2017春九年级数学下册28.1锐角三角函数特色训练1(新版)新人教版
人教版数学九年级下册28.1锐角三角函数达标训练(含答案)
人教版数学九年级下册28.1锐角三角函数达标训练一、选择题1.如图K －16－2，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则sin ∠AOB 的值是( D )图K －16－2A.32B.23C.21313D.313132．2017·金华在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则tanA 的值是( A ) A.34 B.43 C.35 D.453..如图K －18－1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝26°，BC ＝5.若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是( D )图K －18－1A.5÷tan 26＝B.5÷sin 26＝C.5×cos 26＝D.5×tan 26＝4.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sinA ＝35，则斜边上的高等于(B )A.6425B.4825C.165D.1255.如图K －17－1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cosα的值是( D )图K －17－1A.34B.43C.35D.456.．已知cosθ＝0.7415926，则∠θ约为( C )A ．40°B ．41°C ．42°D ．43°7．如图K －16－4，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是( D )图K －16－4A.31010B.12C.13D.10108.．如图K －17－4是教学用的直角三角板，边AC 的长为30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC＝33，则边BC 的长为(C )图K －17－4A ．30 3 cmB ．20 3 cmC ．10 3 cmD ．5 3 cm9.如图K －18－2，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以点A 为圆心，OA 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则sin ∠AOB 的值为(C )图K －18－2A.12B.22C.32D. 3 10.如图K －17－5，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，cosA ＝1213，则tanA 的值为( D )图K －17－5A.125B.1312C.1213D.512二、填空题11．如图K －16－5，在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，则sinB ＝________．图K －16－5[答案] 2312．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，CD ＝4，AC ＝6，则sinB 的值是________． [答案] 3714．如图K －17－7所示，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(0，4)，且∠1＝∠2，则tan ∠OCA ＝________．图K－17－7[答案] 215.如图K－17－8，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tanD＝________．图K－17－8[答案] 2 216.反比例函数y＝kx的图象经过点(tan30°，sin60°)，则k＝________．[答案] 6－2 4三、解答题17．已知：如图K－16－10，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10.求∠BAC，∠ABC 的正弦值．图K－16－10解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，过点B 作BE ⊥AC 于点E.∵AB ＝AC ，BC ＝10， ∴BD ＝12BC ＝5.∵AB ＝13，∴AD ＝AB 2－BD 2＝132－52＝12， ∴sin ∠ABC ＝AD AB ＝1213.又∵S △ABC ＝12BC·AD ＝12AC·BE ，∴BE ＝12013，∴sin ∠BAC ＝BE AB ＝12013÷13＝120169. 即sin ∠BAC ＝120169，sin ∠ABC ＝1213.18.如图K －17－12，已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且AB ＝5，BC ＝3. (1)求sin ∠BAC 的值；(2)如果OE ⊥AC ，垂足为E ，求OE 的长； (3)求tan ∠ADC 的值.图K －17－12解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵AB ＝5，BC ＝3，∴sin ∠BAC ＝BC AB ＝35. (2)∵OE ⊥AC ，O 是⊙O 的圆心， ∴E 是AC 的中点， ∴OE ＝12BC ＝32.(3)∵AC ＝AB 2－BC 2＝4， ∴tan ∠ADC ＝tan ∠ABC ＝AC BC ＝43.19．如图K －18－5，河的两岸l 1与l 2互相平行，A ，B 是l 1上的两点，C ，D 是l 2上的两点，某人在点A 处测得∠CAB ＝90°，∠DAB ＝30°，再沿AB 方向前进20 m 到达点E(点E 在线段AB 上)，测得∠DEB ＝60°，求C ，D 两点间的距离．图K －18－5解：如图，过点D 作l 1的垂线，垂足为F. ∵∠DEB ＝60°，∠DAB ＝30°， ∴∠ADE ＝∠DEB －∠DAB ＝30°， ∴DE ＝AE ＝20 m.在Rt △DEF 中，EF ＝DE·cos60°＝20×12＝10(m)．∵DF ⊥AF ，∴∠DFB ＝90°，∴AC ∥DF. 由l 1∥l 2，可知CD ∥AF ， ∴四边形ACDF 为矩形， ∴CD ＝AF ＝AE ＋EF ＝30 m.。
新人教版九年级下《28.1锐角三角函数》课时练习含答案解析(初中 数学试卷)
