统计5.2_正态总体的参数假设检验
5.2率的假设检验
672 82752 1 167.11 8342 585 8342 51696
地区 重污染区 一般市区 农村 合计 畸形数 无畸形数 合计 致畸率（‰）
114 404 67 585
3278 40143 8275 51695
3392 40547 8342 52281
33.61 9.96 8.03 11.19
19
（）建立假设检验： 1 H0 : 三个地区致畸率一致 H1 : 三个地区致畸率不一致
15
例1疗效与疗法之间是否独立？
疗法
疗效
合计
治愈
加入牛黄 不加牛黄 合 计
未愈
78
32（41.29）46（36.71）
76（66.71） 50（59.29） 126 108 96 204
16
四格表卡方检验过程：
准备工作：整理四格表数据 计算理论频数Eij 验证条件 检验步骤：（1）建立假设检验 （2）计算卡方值 （3）判断与结论
第四节* 四格表的确切概率法 (Fisher’s exact test)
四格表若有理论频数T小于1，或n<40时，尤其是用其 他检验方法所得概率接近检验水准时，宜用四格表的 确切概率法 (exact probabilities in 2×2 table) ， 即四格表概率的直接计算法。 本法的基本思想是：在四格表周边合计不变的情况下， 获得某个四格表的概率为 :
48889 48889
3392 52281
9.63 9.63
单正态总体的参数假设检验
单正态总体的参数假设检验一、引言在统计学中，参数假设检验是一种常用的统计推断方法，用于对总体参数的假设进行验证。
在本文中，我们将讨论单正态总体的参数假设检验方法。
单正态总体是指样本来自一个服从正态分布的总体。
二、参数假设检验的基本步骤参数假设检验的基本步骤包括以下几个方面：1. 提出假设：在进行参数假设检验时，首先需要提出原假设和备择假设。
原假设（H0）是对总体参数的一个特定取值或一组取值的陈述，备择假设（H1）是对原假设的补充或对立假设。
2. 选择检验统计量：检验统计量是一个用于判断是否拒绝原假设的量。
在单正态总体的参数假设检验中，常用的检验统计量有样本均值、样本比例等。
3. 确定显著性水平：显著性水平是在进行假设检验时所允许的犯第一类错误的概率。
通常情况下，显著性水平取0.05或0.01。
4. 计算检验统计量的观察值：根据样本数据，计算检验统计量的观察值。
5. 确定拒绝域：拒绝域是一组检验统计量的取值，如果观察到的检验统计量的取值落在这个区域内，则拒绝原假设。
6. 做出决策：根据观察到的检验统计量的取值和拒绝域的关系，做出接受或拒绝原假设的决策。
三、单正态总体均值的参数假设检验在单正态总体均值的参数假设检验中，常用的检验方法有Z检验和t检验。
1. Z检验：当总体的标准差已知时，可以使用Z检验。
Z检验的检验统计量为样本均值与总体均值之差除以标准差的样本标准差。
根据中心极限定理，当样本容量较大时，检验统计量近似服从标准正态分布。
2. t检验：当总体的标准差未知时，使用t检验。
t检验的检验统计量为样本均值与总体均值之差除以标准误差的样本标准差。
根据学生t分布的性质，当样本容量较小时，检验统计量服从t分布。
四、实例分析为了更好地理解单正态总体的参数假设检验方法，我们以某电商平台的订单发货时间为例进行分析。
假设我们关注的是该电商平台订单的平均发货时间。
我们提出如下的原假设和备择假设：原假设（H0）：订单的平均发货时间为3天。
数理统计17：正态总体参数假设检验
数理统计17：正态总体参数假设检验现在，我们对正态分布的参数假设检验进⾏讨论，这也是本系列的最后⼀部分内容。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：基本步骤正态总体N (µ,σ2)参数的假设检验不外乎遵循以下的步骤：找到合适的统计量，⽤统计量的取值范围设计拒绝域。
