福建省2017-2018学年高一竞赛数学试题
2017-2018全国大学生数学竞赛试题及答案（最完整版）.pdf
=0
绕 y 轴旋转形成的椭球面的上半
部分（ z ≥ 0 ）取上侧，Π 是 S 在 P ( x, y, z ) 点处的切平面， ρ ( x, y, z ) 是原点到切平面Π
的距离， λ, μ,ν 表示 S 的正法向的方向余弦。计算：
（1）
∫∫
S
ρ
(
z x, y,
z
)
dS
；
（2） ∫∫ z (λx + 3μ y +ν z)dS 。 S 165
L
2
五、（本题满分 10 分）已知 y1 = xex + e2x ， y2 = xex + e−x ， y3 = xe x + e2x − e−x 是某二
阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程。
六、（本题满分 10 分）设抛物线 y = ax2 + bx + 2 ln c 过原点。当 0 ≤ x ≤ 1 时, y ≥ 0 ,又已
2
f (x)dx − 2 , 则 f (x) =
0
；
3．曲面 z = x2 + y2 − 2 平行平面 2x + 2 y − z = 0 的切平面方程是
；
2
4．设函数 y = y(x) 由方程 xe f ( y) = e y ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f ′ ≠ 1 ，则
d2y =
an Snα
收敛；
∑ （2）当α ≤ 1且 sn
→
∞(n
→
∞)
时，级数
+∞ n=1
an Snα
发散。
五、（本题满分 15 分）设 l 是过原点、方向为 (α , β ,γ ) ，（其中α 2 + β 2 + γ 2 = 1) 的直线，
2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案
2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月14日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知集合203x A x x Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，，则集合A 中所有元素的和为（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．3 【答案】 B 【解答】由203x x +≤-，得23x -≤<。
又x Z ∈。
因此{}21012A =--，，，，。
所以，集合A 中所有元素的和为0。
2．已知正三棱锥A BCD -的三条侧棱AB 、AC 、AD 两两互相垂直，若三棱锥A BCD -外接球的表面积为3π，则三棱锥A BCD -的体积为（ ）A ．43B ．23C ．16D ．19【答案】 C【解答】设AB AC AD a ===，则三棱锥A BCD -外接球的半径2R =。
由243R ππ=，得2R =。
∴ 1a =，三棱锥A BCD -的体积31166V a ==。
3．已知x 为实数，若存在实数y ，使得20x y +<，且23xy x y =-，则x 的取值范围为（ ）A ．(43)(0)--⋃+∞，， B ．(02)(4)⋃+∞，， C ．(4)(30)-∞-⋃-，， D ．(0)(24)-∞⋃，， 【答案】 C 【解答】 由23xy x y =-，得23xy x =+ ∵ 20x y +<， ∴ 2203x x x +<+，即(4)03x x x +<+，解得4x <-或30x -<<。
∴ x 的取值范围为(4)(30)-∞-⋃-，，。
BC（第2题图）4．m 、n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（ ）（1）对m 、n 外任意一点P ，存在过点P 且与m 、n 都相交的直线； （2）若m α⊥，n m ∥，n β∥，则αβ⊥； （3）若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥； （4）若m α∥，n α∥，m β∥，n β∥，则αβ∥。
福建省福州市2017-2018学年高一下学期期末联考试题数学含答案
2017-2018学年度第二学期八县（市）一中期末考联考高中 一 年 数学 科试卷命题学校： 长乐一中 命题者： 长乐一中集备组 考试日期： 7 月 3 日 完卷时间： 120 分钟 满 分： 150 分 一、选择题（每题5分，共60分）1．已知向量()1,2a =，(3,3)b =--， (),3c x =，若()2//a b c +，则x =（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田， 下周六步，径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长 6步，其所在圆的直径是4步，问这块田的面积是（ ）平方步？ A. 6B.3C. 12D. 93．，则sin 2α的值为（ ）ABC ．9D ．94．将函数15cos π26x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭=对应的曲线沿着x 轴水平方向向左平移2π3个单位，得到 曲线为（ ）A ．1πcos 26y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-B ．1sin 2y x =C ．1πsin 26y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=- D ．1sin 2y x =- 51352cos10cos80-=（ ） A ．2- B ．12-C ．1-D ．16．如图所示，向量,,,,,OA a OB b OC c A B C ===在一条直线上，且4AC CB =-则( )A. 1322c a b =+ B. 3122c a b =- C. 2c a b =-+ D. 1433c a b =-+7．设向量a 与b 满足2a =，1b =，且()b a b ⊥+，则向量b 在向量2a b +方向学校 班级 姓名 座号 准考号： .---------密………封…………装…………订………线----------上的投影为（ ） A ．12-B ．12C ．1D ． 1-8．函数sin 21cos xy x=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知非零向量a ，b 满足23a b =，2a b a b -=+，则a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A ．23B ．34C ．13D ．1410．设sin5a π=，cos10b π=，5tan12c π=，则（ ） A ．c b a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>11. ()f x 在区间ω的值为（ ） A ．2B ．38C ．103D ．2312．平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，·1AB AD =-，点M 在边CD 上，则·MA MB 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．5D 1二、填空题（每题5分，共20分）13．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为 ．14则sin cos αα等于 ．15．当x θ=时，函数()5sin 12cos f x x x =-取得最大值，则cos θ＝________．16．③在ABC △中，1AB =，3AC =，D 是BC 的中点，则·4AD BC =； ④已知对任意的x R ∈恒有且()f x 在R 上是奇函数，时，()sin f x x =，其中命题正确的是___． 三、解答题（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分） 17．已知向量(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC m m =---.