统计学原理 第8章 相关与回归分析
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统计学课件第八章相关与回归分析
统计学概论
相关表将两个变量伴随变动结果编 成一张统计表，即相关表。
简单相关表两个变量均不分组而形 成的相关表。
分组相关表对变量进行分组而形成 的相关表。依两个变量是否同时分 组，又分为：
单变量分组相关表只对其中一 个变量分组。
单变量分组相关表对两个变量 同时分组。
课件
17
中南大学
两种相关表的适用范围
课件
8
中南大学
相关关系的种类
统计学概论
2、按相关关系形式可分为：
直线相关当自变量X值每变动一个单 位，因变量Y值则随着发生大致均等 的变动，这就是直线相关。亦称为简 单相关或一元线性相关。
曲线相关当自变量X值每变动一个单 位，因变量Y值则随之发生不均等的 变化，这就曲线相关。亦称为一元非 线性相关 。
0<|r|<1表示存在不同程度线性相关：
|r| < 0.4 为低度线性相关； 0.4≤ |r| ＜0.7为显著性线性相关； 0.7≤|r| ＜1.0为高度显著性线性相关。
课件
25
中南大学
序号
能源消耗量（十 万吨）x
1
35
2
38
3
40
4
42
5
49
6
52
7
54
8
59
9
62
10
64
11
65
12
68
13
69
37887
26
相关系数的计算
统计学概论
【例】计算工业总产值与能源消耗量之间的相关系数资料
解：已知n 16, x 916, y 625,
xy 37887, x2 55086, y2 26175
统计学原理 第8章
2 2 ( x x) f ( y y) f xf yf 其中：x , y f f
简捷法：r
f xyf xf yf
2 f x f xf 2 2 f y f yf 2
Spearman(斯皮尔曼)等级相关系数 （二列等级相关系数）
2 S xy
(x
x) ( y y )
n Lxy ( x x ) ( y y ) 2 2 2 ( x2 x ) 2 2 Lx
x x
Ly
(y
xy x y
xy x y SxS y y y
协方差
y) 2
试证： S x x x
表示与二分变量中p类别相对应的连续变量的平均数 表示与二分变量中q类别相对应的连续变量的平均数
xq
表示连续变量的标准差
例题
在某班随机抽取20个学生的语文考试成绩如下表所示。据此信 息，以99%的把握推断：该班学生的语文考试成绩与学生性别 之间是否存在必然关系？
所有语文考试成绩的标准差： 16.66 p=11/20=0.55 ，q=0.45，男生为p，女生为q， 男生的平均数为
商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系
、降雨量(x2) 、
②现象之间的这种依存关 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 系是不严格的，即无法用数学 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系 公式准确表示。
x
若现象间这种不严格的依存 关系近似一种直线关系，则其相 关关系的图示如右,为线性相关。
《统计学》课件第八章 相关回归分析
1．相关表 相关表是一种反映变量之间相关关 系的统计表。将某一变量按其取值的 大小排列，然后再将与其相关的另一 变量的对应值平行排列，便可得到简 单的相关表。 例1：某地区某企业近8年产品产量 与生产费用的相关情况如表6-1所示：
第一节 相关分析
表1 从表可看 出，产品产量 与生产费用之 间存在一定的 正相关关系。 产品产量与生产费用相关表
确定显著性水平 （通常 =0.05） 。 依据 和两个自由度 f1 、 f 2 查 F 分布表可得相应的临界值 F 。 第四步，做出判断。 如果 F > F ，拒绝原假设 H 0 ，表明回归效果显著；反之，则接受 原假设，表明线性回归方程的回归效果不显著。
回归分析
例6：以表6-1的资料为例，对其回归模型作F检验
第一节 相关分析
（五）相关系数
相关程度可分为以下几种情况： ① r 0.3 ，为无线性相关； ②0.3≤ r ＜0.5，为低度线性相关； ③0.5≤ r ＜0.8，为显著线性相关； ④ r ≥0.8，一般称为高度线性相关。 以上说明必须建立在相关系数通过显著 性检验的基础之上。
第一节 相关分析
180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
产 品 产 量
19 97 19 98 19 99 20 00 20 01 20 02 20 03 20 04
时间 生产费用（万元） 产品产量（千吨）
第一节 相关分析
（五）相关系数
相关系数是用来说明变量之间在直线相 关条件下相关关系密切程度和方向的统计分 析指标。其定义公式为：
（五）相关系数
4．相关系数的显著性检验 样本相关系数的检验包括两类检验： （1）对总体相关系数是否等于0进行检验； （2）对总体相关系数是否等于某一给定的不 为0的数值进行检验。
统计学原理第八章 相关与回归分析
一、相关系数
（二）相关系数的计算
