高考数学 立体几何知识点、方法总结
高考数学立体几何知识要点知识点总结及解题思路方法
高考数学立体几何知识要点知识点总结及解题思路方法一、知识提纲（一）空间的直线与平面⒈平面的基本性质⑴三个公理及公理三的三个推论和它们的用途．⑵斜二测画法．⒉空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线．⑴公理四（平行线的传递性）．等角定理．⑵异面直线的判定：判定定理、反证法．⑶异面直线所成的角：定义（求法）、范围．⒊直线和平面平行直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质．⒋直线和平面垂直⑴直线和平面垂直：定义、判定定理．⑵三垂线定理及逆定理．5.平面和平面平行两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质．6.平面和平面垂直互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．（二）直线与平面的平行和垂直的证明思路（见附图）（三）夹角与距离7.直线和平面所成的角与二面角⑴平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平面所成的角、直线和平面所成的角．⑵二面角：①定义、范围、二面角的平面角、直二面角．②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．8.距离⑴点到平面的距离．⑵直线到与它平行平面的距离．⑶两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段．⑷异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段．（四）简单多面体与球9.棱柱与棱锥⑴多面体．⑵棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质．⑶平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体；平行六面体的性质、长方体的性质．⑷棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质．⑸直棱柱和正棱锥的直观图的画法．10.多面体欧拉定理的发现⑴简单多面体的欧拉公式．⑵正多面体．11.球⑴球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离． ⑵球的体积公式和表面积公式．二、常用结论、方法和公式1.从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC ，若∠AOB=∠AOC ，则点A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上；2. 已知:直二面角M －AB －N 中，AE ⊂ M ，BF ⊂ N,∠EAB=1θ,∠ABF=2θ，异面直线AE 与BF 所成的角为θ，则;c o s c o s c o s 21θθθ=3.立平斜公式：如图，AB 和平面所成的角是1θ，AC 在平面内，BC 和AB 的射影BA 1成2θ，设∠ABC=3θ,则cos 1θcos 2θ=cos 3θ；4.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；5.直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。
高考数学立体几何部分知识点归纳
立体几何一、平面的基本性质：公理1 如果一条直线上的 两点 在同一个平面内，则这条直线上的 所有点 都在这个平面内 (证明直线在平面内的依据)．公理2 如果两个平面有 一 个公共点，则它们还有其他公共点，这些公共点的集合是 一条直线 (证明多点共线的依据)．公理3 经过不在 一条直线上 的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)．推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面．推论2 经过两条 相交 直线，有且只有一个平面．推论3 经过两条 平行 直线，有且只有一个平面．【小结归纳】1．证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面． 2．证明点、线共面问题有两种基本方法：①先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；②分别用部分点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面重合． 3．证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点．