2017年8月9日导数的几何意义及其应用-试题君之每日一题君2018年高考数学(文)一轮复习Word版含解析
天体系统-试题君之每日一题君2017-2018学年高一地理 含解析 精品
8月22日天体系统高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆银河系、太阳系、地月系三者的关系应该是下图中的A ．B ．C ．D ．【答案】A1．形成：运动中的天体相互吸引、相互绕转，形成天体系统。
2．天体系统的级别层次：3．主要天体系统的比较：天体系统 组成其他地月系地球是地月系的中心天体，月球是地球唯一的天然卫星月球是距离地球最近的自然天体。
地月平均距离为38．4万千米 太阳系太阳、行星及其卫星、小行星、彗星、流星体和行星际物质地球是距离太阳较近的一颗行星。
日地平均距离为1．5亿千米银河系太阳和千千万万颗恒星组成庞大的恒星集团太阳系与银河系中心的距离大约为3万光年总星系银河系和河外星系目前人类所知道的最高一级天体系统4．判断天体系统的方法——“四看”天体之间能否构成天体系统，关键在于能否相互吸引而达到相互绕转的程度。
这些条件必须同时具备，缺一不可。
因此判断是不是天体系统有“四看”：一看天体的数量；二看天体之间的距离；三看天体是否相互吸引；四看天体是否相互绕转。
天体系统至少由两个天体组成，单个天体不能构成天体系统。
构成天体系统的天体位置比较靠近时，相互之间的吸引力才足够大。
天体系统内部，质量较小的天体围绕质量较大的天体公转。
如果某些天体只相互吸引但达不到相互绕转的程度，也不能构成天体系统。
读天体系统的示意图，回答1—2题。
1．在包含太阳和地球的天体系统中，最高一级和最低一级的天体系统分别是 A ．银河系、太阳系 B ．河外星系、地月系C ．太阳系、地月系D ．总星系、太阳系 2．太阳系的中心天体是A ．地球B ．太阳C ．金星D ．月球美国航天局2017年2月22日宣布，一个国际天文学家小组发现，在距地球仅40光年外发现围绕单一恒星运行的7颗系外行星。
中心天体Trappist —1的质量和亮度，分别只有太阳的1/10以下和1/200，温度只有太阳的1/2。
天文学家认为，这一酷似太阳系的行星系，堪称迄今寻找外星生命的最佳地点。
考点10 导数的几何意义-2018版典型高考数学试题解读与变式(解析版)
考点十：导数的几何意义【考纲要求】（1）了解导数概念的实际背景.（2） 通过函数图像直观理解导数的几何意义. （3） 根据导数的定义求基本函数的导数.（4） 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如)(b ax f +的复合函数）的导数. 【命题规律】导数的运算是导数应用的基础，一般较少直接考查，而导数的几何意义----切线问题是高考考查的热点. 预计2017年的高考将会继续保持稳定，坚持考查导数的几何意义，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】 （一）求函数的导函数例1.【2017浙江高考改编】已知函数()()x 1fx x-2x-1e x 2-⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，求()f x 的导函数. 【答案】（I ）()()(12121()221x x x e f x x x ----=>-'；【方法技巧归纳】求函数的导函数要做到：1.基本初等函数的导函数相当熟悉；2.导函数的四则运算要熟练.另外，在求导的过程中，要注意对原式进行变形，使得便于我们求导.【变式1】【函数中含有参数，利用某函数值的导数求参数的值】【2015天津卷（文）】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ，其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ．【答案】3 【解析】因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==.【变式2】【赋值法在求导得应用，题型变为填空题】【2017江西太原高三模考一（文）改编题】已知函数()()()2102x f f f x e x xe '=+-，则)(x f 的最小值为___________________.【答案】1（二）导数的几何意义例2.【2017天津卷（文）】已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图像在点()()1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 . 【答案】1【解析】(1)f a =，切点为(1,)a ，1()f x a x '=-，则切线的斜率为(1)1f a '=-，切线方程为：(1)(1)y a a x -=--，令0x =得出1y =，l 在y 轴的截距为1.【方法技巧归纳】切线的斜率就是函数在切点处的导数，倾斜值的正切值就是斜率.【变式1】【已知含参函数的切线斜率，求参数的值（或取值范围）】【2017四川乐山第三次调研考试（理）】已知曲线()221x x f x e e ax =-+-存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()3,+∞B. 73,2⎛⎫⎪⎝⎭ C.7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D. ()0,3 【答案】B 【解析】由题得()222x x f x e e a'=-+，则方程2223x x e e a -+=有两个解，令xt e =，且()2223g t t t a =-+-，则由图象可知，有()0g t >且0∆>，即30a ->且()4830a -->，解得732a <<，故选B.