线性代数第2讲

上式左边的矩阵可写成两矩阵的乘积:
a11 a12 a1n x1 a a22 a2 n x2 21 , a x m1 am 2 amn n
所以有Ax=b
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利用矩阵的乘法, 线性方程组(1.6)和(1.6')可 分别写为 Ax=b (1.6) 和 Ax=0 (1.6') 这里 A 和 b 分别是方程组(1.6)的系数矩阵和 x1 0 x 0 2 为未知数向量,0 . 常数向量, x x 0 n
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2. 方阵的乘幂与多项式 设A是n阶方阵, 由矩阵乘法的定义和结 合律, k个A相乘是有意义的, 记作Ak, 即
A AA A
k k
显然Ak仍是n阶方阵, 称为A的(k次)幂, 规 定A0=E. 方阵的幂满足以下运算规律: (i) AkAl=Ak+l (ii) (Ak)l=Akl, 这里k,l为非负整数.
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例1.8 设L=diag(l1,l2,…,ln), j(x)=x2-5x+4, 求j(L). 解 j(L)=L2-5L+4E
l12
l22
l1 l2 - 5 2 ln ln
1 1 4 1
线性代数第2讲
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矩阵的乘法在线性代数中有许多重要的 应用. 这里先介绍作为线性代数课程主要 内容之一的线性方程组以及线性变换的 概念和它们的矩阵形式.
2
大家都已熟悉二元线性方程组
ax by p, cx dy q,
其中a,b,c,d,p,q为常数, x,y为未知数.
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在线性代数课程中将讨论由m个方程, n 个未知数组成的线性方程组, 它的一般形 式是 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 (1.6) am1 x1 am 2 x2 amn xn bm ,
4
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm ,
(1.6)
其中x1,x2,…,xn为未知数, aij是第i个方程中 未知数xj的系数, (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n); bi (i=1,2,…,m)称为常数项. 如果这m个常数 b1,b2,…,bm不全为零, 称方程组(1.6)为非齐 次线性方程组;
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如果先进行线性变换(1.7)(或(1.7')), 再进 行线性变换(1.9)(或(1.9')), 如果求从变量 x1,x2,x3到变量z1,z2,z3的线性变换呢?利用 线性变换的矩阵形式: z=By=B(Ax)=(BA)x, 即有 z=(BA)x, 这表明矩阵BA就是由变量x1,x2,x3到变量 z1,z2,z3的线性变换矩阵.
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即有
j (l1 ) j l2 j ( Λ) j (ln ) diag(j (l1 ),j (l2 ),j (ln )).
对于对角阵L, 上式对任一多项式j(x)都是 成立的, 因此对角阵的多项式是很容易计 算的.
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在许多实际应用的问题中, 经常要计算方 阵的幂和矩阵多项式.
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例如当A为方阵时, A3-2A, A2-3A+2E都 是矩阵多项式. 对于矩阵多项式, 我们可 以象数x的多项式一样相乘或分解因式.
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例1.7 (1)计算(A+3E)(A-2E); (2)分解矩 阵多项式A2-3A+2E. 解 由矩阵乘法的分配律, (1) (A+3E)(A-2E)=A(A-2E)+3E(A-2E) =A2-2A+3A-6E=A2+A-6E; (2) A2-3A+2E=(A-2E)(A-E).
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例1.6 设L=diag(l1,l2,…,ln), 求L3. 解 l1 l1 l2 l2 2
Λ ΛΛ ln
ln
l12
l
2 2
2 ln
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l12 l1 2 l2 l2 3 2 Λ Λ Λ 2 ln ln l13 3 l2 3 ln 3 3 3 diag(l1 , l2 ,, ln )
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设另有由变量y1,y2到变量z1,z2,z3的线性变换 z1 b11 y1 b12 y2 , (1.9) z2 b21 y1 b22 y2 , z b y b y , 3 31 1 31 2 写成矩阵形式 z=By (1.9') 其中B为线性变换(1.9)的矩阵, z1 z , y y1 z 2 y 2 z 3
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如果b1,b2,…,bm全为零, 即
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0, a x a x a x 0, 21 1 22 2 2n n am1 x1 am 2 x2 amn xn 0,
(1.6')
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给定一个线性变换, 就确定了此线性变换 的矩阵; 反过来, 给出一个矩阵, 除了变量 的名称之外, 也确定了一个线性变换. 线性变换(1.7)也可写成矩阵形式 Ax=y (1.7')
x1 x , y y1 , A 为线性变换的矩 其中 x 2 y 2 x 3 阵(1.8).