2．简单相关系数的取值范围 第一，当r>0时，表示两个变量呈正相关，当r<0时，表示两变量负相关。 第二，当r=1或r=-1时，表明两变量之间为完全的相关，即为函数关系。 第三，当r=0时，表明两变量之间没有相关关系。如果r =0，则表明两个现象之间完 全没有直线相关关系。（但并不表明两个现象之间没有非线性相关）
21
§3 一元线性回归分析
➢ 在相关分析中，已知两个变量之间有直线相关关系。 ➢ 就需要确定一个数学表达式反映因变量与自变量之间的关系。 ➢ 有了这种数学表达式就便于进行解析，当有了自变量的一定数值，
就可以估计因变量的数值平均来说将会有怎样的变动。 ➢ 这样的数学表达式称为回归方程式。 ➢ 由于变量之间关系的复杂性，回归方程式也有多种类型和形式。 ➢ 一元线性回归方程式是指一个自变量且相关形式为直线。
• 由于研究对象的不同，相关系数有多种定义方式，较为常用的是皮尔 逊相关系数。
• 相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无 法确切地表明两个变量之间相关的程度。
• 相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。 • 相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基
程度的大小，由于变量之间是对等的，因此相关系数是惟一确定的；而在 回归分析中，对于互为因果关系的两个变量，则有可能存在两个回归方程。 当x为自变量、y为因变量时，称y倚x的回归方程，当y为自变量、x为因变 量时，称x倚y的回归方程。
24
第三节 回归分析的基本问题
二、回归分析与相关分析的关系
（二）回归分析与相关分析的联系 相关分析是回归分析的基础和前提，回归分析则是相关分析的深入和
统计学原理第八章相关与回归分析
相关分析的内容 1.判断现象之间是否存在相关关系； 2.如果存在相关关系，则要进一步判断相
关关系的种类和关系的紧密程度； 3.对相关系数进行显著性检验。
回归分析的内容
• 1. 建立反映变量间依存关系的数学模型 即回归方程；
• 2.对回归方程进行显著性检验； • 3.用回归过程进行预测。
回归分析和相关分析的主要区别
4.相关系数的绝对值越接近于1，表示相关 程度越强；越接近于0，表示相关程度越 弱。具体标准为：
R 的绝对值：0.3以下 微弱相关；
0.3-0.5 低度相关；
0.5-0.8 显著相关；
0.8以上 高度相关。
以上结论必须建立在对相关系数的显著性 检验基础之上。
三、相关系数的显著性检验
显著性检验的具体步骤：
资料：
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
相关表
700 9
900 7
600 9
1000 800 89
1200 6
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
600 9
700 9
800 9
900 7
1000 8
1200 6
相关图（散点图）
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
一、一元线性回归方程
❖ 只涉及一个自变量的回归
❖ 因变量y与自变量x之间为线性关系
➢ 被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示
➢ 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为
自变量，用x表示
❖ 因变量与自变量之间的关系用一个线性方 程来表示
一元线性回归模型
❖ 一元线性回归模型可表示为
关关系的种类和关系的紧密程度； 3.对相关系数进行显著性检验。
回归分析的内容
• 1. 建立反映变量间依存关系的数学模型 即回归方程；
• 2.对回归方程进行显著性检验； • 3.用回归过程进行预测。
回归分析和相关分析的主要区别
4.相关系数的绝对值越接近于1，表示相关 程度越强；越接近于0，表示相关程度越 弱。具体标准为：
R 的绝对值：0.3以下 微弱相关；
0.3-0.5 低度相关；
0.5-0.8 显著相关；
0.8以上 高度相关。
以上结论必须建立在对相关系数的显著性 检验基础之上。
三、相关系数的显著性检验
显著性检验的具体步骤：
资料：
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
相关表
700 9
900 7
600 9
1000 800 89
1200 6
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
600 9
700 9
800 9
900 7
1000 8
1200 6
相关图（散点图）
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
一、一元线性回归方程
❖ 只涉及一个自变量的回归
❖ 因变量y与自变量x之间为线性关系
➢ 被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示
➢ 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为
自变量，用x表示
❖ 因变量与自变量之间的关系用一个线性方 程来表示
一元线性回归模型
❖ 一元线性回归模型可表示为
《统计学原理》第8章 相关与回归分析..