假定原假设为真，考虑这个条件下统计量的分布。
根据统计量的分布，根据检验的⽔平要求设置拒绝域的边界值。
设计检验的核⼼在于假定原假设为真，这是因为检验的⽔平是基于弃真概率定义的，也就是说，要在第三步中写出检验的⽔平，就必须在H 0成⽴的情况下找出⼩概率事件的发⽣条件。
⽐如，对于均值的检验⼀共有三种：1.H 0:µ=µ0↔H 1:µ≠µ0;2.H 0:µ≥µ0↔H 1:µ<µ0;3.H 0:µ≤µ0↔H 1:µ>µ0.每⼀种⼜可以细分为⽅差σ2已知和⽅差σ2未知两种情况，但显然不论⽅差是否已知，最核⼼的统计量都应该是¯X，如果⽅差未知可能还要⽤到⽅差的替代：S 2。
以下，对于这三种问题，拒绝域分别应该是这样的：如果H 0被接受，则¯X 既不应该太⼤，也不应该太⼩，拒绝域的基础形式应该是{¯X >c 1}∪{¯X <c 2}.如果H 0被接受，则¯X 不应该太⼩，⽆论多⼤都可以，拒绝域的基础形式应该是{¯X <c }.如果H 0被接受，则¯X 不应该太⼤，⽆论多⼩都可以，拒绝域的基础形式应该是{¯X>c }.当然，这只是拒绝域的基础形式，实际情况下可能不⽌使⽤¯X，但基本思想应该是这样的。
对于⽅差的检验，则将检验统计量换成了S 2，或者均值已知情况下的离差平⽅和Q 2，步骤也和上⾯的差不多。
正态总体方差的假设检验
方差的计算方法
简单方差
适用于数据量较小，且数据间相互独立的情况。
加权方差
适用于数据量较大，且数据间存在相关关系的 情况，需要考虑到每个数据点的重要程度。
配对样本方差检验
总结词
配对样本方差检验用于比较两个相关样本的方差是否相同。
详细描述
在配对样本方差检验中，我们首先需要设定一个零假设，即两个相关样本的方差无显著差异。然后， 通过计算检验统计量（如Wilcoxon秩和统计量或Stevens' Z统计量），我们可以评估零假设是否被拒 绝。如果零假设被拒绝，则可以得出两个相关样本方差不相同的结论。
方差齐性检验的目的是为了后续 的方差分析提供前提条件，确保 各组数据具有可比性。
方差分析
方差分析（ANOVA）是
1
用来比较多个正态总体均
值的差异是否显著的统计
方法。
4
方差分析的结果通常以p值 表示，若p值小于显著性水 平（如0.05），则认为各组 均值存在显著差异。
2
方差分析的前提条件是各
组数据具有方差齐性和正
正态总体方差假设检验的未来发展
改进假设检验方法
结合其他统计方法
结合其他统计方法，如贝叶斯推断、机器学习等， 可以更全面地分析数据和推断总体特征。
针对正态总体方差假设检验的局限性，未来 研究可以探索更灵活、适应性更强的检验方 法。
拓展应用领域
正态总体方差假设检验的应用领域可以进一 步拓展，特别是在大数据和复杂数据分析方 面。
数学表达式
第五章假设检验
5.1.1 假设检验基本原理
假设检验的原理是逻辑上的反证法和统计上的小概 率原理 反证法：当一件事情的发生只有两种可能A和B， 如果能否定B，则等同于间接的肯定了A。 小概率原理：发生概率很小的随机事件在一次实 验中是几乎不可能发生的。
概率小到多小才算是“小”？通常用显
8.7 - 9
=
= 3.162
2.5 10
5.1.1 假设检验基本原理
3）确定拒绝域 • 在检验统计量抽样分布的尾部（1侧或2侧）中划定 一小概率区域，一旦计算的检验统计量的实际值落 入此区域，就否定原假设，接受备择假设。 • 这个小概率也称为显著性水平，用 表示 • 通常取 ＝5％或 ＝1％
双侧检验
单侧检验 左侧检验 右侧检验
H0 : = 0 H0 : 0 H0 : 0
备择假设
H1 : 0 H1 : < 0 H1 : > 0
5.1.2 假设检验相关概念
• 例（续） –左侧检验
1）假设： H0: 9， HA: < 9
