．问：可以拼成几种两条对角线都是其对称轴的正方形图形？【分析】用右图代替题目中的2×1小长方形，因为题目所给的小长方形的上下不对称，所以同一个小长方形在拼成的两条对角线都是其对称轴的正方形图形中，这样，就可以只考虑上半部分的不同情形，据此画图分析解解答．【解答】解：如图：答：以拼成4种两条对角线都是其对称轴的正方形图形．14．（15分）对于155个装有红、黄、蓝三种颜色球的盒子，有三种分类方法：对于每种颜色，将该颜色的球数目相同的盒子归为一类．若从1到30之间所有的自然数都是某种分类中一类的盒子数，那么，（ 1）三种分类的类数之和是多少？（ 2）说明，可以找到三个盒子，其中至少有两种颜色的球，它们的数目分别相同．【分析】根据题意，可得a1，a2，a3，…，a i；b1，b2，b3，…，b j；c1，c2，c3，…，c k，包含了1到30的所有整数，所以n≥30，另一方面，3×155＝a1+a2+a3+…+a i+b1+b2+b3+…+b j+c1+c2+c3+…+c k≥1+2+3+…+30＝＝465＝3×155．故三种分类的类数之和是30．进而论证得出答案．【解答】解：（1）因为 a1，a2，a3，…，a i；b1，b2，b3，…，b j；c1，c2，c3，…，c k包含了1到30的所有整数，所以n≥30，另一方面，3×155＝a1+a2+a3+...+a i+b1+b2+b3+...+b j+c1+c2+c3+...+c k≥1+2+3+ (30)＝465＝3×155．所以n＝i+j+k＝30，三种分类的类数之和是30．（2）不妨设a1＝30，记这30个盒子的类为A类．因为i+j+k＝30，必有j≤14或k≤14，不妨设j≤14．A类的30个盒子分到这不超过14个类中去，必有一类至少有三个盒子，这三个盒子里的红球数相同并且黄球数也相同．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:52:54；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800。
2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组c卷)
2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）一、填空题(每小题10分，共80分）1．（10分）计算：（2×（﹣）÷（+））÷＝．2．（10分）农农谚‘逢冬数九’讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九，冬至那天是一九的第一天，2012年12月21日是冬至，那么2013年2月3日是九的第天．3．（10分）最简单分数满足＜＜，且b不超过19，那么a+b的最大可能值与最小可能值之积为．4．（10分）如图，P、Q分别是正方形ABCD的边AD和对角线AC上的点，且AP：PD＝1：3，AQ：QC＝4：1，如果正方形ABCD的面积为100，那么三角形PBQ的面积是．5．（10分）四位数与的和为3333，差为693，那么四位数为．6．（10分）两个较小的正方体积木分别粘在一个大正方体积木的两个面上，构成如图所示的立体图形，其中，每个小积木粘贴面的四个顶点分别是大积木粘贴面各边的一个五等分点．如果三个积木的棱长互不相同且最大的棱长为5，那么这个立体图形的表面积是．7．（10分）设a、b、c分别是0﹣9中的数字，它们不同时都为0也不同时都为9，将循环小数0.b化成最简分数后，分子有不同情况．8．（10分）由四个完全相同的正方体堆积成如图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至少是个．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）如图，大正方形的周长比小正方形的周长多80厘米，阴影部分的面积为880平方厘米，那么，大正方形的面积是多少平方厘米？10．（10分）某学校入学考试，确定了录取分数线，报考的学生中，只有被录取，录取者平均分比录取分数线高10分，没有被录取的同学其平均分比录取分数线低26分，所有考生的平均成绩是70分，那么录取分数线是多少？11．（10分）设n是小于50的自然数，求使得3n+5和5n+4有大于1的公约数的所有n．12．（10分）一次数学竞赛中，参赛各队每题的得分只有0分、3分和5分三种可能．比赛结束时，有三个队的总得分之和为32分，若任何一个队的总得分都可能达到32分，那么这三个队的总得分有多少种不同的情况？三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝1，矩形EHGF在三角形ABC内，且G、H在边BC上．求矩形EHGF的最大面积．14．（15分）用八个如图所示的2×1的小长方形可以拼成一个4×4的正方形．若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同，问：有几种拼成的正方形图形仅以一条对角线为对称轴？