2.1 圆周角定理 课件(人教A选修4-1)(2)
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2016-2017学年高中数学人教A版选修4-1课件：2.1 圆周角定理
易错点:误认为同弦或等弦所对圆周角相等而致错
【例3】 如图,若∠BAD=75°,则 ∠BCD= . 错解:∵∠BAD和∠BCD所对的弦都是BD, ∴∠BAD=∠BCD. ∴∠BCD=75°.
错因分析:错解中,没有注意到圆周角∠BAD和∠BCD所对的弧不 相等,导致得到错误的结论∠BAD=∠BCD.
-4-
一 圆周角定理
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
(3)通过圆周角定理的分析、证明,我们可以看到,在几何里讨论 问题时,常常从特殊情况入手,因为在特殊情况下问题往往容易解 决.如图,中间一种情况为圆周角的一边经过圆心,此时 ∠AOB=2∠C很容易证明,特殊情况下的问题解决之后,再想办法把 一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题,如图中的左图和右图 的情况,通过辅助线,把它们变成中间图中的两个角的和或差,这样 利用特殊情况下的结论,便可使一般情况下的结论得证.
-11-
一 圆周角定理 题型一 题型二 题型三
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D典例透析 IANLI TOUXI
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一 圆周角定理 题型一 题型二 题型三
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D典例透析 IANLI TOUXI
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圆周角定理的理解 剖析:(1)应用圆周角定理时,要注意的问题如下: 圆周角定理推论1中,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
圆周角定理(选修4-1)PPT课件
ADC∽ ABE,
AC AD. AE AB
∴AB·AC=AE·AD.
-
7
例2 如图,AB与CD相交于圆内一点P.
⌒
⌒
求证:AD的度数与BC的度数和的一
半等于∠APD的度数.
证明:过点C作CE//AB交圆于点E, 既非圆周角
则有 APD C.
也非圆角
⌒
⌒
∵AE=BC, ( ? )
∠ABE=∠BEC
-
4
一.圆周角定理 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的
圆心角的一半。 已知 在⊙O中，B⌒C所对的圆周角和圆心角分别是
∠BAC, ∠BOC. 求证：∠BAC= ∠1BOC.
2
A
A
A
O
O
CB
C
B
分三种(1情) 况讨论.
(2) -
O
C
B
(3) 5
圆心角定理 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等,
Ａ
2
13
Ｅ
4Ｆ
Ｂ
Ｄ
Ｐ Ｃ
-
9
习题2.1(P26)
1.如图,OA是⊙O的半径,以OA为直径的⊙C 与⊙O的弦AB交 于点D,求证:D是AB的中点.
2.如图,圆的直径AB=13cm,C为圆上一点,CD⊥AB,垂足D,且 CD=6cm.求AD的长.
⌒⌒ 3.如图,BC是⊙O的直径, AD⊥BC,垂足D.AB=AF,BF和AD相交 于E.求证:AE=BE.
B
C
D
A
F
E
ACO
EA D
B B DO
C
(第1题)
(第2题) -
高中数学 2.1圆周角定理课件 新人教A版选修4-1
直线与圆的位置关系 一 圆周角定理
复习：圆心角和圆周角定义及关系
• 探究：在⊙o中作一个顶点为A的圆周角∠BAC,连 接OB、OC,得圆心角∠BOC。度量∠BAC和∠BOC 的度数，它们之间有什么关系？改变圆周角的大小， 这种关系会改变吗
可以发现，无论圆周角的大小怎样改变，都有 A 1
∠BAC= 2 ∠BOC
于点D，求证：D是AB的中点。 B
D
A
•
•
C
O
例4 BC为⊙ O的直径，AD⊥BC, 垂足为D，A⌒B=A⌒F，BF和AD相交于
E，求证：AE=BE
A F
E
•
C
B
D
O
• 作业 • 第26页1、2、3
例1 如图，AD是△ABC的高，AE 是△ABC的外接圆直径。
A
求证：AB•AC =AE •AD
B E
•O
DHale Waihona Puke C例2 如图，AB与CD相交于圆内一 点P。求证：A⌒D的度数与B⌒C的度数