3
二、函数关系
1、变量之间存在严格的数量依存关系
2、这种关系可通过精确的数学方程式表达出来
3、变量之间确定性的依存关系 如：园的面积S和半径R之间的关系
S R
2
长方形的周长和两条边的关系 L 2x y
4
三、相关关系的种类
根据涉及的因素多少：单相关和复相关 根据相关的表现形态：线性相关和曲线相关 根据相关的变化方向：正相关和复相关 根据相关的程度：完全相关、不完全相关和不
9
二、相关系数的简便算法
相关系数 r,
r
n x x
2
n xy x y
2 2
n y y
2
10
三、相关系数说明的相关关系的密切程度
1、-1≤r≤1 2、如果r>0，线性正相关；r<0，线性负相关 3、如果r=0，则不存在线性关系 4、如果r<0.3 ，不相关 5、如果0.3<r<0.5，低度相关 6、0.5<r<0.8，显著相关 7、r>0.8，高度相关
4、相关分析的主要内容
2
一、相关关系
1、现象之间在数量上的相互依存关系 2、这种依存关系不能用精确的关系式表示出来 3、是变量之间随机性的依存关系；可以是因果关 系、互为因果关系、也可能是共变关系。 如：吸烟和得肺病之间有相关关系不良生活习惯 和身体健康之间有相关关系努力学习和考试成绩 之间有相关关系等 绝大多数现象之间存在相关关系
249 267 289
329 406 451 513
1998 1999 2000
2001 2002 2003
1068.8 1169.2 1250.7
1429.5 1725.9 2099.5
二、函数关系
1、变量之间存在严格的数量依存关系
2、这种关系可通过精确的数学方程式表达出来
3、变量之间确定性的依存关系 如：园的面积S和半径R之间的关系
S R
2
长方形的周长和两条边的关系 L 2x y
4
三、相关关系的种类
根据涉及的因素多少：单相关和复相关 根据相关的表现形态：线性相关和曲线相关 根据相关的变化方向：正相关和复相关 根据相关的程度：完全相关、不完全相关和不
9
二、相关系数的简便算法
相关系数 r,
r
n x x
2
n xy x y
2 2
n y y
2
10
三、相关系数说明的相关关系的密切程度
1、-1≤r≤1 2、如果r>0，线性正相关；r<0，线性负相关 3、如果r=0，则不存在线性关系 4、如果r<0.3 ，不相关 5、如果0.3<r<0.5，低度相关 6、0.5<r<0.8，显著相关 7、r>0.8，高度相关
4、相关分析的主要内容
2
一、相关关系
1、现象之间在数量上的相互依存关系 2、这种依存关系不能用精确的关系式表示出来 3、是变量之间随机性的依存关系；可以是因果关 系、互为因果关系、也可能是共变关系。 如：吸烟和得肺病之间有相关关系不良生活习惯 和身体健康之间有相关关系努力学习和考试成绩 之间有相关关系等 绝大多数现象之间存在相关关系
249 267 289
329 406 451 513
1998 1999 2000
2001 2002 2003
1068.8 1169.2 1250.7
1429.5 1725.9 2099.5
2013统计学原理--chapter8(硕士)相关分析和回归分析
r123 r ,n3 认为变量 X 1和X 2存在偏相关
偏相关系数的假设检验 ----Fisher变换
（三变量情形）
1 r z 0.5 ln 1 r 1 在原假设下近似服从N ( 0， ) n4
偏相关系数的计算公式
------（m变量情形）
rij 12( i 1)(i 1)( j 1)( j 1)m ij ii jj r1m r2 m r3 m 1
第8章 相关分析和回归分析
变量相关的概念 相关关系的种类 相关关系的测度
变量间的关系 函数关系 是变量之间的一种完全确 定的关系。 统计相关关系是变量之间存在的不 完全确定性的关系。 1.相关与不相关 2.独立与不独立
相关关系的种类
单相关与复相关 正相关与负相关 不相关、完全相关和不完全相关 简单相关 偏相关 复相关 典型相关 样本相关系数 总体相关系数
若 rij 12( i 1)(i 1)( j 1)( j 1)m r , n m , 则 认为变量X i 和X j 存在偏相关。
