2012年福建省高一数学竞赛卷
2012高考福建理科数学精彩试题及问题详解(高清版)
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(福建卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．理科：第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：(理科)本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(文科)本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于( )A ．－1－iB ．1－iC ．－1＋iD ．1＋i A ．3＋4i B ．5＋4i C ．3＋2i D ．5＋2i2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．下列命题中，真命题是( )A ．x 0∈R ，0e 0x≤ B ．x ∈R ，2x＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是1ab=- D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( ) A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱 5．下列不等式一定成立的是( )A ．lg(x 2＋14)＞lg x (x ＞0) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D ．2111x >+(x ∈R ) 6．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为()A ．14 B ．15 C ．16 D ．177．设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数，则下列结论错误的是( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数8．已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )AB．．3 D ．59．若函数y ＝2x图象上存在点(x ，y )满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为( )A ．12 B ．1 C ．32D ．2 10．函数f (x )在［a ，b ］上有定义，若对任意x 1，x 2∈［a ，b ］，有()()12121()22x x f f x f x +≤［＋］，则称f (x )在［a ，b ］上具有性质P ．设f (x )在［1,3］上具有性质P ，现给出如下命题：①f (x )在［1,3］上的图象是连续不断的；②f (x 2)在［1］上具有性质P ；③若f (x )在x ＝2处取得最大值1，则f (x )＝1，x ∈［1,3］；④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈［1,3］，有12341()44x x x x f +++≤［f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)］．其中真命题的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④第Ⅱ卷二、填空题：(理科)本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．(文科)本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．11． (a ＋x )4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．12．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于________． 13．已知△ABC的等比数列，则其最大角的余弦值为________．14．数列{a n }的通项公式πcos12n n a n =+，前n 项和为S n ，则S 2 012＝________． 15．对于实数a 和b ，定义运算“*”：22*.a ab a b a b b ab a b ⎧-≤=⎨->⎩，，，设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是__________．三、解答题：(理科)本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(文科)本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．17．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°． (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 18．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点．(1)求证：B 1E ⊥AD 1．(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．(3)若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．19．如图，椭圆E ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率12e =．过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8．(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f(x)＝e x＋ax2－e x，a∈R．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；(2)试确定a的取值范围，使得曲线y＝f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．21． (1)选修4－2：矩阵与变换设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵1ab⎛⎫= ⎪⎝⎭A(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1．①求实数a，b的值；②求A2的逆矩阵．(2)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，π32⎛⎫⎪⎪⎝⎭，圆C的参数方程为22c o s,2s i nxyθθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)．