(1)若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．18．已知a ，b 是两个单位向量.(1)若|32|3a b -=，求|3|a b +的值； (2)若a ，b 的夹角为3π，求向量2m a b =+与23n b a =-的夹角α.19．已知函数()sin f x x =，先将函数()f x 的图象向右平移6π个单位，再将图象的横坐标扩大3倍，纵坐标扩大2倍得到函数()g x . (1)求函数()g x 的解析式，并求出5()4g π的值； (2)设α，[0,]2πβ∈，10(3)213g πα+=，3cos()5αβ+=，求(32)2g βπ+的值.20．设函数()f x a b =⋅，其中向量()2cos ,1a x =，b ()m x x +=2sin 3,cos ．(1)求函数()x f 的最小正周期和在[]π,0上的单调递增区间； (2)当∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0时，()4f x <恒成立，求实数m 的取值范围．21．如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数sin()(0,0,(0,))y A x A ωϕωϕπ=+>>∈，[]4,0x ∈-的图象，图象的最高点为(1,2)B -.边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD ∥EF ．游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧DE ． (1)求曲线段FGBC 的函数表达式；(2)如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，且POE θ∠=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值．22．已知向量()11,,1,sin(2)62a y b x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，且//a b ，设函数()y f x =．（1）若方程()0f x k -=在[,]2x ππ∈上恰有两个相异的实根αβ、，写出实数k 的取值范围,并求αβ+的值．（2）若()2()1h x f x =-,5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()()2cos 43g x h x x λπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最大值为λ的值． 2017---2018学年度第二学期八县（市）一中期末考联考高一数学参考答案一、选择题：（每小题5 分，共60 分） 二、填空题：（每小题 5 分，共20 分）13. 7π414.25 15. 1213- 16. ②③④三、解答题：（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分）17. 解：（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线， ………1分(3,1)AB OB OA -==，(2,1)AC OC OA m m -==--. …………………3分3(1)2m m ∴-≠- ∴． ……………5分 （2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB AC ⊥， ………7分3(2)(1)0m m ∴-+-=…………………………9分…………10分 18．解：（1）因为a ，b 是两个单位向量，所以||||1a b ==，又|32|3a b -=，∴222(32)9||124||9a b a a b b -=-+=，即13a b =. ………2分∴22|3|9||6||91a b a a b b +=++=⨯=. ………4分（2）因为227(2)(23)2||6||2m n a b b a b a b a =+-=+-=-， ………6分 222||(2)4||4||41m a b a a b b =+=++=⨯=， ………8分222||(23)4||129||41n b a b a b a =-=-+=⨯= ………10分则71cos 2||||7m n m n α-===-⨯，又因为0απ≤≤，所以23πα=. ………12分 19. 解：（1）由题可知：1()2sin()36g x x π=-， ………3分则515()2sin()2sin 2434642g ππππ=⨯-==⨯= ………5分 （2） 因为110(3)2sin[(3)]2sin 232613g πππααα+=+-==， 所以5sin 13α=，[0,]2πα∈，则12cos 13α=，………7分 又因为3cos()5αβ+=，[0,]αβπ+∈，则4sin()5αβ+=， ………9分 所以3124556cos cos[()]cos()cos sin()sin 51351365βαβααβααβα=+-=+++=⨯+⨯=………11分 所以(32)11562sin[(32)]sin()cos 2236265g βπππβπββ+=⨯⨯+-=+==. ..…12分20. (1)()16π2sin 22sin 3cos 22++⎪⎭⎫⎝⎛+=++=m x m x x x f …………3分 ∴函数()x f 的最小正周期π=T ， ……………4分π22π6π2x π22πk k +≤+≤+-π6πx π3πk k +≤≤+-∴()Z k ∈ ……………6分 ∴在[]π,0上的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0，⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,3π2． …………7分(2) 当∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0时，()x f 单调递增∴当6π=x 时，()x f 的最大值等于3+m . …………8分 当0=x 时，()x f 的最小值等于2+m . …………9分 由题设知()4<x f ，即()44<<-x f∴⎩⎨⎧->+<+4243m m ， …………11分解得：16<<-m . ……………………12分21. (1)由已知条件，得2A =， …………1分 又∵34T =，212T πω==，∴6πω= ………2分 又∵当1x =-时，有2sin()2,6y πϕ=-+= ∴23πϕ=…………4分 ∴曲线段FGBC 的解析式为[]22sin(),4,063y x x ππ=+∈- (2)如图，OC =1CD =，∴2OD =，6COD π∠=，13PMP π∠=……5分解法一：作1PP ⊥x 轴于1P 点， ……6分 在1Rt OPP ∆中，12cos OP θ=，12sin PP θ= 在1Rt MPP ∆中，1112sin tan3PP MP MP πθ==，∴1MP ==……8分（注：学过正弦定理可以采用解法二求线段OM 的长度）（解法二：作1PP ⊥x 轴于1P 点，在1Rt OPP ∆中，12sin PP θ=， 在OMP ∆中，sin120sin(60)OP OMθ=-∴sin(60)2cos 2cos sin120OP OM θθθ⋅-===．） ……8分2cos OM θ=-……11分当262ππθ+=时，即6πθ=． ……12分 22. 