2015年全国高中数学联赛福建预赛(高一)
专题34不等式第三缉(原卷版)-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题34不等式第三缉1．【2017年浙江预赛】设在中有两个实数根,则的取值范围为.f (x )=x 2+ax +b [0,1]a 2‒2b 2．【2017年江苏预赛】设是实数,则的最大值是.x 、y 2x +2y2x 4+4y 4+93．【2016年陕西预赛】设m 、n 均为正整数，且满足24m =n 4.则m 的最小值为________.4．【2016年陕西预赛】设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，且f (x )+g (x )=2x .若对x ∈[1，2]，不等式af (x )+g (2x )≥0恒成立，则实数a 的取值范围是_______.5．【2016年陕西预赛】设a ∈R .则函数f (x )=|2x -1|+|3x -2|+|4x -3|+|5x -4|的最小值为_______.6．【2016年福建预赛】设f (x )为定义在R 上的函数，若f (0)=1008，且对任意的x ∈R ，满足f (x +4)-f (x )≤2(x +1)，f (x +12)-f (x )≥6(x +5).则 _________.f(2016)2016=7．【2016年福建预赛】当x 、y 、z 为正数时，的最大值为________.4xz +yz x 2+y 2+z 28．【2016年新疆预赛】已知,且.则的最小值为______.x 、y >0x +2y =2x 22y +4y 2x 9．【2016年山西预赛】设n 为正整数，使介于之间．则n ＝__________.3n +3n 与n +4n +110．【2016年全国】设实数a 满足.则a 的取值范围是________.a <9a 3‒11a <|a |11．【2016年吉林预赛】设实数x 、y 满足则2x-y 的最大值为________.{x ‒y +1≥0,y +1≥0,x +y +1≤0.12．【2016年吉林预赛】设实数x 、y 满足则2x-y 的最大值为________.{x ‒y +1≥0,y +1≥0,x +y +1≤0.13．【2016年浙江预赛】已知为互不相等的整数。
福建省科学技术协会、福建省教育厅关于举办2017年全国高中数学联
福建省科学技术协会、福建省教育厅关于举办2017年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知【法规类别】教育综合规定【发文字号】闽科协发[2017]30号【发布部门】福建省科学技术协会福建省教育厅【发布日期】2017.03.23【实施日期】2017.03.23【时效性】现行有效【效力级别】XP10福建省科学技术协会、福建省教育厅关于举办2017年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知（闽科协发〔2017〕30号）各设区市、平潭综合实验区科协、教育局：为进一步普及数学基础知识，培养高中学生学习数学的兴趣爱好、创新意识和创新思维，经研究，决定联合举办2017年全国高中数学联赛福建赛区竞赛。
现将有关事项通知如下：一、参赛对象2016～2017学年高一、高二在校生。
二、竞赛形式、时间和地点1.预赛：竞赛形式为笔试。
2017年5月21日（星期日）上午9：00～11：30，在各设区市设立考场同时进行。
2.复赛：竞赛形式为笔试。
2017年9月10日（星期日）上午8：00～12：10（其中8：00～9：20为联赛，9：40～12：10为联赛加试），在福州第一中学高中部（福州市闽侯上街镇福州大学城）举行。
三、报名方法学生自愿参加，其所在学校统一向各设区市组织单位报名。
报名时需提交学生一寸彩色近照2张，用于准考证制作。
四、赛事组织福建省数学学会为福建赛区承办单位，组成福建省中学生数学竞赛委员会，统筹负责福建赛区竞赛工作。
预赛考务工作由各设区市科协、教育局确定组织单位负责组织实施，复赛由省中学生数学竞赛委员会负责组织实施。
1.预赛：预赛由省中学生数学竞赛委员会命题制卷，各设区市组织单位须于2017年4月21日前向省中学生数学竞赛委员会报送预赛报名名单，以便提供试卷，福州一中、福建师大附中纳入福州市统一管理；5月14日左右，省中学生数学竞赛委员会将把试卷寄达各设区市组织单位；6月4日前各设区市应将本设区市预赛总体情况、所有预赛参赛选手的成绩花名册（加盖设区市教育局公章）以及参加复赛选手的答卷、2张一寸彩色近照、复赛报名表（含姓名、学校、年级、身份证号、指导教师及其联系方式等），上报省中学生数学竞赛委员会。
解析版-2024年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷
