高等数学：第11章无穷级数自测题答案

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无穷级数自测题

第十一章无穷级数自测题 A一、选择题：1．下列级数中，收敛的是( )。

A ． ∑∞=11n n B ． ∑∞=11n nnC ． ∑∞=1321n n D ． ∑∞=-1)1(n n2．下列级数中，收敛的是( )。

A ． 11)45(-∞=∑n n B ． 11)54(-∞=∑n nC ． 111)45()1(-∞=-∑-n n n D ． ∑∞=-+11)5445(n n3．下列级数中，收敛的是( )。

A ． ∑∞=1222)!(n n nB ． ∑∞=1!3n n n nnC ． 21sin nn nππ∞=∑D ． ∑∞=++1)2(1n n n n4．部分和数列{}n s 有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的( )。

A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件5．设a 为非零常数,则当( )时,级数∑∞=1n n r a收敛。

A ． 1<r B ． 1≤r C ． a r <D ． 1>r6.(3)1,6.....n n n a x x x A B C D ∞=-=-=∑若级数在处收敛则此级数在处（）绝对收敛发散条件收敛敛散性不定二、填空题：1．设级数∑∞=-12)1(n nn na 收敛，则级数∑∞=1n n a 。

2．设级数∑∞=12n n u ，∑∞=12n n v 收敛，则级数∑∞=1n n n v u 。

3．若级数∑∞=1n n u 的前n 项和)12(2121+-=n s n ，则=n u ，∑∞=1n n u = 。

4．函数 f(x)=lnx 在 x=1 处的幂级数展开式为______________________。

5．级数11n n nx ∞-=∑的和为__________________(ln 3)6.2级数的和为nnn ∞=∑ . 三、判别下列级数的收敛性:1．∑∞=1222)!(n n n 2．∑∞=1223cos n nn n π3．判别级数∑∞=+-11ln)1(n n nn 的敛散性。

高等数学测试及答案(第十一章)

