英文翻译

我们先回忆一下多项式环的一些术语. 设n x x x ,...,,21是n 个变元. 这n 个变元的任意乘积形式:nn x x x ααα,...,,2121，成为这n 变元集上的一个单项式, 其中i α()n i ,...,2,1=是非负的整数, 有时把单项式简记为a x . 而α表示n 维向量指数()n n αααααα+++...,...,,2121成为αx 的全次数, 记为:α.例如 32231x x x 是一个6次单项式, 变量为()1,0,2,3.,,,4321=αx x x x 所以, 6=α. 如果k 属于任意邻域, 我们可以构造有限的单项式组合系数为k 这样我们就得到了关于n x x x ,...,21的多项式. 通常,一个关于n x x x ,...,,21的系数在K 中的多项式, 有如下形式αααxc f ∑=其中, ααααx c c k c ,0,≠∈是f 的项, f 有有限多项.例如 Q K ∈, 用变量z y x ,,代替角标12122--+=z z y x p 是一个包含4项的多项式.在我们举的大多数例子中, 系数的范围或是有理数的集合Q , 或是R 或全体实数,或是C . 多项式的范围不仅有有限域, 这将会在以后进行介绍. 我们把所有关于n x x x ,...,,21的系数在k中的多项式表示为[]n x x x K ,...,,21. 在[]n x x x K ,...,,21通常可以相加或相乘, 所以[]n x x x K ,...,,21又交换环的性质, 但/除零多项式都有逆元, 所以[]n x x x K ,...,,21不是域. 而有理函数集[]{}0,...,,21≠∈g x x x K g f gfn 是一个域, 表示为[]n x x x K ,...,,21.多项式f 中所有单项式每项的全次数相同,称这样的多项式为齐次多项式. 例如 32354z xy x f -+=是一个全次数为3的齐次多项式我们学习以下部分时, 齐次多项式将会表现更重要的作用.任给有限个多项式s f f f ,...,,21用任意其它的多项式去乘它们并任意作和.（1.3）定义 对s f f f ,...,,21∈[]n x x x K ,...,,21,我们用=I s f f f ,...,,21来表示这个集 例如 考虑上式中的多项式p 和以下两个多项式()4112222221--++=-+=z y x f zx f ()()()2122222221211121121f f p z y x z z x z z z y x p ∈-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--+=().51定义 设⊆I[]n x x x K ,...,,21是一个非空子集如果满足:()1对任意Ig I f ∈∈,有I g f ∈+;()2对任意I f ∈∈p []n x x x K ,...,,21有Ipf ∈则称I 为一个多项式理想. 我们称它为s f f f ,...,,21生成的理想.给定[]n x x x K ,...,,21中的理想有一些多于理想的代数意义, 一个几何学中的重要意义接下来将介绍.()6.1定义 给定⊆I[]n x x x K ,...,,21是一个理想令[]{}1:,...,1≥∈∈=m I g x x K g I mn 对某一个, 成I 为I 的根.若I I =称I 的根理想例如 223,3yxy xy x y x ++∈+.由于()()()22233,333y xy xy x y xy y xy x x y x ++∈+++=+故I y x ∈+. 但由于I 的生成元是二次齐次式显见I y x ∉+故I I ⊄.尽管在定义中不是十分明显, 我们还有以下的理想的性质. 性质 对每一个理想⊆I []n x x x K ,...,,21I I ⊃.一个在[]n x x x K ,...,,21中的关于理想的最重要的一般原理为:Hilbert 基定理 每个理想⊆I []n x x x K ,...,,21有有限个生成元, 即对每个理想I 存在有限个多项式s f f f ,...,,21使=I s f f f ,...,,21.对于含有一个变量的多项式,这是对含有一个变量的多项式除法的运算法则[]x K 中除法的算法 任给多项式[]x K g f ∈,必存在多项式r q ,使r qg f +=其中r =0或r的次数小于g 的次数. []x K 是一元多项式环.对于[]x K 中的理想，结果的推理会在以下提到对于几个变量的多项式Hilbert 基定理能通过下文中提到的Groebner 基理论的推论证明出来, 或通过给出的每个环R 中的理想是有限生成的归纳出来. 在环[]x R 中是同样成立的.我们在上文中提到的理想的例子是人为的简单化了. 