2019离散数学课件-无向树.ppt
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离散数学 图论-树
中序遍历（次序：左－根－右) 前序遍历（次序：根－左－右) 后序遍历（次序：左－右－根) b 中序遍历: c b e d g f a I k h j 前序遍历: a b c d e f g h i k j 后序遍历: c e g f d b k i j h a
例：给定二叉树，写出三种访问 结点的序列
是否为根树
(a) (no)
(b) (no)
(c) (yes)
从树根到T的任意顶点v的通 路(路径)长度称为v的层数。 v5的层数为 层。
层数最大顶点的层数称为树 高．将平凡树也称为根树。 右图中树高为（ ）。
v1
v2 v3
v4 v8v5Fra bibliotekv6v7 v10
v9
在根树中，由于各有向边的方向是一 致的，所以画根树时可以省去各边上的所 有箭头，并将树根画在最上方．
等长码：0-000；1-001；2-010；3-011；4-100； 5-101；6-110；7-111. 总权值: W2=3*100=300
4、二叉树的周游（遍历）
二叉树的周游：对于一棵二叉树的每一个结点都访问一次且 仅一次的操作 1）做一条绕行整个二叉树的行走路线（不能穿过树枝） 2）按行走路线经过结点的位臵（左边、下边、右边） 得到周游的方法有三种： 中序遍历（路线经过结点下边时访问结点） 访问的次序：左子树－根－右子树 前序遍历（路线经过结点左边时访问结点） 访问的次序：根－左子树－右子树 后序遍历（路线经过结点右边时访问结点） 访问的次序：左子树－右子树－根
2、根树中顶点的关系
定义：设T为一棵非平凡的根树， v2 ∀vi,vj∈V(T),若vi可达vj,则称vi为 vj的祖先,vj为vi的后代； v4 v5 若vi邻接到vj(即<vi,vj>∈E(T)，称 vi为vj的父亲,而vj为vi的儿子 v8 若vj,vk的父亲相同，则称vj与vk是兄 弟
9.1-无向树
，T 是连通图。 如果T 中有回路，那么回路上任意一对结点之间有两
条基本通路，这与题设条件矛盾。所以，图是连通 的且无回路，是树。
二、无向树的性质（续）
定理9.2 设T=<V,E>为n（n2）阶树，则T中至少有2个叶结点。 证明： (思路) 关键是应用 |E|=|V|-1
练习
已知树T中有度数为4、3和2的分支结点各1个，其余 结点均为叶结点，求树T中叶结点的数目？ 解 设树T中叶结点的数目为x，则树T的结点数目为(x+3) 。
定理 9.1 对于树T=<V,E>，|V|=n，|E|=m，下列性质 成立且相互等价： ① T中无回路且边数m=n-1； ② T是连通图且边数m=n-1； ③ T中无回路，但在T的任何不相邻结点之间增加一 条边，就得到唯一的一条基本回路。 ④ T是连通图，但删去任何一条边后，所得到的图 不连通。 ⑤ T中每对结点之间有唯一的一条基本通路。
二、无向树的性质（续）
（4） 由性质③来推证性质④。
如果T 不是连通图，则存在两个结点vi和vj，在结点vi 和vj之间没有通路，如果增加边(vi, vj)，不产生回路 ，这与性质③矛盾，因此，T 是连通图。
因为T 中没有回路，所以删除任意一条边，所得到的 图必定不是连通图。
二、无向树的性质（续）
§9.1 无向树
一、基本概念 无向树（简称树）：连通且不含有回路的无向图，常
用T表示。 森林：每个连通分支都是树的无向图。 叶结点（简称叶）：在树T中，度数为1的结点。 内部结点（或分支结点，简称分支点）：在树T中，
度数大于1的结点。
树？ 森林？ 叶？ 内部结点？
二、无向树的性质
（3） 由性质②来推证性质③。 对结点数进行归纳。 当n = 2时，m = n 1 = 1，由T的连通性质，T没有回路。如果两个结点之
条基本通路，这与题设条件矛盾。所以，图是连通 的且无回路，是树。
二、无向树的性质（续）
定理9.2 设T=<V,E>为n（n2）阶树，则T中至少有2个叶结点。 证明： (思路) 关键是应用 |E|=|V|-1
练习
已知树T中有度数为4、3和2的分支结点各1个，其余 结点均为叶结点，求树T中叶结点的数目？ 解 设树T中叶结点的数目为x，则树T的结点数目为(x+3) 。
定理 9.1 对于树T=<V,E>，|V|=n，|E|=m，下列性质 成立且相互等价： ① T中无回路且边数m=n-1； ② T是连通图且边数m=n-1； ③ T中无回路，但在T的任何不相邻结点之间增加一 条边，就得到唯一的一条基本回路。 ④ T是连通图，但删去任何一条边后，所得到的图 不连通。 ⑤ T中每对结点之间有唯一的一条基本通路。
二、无向树的性质（续）
（4） 由性质③来推证性质④。
如果T 不是连通图，则存在两个结点vi和vj，在结点vi 和vj之间没有通路，如果增加边(vi, vj)，不产生回路 ，这与性质③矛盾，因此，T 是连通图。
因为T 中没有回路，所以删除任意一条边，所得到的 图必定不是连通图。