和的一半等于∠APD的度数。
D
B
P C
A
E
例3 如图，OA是⊙ O的半径，以 OA为直径的⊙ C与⊙ O的弦AB相交
O
B
C
圆周角定理：
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对
圆心角的一半。
已知：在⊙o中BC弧所对的圆周角和圆心角分别是
∠BAC、 ∠BOC
求证： ∠BAC= 1 ∠ BOC
A
2
•
O
B
C
D
我们知道，一个周角是360°。把周 角等分360份，每一份叫做1°的弧 由此，n°的圆心角所对的弧是n° 的弧；反之，n°的弧所对的圆心角
复习：圆心角和圆周角定义及关系
• 探究：在⊙o中作一个顶点为A的圆周角∠BAC,连 接OB、OC,得圆心角∠BOC。度量∠BAC和∠BOC 的度数，它们之间有什么关系？改变圆周角的大小， 这种关系会改变吗
可以发现，无论圆周角的大小怎样改变，都有 A 1
∠BAC= 2 ∠BOC
于点D，求证：D是AB的中点。 B
D
A
•
•
C
O
例4 BC为⊙ O的直径，AD⊥BC, 垂足为D，A⌒B=A⌒F，BF和AD相交于
E，求证：AE=BE
A F
E
•
C
B
D
O
• 作业 • 第26页1、2、3
例1 如图，AD是△ABC的高，AE 是△ABC的外接圆直径。
A
求证：AB•AC =AE •AD
B E
•O
DHale Waihona Puke C例2 如图，AB与CD相交于圆内一 点P。求证：A⌒D的度数与B⌒C的度数
和的一半等于∠APD的度数。
D
B
P C
A
E
例3 如图，OA是⊙ O的半径，以 OA为直径的⊙ C与⊙ O的弦AB相交
O
B
C
圆周角定理：
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对
圆心角的一半。
已知：在⊙o中BC弧所对的圆周角和圆心角分别是
∠BAC、 ∠BOC
求证： ∠BAC= 1 ∠ BOC
A
2
•
O
B
C
D
我们知道，一个周角是360°。把周 角等分360份，每一份叫做1°的弧 由此，n°的圆心角所对的弧是n° 的弧；反之，n°的弧所对的圆心角
2.1 圆周角定理 教学课件(人教A版选修4-1)
课前探究学习
课堂讲练互动
自学导引
1．圆周角定理
(1)圆心角及圆周角的概念：顶点在圆上，并且两边和圆相交 的角叫做圆周角；顶点在圆心的角叫做圆心角． (2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半 ．
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2．圆心角定理 (1)定理：圆心角的度数等于 它所对弧 的度数．
(2)当圆中出现直径时，要注意寻找直径所对的圆周角，然后在直
角三角形中处理相关问题．
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【变式2】 已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径， 求证：∠BAE＝∠DAC.
证明 连接BE，因为AE为直径，
所以∠ABE＝90°. 因为AD是△ABC的高， 所以∠ADC＝90°. 所以∠ADC＝∠ABE.因为∠E＝∠C，
证明
连接 BD.在△ACE 与△DCB 中，
∵∠EAC 与∠BDC 是同弧所对的圆周角， ∴∠EAC＝∠BDC. 又∵CE 为∠ACB 的平分线， ∴∠ACE＝∠DCB，∴△ACE∽△DCB. AC DC ∴CE＝ CB .∴AC· CB＝DC· CE.
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反思感悟 利用圆中角的关系证明时应注意的问题 (1)分析已知和所求，找好所在的三角形，并根据三角形所在圆上 的特殊性，寻求相关的圆周角作为桥梁；
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证明 连结 CE、CF、EF，∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BFC ＝90° ，∠BEC＝90° .又∵∠ACB＝90° ，∴∠BCE＝∠A. 又∵∠BFE＝∠BCE，∴∠BFE＝∠A.又∵∠EBF＝∠DBA， EF AD ∴△BEF∽△BDA.∴BE＝BD. ∵∠BFC＝∠BCA，∠CBD＝∠CBD， CF CD ∴△CBF∽△DBC.∴BC＝BD. EF CF BC CF 又∵AD＝CD，∴BE＝BC，∴BE ＝EF.