2024年全国高中数学联赛福建赛区预赛暨2024年福建省高中数学竞赛试卷(考试时间:2024年6月22日上午9:00-11:30, 满分160分)一、填空题(共10小题, 每小题6分, 满分60分. 请直接将答案写在题中的横线上)1在△ABC 中,已知AB =4,BC =2,AC =23,若动点P 满足CP =1,则AP ⋅BP的最大值为.【答案】 5【解答】取 AB 中点 O ,则AP ⋅BP =PA ⋅PB =14PA +PB 2-PA -PB 2 =142PO 2-BA 2 =PO 2-14×42=PO 2-4由 AB =4,BC =2,AC =23,知 AB 2=CA 2+CB 2,于是 CA ⊥CB .所以 CO =12AB =2 .又 CP =1,所以 PO的最大值为 CO +1=3 .所以 AP ⋅BP的最大值为 32-4=5 .2已知z 1,z 2,z 3为方程z 3=-i 的三个不同的复数根,则z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1=.【答案】 0【解答】设 z =x +yi x ,y ∈R 为方程 z 3=-i 的复数根,则 z 3=x +yi 3=x 3+3x 2yi +3x yi 2+yi 3=-i .即 x 3+3x 2yi -3xy 2-y 3i =-i ,x 3-3xy 2+3x 2y -y 3 i =-i .由 x ,y ∈R ,得 x 3-3xy 2=03x 2y -y 3=-1,解得 x 1=0y 1=1 , x 2=32y 2=-12,x 3=-32y 3=-12.于是 z 1=i , z 2=32-12i , z 3=-32-12i .所以 z 2+z 3=32-12i+-32-12i =-i ,z 2z 3=32-12i-32-12i =-12i 2-322=-14-34=-1.因此 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1=z 1z 2+z 3 +z 2z 3=i ×-i -1=0 .3设a =66⋯6⏟10个6,b =33⋯3⏟6个3,则a ,b 的最大公约数为.【答案】 33【解答】用 x ,y 表示正整数 x ,y 的最大公约数.则 a ,b =66⋯6⏟10个6,33⋯3⏟6个3=33⋯3⏟10个3,33⋯3⏟6个3=311⋯1⏟10个1,11⋯1⏟6个1.设 m =11⋯1⏟10个1, n =11⋯1⏟6个1,则由 m =11⋯1⏟10个1=104×11⋯1⏟6个1+1111,可知 m ,n =1111,11⋯1⏟6个1.同理可得, m ,n =1111,11⋯1⏟6↑1=11,1111 =11,11 =11 .所以 a ,b =3m ,n =33 .4某校三个年级举办乒乓球比赛, 每个年级选派4名选手参加比赛. 组委会随机将这12名选手分成6组, 每组2人, 则在上述分组方式中每组的2人均来自不同年级的概率为.【答案】64385【解答】设三个年级为甲、乙、丙.12名选手随机分成6组,每组2人的分组方式有:C 212C 210C 28C 26C 24C 22A 66=11×9×7×5×3×1 种.下面考虑每组的2人均来自不同年级的分组情形.先考虑甲年级4名选手的配对方式: 由于每组2人均来自不同年级, 因此需从乙, 丙两个 年级中每个年级各取 2 名选手与甲年级的 4 名选手配对. 故有 C 24×C 24×A 44=36×24 种方式.再考虑余下 4 人的配对方式,此时乙、丙年级各有 2 人,其分组方式有 2×1 种.所以每组的 2 人均来自不同年级的分组方式有 36×24×2 种.所以每组的 2 人均来自不同年级的概率为36×24×211×9×7×5×3×1=64385.5如图,在棱长为6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E ,F分别为AB ,BC 的中点,点G 在棱CC 1上. 若平面EFG 与底面ABCD 所成角的余弦值为31717,则平面EFG 截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1所得截面多边形的周长为.【答案】 613+32【解答】如图,以 D 为原点,射线 DA ,DC ,DD 1 分别为 x 轴, y 轴,(第 5 题图)z 轴非负半轴建立空间直角坐标系.(第 5 题答题图)则 E 6,3,0 ,F 3,6,0 . 设 G 0,6,t ,则 EF =-3,3,0 , EG=-6,3,t .设 m=x ,y ,z 为平面 EFG 的一个法向量,则m ⋅EF=-3x +3y +0=0m⋅EG =-6x +3y +tz =0,于是 m=t ,t ,3 为平面 EFG 的一个法向量.又 n =0,0,1 为平面 ABCD 的一个法向量,且平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值 为31717,所以 cos ⟨m ,n⟩ =m ⋅nm ⋅n=32t 2+9⋅1=31717 .结合 t >0,解得 t =2 . 所以 G 0,6,2 ,CG =2 .