二、无向树的性质（续）
§9.1 无向树
一、基本概念 无向树（简称树）：连通且不含有回路的无向图，常
用T表示。 森林：每个连通分支都是树的无向图。 叶结点（简称叶）：在树T中，度数为1的结点。 内部结点（或分支结点，简称分支点）：在树T中，
度数大于1的结点。
树？ 森林？ 叶？ 内部结点？
二、无向树的性质
（3） 由性质②来推证性质③。 对结点数进行归纳。 当n = 2时，m = n 1 = 1，由T的连通性质，T没有回路。如果两个结点之
《离散数学》课件-第16章树
解：易见所求为该图的一棵最小生成树，如图所示 总造价为57
18
16.3 根树及其应用
19
定义（有向树）设D是有向图，如果D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在有向树中最重要的是根树。 定义16.6（根树）一棵非平凡的有向树，如果恰有 一个顶点的入度为O，其余所有顶点的入度均为1,则称该 树为根树。 入度为0的顶点称为树根，入度为1出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的点称为内点，内点和树根统 称为分支点。 树根到一个顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数。 层数最大顶点的层数称为树高。 平凡树也称为根树。
2
16.1 树及其性质
3
定义16.1（树和森林） 连通且无回路的无向图称为无向树，简称为树，常用
T表示树。 平凡图为树，称为平凡树。 非连通且每个连通分支是树的无向图称为森林。 T中度数为1的顶点（悬挂顶点）称为树叶，度数大于
1的顶点称为分支点。 称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的n（n≥3）
定义16.8（子树）设T为一棵根树，则其任一顶点v 及其后代导若将层数相同的顶点都 标定次序，则称T为有序树。
根据每个分支点的儿子数以及是否有序，可将根树 分成如下若干类：
定义（跟树分类）设T为一棵根树 （1）若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉 树。又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树。 （2）若T的每个分支点恰好有r个儿子，则称T为r叉 正则树。又若r叉正则树是有序的，则称它为r叉正则有 序树。 （3）若T为r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高， 则称T为r叉完全正则树。又若r叉完全正则树是有序的， 则称它为r叉完全正则有序树。
8
平均编码长度为：L = ∑ P( i )× l( i ) = 2.53bit i=1
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16.3 根树及其应用
19
定义（有向树）设D是有向图，如果D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在有向树中最重要的是根树。 定义16.6（根树）一棵非平凡的有向树，如果恰有 一个顶点的入度为O，其余所有顶点的入度均为1,则称该 树为根树。 入度为0的顶点称为树根，入度为1出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的点称为内点，内点和树根统 称为分支点。 树根到一个顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数。 层数最大顶点的层数称为树高。 平凡树也称为根树。
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16.1 树及其性质
3
定义16.1（树和森林） 连通且无回路的无向图称为无向树，简称为树，常用
T表示树。 平凡图为树，称为平凡树。 非连通且每个连通分支是树的无向图称为森林。 T中度数为1的顶点（悬挂顶点）称为树叶，度数大于
1的顶点称为分支点。 称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的n（n≥3）
定义16.8（子树）设T为一棵根树，则其任一顶点v 及其后代导若将层数相同的顶点都 标定次序，则称T为有序树。
根据每个分支点的儿子数以及是否有序，可将根树 分成如下若干类：
定义（跟树分类）设T为一棵根树 （1）若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉 树。又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树。 （2）若T的每个分支点恰好有r个儿子，则称T为r叉 正则树。又若r叉正则树是有序的，则称它为r叉正则有 序树。 （3）若T为r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高， 则称T为r叉完全正则树。又若r叉完全正则树是有序的， 则称它为r叉完全正则有序树。