解：（1）()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ …………………1分方程()0f x k -=在[,]2x ππ∈上恰有两个相异的实根∴题中问题等价于函数()y f x =与y k =的图像在[,]2x ππ∈上恰有两个不同的交点用五点法画出()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像（草图略）…………………4分 ∴由图可知：10.2k -<≤ ……………………5分αβ、关于直线56x π=对称 ∴5.3παβ=+ ……………………6分 （2）()()2cos 43g x h x x λπ⎛⎫=+-⎪⎝⎭4sin 2cos 463x x λππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24sin 212sin 266x x λπ⎡π⎤⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222sin 2216x λλ⎡π⎤⎛⎫=---++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦……………………8分5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，于是20263x ππ≤-≤，0sin 216x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭……………9分①当0λ<时，当且仅当sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值1，与已知不符．10分 ②当01λ≤≤时，当且仅当sin 26x λπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值221λ+， 由已知得23212λ+=，解得12λ=． ……………11分 ③当1λ>时，当且仅当sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值41λ-，由已知得3412λ-=，解得58λ=，矛盾．……………12分综上所述，12λ=．。
【全国百强校】福建省2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题+答案
福建2017-2018学年下学期期末考试卷高一数学·必修4一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 角的终边与单位圆交于，则（ ）A.B.C.D.2. 已知三角形的角的三边为，满足以下条件的三角形的解个数为1的是（ ）A. B.C.D.3. 若=(2,1)，=(3,4)，则向量在向量方向上的投影为（ ）A.B. 2C.D. 104. 如图，已知表示，则等于（ ）A. B. C. D.5.（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 6. 若为平面内一点，且满足，则形状为 （ ）A. 钝角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形 7. 设函数，其中.若且的最小正周期大于，则的值分别为（ ）A.B.C.D.8. 飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10000米，到达B 处，此时测得正前下方目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为（ ）A. 5000米B. 5000米C. 4000米D. 米9. 已知，,则（）A. B. C. D.10. 若方程在区间上有两个实根，则实数取值范围为（）A. B. C. D.11. 已知函数①函数关于对称②函数关于对称③函数最小正周期为④函数向左平移个单位后的新函数为偶函数以上四个命题中，正确的命题的序号是：（）A. ①②③B. ①③C. ②③D. ①③④12. 已知函数，若函数在区间内单调递减，则的取值范围为( )A. B. C. D.13. 如图，在同一平面内，点位于两平行直线同侧，且到的距离分别为．点分别在上，，则的最大值为( )A. 15B. 12C. 10D. 9二、填空题（每小题5分，共25分）14. 函数的定义域为____________．15. 已知单位向量的夹角为，那么=_______16. 已知，，那么________．17. 在中，，，则_________18. 如图，在中，时，点在边上，，，为垂足若，则__________三、解答题（要求写出过程，共60分）19. 知为两个不共线向量，，(Ⅰ)若∥，求实数；(Ⅱ)若且⊥，求与的夹角.20. 已知向量,，记（Ⅰ）求的单调增区间；（Ⅱ）若，求的值域.21. 如图所示，等腰梯形的点，为半圆上的动点，∥，底边为圆的直径，，. 设等腰梯形的周长为.（Ⅰ）请写出与之间的函数关系；（Ⅱ）当取何值时，等腰梯形的周长最大?22. 如图，锐角三角形中，角所对的边分别为，若（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若线段上存在一点使得，且,，求的面积.23. 已知函数，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像.（Ⅰ）求函数的解析式（Ⅱ）若对任何实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.（Ⅲ）若区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 角的终边与单位圆交于，则（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】由单位圆的性质可得：，则： .本题选择D 选项.2. 已知三角形的角的三边为，满足以下条件的三角形的解个数为1的是（ ）A. B.C.D.【答案】D【解析】由所给条件：，满足题意的三角形 个数为0个；，满足题意的三角形 个数为2个；，满足题意的三角形 个数为0个；，满足题意的三角形 个数为1个；本题选择D 选项.3. 若=(2,1)，=(3,4)，则向量在向量方向上的投影为（ ）A. B. 2 C. D. 10【答案】A【解析】由题意可得：，则向量在向量方向上的投影为 .本题选择A 选项.4. 如图，已知表示，则等于（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得： .本题选择D选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．5. （）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】由题意：，则： .本题选择A选项.6. 若为平面内一点，且满足，则形状为（）A. 钝角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形【答案】B【解析】由题意可得：,即：，据此有：，即形状为等腰三角形.本题选择B选项.点睛：判断三角形形状的两种途径一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.7. 设函数，其中.若且的最小正周期大于，则的值分别为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由f(x)的最小正周期大于2π,得，又,得，∴T=3π,则 .∴，∴ .取k=0,得 .∴ .本题选择A选项.8. 飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行10000米，到达B处，此时测得正前下方目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为（）A. 5000米B. 5000米C. 4000米D. 米【答案】B【解析】试题分析：由题意可得，AB=10000，A=30°，C=45°，△ABC中由正弦定理可得，，，故选B。
二项式定理(1)