2.1 圆周角定理 课件(人教A选修4-1)(2)
∠BAC＝40°，作OE⊥AB交劣弧 B 于点E，连接EC， A 求∠OEC. 分析：本题考查圆周角定理与圆心角定理的应用． 解决本题需要先求∠OEC所对的弧的度数，然后根据圆心
角定理得∠OEC的度数．
返回
解：连接 OC. ∵∠ABC＝60° ，∠BAC＝40° ， ∴∠ACB＝80° . ∵OE⊥AB，∴E 为 B 的中点． A
返回
[小问题·大思维] 1．圆心角的大小与圆的半径有关系吗？ 提示：圆心角的度数等于它所对弧的度数，与圆的半径 没有关系． 2．相等的圆周角所对的弧也相等吗？ 提示：不一定．只有在同圆或等圆中，相等的圆周角所
对的弧才相等．
返回
返回
[研一题]
[例1]
锐角三角形ABC内接于[悟一法]
(1)在圆中，只要有弧，就存在着所对的圆周
角．同弧所对的圆周角相等，而相等的角为几何命题的
推理提供了条件，要注意此种意识的应用． (2)证明一条线段等于两条线段之和，可将其分为 两段，其中一段等于已知线段，再去证明另一段也等于 已知线段．
返回
[通一类] 2.如图，G是以BC为直径的圆上一点，
所以∠ABE＝90°.
因为AD是△ABC的高， 所以∠ADC＝90°. 所以∠ADC＝∠ABE. 因为∠E＝∠C，
所以∠BAE＝180°－∠ABE－∠E，
∠DAC＝180°－∠ADC－∠C. 所以∠BAE＝∠DAC. 返回
[研一题] [例2] 已知三角形ABC是圆内接正三角形，M是
B上的一点．
求证：MA＝MB＋MC. 分析：本题考查圆周角定理及全等三角形的应用． 解答本题可先将MA分成MD和AD两段，然后证明MB
关系在证明中的应用． 返回
证明：连结OD，因为BD＝DC，
《2.1圆周角定理》课件1-优质公开课-人教A版选修4-1精品
►变式训练
2．在⊙O 内有一个内接四边形 ABCD，AC 与 BD 交于点 E，求 AE AD 证：BE＝BC.
得∠ADE＝∠ACB. 又∠AED＝∠BEC， AE AD ∴△AED∽△BEC，即BE＝BC.
1．圆周角定理也可理解成一条弧所对的圆心角是它所对的圆周 角的二倍，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半． 2．圆周角定理、圆心角定理及推论，给出了圆心角、圆周角和 它们所对的弧以及所对弦之间的关系，可应用于求角、弦、弦长等有 关问题，可推证角相等、弧相等、弦相等，判定相似三角形、直角三 角形等平面几何中常见问题提供了十分简便的方法． 3．应用定理及推论进行计算或证明时，要注意应用数形结合的 数学思想方法，确定点、线的位置关系时，要注意应用分类讨论的数 学思想．
所对的圆周角． 解析：如图所示，
点评： 弦所对的圆周角有两个，易丢掉 120° 而导致错 误．另外，求圆周角时应用到解三角形的知识．
►变式训练
1．若 AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，OD∥BC，交 AC 于 D，BC ＝4 cm，则 OD＝________.
答案：2 cm
题型2
证明问题
例2 已知 AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径，求证：
∠BAE＝∠DAC.
分析： 题目中出现圆的直径， 想到直径所对的圆周角是直角． 因 此，连接 BE，得到∠ABE＝90° .同时，在△ABE 与△ADC 中，又有 同弧所对的圆周角∠C 与∠E 相等，从而结论得以证明．
证明：如图，
连接 BE. ∵AE 为直径， ∴∠ABE＝90° . ∵AD 是△ABC 的高， ∴∠ADC＝90° ， ∴∠ADC＝∠ABE. 又∵∠AEB＝∠ACB， ∴∠BAE＝∠DAC.
人教A版高中数学选修4-1课件高二：2.1圆周角定理
还要想到它所对的圆周角,得到直角三角形,这样有关直角三角形的性质便 可应用了.如图(1),以 CD 为直径的☉O 交△ACD 的两边于 B,E,连接 BE,求 证:ADcos A=AB.
此题必须先证 AD,AB 所在△ABD 为直角三角形,此时连接 BD,可由直 径所对的圆周角为 90°,这样就得到了所需的条件.
25
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J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z S 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
随堂练习
UITANG LIANXI
1 2345
1.如图所示,在☉O 中,∠BAC=25°,则∠BOC 等于( )
A.25°
B.50°
C.30°
D.12.5°
解析:根据圆周角定理,得∠BOC=2∠BAC=50°.
点都可得到相等的圆周角∠C=∠D=∠E.也可以由角找弧,再由弧找角,如
图(2),AD 平分∠BAC,得∠1=∠2,∠1 对������������,∠2 对������������,∠3 也对������������,故∠1=
∠2=∠3.如果要证△DBE∽△DAB,无疑两个相等的角为此提供了条件.