在[]n x x x K ,...,,21中已给一个理想=I s f f f ,...,,21决定某个f 是否属于I , 及另一个理想t g g g J ...,2,1=是否等于I 一般来说是不容易的. 在这部分和下部分和下部分我们会学习运算法则, 运算法则是用来解决判断理想的条件判断理想是否相等, 计算理想的交集和商. 首先这些运算法则中最中最重要的意义就是说第一部分后部分介绍的[]x K 中的多项式的可约化的法则. 我们看到可约化的法则说明了每个理想I∈[]x K 都是由一些g ,gI =生成的. 更进一步, 如果∈f []x K , 我们用可约化的运算法则来判断I f ∈是否成立. 通过给出一个变量的多项式可约化的重要性, 我们提出这样的疑问:是否能给出有多个变量的多项式的相应的概念? 答案是肯定的. 为了描述这个概念我们需要通过不同的方法制约多项式通过单项式表现的方式.()1.2定义[]n x x x K ,...,,21上的一个单项式序是一个单项式集合上的序关系">且满足:a ">"是一个全序关系;b ">"与单项式乘积相容, 即当βαx x >时对任意单项式γx , 必有 γβγβγαγαx x x x x x =>=++;c ">"是一个良序, 即每个非空单项式集合中必有">"关系下的最小元素.单项时序定义的意义在于: 条件a 使我们能够把任意多项式f 各项按序的大小唯一排列; 条件b 保证这种排列不因为用另一个单项式γx 去乘f 而改变; 条件c 则使我们处理单项式集合的有关问题时能在有限步内结束.在一个多项式环[]x K 的除法算法中, 我们实际上隐含着使用了其中的单项式序:我们总是比较f 和g 的首项次数,事实上很容易验证, 一元多项式环[]x K 上只有唯一的一种单项式序.对于多元多项式环[]n x x x K ,...,,21却有许多单项式序可以选择. 把单项式集βαx x ,,其中α和β是n 元指数组, 我们约定变元i x 的序关系为:n x x x >>>...21.利用这一条有许多方法去定义单项式的序. 一些重要的会在以下定义中给出.().22定义 设βαx x ,是[]n x x x K ,...,,21的两个单项式, 规定βαxx >, 如果βα-的从左向右第一个非零分量为正数称这个序为字典序,记为"lex >". 字典序的名称来源于它类似于字典的单词排序方法.().32定义 设βαxx ,是[]n x x x K ,...,,21的两个单项式, 规定βαx x g r l e x >如果∑∑==>ni i ni i 11βα或如果∑∑===ni i ni i 11βα且βαx x lex >. ().42定义 设βαxx ,是[]n x x x K ,...,,21的两个单项式, 规定βαx x g r e v l e x >如果∑∑==>ni i ni i 11βα或如果∑∑===n i i ni i 11βα而βα-的从左向右第一个非零分量为正数.例如 在[]z y x K ,,中, 我们约定zy x>>则126223z y x z y x lex >. (2.5) 因为()()()11,4,112,6,21,2,3--=-的左边第一个分量为正数,而z y x y x lex 4363>. 因为()()()120143063-=-，，，，，，左边第一个非零分量是正的. 比较,lex 和M 的序得出结果不同.例如 z y x z y x g r e v l e x231262>. 比较上式和包含相同单项式(2.5)的式.更进一步, lex 和grevlex 是不同的序即使是有相同的全次数的含三个或更多的变量的单项式, 就像通过一对单项式我们看到的一样.例如 222z y x 和z xy 4. 因为()()()1,2,11,4,12,2,2-=-222z y x l e x >z xy 4. 另一方面, 通过定义z xy 4grevlex >222z y x . (2.6)为了将来的参考, 我们将来探讨一下用一般的方法说明[]n x x x K ,...,,21中的单项式, 我们从一个n m ⨯的实矩阵M 开始, M 的行为m w w w ,...,21, 然后我们通过比较1w 分量1w α和1w α来比较单项式βαx x ,. 如果11w w ⋅>⋅βα或11w w ⋅<⋅βα,我们根据这件事得到了单项式的序, 如果11w w ⋅=⋅βα. 我们继续比较下一行. 通过比较2w 分量,3w 分量, 直到m w 到最后比较完成. 这样的过程就定义了一个虚关系M >如果给定m l ≤,i i w w βα=1,...2,1-=l i 但l l w w βα>就可以说l M l x x ⋅>⋅βα.这样的讲解是为了得到总序, 一定有(){}0ker =⋂n Z M 如果M 的分量是有理数,这样的性质表明:nm ≥且M 是满秩, 同样的说法对M 的无理分量同样正确, 但是有小的微妙的有关秩的概念对这类的问题是合适的. 