二、空间直线： 直线、平面、简单几何体三个公理、三个推论平面 平行直异面直相交直公理4及等角定理 异面直线所成的角 异面直线间的距离 直线在平面内直线与平面平直线与平面相空间两条直线 概念、判定与性质 三垂线定理 垂斜直线与平面所成的角 空间直线 空间两个平面棱柱棱锥球 两个平面平行两个平面相交距离 两个平面平行的判定与性质 两个平面垂直的判定与性质 二面角 定义及有关概念性质 综合应用多面体 面积公式 体积公式正多面体1．空间两条直线的位置关系为平行、相交、异面．2．相交直线有且仅有一个公共点，平行直线无没有公共点，异面直线：不同在任一个平面，没有公共点．3．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，则这两角相等．5．异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不过这点的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线)6．异面直线的距离：和两条异面直线都垂直相交的直线称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在的长度，叫两异面直线的距离．【小结归纳】1．求两条异面直线所成角的步骤：(1)找出或作出有关角的图形；(2)证明它符合定义；(3)求角．2．证明两条直线异面的常用方法：反证法、定义法(排除相交或平行)、定理法．3．求异面直线间距离的方法：作出公垂线段，向量法．三、直线和平面平行：1．直线和平面的位置关系平行、包含、相交．直线在平面内，有无数个公共点．直线和平面相交，有一个公共点．直线和平面平行，没有公共点．直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外．2．直线和平面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，则这条直线和这个平面平行．(记忆口诀：线线平行线面平行)3．直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，且经过这条直线的另一个平面和这个平面相交，则这条直线和交线平行．(记忆口诀：线面平行线线平行)【小结归纳】1．证明直线和平面平行的方法有：(1)依定义采用反证法；(2)判定定理；(3)面面平行性质；(4)向量法．2．辅助线(面)是解、证有关线面问题的关键，要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用．四、直线和平面垂直：1．直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面的所有直线垂直，则这条直线和这个平面互相垂直．2．直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面．3．直线和平面垂直性质：若a⊥α，b⊂α则；若a⊥α，b⊥α则；若a⊥α，a⊥β则过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．4．点到平面距离过一点作平面的垂线的线段长度叫做点到平面的距离．5．直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上到这个平面的距离叫做直线到平面距离．【小结归纳】线面垂直的判定方法：(1) 线面垂直的定义；(2)判定定理；(3) 面面垂直的性质；(4) 面面平行的性质：若α∥β，a⊥β则a ⊥α。
高中数学—立体几何知识点总结(精华版)
立体几何知识点一.根本概念和原理：1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)〔规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]〕斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。
a和一个平面内的任意一条直线都垂直，就说直线a和平面互相垂直.直线a叫平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直，那么这条直线垂直于这个平面。
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
行，那么这条直线和这个平面平行。
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
面，那么这两个平面平行。
行。
8.〔1〕二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
二面角的取值范围为[0°，180°]〔2〕二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
高三立体几何知识点总结
高三立体几何知识点总结立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是在三维空间中的图形和其性质。