7
图(1)
图(2)
12
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S 随堂练习 UITANG LIANXI
温馨提示(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,但并
不是“圆心角等于它所对的弧”; (2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”; (3)由弦相等推出弧相等时,这里的弧要求同是优弧或同是劣弧,一般选
������������������所对的圆心角为 2×75°=150°.又������������������ 和 ������������������所对圆心角的和是周角 360°, ∴������������������所对圆心角是 360°-150°=210°,
此题必须先证 AD,AB 所在△ABD 为直角三角形,此时连接 BD,可由直 径所对的圆周角为 90°,这样就得到了所需的条件.
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UITANG LIANXI
1 2345
1.如图所示,在☉O 中,∠BAC=25°,则∠BOC 等于( )
A.25°
B.50°
C.30°
D.12.5°
解析:根据圆周角定理,得∠BOC=2∠BAC=50°.
点都可得到相等的圆周角∠C=∠D=∠E.也可以由角找弧,再由弧找角,如
图(2),AD 平分∠BAC,得∠1=∠2,∠1 对������������,∠2 对������������,∠3 也对������������,故∠1=
∠2=∠3.如果要证△DBE∽△DAB,无疑两个相等的角为此提供了条件.
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图(1)
图(2)
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温馨提示(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,但并
不是“圆心角等于它所对的弧”; (2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”; (3)由弦相等推出弧相等时,这里的弧要求同是优弧或同是劣弧,一般选
������������������所对的圆心角为 2×75°=150°.又������������������ 和 ������������������所对圆心角的和是周角 360°, ∴������������������所对圆心角是 360°-150°=210°,
高中数学第二讲圆周角定理课件新人教A版选修4-1
3.如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点
O(0,0)，B是y轴右侧⊙A弧上一点，则
cos∠OBC的值为
()
A.12
B.
3 2
3
4
C.5
D.5
解析：法一：设⊙A与x轴另一个交点为D，
连接CD，如图所示．
因为∠COD＝90°，
所以CD为⊙A的直径．
利用圆周角进行计算
[例2] 如图，已知BC为半⊙O的直径， AD⊥BC，垂足为D，BF交AD于点E，且AE＝ BE.
(1)求证： »AB＝ ¼AF ； (2)如果sin ∠FBC＝35，AB＝4 5，求AD的长． [思路点拨] BC为半⊙O的直径，连接AC，构造Rt△ ABC.
与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算，不仅可 以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线 段，有时还可以通过三角形相似、解三角形等来计算．
与圆周角定理相关的证明
[例1] 已知：如图，△ABC内接于⊙O，D， E在BC边上，且BD＝CE，∠1＝∠2.
求证：AB＝AC. [思路点拨] 证明此题可先添加辅助线构造等 弦、等弧的条件，再由圆周角定理及其推论证明．
利用圆周角定理证明等量关系时，主要是分析圆周 角、圆心角、弧、弦之间的等量关系，有时需添加辅助线 构造等弧、等角、等弦的条件．
一
圆周角定理
1．圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半 ． 应当注意的是，圆周角与圆心角一定是对着同一条弧，它 们才有上面定理中所说的数量关系． 2．圆心角定理 (1)圆心角的度数 等于 它所对的弧的度数，它与圆的半径 无关，也就是说在大小不等的两个圆中，相同度数的圆心角， 它们所对的弧的度数 相等 ；反过来，弧的度数相等，它们所对 的圆心角的度数 也相等 ．
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∴∠EOC＝80° ＋80° ＝160° . ∴∠OEC＝10° .
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[悟一法] 圆周角定理可以理解成一条弧所对的圆心角是它所 对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对弧的度数 的一半．
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[通一类] 1．已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径， 求证：∠BAE＝∠DAC. 证明：连接BE，因为AE为直径，
解：连接 BC，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90° . ∵∠BAC＝30° ，AB＝2 cm， AB ∴BC＝ ＝1 (cm)． 2 ∵∠ABD＝120° ， ∴∠DBC＝120° －60° ＝60° . ∵CD⊥BD， ∴∠BCD＝90° －60° ＝30° . BC源自∴BD＝ ＝0.5 (cm)． 2
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[小问题·大思维] 1．圆心角的大小与圆的半径有关系吗？ 提示：圆心角的度数等于它所对弧的度数，与圆的半径 没有关系． 2．相等的圆周角所对的弧也相等吗？ 提示：不一定．只有在同圆或等圆中，相等的圆周角所
对的弧才相等．
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[研一题]
[例1]
锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC＝60°，
关系在证明中的应用． 返回
证明：连结OD，因为BD＝DC，
O为AB的中点，
所以OD∥AC，于是∠ODB＝
∠C.