【变式2】【函数的切线斜率与切线的倾斜角之间的关系】【2017安徽宣城六校联考改编题】过函数()3213f x x x =-图象上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围为A. 3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.π3π0,,π24⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C. 3π[,π) 4 D.π3π(,24⎤⎥⎦ 【答案】B【解析】由题意得()22k f x x x ==-'=()2111x --≥-,即tan α1k =≥-,解得πα02≥≥或3παπ4≤≤.即切线倾斜角的范围为π3π0,,π24⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.故选B. 【变式3】【两个函数的切线垂直求切点的取值范围】【2015陕西卷（理）】设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x =>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ．【答案】()1,1【变式4】【两个函数的切线平行求参数的值】【2014江苏】在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则.【答案】【解析】曲线过点，则①，又，所以②，由①②解得所以．（三）在一点处的切线方程例3.【2017全国1卷（文）】曲线21 y xx=+在点（1，2）处的切线方程为_________________________. 【答案】1y x=+【解析】设()y f x=，则()212f x xx-'=，所以()1211f='-=，所以曲线21y xx=+在点()1,2处的切线方程为()211y x-=⨯-，即1y x=+．【方法技巧归纳】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设()00,P x y是曲线()y f x=上的一点，则以P为切点的切线方程是()()000y y f x x x'-=-．若曲线()y f x=在点()()00,P x f x处的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x=．【变式1】【例题中增加函数性质】【2016全国3卷（理）】已知()f x为偶函数，当0x<时，()()ln3f x x x=-+，则曲线()y f x=在点()1,3-处的切线方程是__________．【答案】21y x=--【变式2】【增加例题中函数的参数，求参数的取值】【2017届衡水中学押题卷3（文）改编题】已知函数()()1e xf x bx a=-+（a，Rb∈）.若曲线()y f x=在点()()0,0f处的切线方程为y x=，求a，b 的值分别为________.【答案】2,1【解析】函数()f x的定义域为R，()()e1ex xf x b bx=+-'()1e xbx b=+-.因为曲线()y f x=在点()()0,0f处的切线方程为y x=，所以()()00,{01,ff'==得10,{11,ab-=-=解得1,{2.ab==（四）过一点的切线方程例4.【2015全国1卷（理）改编题】已知函数，．（1）当为何值时，轴为曲线的切线.【答案】（Ⅰ）；【解析】（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得.因此，当时，轴是曲线的切线.【方法技巧归纳】对于曲线)(xfy=上“过”点),(nm的切线问题，一般要先设切点),(yx，于是切线为))(('mxxfny-=-，再根据切点在曲线上得)(xfy=，切点在切线上得))(('mxxfny-=-.列方程组，可得切点的值.【变式1】【增加例题的难度，求切线的取值范围】【2017甘肃第二次高考诊断考试（理）】若P是函数()()()1ln1f x x x=++图象上的动点，点()1,1A--，则直线AP斜率的取值范围为（）A. [)1,+∞B.[]0,1C.(1,e e-⎤⎦D.(1,e-⎤-∞⎦【答案】A切线过点()1,1--，则：()()()()000011ln1ln111x x x x⎡⎤--++=++--⎣⎦，解得：00x=，切线的斜率()ln111k x=++=，综上可得：则直线AP斜率的取值范围为[) 1,+∞.（五）两曲线的公切线例5.【2016全国2卷（理）】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，则b = ．【答案】1ln2-【解析】ln 2y x =+的切点为()11ln +2x x ，，则它的切线为111ln 1y x x x =⋅++.