2）检验统计量：同双侧检验， z = -3.162
5.1 假设检验的基本问题
5.1.1 假设检验基本原理
假设：对总体的某些未知的或不完全知道的性质所 提出的待考察的命题。
假设检验：对假设成立与否做出的推断。
5.1.1 假设检验基本原理
问题的提出 – 例 ：某猪场称该场的猪在体重为100kg时的平均背膘厚度 为9mm。 – 问题：此说法是否正确？有4种可能性（假设）
概率论与数理统计
主讲：孟丽丽
概率部分 第一章 概率论基本概念 第二章 随机变量及其分布
统计部分 第三章 统计基础知识 第四章 参数估计 第五章 假设检验 第六章 方差分析 第七章 相关与回归
两个正态总体参数的假设检验 推导
两个正态总体参数的假设检验推导一、引言假设检验是统计学中常用的方法，用于检验两个正态总体参数是否具有显著差异。
本文将介绍两个正态总体参数的假设检验的推导过程，主要包括以下步骤：假设提出、样本收集、样本检验、推断结论、结果解释和误差分析。
二、假设提出假设检验的基本思想是通过样本数据对总体参数进行推断。
在这个过程中，首先需要提出假设，即对两个正态总体参数的关系做出假设。
通常，假设检验中包含两个假设：零假设（H0）和备择假设（H1）。
零假设通常表示两个总体参数无显著差异，备择假设则是与零假设相对的假设。
例如，我们可以在零假设中设定两个总体均数相等，备择假设则是均数不等。
三、样本收集在提出假设后，需要收集样本数据以进行检验。
样本收集应遵循随机抽样的原则，以确保样本的代表性。
在收集样本时，还需要注意样本量的大小，以保证推断结论的准确性。
四、样本检验样本检验是假设检验的核心步骤，包括计算样本统计量、确定临界值和做出推断结论等步骤。
样本统计量是根据样本数据计算出的量，用于推断总体参数。
临界值是用于判断样本统计量是否达到显著差异的标准。
在做出推断结论时，需要根据样本统计量和临界值进行比较，以确定零假设是否被拒绝。
五、推断结论根据样本检验的结果，可以做出推断结论。
如果样本统计量超过了临界值，则可以拒绝零假设，接受备择假设；否则，不能拒绝零假设。
推断结论是假设检验的关键步骤之一，要求谨慎和客观地做出判断。
六、结果解释推断结论做出后，需要对结果进行解释。
解释结果时需要关注以下几点：一是理解推断结论的含义，二是明确结果对于实践的意义，三是注意结果的局限性，即样本量和误差范围等因素对结果的影响。
结果解释要求清晰明了地传达结果的含义和应用范围。
七、误差分析误差分析是假设检验中不可或缺的一环。
误差分为两类：一类是随机误差，由随机抽样造成；另一类是系统误差，由样本设计和处理等环节造成。
误差分析的目的是评估结果的可靠性和精确性，从而确定结果在实际应用中的可信度。
正态总体均值的假设检验
即认为元件的平均寿 命不大于 225小时。
二、两个正态总体均值差的检验（t 检验N）o:
Image
设X1,X2,,Xn1是 来 自 正 态 总 体 N(m1,s2)的 样 本Y；1,Y2,,Yn2是 来 自 正 态 总 体 N(m2,s2)的 样 本 ， 且 设 两 样 立本 。独 又 分 别 记 它 们
1)
s
2 2
10 10 - 2
= 2.775,
t0.05 (18) = 1.7341,
故拒绝域为：
T = X -Y
Sp
11 10 10
- t 0.05 (18 ) = -1.7341 ,
可算得 T = -4.295 < -1.7341 , 故拒绝 H 0 ,
即 认为新方法能提高得率。
已知总 例体服从2正态某分布地，且区方差大高致相考同，负由抽样责获得人资料想如下：知道某年来自城市中学考生
当H0成 立 时T，~ t(n1 n2 -2)， 对 于 给 定 a 的
P{|T |>ta/2(n1 n2 -2)}=a,
故 拒 绝 域 为|T |>t a/2(n1 n2 -2).