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平均编码长度为：L = ∑ P( i )× l( i ) = 2.53bit i=1
离散数学——树ppt课件
11
无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
证明
设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
12
例16.1
例16.1 画出6阶所有非同构的无向树。
解答 设Ti是6阶无向树。 由定理16.1可知，Ti的边数mi＝5， 由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。 于是Ti的度数列必为以下情况之一。
(1) 1，1，1，1，1，5 (2) 1，1，1，1，2，4 (3) 1，1，1，1，3，3 (4) 1，1，1，2，2，3 (5) 1，1，2，2，2，2
(4)对应两棵非同构的树， 在一棵树中两个2度顶点相邻， 在另一棵树中不相邻， 其他情况均能画出一棵非同构 的树。
13
例16.1
人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的 n(n≥3)阶无向树为星形图，称唯一的分支点为星心。
知，G-e已不是连通图， 所以，e为桥。
9
(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。
因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
u,v∈V，且u≠v，则u与v之间存在唯一的路径Г，
则Г∪(u,v)（(u,v)为加的新边）为G中的圈， 显然圈是唯一的。
10
(6)(1)
如果G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边， 在所得图中得到唯一的一个含新边的圈，则G是树。
无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
证明
设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
12
例16.1
例16.1 画出6阶所有非同构的无向树。
解答 设Ti是6阶无向树。 由定理16.1可知，Ti的边数mi＝5， 由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。 于是Ti的度数列必为以下情况之一。
(1) 1，1，1，1，1，5 (2) 1，1，1，1，2，4 (3) 1，1，1，1，3，3 (4) 1，1，1，2，2，3 (5) 1，1，2，2，2，2
(4)对应两棵非同构的树， 在一棵树中两个2度顶点相邻， 在另一棵树中不相邻， 其他情况均能画出一棵非同构 的树。
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例16.1
人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的 n(n≥3)阶无向树为星形图，称唯一的分支点为星心。
知，G-e已不是连通图， 所以，e为桥。
9
(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。
因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
u,v∈V，且u≠v，则u与v之间存在唯一的路径Г，
则Г∪(u,v)（(u,v)为加的新边）为G中的圈， 显然圈是唯一的。
10
(6)(1)
如果G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边， 在所得图中得到唯一的一个含新边的圈，则G是树。
离散数学 课件 PPT 精品课程 考研 大学课程 数学一 第九章 树
例 (2)为(1)的一棵生成树T,(3)为T的余树.
（1）
（2）
（3）
余树可能不连通，也可能含回路。
2019/1/30
11
定理9.3 任何连通图G至少存在一棵生成树. 推论1 设n阶无向连通图G有m条边,则 m≥n-1. 推论2 设n阶无向连通图G有m条边,T是G的生 成树,T'是T的余树,则T'中有m-n+1条边.
（1）
（2）
（3）
m=8,n=5
2019/1/30 12
a
d b
f
e
图中, 初级回路aed， bdf，cef.
c
这3个回路中每一 个回路都只含一条 弦,其余的边都是树 枝,这样的回路称为 基本回路.