高等数学测试（第十一章）一. 选择题（每题3分，共30分） 1.下列级数收敛的是（）A.135(21)25(31)n n n ∞=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-∑ B. 212n n n ∞=+∑ C. 1πsin n n ∞=∑D. n ∞= 2.下列级数条件收敛的是（）A.15(1)4nn n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑B. 1(1)n n ∞=-∑C.13(1)5n n n ∞=-∑D. 1(1)n n ∞=-∑3.设a为常数，则级数21sin n a n ∞=⎛ ⎝∑（）A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.收敛性与a 无关4．下列命题正确的是 ( ) A.lim 0n n u →∞=，则1nn u∞=∑必发散 B.lim 0n n u →∞≠，则1nn u∞=∑必发散 C.lim 0n n u →∞=，则1nn u∞=∑必收敛 D.lim 0n n u →∞≠，则1nn u∞=∑必收敛5.若级数1n n u ∞=∑收敛，则级数（）A. 1n n u ∞=∑收敛 B. 1(1)nn n u ∞=-∑收敛 C. 11n n n u u ∞+=∑收敛 D. 112n n n u u ∞+=+∑收敛 6.设0n u >，若1nn u∞=∑发散，1(1)nnn u∞=-∑收敛，则下列结论正确的是（）A. 211n n u∞-=∑收敛，21nn u∞=∑发散 B.211n n u∞-=∑发散，21nn u∞=∑收敛C.2121()n n n uu ∞-=+∑收敛 D. 2121()n n n u u ∞-=-∑收敛7.设10(1,2,)n u n n ≤≤=，则下列级数中一定收敛的是（）A. 1n n u ∞=∑ B. 1(1)n n n u ∞=-∑C.n ∞=D. 21(1)n n n u ∞=-∑8.若幂级数∑∞=-1)1(n n nx a在1-=x 处收敛,则该级数在点3=x 处（）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 一定发散D. 可能收敛也可能发散 9. 设幂级数∑∞=+0)1(n n nx a在2-=x 处条件收敛，则它在2=x 处（）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性不确定 10. 级数13nn n a ∞=∑收敛，则级数1(1)2n nn n a ∞=-∑（） A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.收敛性不确定二. 填空题（每题4分，共20分）11.级数0(ln3)2n nn ∞=∑的和为___________. 12.若lim n n u →∞=∞，则1111n n n u u ∞=+⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑ .13.幂级数1(1)nn n x∞=+∑的和函数为________________.14.函数112x +展开式为x 的幂级数为________________. 15.幂级数2024n nn x n ∞=+∑收敛区间为________.三.计算题（每题10分，共50分）16. 求幂级数()()n n x n n 202!!2∑∞=的收敛区间. 17. 求幂级数21(2)4nn n x n ∞=-∑的收敛域. （不考虑端点情况）18.求()x x f arctan =的麦克劳林展开式. 19.将函数1()(3)f x x x =+展开成2x -的幂级数,并写出收敛域.20.将()x x f 3=展开为2-x 的幂级数，并指出收敛区间.答案：一.选择题1—5 A B C B D 6—10 D D D A C二. 填空题11. 3ln 22-. 12. 11u . 13. ()2212x x x --. 14. ()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛<<--0212121n n n n x x . 15. 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 三.计算题16. 求幂级数()()n n x n n 202!!2∑∞=的收敛区间（不考虑端点情况）. 【解析】因为()()()()()()()()22221221411n 22lim !!2!1!12lim lim x x n x n n x n n u u l n n n n nn n =++=++==∞→+∞→+∞→. 当142<=x l ，即21<x 时级数()()n n x n n 202!!2∑∞=绝对收敛；当142>=x l ，即21>x 时级数()()n n x n n 202!!2∑∞=发散；故级数()()n n x n n 202!!2∑∞=的收敛区间为2121<<-x .17. 求幂级数21(2)4nnn x n ∞=-∑的收敛域. 【解析】令2x t -=级数化为214n n n t n ∞=∑，这是缺项幂级数，讨论正项级数21||4nnn t n ∞=∑，而222112||41lim lim (1)4||4n n n n n n n nu t n l t u n t +++→∞→∞==⨯=+，当211,4l t =<即||2t <时级数214nn n t n ∞=∑绝对收敛；当211,4l t =>即||2t >时级数214nn n t n ∞=∑发散；当211,4l t ==即2t =±时级数化为11n n∞=∑是发散的；故级数214n n n t n ∞=∑收敛域为(2,2)-，由2x t -=得级数21(2)4nnn x n ∞=-∑收敛域为(0,4). 18.求()x x f arctan =的麦克劳林展开式.【解析】()()()()()()∑∑∞=∞=<<--=-=+='='0202211,1111arctan n n nn nn x x x x x x f .则()()()()()1,121111200200020<+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-='=+∞=∞=∞=∑⎰∑⎰∑⎰x x n dt t dt t dt t f x f n n nx nn n xn n n x. 19.将函数1()(3)f x x x =+展开成2x -的幂级数,并写出收敛域.【解析】令2x t -=，则2x t =+，11111111()(2)(5)3256151125f x t tt t t t ⎛⎫==-=- ⎪++++⎝⎭++；又因01()1nn x x ∞==-+∑，所以001()(1)(22)2212n n n n n n t t t ∞∞===-=--<<+∑∑； 001()(1)(55)5515n n n n n n t t t t ∞∞===-=--<<+∑∑；故0011()(1)(1)62155n nn n n n n n t t f x ∞∞===---∑∑ 11011(1)(22)3235n n n n n t t ∞++=⎡⎤=---<<⎢⎥⋅⋅⎣⎦∑ 11011(1)(2)(04)3235n n n n n x x ∞++=⎡⎤=---<<⎢⎥⋅⋅⎣⎦∑. 20.将()x x f 3=展开为2-x 的幂级数，并指出收敛区间. 【解析】令t x =-2，则()3ln 29393t t t ex f ⋅=⋅==+.而()+∞∞-∈=∑∞=,,!0x n x e n nx.所以()()()()()()()()()+∞∞-∈-=-=+∞∞-∈===∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=,,2!3ln 92!3ln 9,,!3ln 9!3ln 930x x n x n t t n n t x f n n n n n n n n n n nx.。

【高等数学习题】第十一章无穷级数

xn 7、求的收敛区间及和函数 . n 0 n(n 1)

1 x 8、 (1)将f ( x) arctan 展成x的幂级数，指出收敛区 1 x 间. 1 (2)将f ( x) 2 展成( x 1)的幂级数，并求收 x x6 敛区间 .
2 x 0, x, 9、设f ( x) 写出f ( x)以4为周期的付立叶 0 x 2, 2 x, 级数的和函数 s ( x)在[2,2)上的表达式，并求 s (1), s (3).
第十一章
无穷级数
1、 (1) n 1 n是否收敛，若收敛试求其和.
n1