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但要注意, 当A,B为同阶方阵时,
( AB ) ( AB )( AB ) ( AB )
k k
A B AA A BB B 上两式右端相等. 所以, 一般地(AB)kAkBk, 这是方阵的幂 的运算与数的幂的运算不同的地方.
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例1.1 力达公司生产甲,乙,丙三种产品, 它 们的生产成本由原材料费用, 人工费用和 其他费用三项构成. 表1.1给出了每种产 品的每项费用的预算(单位: 百元). 表1.1
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它的常数项组成m1列矩阵, 称为常数 (列)向量, 记作b, 即 b1 b 2 ; b b m
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把 b 写在系数矩阵 A 的右边, 便得到 m(n+1)矩阵 a11 a12 a1n b1 a a22 a2 n b2 21 , A a m1 am 2 amn bm 也记为 A ( A, b) , 称 A 为方程组(1.6)的增 广矩阵.
x1 0.7 320 0.2 80, y1 0.3 320 0.8 80, 写成矩阵形式, x1 0.7 0.2 320 240 y 0.3 0.8 80 160 , 1
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线性变换及其矩阵表示 由变量x1,x2,x3到变量y1,y2的一个线性变换是 指变量x1,x2,x3与y1,y2之间有关系式 y1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 , (1.7) y2 a21 x1 a22 x2 a23 x3 , 其中aij为常数(i=1,2;j=1,2,3), 它们构成的矩 阵 a11 a12 a13 A (1.8) , a21 a22 a23 称为线性变换(1.7)的矩阵.
称方程组(1.6')为齐次线性方程组.
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线性方程组与矩阵有密切的关系. 方程组 (1.6)(或(1.6'))的未知数系数所组成的mn 矩阵 a11 a12 a1n a a22 a2 n 21 A a m1 am 2 amn
称为系数矩阵;
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由此可知, 对角阵的幂很容易计算: 对角 阵L的幂仍然是对角阵, 且其对角阵元素 就是L的对应元素的同一次幂.
下面介绍矩阵多项式的概念及性质.
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设有x的多项式 j(x)=amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0, A为n阶方阵. 如果多项式右端的每一项 中的x的幂用方阵A的同次幂替代(x的零 次幂用A0=E替代), 那么上式右端每一项 都是n阶方阵, 其和还是n阶方阵, 记此n阶 方阵为j(A), 即 j(A)=amAm+am-1Am-1+…+a1A+a0E, 称为矩阵A的多项式.
0.7 0.2 320 0.55 0.3 320 200 80 0.45 0.7 80 200 , 0.3 0.8
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即2年后, 农村人口与城市人口各为200万. 类似地, 不难得出 xk k 320 y A 80 , k 当k为较大的整数时, 要计算A的k次幂Ak, 一般是比较麻烦的. 在第四章中将介绍求 Ak的一个简便快捷的方法.
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例1.9 某岛国里每年有30%的农村居民移 居城市, 有20%的城市居民移居农村. 假 设该国总人口数不变, 且上述人口迁移规 律也不变, 该国现有农村人口320万, 城市 人口80万. 问该国一年后农村与城市人口 各是多少?2年后呢?
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解 设k年后该国农村人口与城市人口分 别为xk和yk(单位:万), 这里正整数k1. 下 面计算x1,y1和x2,y2. 由题意有
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l12 - 5l1 4 2 l2 - 5l2 4 2 ln - 5ln 4 即有 j (l1 ) j l2 j ( Λ) j (ln ) diag(j (l1 ),j (l2 ),j (ln )).