2019/1/30
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定义9.3 设T是n阶连通图G=<V,E>的一棵生成 树,G有n条边.设e1,e2· · · ,em-n+1为T的弦,设Cr是T 加弦er产生的G的回路,r=1,2,…m-n+1.称Cr为 对应于弦er的基本回路,称{C1,C2,· · · ,Cm-n+1}为 对应生成树T的基本回路系统.
连通分支数大于等于2,且每个连通分支均
平凡图称为平凡树. 设T＝<V,E>为一棵无向树,v∈V,若d(v)＝1,
则称v为T的树叶.若d(v)≥2,则称v为T的分 支点.
2019/1/30 3
例
（a）
（b）
（c ）
图中（a），（b）为树，而（c）不是树， 但（c）为森林。
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T有5个树枝a, b, c, d, e, 因而有5个 基本割集:Sa={a,g,f } ; Sb={b,g,h } ; Sc={c,f,h } ; Sd={d,i,h } ; Se={e,f,i}. 基本割集系统为{Sa,Sb,Sc, Sd,Se}.
离散数学课件 第七章 树trees
第7章树trees分类§7.1 树定义1：T是集合A上一个二元关系，T称为树tree，如果存在v0∈A，任意v∈A，v≠v0，到v0都有唯一一条路径，（v0, v0） T. T叫做根树，记做（T，v0）。
A中元素称为T的顶点vertex，T中元素称为边，v0称为根root。
定理1. 设（T，v0）是树，则(a)T中没有回路。
(b)只有一个根v0。
(c)任意v∈A，v≠v0，v有入度1，v0入度是0。
证明：定义2层次levelv0的层次为0，v0的子女offspring层次为1，v0是子女的父母parent。
v i的层次为k，v i的子女offspring层次为k ＋1，v i是子女的父母parent，T的最大层次称为高度height。
无子女的顶点叫叶leaf。
v i的子女叫同胞sibling，同胞如有长幼，从左到右，老大，老二，老三等，组成线性序，T称为有序树，ordered tree定理2. 设（T，v0）是根树，则(a)T反自反。
(b)T反对称。
(c)(a,b)∈T，(b，c)∈T ⇒ (a，c)∉T。
定义3：n－树：每个顶点至多n个子女。
二叉树：2－树。
完全n－树：每个非叶顶点恰有n个子女。
定义4A rooted binary tree is a rooted tree in which every node has at most two children.A full binary tree (sometimes proper binary tree or 2-tree) is a tree in whichevery node other than the leaves has two children.A perfect binary tree is a full binary tree in which all leaves are at the same depth or same level.[1] (This is ambiguously also called a complete binary tree.)A complete binary tree is a binary tree in which every level, except possibly the last, is completely filled, and all nodes are as far left as possible.[2]An infinite complete binary tree is a tree with levels, where for each level d thenumber of existing nodes at level d is equal to 2d. The cardinal number of the set of all nodes is . The cardinal number of the setof all paths is .A balanced binary tree is a tree where the depth of all the sub-trees differs by at most 1.定理3. 设（T，v0）是根树，v∈T，则T(v)是T的子树，T(v)的根是v。
离散数学-树
该n元有序树又称n元位置树。2元位置树各分支结点 的左右儿子分别称为左儿子和右儿子。
离散数学导论
. 树
1.2 生成树