①设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；②判断直线l与圆C的位置关系．(3)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为［－1,1］．①求m的值；②若a，b，c∈R＋，且11123ma b c++=，求证：a＋2b＋3c≥9．22．(文)已知函数f(x)＝ax sin x－32(a∈R)，且在［0，π2］上的最大值为π32-．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．1． A 由z i＝1－i，得221i(1i)i i i i+11ii i11z---=====----．2． B ∵a1＋a5＝10＝2a3，∴a3＝5．故d＝a4－a3＝7－5＝2．3． D ∵a＞1＞0，b＞1＞0，∴由不等式的性质得ab＞1，即a＞1，b＞1⇒ab＞1．4． D ∵圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆，∴这个几何体不可以是圆柱．5． C ∵x2＋1≥2|x|⇔x2－2|x|＋1≥0，∴当x≥0时，x2－2|x|＋1＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0成立；当x＜0时，x2－2|x|＋1＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0成立．故x2＋1≥2|x|(x∈R)一定成立．6． C∵由图象知阴影部分的面积是3122121211)d()32326x x x x=⋅-=-=⎰，∴所求概率为11616=．7． C ∵D (x )是最小正周期不确定的周期函数， ∴D (x )不是周期函数是错误的．8． A 由双曲线的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，知32pc ==，c 2＝9＝4＋b 2，于是b 2＝5，b =2y x =±20y ±=．故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为d == 9． B 由约束条件作出其可行域如图所示：由图可知当直线x ＝m 经过函数y ＝2x的图象与直线x ＋y －3＝0的交点P 时取得最大值，即得2x＝3－x ，即x ＝1＝m ．10． D ①如图1，图1在区间［1,3］上f (x )具有性质P ，但是是间断的，故①错．②可设f (x )＝|x －2|(如图2)，当x ∈［1,3］时易知其具有性质P ，但是f (x 2)＝|x2－2|＝222,1x x x x ⎧-≤≤⎪⎨-<≤⎪⎩P (如图3)．故②错．图2图3③任取x 0∈［1,3］，则4－x 0∈［1,3］， 1＝f (2)＝004()2x x f +-≤12［f (x 0)＋f (4－x 0)］． 又∵f (x 0)＝1，f (4－x 0)≤1， ∴12［f (x 0)＋f (4－x 0)］≤1． ∴f (x 0)＝f (4－x 0)＝1．故③正确．④3412123422()()42x x x x x x x x f f ++++++= ≤34121()+()222x x x x f f ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤14［f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)］，故④正确．11．答案：2 解析：∵T r ＋1＝4C ra r x4－r，∴当4－r ＝3，即r ＝1时，T 2＝14C ·a ·x 3＝4ax 3＝8x 3．故a＝2．12．答案：－3解析：(1)k ＝1,1＜4，s ＝2×1－1＝1； (2)k ＝2,2＜4，s ＝2×1－2＝0； (3)k ＝3,3＜4，s ＝2×0－3＝－3； (4)k ＝4，直接输出s ＝－3．13．答案：4-解析：设△ABC 的最小边长为a (m ＞0)，2a ，故最大角的余弦值是2222cos 4θ===-． 14．答案：3 018 解析：∵函数πcos2n y =的周期2π4π2T ==，∴可用分组求和法：a 1＋a 5＋…＋a 2 009＝50311+1=503++个…；a 2＋a 6＋…＋a 2 010＝(－2＋1)＋(－6＋1)＋…＋(－2 010＋1)＝－1－5－…－2 009＝503(12009)2--＝－503×1 005；a 3＋a 7＋…＋a 2 011＝50311+1=503++个…；a 4＋a 8＋…＋a 2 012＝(4＋1)＋(8＋1)＋…＋(2 012＋1)＝503(52013)2⨯+＝503×1009；故S 2 012＝503－503×1 005＋503＋503×1 009 ＝503×(1－1 005＋1＋1 009)＝3 018．15．答案：，0)解析：由已知，得()22200x x x f x x x x ⎧≤⎪⎨⎪⎩－，，＝－＋，＞，作出其图象如图，结合图象可知m 的取值范围为0＜m ＜14，当x ＞0时，有－x 2＋x ＝m ，即x 2－x ＋m ＝0， 于是x 1x 2＝m ．当x ＜0时，有2x 2－x －m ＝0，于是314x =．故123(14m x x x =．设h (m )＝m (1，∵h ′(m )＝(1＋［m()］＝10<，∴函数h (m )单调递减． 故x 1x 2x 3的取值范围为，0)． 16．解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ， 则231()5010P A +==． (2)依题意得，X 1X 2的分布列为(3)由(2)得，E (X 1)＝1×125＋2×50＋3×10＝50＝2.86(万元)，E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E (X 1)＞E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车．17．解：方法一：(1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝13144-=．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34． 证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α·(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋2sin αcos α＋14sin 2α－2sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34． 方法二：(1)同方法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34． 证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1cos21cos(602)22αα-+︒-+－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°·cos2α＋sin60°sin2α)－sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2ααα－14(1－cos2α)＝11131cos2cos24444αα--+=．