说明： 1. 对于单侧检验 “ H0 : m1 - m2 ≤ m0 ” 和 “ H0 : m1- m2 ≥ m0 ”, 可以类似地讨论。 常用的是 m0 = 0。 2. 对于两个正态总体的方差均为已知时,
的 样 本 均 值 X，Y为， 样 本 方 差 S12为 ,S22， 并 设 m1,m2,s2 均未知。
检验H： 0:m1-m2 =m0，H1:m1-m2 m0,
取统2
其
中
S2p
=
(n1
-1)S12 (n2 -1)S22 n1 n2 -2
正态总体参数的假设检验
578, 572, 570, 568, 572, 570, 570, 572, 596, 584 试判断新生产的铜丝的折断力有无提高(取α=0.05)?
解
H0 : 0 570 H1 : 0
用U检验法,这时拒绝条件为U u , 计算知 X 575.2,
U X 0 575.2 570 2.05 u u0.05 1.645
N (0,1) U u
| T | t / 2 T t T t
2法
2
2 0
2
2
2 0
2
2 0
2 0
2
(n 1)S 2
2 0
2
2 0
2
2 0
0
2
2 1
/
2
或
提出检验假设 H0 : p p 0 0.17 H1 : p 0
用大样本U 检验法,这时拒绝条件为|U| u / 2 将 n 400, x 56 / 400 0.14, p(1 p) 0.17(1 0.17) 0.376代入,得
| u |
U法
( 2已知)
0
0 0
0
T法
( 2未知)
0
0
假设H1
0 0 0
0 0 0
检验统计量
U X 0 / n
T X 0
S/ n
抽样分布 拒绝条件 A (P( A) )
9.2 正态总体参数的假设检验
一、一个正态总体参数的假设检验 二、非正态总体均值的假设检验 三、两个正态总体参数的假设检验 四、两个非正态总体均值的假设检验
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3 方差 2的检验
参数 2的假设检验问题 关于参数 2可类似提出双侧假设检验问题
2 2 H 0 : 2 0 H1 : 2 0
与单侧假设检验问题
2 2 H 0 : 2 0 H1 : 2 0 2 2 H 0 : 2 0 H1 : 2 0
x 0 1575 1500 15.06 15.25 u0 1 .875 2.08. 0 / n 200 / 25 6 0.05 |u0| u1-/2
由于
故拒绝H0接受H1 即认为这批滚珠的平均直径不是15.25mm.
22 方差 2未知的情形(t检验法) X ~ t(n 1) (1)枢轴量及其分布 T S/ n X 0 (2)检验统计量 T0 S/ n (3)拒绝域 检验H0 0H1 0的拒绝域可取为 C{(x1, xn) |t0|t(n1)} 检验H0 0H1 0的拒绝域可取为 C{(x1 xn) t0t2(n1)} 检验H0 0H1 0的拒绝域可取为 C{(x1 xn) t0 t2(n1)}
2 (n 1)s2 6(20 0 . 0351 1) 4.51 16 .789 10.74. 2 22 0 0.1126
2 0
2 2 由于0 0.95 (19), 即样本观测值未落入拒绝域,所以接受原假设,
也就是认为标准差没有减少.