()ln 1y x =+的切点为()22ln +2x x ，，则它的切线为：()22221ln 111x y x x x x =++-++，所以()122122111ln 1ln 11xx x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x =，212x =-，所以1ln 11ln 2b x =+=-．【方法技巧归纳】两曲线有公共切线，一般可以分别求出两曲线的切线，然后说明这两直线重合；或者先求出其中一条曲线的切线，然后说明其也和另一曲线相切.【变式1】【例题中曲线添加参数，求参数的值】【2015全国2卷】已知曲线ln y x x =+在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 相切，则a= ． 【答案】8【解析】由11y x '=+可得曲线ln y x x =+在点)1,1(处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与1)2(2+++=x a ax y 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由 2808a a a ∆=-=⇒=.【变式2】【改编题目问法，两曲线存在公切线求参数范围】【2017河南六市第二次联考（理）】若曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:xC y e =存在公共切线，则a 的取值范围为__________．【答案】2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】由y=ax2(a>0),得y ′=2ax ，由y=ex,得y ′=ex ，曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex 存在公共切线，设公切线与曲线C1切于点(x1,ax12),与曲线C2切于点()22,x x e ，则22211212x x e ax ax e x x -==-，可得2x2=x1+2，∴11212x ea x +=，记()122x ef x x +=，则()()1222'4x e x f x x +-=，当x ∈(0,2)时,f ′(x)<0,f(x)递减；当x ∈(2,+∞)时,f ′(x)>0,f(x)递增.∴当x=2时,()2min4e f x =.∴a 的范围是2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ . 【数学思想】 无限逼近的极限思想（1）由()()'()limx f x x f x f x x ∆→+∆-=∆可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平均变化率的极限，充分说明极限是人们从近似中认识精确的数学方法.极限的实质就是无限近似的量，向着有限的目标无限逼近而产生量变导致质变的结果，这是极限的实质与精髓，也是导数的思想及其内涵. （2）曲线的切线定义，充分体现了运动变化及无限逼近的思想：“两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)”⇒“割线→切线”.（3）在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点． 【处理导数的几何意义问题注意点】对于曲线切线方程问题的求解，对函数的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．对于已知的点，应首先认真审题,对于确定切线的方程问题，要注意区分“该曲线过点P 的切线方程”与“该曲线在点P 处的切线方程”的两种情况，避免出错.从历年高考题看，“该曲线在点P 处的切线方程”问题的考查较为普遍.【典例试题演练】1．【2017宁夏银川一中高三二模（文）】已知在平面直角坐标系中，曲线()ln f x a x x=+在x a =处的切线过原点，则a =A. 1B. eC. 1e D. 0【答案】B2．【2017辽宁沈阳东北育才学校第九次模拟考试（理）】已知函数()xaf x x e=- (0)a >，且()y f x =的图象在0x =处的切线l 与曲xy e =相切，符合情况的切线 A. 有0条 B. 有1条 C. 有2条 D. 有3条 【答案】A【解析】函数f(x)= xax e -的导数为f ′(x)=1−1xa ea ，a>0.易知,曲线y=f(x)在x=0处的切线l 的斜率为1−1a,切点为(0,−1)，可得切线的方程为y=(1−1a )x −1.假设l 与曲线y=ex 相切,设切点为(x0,y0)，即有e x0=1−1a =(1−1a )x0−1，消去a 得e x0=e x0⋅x0−1,设h(x)=exx −ex −1， 则h ′(x)=exx,令h ′(x)>0，则x>0，所以h(x)在(−∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增， 当x →−∞,h(x )→−1,x →+∞,h(x )→+∞， 所以h(x)在(0,+∞)有唯一解,则e x0>1， 而a>0时,1−1a<1,与e x0>1矛盾，所以不存在. 故选：A.3．