➢定义9.10
图T称为无向图G的生成树（spanning tree）， 如果T为G的生成子图且T为树。
✓定理9.17
任一连通图G都至少有一棵生成。
.. 树树
1.2 生成树
✓ 定理9.18
设G为连通无 向图，那么G的 任一回路与任一生 成树T的关于G的补 G – T ，至少有一 条公共边。
1.3 根树
➢ 定义9.15
每个结点都至多有两个儿子的根树称为 二元树（quasibinary tree）。类似地，每个结点都
至多有n个儿子的根树称为n元树。 对各分支结点 的诸儿子规定了次序（例如左兄右弟）的n 元树称
为n元有序树；若对各分支结点的已排序的诸儿子
规定了在图示中的位置（例如左、中、右），那么
弦组成G的一个割集，它被称为枝t-割集（t-cut set）；
而每一条弦e与T中的通路构成一回路，它被称为弦e-回
路（e-circuit）。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.20
在连通无向图G中，任一回路与任 一割集均有偶数条公共边。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.21
设G为一连通无向图，T是G的生成树， S = {e1, e2, e3,…,ek}
✓ 定理9.19
设G为连通无 向图，那么G的任 一割集
与任一生成树至少
有一条公共边。
.. 树树
1.2 生成树
➢ 定义9.11
设T为图G的生成树，称T中的边为树枝（branch） 称G – T 中的边为弦（chord）。对每一树枝t，T–t分为
离散数学导论
. 树
1.2 生成树
➢定义9.10
图T称为无向图G的生成树（spanning tree）， 如果T为G的生成子图且T为树。
✓定理9.17
任一连通图G都至少有一棵生成。
.. 树树
1.2 生成树
✓ 定理9.18
设G为连通无 向图，那么G的 任一回路与任一生 成树T的关于G的补 G – T ，至少有一 条公共边。
1.3 根树
➢ 定义9.15
每个结点都至多有两个儿子的根树称为 二元树（quasibinary tree）。类似地，每个结点都
至多有n个儿子的根树称为n元树。 对各分支结点 的诸儿子规定了次序（例如左兄右弟）的n 元树称
为n元有序树；若对各分支结点的已排序的诸儿子
规定了在图示中的位置（例如左、中、右），那么
弦组成G的一个割集，它被称为枝t-割集（t-cut set）；
而每一条弦e与T中的通路构成一回路，它被称为弦e-回
路（e-circuit）。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.20
在连通无向图G中，任一回路与任 一割集均有偶数条公共边。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.21
设G为一连通无向图，T是G的生成树， S = {e1, e2, e3,…,ek}
✓ 定理9.19
设G为连通无 向图，那么G的任 一割集
与任一生成树至少
有一条公共边。
.. 树树
1.2 生成树
➢ 定义9.11
设T为图G的生成树，称T中的边为树枝（branch） 称G – T 中的边为弦（chord）。对每一树枝t，T–t分为
《离散数学》课件-第九章 树(A)
• 证明 除根之外的每个结点都是分支点的儿子。因 为每个分支点都有m个儿子，所以，在树中除根之 外还有mi个结点。因此，这棵树共有mi+1个结点。
定理9.3.2
• 定理9.3.2一个m元正则树T 1. 若T有n个结点，则有i=（n−1）/m个分支点和 l=[(m−1)n+1]/m片树叶； 2. 若T有i个分支点，则有n=mi+1个结点和l=(m−1)i+1片树叶； 3. 若T有l片树叶，则有n=(ml−1)/(m−1)个结点和i=（l−1） /(m−1)个分支点。
大于等于2，则 2e deg(v) 2k ，从而ek,，即图T至少有k条边，与e= vV
n-1矛盾。在T中删去1度结点v0及其关联的边，得到新图T也是连通的。 根据归纳假设，T无回路，e= n-1，将删去的1度结点v0及其关联的边添 入T得到图T ，T中仍无回路，且e= n-1。
➢ （4）（5）。用反证法证明。假设在T的每一对结点之间的简单路不唯
T1
T2
T3
9
生成树
• 定义9.2.1 给定连通图G,如果它的生成子图TG是树,则称TG为G的生成树。生 成树TG中的边称为树枝；G中的不在TG中的边称为弦；TG的所有弦的集合 称为生成树TG的余树。 例如 图中黑边构成生成树 红边构成余树
注意: 余树一般不是树
10
例题
• 例9.2.1 在图9.2a.1中，哪e 些是图9a.2.1(1e)的生成树a？ e