为了确保单项式序的良序的性质,足以要求M 的所有分量都是非负的.我们将会在下文中证明M >定义了对任意适当的矩阵M 的单项式的序, 事实上,通过Robiano 的结果M >的意义给了[]n x x x K ,...,,21中所有单项式的序. 我们通过以下的方法来运用单项式的序. 在[]n x x x K ,...,,21中的多项式中手相自然数的归纳总结如以下定义那样. 选定任意特殊[]n x x x K ,...,,21的单项式的序>. 我们考虑αααxc f ∑=中的项. f 中的首项是结果ααx c 各项中αx 在序关系>条件下f 中出现次数最大的单项式. 我们这样来表示()f LT >来表示首项, 或在对用哪一个单项式的序没有疑问时可以仅用()f LT 来表示. 更进一步,如果()αcx f LT =, 有()c f LC =为f 的首项系数且()αxf LM=是首相的单项式. 注明,()()0,0LC LT 和()0LM 还没被定义.例如 考虑32233yz x y x f += Q z y x ∈,,, 有()233y x f LT lex =>, 因为3223yz x y x lex >. 另一方面()32yz x f LT grevlex =>, 因为第二项的全次数是6且第一项的总次数是5. 单项式的序被用来概括可约化的法则.[]n x x x K ,...,,21中可约化运算法则 给定任意[]n x x x K ,...,,21中的单项式的序>, 设()s f f F ...1=被定为s 元的多项式, 因此每个∈f []n x x x K ,...,,21能被写成r f a f a f a f s s +++=...2211(2.6)其中对任意的i ∈r i ,α[]n x x x K ,...,,21,0=i i f α或()()i i f a LT f LT >>≥并且或者0=r 或它是单项式的线性组合. 没有任何一个()()s f LT f LT >>, (1)可约化过程的特殊法则构成将在中给出. 中间的被除数每一步的约数i f 是i 最小的像()i f LT 除中间被除数的首项, (2.6)表达式的描述将通过可约化的说明的出来. 更多的可约化的一般形式或多项式还原的一般形式在[AL]和[BW]中考虑.应当注意表达式的内容和在K 中可约化运算法则的两个不同点. 首先, 允许多项式f 被一组s 个多项式可约化此处1≥s .这明显的对于多项式环中的理想I 带来便利.注意, 2≥n , n 元多项式环的理想可以有多个生成元, 而一元多项式环的理想都是主理想, 都可由一个多项式生成. 第二, 一个多项式除法的结果是唯一的, 而多元多项式约化的结果中i α和r 可能不唯一, 当F 顺序改变时或单项式序改变时更是如此.大多数配备Groebner 基算法的程序包的计算机代数系统, 都附带有某种形式的约化算法, 但大多数情况下约化命令的输出都是余式Ff -, 商i α被省略或不显示.例如 Maple 系统的Ff -的算法包有一个函数”“normalf ,就是用于进行约化算法的.首先应该下载带有Groebner 的程序包, normalf函数指令版本是()t o r d e r F f n o r m a l f ,,这里的f 是可约多项式, F 是约数有次序的列表, torder 是指定的单项式的序.例如, 用序l e x >在括号中键入Plex 用逗号隔开, 按减序列出列出变量.类似的, 用grevlex >序,在括号中键入deg t 用逗号隔开用, 减序列出变量我们考虑在[]y x Q ,上, y x >的序把x y x f -=221和y xy f +=32分成4232xy y x f +=Maple 指令4^**22*3:^^y x y x f +=；[];3^*,2^*2^:y y x x y x F +-= (2.7)n o r m a l f ()();,,,y x P l e x F f 输出这样的结果222y x -余数为222y x f F-=-函数normalf程序利用除法法则的形式体现出来.Groebner 程序包包含几种外加的方法来说明单项式的序包括一种是为正整数元的方阵M 建立M >序, 更进一步, 是它可被用来在[]n x x x K ,...,,21上的单项式的序中共同起作用我们将在以后给出一些例子.因为我们知道[]n x x x K ,...,,21中的除法算法与一个变量的有许多许多相同的特点,通常会有这样的疑问是否给定理想s f f f I ,...,,21=中的一个元f ∈[]n x x x K ,...,,21可以通过除法算法计算余数, 一种说法是十分简单的. 即从(2.6)遵循的条件由s 个多项式可约化如果0==-Ff r , 那么s s f a f a f a f ...2211++=. 