【2017湖南长沙长郡中学高三5月模考（理）】设曲线()x f x e x=--（e 为自然对数的底数）上任意一点的切线为1l，总存在曲线()32cos g x ax x=+上某点处切线2l，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）A. []1,2-B. []3,+∞C. 21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】因为()()1,32sin x f x e g x a x''=--=-，所以直线12,l l 的斜率分别为()11201,32sin x k e k a x =-+=-，则由题设可得()()10132sin 1x e a x -+-=-，即10132sin 1x a x e -=+，又因为对任意1x ，都有11011x e <<+，故 存在0x 使得0032sin 1a x <-<，即存在0x 使得002sin 312sin x a x <<+，故1232a -≤≤，即1233a -≤≤，应选答案D . 4．【2017安徽蚌埠高三二质检（理）】已知函数()1xf x x a e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，曲线()y f x =上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()2,e -+∞B. ()2,0e - C. 21,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ D. 21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】曲线()y f x =上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，()()'10x f x a x e -∴=+-=有两个不同的解，即得()1xa x e -=-有两个不同的解，设()1xy x e -=-，则()'2,2,'0,2,'0x y x e x y x y -=-∴，()1xy x e -=-在(),2-∞上递减，在()2,+∞上递增2x ∴=时，函数取得极小值2,e --又因为当2x >时总有()10xy x e -=-<，所以可得数a 的取值范围是21,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选D.5．【2017四川绵阳高三月考（理）】过点()2,1A 作曲线()33f x x x=-的切线最多有（ ）A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条 【答案】A6．【2018河北石家庄二中开学考试（理）】已知函数()()21,f x g x x x ==.若直线l 与曲线()(),f x g x 都相切，则直线l 的斜率为__________． 【答案】4-【解析】因为()()21,f x g x x x ==，所以()21‘,f x x =-设曲线()f x 与l 切于点111x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则切线斜率211k x =-，故切线方程为()121111y x x x x -=--，即21112y x x x =-+，与()2g x x =联立得：2211120x x x x +-=，因为直线l 与曲线()g x 相切，所以02411221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ，解得112x =-，故斜率211k 4x =-=-.故答案为： 4-7．【2018广东茂名高三五校联盟9月联考（理）】若函数的图象在点处的切线斜率为，则函数的极小值是__________．【答案】【解析】因为，所以由导数的几何意义可得切线的斜率，故，令可得，则函数的极小值为，应填答案.8．【2017河南新乡三模（文）】若()()2f x f x +-= 33x x ++对R x ∈恒成立，则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为__________．【答案】1315y x =-（或13150x y --=） 【解析】()()()()()()3323,23f x f x x x f x f x x x +-=++∴-+=-+-+()()()()333233f x x x x x ⎡⎤∴=++--+-+⎣⎦()()()321,31,213f x x x f x x f ''∴=++=+=又()211f =，则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为()11132y x -=- ，即1315y x =-9．【2017湖南郴州市高三第四次质量检测（文）】若函数（）在区间只有一个极值点，则曲线在点处切线的方程为__________．【答案】【解析】由题意可得，所以即在有唯一奇次根.根据根的存在性定理，即，，又因为，所以.,，,所以切线方程为.答案为：x-y+6=0.10．【2018河南周口市中英文学校开学考】曲线()C:sin 2x f x x e =++在0x =处的切线方程为_____．【答案】23y x =+ 【解析】由()sin 2x f x x e =++，得()cos xf x x e ='+，()03f =，切线的斜率为()02k f ='=，故切线方程为23y x =+，故答案为23y x =+.11．【2018贵州贵阳高三8月摸底考】已知函数()()1*n n f x x x n N +=-∈，曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线与y 轴的交点的纵坐标为nb ，则数列{}n b 的前n 项和为__________．