2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）参考答案与试题解析一、填空题(每小题10分，共80分）1．（10分）计算：（2×（﹣）÷（+））÷＝7．【分析】根据分数四则混合运算的顺序，先分别计算两个小括号内的，再算中括号内的，最后再算括号外的．【解答】解：[2×（﹣）÷（+）]÷＝[×÷]÷＝[××]×＝×＝7．故答案为：7．2．（10分）农农谚‘逢冬数九’讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九，冬至那天是一九的第一天，2012年12月21日是冬至，那么2013年2月3日是五九的第9天．【分析】先求出2012年12月21日到2013年的2月3日经过了多少天，再求这些天里有几个9天，还余几天，再根据余数推算是几九第几天即可．【解答】解：2012年12月21日到2013年的2月3日的元旦共有11+31+3＝45天，45÷9＝5，说明正好经过了5个9天，这一天就是五九的第9天．答：2013年的2月3日是五九的第9天．故答案为：五，9．3．（10分）最简单分数满足＜＜，且b不超过19，那么a+b的最大可能值与最小可能值之积为253．【分析】已知最简单分数满足＜＜，可先通分子得＜＜，根据同分子分数的大小比较得知，4a＜b＜5a，又因b不超过19，所以a最大值为4，此时b最大可为19，当a＝2时，b有最小值是9，则a+b的最大可能值与最小可能值之积为（4+19）×（2+9）＝253．【解答】解：由＜＜可得：＜＜，所以，4a＜b＜5a，又因b不超过19，所以a最大值为4，此时b最大可为19，当a＝2时，b有最小值是9，那么a+b的最大可能值与最小可能值之积为：（4+19）×（2+9）＝253．故答案为：253．4．（10分）如图，P、Q分别是正方形ABCD的边AD和对角线AC上的点，且AP：PD＝1：3，AQ：QC＝4：1，如果正方形ABCD的面积为100，那么三角形PBQ的面积是37.5．【分析】连接DQ，作△DQP的高QE．分别求出△ABP、△BCQ、△DCQ、△DPQ的面积，然后用正方形的面积减去它们的和即可．【解答】解：连接DQ，作△DQP的高QE．正方形ABCD的面积为100，所以它的边长是10．因为AP：PD＝1：3，所以AP＝2.5；DP＝7.5．S△ABP＝10×2.5÷2＝12.5．AQ：QC＝4：1，所以S△CQB＝S△ABC＝S正方形ABCD＝×100＝10．同理，S△DCQ＝10．EQ⊥AD，所以EQ：DC＝AQ：AC＝4：5，EQ＝×10＝8，S△OQD＝7.5×8÷2＝30．S△PBQ＝S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△CQB﹣S△DCQ﹣S△OQD＝100﹣12.5﹣10﹣10﹣30＝37.5．5．（10分）四位数与的和为3333，差为693，那么四位数为2013．【分析】四位数与的和为3333，差为693，可知和3333比四位数的2倍少693，用3333+693除以2即可得四位数的值．【解答】解：（3333+693）÷2＝4026÷2＝2013，故答案为：2013．6．（10分）两个较小的正方体积木分别粘在一个大正方体积木的两个面上，构成如图所示的立体图形，其中，每个小积木粘贴面的四个顶点分别是大积木粘贴面各边的一个五等分点．如果三个积木的棱长互不相同且最大的棱长为5，那么这个立体图形的表面积是270．【分析】观察图形可知，大正方体与小正方体的相连的两个面如图所示：因为大正方体的棱长是5，则四周的小直角三角形的直角边分别是4、1；如果把四周的四个直角三角形剪下来，正好拼成一个面积是5×5﹣4×1÷2×5＝15的正方形，根据正方形的面积公式可得：大正方体的一个面的面积是5×5＝25；则这个立方体的表面积就是大正方体的表面积与两个小正方体的各四个面的面积之和，据此即可解答．【解答】解：根据题干分析可得：大正方体的一个面的面积是：5×5＝25小正方体一个面的面积是：5×5﹣4×1÷2×5＝25﹣10＝15所以这个立体图形的表面积是：25×6+15×4×2＝150+120＝270答：这个立体图形的表面积为270．故答案为：270．7．（10分）设a、b、c分别是0﹣9中的数字，它们不同时都为0也不同时都为9，将循环小数0.b化成最简分数后，分子有660不同情况．【分析】由题意，把0.b化成分数，是，abc可以从001至998，分解计算1∽998中3的倍数的个数（除去81的倍数的个数），37的倍数的个数，重复的3和37的倍数，然后根据容斥原理可得结果．【解答】解：＝0．abcabc…，根据题意＝1∽998，但是结果要化为最简分数，所以化简后会有重复．由999＝33×37，可得：（1）①998÷3＝332…2，所以1∽998中3的倍数有332个；②998÷34＝12…26，所以1∽998中34＝81的倍数有12说明是3的倍数但不是81的倍数的有332﹣12＝320个，这些数的分子全部可以化简成不是3的倍数的数．