人教版高中数学全套教案导学案1.1.1 算法的概念(教、学案)

1. 1.1 算法的概念
【教学目标】
1.了解算法的含义，体会算法的思想。

2.能够用自然语言叙述算法。

3.掌握正确的算法应满足的要求。

【重点与难点】
教学重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。

教学难点：把自然语言转化为算法语言。

【教学过程】
1.情境导入：
算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。

但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。

如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。

我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。

因此，算法其实是重要的数学对象。

2.探索研究
算法(algorithm)一词源于算术(algorism)，即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。

后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。

广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。

菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。

在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。

比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。

3.例题分析
例1.任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定。

解析：根据质数的定义判断
解：算法如下：
第一步：判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行第二步。

第二步：依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。

这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。

点评：通过例1明确算法具有两个主要特点：有限性和确定性。

变式训练1：一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物．没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊．请设计过河的算法。

解：算法或步骤如下：
S1 人带两只狼过河；
S2 人自己返回；
S3 人带一只羚羊过河；
S4 人带两只狼返回；
S5 人带两只羚羊过河；
S6 人自己返回；
S7 人带两只狼过河；
S8 人自己返回；
S9 人带一只狼过河．
例2 给出求解方程组274511
x y x y +=⎧⎨+=⎩的一个算法．
解析：解线性方程组的常用方法是加减消元法和代入消元法，这两种方法没有本质的差别，为了适用于解一般的线性方程组，以便于在计算机上实现，我们用高斯消元法（即先将方程组化为一个三角形方程组，在通过回代过程求出方程组的解）解线性方程组．
解：用消元法解这个方程组，步骤是：
第一步：方程①不动，将方程②中x 的系数除以方程①中x 的系数，得到乘数422
m ==； 第二步：方程②减去m 乘以方程①，消去方程②中的x 项，得到 2733x y y +=⎧⎨=-⎩
； 第三步：将上面的方程组自下而上回代求解，得到1y =-，4x =．
所以原方程组的解为41
x y =⎧⎨=-⎩．
点评：通过例2再次明确算法特点：有限性和确定性
变式训练2：写出求过两点M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法。

解：算法：第一步：取x 1=-2，y 1=-1，x 2=2，y 2=3； 第二步：计算1
21121x x x x y y y y --=--； 第三步：在第二步结果中令x =0得到y 的值m ，得直线与y 轴交点(0,m)；
第四步：在第二步结果中令y =0得到x 的值n ，得直线与x 轴交点(n,0)；
第五步：计算S=||||2
1n m ∙； 第六步：输出运算结果 例3 用二分法设计一个求解方程x 2–2=0的近似根的算法。

算法分析：回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005，则不难设计出以下步骤：
第一步：令f(x)=x 2–2。

因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x 1=1，x 2=2。

第二步：令m=(x 1+x 2)/2，判断f(m)是否为0，若则，则m 为所长；若否，则继续判断f(x 1)·f(m)大于0还是小于0。

第三步：若f(x 1)·f(m)>0，则令x 1=m ；否则，令x 2=m 。

第四步：判断|x 1–x 2|<0.005是否成立？若是，则x 1、x 2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二
点评：渗透循环的思想，为后面教学做铺垫。

变式训练3 给出求1+2+3+4+5的一个算法．
解： 算法1 按照逐一相加的程序进行．
第一步：计算1+2，得到3；
第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；
第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10；
第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15．
算法2 运用公式123n +++
+=2)1(+n n 直接计算． 第一步：取n =5； 第二步：计算2
)1(+n n ； 第三步：输出运算结果．
算法3 用循环方法求和．
第一步：使1S =，；
第二步：使2I =；
第三步：使S S I =+；
第四步：使1I I =+；
第五步：如果5I ≤，则返回第三步，否则输出S ．
点评：一个问题的算法可能不唯一．
4．回顾小结
1．算法的概念：对一类问题的机械的、统一的求解方法．算法是由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者是按照要求设计好的有限的计算序列，并且这样的步骤或序列能解决一类问题．
2．算法的重要特征：
（1）有限性：一个算法在执行有限步后必须结束；
（2）确定性：算法的每一个步骤和次序必须是确定的；
（3）输入：一个算法有0个或多个输入，以刻划运算对象的初始条件．所谓0个输入是指
算法本身定出了初始条件．
（4）输出：一个算法有1个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果．没有输出的
算法是毫无意义的．
5．课后作业 写出求111123100
+
+++的一个算法 解：第一步：使1S =，；
第二步：使2I =；
第三步：使1n I
=； 第四步：使S S n =+；
第五步：使1I I =+；
第六步：如果100I ≤，则返回第三步，否则输出S ．
1.1.1. 算法的概念
课前预习学案
一、预习目标：了解算法的含义，体会算法的思想。

二、预习内容：
1.算法的概念及其特点
2.判断一个数为质数的算法设计
三、提出疑惑：如何快速准确的写出一个问题的算法？
课内探究学案
一、学习目标：
1.了解算法的含义，体会算法的思想；
2.能够用自然语言叙述算法；
3.知道算法应满足的要求。

二、学习重点：算法的含义、判断一个数为质数的算法设计。

学习难点：把自然语言转化为算法语言。

三、学习过程：
（一）、自主学习：
1．算法的概念
2．算法的重要特征：
（二）、例题分析：
例1. 任意给定一个大于1的整数n ，试设计一个程序或步骤对n 是否为质数做出判定 变式训练1：一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物．没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊．请设计过河的算法。

例2 给出求解方程组274511x y x y +=⎧⎨+=⎩
的一个算法． 变式训练2：写出求过两点M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法。

例3 用二分法设计一个求解方程x 2–2=0的近似根的算法。

变式训练3 给出求1+2+3+4+5的一个算法
（三）、回顾小结：
（1）算法的概念
（2）算法的重要特征
（四）、当堂检测： 写出求111123100
+
+++的一个算法 解：第一步：使1S =，；
第二步：使2I =；
第三步：使1n I
=； 第四步：使S S n =+；
第五步：使1I I =+；
第六步：如果100I ≤，则返回第三步，否则输出S ． 课后练习与提高：
1. 下列关于算法的说法中，正确的是（ ）.
A ． 算法就是某个问题的解题过程
B ． 算法执行后可以不产生确定的结果
C ． 解决某类问题的算法不是惟一的
D ． 算法可以无限地操作下去不停止
2.有一堆形状大小相同的珠子，其中只有一粒质量比其他的轻，某同学利用科学的算法，两次利用天平找出这粒最轻的珠子，则这堆珠子最多有多少粒（ ）
A. 4
B.5
C.7
D.9
3下列各式中的S 值不可以用算法求解的是（ ）
A.S=1+2+3+4
B.S=1+2+3+4+….
C.S=111123100
++++ D.S=1+2+3+4+…+100
4.已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99。

求它的总分和平均分的一个算法为：
第一步：取A=89，B=99;
第二步：
第三步：
第四步：输出计算结果。

5.写出解方程2x+3=0的算法。

第一步：
第二步：
第三步：
6. 给出一个判断点P ),(00y x 是否在直线y=x-1上的一个算法。