18．解：(1)以A 为原点，AB ，AD ，1AA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1，0)，D 1(0,1,1)，E (2a，1,0)，B 1(a,0,1)，故1AD ＝(0,1,1)，1B E ＝(2a -，1，－1)，1AB ＝(a,0,1)，AE ＝(2a，1,0)．∵1AD ·1B E ＝2a-×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B 1E ⊥AD 1．(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)， 使得DP ∥平面B 1AE ．此时DP ＝(0，－1，z 0)．又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥1AB ，n ⊥AE ，得00.2ax z ax y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝(1，2a-，－a )． 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP ，有2a－az 0＝0，解得012z =．又DP 平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时12AP =．(3)连接A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D ． ∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C ．又由(Ⅰ)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，∴AD 1⊥平面DCB 1A 1．∴1AD 是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时1AD ＝(0,1,1)．设1AD 与n 所成的角为θ，则11·cos ||||a aAD AD θ--==n n ．∵二面角A －B1E －A 1的大小为30°， ∴|cos θ|＝cos303a =， 解得a ＝2，即AB 的长为2．19．解：方法一：(1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 所以4a ＝8，a ＝2． 又因为12e =，即12c a =，所以c ＝1． 所以b故椭圆E 的方程是22143x y +=． (2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0．因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且∆＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0．(*)此时024443km k x k m =-=-+，y 0＝kx 0＋m ＝3m ， 所以P (4k m -，3m )．由4x y kx m =⎧⎨=+⎩，，得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上． 设M (x 1,0)，则0MP MQ ⋅=对满足(*)式的m ，k 恒成立．因为MP ＝(14k x m --，3m)，MQ ＝(4－x 1,4k ＋m )， 由0MP MQ ⋅=，得211141612430kx k k x x m m m-+-+++=，整理，得(4x 1－4)k m＋x 12－4x 1＋3＝0．(**)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以1211440,430,x x x -=⎧⎨-+=⎩解得x 1＝1．故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ．方法二：(1)同方法一．(2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0．因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且∆＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0．(*)此时024443km k x k m =-=-+，y 0＝kx 0＋m ＝3m ， 所以P (4k m -，3m )．由4x y kx m =⎧⎨=+⎩，，得Q (4,4k ＋m )． 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．取k ＝0，m =此时P (0)，Q (4)，以PQ 为直径的圆为(x －2)2＋(y)2＝4，交x 轴于点M 1(1,0)，M 2(3,0)；取12k =-，m ＝2，此时P (1，32)，Q (4,0)，以PQ 为直径的圆为225345()()2416x y -+-=，交x 轴于点M 3(1,0)，M 4(4,0)．所以若符合条件的点M 存在，则M 的坐标必为(1,0)．以下证明M (1,0)就是满足条件的点：因为M 的坐标为(1,0)，所以MP ＝(41k m --，3m)，MQ ＝(3,4k ＋m )， 从而1212330k kMP MQ m m⋅=--++=， 故恒有MP MQ ⊥，即存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ．20．解：(1)由于f ′(x )＝e x＋2ax －e ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线斜率k ＝2a ＝0，所以a ＝0，即f (x )＝e x－e x ．此时f ′(x )＝e x－e ，由f ′(x )＝0得x ＝1．当x ∈(－∞，1)时，有f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，有f ′(x )＞0． 所以f (x )的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)设点P(x0，f(x0))，曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，令g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，故曲线y＝f(x)在点P处的切线与曲线只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点．因为g(x0)＝0，且g′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝e x－e x0＋2a(x－x0)．