新人教版数学九年级下册第28章28.1锐角三角函数课时作业一、选择题知识点：锐角三角函数的定义解析：解答：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，知识点：锐角三角函数定义解析：解答：连接CD，如图所示：∵∠COD=90°，∴CD为圆A的直径，又∵∠CBO与∠CDO为CO所对的圆周角，∴∠CBO=∠CDO，又∵C（0，5），答案：B知识点：锐角三角函数定义解析：解答：①∵△ABD为直角三角形，∴BD2=AD2+AB2，不是BD=AD2+AB2，故说法错误；知识点：锐角三角函数的定义解析：解答：由图形知：tan∠ACB=26=13，知识点：锐角三角函数的定义解析：解答：∵∠C=90°，BC=6，AC=8，知识点：特殊角的三角函数值解析：解答：∵sinA=cosB=2，知识点：特殊角的三角函数值解析：解答：由题意得：∠AOB=90°，A ．不变B ．缩小为原来的3C ．扩大为原来的3倍D ．不能确定 答案：A知识点：锐角的三角函数的定义解析：解答：因为△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A 的大小没改变，所以锐角A 的正弦函数值也不变．知识点：锐角的三角函数的定义解析：解答：作DE⊥AB于点E．知识点：特殊角的三角函数值解析：解答：解：2sin30°-sin 245°+cot60°， =2×12-）2 知识点：特殊角的三角函数值解析：解答：解：原式=1+2-1=2．故选A ．分析：本题考查的是实数的运算，熟知负整数指数幂及0指数幂的运算法则，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．知识点：特殊角的三角函数值解析：，cos45°=2，知识点：锐角三角函数的定义解析：解答：知识点：锐角的三角函数的定义解析：解答：过C 点作CD ⊥AB ，垂足为D ．根据旋转性质可知，∠B′=∠B ．知识点：特殊角的三角函数值解析：解答：∵sin60°，cos60°=12， 1.计算：cos 245°+tan30° sin60°=____．答案：1知识点：特殊角的三角函数值解析：解答：cos 245°+tan30°sin60°=1212+12=1．解析：解答：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，解析：解析：解析：1.已知⊙O的弦CD与直径AB垂直于F，点E在CD上，且AE=CE．（1）求证：CA2=CE CD；（2）已知CA=5，EA=3，求sin∠EAF．知识点：锐角三角函数的定义解析：知识点：特殊角的三角函数值解析：解析：知识点：特殊角的三角函数值解析：解析：解答：∠CBD与∠CEB相等，证明：∵BC切⊙O于点B，（1）根据题意即可推出∠CBD=∠BAD，由∠BAD=∠CEB，即可推出∠CBD与∠CEB相等；（2）根据（1）所推出的结论，通过求证△EBC∽△BDC，即可推出结论；（3）通过设BC=3x，AB=2x，根据题意，推出OC和CD的长度，然后通过求证△DCF∽△BCD，即可推出DF：BD的值，即∠DBF的正切值，由∠DBF=∠CDF，即可推出∠CDF的正切值．。
人教版九年级下册数学28.1：锐角三角函数 习题训练1课件 (共17张PPT)
第一步 寻找分类标准
三部曲： 先找分类标准； 再画示意图； 后计算．
∠ADE是不变的 分∠AED＝90°和∠EAD＝90°两种情况讨论
第二步 比比画画——不求准确，但求思路
三部曲： 先找分类标准； 再画示意图； 后计算．
①∠AED＝90°
②∠EAD＝90°
第三步 计算——思路就在图形中
①当∠AED＝90°
代数法三部曲：
小结——代数方法——勾股定理
Байду номын сангаас
先罗列三边； 再分类列方程；
OE 4 4a
后解方程、检验．
AE2 (4 4a)2 22
ED 5a AD 2 5 5a
OE 4a 4 AE2 (4a 4)2 22
小结——代数方法——勾股定理
代数法三部曲： 先罗列三边； 再分类列方程； 后解方程、检验．
线段AB中点的坐标为
x1
2
x2
,
y1
2
y2
AB2 x1 x2 2 y1 y2 2
请同学们算一算A2,1，B5,5
这两个点之间的距离及线段AB 中点的坐标。
三部曲： 先找分类标准； 再画示意图； 后计算．
将△ABO沿着垂直于x轴的线段CD折叠，点B的对 应点为点E． 设点C(x,0)，是否存在这样的点C，使得△ADE为 直角三角形？
三部曲： 先找分类标准； 再画示意图； 后计算．
那么△AOE∽△ECD≌△BCD ∽△BOA
因此 OA OB 2 OE OA
所以OE 1 OA 1 2
于是EB 3, EC 1.5
所以OC 2.5,C(2.5,0)
第三步 计算——思路就在图形中
②当∠EAD＝90°
三部曲： 先找分类标准； 再画示意图； 后计算．
春九年级数学下册28.1锐角三角函数特色训练1(新版)新人教版【含解析】
第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数 第1课时 正弦课前预习要点感知 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的 边与 边的比叫做∠A 的正弦，记作 ，即sinA= .预习练习1-1 把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦函数值( ) A.不变 B.缩小为原来的31 C.扩大为原来的3倍 D.不能确定1-2 在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=1，c=2，那么sinA= . 当堂训练知识点1 已知直角三角形的边长求锐角的正弦值1.在△ABC 中，∠C=90°，AB ＝13，BC ＝5，则sinA 的值是( ) A.135 B.1312 C.125 D.513 2.如图，P 是∠α的边OA 上一点，点P 的坐标为(12，5)，则∠α的正弦值为( ) A.135 B.1312 C.125 D.5123.如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sinA= .4.如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，a ∶c=2∶3，求sinA 和sinB 的值.知识点2 已知锐角的正弦值，求直角三角形的边长 5.在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，sinA=53，则AB=( )A.8B.9C.10D.12 6.(2013·扬州)在△ABC 中，AB=AC=5，sin ∠ABC=0.8，则BC= . 7.如图，在△ABC 中，∠C=90°，sinA=41，BC=2，求AC ，AB 的长.课后作业8.已知Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′，∠C=∠C ′=90°，且AB=2A ′B ′，则sinA 与sinA ′的关系为( ) A.sinA=2sinA ′ B.sinA=sinA ′ C.2sinA=sinA ′ D.不确定9.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2BC ，则sinB 的值为( ) A.21 B.22 C.23 D.110.(2013·杭州)在Rt △ABC 中，∠C=90°，若AB=4，sinA=53，则斜边上的高等于( )A.2564B.2548C.516D.51211.如图,在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB,垂足为点D.若AC=5,BC=2,则sin ∠ACD 的值为( ) A.35 B.552 C.25 D.3212.已知锐角A 的正弦sinA 是一元二次方程2x 2-7x+3=0的根，则sinA= .13.(2014·黄石)如图，圆O 的直径CD=10 cm ，且AB ⊥CD ，垂足为P ，AB=8 cm ，则sin ∠OAP= .14.