偏相关系数的检验 ----Fisher变换（m变量情形）
1 r123m z 0.5 ln 1 r123m 1 在原假设下近似服从 N (0， ) n m 1
偏相关系数的性质
偏相关系数的取值范围是在-1到+1之间。
若 r12· 3= 0,但是 r12 0，则说明X1和X2的相关性完全 是由X3的影响引起的。
若 r12· 3= r12 ，则说明X3不影响X1和X2的相关性。
若| r12· 3 | <| r12 | ，则说明X1和X2的相关性因X3的存 在而有所加强。 若| r12· 3 | >| r12 | ，则说明X1和X2的相关性因X3的存 在而有所减弱。
统计学原理任务八——相关与回归分析
8.1
一、相关关系的定义
函数关系之所以是确定性的一一对应关系， 就是因为我们所考察的变量就是受影响变量 的全部影响因素；而相关关系之所以是不严 格的非一一对应关系，就是因为我们所考察 的变量只是受影响变量的一部分影响因素， 受影响变量还存在其他我们没有考察到的影 响因素。
8.1
一、相关关系的定义
8.1
二、相关关系的种类
（一）按相关的程度大小不同，分为完全相关、不完 全相关和不相关 完全相关是指一个变量变动完全由另一个或另一组变 量所决定，这时相关关系就转化为函数关系。 不完全相关是介于完全相关和不相关之间的一种相关 关系。在不完全相关中，一个变量变动不仅取决于另 一个或另一组变量变动，而且还受随机因素干扰。 不相关是一个变量变动与另一个或另一组变量变动相 互独立，变量之间彼此互不影响，不存在任何依存关 系。
8.1
一、相关关系的定义
函数关系是指变量之间所存在的严格的依存 关系，即当一个（或一组）变量的数值确定 之后，另一个受其影响的变量的数值也随之 唯一确定下来。这种一一对应的关系可以通 过一个数学函数来反映。 例如，圆的面积s与其半径r之间的关系为 s=πr^2；自由落体下落的高度h与其经历的 时间t之间的关系为h=1/2gt^2，等等。
虽然，函数关系与相关关系是两种性质不同的 依存关系，但是它们之间却存在着密切联系。 一方面，由于存在着测量误差，理论上存在函 数关系的多个变量的实际测量数据之间并不一 定存在一一对应关系，而往往表现为不严格的 相关关系。 另一方面，在研究极为密切的相关关系时，我 们可以借助于函数关系对其进行拟合，然后通 过一些实际观测值运用一定的数学方法求得函 数的具体表达式，最后就可以运用该函数关系 式依据自变量的一定数值来估计因变量的数值。
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21
三、可线性化的曲线回归
1、指数曲线;yc=abx，通过对数变换，化解为线 性方程；㏒yc=㏒a+x㏒b，利用最小平方法求解
出㏒a和㏒b后，在利用反对数求解出a,b.
2、幂函数曲线：yc=axb,
3、双曲线：
x yc ax b
22
第5节 估计标准误及两种分析的关系
1、估计标准误的意义
2、估计标准误的计算方法 3、相关分析与回归分析的联系
二、一元线性回归
（一）直线回归的特点：
1、在一元线性相关分析的基础上，将两个变量之 间的线性关系用线性方程式表示出来 2、必须确定一个变量为自变量，另一个为因变量 3、两个变量之间的相关系数只有一个，而回归方 程式却有两个；y倚x的回归方程，yc=a+bx,x倚y 的回归方程,xc=c+dy. 4、用最小平方法确定回归方程
国内生产总值 2.2 2.4 2.5 2.7 2.9 3.0 15.7 财政收入 0.8 0.9 1.0 1.2 1.4 1.5 6.8 银行年末存款余额 0.2 0.4 0.5 0.7 0.6 0.8 3.2
合计
合计
合计
30
4、某地高校教育经费与高校学生数连续6年的统计资料如 下：要求； 1）建立回归直线方程，估计教育经费为500万元的在校学 生数 2）计算估计标准误差
25
三、相关系数和回归系数之间的关系
相关系数和回归系数b具有相同的符号， r=0,b=0;r＞0,b＞0;r＜0,b＜0.