延长 EF 交直线 DC 于点 M ,由 E ,F 分别为 AB ,BC 的中点,知点 M 在 DC 延长线上, 且 CM =3 .由CG DD 1=26=39=MCMD知, M ,G ,D 1 三点共线.于是 GD 1 是截面多边形的一条边.延长 FE 交直线 DA 于点 N ,连接 D 1N 交 AA 1 于点 P ,则 D 1P 也是截面多边形的一条边. 另由 AN =3=12A 1D 1 可知, AP =12A 1P ,所以 AP =2,A 1P =4 .连接 PE ,则五边形 EFGD 1P 为平面 EFG 截正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 所得的截面多边形.易知 EF =32+32=32,FG =32+22=13,GD 1=42+62=213 ,D 1P =62+42=213, PE =22+32=13.所以截面五边形的周长为 613+32 .注: 作 CH ⊥EF 与 H ,则 GH ⊥EF ,∠GHC 为二面角 G -EF -D 的平面角,于是 tan ∠GHC =CG CH=CG 322=223,因此 CG =2 。
解析版-2024年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷
2024 年全国高中数学联赛福建赛区预赛 暨 2024 年福建省高中数学竞赛试卷参考答案(考试时间: 2024 年 6 月 22 日上午 9:00-11:30, 满分 160 分)一、填空题 (共 10 小题, 每小题 6 分, 满分 60 分. 请直接将答案写在题中的横线上) 1. 在 △ABC 中,已知 AB =4,BC =2,AC =2√3 ,若动点 P 满足 |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 . 【答案】 5【解答】取 AB 中点 O ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =14[(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2]=14[(2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−BA⃗⃗⃗⃗⃗ 2]=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14×42=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−4由 AB =4,BC =2,AC =2√3 ,知 AB 2=CA 2+CB 2 ,于是 CA ⊥CB . 所以 CO =12AB =2 .又 |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,所以 |PO ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最大值为 CO +1=3 . 所以 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 32−4=5 . 2. 已知 z 1,z 2,z 3 为方程 z 3=−i 的三个不同的复数根,则 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1= . 【答案】 0【解答】设 z =x +yi (x,y ∈R ) 为方程 z 3=−i 的复数根, 则 z 3=(x +yi )3=x 3+3x 2(yi )+3x (yi )2+(yi )3=−i . 即 x 3+3x 2yi −3xy 2−y 3i =−i,x 3−3xy 2+(3x 2y −y 3)i =−i . 由 x,y ∈R ,得 {x 3−3xy 2=03x 2y −y 3=−1,解得 {x 1=0y 1=1 , {x 2=√32y 2=−12,{x 3=−√32y 3=−12.于是 z 1=i, z 2=√32−12i, z 3=−√32−12i . 所以 z 2+z 3=(√32−12i)+(−√32−12i)=−i ,z 2z 3=(√32−12i)(−√32−12i)=(−12i)2−(√32)2=−14−34=−1.因此 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1=z 1(z 2+z 3)+z 2z 3=i ×(−i )−1=0 .3. 设a=66⋯6⏟10个6,b=33⋯3⏟6个3,则a,b的最大公约数为 .【答案】 33【解答】用(x,y)表示正整数x,y的最大公约数.则(a,b)=(66⋯6⏟10个6,33⋯3⏟6个3)=(33⋯3⏟10个3,33⋯3⏟6个3)=3(11⋯1⏟10个1,11⋯1⏟6个1) .