已知一次函数y=2x-4与x 轴的夹角的锐角为α，则sin α= .15.如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，那么sin α= .16.如图，菱形ABCD 的边长为10 cm ，DE ⊥AB ，sinA=53,求DE 的长和菱形ABCD 的面积.17.如图，直径为10的⊙A 经过点C(0,5)和点O(0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧OC 上一点,求∠OBC 的正弦值.挑战自我18.(2014·贺州改编)网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，求sinA 的值.参考答案 课前预习要点感知 对 斜 sinA a c预习练习1-1 A1-21 2当堂训练1.A2.A3.54.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a∶c=2∶3，设a=2k，c=3k.(k>0)∴∴sinA=ac=23kk=23，sinB=bc5.C6.67.∵在△ABC中，∠C=90°，sinA=14，∴BCAB=14.∴AB=4BC=4×2=8.∴.课后作业8.B 9.C 10.B 11.A 12.1213.3516.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°.在Rt△AE D中，sinA=DE AD.即35＝10DE.解得DE=6.∴菱形ABCD的面积为：10×6=60(cm2).17.连接OA并延长交⊙A于点D，连接CD.∴∠OBC=∠ODC,∠OCD=90°,∴sin∠OBC=sin∠ODC=OCOD=510=12.18.作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，由勾股定理得BC=2由BC·AD=AB·CE，得sinA=CEAC=35.。
人教版九年级数学下册28.1锐角三角函数(1)同步测控优化训练.docx
初中数学试卷桑水出品28.1锐角三角函数（一）一、课前预习 (5分钟训练)1.如图28-1-1-1所示，某斜坡AB 上有一点B ′，B ′C ′、BC 是边AC 上的高，则图中相似的三角形是______________，则B ′C ′∶AB ′=______________,B ′C ′∶AC ′=______________. 2.在Rt △ABC 中，如果边长都扩大5倍，则锐角A 的正弦值、余弦值和正切值 ( )A.没有变化B.都扩大5倍C.都缩小5倍D.不能确定 3.在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA=53，则sinB 等于( ) A.52 B.53 C.54 D.43 二、课中强化(10分钟训练) 1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,已知tanB=25，则cosA 等于( ) A.25 B.35 C.552 D.32 2.如果α是锐角,且sin α=54,那么cos(90°-α)的值为( ) A.54 B.43 C.53 D.51 3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC=2，AB=5，则cosB 的值为( )A.210 B.510 C.515 D.5153 4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=135,BC=15,则AC=______________. 5.如图28-1-1-2,△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝4，求sinB 的值.图28-1-1-1图28-1-1-2三、课后巩固(30分钟训练)1.如图28-1-1-3,已知菱形ABCD ，对角线AC=10 cm,BD=6 cm,，那么tan2A等于( ) A.53 B.54C.343D.345图28-1-1-3 图28-1-1-42.如果sin 2α+cos 230°=1,那么锐角α的度数是( )A.15°B.30°C.45°D.60°3.如图28-1-1-4,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________.4.在Rt △ABC 中，斜边AB=22,且tanA+tanB=22，则Rt △ABC 的面积是___________. 5.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,且a=3,c=5,求∠A 、∠B 的三角函数值. 6.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,且b=6,tanA=1,求c. 7.如图28-1-1-5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA=53，D 为AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6 cm ，求AB 、AD 的长.图28-1-1-58.如图28-1-1-6，在△ABC 中，AB=AC,AD ⊥BC 于D 点，BE ⊥AC 于E 点,AD=BC,BE=4.求:（1）tanC 的值；（2）AD 的长.图28-1-1-69.如图28-1-1-7,某人从山脚下的点A 沿着斜坡走了1 000米到达山顶B 点，已知山顶到山脚的垂直距离为500米，求山坡的坡度.图28-1-1-7参考答案一、课前预习 (5分钟训练)1.如图28-1-1-1所示，某斜坡AB 上有一点B ′，B ′C ′、BC 是边AC 上的高，则图中相似的三角形是______________，则B ′C ′∶AB ′=______________,B ′C ′∶AC ′=______________.图28-1-1-1解析：由相似三角形的判定得△AB ′C ′∽△ABC ，由性质得B ′C ′∶AB ′=BC ∶AB ，B ′C ′∶AC ′=BC ∶AC.答案：△AB ′C ′∽△ABC BC ∶AB BC ∶AC2.在Rt △ABC 中，如果边长都扩大5倍，则锐角A 的正弦值、余弦值和正切值 ( )A.没有变化B.都扩大5倍C.都缩小5倍D.不能确定 解析：三角函数值的大小只与角的大小有关，当角度一定时，其三角函数值不变. 答案：A3.在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA=53，则sinB 等于( ) A.52 B.53 C.54 D.43 解析：sinA=53,设a=3k,c=5k,∴b=4k.∴sinB=5454==k k c b .答案：C二、课中强化(10分钟训练) 1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,已知tanB=25，则cosA 等于( ) A.25 B.35 C.552 D.32解析：tanB=25,设b=5k,a=2k.∴c=3k. ∴cosA=3535==k k c b . 答案：B2.如果α是锐角,且sin α=54,那么cos(90°-α)的值为( ) A.54 B.43 C.53 D.51 解析：cos(90°-α)=sin α=54.