(2)设 an收敛，且其和为 s，试证 (an an 1 )
n 1 n 1

也收敛，且其和为 2s a1.
(3)判别 (1)
n 1 n 1
n 1 的敛散性 . 3n 2
2、判别下列级数的敛散性
1 5n n! 1 (1) (2) p sin n n 1 (2n 1) n 1 n n
3、研究下列级数的敛ຫໍສະໝຸດ 性 n a n (1) (cos x) (2) p (a 0, p 0) n 0 n 0 n 1 n 1 4、级数 (1) 是否收敛？如果收敛， n 1 n ln(1 n) 是绝对收敛还是条件收敛.
x, x 0, 10、将f ( x) 展成付立叶级数 . x,0 x ,
11 、将f ( x) x ( x )展成付立叶级数 .
12、将f ( x) x 1 (0 x 2)分别展成正弦级数及余弦级数.
( x 3) 5、求的收敛半径，收敛区间和收敛域. n n 1 n3

(完整版)无穷级数习题及答案.doc

第十一章无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1；．1；3． 11 。

2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。

n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn；．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。

28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。

xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。

30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n．； 5．；6．，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。

[整理]11无穷级数习题与答案

第十一章无穷级数A1、根据级数发散与收敛性定义与性质判断级数收敛性1）()∑∞=-+11n n n2）...12)(12(1...751531311++-++⋅+⋅+⋅n n3）) (6)sin(...)62sin()6sin(πππn +++2、用比较法或极限形式的比较法判定级数收敛性。

1） )2sin()2sin()2sin(32n πππ+++2）∑∞=+111n n a ()1>a3）∑∞=++1)4)(1(1n n n4） ...11 (3131212112)22n n +++++++++3、用比值审敛法判定级数收敛性1）∑∞=+112tan n n n π2）∑∞=123n n n3）∑∞=132n n n n4、用根值法判定级数收敛性1）n n n n ∑∞=+1)13(2）[]∑∞=+1)1ln(1n n n5、下列级数是否收敛，若收敛是绝对收敛还是条件收敛 1）...4131211+-+-2）∑∞=--113)1(n n nn3）∑∞=⋅-1231)1(n nn6、求下列幂级数的收敛性半径和收敛域域。