x 二项式定理1.【来源】浙江省 2017 届高三“超级全能生”3 月联考数学试题 在二项式(2x - 1)6的展开式中，常数项是（ C ）xA ．-240B ．240C ．-160D ．160答案及解析：2.【来源】安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题在(1+x )6(1－2x )展开式中，含 x 5 的项的系数是( D ) A. 36B. 24C. －36D. －243.【来源】新疆维吾尔自治区 2018 届高三第二次适应性（模拟）检测数学（理）试题若⎛ 2 1 ⎫n- x ⎪ 展开式中含 x 项的系数为-80，则 n 等于（ A ）⎝ ⎭A ．5B ．6 C.7 D ．84.【来源】浙江省金丽衢十二校联考 2017 届高考二模数学试题在（1+x 3）（1﹣x ）8 的展开式中，x 5 的系数是（ A ） A ．﹣28B ．﹣84C ．28D ．84答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：由（1+x 3）展开可知含有 x 3 与（1﹣x ）8 展开的 x 2 可得 x 5 的系数； 由（1+x 3）展开可知常数项与（1﹣x ）8 展开的 x 5，同样可得 x 5 的系数； ∴含 x 5 的项+=28x 5﹣56x 5=﹣28x 5；∴x 5 的系数为﹣28， 故选 A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数把含有 x 5 的项找到．从而可以利用通项求解．属于中档题5.【来源】北京东城景山学校 2016-2017 学年高二下学期期中考试数学（理）试题设(3x -1)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 ，则 a + a + a + a的值为（ A ）．12341234A ．15B ．16C ．1D ．－15答案及解析： 在(3x -1)4= a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 中，令 x = 0 ，可得 a = 1 ，1234再令 x = 1可得 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 16 ， 所以 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 15 ．n 7 7 7 故选 A ．6.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题在(x + y )n的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于（ D ）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13答案及解析：(x + y )n 的展开式第七项系数为 C 6 ，且最大，可知此为展开式中间项，当展开式为奇数项时： n= 6 ， n = 12 ，2当有偶数项时 n + 1= 6 ， n = 11， 2 或 n + 1 = 7 ， n = 13 ，2故 n = 11，12 ，13 ． 选 D ．7.【来源】广东省广州市海珠区 2018 届高三综合测试（一）数学（理）试题(x + y )(2x - y )6 的展开式中 x 4 y 3 的系数为（ D ）A ．－80B ．－40C. 40D ．808.【来源】广东省潮州市 2017 届高三数学二模试卷数学（理）试题 在（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ） A ．71 B ．70 C ．21 D ．49答案及解析：【分析】先将问题转化为二项式（1﹣2x ）7 的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项，令 x 的指数分别等于 1，2 求出特定项的系数【解答】解：（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中 x 2 的系数等于（1﹣2x ）7 展开式的 x 的系数+（1﹣2x ）7 展开式的 x 2 的系数，（x+1）7 展开式的通项为 T r+1=（﹣2）r C r x r ，故展开式中 x 2 的系数是（﹣2）2C 2+（﹣2）•C 1=84﹣14=60，故选：B ．9.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第四次联考数学试题 在二项式(x 2- 1)5 的展开式中，含 x 7的项的系数是（ C ）xA ． -10B. 10C. -5D. 510.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题 已知(1 + x )n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为( D ) A ．212B ．211C.210D ．2911.【来源】上海市浦东新区 2018 届高三上学期期中考试数学试卷展开式中的常数项为（ C ）x -A.-1320B.1320C.-220D.22012.【来源】浙江省绍兴一中2017 届高三上学期期末数学试题在（x﹣y）10 的展开式中，系数最小的项是（C ）A．第4 项B．第5 项C．第6 项D．第7 项答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11 项，奇数项为正，偶数项为负，且第6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第 6项．故选C．13.【来源】浙江省金华十校联考2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（B）A．7 B．8 C．9 D．10答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r可得a r=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n 的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式•（﹣1）r x r，∴该项的系数，∵2a2+a n﹣5=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即+（﹣1）n﹣5•=0，∴n﹣5 为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．14.【来源】浙江省重点中学2019 届高三上学期期末热身联考数学试题⎛ 2 ⎫5 1⎪1展开式中，x2的系数是( B )⎝⎭A、80B、－80C、40D、－4015.【来源】山东省德州市2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题a 2 4如果x + x - 的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是( C ) x xA．8 B．－8 C.16 D．－1616.【来源】云南省昆明市第一中学2018 届高三第八次月考数学（理）试题x x2 ⎪ ⎛1- 1 ⎫ (1+ x )6x 3⎝ ⎭ 展开式中 x 的系数为（B ）A ．－14B ．14C. 15D ．3017.【来源】安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12 联盟）2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题在二项式(x - 1)n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含有 x 2项的系数是（ C ）xA ．35B ．－35C ．－56D ．56答案及解析：第五项的二项式系数最大，则，通项，令，故系数.18.【来源】辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校 2016-2017 学年高二下学期期末联考数学（理）试题 在( - 2)n 的展开式中，各项的二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为（ A ）xA ．60B ．45C ． 30D ．1519.【来源】湖北省武汉市 2018 届高三四月调研测试数学理试题 在(x + 1-1)6 的展开式中，含 x 5项的系数为（ B ）xA ．6B ．－6C ．24D ．－24答案及解析：的展开式的通项 ．的展开式的通项=． 由 6﹣r ﹣2s=5，得 r+2s=1，∵r ，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴的展开式中，含 x 5 项的系数为 ． 故选：B ．20.【来源】辽宁省抚顺市 2018 届高三 3 月高考模拟考试数学（理）试题在(2 -1)6 的展开式中，含 1项的系数为( C )xA. －60B. 160C. 60D. 6421.