答案：A3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC=2，AB=5，则cosB 的值为( )A.210 B.510 C.515 D.5153 解析：由勾股定理,得BC=3，∴cosB=51553==AB BC . 答案：C4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=135,BC=15,则AC=______________. 解析：∵sinA=135=AB BC ,BC=15,∴AB=39.由勾股定理,得AC=36. 答案：365.如图28-1-1-2,△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝4，求sinB 的值.图28-1-1-2分析：因为三角函数值是在直角三角形中求得，所以构造直角三角形就比较重要,对于等腰三角形首先作底边的垂线.解：过A 作AD ⊥BC 于D, ∵AB=AC,∴BD=2.在Rt △ADB 中，由勾股定理,知AD=24262222=-=-BD AB ，∴sinB=322=AB AD . 三、课后巩固(30分钟训练)1.如图28-1-1-3,已知菱形ABCD ，对角线AC=10 cm,BD=6 cm,，那么tan2A等于( )图28-1-1-3A.53 B.54C.343D.345 解析：菱形的对角线互相垂直且平分，由三角函数定义,得tan 2A=tan ∠DAC=53.答案：A2.如果sin 2α+cos 230°=1,那么锐角α的度数是( )A.15°B.30°C.45°D.60° 解析：由sin 2α+cos 2α=1,∴α=30°. 答案：B3.如图28-1-1-4,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________.图28-1-1-4解析：坡度=BCAC,所以BC=5，由割补法知地毯长=AC+BC ＝7（米）. 答案：７米4.在Rt △ABC 中，斜边AB=22,且tanA+tanB=22，则Rt △ABC 的面积是___________. 解析：∵tanA=AC BC ,tanB=BC AC ,且AB 2=BC 2+AC 2,由tanA+tanB=22,得AC BC +BCAC =22,即AC ·BC=28.∴S △ABC =24. 答案：245.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,且a=3,c=5,求∠A 、∠B 的三角函数值.解：根据勾股定理得b=4,sinA=53,cosA=54，tanA=43;sinB=54,cosB=53，tanB=34. 6.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,且b=6,tanA=1,求c.解：由三角函数定义知a=btanA ，所以a=6，根据勾股定理得c=26. 7.如图28-1-1-5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA=53，D 为AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6 cm ，求AB 、AD 的长.图28-1-1-5解：如题图，在Rt △BCD 中，∠BDC ＝45°, ∴BC ＝DC ＝6.在Rt △ABC 中，sinA=53, ∴AB BC =53. ∴AB=10. ∴AC=2222610-=-BC AB =8.∴AD=AC-CD=8-6=2.8.如图28-1-1-6，在△ABC 中，AB=AC,AD ⊥BC 于D 点，BE ⊥AC 于E 点,AD=BC,BE=4.求:（1）tanC 的值；（2）AD 的长.图28-1-1-6解：（1）∵AB=AC,AD ⊥BC, ∴AD ＝BC ＝2DC. ∴tanC=2.（2）∵tanC=2，BE ⊥AC,BE=4,∴EC=2. ∵BC 2=BE 2+EC 2,∴BC=52.∴AD=52.9.如图28-1-1-7,某人从山脚下的点A 沿着斜坡走了1 000米到达山顶B 点，已知山顶到山脚的垂直距离为500米，求山坡的坡度.图28-1-1-7解：∵AC 2=AB 2-BC 2,∴AC=3500.∴tanA=33,即山坡的坡度为33.。
人教版九年级数学下《第28章锐角三角函数》专项训练含答案
人教版九年级数学下《第28章锐角三角函数》专项训练含答案专训1“化斜为直”构造直角三角形的方法名师点金：锐角三角函数是在直角三角形中定义的，解直角三角形的前提是在直角三角形中进行，关于非直角三角形咨询题，要注意观看图形特点，恰当作辅助线，将其转化为直角三角形来解．无直角、无等角的三角形作高1．如图，在△ABC中，已知BC＝1＋3，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长．(第1题)有直角、无三角形的图形延长某些边2．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．(第2题)有三角函数值不能直截了当利用时作垂线3．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，DC⊥AC，sin ∠BCD＝13，求tan A的值．(第3题)求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8.若∠BPC ＝12∠BAC ，求tan ∠BPC 的值．(第4题)专训2 巧用构造法求几种专门角的三角函数值名师点金：关于30°、45°、60°角的三角函数值，我们都可通过定义利用专门直角三角形三边的关系进行运算；而在实际应用中，我们常常碰到像15°、22.5°、67.5°等一些专门角的三角函数值的运算，同样我们也能够构造有关图形，利用数形结合思想进行巧算．巧构造15°与30°角的关系的图形运算15°角的三角函数值1．求sin 15°，cos 15°，tan 15°的值．巧构造22.5°与45°角的关系的图形运算22.5°角的三角函数值2．求tan 22.5°的值．巧用折叠法求67.5°角的三角函数值3．小明在学习“锐角三角函数”中发觉，将如图所示的矩形纸片AB CD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，求出67.5°角的正切值．(第3题)巧用含36°角的等腰三角形中的相似关系求18°、72°角的三角函数值4．求sin 18°，cos 72°的值．巧用75°与30°角的关系构图求75°角的三角函数值5．求sin 75°，cos 75°，tan 75°的值．专训3应用三角函数解实际咨询题的四种常见咨询题名师点金：在运用解直角三角形的知识解决实际咨询题时，要学会将千变万化的实际咨询题转化为数学咨询题，要善于将某些实际咨询题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，若不是直角三角形，应尝试添加辅助线，构造出直角三角形进行解答，如此才能更好地运用解直角三角形的方法求解．其中仰角、俯角的应用咨询题，方向角的应用咨询题，坡度、坡角的应用咨询题要熟练把握其解题思路，把握解题关键．定位咨询题1．某校爱好小组从游轮拍照海河两岸美景．