设m=11⋯1⏟10个1, n=11⋯1⏟6个1,则由m=11⋯1⏟10个1=104×11⋯1⏟6个1+1111 ,可知(m,n)=(1111,11⋯1⏟6个1) .同理可得, (m,n)=(1111,11⋯1⏟6↑1)=(11,1111)=(11,11)=11 .所以(a,b)=3(m,n)=33 .4. 某校三个年级举办乒乓球比赛, 每个年级选派 4 名选手参加比赛. 组委会随机将这 12 名选手分成 6 组, 每组 2 人, 则在上述分组方式中每组的 2 人均来自不同年级的概率为 .【答案】64385【解答】设三个年级为甲、乙、丙.12名选手随机分成6组,每组2人的分组方式有: C122C102C82C62C42C22A66=11×9×7×5×3×1种.下面考虑每组的2人均来自不同年级的分组情形.先考虑甲年级4名选手的配对方式: 由于每组2人均来自不同年级, 因此需从乙, 丙两个年级中每个年级各取 2 名选手与甲年级的 4 名选手配对. 故有C42×C42×A44=36×24种方式.再考虑余下 4 人的配对方式,此时乙、丙年级各有 2 人,其分组方式有2×1种.所以每组的 2 人均来自不同年级的分组方式有36×24×2种.所以每组的 2 人均来自不同年级的概率为36×24×211×9×7×5×3×1=64385.5. 如图,在棱长为 6 的正方体ABCD−A1B1C1D1中,点E,F分别为 AB,BC 的中点,点 G 在棱 CC 1 上. 若平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值为 3√1717,则平面 EFG 截正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 所得截面多边形的周长为 . 【答案】 6√13+3√2【解答】如图,以 D 为原点,射线 DA,DC,DD 1 分别为 x 轴, y 轴,(第 5 题图) z 轴非负半轴建立空间直角坐标系.(第 5 题答题图)则 E (6,3,0),F (3,6,0) . 设 G (0,6,t ) ,则 EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3,0) , EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,3,t ) . 设 m ⃗⃗ =(x,y,z ) 为平面 EFG 的一个法向量,则{m ⃗⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x +3y +0=0m ⃗⃗ ⋅EG⃗⃗⃗⃗⃗ =−6x +3y +tz =0 ,于是 m ⃗⃗ =(t,t,3) 为平面 EFG 的一个法向量.又 n ⃗ =(0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量,且平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值 为 3√1717, 所以 |cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩|=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ ||=√2t 2+9⋅1=3√1717. 结合 t >0 ,解得 t =2 . 所以 G (0,6,2),CG =2 .延长 EF 交直线 DC 于点 M ,由 E,F 分别为 AB,BC 的中点,知点 M 在 DC 延长线上, 且 CM =3 . 由 CG DD 1=26=39=MCMD 知, M,G,D 1 三点共线.于是 GD 1 是截面多边形的一条边.延长 FE 交直线 DA 于点 N ,连接 D 1N 交 AA 1 于点 P ,则 D 1P 也是截面多边形的一条边. 另由AN =3=12A 1D 1 可知, AP =12A 1P ,所以 AP =2,A 1P =4 .连接 PE ,则五边形 EFGD 1P 为平面 EFG 截正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 所得的截面多边形. 易知 EF =√32+32=3√2,FG =√32+22=√13,GD 1=√42+62=2√13 ,D 1P =√62+42=2√13, PE =√22+32=√13.所以截面五边形的周长为 6√13+3√2 .注: 作 CH ⊥EF 与 H ,则 GH ⊥EF,∠GHC 为二面角 G −EF −D 的平面角,于是 tan∠GHC =CGCH =3√22=2√23,因此 CG =2 。
2015年福建省高中数学竞赛暨数学联赛福建赛区预赛
2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷(考试时间：2015年5月24日上午9: 00— 11: 30,满分160分)、填空题(共10小题，每小题6分，满分60分。