1) ...)1(...21222nx x x n n -+++-2)∑∞=--122212n n n x n3)∑∞=-1!21)1(n n n nx n7、利用逐项求导或积分求级数的和函数. 1)∑∞=++11414n n n x2)∑∞=-11n n nx8、将函数展开成x 的幂级数并求收敛区间.1）2xx e e shx --=2）x a3）x 2sinB1、判断积数收敛性 1) ∑∞=1!.2n n n n n2) ∑∞=-1!2)1(2n n n n2、利用逐项求导或积分求级数∑∞=+0212n nn x 的和函数.3、求幂级数∑∞=--1)5()1(n nn n x 的收敛域.4、将x cos 展开成3π+x 的幂级数.5、将函数231)(2++=x x x f 展开成4+x 的幂级数.C1、求 ∑∞=-1n nx ne的收敛域. 2、求 ∑∞=+022!1n n n x n n 的和函数. 3、)(x f 是周期为2的周期函数，且在区间[]2,0上定义为：⎩⎨⎧≤<≤≤=21,010,)(x x x x f 求傅里叶展开式. 4 利用3题结果证明用结果证明，∑∞==12261n n π第十一章无穷级数答案习题答案A1、1）发散 2) 收敛 3) 发散2、1) 收敛 2) 收敛 3）收敛 4)发散3、1) 收敛 2）收敛 3）收敛4、1) 收敛 2）收敛5、1）条件收敛 2）绝对收敛 3）绝对收敛6、1) 收敛半径1=R ，收敛区间:[]1,1-2) 收敛半径2=R ，收敛区间为：()2,2- 3) 收敛半径∞=R , 收敛区间为：()∞∞-,7、1)∑∞=++11414n n n x x x x x --++=11ln 41arctan 21 )1(<x 2)211)1(1x nx n n -=∑∞=- )1(<x 8、1）∑∞=---=-=112)!12(2n n x x n x e e shx ()+∞∞-∈,x 2）n n n a x x x n a e a ∑∞===0ln !ln ()+∞∞-∈,x 3）x 2sin =)!2(4)1(21212cos 212120n x x n n nn ∑∞=--=- ()+∞∞-∈,x B1、1) 解：1111)1(2lim )1()!1(2!.2lim lim -∞→--∞→-∞→-=--=n n n n n n n n nn n n n n n n u u 12)11(lim 21.<=-+=---∞→e n n n n n 由比值法，级数∑∞=1!.2n n n nn 收敛2) 解： 12lim )!1(2!2lim lim 12)1(122>∞==-=-∞→-∞→-∞→n n n u u n n n n n n n n 由比值法，级数∑∞=-1!2)1(2n n nn 发散 2、解：dx x x n x x n x x n n n n n n ⎰∑∑∑∞=∞=+∞==+=+00201202112112 dx x x x ⎰-=02111 x x x -+=11ln 21 )1(<x3、解:11lim lim1=-==∞→-∞→n n a a n n n n ρ，收敛半径11==ρr 6=x 时级数()∑∞=-111n n n 为交错级数收敛4=x 时级数为∑∞=11n n 发散，所以:收敛域为:(]6,44、)3sin(3sin )3cos(3cos )33(cos cos ππππππ+++=-+=x x x x ∑∑∞=+∞=++-++-=01202)!12()3()1(23)!2()3()1(21n n nn n n n x n x ππ 或者直接展开为：n n x n n )3(!)23cos(0πππ∑∞=++- 5、将函数231)(2++=x x x f 展开成4+x 的幂级数解：设4+=x t 则4-=t x1121341)24(1)(---=+--+-=t t t t x f t t -+--=112121∑∑∞=∞=+-=002)2(21n n n t t )2(<t 所以231)(2++=x x x f =∑∑∞=∞=+-=002)2(21n n n t t C1、解:x xn nx n n n n e e n ne u u ----∞→-∞→=-=)1(1)1(lim lim 当0>x 时1<-x e；0<x 时1>-x e ；0=x 时∑∑∞=∞=-=11n n nx n ne 发散所以:收敛域:()∞∈,0x2、解：令t x =2 ∑∑∑∞=∞=∞=+=+02002!!2!1n n n n n n n t n n n t x n n n n t t n n e ∑∞=-+-+=1)!1(11n n n n t t n t n e ∑∑∞=∞=-+-+=211)2(1)!1(1t t t e t te e 2++=)421(22x x e x++= 3、解2121)(00210200====⎰⎰x xdx dx x f a⎰⎰==2010c o s c o s )(x d x n x x d x n x f a n ππx d x n n x n x n x d x n xd n ⎰⎰-==101010sin 1sin 1sin 1ππππππ[]1)1()(1cos )(12102--==n n x n n πππ xdx n x xdx n x f b n ππsin sin )(1020⎰⎰==xdx n n x n x n xdx n xd n ⎰⎰+-=-=101010cos 1cos 1cos 1ππππππ 1102)1(1sin )(1)1(1+-=+--=n n n x n n n ππππ所以： []x n n x n n x f n n n ππππsin )1(1)12cos()12(1241)(1112+∞=∞=-+---=∑∑ 当1=x 时：收敛于21 4、由⎩⎨⎧≤<≤≤=21,010,)(x x x x f[]x n n x n n x f n n n ππππsin )1(1)12cos()12(1241)(1112+∞=∞=-+---=∑∑（1≠x ）[]∑∞==--=120)12(1241)0(n n f π 8)12(1212π=-∑∞=n n ，记48)2(1)12(112121212s n n ns n n n +=+-==∑∑∑∞=∞=∞=π 所以：683412212ππ=⋅==∑∞=n n s。

无穷级数题(含答案)

⎛ ⎜⎝
∞ n=0
xn
⎞′′ ⎟⎠
=
1 2
(1 +
∞
x)n=2n(n− 1) x n −2
∑ ∑ = 1 ∞ n(n −1)xn−2 + 1 ∞ n(n −1)xn−1
2 n=2
2 n=2
∑ ∑ ∑ = 1
∞ (n + 2)(n +1)xn + 1
∞
(n +1)nxn =
∞
(n +1)2 xn ,
x <1
n=1
(2n)!n
∑ 27, 令 S(x) = ∞ 2n + 3 x2n , x ∈ (−∞, +∞).，则 n=0 n!
∑ ∑ ∑ S(x) =
∞
2nx2n + 3 ∞
(x2 )n
∞
=2
x2n + 3ex2
n=0 n!
n=0 n!
n=1 (n −1)!
∑∞
=2
x2 (x2 )n + 3ex2 = 2x2ex2 + 3ex2 = (2x2 + 3)ex2 .
=1 e
≠ 0 ，级数发散。
n
（6） lim un+1 = 0 ，级数收敛。 u n→∞
n
（7）因为 lim n→∞
un 1
∑ = lim n +1 = 1 ，原级数与级数 ∞
1
敛散
n→∞ n
n=1 (n +1) ln(n +1)
(n +1) ln(n +1)
性相同，故原级数发散。 18，（1）条件收敛（用莱布尼兹判别法即可）；（2）条件收敛；