【来源】2018 年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）(x 2+ 2)5 的展开式中 x 4 的系数为( C )xA ．10B ．20C ．40D ．80答案及解析：由题可得 令 ,则所以x2× 4x9 n故选 C.22.【来源】浙江省金华市十校联考 2016-2017 学年高二下学期期末数学试卷在（x 2﹣4）5 的展开式中，含 x 6 的项的系数为（ D ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．160答案及解析：【分析】=（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2，由此能求出含 x 6 的项的系数．【解答】解：∵（x 2﹣4）5， ∴T r+1==（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2， ∴含 x 6 的项的系数为=160． 故选：D ．23.【来源】浙江省诸暨市牌头中学 2018 届高三 1 月月考数学试题 在⎛x 2 - ⎝2 ⎫6的展开式中，常数项为（ D ）⎪⎭ A ．-240 B ．-60 C ．60 D ．24024.【来源】浙江省湖州市 2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 的展开式中，含 x 3 的项的系数是（ D ） A ．121 B ．﹣74C ．74D ．﹣121答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用等比数列的前 n 项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含 x 4 的项的系数，即是代数式的含 x 3 的项的系数．【解答】解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 ==，（1﹣x ）5 中 x 4 的系数 ，﹣（1﹣x ）9 中 x 4 的系数为﹣C 4=﹣126，﹣126+5=﹣121． 故选：D25.【来源】甘肃省兰州市第一中学 2018 届高三上学期期中考试数学（理）试题在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中，x 3 的系数是（ A ） A ．0B ．10C ．－10D ．20答案及解析：(x +1)4 的展开式的通项, 因此在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中,x 3 的系数是26.【来源】山西重点中学协作体 2017 届高三暑期联考数学（理）试题在二项式 + 1的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互 x xx 1 ⎝ ⎭不相邻的概率为( D ) A ． 16B ． 14C. 1 3D ． 51227.【来源】湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（理）试题已知C 0- 4C 1+ 42C 2- 43C 3+ + (-1)n 4nC n= 729 ，则C 1+ C 2+ + C n的值等于（ C ）nnnnnA ．64B ．32 C.63 D ．31答案及解析：nnn因为 ，所因，选 C. 28.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题若òn(2x -1)dx = 6 ，则二项式(1 - 2x )n的展开式各项系数和为( A ) A ．－1 B ．26 C ．1 D ． 2n29.【来源】浙江省金华十校 2017 届高三数学模拟试卷（4 月份）数学试题若(x －1)8=1+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，则 a 5=（ B ） A ．56B ．﹣56C ．35D ．﹣35答案及解析：利用通项公式即可得出． 解：通项公式 T r+1=（﹣1）8﹣r x r ，令 r=5，则（﹣1）3=﹣56．故选：B ．30.【来源】广东省茂名市五大联盟学校 2018 届高三 3 月联考数学（理）试题6⎛ 1 ⎫ x 4在( + x ) 1+ y ⎪ 的展开式中， y 2 项的系数为（ C ）A ．200B ．180 C. 150 D ．120答案及解析：展开式的通项公式，令可得：，，展开式的通项公式 ，令可得，据此可得： 项的系数为 .本题选择 C 选项.31.【来源】吉林省长春外国语学校 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题 (2－x )(1+2x )5 展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ）x x 0 1 2 2017 3n nx A ． 30 B ． 70 C ．90 D ．－15032.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第三次联考数学试题若(1 + x )3 + (1 + x )4 + (1 + x )5 + + (1 + x )2017 = a + a x + a x 2 + + a x 2017 ，则 a 的值为（ D ）3 2017 32018 420174201833.【来源】广东省肇庆市 2017 届高考二模数学（理）试题若（x 6+ 1 ）n的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（ C ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案及解析：【分析】二项式的通项公式 T r+1=C ）r ，对其进行整理，令 x 的指数为 0，建立方程求出 n 的最小值．【解答】解：由题意 ）n 的展开式的项为）r =C n r=C r令r=0，得 r ，当 r=4 时，n 取到最小值 5故选：C ．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条 件转化成指数为 0，得到 n 的表达式，推测出它的值．34.【来源】上海市金山中学 2017-2018 学年高二下学期期中考试数学试题 设(3x -1)6= a x 6+ a x 5+ + a x + a ，则| a | + | a | + | a | + + | a| 的值为…（ B ）651126(A) 26(B) 46(C) 56(D) 26+ 4635.【来源】浙江省台州市 2016-2017 学年高二下学期期末数学试题x -已知在（ 2 1 ）n的展开式中，第 6 项为常数项，则 n =（ D ）A ．9B ．8C ．7D ．6答案及解析：【考点】二项式系数的性质． 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：∵第 6 项为常数项，由 =﹣ •x n ﹣6，可得 n ﹣6=0．解得 n=6． 故选：D ．36.【来源】山东省潍坊寿光市 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题⎛ 1 ⎫6+ 2x ⎪ ⎝ ⎭的展开式中常数项为（ B ） A ．120B ．160C. 200D ．24037.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 (2x + 3)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4(a + a + a )2 - (a + a )2若0 1 2 3 4，则 0 2 41 3 的值为（ A ）． 5 x A ． C B ． C C ． C D ． Cx x A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案及解析：令 x = 1， a + a + + a = (2 + 3)4 ，1 4令 x = -1， a - a + a - a + a= (-2 + 3)4 ，1234而 (a + a + a )2 - (a + a )22413= (a 0 + a 2 + a 4 + a 1 + a 3 )(a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 )= (2 + 选 A ．