(1)若a≥0，当x＞x0时，g′(x)＞0，则x＞x0时，g(x)＞g(x0)＝0；当x＜x0时，g′(x)＜0，则x＜x0时，g(x)＞g(x0)＝0．故g(x)只有唯一零点x＝x0．由P的任意性，a≥0不合题意．(2)若a＜0，令h(x)＝e x－e x0＋2a(x－x0)，则h(x0)＝0，h′(x)＝e x＋2a．令h′(x)＝0，得x＝ln(－2a)，记x′＝ln(－2a)，则当x∈(－∞，x*)时，h′(x)＜0，从而h(x)在(－∞，x*)内单调递减；当x∈(x*，＋∞)时，h′(x)＞0，从而h(x)在(x*，＋∞)内单调递增．①若x0＝x*，由x∈(－∞，x*)时，g′(x)＝h(x)＞h(x*)＝0；x∈(x*，＋∞)时，g′(x)＝h(x)＞h(x*)＝0，知g(x)在R上单调递增．所以函数g(x)在R上有且只有一个零点x＝x*．②若x0＞x*，由于h(x)在(x*，＋∞)内单调递增，且h(x0)＝0，则当x∈(x*，x0)时有g′(x)＝h(x)＜h(x0)＝0，g(x)＞g(x0)＝0；任取x1∈(x*，x0)有g(x1)＞0．又当x∈(－∞，x1)时，易知g(x)＝e x＋ax2－［e＋f′(x0)］x－f(x0)＋x0f′(x0)＜e x1＋ax2－［e＋f′(x0)］x－f(x0)＋x0f′(x0)＝ax2＋bx＋c，其中b＝－［e＋f′(x0)］，c＝e x1－f(x0)＋x0f′(x0)．由于a＜0，则必存在x2＜x1，使得ax22＋bx2＋c＜0．所以g(x2)＜0．故g(x)在(x2，x1)内存在零点，即g(x)在R上至少有两个零点．③若x0＜x*，仿②并利用3e6xx>，可证函数g(x)在R上至少有两个零点．综上所述，当a＜0时，曲线y＝f(x)上存在唯一点P(ln(－2a)，f(ln(－2a)))，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．21． (1)选修4－2：矩阵与变换解：①设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′，y′)．由1x ay b'⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭x axy bx y⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，得,.x axy bx y'=⎧⎨'=+⎩又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，即a2x2＋(bx＋y)2＝1，整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1．依题意得222,22,a bb⎧+=⎨=⎩解得1,1,ab=⎧⎨=⎩或1,1,ab=-⎧⎨=⎩因为a＞0，所以1,1. ab=⎧⎨=⎩②由①知，1 01 1⎛⎫= ⎪⎝⎭A，21 0 1 0 1 01 1 1 12 1⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A，所以|A2|＝1，(A2)－1＝1 02 1⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．(2)选修4－4：坐标系与参数方程解：①由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，3)．又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为(1，3)，故直线OP 的平面直角坐标方程为3y x =．②因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，3)，所以直线l 30y +-=．又圆C 的圆心坐标为(2，)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离32d r ==<，故直线l 与圆C 相交． (3)选修4－5：不等式选讲解：①因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ，由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．又f (x ＋2)≥0的解集为［－1,1］，故m ＝1． ②由①知111123a b c++=，又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得 a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )(11123a b c++)≥29＝．。
2012年全国高中数学联赛福建赛区
2012年全国高中数学联赛福建赛区获奖学生及指导教师名单奖次姓名所在学校指导教师一等奖（41名）李君诚龙岩一中方秦金陈景林福州一中王欣苏肇祺厦门双十中学赵祥枝陈洁锋南安一中林建源吴秉杰福建师大附中连信榕陈景发泉州七中杜成北黄熹之福州一中王欣赖泽华泉州五中陈显林永锋泉州七中曹东方高登峰长乐一中刘宇璋郑予凡福州三中林风林楠莆田一中吴天然蔡宇涵福州一中陈德燕涂霁原福建师大附中黄振胜张毅厦门外国语学校周志伟郑婉怡长乐一中刘宇璋林坚福建师大附中连信榕吴艺杰厦门一中徐小平郑延敏厦门一中周翔刘淇禄厦门双十中学许波付祖悦福州一中李迅林梓楠厦门一中徐小平陈集懿仙游一中刘金星一一等奖（41名）张泽华福州一中林玲刘锦鹏三明二中林保平范兴鹏永定一中李辉林真厦门外国语学校吴铭辉林杰安溪一中陈荣海林继航福州一中夏彦婴洪伟峻福州一中宋梅玉郭靖邦福建师大附中连信榕高志杰安溪一中叶良清许昭贤安溪一中苏文新蔡健福州一中郭艺斌林雨福州一中丘远青陈泽群南安一中梁淮森林若轩厦门外国语学校周志伟黄安祥厦门双十中学郭俊芳洪景渠厦门双十中学许波叶豪大田一中郑锐严炜泉州五中黄寒凝二等奖（51名）陈天乐福建师大附中林峰康泽淇厦门双十中学赵祥枝苏室勋同安一中谢继林杨铮厦门双十中学赵祥枝张禛厦门一中周翔林超超泉州五中许华军郑文超南安一中陈聪贤二林鹏凯厦门双十中学赵祥枝林子楹厦门一中徐小平钟少涵龙岩一中方秦金等奖（51名）蔡熠莆田一中吴天然郑俊萍莆田一中吴天然刘雨晨龙岩一中方秦金岳宇福州一中王欣刘定峰厦门一中张帆罗融厦门双十中学赵祥枝吴茂恺福清一中陈贻康王海滨永春一中李金进谢宇航南安一中梁淮森潘兴禄福鼎一中曹齐平许良坤厦门双十中学赵祥枝林迪熙厦门外国语学校周志伟钱成德漳州一中林良斌许泽君福州一中林玲颜仁学南安一中梁淮森钟玺峰泉州实验中学刘晓波曾奕辉三明二中林保平张德洁尤溪一中陈祥湾李响厦门一中徐小平庄镕胜厦门双十中学赵祥枝卓杰鹏泉州七中杜成北蔡宇超漳州一中林良斌戴志聪泉州七中赖呈杰二陈垚鑫泉州五中黄寒凝林青恺福安一中林旭杨以恒泉州五中黄寒凝曾武贤漳州立人学校林智生苏杭厦门双十中学许波等奖（51名）叶茂胜晋江养正中学周彩瑛林志常泉州七中林志敏陈靖国安溪一中叶良清张其斌长汀一中魏木水谢雨彤宁德一中金新雄汪慧铭泉州七中纪建灵石壮壮厦门双十中学张瑞炳白蔚楠安溪一中苏文新卢长胜连城一中黄椿施宇福清一中余小萍陈思杰厦门一中徐小平黄哲雄泉州一中陈志文吴超厦门双十中学许波三等奖（67名）李甲辰安溪一