请直接将答案写在题中的横线上)1设集合A = {x l3>® }，从集合A 中随机抽取一个元素变量的数学期望E 二 _____________________2. 已知f(x) = x • g(x)，其中g(x)是定义在R 上，最小正周期为2的函数。
若f (x)在区间 2,4上的最大值为1,则f (x)在区间10 ,12上的最大值为 _____________________________ 。
2 23. F 1、F 2为椭圆C :笃•与"(a b 0 )的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P ，使a b得PR _ PF 2，则椭圆离心率e 的取值范围为 _____________ 。
【答案】I —，〔2丿【解答】设A 为椭圆C 的上顶点，依题意有.F 1AF 2 - 90cF 2AO _45，1。
b4. ________________________________________________________________________ 已知实数x ， y ， z 满足x 2 2y 2 3z^ 24，则x 2y 3z 的最小值为 ________________________________5.已知函数 f(x)=x 2cos‘ ，数列｛ a * ｝中，a n = f( n) + f( n+1)( N )，则数列｛ a * ｝2的前100项之和S.00二 ______________6. 如图，在四面体 ABCD 中，DA =DB =DC =2，DA _ DB ，DA _ DC ，且 DA 与平面 ABC 所成角的余弦值为 —。
则该四面体外接球半径R = ________________________________ 。
全国高中数学联赛省级预赛模拟试题
全国高中数学联赛省级预赛模拟试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式1．三角函数的积化和差公式sinα•cosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosα•sinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],cosα•cosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinα•sinβ=[cos(α+β)-cos(α-β)].2．球的体积公式V球=πR3（R为球的半径）。
一、选择题（每小题5分，共60分）1．设在xOy平面上，0<y≤x2,0≤x≤1所围成图形的面积为。
则集合M={(x,y)|x≤|y|}, N={(x,y)|x≥y2|的交集M∩N所表示的图形面积为A． B． C．1 D．2．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=，直线AB与直线CD的距离为2，夹角为。
则四面体ABCD的体积等于A． B． C． D．3．有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。
若取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为A．90 B．100 C．110 D．1204．在ΔABC中，若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC，则A．ΔABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形B．ΔABC是直角三角形，但不一定是等腰三角形C．ΔABC既不是等腰三角形，也不是直角三角形D．ΔABC既是等腰三角形，也是直角三角形5．已知f(x)=3x2-x+4, f(g(x))=3x4+18x3+50x2+69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数和为A．8 B．9 C．10 D．116．设0<x<1, a,b为正常数。
则的最小值是A．4ab B．(a+b)2 C．(a-b)2 D．2(a2+b2)7．设a,b>0，且a2008+b2008=a2006+b2006。
则a2+b2的最大值是A．1 B．2 C．2006 D．20088．如图1所示，设P为ΔABC所在平面内一点，并且AP=AB+AC。
2015全国高中数学联赛河南预赛试题及答案高一