3)4 (-2 + 3)4 = (3 - 4)4 = 1． 38.【来源】云南省曲靖市第一中学 2018 届高三 4 月高考复习质量监测卷（七）数学（理）试题设 i 是虚数单位，a 是(x + i )6的展开式的各项系数和，则 a 的共轭复数 a 的值是（ B ） A ． －8iB ． 8iC ． 8D ．-8答案及解析：由题意，不妨令 ，则，将转化为三角函数形式，，由复数三角形式的乘方法则，，则，故正确答案为 B.39.【来源】福建省三明市 2016-2017 学年高二下学期普通高中期末数学（理）试题 a 2 52x + x - 的展开式中各项系数的和为－1，则该展开式中常数项为( A ) x xA ．－200B ．－120 C.120 D ．20040.【来源】甘肃省天水一中 2018 届高三上学期第四次阶段（期末）数学（理）试题已知（1+ax ）(1+x )5 的展开式中 x 2 的系数为 5，则 a =( D )A.-4B.-3C.-2D.-141.【来源】广东省深圳市宝安区 2018 届高三 9 月调研测数学（理）试题(1 + 1)(1 + x )5 展开式中 x 2 的系数为 ( A )xA ．20B ．15C ．6D ．142.【来源】甘肃省民乐一中、张掖二中 2019 届高三上学期第一次调研考试（12 月）数学（理）试题⎛ a ⎫ ⎛1 ⎫5x + ⎪ 2x - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( D )A ．-40B ．-20C ．20D ．4043.【来源】浙江省名校协作体 2018 届高三上学期考试数学试题⎛ 1+ 2⎫(1- x )4 展开式中 x 2 的系数为（ C ） x ⎪ ⎝ ⎭A .16B .12C .8D .444.【来源】山西省太原市 2018 届高三第三次模拟考试数学（理）试题已知(x -1)(ax +1)6展开式中 x 2 的系数为 0，则正实数a = （ B ） 22 A ．1B ．C.53D ． 2x 4 5 5 答案及解析：的展开式的通项公式为.令 得 ；令得.展开式 为. 由题意知，解得（舍）.故选 B. 45.【来源】吉林省松原市实验高级中学、长春市第十一高中、东北师范大学附属中学 2016 届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题(x +1)2 (x - 2)4的展开式中含 x 3 项的系数为( D )A ．16B ．40 C.－40 D ．846.【来源】海南省天一大联考 2018 届高三毕业班阶段性测试（三）数学（理）试题若(2x - 3)2018= a + a x + a x 2 + L + ax 2018 ，则 a + 2a + 3a + L + 2018a= （ D ）122018A ．4036B ．2018C ．-2018D ．-4036123201847.【来源】湖北省天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题(1 + x )8 (1 + y )4 的展开式中 x 2y 2 的系数是 ( D )A ．56B ．84C ．112D ．168答案及解析：因的展开式 的系数 ，的展开式 的系数 ，所的系数.故选 D.48.【来源】北京西城八中 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 ⎛ x 2 - 在二项式⎝ 1 ⎫5⎪⎭ 的展开式中，含 x 的项的系数是（ C ）． A ．－10B ．－5C ．10D ．5答案及解析：解： ⎛ x 2 - 1 ⎫5⎪ 的展开项T = C k (x 2 )k (-x -1 )5-k = (-1)5-k C k x 3k -5 ，令3k - 5 = 4 ，可得 k = 3， ⎝x ⎭ k +1 5 5∴ (-1)5-k C k = (-1)5-3 C 3= 10 ． 故选 C ．49.【来源】广东省化州市 2019 届高三上学期第二次模拟考生数学（理）试题 已知(x +1)(ax - 1)5的展开式中常数项为－40，则 a 的值为（ C ）xA. 2B. －2C. ±2D. 450.【来源】福建省“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考 2017-2018 学年高二下学期第二次联考试题（5 月）数学（理）试题若(1 - 2 x )n(n ∈ N *) 的展开式中 x 4的系数为 80，则(1 - 2 x )n的展开式中各项系数的绝对值之和为( C ) A ．32B ．81C ．243D ．256。
人教版数学高三第一章解三角形单元测试精选(含答案)1
（1）求 BC 边长； （2）求 AB 边上中线 CD 的长.
【来源】北京 101 中学 2018-2019 学年下学期高一年级期中考试数学试卷
【答案】（1） 3 2 ；（2） 13 .
33．ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a 3, cos A 6 , B A ，
【答案】C
3．在 ABC 中，若 a b cb c a 3bc ，则 A （ ）
A． 90
B． 60
C．135
D．150
【来源】2015-2016 学年江西省金溪一中高一下期中数学试卷（带解析)
【答案】B
4．设在 ABC 中,角 A，B,C 所对的边分别为 a，b, c , 若 b cos C c cos B a sin A ,
【答案】C
21．设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为 a, b, c ，若 b c 2a, 3sin A 5sin B ,
则角 C =（ ）
A．
3 3
C．
4
2
B．
3 5
D．
6
【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷带解析)
【答案】B
22．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2 b2 c2 tanB 3ac ，
A．3 6
B．9 6
C．3
D．6
【来源】福建省晋江市季延中学 2017-2018 学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】A
2．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且cc−−ba=sinCsi+nAsinB，则 B= (
)
A．π
6
整理2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
文件编号： 3B -A1-F1-B0-18
整理人 尼克
高一数学竞赛试题
高一数学竞赛试题
考生注意：1.本试卷共有2个大题（13个小题）；
2.用黑色中性笔作答；
3.不能使用计算器。
一、填空题（本题满分90分，每小题9分）.
1.若非空集合，，则能使成立的所有的集合是.
2.已知是定义在上的函数,,且对任意的都有则
.
3.在直角坐标平面内，曲线围成的图形的面积是.
4.去掉集合中所有的完全平方数和完全立方数后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，则2014是这个数列的第项.
5.若，则称为集合的孤立元素.的无孤立元素的4元子集有个.
6.集合(不必相异)的并集且求满足条件的集合的有序三元组的个数为.
7.已知集合对它的任意一个非空子集，可以将中的每一个元素
，都乘以再求和（例如,则可求得）对的所有非空子集，这些和的总和为.
8.已知二次函数.(1),(2)对任意的都有
成立，那么.
9.已知（其中）且.则.
10.在集合的子集中，任意两个元素的平方和不是7的倍数.则中元素个数最大值为.
二、解答题（本题满分60分，每小题20分）.
11.求函数的值域
12.锐角△ABC的外心为O，线段OA、BC的中点分别为M，N，∠ABC=4∠OMN，∠ACB=6∠OMN.求∠OMN.
13.已知函数
.
求函数在区间上的最大值.