中苏文新黄志喜福鼎一中丁合剑戴飞栋厦门双十中学张瑞炳许悦厦门双十中学张瑞炳林泽宇长乐一中刘宇璋郑炜豪泉州实验中学刘晓波王雨亭厦门双十中学张瑞炳陈龙漳平一中叶培杰三等奖林炳辉长乐一中刘宇璋郭颖超仙游一中刘金星陈兵莆田一中吴天然吴婧旸漳州实验中学郭欢陈扬锐尤溪一中陈师民陈晓越莆田一中吴天然林毓斌仙游一中黄开云（67名）谢新锋南安一中梁淮森罗飞扬安溪一中苏文新郑文俊福州一中宋梅玉傅坤隆泉州七中赖艳红蔡崇泽晋江养正中学周彩瑛陈炳森漳州一中冯真丽丁嘉靖泉州五中李晖黄垚开永定一中李辉包迪福州三中耿熹连庭泉州五中苏建民郑思鹏福州一中宋梅玉陈轶伦厦门一中李寅童留永信晋江季延中学陈煌图黄泽龙厦门一中张帆洪世鑫南安一中梁淮森江旭厦门外国语学校周志伟陈晓灿永春一中王冬生李毅福州一中陈德燕许恭瀚泉州五中赵清木三等奖（67名）三等奖（67名）陈楷民厦门双十中学王成焱翁智荣莆田一中吴天然彭钦一龙岩一中方秦金陈雨薇泉州五中杨苍洲叶智恺福州一中丘远青叶韫盛福建师大附中连信榕许晓毅安溪一中陈荣海苏楠淇厦门双十中学赵祥枝陈明豪长乐一中刘宇璋黄一帆泉州十一中柳明全卢皓川福州一中陈德燕张策南平一中周文绥柯薇福州一中郭艺斌杜一阳厦门一中张帆杨婉娴漳州实验中学郭欢林弘韬福建师大附中连信榕冯楷锐泉州五中郭智恒吴剑灿莆田一中吴天然严江鹏仙游私立一中林凤芬肖智超漳州正兴学校朱金海程思衍厦门双十中学李祥增张晟三明二中林保平王晨昀南安国光中学陈俊青郑蓊睿福州一中丘远青林焱仙游一中刘金星林江滨厦门双十中学赵祥枝三等奖（67名）温拓扑福州一中卓道章林譞福州一中郑超翔杨亦萍福州一中郭艺斌杜启明泉州实验中学刘晓波李庆涛三明一中廖新武练成龙三明一中黎明王震莆田一中林敏。
福建省四地六校2012-2013学年高一下学期第一次联考数学试卷
四地六校联考2012－2013学年下学期第一次月考高一数学试卷（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.在△ABC 中，若C B A 222sin sin sin +=，则△ABC 为( ) A B C ．直角三角形 D ．等边三角形2.在△ABC 中，若ab b a c ++=22，则角C 的度数是( ) A.60° B.120° C.60°或120° D.150°3.数列}{n a 中，31=a ，62=a ，n n n a a a -=++12，那么=6a （ ）A ．-2B ．-4C ．-6D ．-84.在等比数列}{n a 中，82=a ，645=a ，则公比q 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．85.若数列}{n a 的前n 项和23n S n =，则4a 等于（ ）A ．15B ．18C ．21D ．276．某种细菌在培养过程中，每30分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过4小时，这种细菌 由1个可繁殖成（ ）A ．255个B ．256个C ．511个D ．512个7.已知}{n a 是等差数列，1010=a ，其前10项和7010=S ，则其公差=d （ ）A ．32-B ．31-C ．31D ．32 8.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若22=S ，104=S ，则6S 等于（ ）A ．12B ．18C ．24D ．429.数列}{n a 的前n 项和为n S ，若)1(1+=n n a n ，则5S 等于（ ） A ．1 B ．65 C ．61 D ．301 10.某人向正东方向走了x 千米，他右转︒150，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值是（ ）A ．3B ．32C ．3或32D ．2311.数列}{n a 的前n 项和为n S ，若n n S n 1722-=，则当n S 取得最小值时n 的值为（ ）A ．4或5B ．8或9C ．4D ．512.数列}{n a 中，14-=n a n ，令na a ab n n +++= 21，则数列}{n b 的前n 项和为（ ） A ．2n B ．)2(+n n C ．)1(+n n D ．)12(+n n二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.在等差数列}{n a 中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若821a a a a k +++= ，则=k14.在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若75,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离为 千米.15.等比数列}{n a 中，若5a 和9a 是方程0472=++x x 的两根，则7a =_____.16.等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，给出下列四个命题：①数列{(12)a n }为等比数列； ②若91272=++a a a ，则3913=S ； ③d n n na S n n 2)1(--=； ④若0>d ，则n S 一定有最小值．其中真命题的序号是__________(写出所有真命题的序号)．三、解答题（本大题共6小题，解答应写出必要的文字说明、推理过程和演算步骤）17. (本小题满分12分)已知函数1)cos (sin cos 2)(-+=x x x x f ,x R ∈.(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.18．(本小题满分12分) 在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，角A ,B ,C 成等差数列.（1）求cos B 的值;（2）若边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值.19. (本小题满分12分)设△ABC 的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，已知11. 2.cos .4a b C ===（1）求△ABC 的周长；（2）求()cos A C -的值。
福建八县一中2012年高一下学期期末联考数学试题及答案