2015年全国高中数学联赛河南省高一预赛试题（5月10日8:30至11:00）一．填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1．若集合{}*54,A a a x x ==+∈N ，{}*76,B b b y y ==+∈N ，将A B 中的元素从小到大排列，则排在第20个的那个元素是 ．2．已知实数x ，y 满足：33(3)2015(3)(23)2015(23)0x x y y -+-+-+-=，则()22min 44x y x ++= ．3．设线段BC α⊂，AB α⊥，CD BC ⊥，且CD 与平面α成30︒角，且2AB BC CD cm ===，则线段AD 的长度为 ．4．若直线l 与直线3100x y -+=，280x y +-=分别交于点M ，N ，若MN 的中点为(0,1)P ，则直线l 的方程是 ．5．设k ，m ，n 都是整数，过圆222(31)x y k +=+外一点33(,)P m m n n --向该圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 上满足横坐标与纵坐标均为整数的点有 个．6．若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称，则a b += ．7．（请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题正误判分） （必修3）执行如图所示的算法，则输出的结果是 ．（必修4）已知函数sin ()x f x x =在区间π(0,)2上是减函数，若01x <≤，2sin ()x a x =，sin x b x=，22sin x c x =，则a ，b ，c 的大小关系是 ．8．如果实数a ，b 使得21x x --是2015201521211ax bx ++++的因式，则a 的个位数字为 ．二（本题满足16分）求2232x y -=的整数解．三（本题满足20分）如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上且满足AC BC <，在线段BC 上取一点D ，使BD AC =，在AD 上取一点E 使45BED ∠=︒，延长BE 交CA 于F ，求证：CD AF =．四（本题满足20分） 对于任意的ABC △，若其三边长为a ，b ，c ，则x a ，x b ，x c 依然可以构成某三角形的三边长，求实数x 的取值范围．五（本题满足20分） 已知全集{}1,2,,U n =，集合A 满足：(i)A U ⊆；(ii)若x A ∈，则kx A ∉；(iii)若U x A ∈ð，U kx A ∉ð（其中k ，*n ∈N ，2k ≥），用()k f n 表示满足条件的集合A 的个数． （1）求2(4)f ，2(5)f ；（2）记集合A 中所有元素的和记为集合A 的“和”，当n pk q =+（p ，q ∈N ，01q k -≤≤）时，求所有集合A 的“和”的和（结果用含p ，q ，k 的代数式表示）．。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)一试参考答案与评分标准(A卷)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ． 根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x ≤−,则2()24f x x x =−,在这一区间上的最小值为(116f −=+；2.若(13x ∈−−，则()88f x x =−+，在这一区间上的最小值为(316f =−+…………15分3.若31x ∈− ，则2()24f x x x =−+，在这一区间上的最小值为((3116f f =−+=−+；4.若13x ∈− ，则()88f x x =−，在这一区间上的最小值为(116f −+=−+；5.若3x ≥+，则2()24f x x x =−，在这一区间上的最小值为(316f =+.综上所述，所求最小值为((3116f f =−+=−.…………20分。
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2015年福建省高一数学竞赛试题（考试时间：5月10日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分） 1.集合{}13A xx x N =-<∈，的子集有（ ）A ．4个B ．8个C ．16个D ．32个 【答案】 C【解答】由13x -<，知24x -<<，结合x N ∈，得{}0123A =，，，。
∴ A 的子集有4216=个。
2．若直线2l 与直线1l ：21y x =-关于直线y x =对称，则2l 与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A ．1B ．23 C ．12 D ．14【答案】 D【解答】在直线1l ：21y x =-取点(01)A -，，则(01)A -，关于直线y x =的对称点(10)A '-，在直线2l 上。
又直线1l 与直线y x =的交点(11)P ，在直线2l 。
∴ 2l 过(10)A '-，和(11)P ，两点，其方程为1122y x =+。
∴ 2l 与坐标轴交于(10)-，和1(0)2，两点，2l 与坐标轴围成的三角形的面积为14。