（2）1∽998中37的倍数有998÷37＝26…36，说明是37的倍数有26个，这些数的分子全部可以化简成不是37的倍数的数．（3）1∽998中3和37的倍数有998÷111＝8 (110)说明是111的倍数有8个，这些数的分子全部可以化简成不是111的倍数的数．根据容斥原理，约分后会有重复的数有320+26﹣8＝338个，则分子有998﹣338＝660种不同情况．故答案为：660．8．（10分）由四个完全相同的正方体堆积成如图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至少是55个．【分析】根据图意知，上面的正方体同下面正方体中间相连的面最大是5个黑点，下面中间的正方体面同上面正方体和左右两个正方体三个面连接的面，最大是6，4，2个黑点，下面左面的正方体和下面右面的正方体，同中间的正方体连接的面，最大是6个黑点，然用四个正方体上的黑点总数，减去连接在一起看不到的黑点数，就是表面的黑点数．【解答】解：根据以上分析得：（1+2+3+4+5+6）×4﹣5﹣6﹣4﹣2﹣6×2＝84﹣5﹣6﹣4﹣2﹣12＝55（个）．故答案为：55．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）如图，大正方形的周长比小正方形的周长多80厘米，阴影部分的面积为880平方厘米，那么，大正方形的面积是多少平方厘米？【分析】把原图形进行变形，则可根据周长的差，求出右上角小正方形的边长是多少厘米，进而可求出大正方形的边长，再根据面积公式可求出大正方形的面积．【解答】解：80÷4＝20（厘米）（880﹣20×20）÷20÷2＝（880﹣400）÷20÷2＝480÷20÷2＝12（厘米）（12+20）×（12+20）＝32×32＝1024（平方厘米）答：大正方形的面积是1024平方厘米．10．（10分）某学校入学考试，确定了录取分数线，报考的学生中，只有被录取，录取者平均分比录取分数线高10分，没有被录取的同学其平均分比录取分数线低26分，所有考生的平均成绩是70分，那么录取分数线是多少？【分析】根据报考的学生中，只有被录取，假设把报考的学生当作是4个人，录取的只有1人，没录取的有3个人，那总分便有70×4＝280分，再用（4人总分﹣录取者比录取分数线高的分数+没有录取者比录取分数线低的分数）÷4即为所求．【解答】解：则录取分数线是：（70×4﹣10+26×3）÷4＝（280﹣10+78）÷4＝348÷4＝87（分）．答：录取分数线是87分．11．（10分）设n是小于50的自然数，求使得3n+5和5n+4有大于1的公约数的所有n．【分析】对于小于50的自然数，设d是3n+5和5n+4大于1的公约数，则d整除5（3n+5）﹣3（5n+4）＝13，所以d＝13，进而，由3n+5＝13k，可得k＝3（n﹣4k）+5＝3s+2，其中s＝n﹣4k+1，所以n＝4k+s﹣1＝4（3s+2）+s﹣1＝13s+7，然后求出所有n即可．【解答】解：对于小于50的自然数，设d是3n+5和5n+4大于1的公约数，则d整除5（3n+5）﹣3（5n+4）＝13，所以d＝13，进而，由3n+5＝13k，可得k＝3（n﹣4k）+5＝3s+2，其中s＝n﹣4k+1，所以n＝4k+s﹣1＝4（3s+2）+s﹣1，n＝13s+7．因为0≤n≤50，所以0≤s≤3，对应的n分别是7，20，33，46．答：使得3n+5和5n+4有大于1的公约数的所有n是7，20，33，46．12．（10分）一次数学竞赛中，参赛各队每题的得分只有0分、3分和5分三种可能．比赛结束时，有三个队的总得分之和为32分，若任何一个队的总得分都可能达到32分，那么这三个队的总得分有多少种不同的情况？【分析】设三队得3分的题共x道，得5分的题共y道，则可得不定方程：3x+5y＝32，y＝，则x＝9，y＝1或x＝4，y＝4；然后分两种情况讨论即可．【解答】解：设三队得3分的题共x道，得5分的题共y道，则：3x+5y＝32，所以只有x＝9，y＝1或x＝4，y＝4两种情况：（1）当x＝9，y＝1时，相当于三队分9个3分和1个5分，三个队分5分的可能共有3种，当0≤a≤9（a表示得分的个数），若某个队得a个3分，则另外两个队分（9﹣a）个3分的可能共有（10﹣a）种，所以对于9个3分共有：10+9+8+…+1＝55（种），每队分9个3分和1个5分的总可能有：55×3＝165 （种）．（2）当x＝4，y＝4时，相当于三队分4个3分和4个5分，当0≤a≤4时，若某个队得a个3分，则另外两个队分（4﹣a）个3分的可能共有（5﹣a）种，所以对于4个3分共有：5+4+3+2+1＝15（种）；同理，当三队再分4个5分，类似地也有15种分法，但某队得5分的个数不少于3个时，其中的3个5分与（1）中的得5个3分的得分数一样，所以在（1）中已考虑过，而三个队分4个5分，其中有一队得到不少于3个的分法共9种，所以三队分4个3分和4个5分共有：15×（15﹣9）＝90（种）；综合（1）和（2），三个队的不同的总得分情况共有：165+90＝255（种）．