整理丨尼克
本文档信息来自于网络，如您发现内容不准确或不完善，欢迎您联系我修正；如您发现内容涉嫌侵权，请与我们联系，我们将按照相关法律规定及时处理。
人教版数学高二第一章三角函数单元测试精选(含答案)2
6
,
5 6
上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点
4
,
0
成中心对称
D．图象关于直线 x＝ 成轴对称
6
【来源】高中数学人教 A 版必修 4 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象
【答案】B
9．已知函数
f(x)=3sin
ωx-
π 4
(0<ω<1),且
f
π 2
=0,则函数
）
A． 8
B． 8
C． 6
D． 6
【来源】福建省福州格致中学 2017-2018 学年高一下学期第四学段质量检测数学试题
【答案】C
23．如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，P 为 A1D1 的中点，Q 为 A1B1 上 任意一点， E ， F 为 CD 上任意两点，且 EF 的长为定值，则下面的四个值中不为定
【来源】广东省揭阳市第三中学 2017-2018 学年高二上学期数学试题 1（必修 5 第一章)
【答案】D
16．若θ∈[ ， ]，sin2θ＝ 3 7 ，则 cosθ＝ ( )
42
8
3
A．
5
4
B．－
5
C． 7 4
3
D．
4
【来源】2017 秋人教 A 版高中数学必修四：学业质量标准检测 3
【答案】C
sin
பைடு நூலகம்
π 2
2 2cos2 (π θ) cos(-θ)
θ
-3
,则
f
17π 3
=_____.
【来源】2018-2019 学年高中数学（人教 A 版，必修 4)第一章《三角函数》测试题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
福建省2017-2018学年高一数学竞赛试题一、选择题：本大题共6个小题,每小题6分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|1327x A x =≤≤，{}22|log ()1B x x x =-<，则AB =（ ）A ．(12)，B ．(]13-，C ．[)02，D ．(1)(02)-∞-，，2.若直线l 与两直线1l ：70x y --=，2l ：1313110x y +-=分别交于A ，B 两点，且线段AB 中点为(12)P ，，则直线l 的斜率为（ ） A ．2-B ．3-C ．2D ．33.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、E 分别为棱BC 、1BB 的中点，N 为正方形11B BCC 的中心.l 为平面1A MN 与平面1A MN 与平面1D BE 的交线，则直线l 与正方体底面ABCD 所成角的大小为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒4.如图，在三棱锥S ABC -中，6SA SB AB BC CA =====，且侧面ASB ⊥底面ABC ，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为（ ）A ．60πB ．56π C.52π D ．48π5.已知定义在R 上的函数()f x 满足：(](]22210()201x x f x x x ⎧--∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，，，，且(2)()f x f x +=，52()2xg x x -=-，则方程()()f x g x =在区间[]37-，上的所有实根之和为（ ） A ．14 B ．12 C.11 D ．76.已知点(20)A -，，(20)B ，，(02)C ，，直线y kx b =+（0k >）交线段CA 于点D ，交线段CB 于点E .若CDE △的面积为2，则b 的取值范围为（ ）A ．11)，B ．223⎛⎤ ⎥⎝⎦， C.324⎛⎤- ⎥⎝⎦， D ．213⎤⎥⎦， 二、填空题：每题6分，满分36分.7.函数23()log )f x x ⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦的最小值为 ． 8.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =.E 、F 分别为PD 、BC 的中点，则二面角E FD A --的正切值为 ．9.若函数22()24f x x ax a =-+-在区间22a a ⎡⎤-⎣⎦，（0a >）上的值域为[]40-，，则实数a的取值范围为 ．10.已知集合{}13579A =，，，，，集合a B a A b A a b b ⎧⎫=∈∈≠⎨⎬⎩⎭，，且，则集合B 中元素的个数为 ．11.n 的和为 ． 12.给出下列10个数：1，2，4，8，16，32，64，a ，b ，c ，其中a ，b ，c 为整数，且64c b a >>>.若对每个正整数753n ≤，都可以表示成上述10个数中某些数的和（可以是1个数的和，也可以是10个数的和，每个数至多出现1次），则b 的最小值为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13.已知DEF △三边所在的直线分别为1l ：2x =-，2l ：40x +-=，3l ：40x --=，C 为DEF △的内切圆.（1）求C 的方程；（2）设C 与x 轴交于A 、B 两点，点P 在C 内，且满足2PC PA PB =⋅.记直线PA 、PB 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的取值范围.14. 函数是数学中重要的概念之一，同学们在初三、高一分别学习过，也知晓其发展过程.1692年，德国数学家莱布尼茨首次使用 function 这个词，1734 年瑞士数学家欧拉首次使用符号()f x 表示函数.1859 年我国清代数学家李善兰将function 译作函数，“函”意味着信件，巧妙地揭示了对应关系.密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理函数问题，尤其是处理抽象函数问题的常用方法之一.请你解答下列问题.已知函数()f x 满足：对任意的整数a ，b 均有()()()2f a b f a f b ab +=+++，且(2)3f -=-.求(96)f 的值.15.如图，PA 、PBC 分别为O 的切线和割线，切点A 是BD 的中点，AC 、BD 相交于点E ，AB 、PE 相交于点F ，直线CF 交O 于另一点G 、交PA 于点K .证明：（1）K是PA的中点；（2）2AG BG PG=⋅.16.已知a，b，Rc∈，且22233460a b c++=.（1）求a b c++的最大值；（2）若a，(04)b∈，，(06)c∈，，求3446a b ca b c++---的最小值.17.