命题学校： 闽清一中 命题教师： 姚友升 审核教师： 林婷 考试日期： 7月 4 日 完卷时间： 120 分钟 满分：150 分一、选择题（本大题目共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．sin 480︒的值为（ ） A.12 B. 12- C. 32 D. 32-2．化简CD AC BD AB --+=（ ）A ．ADB ．0C ．BCD ．DA 3．如果角θ的终边经过点（3,1-），那么cos θ的值是（ ） A ．－32 B ．－12 C. 12 D.324．已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b +＝（ ） A ．(5,10)-- B ．(4,8)-- C ．(3,6)-- D ．(2,4)--5．已知1sin cos 3αα+=，则sin2α=（ ） A ．21 B ．21- C ．89 D ．89-6．下列各式中，值为12的是（ ）A ．0sin15cos15 B ．22cossin 1212ππ-C ．cos ︒42sin ︒12－sin ︒42cos ︒12 D ．020tan 22.51tan 22.5-7．已知函数)sin()(ϕω+=x A x f (2||,0,0,πϕω<>>∈A R x )的图象（部分）如图所示，则)(x f 的解析式是（ ） A ．))(6sin(2)(R x x x f ∈+=ππ B ．))(62sin(2)(R x x x f ∈+=ππC ．))(3sin(2)(R x x x f ∈+=ππ D ．))(32sin(2)(R x x x f ∈+=ππ8．下列函数中，最小正周期是2π的偶函数为（ ） A ．tan 2y x = B ．cos(4)2y x π=+C ．22cos 21y x =- D ． cos 2y x =9．已知12,e e 不共线，且123()AB e e =+，12BC e e =-，122CD e e =+，则下列结论成立的是（ ） A ． A 、B 、C 三点共线 B ． A 、B 、D 三点共线 C ． A 、C 、D 三点共线 D ． B 、C 、D 三点共线 10．将函数y ＝sin(x ＋4π)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移4π个单位，所得到的图象解析式是（ ）A ．sin 2y x =B ．sin(2)4y x π=-C ．sin(2)4y x π=+D ．1sin 2y x = 11．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足2PA PB PC CB ++=，则点P 与△ABC 的关系为是（ ）A ．P 在△ABC 内部B ．P 在AB 边所在直线上C ．P 在BC 边所在直线上D ．P 在AC 边所在直线上12．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为 辆／分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)=60+3sin3t(其中0≤t ≤20)给出，F(t)的单位是辆／分，t 的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的．（ ）A ．[15，20]B ．[10，15]C ． [5，10]D ．[0，5] 二、填空题（本大题目共4题，每小题4分，共16分）13．已知扇形的圆心角为0120，半径为3，则扇形的面积是 14．已知向量a ，b 满足2,a b a b ==-=则a b += 15．tan 70tan 65tan 70tan 65+-= . 16．下列命题中：①在边长为2的正三角形ABC 中，AB BC 为2； ②函数2sin(2)3y x π=-的一条对称轴是512x π=；. ③知向量(6,2)a =与(3,)b k =-的夹角是钝角,则k 的取值范围是9k < ④函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最大值为2， 其中正确的序号是 .三、解答题（本大题目共6题，共74分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2012年全国高中数学联赛试题及详细解析
2012年全国高中数学联赛一试参考答案及详细评分标准一、填空题：本大题共8小题，每题8分，共64分．把答案填在题中的横线上． 1.设P 是函数2y x x=+〔0x >〕的图像上任意一点，过点P 分别向 直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅的值是 ． 2.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=， 则tan tan AB的值是 .3.设,,[0,1]x y z ∈，则M =是 .4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的 两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ， 则||||MN AB 的最大值是 . 5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．假设正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是 ．()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．假设对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 7.满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是 ． 8.某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．〔用最简分数表示〕二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9.〔本小题总分值16分〕已知函数131()sin cos 2,,022f x a x x a a R a a =-+-+∈≠ 〔1〕假设对任意x R ∈，都有()0f x ≤，求a 的取值范围； 〔2〕假设2a ≥，且存在x R ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围．10.〔本小题总分值20分〕已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有23331212()n n a a a a a a +++=+++〔1〕当3n =时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,a a a ;〔2〕是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20132012?a =-假设存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；假设不存在，说明理由．11.〔本小题总分值20分〕如图，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为4，且6OB OD ==．〔1〕求证：||||OA OC ⋅为定值；〔2〕当点A 在半圆22(2)4x y -+=〔24x ≤≤〕上运动时， 求点C 的轨迹．2012年全国高中数学联赛加试试题一、〔此题总分值40分〕如图，在锐角ABC ∆中，,,AB AC M N >是BC 边上不同的两点，使得.BAM CAN ∠=∠设ABC ∆和AMN ∆的外心分别为12,O O ，求证：12,,O O A三点共线。