• 证明 用归纳法对高度h进行归纳证明。
• 假设高度h=1。高度h=1的m元树由根结点及其不超过m个子 结点组成，每个子结点都是树叶。因此高度为h的m元树里至 多有m1=m片树叶。
• 因此，数据集D上的k聚类就是求使得 D( ) 最大的k划分。
定理9.3.2
• 定理9.3.2一个m元正则树T 1. 若T有n个结点，则有i=（n−1）/m个分支点和 l=[(m−1)n+1]/m片树叶； 2. 若T有i个分支点，则有n=mi+1个结点和l=(m−1)i+1片树叶； 3. 若T有l片树叶，则有n=(ml−1)/(m−1)个结点和i=（l−1） /(m−1)个分支点。
大于等于2，则 2e deg(v) 2k ，从而ek,，即图T至少有k条边，与e= vV
n-1矛盾。在T中删去1度结点v0及其关联的边，得到新图T也是连通的。 根据归纳假设，T无回路，e= n-1，将删去的1度结点v0及其关联的边添 入T得到图T ，T中仍无回路，且e= n-1。
➢ （4）（5）。用反证法证明。假设在T的每一对结点之间的简单路不唯
T1
T2
T3
9
生成树
• 定义9.2.1 给定连通图G,如果它的生成子图TG是树,则称TG为G的生成树。生 成树TG中的边称为树枝；G中的不在TG中的边称为弦；TG的所有弦的集合 称为生成树TG的余树。 例如 图中黑边构成生成树 红边构成余树
注意: 余树一般不是树
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例题
• 例9.2.1 在图9.2a.1中，哪e 些是图9a.2.1(1e)的生成树a？ e
• 证明 用归纳法对高度h进行归纳证明。
• 假设高度h=1。高度h=1的m元树由根结点及其不超过m个子 结点组成，每个子结点都是树叶。因此高度为h的m元树里至 多有m1=m片树叶。
• 因此，数据集D上的k聚类就是求使得 D( ) 最大的k划分。
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(3)(4)的证明
首先证明G中也无回路 删去u0及其关联的边，得到含有k-1个结点的图G’， G’连通且m’=n’1。由归纳假设知G’无回路。 在G’中加入u0及其关联的边恢复到G，则G无回路。 再证明在G中任意两结点之间增加一条边，得到一条且仅有一条回路。 若在G中增加一条边(ui,uj)， 因为G连通，则在G中存在一条从ui到uj的路， 那么这条路与新加入的边(ui,uj)构成回路， 而且这个回路是唯一的。 若不唯一，删掉边(ui,uj)边,G中必有回路，矛盾。
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(3)(4)的证明
如果G连通且m=n1，则G中无回路, 但增加一条新边，得到 一个且仅有一个包含新边的回路。 证明 归纳法。 当n=2时，m=n-1=1，必无回路，如果增加一边得到且仅得 到一个回路。 设n=k-1时命题成立。考察n=k时的情况。 因为G是连通的，所以每个结点u有deg(u)≥1， 下面证明至少有一个结点u0使deg(u0)=1。 若不存在，则每个结点的度至少为2，所以2n≥2m，即n ≥m， 这与m=n-1矛盾。
的连通无向图G’，
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(1)(2)的证明（续）
由归纳假设可知， G’的边数m’=n’-1=(k-1)-1=k-2。
再将结点u及(u,w)放入原位，恢复到图G，
那么G的边数 m=m’+1=(k-2)+1=k-1， 结点数n=n’+1=k， 故m=n-1成立。
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(2)(3)的证明
如果G中无回路且m=n1，其中m是边数，n是结点数，则连 通且m=n1; 只须证明G是连通的。 证明 设G有k个连通分枝G1,…,Gk(k≥1），Gi有ni个结 点,mi条边，因为Gi连通无回路，所以有 mi =ni-1，n=n1+n2+…+nk m=m1+m2+…+mk=(n1-1)+(n2-1)+…+(nk-1)=n-k 因为m=n-1，所以k=1，故G是连通的。
离散数学 离散数学
李书杰 合肥工业大学 lisjhfut@
1
学习内容
10.1 无向树 10.2 根树
2
张怡宁 － 0
张怡宁 （中国）
帖雅娜 （香港） 李佳薇 (新加坡)
4－ 0
李佳薇 (新加坡)
3－ 4
3
如果将上图看作一个图的话，这个图就是一棵树，如下图。
解 用树的性质m=n1和握手定理. 设有x片树叶，于是 n=1+2+x=3+x, 2m=2(n1)=2(2+x)=13+22+x 解出x=3，故T有3片树叶. T的度数列为1, 1, 1, 2, 2, 3 有2棵非同构的无向树, 如图所示