设集合{}|2018ZM m m m=∈≤，且，M的子集S满足：对S中任意3个元素a，b，c （不必不同），都有0a b c++≠.求集合S的元素个数的最大值.——★ 参 考 答 案 ★——一、选择题 1-6：ABDACB 二、填空题7.258-9.[]12， 10.18 11.20512.125 三、解答题13.解：（1）解法一：设()C a b ，，C 半径为r ，则2a r +===，结合点()C a b ，在DEF △内，可得2a r +===.解得0a b ==，2r =.∴C 的方程为224x y +=. 解法二：设()C a b ，，C 半径为r .如图，由条件知，2l 、3l 的倾斜角分别为150︒和30︒，且它们关于x 轴对称，同时1l x ⊥轴.因此，DEF △为正三角形.∴点C 在x 轴上，且2a r =-+，0b =.由2l 、3l 交x 轴于点(40)D ，，知DEF △的高为6. ∴1623r =⨯=，0a =.∴C 的方程为224x y +=.（2）由（1）知，(00)C ，，(20)A -，，(20)B ，. 设()P x y ，，则224x y +<. ∵2PC PA PB =⋅，∴22x y + 化简得，222x y -=.∴1222y y k k x x =⋅+-22222221444y x x x x -===+---. 由224x y +<，以及222x y -=，20y ≥，得223x ≤<.∴(]1210k k ∈-，.∴12k k 的取值范围为(]10-，. 14.解：在()()()2f a b f a f b ab +=+++中，令0a b ==， 得(0)(0)(0)02f f f =+++，于是(0)2f =-.在()()()2f a b f a f b ab +=+++中，令2a =，2b =-， 得(0)(2)(2)42f f f =+--+. ∴2(2)342f -=--+，(2)3f =.在()()()2f a b f a f b ab +=+++中，令2a n =-，2b =，得()(2)(2)2(2)2f n f n f n =-++-+(2)32(2)2f n n =-++-+(2)21f n n =-++. ∴()(2)21f n f n n --=+. ∴(96)(94)2961f f -=⨯+， (94)(92)2941f f -=⨯+，……(4)(2)241f f -=⨯+.上述等式左右两边分别相加， 得(96)(2)2(96944)47f f -=++++.∴(964)(96)24747347502f +=⨯⨯++=. 15.解：（1）在APC △中，由塞瓦定理，知1AK PB CEKP BC EA⋅⋅=.① ∵A 是BD 的中点，PA 是O 的切线，∴PAB ADB ABD ∠=∠=∠. ∴EB AP ∥，PB AEBC EC=.②由①②，得AK KP=.K是PA的中点.另解：∵A是BD的中点，PA是O的切线，∴PAB ADB ABD∠=∠=∠，EB AP∥.如图，过点F作MN AP∥，交AE于点M，交PB于点N.则MF EMAP EA=，FN BNAP BP=.①且EB AP MN∥∥，EM BN EA BP=.②∴由①②，得MF EM BN FN AP EA BP AP ===.∴AK KP=，K是PA的中点.（2）由（1）及切线长定理，得22KP KA KG KC==⋅.因此，KP KG KC KP=.又PKG CKP∠=∠，∴PKG CKP△∽△.APG KPG KCP GCB BAG∠=∠=∠=∠=∠.又PAG ABG∠=∠，∴GPA GAB△∽△，AG PGBG AG=.∴2AG BG PG=⋅.16.解：（1）由柯西不等式，知221()2)2a b c c++=+⋅22222221()))(2)2c⎡⎤⎡⎤≤++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦222111()(334)334a b c=++++21()6040155534=+⋅=+=.∴a b c++≤212c==>，即a b==c=.∴a b c++（2）由a，(04)b∈，，(06)c∈，，知a，4a-，b，4b-，c，6c-均为正数，∴24(4)()42a a a a +--≤=，24(4)()42b b b b +--≤=，26(6)()92c c c c +--≤=. ∴3446a b ca b c ++---2223(4)(4)(6)a b c a a b b c c =++---2223449a b c i ≥++2223346051212a b c ++===.当2a b ==，3c =时，满足a ，(04)b ∈，，(06)c ∈，，22233460a b c ++=，且35446a b c a b c ++=---.∴3446a b ca b c++---的最小值为5. 17.解：集合S 的元素个数的最大值为2018.令{}|12018Z S s s s =≤≤∈，，显然集合S 符合要求，且2018S =. 另一方面，设S 是满足题设条件的集合，显然0S ∉（否则0000++=）. 设S 中的所有正整数构成集合A ，S 中的所有负整数构成集合B . 若A =∅，则2018S B =≤；若B =∅，则2018S A =≤. 下面考虑A 、B 非空的情形.对于集合X ，Y ，记{}|X Y x y x X y Y +=+∈∈，，{}|X x x X -=-∈. 由题设可知，()()A B S +-=∅（否则，设0()()x A B S ∈+-，则存在a A ∈，b B ∈，c S -∈-，使得0a b x +=，0c x -=.于是，存在a S ∈，b S ∈，c S ∈，使得0a b c ++=）.且{}|2017Z A B x x x +⊆∈≤，且（事实上，A 中元素2018≤，B 中元素1≤-，于是A B +中元素2017≤；同理，A B +中元素1027≥-.）. 设集合A 中元素为1a ，2a ，，k a ，集合B 中元素为1b ，2b ，，l b ，且12k a a a <<<，12l b b b <<<.∵1122a b a b +<+33a b <+<<2k l k a b a b +<+3k k l a b a b <+<<+.∴A B +中至少有1k l +-个元素，即11A B k l S +≥+-=-.结合{}|2017Z A B x x x M +⊆∈≤⊆，且，S M -⊆，且()()A B S +-=∅， 可得()()A B S M +-⊆，4037M A B S =≥++-1A B S S S =++≥-+.∴2019S ≤.若2019S =，则4037A B S M ++-==.∴()()A B S M +-=. 又由2018A B -∉+，2018A B ∉+，知2018S ∈，2018S -∈.∴对于1k =，2，3，，1009，k 与2018k -中至少有一个不属于S ，k -与2018k -+中也至少有一个不属于S .因此，1009A ≤，1009B ≤.∴2019100910092018S A B ==+≤+=，矛盾.因此，2018S ≤. 综上可得，2018S ≤.综上所述，集合S 的元素个数的最大值为2018.。