如图，游轮动身点A与望海楼B的距离为300 m，在A处测得望海楼B位于A的北偏东30°方向，游轮沿正北方向行驶一段时刻后到达C，在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向，求现在游轮与望海楼之间的距离BC.(3取1.73，结果保留整数)(第1题)坡坝咨询题2．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE＝20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度.(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)(第2题)测距咨询题3．一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向上还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30千米，B，C间的距离是60千米，想要通过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，要求出交叉口P到加油站A的距离．(结果保留根号)测高咨询题4．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE ＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．(1)求斜坡CD的高度DE；(2)求大楼AB的高度．(结果保留根号)(第4题)专训4利用三角函数解判定讲理咨询题名师点金：利用三角函数解答实际中的“判定讲理”咨询题：其关键是将实际咨询题抽象成数学咨询题，建立解直角三角形的数学模型，运用解直角三角形的知识来解决实际咨询题．航行路线咨询题1．如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行3 0分钟后到达B处，现在再测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若连续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试讲明理由．(第1题)工程规划咨询题2．A，B两市相距150千米，分不从A，B处测得国家级风景区中心C 处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心、45千米为半径的圆，ta n α＝1.627，tan β＝1.373.为了开发旅行，有关部门设计修建连接A，B两市的高速公路．咨询连接A，B两市的高速公路会穿过风景区吗？请讲明理由．(第2题)拦截咨询题3．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1 000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离．(结果不取近似值)(第3题)台风阻碍咨询题4．如图所示，在某海边都市O邻近海面有一股强台风，据监测，当前台风中心位于该都市的南偏东20°方向200 km的海面P处，并以20 km/ h的速度向北偏西65°的PQ方向移动，台风侵袭的范畴是一个圆形区域，当前半径为60 km，且圆的半径以10 km/h的速度持续扩大．(1)当台风中心移动4 h时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到______ __km；当台风中心移动t(h)时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到_______ _____km.(2)当台风中心移动到与都市O距离最近时，这股台风是否会侵袭这座海边都市？请讲明理由．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)(第4题)专训5三角函数在学科内的综合应用名师点金：1.三角函数与其他函数的综合应用：此类咨询题常常利用函数图象与坐标轴的交点构造直角三角形，再结合锐角三角函数求线段的长，最后可转化为求函数图象上的点的坐标．2．三角函数与方程的综合应用：要紧是与一元二次方程之间的联系，利用方程根的情形，最终转化为三角形三边之间的关系求解．3．三角函数与圆的综合应用：要紧利用圆中的垂径定理、直径所对的圆周角是直角等，将圆中的边角关系转化为同一直角三角形的边角关系求解．4．三角函数与相似三角形的综合应用：此类咨询题常常是由相似得成比例线段，再转化成所求锐角的三角函数．三角函数与一次函数的综合应用1．如图，直线y ＝kx －1与x 轴、y 轴分不交于B ，C 两点，tan ∠OC B ＝12.(1)求点B 的坐标和k 的值；(2)若点A(x ，y)是直线y ＝kx －1上的一个动点(且在第一象限内)，在点A 的运动过程中，试写出△AOB 的面积S 与x 的函数关系式．(第1题)三角函数与二次函数的综合应用2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE 的三个顶点分不是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)．点A 在DE 上，以A 为顶点的抛物线过点C ，且对称轴直线x ＝1交x 轴于点B ，连接EC ，AC ，点P ，Q 为动点，设运动时刻为t 秒．(1)求点A 的坐标及抛物线对应的函数解析式；(第2题)(2)如图，若点P 在线段OC 上从点O 向点C 以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q 在线段CE 上从点C 向点E 以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t 为何值时，△PCQ 为直角三角形？三角函数与反比例函数的综合应用3．如图，反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象通过线段OA 的端点A ，O 为原点，作AB ⊥x 轴于点B ，点B 的坐标为(2，0)，tan ∠AOB ＝32.(1)求k 的值；(2)将线段AB 沿x 轴正方向平移到线段DC 的位置，反比例函数y ＝k x (x＞0)的图象恰好通过DC 的中点E ，求直线AE 对应的函数解析式；(3)若直线AE 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，请你探究线段AN 与线段ME 的大小关系，写出你的结论，并讲明理由．(第3题)三角函数与方程的综合应用4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分不是a，b，c.已知a，b是关于x的一元二次方程x2－(c＋4)x＋4c＋8＝0的两个根，且9c＝25asin A.(1)试判定△ABC的形状；(2)△ABC的三边长分不是多少？5．已知关于x的方程5x2－10xcos α－7cos α＋6＝0有两个相等的实数根，求边长为10 cm且两边所夹的锐角为α的菱形的面积．三角函数与圆的综合应用6．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心、CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EF FD＝4 3.