在高中阶段，立体几何作为数学课程的一部分，对学生的综合能力以及解决实际问题的能力有着重要的提升作用。
本文将对高三立体几何的知识点进行总结，以帮助同学们更好地掌握这一内容。
一、直线与平面的关系1. 平面与平面的关系：（1）相交：两个平面相交于一条直线。
（2）垂直：两个平面相交的直线与第三个平面垂直。
（3）平行：两个平面相交的直线与第三个平面平行。
2. 直线与直线的关系：（1）相交：两条不平行直线相交于一点。
（2）平行：两条直线在平面上不相交。
（3）异面直线：两条直线在空间中不相交。
二、立体图形的性质1. 三棱柱：具有5个面、9条边和6个顶点的立体。
2. 四棱锥：具有5个面、8条边和5个顶点的立体。
3. 三棱锥：具有四个面、6条边和4个顶点的立体。
4. 正方体：具有六个面、12条边和8个顶点的立体，其中每个面都是正方形。
5. 正六面体：具有六个面、12条边和8个顶点的立体，其中每个面都是正六边形。
6. 正八面体：具有八个面、12条边和6个顶点的立体，其中每个面都是正八边形。
7. 正十二面体：具有十二个面、30条边和20个顶点的立体，其中每个面都是正五边形。
三、立体图形的体积与表面积计算1. 三棱柱的体积公式：体积 = 底面积 ×高2. 四棱锥的体积公式：体积 = （底面积 ×高）/ 33. 球的体积公式：体积 = （4/3）πr³，其中r为球的半径。
4. 直角三棱锥的体积公式：体积 = （1/3）×面积 ×高，其中面积为底面积。
5. 立方体的体积公式：体积 = 边长³，其中边长为立方体的边长。
6. 平行四边形棱台的体积公式：体积 = 底面积 ×高四、立体图形的投影1. 平行投影：图形在平行于某个平面的投影面上的投影。
2. 斜向投影：图形在斜向的投影面上的投影。
高中数学立体几何核心考点与学习方法
高中数学立体几何核心考点与学习方法高中数学中，立体几何是一个重要的考点。
立体几何不仅仅是考试中的一道题目，更是在生活中应用广泛的数学知识，可以帮助我们更好地理解和把握三维空间。
本文将介绍高中数学立体几何的核心考点和学习方法，希望能对学习数学的同学有所帮助。
一、核心考点1. 立体图形的基本概念立体图形是由平面图形组成的，因此要理解立体图形的基本概念，必须要先掌握平面图形的概念。
以此类推，如棱、边、角、面等。
2. 立体图形的投影立体图形的投影是立体几何中非常重要的考点，需要掌握正视投影、侧视投影和俯视投影等概念。
3. 空间位置关系在三维空间中，点、直线、平面之间的关系是立体几何的重要考点。
需要掌握相交、平行、垂直等空间位置关系。
4. 立体图形的计算在立体几何中，计算依然很重要。
例如几何体的表面积、体积等概念需要熟练掌握，并能够应用到题目中。
二、学习方法1. 掌握基本知识要学好立体几何，首先需要掌握基本知识。
例如，对于熟悉平面几何的学生，他们应当能够意识到其实立体几何也是由平面几何所组成的。
掌握立体几何基本概念后，才能够更好地理解和掌握后续知识。
2. 齐头并进在学习立体几何时，平面几何也是需要同时学习的。
因为立体几何的知识点和平面几何关联紧密，如果平面几何不扎实，就会影响到对立体几何的掌握。
3. 多做习题做习题是学习立体几何的重要方法之一。
多做相关习题，能够帮助我们更好地理解基本概念和核心考点，并且能够提高解题能力。
但是，做习题时要注意时间和方法，不要为了做题而做题，一定要有方法和技巧。
4. 小结法则在学习过程中，要经常做出小结，以便能够及时回顾所学的知识，将知识点串连起来，形成更完整的知识模型。
这也能够帮助我们在日后的考试中更好地应对各种题目。
5. 应用到生活中学习立体几何不仅是为了应付考试，更是要应用到生活中。
例如，设计建筑、制作玩具等都需要运用立体几何知识。
将学到的知识与实际生活相结合，能够提高学习立体几何的热情和兴趣。
高考数学中立体几何的考点及解题技巧
高考数学中立体几何的考点及解题技巧高考数学中的立体几何是相对来说比较难的一个环节，也是考生必须要掌握的内容之一。
本文将针对高考数学中立体几何的考点和解题技巧做一个详尽的论述。
1. 空间基本概念在解决空间问题时，首先需要掌握的就是空间基本概念。
包括点、线、面的概念及其相关性质。
比如平行四边形的对角线相交于点O，则线段OA、OB互相平分且相等。
2. 立体图形的投影立体图形的投影是指将三维的立体图形在某一平面上产生的影像。
在这里，我们主要讲解直线与平面的投影，并通过题目的解答来加深记忆。
3. 三视图三视图是三维立体图形的三个面正、左、俯视图。
在解决题目时，需要掌握三维图形和其三视图之间的对应关系，想象立体图形在视线方向上的不同表现，来确定视角和投影位置。
特别是在椎体、金字塔、棱锥等图形的题目中，需要考生准确细致地确定各部分的位置。
4. 空间向量空间向量是指空间中有大小和方向的量，在立体几何中经常使用，可以用于排除无关信息，简化问题。
5. 立体几何解题的思路立体几何解题的方法及思路与平面几何有些不同。
在立体几何中，有的题目需要平面几何的方法来解决；某些题目需要分解为几个简单的平面图形，再运用三角函数来解决；有些题目需要利用向量的性质，优化模型。