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例题
例2 已知无向树T有5片树叶, 2度与3度顶点各1个, 其余顶点的 度数均为4. 求T的阶数n. 解 设T的阶数为n, 则边数为n1, 4度顶点的个数为n7. 由握 手定理得 2m=2(n1)=51+21+31+4(n7) 解出n=8, 4度顶点为1个. T的度数列为1,1,1,1,1,2,3,4
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(5) (6)的证明
如果G连通且每条边均为桥，则G中任意两个结点之间存在 惟一的路径。 证明 由G是连通的可知，任意两个结点间有一条路， 若存在两点它们之间有多于一条的路， 则G中必有回路， 删去该回路上任一边， 图仍是连通的， 与G中每条边都是桥矛盾。
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(6) (1)的证明
如果G中任意两个结点之间存在惟一的路径，则G是无回路 的连通图。 证明 因为任意两结点间有唯一条路，则图G必连通。 若G有回路， 则在回路上任意两结点间有两条路， 与已知矛盾。
6
(1)(2)的证明
如果G是无回路的连通图，则G中无回路且m=n1，其中m是 边数，n是结点数 证明 归纳法。 当n=2时，因为G连通无回路， 所以只有m=1，故m=n-1成立。
假设n=k-1时命题成立，当n=k时，
因G是无回路且连通，则至少有一个度为1的结点u， 设与其关联的边为(u,w)，删去u，得到一个k-1个结点
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无向树的性质(续)
定理10.2.2 设T 是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶. 证 设T有x片树叶，m条边。由握手定理及定理10.2.1可知，
m n 1 2m d (vi ) x 2(n x)
由上式解出x2.
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例题
例1 已知无向树T中, 有1个3度顶点, 2个2度顶点, 其余顶点全 是树叶. 试求树叶数, 并画出满足要求的非同构的无向树.
n4 n5 n6 n7 n3 n1 n2
n7
n6
n5
n4
n1
n3
n2
n2
n3
n1
n4
n5
n6
n7
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定义10.2.1 无向树－－从无向图出发定义的树
无向树(树): 连通而无回路的无向图，一般用T＝<V,E>表示 叶: 树中度数为1的顶点 分支点/内部结点: 树中度数>1的顶点 森林: 一个非连通图，如果其每个连通分支都是树，则称为 森林 平凡树: 平凡图，只有一个点且无边的图 右图为一棵12阶树. 声明:本章中所讨论的回路均 指简单回路或初级回路
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定义10.2.2
生成树 设G为无向连通图，若G的生成子图（v’=v）是一棵树 ,
则称这棵树为G的生成树； 设G的一棵生成树为 T, 则T中的边称为 T的树枝,在G中而 不在T中的边称为T的弦, 所有弦的集合称为生成树T的补 注意：生成树 T的补不一定连通, 也不一定不含回路. T 右图黑边构成生成树 红边构成补
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无向树的性质
定理10.2.1 设G=<V,E>是n阶m条边的无向图，则下面各命题 是等价的： （1）G是树(连通无回路); （2）G中无回路且m=n1; （3）G是连通的且m=n1; （4）G中没有回路, 但在任何两个不同的顶点之间加一条新 边,就会得到一条唯一的基本回路. （5）G是连通的且G中任何边均为桥; （6） G中任意两个顶点之间存在惟一的 一条基本通路。
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(4) (5)的证明
如果G中无回路, 但增加一条新边，得到一个且仅有一个包含 新边的回路，则G连通且每条边均为桥。 证明 反证法。 假设G不连通， 则存在结点ui与uj，在ui和uj之间没有路， 所以增加边(ui,uj)不会产生回路，与已知矛盾。 由于G无回路，故删掉任意条边e都使G-e为非连通， 所以G中每条边都是桥。