x r b y
相关系数和估计标准误差之间的关系；反 向的变化关系 2 2 2 y S yx S yx r 1 2 2
y
y
26
你学会了吗？
相关关系的含义
第八章
相关与回归分析
本章你将学会……
1、现象之间的相关性以及相关的形式？
2、如何测定并描述相关关系的特征与程度？
3、回归分析的概念和意义
4、回归方程的建立和其有效与否的判定方法 5、相关与回归的相互关系及其应用 对第四节与第五节的内容略作调整。
1
第1节
相关分析
1、相关关系 2、函数关系 3、相关的种类
9
二、相关系数的简便算法
相关系数 r,
r
n x x
2
n xy x y
2 2
n y y
2
10
三、相关系数说明的相关关系的密切程度
1、-1≤r≤1 2、如果r>0，线性正相关；r<0，线性负相关 3、如果r=0，则不存在线性关系 4、如果r<0.3 ，不相关 5、如果0.3<r<0.5，低度相关 6、0.5<r<0.8，显著相关 7、r>0.8，高度相关
相关
5
四、相关分析的主要内容
1、分析现象之间有无相关关系以及关系形态 2、确定相关关系的密切程度 3、用适当的数学模型描述相关关系 4、对建立的数学模型进行检验 5、将模型用于预测和控制
6
回归分析
第2节 简单相关分析方法
1、简单相关分析的内容 2、线性相关系数的含义与计算公式
3、相关系数说明的相关关系程度
8
一、简单线性相关分析（一元相关）
1、只考虑一个因素的影响 2、两个因素之间具有线性的相互依存关系 3、通过散点图可以判断相关的形态 4、线性相关程度的测定：线性相关系数r 如果已知两个变量x,y的历史观察数据；（x1,y1）、 （x2,y2）、…、（xn，yn） 可以利用积差法计算线性相关系数r 2 xy x x y y r 2 2 x y x x y y
7
交通事故率的相关分析
交通事故的死亡率与什么有关系？ 研究人员发现：该国的人均GDP越高，则该国的 交通死亡率越低。瑞典、新加坡、日本、美国是 世界上交通事故发生率和死亡率最低的国家。 但是，人均GDP相同的国家，交通事故的死亡率 会存在明显的差别！ 比利时与荷兰为邻国，人均 GDP相同，还使用同一种语言，但是，比利时的交 通事故死亡率远高于荷兰。为啥？比利时更腐败 腐败：人们没有自觉遵守法律的意识，即使有法 而执法者也不严格执法。但是不能倒过来说：--
1、多元相关关系的含义
2、曲线相关关系的类型
3、可线性化的曲线相关分析
19
一、多元线性回归分析
有两个以上的自变量 变量之间有线性变化关系
利用最小平方法求解回归方程中的未知系数
是一元线性回归分析的推广
思路与原理和一元线性回归完全相同
20
二、曲线回归
变量之间具有非线性的相关关系 比线性相关更具有普遍性 也是利用最小平方法计算回归系数 必须先找出回归曲线的方程式 必须将曲线关系进行数学变换，化解成线性关 系，才能利用最小平方法进行求解
产量 1.2 （吨） 单位成 本（万 元） 60
试计算：（1）建立相对与单位成本的直线回归模型 （50%）（2）预测产量达到6.8吨时的单位成本是多少 （50%）
32
6 某标准设备生产公司，准备生产一种新的机械设备， 公司管理者需要考虑生产能力和成本等要素，以便取得经 济效益。为此，公司随机抽取了6家企业，得到各家企业 的产量和单位成本数据如下表所示。初步计算的结果如下。 产量（台） 单位成本（万元） 20 15 25000 y 565, xy 2860 , 40 11 80 8 90 5 60 9 70 7
2
17
例题：根据前面人均国民收入和人均消费金额之
间的相关性建立人均消费金额y对人均国民收入x
的回归方程；a=54.219,b=0.5623
yc 54.219 0.5623 x