因此，在解答的过程中，需要先明确各部分关系，做到想象明确，思路清晰。
高考数学中立体几何的考点及解题技巧就是如此，需要同学们根据自已的掌握程度，不断深化学习。
建议同学们多进行课堂上的实际解答，熟练掌握相关理论知识。
除此之外，同学们还需要养成良好自习习惯，在课外时间多加练习，巩固学习成果。
相信在充分掌握理论知识的情况下，同学们一定可以取得优异的高考成绩。
高考数学-立体几何知识点与例题讲解-题型、方法技巧
一、知识点
<一>常用结论 1．证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线
平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. 2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面
0，
y
0，
x 3z．
令 z 1得 n ( 3，0，1) 为平面 A1AD 的一个法向量．
由（Ⅰ）知 AB1 ⊥平面 A1BD ，
AB1 为平面 A1BD 的法向量．
cos
n
，
AB1
n AB1 n AB1
3 22
S△ A1BD
d
，
d 3S△BCD 2 ．
S△ A1BD
2
点 C 到平面 A1BD 的距离为
2． 2
解法二：（Ⅰ）取 BC 中点 O，连结 AO ．
△ABC 为正三角形， AO ⊥ BC ．
在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，平面 ABC ⊥平面 BCC1B1，
AD ⊥ 平面 BCC1B1 ．
取 B1C1 中点 O1 ，以 O为原点， OB ， OO1 ， OA 的方向为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0) ，
D(1，1，0) ， A1(0，2，3) ， A(0，0，3) ， B1(1，2，0) ，
AB1 (1，2， 3) ， BD (2，1，0) ， BA1 (1，2，3) ．
AB1 2 2 2
小结：本例中（Ⅲ）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的 B
2024年高考数学立体几何知识点总结
2024年高考数学立体几何知识点总结立体几何是数学中的一个重要分支，也是高考数学中的重要内容之一。
在高考中，立体几何的知识点主要包括空间几何、立体图形的面积与体积等方面。
下面是对2024年高考数学立体几何知识点的总结，供考生参考。
一、空间几何1. 空间几何中的点、线、面的概念和性质。
点是没有长度、宽度和高度的，只有位置的大小，用字母表示。
线是由一组无限多个点构成的集合，用两个点的字母表示。
面是由无限多条线构成的，这些线共面且没有相交或平行关系。
2. 空间几何中的垂直、平行等概念和性质。
两条线在同一平面内，如果相交角为90°，则称两线垂直。
两条线没有相交关系，称两线平行。
3. 点到直线的距离的计算。
点到直线的距离等于该点在直线上的正交投影点的距离。
二、立体图形的面积与体积1. 立体图形的分类和性质。
立体图形包括球体、圆柱体、圆锥体、棱柱体、棱锥体等。
各种立体图形具有不同的性质，如球体表面上每一点到球心的距离都相等。
2. 立体图形的面积计算。
（1）球体的表面积计算公式：S = 4πr²，其中r为球的半径。
（2）圆柱体的侧面积计算公式：S = 2πrh。
（3）圆柱体的全面积计算公式：S = 2πrh + 2πr²。
（4）圆锥体的侧面积计算公式：S = πrl，其中r为圆锥底面半径，l为斜高。
（5）棱柱体的侧面积计算公式：S = ph，其中p为棱柱底面周长，h为高。
3. 立体图形的体积计算。
（1）球体的体积计算公式：V = 4/3πr³，其中r为球的半径。
（2）圆柱体的体积计算公式：V = πr²h。
（3）圆锥体的体积计算公式：V = 1/3πr²h。
（4）棱柱体的体积计算公式：V = ph。
（5）棱锥体的体积计算公式：V = 1/3Bh，其中B为底面积，h为高。
三、立体几何的一般理论1. 点、线、面的位置关系。
在空间中，点、线、面可以相互相交、平行、垂直等。
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// l l // m m
方法三：用线面垂直实现。 若 l , m ，则 l // m 。 方法四：用向量方法： 若 向 量 l 和 向 量 m 共 线 且 l、 m 不 重 合 ， 则
l AC l AB l AC AB A AC , AB
立体几何知识点整理
一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行
l α
l // m m l // l
方法二：用面面平行实现。
符号表示：
α
l A
β
l
// l // l
方法三：用平面法向量实现。 若 n 为平面 的一个法向量， n l 且
线面平行实现。
// 方法二：用
m
