福建省2017-2018学年高一竞赛数学试题

福建省2017-2018学年高一数学竞赛试题

一、选择题：本大题共6个小题,每小题6分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{}|1327x A x =≤≤，{}

22|log ()1B x x x =-<，则A

B =（ ）

A ．(12)，

B ．(]13-，

C ．[)02，

D ．(1)

(02)-∞-，，

2.若直线l 与两直线1l ：70x y --=，2l ：1313110x y +-=分别交于A ，B 两点，且线段AB 中点为(12)P ，，则直线l 的斜率为（ ） A ．2-

B ．3-

C ．2

D ．3

3.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、E 分别为棱BC 、

1BB 的中点，N 为正方形11B BCC 的中心.l 为平面1A MN 与平面1A MN 与平面1D BE 的交线，则直线l 与正方体底面ABCD 所成角的大小为（ ）

A ．30?

B ．45?

C ．60?

D ．90?

4.如图，在三棱锥S ABC -中，6SA SB AB BC CA =====，且侧面ASB ⊥底面ABC ，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为（ ）

A ．60π

B ．56π C.52π D ．48π

5.已知定义在R 上的函数()f x 满足：(](]2

2210()201x x f x x x ?--∈-?=?-∈??

，，，，且(2)()f x f x +=

，

52()2

x

g x x -=

-，则方程()()f x g x =在区间[]37-，上的所有实根之和为（ ） A ．14 B ．12 C.11 D ．7

6.已知点(20)A -，，(20)B ，，(02)C ，，直线y kx b =+（0k >）交线段CA 于点D ，交线段CB 于点E .若CDE △的面积为2，则b 的取值范围为（ ）

A ．11)，

B ．223?? ???， C.324??- ???， D ．213???， 二、填空题：每题6分，满分36分.

7.函数23

()log )f x x ??

??=???????

的最小值为 ． 8.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =.E 、F 分别为PD 、BC 的中点，则二面角E FD A --的正切值为 ．

9.若函数22()24f x x ax a =-+-在区间2

2a a ??-??，（0a >）上的值域为[]40-，，则实数a

的取值范围为 ．

10.已知集合{}13579A =，

，，，，集合a B a A b A a b b ??

=∈∈≠????

，，且，则集合B 中元素的个数为 ．

11.n 的和为 ． 12.给出下列10个数：1，2，4，8，16，32，64，a ，b ，c ，其中a ，b ，c 为整数，且64c b a >>>.若对每个正整数753n ≤，都可以表示成上述10个数中某些数的和（可以是1个数的和，也可以是10个数的和，每个数至多出现1次）

，则b 的最小值为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

13.已知DEF △三边所在的直线分别为1l ：2x =-，

2l ：40x +-=，3l ：40x --=，C 为DEF △的内切圆.

（1）求C 的方程；

（2）设C 与x 轴交于A 、B 两点，点P 在C 内，且满足2

PC PA PB =?.记直线PA 、PB 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的取值范围.

14. 函数是数学中重要的概念之一，同学们在初三、高一分别学习过，也知晓其发展过程.1692年，德国数学家莱布尼茨首次使用 function 这个词，1734 年瑞士数学家欧拉首次使用符号()f x 表示函数.1859 年我国清代数学家李善兰将function 译作函数，

“函”意味着信件，巧妙地揭示了对应关系.密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理函数问题，尤其是处理抽象函数问题的常用方法之一.请你解答下列问题.

已知函数()f x 满足：对任意的整数a ，b 均有()()()2f a b f a f b ab +=+++，且(2)3f -=-.求(96)f 的值.

15.如图，PA 、PBC 分别为O 的切线和割线，切点A 是BD 的中点，AC 、BD 相交于点E ，

AB 、PE 相交于点F ，直线CF 交O 于另一点G 、交PA 于点K .

证明：（1）K是PA的中点；（2）2

AG BG PG

=?.

16.已知a，b，R

c∈，且222

33460

a b c

++=.（1）求a b c

++的最大值；

（2）若a，(04)

b∈，，(06)

c∈，，求

3

446

a b c

a b c

++

---

的最小值.

17.设集合{}

|2018

Z

M m m m

=∈≤

，且，M的子集S满足：对S中任意3个元素a，b，c （不必不同），都有0

a b c

++≠.求集合S的元素个数的最大值.

——★ 参 考 答 案 ★——

一、选择题 1-6：ABDACB 二、填空题

7.25

8

-

9.[]12， 10.18 11.205

12.125 三、解答题

13.解：（1）解法一：设()C a b ，，C 半径为r ，

则2a r +===，

结合点()C a b ，在DEF △内，可得2a r +=

==.

解得0a b ==，2r =.∴C 的方程为224x y +=. 解法二：设()C a b ，，C 半径为r .

如图，由条件知，2l 、3l 的倾斜角分别为150?和30?，且它们关于x 轴对称，同时1l x ⊥轴.因此，DEF △为正三角形.

∴点C 在x 轴上，且2a r =-+，0b =.

由2l 、3l 交x 轴于点(40)D ，，知DEF △的高为6. ∴1

623

r =?=，0a =.

∴C 的方程为224x y +=.

（2）由（1）知，(00)C ，，(20)A -，，(20)B ，. 设()P x y ，，则224x y +<. ∵2

PC PA PB =?，

∴22x y + 化简得，222x y -=.

∴1222

y y k k x x =?