在回归方程中，a为直线的截距，b为斜率，b表 示的含义为，当自变量x变动一个单位时，因变 量y的平均变动量
18
第4节 多元相关与曲线相关分析
教育经费（万元） 316 343 373 393 418 455 在校学生数（万人) 11 16 18 20 22 25
31
5 某公司对自己生产的A 产品的产量与单位成本抽取了 八天的相关统计数据如下表所示
序号 1 2 2.0 58 3 2.8 58 4 3.5 55 5 4.0 50 6 5.0 40 7 6.2 35 8 6.5 37
3
二、函数关系
1、变量之间存在严格的数量依存关系
2、这种关系可通过精确的数学方程式表达出来
3、变量之间确定性的依存关系 如：园的面积S和半径R之间的关系
S 2x y
4
三、相关关系的种类
根据涉及的因素多少：单相关和复相关 根据相关的表现形态：线性相关和曲线相关 根据相关的变化方向：正相关和复相关 根据相关的程度：完全相关、不完全相关和不
y y 应该最小
2 c
16
（二）一元线性回归分析
1、一元线性回归方程式为：yc=a+bx，a、b为回归 系数 2、利用最小平方法求解回归系数的方程式为；
y na b x xy a x b x
a y bx b n x x
2
2
n xy x y
249 267 289
329 406 451 513
1998 1999 2000
2001 2002 2003
1068.8 1169.2 1250.7
1429.5 1725.9 2099.5
643 699 713
803 947 1148
12
根据上述资料计算人均国民收入和人均消费金 额之间的相关系数:
4、相关分析的主要内容
2
一、相关关系
1、现象之间在数量上的相互依存关系 2、这种依存关系不能用精确的关系式表示出来 3、是变量之间随机性的依存关系；可以是因果关 系、互为因果关系、也可能是共变关系。 如：吸烟和得肺病之间有相关关系不良生活习惯 和身体健康之间有相关关系努力学习和考试成绩 之间有相关关系等 绝大多数现象之间存在相关关系
28
2. 某商业银行2003—2007年的投资额资料如下：
年份 投资额（万元） 2003 320 2004 332 2005 340 2006 356 2007 380
1.用最小二乘法配合投资额的直线趋势方程， 2.根据投资额的趋势线方程，预测2010年的投资额。
29
3、有几个地区的统计资料如下表， 要求； 1）计算国内生产总值与财政收入相关系数， 2）计算财政收入与银行年末存款余额的相关系数， 3）建立国内生产总值与财政收入的直线回归方程
2
x 360, y 55, x
2
25000 y 2 565 xy 2860 , ,
1.计算这6家企业的总平均单位成本。 2.绘制散点图，判断产量与单位成本之间是否存在相关关系？如果 3.存在相关关系，说明相关关系的类型。 4.求单位成本对产量的一元线性回归方程，并预测当产量为85台时， 33 5.单位成本是多少？
23
一、估计标准误差
可以说明回归方程的精确程度，反映回归方程的 代表性
值越小，回归方程的代表性越好；值越大，回归 方程的代表性越不好 一元线性回归方程的估计标准误差syx
s yx
y y
c
2
n2
24
二、估计标准误差的简便算法
估计标准误差：
s yx
y
2
a y b xy n2
14
一、回归分析简述
概念：根据相关分析结果，将变量之间的相关关系
用近似精确的数学模型表示出来，并用模型进行预
测和控制
线性回归分析：变量之间是线性相关的，并用最小 平方法求出线性相关方程式。 曲线回归：变量之间是曲线相关的，并用最小平方
三、可线性化的曲线回归
1、指数曲线;yc=abx，通过对数变换，化解为线 性方程；㏒yc=㏒a+x㏒b，利用最小平方法求解
出㏒a和㏒b后，在利用反对数求解出a,b.