无穷级数习题课及答案

第十一章无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1．()∑∞=+-+112n n n ；2．()∑∞=+12221n n n判断下列正项级数的敛散性1．∑∞=1100!n nn 2．()∑∞=++1332n n n n ；3．∑∞=14!n n n ；求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛1．()∑∞=---11121n n n n ；2．Λ+-+-0001.1001.101.11.1； 3．Λ++-+++-144133********；求下列幂级数的收敛半径和收敛区间1．∑∞=13n nn x n；2．∑∞=1!n nx n ；3．()∑∞=-1121n nnx n；4．∑∞=+-112121n n n x；5．∑∞=123n nn x n求下列级数的和函数1．∑∞=-11n n nx；2．121121+∞=+∑n n n x ；将下列函数展开成0x x -的幂的级数1．x 2cos ，00=x ；2．()()x x ++1ln 1，00=x ；3．x1，30=x ； (B)用定义判断下列级数的敛散性()()∑∞=++043131n n n 判断下列正项级数的敛散性1．∑∞=+1n )1(1n n ；2．1131++∑∞=n n n ；3．∑∞=13n n n ；判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛1．()∑∞=-⋅-11311n n n n ；2．()∑∞=--1n1211n n ；求下列幂级数的收敛半径、收敛区间1．()∑∞=-121n nnn x ；求下列幂级数的收敛区间、和函数与级数和求∑∞=--11)1(n n x n 的收敛区间与和函数，并由此求数项级数∑∞=-112n n n 的和；将下列函数展开成0x x -的幂的级数1．()13212+-=x x x f ，00=x ；2．()21x x f =，10=x。

高数下册第11章复习题与答案

第十一章-无穷级数练习题（一）. 基本概念1.设∑∞=1n n U 为正项级数，下列四个命题（1）若,0lim =∞→n n U 则∑∞=1n n U 收敛；（2）若∑∞=1n n U 收敛，则∑∞=+1100n n U 收敛；（3）若,1lim 1>+∞→nn n U U 则∑∞=1n n U 发散；（4）若∑∞=1n n U 收敛，则1lim 1<+∞→nn n U U ．中, 正确的是( ) A ．(1)与(2); B ．(2)与(3);C ．(3)与(4);D ．(4)与(1)．2.下列级数中，收敛的是（）． A ．∑∞=11n n ； B ．∑∞=+112n n n ； C ． +++3001.0001.0001.0; D ． +⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+43243434343． 3.在下列级数中，发散的是（）． A ．∑∞=-11)1(n n n ；B ．∑∞=+11n n n； C ．∑∞=131n nn;D ． +-+-44332243434343．4.条件（）满足时，任意项级数1nn u∞=∑一定收敛.A. 级数1||n n u ∞=∑收敛；B. 极限lim 0n n u →∞=；C ．极限1lim1n n nu r u +→∞=<；D. 部分和数列1n n k k S u ==∑有界.5.下列级数中条件收敛的是（）．A . ∑∞=11cos n n ; B. ∑∞=11n n ;C. ∑∞=-11)1(n n n ; D. ∑∞=-11)1(n n n n ．6.下列级数中绝对收敛的是（）．A . ∑∞=-11)1(n n n ; B. ∑∞=-121)1(n n n ; C. ∑∞=+-11)1(n n n n ; D. ∑∞=11sin n n ．（二）. 求等比级数的和或和函数。

提示：注意首项 7.幂级数 1021+∞=∑n n n x 在)2,2(-上的和函数=)(x s ． 8.幂级数 ∑∞=-04)1(n n nnx 在)4,4(-上的和函数=)(x s ．9.无穷级数125()3n n ∞=∑的和S = .（三）. 判定正项级数的敛散性。