注意：我们要回答“是否可以认为标准差减少了?”这 个问题，有多种方式陈述零假设与被择假设：
单正态总体的参数假设检验
2 均值的检验
3 方差 2的检验
设总体X~N( 2) (X1 Xn)是总体X的容量为n的 样本 记X与S2分别为样本均值与样本方差 我们考虑对 于均值与方差2的参数假设检验
2 均值的检验
参数的假设检验问题 H0 0H1 0 (A) H0 0H1 0 (B) H0 0H1 0 (C) 其中0为指定的常数 说明 在(A)的备择假设H1中 参数可取在0的两侧 即0 或0 这样的假设检验问题称为双侧假设检验问题 在(B)与(C)的备择假设H1中 参数只可取在的一侧 这样的假设检验问题称为单侧假设检验问题
(1)H0 : 2 62 H1 : 2 62. (2)H0 : 2 62 H1 : 2 62.
（1）是最常见的，容易理解，能准确回答“是否减
少”，但不能确定“是不是不变”；
（2）主要针对“是不变，还是减小了”这个更具体
的问题来作出假设，但可能导致错误的判断。因为如果 “增大了”，即不在拒绝域内，原假设还是被接受了， 认为不变，显然不准确。
2 2 检验H0 : 2 0 H1 : 2 0 的拒绝域可取为
2 C ( x1 , , xn ) : 0 12 (n 1) .
例12 过去经验显示, 高三学生完成标准考试的时间为 一正态分布变量, 其标准差为6min.若随机样本为20位学生, 其标准差s=4.51min, 在=0.05的显著性水平下, 是否可以认 为标准差减少了?
其中00为指定的正数
均值未知的情形(2检验法)
(1)枢轴量及其分布
2
2 (2)检验统计量 0
(n 1)S 2
(n 1)S 2
2
~ 2(n 1)
(3)拒绝域
2 0
2 2 检验H0 : 2 0 H1 : 2 0 的拒绝域可取为
2 2 2 C ( x1 , , xn ) : 0 12 2 (n 1)或 0 2 ( n 1) ; 2 2 C ( x1 , , xn ) : 0 (n 1) ;
2 2 检验H0 : 2 0 H1 : 2 0 的拒绝域可取为
由抽样数据计算可得
x 1259, s2 142.5.
1259 1277 x 0 575 .56 580 13.37. .436 s/ n 86 .02 / 95 142.故不能拒绝H0即此仪器间接测量的温度偏低.
例10 已知滚球直径服从正态分布,现随机地从一批滚 球中抽取 6 个 , 测得其直径为 14.70,15.21,14.90,14.91,15.32, 15.32(mm).假设滚珠直径总体分布的方差为0.05, 问这批滚 珠的平均直径是否为15.25mm?(=0.05) 解 根据问题的特点 建立统计假设 H0 =15.25H1 15.25 已知 015.25 020.05 n6x15.06 给定005 查附表u1-/2 196 计算可得
2.1 方差 2已知的情形(U检验法) X ~ N (0, 1) (1)枢轴量及其分布 U 0 / n X 0 (2)检验统计量 U0 0 / n (3)拒绝域 检验H0 0H1 0的拒绝域可取为 C{(x1, xn) |u0|u1-/2} 检验H0 0H1 0的拒绝域可取为 C{(x1 xn) u0u1-} 检验H0 0H1 0的拒绝域可取为 C{(x1 xn) u0 u1-} 其中u1-/2 u1- 分别为水平/2与的N(0 1)分布下侧分位数
例12 已知X~N( 6 2)n=20,s=4.51,显著性水平005 根据样本检验是否 262 解 建立统计假设 H0 : 2 62 H1 : 2 62.
2 由题意可知, 0 62 , n 20, 给定 0.05, 查附表 2 0.95 (19) 10.1, 由抽样数据计算可得
例11 用某仪器间接测量温度 , 重复五次, 所得数据是 1250oC, 1265oC, 1245oC, 1260oC,1275oC, 而用别的精确办法 测得温度为1277oC(可看作温度的真值), 试问用此仪器间接 测量温度是否偏低?
例11 已知X~N( 2) 1277, 2未知 样本值为 1250 1265 1245 1260 1275 显著性水平005 根据样本检验是否1277 解 建立统计假设 H0 1277H1 >1277 这里 n5给定005 查附表 t0.01 (4) 2.132,