(1)求证：点F是AD的中点；(2)求cos ∠AED的值；(3)如果BD＝10，求半径CD的长．(第6题)7．如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于点D ，AM ⊥CD 于点M ，BN ⊥CD 于N.(1)求证：∠ADC ＝∠ABD ；(2)求证：AD2＝AM ·AB ；(3)若AM ＝185，sin ∠ABD ＝35，求线段BN 的长．(第7题)三角函数与相似三角形的综合应用8．如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是边AD 上一点，连接FE 并延长交BC 的延长线于点G ，连接BF ，BE ，且BE ⊥FG .(1)求证：BF ＝BG ；(2)若tan ∠BFG ＝3，S △CGE ＝63，求AD 的长．(第8题)专训6 全章热门考点整合应用名师点金：本章要紧学习锐角三角函数的定义，锐角三角函数值，解直角三角形，以及解直角三角形的实际应用，重点考查运用解直角三角形的知识解决一些几何图形中的应用和实际应用，是中考的必考内容．其要紧考点可概括为：2个概念，1个运算，2个应用，2个技巧．2个概念概念1：锐角三角函数1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB 于点D，求∠BCD的三个三角函数值．(第1题)概念2：解直角三角形2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝35，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，CD＝DE，AC＋CD＝9，求BE，CE的长．(第2题)1个运算——专门角的三角函数值与实数运算3．运算：(1)tan30°sin60°＋cos230°－sin245°tan45°；(2)14tan245°＋1sin230°－3cos230°＋tan45°cos60°－sin40°cos50°.2个应用应用1：解直角三角形在学科内应用4．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，P 是射线BC 上的一个动点，过点P 作PE ⊥AP ，交射线DC 于点E ，射线AE 交射线BC 于点F ，设BP ＝a.(1)当点P 在线段BC 上时(点P 与点B ，C 都不重合)，试用含a 的代数式表示CE 的长；(2)当a ＝3时，连接DF ，试判定四边形APFD 的形状，并讲明理由；(3)当tan ∠PAE ＝12时，求a 的值．(第4题)应用2：解直角三角形的实际应用5．如图，自来水厂A 和村庄B 在小河l 的两侧，现要在A ，B 间铺设一条输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A ，B 间的距离．一小船在点P 处测得A 在正北方向，B 位于南偏东24.5°方向，前行1 200 m ，到达点Q 处，测得A 位于北偏西49°方向，B 位于南偏西41°方向．(1)线段BQ 与PQ 是否相等？请讲明理由．(2)求A，B间的距离(参考数据cos41°≈0.75)．(第5题)6.如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27 m高的楼CD底部D 测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角为36°52′.已知山高BE为56 m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE. (参考数据：sin 36°52′≈0.60，tan 36°52′≈0.75)(第6题)2个技巧技巧1：“化斜为直”构造直角三角形解三角形的技巧7．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B＝32，AC＝23，求AB的长．(第7题)技巧2：“割补法”构造直角三角形求解的技巧8．如图所示，已知四边形ABCD ，∠ABC ＝120°，AD ⊥AB ，CD ⊥BC ，AB ＝303，BC ＝503，求四边形ABCD 的面积．(要求：用分割法和补形法两种方法求解)(第8题)答案专训11．解：如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D.设BD ＝x ，在Rt △ABD 中，AD ＝BD ·tan B ＝x ·tan 60°＝3x.在Rt △ACD 中，∵∠C ＝45°，∴∠CAD ＝90°－∠C ＝45°，∴∠C ＝∠CAD ，∴CD ＝AD ＝3x.∵BC ＝1＋3，∴3x ＋x ＝1＋3，解得x ＝1，即BD ＝1.在Rt △ABD 中，∵cos B ＝BDAB ，∴AB ＝BD cos B ＝1cos 60°＝2.(第1题)(第2题)2．解：如图，延长BC，AD交于点E.∵∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠E＝30°.在Rt△ABE中，BE＝ABtan E＝2tan 30°＝23，在Rt△CDE中，EC＝2CD＝2，∴DE＝EC·cos 30°＝2×32＝ 3.∴S四边形ABCD＝SRt△ABE－SRt△ECD＝12AB·BE－12CD·ED＝12×2×23－12×1×3＝332.点拨：本题看似是四边形咨询题，但注意到∠B＝90°，∠A＝60°，不难想到延长BC，AD交于点E，构造出直角三角形，将所求咨询题转化为直角三角形咨询题来解决．3．解：如图，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E.∵点D是AB的中点，∴AD＝DB.又∵∠ACD＝∠BED＝90°，∠ADC＝∠BDE，∴△ACD≌△BED，∴CD＝DE，AC＝BE.在Rt△CBE中，sin ∠BCE＝BEBC＝13，∴BC＝3BE.∴CE＝BC2－BE2＝22BE，∴CD＝12CE＝2BE＝2AC.∴tan A＝CDAC＝2ACAC＝ 2.方法点拨：构造直角三角形，把所要求的量与已知量建立关系是解题的关键．(第3题)(第4题)4．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵AB ＝AC ＝5，∴BE ＝12BC ＝12×8＝4，∠BAE ＝12∠BAC. ∵∠BPC ＝12∠BAC ，∴∠BPC ＝∠BAE.在Rt △BAE 中，由勾股定理得AE ＝AB2－BE2＝52－42＝3，∴tan ∠BPC ＝tan ∠BAE ＝BE AE ＝43.专训21．解：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，∠C ＝90°，延长CA 到D ，使AD ＝AB ，则∠D ＝15°，设BC ＝a ，则AB ＝2a ，AC ＝3a ，∴AD ＝2a ，CD ＝(2＋3)a.在Rt △BCD 中，BD ＝BC2＋CD2＝a2＋（7＋43）a2＝(6＋2)a. ∴sin 15°＝sin D ＝BC BD ＝a （6＋2）a ＝6－24； cos 15°＝cos D ＝CD BD ＝（2＋3）a （6＋2）a ＝6＋24； tan 15°＝tan D ＝BC CD ＝a （2＋3）a＝2－ 3.(第1题)(第2题)2．