通过定义知道s f f f f ,...,21∈. 另一方面我们不能确定对每一个s f f f f ,...,21∈不能得到0=-Ff . 我们用任意I 的基F . (3.1)定义 选定在[]n x x x K ,...,,21上的单项式的序, 设I 是[]n x x x K ,...,,21上的理想I 中有有限个非零的多项式的集合{}tg g g G ,...,,21=如果满足, 对任意的非零的I f ∈,()f LT 能被某个()t g LT 整除, 则称G 为I 的一个Groebner 基.我们得出I 的Groebner 基也确实是I 的一个基. 当然必须验证对所有的[]n x x x K ,...,,21中的理想I,Groebner 基都存在. 这能通过考虑由I 所有元素首项生成的理想()I LT 这种一般的方法. 通过直接讨论或通过Hilbert 基定理, 理想()I LT 有限的生成元. 包括单项式()t i x i ,...,2,1=α. 通过定义()I LT ,有一个元Ig i ∈,()()t i x g LT i i ,...,2,1==α.余数的唯一性定理 设I 是[]n x x x K ,...,,21中的理想, 给定一个单项式的序>, 对于I 由Groebner 基得到一个表达式r g f += I g ∈, r 不能被()I LT 中的任意元除尽, 如果11r g f +=是另一种形式, 但此时r r =1.换句话说, 对I 的Groebner 基f 的除法的余数是由f 的理想I 的一般形式唯一确定的, I 由依赖于单项式的序的选择而不决定于可约化的算法. 并且余数的唯一性是Groebner 基的另一个特点.在许多情况下更有用的是已给理想s f f f I ,...,,21=, 找出I 的Groebner 基来. 这种利用Groebner 的算法通过利用某种表达式形成I 的新元素来实现.(3.2)定义 设∈g f ,[]n x x x K ,...,,21是非零多项式, 取定一个单项式的序, 设()αcxf LT =,()βdxg LT =, 令γx 是βx 和αx 的最小公倍式,作()()()g g LT xf f LT xg f S ⋅-⋅=γγ,,称为f 与g 的—S 多项式.易见()()g f g f S ,,∈.例如 x y x y x f +-=2232及y x g -=43在[]y x Q ,中取字典序有y x x 4=γ且()323,3223y x y x g y xf g f S ++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=而()g f S ,被()g f F ,=约化后的余式()324,2232yxy x y x g f S F+++-=它的首项为324y x -, 这个首项既不能被f 的首项整除又不能被g 的首项整除.Buchberger's 引理 理想I 中有限集合{}t g g g G ,...,,21=是I 的Groebner 基, 当且仅当对一切j i t j i ≠=，,...2,1,,有()0,=Gj i g g S .Buchberger's 算法: Input:{}s f f f F , (21)Output:{}t g g g G ,...,,21=F ⊇ is Groebnerbasis of G F ⊂F G =: REPEATG G =:FOR each pair q p ≠ in 'G DO()',:Gq p S S =IN 0≠S THEN {}S G G ⋃=: UNTIL ':G G =这个算法是通过不断地在基{}s f f f F ,...,21=添加S 个多项式来达到Groebner 基从而所得到的结果不唯一, 而且可能包含了许许多多的元素, 以下我们引入约化Groebner 基的概念.(3.5)定义 若G 是[]n x x x K ,...,,21中理想I 的Groebner 基, 对G 任意两个q p ,p 的任意一项都不能被q 的首项整除则称G 为约化的Groebner 基. 如果约化的Groebner 基中每个多项式的首项系数为1, 称G 为首1的约化Groebner 基.定理 给定的一个单项式的序, 则每个理想有唯一的首一约化Groebner 基.定理 m R 中有限子集{}t g g g G ,...,,21=是它生成子模M 的Groebner 基当且仅当G 中的任意一对元素j i g g ,,()j i g g S ,被G 约化的余数为0. 