3．给出下列四个判断：（1）若a ，b 为异面直线，则过空间任意一点P ，总可以找到直线与a ，b 都相交。
（2）对平面α，β和直线l ，若αβ⊥，l β⊥，则l α∥。
（3）对平面α，β和直线l ，若l α⊥，l β∥，则αβ⊥。
（4）对直线1l ，2l 和平面α，若1l α∥，21l l ∥，且2l 过平面α内一点P ，则2l α⊂。
其中正确的判断有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】 B【解答】（3）、（4）正确；（1）、（2）不正确。
对于（1），设a a '∥，过a '和b 的平面为α，则当点P 在平面α内，且不在直线b 上时，找不到直线同时与a ，b 都相交。
4．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，E 为CD 中点，则二面角1E AB B --的正切值为（ ）A ．1B ．24C ．2D ．22【答案】 D【解答】如图，作EF AB ⊥于F ，作1FO AB ⊥于O ，连结OE 。
由1111ABCD A B C D -为正方体，知11EF ABB A ⊥面，1EF AB ⊥。
又1AB OF ⊥。
因此，1AB OEF ⊥面，1OE AB ⊥。
∴ EOF ∠为面角1E AB B --的平面角。
设正方体棱长为a ，则EF a =，11244OF A B a ==。
∴ tan 22EFEOF OF∠==。
5．已知ABC △为等腰直角三角形，CA CB =，4AB =，O 为AB 中点，动点P 满足条件：2POPA PB =⋅，则线段CP 长的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．5D ．4 【答案】 B【解答】以AB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点，建立平面直角坐标系。
则(20)A -，、(20)B ，、(02)C ，。
设()P x y ，，由2POPA PB =⋅，知222222(2)(2)x y x y x y +=++⋅-+。
∴ 2222222()(44)(44)x y x y x x y x +=+++++-，即222222222()()8()1616x y x y x y x +=++++-，化简，得222x y -=。
∴ 222222(2)2442(1)4CPx y y y y y =+-=++-+=-+。
∴ 1y =时，CP 有最小值2。
此时，(31)P ±，。
6．记e a e =，b ππ=，c e π=，e d π=，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（ ） A ．a d c b <<< B ．a c d b <<< C ．b a d c <<< D ．b c d a <<<（必要时，可以利用函数()ln f x e x x =-在(]0e ，上为增函数，在[)e +∞，上为减函数） 【答案】 A【解答】ln c π=，ln ln d e π=。
设()ln f x e x x =-，由()f x 在(]0e ，上为增函数，在[)e +∞，上为减函数，第4题 图第4题答题图得()()f f e π<，于是()ln ()ln 0f e f e e e e πππ=-<=-=。
∴ ln e ππ<，即ln ln d c <，于是d c <，e e ππ<。
又显然，e e a e d π=<=，c e b πππ=<=。
于是，a d c b <<<。
二、填空题（每小题6分，共36分）7．已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且2()()2x f x g x x +=+，则(1)f = 。
【答案】34【解答】依题意，有(1)(1)213f g +=+= ………… ①，13(1)(1)122f g -+-=+=。
由()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，得3(1)(1)2f g -+=。
… ② ①-②，得32(1)32f =-，3(1)4f =。
8．已知直线l ：10x By ++=的倾斜角为α，若45120α︒<<︒，则B 的取值范围为 。
【答案】 3(1)-，【解答】当90α=︒时，0B =；当4590α︒<<︒时，11B->，解得10B -<<；当90120α︒<<︒时，13B-<-，解得30B <<。
∴ B 的取值范围为3(1)-，。
9．如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PBC △为等边三角形，则PC 与平面ABC 所成角的正弦值为 。
【答案】21 【解答】如图，作PO ABC ⊥面于O ，则PCO ∠就是PC 与平面ABC 所成的角。
∵ PA PB ⊥，PA PC ⊥， ∴ PA PBC ⊥面。