解：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，延长CA 到D ，使DA ＝AB ，则∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝a ，则AB ＝2a ，∴AD ＝2a ，DC ＝(2＋1)a ，∴tan 22.5°＝tan D ＝BC CD ＝a （2＋1）a ＝2－1.3．解：∵将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，∴AB ＝BE ，∠AEB ＝∠EAB ＝45°，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，∴AE ＝EF ，∠EAF ＝∠EFA ＝45°÷2＝22.5°，∴∠FAB ＝67.5°.设AB ＝x ，则AE ＝EF ＝2x ， ∴tan ∠FAB ＝tan 67.5°＝FB AB ＝2x ＋x x ＝2＋1.4．解：如图，作△ABC ，使∠BAC ＝36°，AB ＝AC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D 点，过点A 作AE ⊥BC 于E 点，设BC ＝a ，则BD ＝AD＝a ，易得△ABC ∽△BCD ，∴AB BC ＝BC CD ，∴AB a ＝a AB －a ， 即AB2－a ·AB －a2＝0，∴AB ＝5＋12a(负根舍去)， ∴sin 18°＝sin ∠BAE ＝BE AB ＝5－14，cos 72°＝cos ∠ABE ＝BE AB ＝5－14.(第4题)(第5题)5．解：方法1：利用第1题的图形求解．易知∠CBD ＝75°， ∴sin75°＝CD BD ＝（2＋3）a （6＋2）a ＝6＋24， cos75°＝BC BD ＝a （6＋2）a ＝6－24， tan75°＝CD BC ＝（2＋3）a a＝2＋ 3. 方法2：如图，作△ABD ，使∠ADB ＝90°，∠DAB ＝30°，延长BD 到C ，使DC ＝DA ，过B 作BE ⊥AC 于E ，则∠BAE ＝75°，设AD ＝DC＝a ，则AC ＝2a ，BD ＝33a ，AB ＝233a ，∴BC ＝BD ＋CD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33＋1a.则CE ＝BE ＝BC ·sin 45°＝6＋326a ，∴AE ＝AC －CE ＝32－66a ，∴sin 75°＝sin ∠BAE ＝BE AB ＝32＋66a 233a ＝6＋24， cos 75°＝cos ∠BAE ＝AE AB ＝6－24，tan 75°＝tan ∠BAE ＝BE AE ＝2＋ 3.专训3(第1题)1．解：按照题意可知AB ＝300 m.如图所示，过点B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于点D.在Rt △ADB中，因为∠BAD ＝30°，因此BD ＝12AB ＝12×300＝150(m)．在Rt △CDB中，因为sin ∠DCB ＝BD BC ，因此BC ＝BD sin ∠DCB ＝150sin 60°＝3003≈173(m)． 答：现在游轮与望海楼之间的距离BC 约为173 m.点拨：本题也可过C 作CD ⊥AB 于D ，由已知得BC ＝AC ，则AD ＝12AB ＝150 m ，因此在Rt △ACD 中，AC ＝AD cos 30°＝15032≈173(m)．因此BC ＝AC ≈173 m. 2．解：在Rt △ABE 中，∠BEA ＝90°，∠BAE ＝45°，BE ＝20米， ∴AE ＝20米．在Rt △BEF 中，∠BEF ＝90°，∠F ＝30°，BE ＝20米，∴EF ＝BE tan 30°＝2033＝203(米)． ∴AF ＝EF －AE ＝203－20≈20×1.732－20＝14.64≈15(米)．AF 的长度约是15米．3．解：分两种情形：(1)如图①，在Rt △BDC 中，CD ＝30千米，BC ＝60千米．∴sin B ＝CD BC ＝12，∴∠B ＝30°.∵PB ＝PC ，∴∠BCP ＝∠B ＝30°. ∴在Rt △CDP 中，∠CPD ＝∠B ＋∠BCP ＝60°，∴DP ＝CD tan ∠CPD ＝30tan 60°＝103(千米)．在Rt △ADC 中，∵∠A ＝ 45°，∴AD ＝DC ＝30千米．∴AP ＝AD ＋DP ＝(30＋103)千米．(第3题)(2)如图②，同理可求得DP ＝103千米，AD ＝30千米．∴AP ＝AD －DP ＝(30－103)千米．故交叉口P 到加油站A 的距离为(30±103)千米．点拨：本题运用了分类讨论思想，针对P 点位置分两种情形讨论，即P 可能在线段AB 上，也可能在BA 的延长线上．4．解：(1)在Rt △DCE 中，DC ＝4米，∠DCE ＝30°，∠DEC ＝90°，∴DE ＝12DC ＝2米；(第4题)(2)如图，过点D 作DF ⊥AB ，交AB 于点F ，则∠BFD ＝90°，∠BDF ＝45°，∴∠DBF ＝45°，即△BFD 为等腰直角三角形，设BF ＝DF ＝x 米，∵四边形DEAF 为矩形，∴AF ＝DE ＝2米，即AB ＝(x ＋2)米，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，∴BC ＝AB cos 30°＝x ＋232＝2x ＋43＝3（2x ＋4）3(米)， ∵∠DCE ＝30°，∠ACB ＝60°，∴∠DCB ＝90°，在Rt △BCD 中，BD ＝2BF ＝2x 米，DC ＝4米，按照勾股定理得：2x2＝（2x ＋4）23＋16， 解得：x ＝4＋43或x ＝4－43(舍去)，则大楼AB的高度为(6＋43)米．专训41．解：若连续向正东方向航行，该货船无触礁危险．理由如下：如图，过点C作CD⊥AM于点D.依题意，知AB＝24×3060＝12(海里)，∠CAB＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°＝60°.在Rt△DBC中，tan ∠CBD＝tan 60°＝CD BD，∴BD＝33CD.在Rt△ADC中，tan ∠CAD＝tan 30°＝CDAD，∴AD＝3CD.又∵AD＝AB＋BD，∴3CD＝12＋33CD，解得CD＝63海里．∵63＞9，∴若连续向正东方向航行，该货船无触礁危险．技巧点拨：将这道航海咨询题抽象成数学咨询题，建立解直角三角形的数学模型．该货船有无触礁危险取决于岛C到航线AB的距离与9海里的大小关系，因此解决本题的关键在于求岛C到航线AB的距离．(第1题)(第2题)2．解：可不能穿过风景区．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于点D，按照题意得：∠ACD＝α，∠BCD＝β，则在Rt△ACD中，AD＝CD·ta n α，在Rt△BCD中，BD＝CD·tan β.∵AD＋DB＝AB，∴CD·tan α＋CD·tan β＝AB，∴CD＝ABtan α＋tan β＝1501.627＋1.373＝1503＝50(千米)．∵50＞45，∴连接A，B两市的高速公路可不能穿过风景区．3．解：如图，过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E＝∠F ＝90°，拦截点D处到公路的距离DA＝BE＋CF.