例如 作[]d c b a K R ,,,=上的矩阵=M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++---+d c a c d b d c b a b c d a b a 3223222,取R 上分次逆字典序,并作2R 上的TOP 扩展序, 则由M 的列生成的子模M 的Groebner 基, 基含有四个元素: 4321,,,g g g g . 注意()121e b g LT =, ()12ae g LT =从而()432212121,g bg bg ag g g S ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=, 故他被{}4321,,,g g g g G =约化的余式为零. 类似可验证G 的其它任何向量被G 约化的余式为零.定理 设{}s f f f F ,...,21=⊆m R 且去定了m R 上的单项式序,则下列算法给出F M =的Groebner 基, 其中()g f S ,表示()g f S ,被G 约化的余式. Input:{}s f f f F ,...,21=⊆m R ,an order > Output: a Groebner basis Gfor F M =F G =:REPEATG G =:FOR each pair g f ≠ in 'G DO()',:Gq p S S =IN 0≠S THEN {}S G G ⋃=: UNTIL ':G G =下面我们来利用模的Groebner 基计算约数模的生成元. 设=R[]n x x x K ,...,,21取定了某个单项式的序, {}t g g g G ,...,,21=是R的理想I 关于这个序的Groebner 基. ()n g g g Syz ,...,,21是I 的第一约束模. ()j i g g S ,是j i g g ,的-S 多项式:()()()j j i i j i g g LT xg g LT xg g S ijij⋅-⋅=γγ,,其中ijr x 为()i g LM 和()j g LM 的最小公倍式, 由于G 是I 的Groebner 基, 故()j i g g S ,被G 约化的余式为零, 从而有()j i g g S ,knk ijkg a∑==1,其中R a ijk ∈, ()k ijk g a LT ()()j i g g S LT ,≤,对一切k j i ,,都成立.记ij a 为s 维列向量s T ijs ij ij R a a a ∈),...,(21, 即s ijs ija ij ij e a e a e a a +++=...211 并记()()ij j j ij i i ij ij a e g LT x e g LT x S -⋅-⋅=, 即得到{}s j i S ij ≤≤,1:是()n g g g Syz ,...,,21的生成元.这样我们得到了下面结论.定理 设{}t g g g G ,...,,21=是R 的理想的某个单项式的序的Groebner 基, 由定理, G 中任意一对元素j i g g ,的-S 向量()j i g g S ,被G 约化的余数为为零, 从而有表达式 ()j i g g S ,knk ijkg a∑==1,其中R a ijk ∈, ()k ijk g a LT ()()j i g g S LT ,≤,对一切k j i ,,都成立. 设s e e e ...,21为s R 的标准基,记))(),((j i ij g LT g LT LCM m =, 并令s ijs ija ij ij e a e a e a a +++=...211s R ∈. ()()ij j j ij i i ij ij a e g LT m e g LT m S -⋅-⋅=.我们有如下结论:11定理 设G m R ⊆是对于单项式序的Groebner 基, 则{}s j i S ij ≤≤,1:构成第一约束模=M ()n g g g Syz ,...,,21的Groebner基, 相对于s R 上的如下单项式序:()()j i g x LT g x LT βα>在m R 中成立, 或者当()()j i g x LT g x LT βα=, 而j i <时定义j i e x e x βα>.上述定理给出了对任意Groebner 基{}t g g g G ,...,,21=计算()n g g g Syz ,...,,21的算法的框架. 更进一步, 我们可以对m R 的任意子模M , 当的生成元素为{}s f f f ,...,21时计算()n f f f Syz ,...,,21的算法.引理 (1)设S R S ∈是()s g g g Syz ,,,21 中元素则把S 看成列向量时矩阵乘积AS 是约束模()s f f f Syz ,,,21 中的元素.(2)设t R T ∈是()s f f f Syz ,,,21 中的元素, 则把T 看成列向量时矩阵乘积sR BT ∈是约束模()s g g g Syz ,,,21 中的元素.。