【答案】12n n +⋅【解析】对函数求导可得： ()()1'1n nf x nx n x -=-+，则()()()11'221222n n n f n n n --=⨯-+⨯=--⨯，且：()12222n n nf -=-=-，曲线在()()2,2f 处的切线方程为()()12222nn y n x -+=--⨯⨯-，令0x =可得： ()1222n y n -=+⨯，即()1222n n b n -=+⨯，错位相减可得其前n 项和为12n n -⋅.12．【2017湖南省郴州市高三第四次质量检测（文）改编】已知函数（）与函数有公共切线.则求的取值范围为_____________. 【答案】13．【2017吉林实验中学八模（理）改编】已知函数()()ln af x x a R x =+∈．（Ⅰ）若函数()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y -=，求实数a 的值．【答案】（1）1a =-【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义，得()12f '=， 1a =-；试题解析：（Ⅰ）()21'a fxx x=-,函数()f x在1x=处的切线平行于直线20x y-=.()112,1f a a∴=-=∴=-'.14．【2017陕西省西安市西北工业大学附属中学第八次模拟（理）】已知函数()()1lnt xf x e t x-=-（常数0t>）. （Ⅰ）求函数()f x的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x=与直线y tx=相切，证明：2t<.【答案】(1)()f x的单增区间为()1,+∞，单减区间为()0,1;(2)见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()'f x，()'0f x>得增区间，()'0f x<得减区间；（Ⅱ）设曲线()y f x=与直线y tx=的切点为()()00,x f x，由0011ln t x txx+-=，可得()0001lnxtx x x+=+，()()1lnxr xx x x+=+，其中11,1xt⎛⎫∈+⎪⎝⎭，利用导数研究函数的单调性可得()()12r x r<=，即2t<.（Ⅱ）证明：设曲线()y f x=与直线y tx=的切点为()()00,x f x，因为()()11t xf x t ex-⎛⎫=-⎝'⎪⎭，所以()()011t xf x t e tx-⎛⎫=-=⎪⎝⎭'，即()111t xex-=+.因为直线y tx=经过切点()()00,x f x，所以()()01000lnt xf x e t x tx-=-=，于是，有0011ln t x txx+-=，即()0001lnxtx x x+=+.令()()111t xh x ex-=--，则()()121t xh x tex-+'=>，故()h x单增，又()110h=-<，11101th et t⎛⎫+=-->⎪+⎝⎭，所以()h x有唯一零点0x，且11,1xt⎛⎫∈+⎪⎝⎭.再令()()1lnxr xx x x+=+，其中11,1xt⎛⎫∈+⎪⎝⎭，则()()2223ln1lnx x xr xx x x----=<+'，故()r x单减，所以()()12r x r<=，即2t<.。
导数的几何意义有什么
导数的几何意义有什么导数的几何意义有什么呢?同学们还有印象吗。
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导数的几何意义有什么导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。
当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续。
不连续的函数一定不可导。
导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。
函数y=fx在x0点的导数f'x0的几何意义表示函数曲线在P0[x导数的几何意义0fx0] 点的切线斜率。
导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。
导数的应用导数与物理几何代数关系密切.在几何中可求切线在代数中可求瞬时变化率在物理中可求速度加速度.导数亦名纪数、微商微分中的概念是由速度变化问题和曲线的切线问题矢量速度的方向而抽象出来的数学概念.又称变化率.如一辆汽车在10小时内走了600千米它的平均速度是60千米/小时.但在实际行驶过程中是有快慢变化的不都是60千米/小时.为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况可以缩短时间间隔设汽车所在位置s与时间t的关系为s=ft那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]当 t1与t0无限趋近于零时汽车行驶的快慢变化就不会很大瞬时速度就近似等于平均速度。
自然就把当t1→t0时的极限lim[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度这就是通常所说的速度.这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程如我们驾驶时的限“速” 指瞬时速度。