因为OB＝OD，所以∠ODB＝ ∠B.于是∠B＝∠C. 因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上 位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周
角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.
＝AD，DM＝MC即可．
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证明：在 MA 上取点 D，使 MD＝MC. ∵△ABC 为正三角形， ∴∠1＝∠2＝60° . ∴△MDC 是等边三角形． ∴CD＝MC. 在△ADC 与△BMC 中
∠3＝∠4， AC＝BC， ∠ADC＝∠BMC＝120° ，
∴△ADC≌△BMC. ∴AD＝BM. ∴MA＝MD＋DA＝MC＋MB.
∠BAC＝40°，作OE⊥AB交劣弧 于点E，连接EC， AB 求∠OEC. 分析：本题考查圆周角定理与圆心角定理的应用． 解决本题需要先求∠OEC所对的弧的度数，然后根据圆心
角定理得∠OEC的度数．
返回
解：连接 OC. ∵∠ABC＝60° ，∠BAC＝40° ， ∴∠ACB＝80° .
AB ∵OE⊥AB，∴E 为 的中点． ∴ BE 和 BC 的度数均为 80° .
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[悟一法]
(1)在圆中，只要有弧，就存在着所对的圆周
角．同弧所对的圆周角相等，而相等的角为几何命题的
推理提供了条件，要注意此种意识的应用． (2)证明一条线段等于两条线段之和，可将其分为 两段，其中一段等于已知线段，再去证明另一段也等于 已知线段．
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[通一类] 2.如图，G是以BC为直径的圆上一点，
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[读教材·填要点] 1．圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半．
2．圆心角定理 圆心角的度数 等于 它所对弧的度数．
返回
3．圆周角定理的推论
(1)推论1：同弧或等弧所对的圆周角 相等 ；同圆或等 圆中，相等的圆周角所对的弧 也相等 ． (2)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ；90° 直径 的圆周角所对的弦是 ．
所以∠ABE＝90°.
因为AD是△ABC的高， 所以∠ADC＝90°. 所以∠ADC＝∠ABE. 因为∠E＝∠C，
所以∠BAE＝180°－∠ABE－∠E，
∠DAC＝180°－∠ADC－∠C. 所以∠BAE＝∠DAC. 返回
[研一题] [例2] 已知三角形ABC是圆内接正三角形，M是
B上的一点．
求证：MA＝MB＋MC. 分析：本题考查圆周角定理及全等三角形的应用． 解答本题可先将MA分成MD和AD两段，然后证明MB
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∴∠1＝∠2.∴AE＝BE. 又∵∠1＋∠BFA＝90° ， ∠2＋∠DAF＝90° ， ∴∠BFA＝∠DAF， ∴AE＝EF，∴BE＝EF.
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[研一题]
[例3] 如图，AB是⊙O的直径，
AB＝2 cm，点C在圆周上，且∠BAC
＝30°，∠ABD＝120°，CD⊥BD于
D.求BD的长．
分析：本题考查“直径所对的圆周角为直角”的应 用．解答本题可连接BC，然后利用直角三角形的有关知识 解决． 返回
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本课时考点常与相似三角形、平行线分线段成比 例定理等问题相结合考查，2012年江苏高考以证明
题的形式重点考查圆周角定理、圆心角定理及三角形
边角关系．
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[考题印证] (2012·江苏高考)如图，AB是圆O的 直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两
点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，
连结AC，AE，DE. 求证：∠E＝∠C. [命题立意] 本题主要考查圆周角定理和三角形的边角
A是劣弧BG 的中点，AD⊥BC，D为
垂 足，连接AC、BG，其中BG交AD、
AC于点E、F.
求证：BE＝EF.
证明：连接 AB， ∵BC 为直径， ∴∠BAC＝90° . ∴∠2＋∠DAC＝90° .
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∵∠C＋∠DAC＝90° ， ∴∠2＝∠C.
∵ BA ＝ ，∴∠1＝∠C. AG
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[悟一法] 在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是 直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角、线
段又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明
比例式相等．
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[通一类] 3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝
10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边 交于点P，求BP长．
解：连接 CP，∵AC 为圆的直径， ∴∠CPA＝90° ，即 CP⊥AB. 又∵∠ACB＝90° ， ∴由射影定理可知 AC2＝AP· AB. AC2 36 ∴AP＝ ＝ ＝3.6. AB 10 ∴BP＝AB－AP＝10－3.6＝6.4.