l // m m
l // l
l // m // l , m 且且且
l
//
方法二：用面面平行实现。
l β γ α m
β α
m
Байду номын сангаас
三．垂直关系： 1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。
2/9
(计算结果可能是其补角) 方法二：向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角)：
步骤 2：解三角形，求出二面角的平面角。 方法二：截面法。 步骤 1：如图，若平面 POA 同时垂直于平面 且 交线(射线)AP 和 AO 的夹角就是二面角。 步骤 2：解三角形，求出二面角。
β P θ α O A
△ ABC 为正三角形， AO ⊥ BC ．
正三棱柱 ABC A1B1C1 中，平面 ABC ⊥ 平面 BCC1B1 ，
AO ⊥ 平面 BCC1 B1 ．连结 B1O ，在正方形 BB1C1C 中， O，D
BC，CC1 的中点， B1O ⊥ BD ， AB1 ⊥ BD ．
A
P
O
，则
步骤 1：过点 P 作 PO 于 O，线段 PO 即为所求。 步骤 2：计算线段 PO 的长度。 (直接解三角形；等体积 法和等面积法；换点法) 2．线面距、面面距均可转化为点面距。 3．异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离。
m
方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。
α
l
方法三：用向量方法： 若向量 l 和向量 m 的数量积为 0，则 l m 。 三．夹角问题。 (一) 异面直线所成的角：
(1) 范围： (0,90] (2)求法： 方法一：定义法。 步骤 1：平移，使它们相交，找到夹角。
α
(三)
二面角及其平面角 (1)定义：在棱 l 上取一点 P，两个半平
线面角
l l
α
(1)定 义 ： 直 线 l 上 任 取 一 点 P（ 交 点 除 外） ，作 PO 于 O,连结 AO，则 AO 为斜线 PA 在面
方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。
l m α
内 的 射 影 ， PAO (图 中 )为 直 线 l 与 面 所 成 的
B c b C a A m
步骤二：判断 与 n1 n2 的关系，可能相等或者互
补。 四．距离问题。 1．点面距。 方法一：几何法。
d n D m'
如图， AD 是异面直线 m 和 n 的公垂线段， m // m' ，则异面直线 m 和 n 之间的距离为：
d c 2 a 2 b 2 2ab cos
n1 θ
n
n2
如图， m 和 n 为两条异面直线， n 且 m // ， 则异面直线 m 和 n 之间的距离可转化为直线 m 与平面
n1 n2 步骤一：计算 cos n1 n2 n1 n2
之间的距离。
方法二：直接计算公垂线段的长度。 方法三：公式法。
l α A C B
方法二：用面面垂直实现。
l // m 。
m l l m, l
β l m
2. 面面垂直：
2. 线面平行： 方法一：用线线平行实现。
1/9
α
方法一：用线面垂直实现。
β l
C θ A B
cos
(二)
AB AC AB AC
2. 线面相交
α
符号表示： 3. 线在面内
α
α l
n
l
l ,则 l // 。
3. 面面平行： 方法一：用线线平行实现。
符号表示：
二．平行关系： 1. 线线平行： 方法一：用线面平行实现。
l
β α l' m' m l
l // l ' m // m' l , m 且且且 l ' , m' 且且且
n A θ
P O
面内分别作 l 的垂线（射线） m、 n， 则射线 m 和 n 的夹角 为二面角 — l— 的平面角。
步骤 2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理：
m n P l
cos
a b c 2ab
2 2
a
2
c b
θ
(2)范围： [0,180] (3)求法： 方法一：定义法。 步骤 1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。
角。
P A θ
l l m m
α
O
方法二：三垂线定理及其逆定理。
P A O
PO l OA l PA l
(2)范围： [0,90] 当 0 时， l 或 l // 当 90 时， l (3)求法： 方法一：定义法。 步骤 1：作出线面角，并证明。 步骤 2：解三角形，求出线面角。
A
A1
C B
D
C1 B1
3/9
高考题典例 考点 1 点到平面的距离
例 1 如图，正三棱柱 ABC A1 B1C1 的所有棱长都为 2 ， D 为 CC1 中点． （Ⅰ）求证： AB1 ⊥平面 A1 BD ；（Ⅱ）求二面角 A A1 D B 的大小； （Ⅲ）求点 C 到平面 A1 BD 的距离． 解答过程（Ⅰ）取 BC 中点 O ，连结 AO ．