设PA PB PC a ===，则第9题 图23113333412P ABC A PBC PBC V V PA S a a a --==⨯⨯=⨯⨯=△。
又2177224ABC S a a a =⨯⨯=△， 217312P ABC ABC V PO S a PO -=⨯⨯=⨯△。
∴ 37PO a =，321sin 77PO PCO PC ∠===。
或求出ABC △外接圆半径OC 后，再求解。
10．函数22()236f x x x x x =--++-的最小值为 。
【答案】6【解答】 由2223060x x x x ⎧--≥⎪⎨+-≥⎪⎩，知1332x x x x ≤-≥⎧⎨≤-≥⎩或或，3x ≤-或3x ≥。
∴ ()f x 的定义域为(][)33-∞-⋃+∞，，。
∵ 2123y x x =--和226y x x =+-在(]3-∞-，上都是减函数，在[)3+∞，上都是增函数。
∴ 22()236f x x x x x =--++-在(]3-∞-，上是减函数，在[)3+∞，上是增函数。
∴ ()f x 的最小值是(3)f -与(3)f 中较小者。
∵ (3)23f -=，(3)6f =。
∴ ()f x 的最小值是6。
11．已知函数254x x y a a =+-（0a >，且1a ≠）在区间[]11-，上的最小值为54-，则254x x y a a =+-在区间[]11-，上的最大值为 。
【答案】 10【解答】设x t a =，则2254154()24x x y a a t =+-=+-在52⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上为增函数。
01a <<时，1t a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，2541()24y t =+-在1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数。
∴ 2min 5415()244y a =+-=-，12a =。
2max 541(2)1024y =+-=。
1a >时，1t a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，2541()24y t =+-在1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数。
第9题答题图∴ 2min 15415()244y a =+-=-，2a =。
2max 541(2)1024y =+-=。
12．若实数x ，y 满足条件：222304936x y x y ->⎧⎨-=⎩，则2x y -的最小值为 。
【答案】 【解答】由条件知，230x y ->，230x y +>，因此，23x y >，0x >。
由对称性，不妨设0y ≥，则22x y x y -=-。
设2x y t -=，代入224936x y -=，消x 并整理，得2282360y ty t -+-=。
………… ①由①的判别式22432(36)0t t =--≥△，得t ≤-t ≥。
由23x y y >≥知，20t x y =->，t ≥。
又t =时，①化为2840y -+=，得2y =，此时4x =，符合230x y ->。
∴ t 的最小值为2x y -的最小值为三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分） 13．在ABC △中，已知点(21)A ，，(28)B -，，且它的内切圆的方程为224x y +=，求点C 的坐标。
【答案】易知直线AB 于圆O 相切，直线AC 、BC 的斜率存在。
设直线AC 的方程为11(2)y k x -=-，即11120k x y k -+-=。
由直线AC 与圆O2=，解得134k =-。
∴ 直线AC 的方程为34100x y +-=。
……………………… 8分 设直线BC 的方程为28(2)y k x +=-，即22280k x y k ---=。
由直线BC 与圆O2=，解得2158k =-。
∴ 直线BC 的方程为158340x y ++=。
…………………… 12分由34100158340x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得67x y =-⎧⎨=⎩。
∴ 点C 的坐标为(67)-，。
………………………… 16分14．已知2()f x x bx c =++（b ，c R ∈，0b >），且对任意实数x ，()2f x x b ≥+恒成立。
（1）求证：c b ≥；（2）若当c b ≠时，不等式22()()()M c b f c f b -≥-对满足条件的b ，c 恒成立，求M 的最小值。
【答案】（1）∵ 对任意实数x ，()2f x x b ≥+恒成立，∴ 对任意实数x ，22x bx c x b ++≥+，即2(2)0x b x c b +-+-≥恒成立。