答：这三个队的总得分有255种不同的情况．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝1，矩形EHGF在三角形ABC内，且G、H在边BC上．求矩形EHGF的最大面积．【分析】要使矩形EHGF的面积最大，则应使E、F在AB和AC的中点上，这时矩形的面积最大．【解答】解：矩形EFGH的面积最大时，E和F应分别在AB和AC上，作BP⊥AB，CP ⊥AC，BP与CP将于点P，四边形ABPC是正方形，延长EH交BP于W，延长FG交CP于Q，边长QW，AP分别交EF与U、V．容易证明，四边形EFQW是顶点在正方形ABPC的边长上的矩形，并且在正方形ABPC 内，设AE＝x，则EB＝1﹣x，AE＝AF＝PW＝PQ＝xEB＝BW＝FC＝QC＝1﹣x于是EW＝UV，EU＝AU，WV＝VP因此EF+EW+WQ+QF＝AP+BC＝常数即矩形EFQW的周长一定，在所在周长相同的矩形中，面积最大者为周长的正方形，此时AE：EB＝1，因此矩形EFGH的面积最大为S□EFGH＝S△ABC＝．答：矩形EFGH的面积最大为．14．（15分）用八个如图所示的2×1的小长方形可以拼成一个4×4的正方形．若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同，问：有几种拼成的正方形图形仅以一条对角线为对称轴？【分析】为方便作图，用图代替题目中的2×1小长方形，根据对称的性质画图解答即可．【解答】解：用图代替题目中的2×1小长方形，因为一条对角线旋转90度后与另一条对角线重合，所以只需考虑仅以过左上顶点的对角线为对称轴的情况．此时，拼出的正方形在该对角线上只能有偶数颗星，而且左上角的2×2小正方形只能是图A和图B中的图形，右下角的2×2小正方形只能是图A和图C中的图形．（1）首先考虑左上角以及右下角的2×2小正方形是图A中两个图形之一的情况．此时，右上角的2×2小正方形有两颗星，由于另外一条对角线不能是对称轴，所以右上角的2×2小正方形不能是图A中的任意一个，只能是图D中的图形之一，去掉旋转重合的情况，只有下列8种：（2）左上角的2×2小正方形是图B中两个图形之一、右下角的2×2小正方形是图C 中两个图形之一时，都不能拼出只以过左上顶点的对角线为对称轴的图形．答：有8种拼成的正方形图形仅以一条对角线为对称轴．第11页（共11页）。
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（A）49（B）48（C）47（D）46
二、填空题(每小题10分,满分40分)
7.若 , , ,则 ________.
8. 某单位的清洁工每周都要工作5天休息2天,而每周从周一至周日,每天都至少有30名清洁工打扫卫生,那么这个单位至少需要聘请________名清洁工.
③两个负数的绝对值的和一定是非正数；
④两个负数的绝对值的差可以是非正数.
（A）1（B）2（C）3（D）4
2.从3,2,1,4,5中任取2个数相乘,所得积中的最大值记为a,最小值记为b,则的值为（）．
（A） （B） （C） （D）
3.将乘积 化为小数,小数点后第2013位的数字是（）．
（A）9（B）3（C）1（D）7
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛
初赛试卷B（初一组）
（时间:2013年3月23日10:00 ~ 11:00）
一、选择题(每小题10分,满分60分.以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)
1.下列结论中,正确的有（）个:
①两个正数的和一定是非负数；
②两个正数的差可以是非负数；
第十八届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛
初赛试题B（初一组）答案
一、选择题（每小题10分，满分60分）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
A
A
C
B
D
二、填空题（每小题10分，满分40分.）
题号
7
8
9
10
右图中,半圆弧ACB直径AB为4.5厘米．以A点为圆心,将半圆弧ACB逆时针转动100度,得到右图所示的图形,那么这个图形的周长等于________厘米（取 ）.
10.某作者写了一本书,现可以聘请甲、乙两人录入.甲单独录入需要64小时,每小时的薪酬是16.25元；乙单独录入需要96小时,每小时的薪酬是10元；若两人一起工作,效率会同时提高4%,而每人每小时的薪酬不变.若要求80小时之内必须完成所有录入工作,则作者最少需要支付________元.
4.如果a、b、c都是大于 的负数,那么下列式子成立的是（）．
（A） （B） （C） （D）
5. 在 方格的每个格中填上数字1,2,3,4中的一个,要求每行、每列和每条对角线上所填的数字各不相同.右图中已经填好了4个数字，请完成填数,那么两个阴影方格中所填数的乘积为（）.
（A）5（B）4（C）3（D）2