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《高等数学》单元自测题答案
第十一章无穷级数
一．选择题：
1.B ；
2. D ；
3.A ；
4.B ；
5.B ；
6.B ；
7. C ；
8.C .
二．填空题：
1. ()
∑∞=-021n n n x ，()1,1-∈x ；2. ()x +1ln ； 3. [)6,0； 4. 2
k . 三．判断题：
1. 解因为02121lim ≠=+∞
→n n n ，故级数发散. 2. 解因为n n n n n n n 1)3(3)3(32=++>++，而∑∞=11n n
发散，故原级数发散. 3. 解设n n n n u )13(
+=，因为13113lim lim <=+=∞→∞→n n u n n n n ，故级数收敛. 4. 解因为()∑∞=-+1
212n n n ∑∑∞=∞=--+=111)21()21(n n n n ,并且级数∑∑∞=∞=--111)21()21(n n n n 和均收敛,故级数()∑∞=-+1212n n n
收敛. 四．判断题：
1. 解
()∑∑∞=-∞=--=-11111221n n n n n n
n ，因为12121lim 221lim lim 11<=+=⋅+=∞→-∞→+∞→n n n n u u n n n n n n n 故∑∞=-112n n n 收敛，从而()∑∞=---11121n n n n 绝对收敛.
2. 解 ∑∞=-+-=++-+++-1
212221)1(14413312221n n n n ， ∑∑∞=∞=-+=+-1212111)1(n n n n n n n ，因为11lim 11lim 222=+=+∞→∞→n n n
n n
n n ，而级数∑∞=11n n
发散，故绝对值级数∑∞=-+-121
1
)1(n n n n 发散，因此所给级数不是绝对收敛的.由于所给级数是交错级数，且满足1
)1(11,01lim
222+++>+=+∞→n n n n n n n ，据莱布尼兹判别法知，
所给级数收敛，且为条件收敛.
五．求幂级数的收敛半径和收敛域
1. 解 3313lim lim 11=⋅+=+∞→+∞→n n n n
n n n n a a ，故收敛半径为31R =, 当31=x 时，幂级数化为∑∞=1
1n n ，该级数发散.当31-=x 时，幂级数化为∑∞=-11)1(n n
n
，其为交错级数，据莱布尼兹判别法知，该级数收敛.故所给幂级数的收敛域为⎪⎭
⎫⎢⎣⎡-3131，. 2. 解 n n n n n n n n n n a a n n n n n n n n n
n n n
n n 1)1(lim 1)1(lim )1(lim 1)1(1
lim lim 111111⋅+=⋅+=+=+=+∞→++∞→+∞→+∞→+∞→ 001lim )1
11(lim 11=⋅=⋅+-=-∞→+∞→e n n n n n ，故收敛半径为∞=R ,收敛域为()∞+∞-，
. 3. 解 ∞=+=+=∞→∞→+∞→)1(lim !)!1(lim lim 1n n n a a n n n
n n ，故收敛半径为0R =,收敛域为0=x . 六. 解：由于()x x f 2-=是奇函数，故0=n a ， ,2,1,0=n ()⎰--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---==πππ
πππx n nx x n ntdt t b n sin 1cos 12sin 21 ()n
n 41-= ∴()()nx n
x f n n sin 141∑∞=-=。

七．解：1）正弦级数，注意到()00=f ，作奇延拓()x F ，()l l x ,-∈使在[]l ,0上恒有()()x f x F ≡。

再将()x F 周期延拓得()x G ，()+∞∞-∈,x ，()x G 是一个以l 2为周期的连续函数，()()x F x G ≡，()l l x ,-∈，计算付氏系数如下：
0=n a ，( ,2,1,0=n )
()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+=⎰⎰20sin sin 2l l x l n dx l x n x l dx l x n x l b ππ 2sin 42
2ππn n l
=, ,2,1=n ∴()∑∞
==12
2sin 2sin 14n l x n n n l x f πππ,()l x ≤≤0. 2)余弦函数
作偶延拓设()x F ，()l l x ,-∈使在[]l ,0上恒有()()x f x F ≡。

再将()x F 周期延拓得()x G ，()+∞∞-∈,x ，()x G 是一个以l 2为周期的连续函数，()()x F x G ≡，()l l x ,-∈，计算付氏系数如下：
()x
l dx x l xdx l a l l l =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰⎰22002 ()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+=⎰⎰20cos cos 2l l x l n dx l x n x l dx l x n x l a ππ ()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---=22222222212cos 22ππππn l n l n n l l n , ,2,1=n 0=n b
∴()()∑∞=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---+=122cos 112cos 2124n n l x n n n l l x f πππ,()l x ≤≤0.。