+-22222221444y x x x x -===+---. 由224x y +<，以及222x y -=，20y ≥，得223x ≤<.

∴(]1210k k ∈-，

.∴12k k 的取值范围为(]10-，. 14.解：在()()()2f a b f a f b ab +=+++中，令0a b ==， 得(0)(0)(0)02f f f =+++，于是(0)2f =-.

在()()()2f a b f a f b ab +=+++中，令2a =，2b =-， 得(0)(2)(2)42f f f =+--+. ∴2(2)342f -=--+，(2)3f =.

在()()()2f a b f a f b ab +=+++中，令2a n =-，2b =，

得()(2)(2)2(2)2f n f n f n =-++-+(2)32(2)2f n n =-++-+(2)21f n n =-++. ∴()(2)21f n f n n --=+. ∴(96)(94)2961f f -=?+， (94)(92)2941f f -=?+，

……

(4)(2)241f f -=?+.

上述等式左右两边分别相加， 得(96)(2)2(96944)47f f -=++++.

∴(964)

(96)24747347502

f +=?

?++=. 15.解：（1）在APC △中，由塞瓦定理，知

1AK PB CE

KP BC EA

??=.① ∵A 是BD 的中点，PA 是O 的切线，∴PAB ADB ABD ∠=∠=∠. ∴EB AP ∥，

PB AE

BC EC

=

.②

由①②，得AK KP

=.K是PA的中点.

另解：∵A是BD的中点，PA是O的切线，

∴PAB ADB ABD

∠=∠=∠，EB AP

∥.

如图，过点F作MN AP

∥，交AE于点M，交PB于点N.

则MF EM

AP EA

=，

FN BN

AP BP

=.①

且EB AP MN

∥∥，EM BN EA BP

=.②

∴由①②，得MF EM BN FN AP EA BP AP ===.

∴AK KP

=，K是PA的中点.

（2）由（1）及切线长定理，得22

KP KA KG KC

==?.因此，KP KG KC KP

=.

又PKG CKP

∠=∠，∴PKG CKP

△∽△.APG KPG KCP GCB BAG

∠=∠=∠=∠=∠.

又PAG ABG

∠=∠，∴GPA GAB

△∽△，AG PG

BG AG

=.∴2

AG BG PG

=?.

16.解：（1）由柯西不等式，知

22

1

()2)

2

a b c c

++=+

?

2

222222

1

()))(2)

2

c

????

≤++?++

????

??

222

111

()(334)

334

a b c

=++++

21

()60401555

34

=+?=+=.

∴a b c

++≤

2

1

2

c

==>

，即a b

==

c=.

∴a b c

++

（2）由a，(04)

b∈，，(06)

c∈，，知a，4a

-，b，4b

-，c，6c

-均为正数，

∴24(4)(

)42a a a a +--≤=，24(4)()42b b b b +--≤=，2

6(6)()92

c c c c +--≤=. ∴3446a b c

a b c ++

---2223(4)(4)(6)

a b c a a b b c c =++---2223449a b c i ≥++22233460

51212

a b c ++===.

当2a b ==，3c =时，满足a ，(04)b ∈，，(06)c ∈，，22233460a b c ++=，且35446a b c a b c ++=---.∴3446a b c

a b c

++

---的最小值为5. 17.解：集合S 的元素个数的最大值为2018.

令{}|12018Z S s s s =≤≤∈，，显然集合S 符合要求，且2018S =. 另一方面，设S 是满足题设条件的集合，显然0S ?（否则0000++=）. 设S 中的所有正整数构成集合A ，S 中的所有负整数构成集合B . 若A =?，则2018S B =≤；若B =?，则2018S A =≤. 下面考虑A 、B 非空的情形.

对于集合X ，Y ，记{}|X Y x y x X y Y +=+∈∈，，{}|X x x X -=-∈. 由题设可知，()()A B S +-=?

（否则，设0()()x A B S ∈+-，则存在a A ∈，b B ∈，c S -∈-，

使得0a b x +=，0c x -=.于是，存在a S ∈，b S ∈，c S ∈，使得0a b c ++=）.且

{}|2017Z A B x x x +?∈≤，且（事实上，A 中元素2018≤，B 中元素1≤-，于是A B +中

元素2017≤；同理，A B +中元素1027≥-.）. 设集合A 中元素为1a ，2a ，

，k a ，集合B 中元素为1b ，2b ，

，l b ，且12k a a a <<

<，

12l b b b <<<.∵1122a b a b +<+33a b <+<<2k l k a b a b +<+3k k l a b a b <+<<+.

∴A B +中至少有1k l +-个元素，即11A B k l S +≥+-=-.

结合{}|2017Z A B x x x M +?∈≤?，且，S M -?，且()()A B S +-=?， 可得()

()A B S M +-?，4037M A B S =≥++-1A B S S S =++≥-+.∴2019S ≤.

若2019S =，则4037A B S M ++-==.∴()()A B S M +-=. 又由2018A B -?+，2018A B ?+，知2018S ∈，2018S -∈.

∴对于1k =，2，3，

，1009，k 与2018k -中至少有一个不属于S ，k -与2018k -+中

也至少有一个不属于S .因此，1009A ≤，1009B ≤.

∴2019100910092018S A B ==+≤+=，矛盾.因此，2018S ≤. 综上可得，2018S ≤.

综上所述，集合S 的元素个数的最大值为2018.