2、幂函数曲线：yc=axb,
3、双曲线：
x yc ax b
22
第5节 估计标准误及两种分析的关系
1、估计标准误的意义
2、估计标准误的计算方法 3、相关分析与回归分析的联系
二、一元线性回归
（一）直线回归的特点：
1、在一元线性相关分析的基础上，将两个变量之 间的线性关系用线性方程式表示出来 2、必须确定一个变量为自变量，另一个为因变量 3、两个变量之间的相关系数只有一个，而回归方 程式却有两个；y倚x的回归方程，yc=a+bx,x倚y 的回归方程,xc=c+dy. 4、用最小平方法确定回归方程
国内生产总值 2.2 2.4 2.5 2.7 2.9 3.0 15.7 财政收入 0.8 0.9 1.0 1.2 1.4 1.5 6.8 银行年末存款余额 0.2 0.4 0.5 0.7 0.6 0.8 3.2
合计
合计
合计
30
4、某地高校教育经费与高校学生数连续6年的统计资料如 下：要求； 1）建立回归直线方程，估计教育经费为500万元的在校学 生数 2）计算估计标准误差
25
三、相关系数和回归系数之间的关系
相关系数和回归系数b具有相同的符号， r=0,b=0;r＞0,b＞0;r＜0,b＜0.
x r b y
相关系数和估计标准误差之间的关系；反 向的变化关系 2 2 2 y S yx S yx r 1 2 2
y
y
26
你学会了吗？
相关关系的含义
第八章
相关与回归分析
本章你将学会……
1、现象之间的相关性以及相关的形式？
2、如何测定并描述相关关系的特征与程度？
3、回归分析的概念和意义
4、回归方程的建立和其有效与否的判定方法 5、相关与回归的相互关系及其应用 对第四节与第五节的内容略作调整。
1
第1节
相关分析
1、相关关系 2、函数关系 3、相关的种类
9
二、相关系数的简便算法
相关系数 r,
r
n x x
2
n xy x y
2 2
n y y
2
10
三、相关系数说明的相关关系的密切程度
1、-1≤r≤1 2、如果r>0，线性正相关；r<0，线性负相关 3、如果r=0，则不存在线性关系 4、如果r<0.3 ，不相关 5、如果0.3<r<0.5，低度相关 6、0.5<r<0.8，显著相关 7、r>0.8，高度相关
相关
5
四、相关分析的主要内容
1、分析现象之间有无相关关系以及关系形态 2、确定相关关系的密切程度 3、用适当的数学模型描述相关关系 4、对建立的数学模型进行检验 5、将模型用于预测和控制
6
回归分析
第2节 简单相关分析方法
1、简单相关分析的内容 2、线性相关系数的含义与计算公式
3、相关系数说明的相关关系程度
8
一、简单线性相关分析（一元相关）
1、只考虑一个因素的影响 2、两个因素之间具有线性的相互依存关系 3、通过散点图可以判断相关的形态 4、线性相关程度的测定：线性相关系数r 如果已知两个变量x,y的历史观察数据；（x1,y1）、 （x2,y2）、…、（xn，yn） 可以利用积差法计算线性相关系数r 2 xy x x y y r 2 2 x y x x y y
7
交通事故率的相关分析
交通事故的死亡率与什么有关系？ 研究人员发现：该国的人均GDP越高，则该国的 交通死亡率越低。瑞典、新加坡、日本、美国是 世界上交通事故发生率和死亡率最低的国家。 但是，人均GDP相同的国家，交通事故的死亡率 会存在明显的差别！ 比利时与荷兰为邻国，人均 GDP相同，还使用同一种语言，但是，比利时的交 通事故死亡率远高于荷兰。为啥？比利时更腐败 腐败：人们没有自觉遵守法律的意识，即使有法 而执法者也不严格执法。但是不能倒过来说：--
1、多元相关关系的含义
2、曲线相关关系的类型
3、可线性化的曲线相关分析
19
一、多元线性回归分析
有两个以上的自变量 变量之间有线性变化关系
利用最小平方法求解回归方程中的未知系数
是一元线性回归分析的推广
思路与原理和一元线性回归完全相同
20
二、曲线回归
变量之间具有非线性的相关关系 比线性相关更具有普遍性 也是利用最小平方法计算回归系数 必须先找出回归曲线的方程式 必须将曲线关系进行数学变换，化解成线性关 系，才能利用最小平方法进行求解
产量 1.2 （吨） 单位成 本（万 元） 60
试计算：（1）建立相对与单位成本的直线回归模型 （50%）（2）预测产量达到6.8吨时的单位成本是多少 （50%）
32