拓展阅读：导数的概念及其几何意义的数学知识点一般地，对于函数y =f(x)，x1,x2是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率上式中的值可正可负，但不为0.f(x)为常数函数时，瞬时速度:如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限.函数y=f(x)在x=x0处的导数的定义:一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作或，即。
2018年8月8日 导数的几何意义及其应用-试题君之每日一题君2019年高考数学(理)一轮复习
8月8日导数的几何意义及其应用
高考频度：★★★★☆难易程度：★★★☆☆
设函数，若为奇函数，则曲线在点
处的切线方程为
A．B．
C．D．
【参考答案】D
【名师点睛】（1）求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是
．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不
存在）时，由切线定义知，切线方程为．
（2）解决与导数的几何意义有关的问题时，应重点注意以下几点：
①确定已知点是否为曲线的切点；
②熟练运用基本初等函数的导数公式及导数运算法则；
③熟练掌握直线的方程与斜率的求解．
1．已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为A．B．
C．D．
2．函数在点处的切线平行于直线，则点的横坐标为
_______________．
3．已知曲线．
（1）试求曲线在点处的切线方程；
（2）试求与直线平行的曲线的切线方程．
1．【答案】C
【解析】，故，故，，故选C．
3．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）∵，
∴，求导可得，
∴切线的斜率为，
∴所求切线方程为，即．。
导数的几何意义及应用
1
2
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4
5
6
变式2：若曲线上一点P处的 切线恰好平行于直
线y=11x－1，则P点坐标为 ____________,
切线方程为 _____________________．
y=11x－14或 y=11x+18
变式4:若曲线C： y=x3－ax+2求在点 x=3处的切线方程为 y=11x－b ，求切点 坐标及a、b。
解：f/(x)=3x2－1， ∴所求的切线方程为： 即 y=2x 处的切线方程？
∴k= f/(1)=2
y－2=2(x－1),
同样题：已知曲线C：y=x3 －x+2，求在点x=1
变式1：求过 点A的切线方
程？
例1．曲线y=x3－x+2，求在点A(1,2) 处的切线方程？
解：设切点为P（x0，x03－x0+2）， k= f/(x0)= 3 x02－1，
一．求切线方程的步骤： 1. 设切点P（x0,y0） 2. 求k=f/(x0) 3. 写出切线方程 y－y0= f/(x0)(x－x0)
求曲线上点到－1，2）且与y=x2+ 2在点M（1，3）
处的切线垂直的直线方程是__________．
在曲线y=x3+x2+x－1的切线斜率中斜率最小的
例2：已知曲线C:y=x2－x+3,直线L:x－ y－4=0,在曲线C上求一点P,使P到直线L 的距离最短，并求出最短距离。
|134| 3 2 2
解：设P（x0，y0）,
∵f/(x)=2x－1, ∴2 x0－1=1, 解得x0= 1, ∴ y0=3,得 P（1，3）
∴P到直线的最短距离 d=
小结
切线方程是 __________ .
导数及其应用导数的几何意义
2023-10-30
目 录
• 导数的定义 • 导数的应用 • 导数的几何意义 • 导数与物理应用 • 导数的历史与发展
01
导数的定义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点附近的变化趋势。导数是微积分中的基本概念，用于描述函数在某一点处的局 部变化情况。
05
导数的历史与发展
导数的起源
01
02
03
起源追溯到17世纪，主要涉及微积分 学的发展。
当时，数学家们开始研究变化率的概 念，导数正是变化率的数学表示。
牛顿和莱布尼茨等著名数学家在这一 领域做出了重要贡献。
导数的发展历程
01
02
03
在18世纪和19世纪，导数得到了进 一步的发展和应用。
数学家们通过导数研究了许多实际应 用问题，如速度、加速度、斜率等。
04
导数与物理应用
加速度与导数
• 总结词：导数可以表示物体的加速度。 • 详细描述：在物理学中，加速度是速度的变化率，表示物体在单位时
间内速度的变化量。导数可以用来计算加速度，因为加速度是速度关 于时间的函数，而导数是函数关于变量的变化率。当速度对时间的变 化率越高时，物体的加速度也越大。 • 相关公式：a = ∆v/∆t，其中a是加速度，∆v是速度的变化量，∆t是 时间的变化量。 • 实例：在车辆行驶过程中，如果车辆突然加速，那么加速度就会增加 ，即速度对时间的变化率增加。如果车辆减速，则加速度就会减小。
导数定义的核心是极限概念，它通过计算函数在某一点处的局部极限值来描述函数在该点的变化率。导数的计算需要用到求导 公式和法则。
导数的性质