福建省高一数学竞赛-参考答案
2014年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月11日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分） 1．已知集合{}1A x x a =-<，{}22x B y y x ==≤，，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]1-∞，B ．(1)-∞，C ．(]01，D ．(]3-∞， 【答案】 A【解答】0a ≤时，A φ=，符合要求。
0a >时，(11)A a a =-+，，(]04B =，。
由A B A ⋂=知，A B ⊆。
1014a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得01a <≤。
∴ a 的取值范围为(]1-∞，。
2．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥内切球的体积为（ ）A ．27 B ．27 C ．43π D ．163π 【答案】 A【解答】设圆锥底面半径为R ，母线长为l ，则1222l R ππ⨯=，2l R =。
又2122S l ππ==圆锥测。
因此，2l =，1R =。
圆锥的轴截面是边长为2的正三角形。
所以，其内切球半径123r ==，其体积343V π=⨯=。
3．函数y x = ）A ．⎡-⎣B ．2⎡-⎣C ．1⎡-⎣D ．⎡⎣【答案】 B【解答】由y x -=22224y xy x x -+=-，222240x yx y -+-=。
∴ 2248(4)0y y =--≥△，y -≤≤又2y x ≥≥-，因此，2y -≤≤2⎡-⎣。
4．给出下列命题：（1）设l ，m 是不同的直线，α是一个平面，若l α⊥，l m ∥，则m α⊥。
（2）a ，b 是异面直线，P 为空间一点，过P 总能作一个平面与a ，b 之一垂直，与另一条平行。
（3）在正四面体ABCD 中，AC 与平面BCD 所成角的余弦值为3。
（4）在空间四边形ABCD 中，各边长均为1，若1BD =，则AC 的取值范围是(0。
其中正确的命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】 C 【解答】（1）显然正确。
2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案及详细评分标准(A卷word版)
2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案及详细评分标准(A 卷word 版)一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上．１． 设P 是函数2y x x=+（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向 直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅的值是 ．解:方法1:设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002()(),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,),(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=- ２． 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan tan A B的值是 . 解:由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 5a cb ac A A B ca b ac b c a B B A b c a c b +-⋅+-=====+-+-⋅. ３．设,,[0,1]x y z ∈，则M=.解:不妨设01,x y z≤≤≤≤则M=所以 1.M ≤=当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M = 4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是 . 解:由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()2AF BF AF BF +≥+-22().2AF BF MN +==当且仅当AF BF =时等号成立.故MNAB的最大值为1.5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是 ．解:如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠=,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==,故tan 4QHQMH MH∠==6. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．解:由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x 取得最大值1)(2).a +因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞７．满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是 ．解:由正弦函数的凸性,有当(0,)6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin ,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sin sin sin sin sin .134********πππππ<<<<<< 故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.８．某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示）解:用k P 表示第k 周用A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14kP ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为34，公比为13-的等比数列。
福建省师大附中2012-2013学年高一数学下学期期末考试试题新人教A版