6 某标准设备生产公司，准备生产一种新的机械设备， 公司管理者需要考虑生产能力和成本等要素，以便取得经 济效益。为此，公司随机抽取了6家企业，得到各家企业 的产量和单位成本数据如下表所示。初步计算的结果如下。 产量（台） 单位成本（万元） 20 15 25000 y 565, xy 2860 , 40 11 80 8 90 5 60 9 70 7
2
17
例题：根据前面人均国民收入和人均消费金额之
间的相关性建立人均消费金额y对人均国民收入x
的回归方程；a=54.219,b=0.5623
yc 54.219 0.5623 x
在回归方程中，a为直线的截距，b为斜率，b表 示的含义为，当自变量x变动一个单位时，因变 量y的平均变动量
18
第4节 多元相关与曲线相关分析
教育经费（万元） 316 343 373 393 418 455 在校学生数（万人) 11 16 18 20 22 25
31
5 某公司对自己生产的A 产品的产量与单位成本抽取了 八天的相关统计数据如下表所示
序号 1 2 2.0 58 3 2.8 58 4 3.5 55 5 4.0 50 6 5.0 40 7 6.2 35 8 6.5 37
3
二、函数关系
1、变量之间存在严格的数量依存关系
2、这种关系可通过精确的数学方程式表达出来
3、变量之间确定性的依存关系 如：园的面积S和半径R之间的关系
S 2x y
4
三、相关关系的种类
根据涉及的因素多少：单相关和复相关 根据相关的表现形态：线性相关和曲线相关 根据相关的变化方向：正相关和复相关 根据相关的程度：完全相关、不完全相关和不
y y 应该最小
2 c
16
（二）一元线性回归分析
1、一元线性回归方程式为：yc=a+bx，a、b为回归 系数 2、利用最小平方法求解回归系数的方程式为；
y na b x xy a x b x
a y bx b n x x
2
2
n xy x y
249 267 289
329 406 451 513
1998 1999 2000
2001 2002 2003
1068.8 1169.2 1250.7
1429.5 1725.9 2099.5
643 699 713
803 947 1148
12
根据上述资料计算人均国民收入和人均消费金 额之间的相关系数:
4、相关分析的主要内容
2
一、相关关系
1、现象之间在数量上的相互依存关系 2、这种依存关系不能用精确的关系式表示出来 3、是变量之间随机性的依存关系；可以是因果关 系、互为因果关系、也可能是共变关系。 如：吸烟和得肺病之间有相关关系不良生活习惯 和身体健康之间有相关关系努力学习和考试成绩 之间有相关关系等 绝大多数现象之间存在相关关系
28
2. 某商业银行2003—2007年的投资额资料如下：
年份 投资额（万元） 2003 320 2004 332 2005 340 2006 356 2007 380
1.用最小二乘法配合投资额的直线趋势方程， 2.根据投资额的趋势线方程，预测2010年的投资额。
29
3、有几个地区的统计资料如下表， 要求； 1）计算国内生产总值与财政收入相关系数， 2）计算财政收入与银行年末存款余额的相关系数， 3）建立国内生产总值与财政收入的直线回归方程
2
x 360, y 55, x
2
25000 y 2 565 xy 2860 , ,
1.计算这6家企业的总平均单位成本。 2.绘制散点图，判断产量与单位成本之间是否存在相关关系？如果 3.存在相关关系，说明相关关系的类型。 4.求单位成本对产量的一元线性回归方程，并预测当产量为85台时， 33 5.单位成本是多少？
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一、估计标准误差
可以说明回归方程的精确程度，反映回归方程的 代表性
值越小，回归方程的代表性越好；值越大，回归 方程的代表性越不好 一元线性回归方程的估计标准误差syx
s yx
y y
c
2
n2
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二、估计标准误差的简便算法
估计标准误差：
s yx
y
2
a y b xy n2
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一、回归分析简述
概念：根据相关分析结果，将变量之间的相关关系
用近似精确的数学模型表示出来，并用模型进行预
测和控制
线性回归分析：变量之间是线性相关的，并用最小 平方法求出线性相关方程式。 曲线回归：变量之间是曲线相关的，并用最小平方