导数具有线性性质，即对于两个可导函数f和g，它们的和 、差、积和商的导数等于它们各自导数的和、差、积和商 。
导数的几何意义及其应用
导数的几何意义及其应用函数()f x 在0x 处的导数0()f x '的几何意义是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率，故曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=⋅- 导数的几何意义是高考重点考查的内容，特别是与曲线的切线方程有关的题型是考查的热点，下面就针对不同的题型分别给出解决的方法。
一、求切线方程：1.曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线方程：（1）把0x 代入函数()f x ，求出0()f x 的值，如果0()f x 的值已知，此步骤可以省略；（2）对函数()f x 求导，得到()f x '，再把0x 代入()f x '，求出0()f x '的值；（3）把0()f x 、0()f x '、0x 代入切线方程000()()()y f x f x x x '-=⋅-，化简即可。
例1.曲线21x y xe x =++在点（0，1）处的切线方程为解析：在题中0()f x 的值为1，第一步省略，直接进行第二步，对函数求导，再把0x 的值0代入，得到0()f x '的值为3，第三步把求出的值代入切线方程并化简为310x y -+= 此类题目比较简单，考生一般情况下不会失分！演变 1.曲线x y xe =在点（1，e ）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 .演变 2.曲线1y x=和2y x =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积为 .2.过点()m n ，与曲线)(x f y =相切的直线方程：（1）设切点横坐标为0x ，把0x 代入函数()f x ，得到0()f x 的表达式；（2）对函数()f x 求导，得到()f x '，再把0x 代入()f x '，得到0()f x '的表达式；（3）列出切线方程0()()y n f x x m '-=⋅-；（4）把0()f x 、0x 代入切线方程，得到000()()()f x n f x x m '-=⋅-；（5）解关于0x 的方程000()()()f x n f x x m '-=⋅-，得出0x 的值；（6）把0x 的值代入切线方程0()()y n f x x m '-=⋅-，化简即可。
高三数学导数的概念和几何意义试题答案及解析
高三数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.曲线f(x)＝·e x－f(0)x＋x2在点(1，f(1))处的切线方程为____________．【答案】y＝ex－【解析】因为f′(x)＝·e x－f(0)＋x，故有即原函数表达式可化为f(x)＝e x－x＋x2，从而f(1)＝e－，所以所求切线方程为y－＝e(x－1)，即y＝ex－.2. [2014·辽宁模拟]曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝x－2B．y＝－3x＋2C．y＝2x－3D．y＝－2x＋1【答案】D【解析】由题意得y＝1＋，所以y′＝，所以所求曲线在点(1，－1)处的切线的斜率为－2，故由直线的点斜式方程得所求切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.3.已知函数的图象在点与点处的切线互相垂直，并交于点，则点的坐标可能是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由题，，，则过两点的切线斜率，，又切线互相垂直，所以，即.两条切线方程分别为，联立得，∵，∴，代入，解得，故选．【考点】导数求切线方程.4.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】，即切线的斜率为，所以，因为，所以，即，所以的取值范围是，选B5.设函数的定义域是,其中常数.(1)若,求的过原点的切线方程.(2)当时,求最大实数,使不等式对恒成立.(3)证明当时,对任何,有.【答案】(1)切线方程为和.(2)的最大值是.（3）详见解析.【解析】(1)一般地，曲线在点处的切线方程为：.注意，此题是求过原点的切线，而不是求在原点处切线方程，而该曲线又过原点，故有原点为切点和原点不为切点两种情况.当原点不为切点时需把切点的坐标设出来.(2)令,则问题转化为对恒成立.注意到,所以如果在单调增,则必有对恒成立.下面就通过导数研究的单调性.（3）不等式可变形为：.为了证这个不等式，首先证；而证这个不等式可利用导数证明.故令，然后利用导数求在区间上范围即可.试题解析：(1).若切点为原点,由知切线方程为;若切点不是原点,设切点为,由于,故由切线过原点知,在内有唯一的根.又,故切线方程为.综上所述,所求切线有两条,方程分别为和.(2)令,则,,显然有,且的导函数为：.若,则,由知对恒成立,从而对恒有,即在单调增,从而对恒成立,从而在单调增,对恒成立.若,则,由知存在,使得对恒成立,即对恒成立,再由知存在,使得对恒成立,再由便知不能对恒成立.综上所述,所求的最大值是.（3）当时，令，则，故当时，恒有，即在单调递减，故，对恒成立.又，故，即对恒有：，在此不等式中依次取，得：，，，，，…………………………，将以上不等式相加得：，即.