实用文档福建师大附中2012—2013学年度下学期期末考试高一数学试题（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.若0sin 02sin <>αα且，则α是（ *** ）A. 第二象限角B. 第三象限角C. 第一或第三象限角D. 第二或第三象限角 2.︒︒︒︒+75sin 15cos 75cos 15sin 等于（ *** ） A. 0 B.21C. 23D. 13.如图，已知3,AB a AC b BD DC a b ===， ， 用、 表示AD ，则AD 等于（***）A ．34a b +B ． 3144a b + C ．1144a b + D ． 1344a b +4.若a =(2,1)，b =(3,4)，则向量a 在向量b 方向上的投影为（ *** ） A ．52B.2C.5D.10ACD B实用文档5.已知角α的终边过与单位圆交于点43(,)55P -，则sin()tan()2sin()cos(3)πααπαππα--⋅+-等于何值（ *** ） A ．45 B ．54 C ．53 D ．53- 6．tan 20tan 403tan 20tan 40︒︒︒︒++的值为（ **** ）A ．1B ．33C ．－3D ．37．设1e 和2e 为不共线的向量，若21e ﹣32e 与k 1e +62e （k∈R）共线，则k 的值为( *** ) A ．k=4 B ．k=-4 C ．k=-9 D ． k=98．在ABC ∆中，若AC BC BA =+，则ABC ∆一定是（**** ） A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定9.同时具有性质“（1）最小正周期是π；（2）图像关于直线3π=x 对称；（3）在]3,6[ππ-上是增函数”的一个函数是（****）A ．)62sin(π+=x y B ．)32cos(π+=x y C ．)62sin(π-=x y D ．)62cos(π-=x y 10．如右图，ABCD 是由三个边长为1的正方形拼成的矩形，且EAB α∠=，CAB β∠=，则αβ+的值为 ( **** )ED CBA实用文档A ．34πB ．2π C ．3πD ．4π11.已知,OA OB 是两个单位向量，且OA OB ⋅=0．若点C 在∠AOB 内，且∠AOC=30°，则(,),OC mOA nOB m n R =+∈则mn等于（ **** ） A ．13 BCD ．312.若对任意实数a ，函数215sin()36k y x ππ+=-()k N ∈在区间[],3a a +上的值54出现不少于４次且不多于８次，则k 的值为（ **** ）A ．2B ．4C ．3或4D ．2或3第Ⅱ卷 共90分二、填空题：（每小题4分，共20分。
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2012年福建省高一数学竞赛卷
一、选择题（每小题6分，共36分）
1、已知集合{}14A x x =≤≤，{}2log ,B y y x x A ==∈，则A B ⋂=（ ）
A 、[]0,2
B 、[]0,1
C 、[]1,2
D 、[]2,4
2、已知直线2,4x x ==与函数4log y x =的图象交于,A B 两点，与函数ln y x =的图象交于,C D 两点，则直线AB 与CD （ ）
A 、相交，且交点在第一象限
B 、相交，且交点在第二象限
C 、相交，且交点在第四象限
D 、相交，且交点在坐标原点
3、已知集合A ，如果存在实数0x ，使得对于任意的正数a ，都存在x A ∈，使得00x x a <-<,则称0x 为集合A 的“聚点”，给出下列四个集合：①,01n n Z n n ⎧⎫∈≥⎨⎬+⎩⎭
，②{},0x x R x ∈≠且，③1,0n Z n n ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭
，④Z 。
其中以0为“聚点”的集合有（ ） A 、②③ B 、①② C 、①③ D 、②④
4、已知四面体ABCD 的四个顶点的坐标分别为()2,0,0A ，()0,2,0B ，()0,0,1C ，()0,0,0D ，则直线DC 与平面ABC 所成角的正弦值为（ ）
A 、13
B
C 、23
D 5、已知,x y 是两个不相等的正数，且满足条件3322x y x y -=-，则[]9xy 的最大值为（ ）
（符号[]x 表示不超过x 的最大整数）
A 、4
B 、3
C 、2
D 、1
6、函数()f x = ）
A B 、 C D 二、填空题（每小题6分，共36分）
7、已知过点()3,2A -的直线l 交x 轴正半轴于点B ，交直线1:20l x y -=于点C ，且2AB BC =，则直线l 在y 轴上的截距为________________________
8、若关于x 的不等式2360x x x
k +-≥在区间[]1,2，则k 的最大值为______________
9、在三棱锥D ABC -中，已知AB BC AD ===，2BD AC ==，BC AD ⊥，则三棱锥D ABC -外接球的表面积为_______________________
10、三个半径都是2的圆，其圆心分别为()1,1A ，()3,6B ，()7,12C ，直线l 的斜率为k ，且过点()1,1。
若,,A B C 位于直线l 某一侧的部分的面积和等于位于直线l 另一侧的部分的面积和。
则k =______________________
11、已知函数()(
)21,011,0x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，则方程()f x x =在区间()0,10内所有实根的和为____________
12、符号[]x 表示不超过x 的最大整数，符号{}x 表示x 的小数部分，即{}[]x x x =-。
若实数[][][][]24682012x x x x +++=，则{}x 的最小值为_____________________
三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）
13、已知()2
22f x x px =+-在区间[]2,0-上的最小值为()g p 。
⑴求()g p 的表达式；
⑵当()3g p =-时，求()f x 在区间[]2,0-上的最大值。
14、已知圆()()22
:22C x y m -+-=，点()4,6A ，(),B s t ，
⑴若3412s t -=-，且直线AB 被圆C 截得的弦长为4，求m 的值；
⑵若,s t 为正整数，且圆C 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值λ（1λ>），求m 的值。
15、对任意的正整数n ，以及任意n 个互不相同的正整数12,,,n a a a ，若不等式121112n a a a λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭恒成立，求整数λ的最小值。
PA PB为圆O的两条切线，,A B为切点，PCD为圆O的割线，,C D为割线与16、如图，,。
圆O的交点。
过C作直线交AB于点E，交AD于点F，且CE EF
CE PA
求证：//
17、在直角坐标平面xoy内有2012个点，记这2012个点组成的点集为P，已知点集P中任
何两点的连线与坐标轴既不平行也不重合。
求证：在点集P中，存在,E G两点，使得以EG为对角线，且边与坐标轴平行或重合的距形EFGH内（不包括边界）至少含有点集P中的402个点。