【考点】导数及其应用.6.已知函数(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)求的单调区间；(3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.【答案】(1)(2)详见解析(3)【解析】(1)已知函数的解析式,把切点的横坐标带入函数即可求出切点的纵坐标,对求导得到函数的导函数,把带入导函数即可求的切线的斜率,利用点斜式即可得到切线的方程.(2)对函数进行求导和求定义域,导函数喊参数,把分为两种情况进行讨论,首先时,结合的定义域即可得到导函数在定义域内恒大于0,进而得到原函数在定义域内单调递增,当时,求解导函数大于0和小于0的解集,得到原函数的单调递增和单调递减区间.(3)该问题为存在性问题与恒成立问题的结合,即要求,而的最大值可以利用二次函数的图像得到函数在区间上的最值,函数的最大值可以利用第二问的单调性求的,当时,函数单调递增,无最大值,故不符合题意,当时,函数在处前的最大值,带入不等式即可求的的取值范围.试题解析：(1)由已知， 1分，所以斜率， 2分又切点，所以切线方程为)，即故曲线在处切线的切线方程为。
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8月9日 导数的几何意义及其应用
高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆
典例在线
（1）（2017新课标全国I ）曲线2
1
y x x
=+
在点（1，2）处的切线方程为_______________； （2）（2016新课标全国Ⅱ）若直线y=kx +b 是曲线y =ln x +2的切线，也是曲线y =ln(x +1)的切线，则
b =_______________．
【参考答案】（1）1y x =+；（2）1ln2-． 【试题解析】（1）设()y f x =，则21
()2f x x x
'=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线2
1
y x x
=+
在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-， 即1y x =+．故填1y x =+．
（2）对于函数ln 2y x =+，求导得1y x '=
，对于函数ln(1)y x =+，求导得11
y x '=+， 设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与曲线ln(1)y x =+相切于点222(,)P x y ，
则1122ln 2,ln(1)y x y x =+=+，由点111(,)P x y 在切线上得
111
1
(ln 2)()y x x x x -+=-， 由点222(,)P x y 在切线上得2221
ln(1)()1
y x x x x -+=
-+， 这两条直线表示同一条直线，所以122
21
2111
21ln(1)ln 1x
x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨+⎪+=+⎪+⎩，
解得1
11
11
,2,ln 211ln 22x k b x x ====+-=-∴．故填1ln2-． 【名师点睛】（1）求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设),(00y x P 是曲线)(x f y =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，
由切线定义知，切线方程为0x x =．
（2）解决与导数的几何意义有关的问题时，应重点注意以下几点： ①确定已知点是否为曲线的切点；
②熟练运用基本初等函数的导数公式及导数运算法则； ③熟练掌握直线的方程与斜率的求解．
学霸推荐
1．已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()e x f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程为 A ．y x = B ．2y x =- C ．2y x =
D ．y x =-
2．函数3
2y x x =+-在点P 处的切线平行于直线44y x =-，则点P 的横坐标为_______________． 3．已知曲线3
:()x C f x x =-．
（1）试求曲线C 在点(1,()1)f 处的切线方程； （2）试求与直线53y x =+平行的曲线C 的切线方程．
2．【答案】1-
【解析】由f (x )=3
2y x x +=-得2
()31f x x '=+ ， 设00)(,P x y ，则2
00()31f x x '=+，
由曲线3
=2y x x +-在点P 处的切线平行于直线44y x =-，得到切线的斜率为4，
所以2
0314x +=，解得0=1x ±．
又01x =时，00y =，此时直线44y x
=-即为切线，不符合题意，应舍去，所以01x =-， 所以点P 的横坐标为1-．
（2）设与直线53y x =+平行的切线的切点为00(,)x y ，
则切线的斜率为2
00()31k f x x '==-．
又所求切线与直线53y x =+平行，∴2
0315x -=，解得
代入3
()x x f x =-可得切点为。