在Rt△BCE中，∵∠E＝90°，∠CBE＝60°，∴∠BCE＝30°，∴BE＝12BC＝12×1 000＝500(米)；在Rt△CDF中，∵∠F＝90°，∠DCF＝45°，CD＝1 000米，∴CF＝22CD＝5002(米)．∴DA＝BE＋CF＝(500＋5002)米，即拦截点D处到公路的距离是(500＋5002)米．(第3题)(第4题)4．解：(1)100；(60＋10t)(2)可不能，理由如下：过点O作OH⊥PQ于点H，如图．在Rt△PO H中，∠OHP＝90°，∠OPH＝65°－20°＝45°，OP＝200 km，∴OH＝PH＝OP·sin ∠OPH＝200×sin 45°＝1002≈141(km)．设通过x h时，台风中心从P移动到H，台风中心移动速度为20 km/ h，则20x＝1002，∴x＝5 2.现在，受台风侵袭的圆形区域半径应为60＋10×52≈130.5(km)．台风中心在整个移动过程中与都市O的最近距离OH≈141 km，而台风中心从P移动到H时受侵袭的圆形区域半径约为130.5 km，130.5 km＜141 km，因此，当台风中心移动到与都市O距离最近时，都市O可不能受到台风侵袭．专训51．解：(1)把x ＝0代入y ＝kx －1，得y ＝－1，∴点C 的坐标是(0，－1)，∴OC ＝1.在Rt △OBC 中，∵tan ∠OCB ＝OB OC ＝12，∴OB ＝12.∴点B 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 把B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的坐标代入y ＝kx －1，得12k －1＝0.解得k ＝2. (2)由(1)知直线AB 对应的函数关系式为y ＝2x －1，因此△AOB 的面积S 与x 的函数关系式是S ＝12OB ·y ＝12×12(2x －1)＝12x －14.2．解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，矩形OCDE 的三个顶点分不是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)，点A 在DE 上，∴点A 坐标为(1，4)，设抛物线对应的函数解析式为y ＝a(x －1)2＋4，把C(3，0)的坐标代入抛物线对应的函数解析式，可得a(3－1)2＋4＝0，解得a ＝－1.故抛物线对应的函数解析式为y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x2＋2x ＋3.(2)依题意有OC ＝3，OE ＝4，∴CE ＝OC2＋OE2＝32＋42＝5，当∠QPC ＝90°时，∵cos ∠QCP ＝PC CQ ＝OC CE ，∴3－t 2t ＝35，解得t ＝1511；当∠PQC ＝90°时，∵cos ∠QCP ＝CQ PC ＝OC CE ，∴2t 3－t ＝35，解得t ＝913.∴当t ＝1511或t ＝913时，△PCQ 为直角三角形． 3．解：(1)先求出A 点的坐标为(2，3)，∴k ＝6.(2)易知点E 纵坐标为32，由点E 在反比例函数y ＝6x 的图象上，求出点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，32，结合A 点坐标为(2，3)，求出直线AE 对应的函数解析式为y ＝－34x ＋92.(3)结论：AN ＝ME.理由：在解析式y ＝－34x ＋92中，令y ＝0可得x ＝6，令x ＝0可得y ＝92. ∴点M(6，0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92.(第3题)方法一：如图，延长DA 交y 轴于点F ，则AF ⊥ON ，且AF ＝2，OF ＝3，∴NF ＝ON －OF ＝32.按照勾股定理可得AN ＝52.∵CM ＝6－4＝2，EC ＝32，∴按照勾股定理可得EM ＝52，∴AN ＝ME. 方法二：如图，连接OE ，延长DA 交y 轴于点F ，则AF ⊥ON ，且A F ＝2，∵S △EOM ＝12OM ·EC ＝12×6×32＝92，S △AON ＝12ON ·AF ＝12×92×2＝92，∴S △EOM ＝S △AON.∵AN 和ME 边上的高相等，∴AN ＝ME.4．解：(1)∵a ，b 是关于x 的方程x2－(c ＋4)x ＋4c ＋8＝0的两个根，∴a ＋b ＝c ＋4，ab ＝4c ＋8.∴a2＋b2＝(a ＋b)2－2ab＝(c ＋4)2－2(4c ＋8)＝c2.∴△ABC 为直角三角形．又∵(a －b)2＝(a ＋b)2－4ab＝(c ＋4)2－4(4c ＋8)＝c2－8c －16，∴不能确定(a －b)2的值是否为0，∴不能确定a 是否等于b ，∴△AB C 的形状为直角三角形．(2)∵△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，∴sin A ＝a c .将其代入9c ＝25asin A ，得9c ＝25a ·a c ，9c2＝25a2，3c ＝5a. ∴c ＝53a.∴b ＝c2－a2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53a 2－a2＝43a. 将b ＝43a ，c ＝53a 代入a ＋b ＝c ＋4，解得a ＝6.∴b ＝43×6＝8，c ＝53×6＝10，即△ABC 的三边长分不是6，8，10.5．解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴(－10cos α)2－20(－7cos α＋6)＝0，解得cos α＝－2(舍去)或cos α＝35.设在一内角为α的直角三角形中，α的邻边长为3k(k ＞0)，∴斜边长为5k ，则α的对边长为（5k ）2－（3k ）2＝4k ，∴sin α＝45，则菱形一边上的高为10sin α＝8 cm ，∴S 菱形＝10×8＝80 cm2.6．(1)证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD ＝∠DAC.∵∠ADE ＝∠BAD ＋∠B ，∠DAE ＝∠CAD ＋∠CAE ，且∠B ＝∠CAE ，∴∠ADE ＝∠DAE ，∴ED ＝EA.∵ED 为⊙O 的直径，∴∠DFE ＝90°，∴EF ⊥AD ，∴点F 是AD 的中点．(2)解：如图，连接DM ，则DM ⊥AE.设EF ＝4k ，DF ＝3k ，则ED ＝EF2＋DF2＝5k.∵12AD ·EF ＝12AE ·DM ， ∴DM ＝AD ·EF AE ＝6k ·4k 5k ＝245k ，∴ME ＝DE2－DM2＝75k ，∴cos ∠AED ＝ME DE ＝725.(3)解：∵∠CAE ＝∠B ，∠AEC 为公共角，∴△AEC ∽△BEA ， ∴AE BE ＝CE AE ，∴AE2＝CE ·BE ，∴(5k)2＝52k ·(10＋5k)．∵k ＞0，∴k ＝2，∴CD ＝52k ＝5.(第6题)(第7题)7．(1)证明：如图，连接OD ，∵直线CD 切⊙O 于点D ，∴∠CDO ＝90°，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∵OB ＝OD ，∴∠3＝∠4，∴∠ADC ＝∠ABD.(2)证明：∵AM ⊥CD ，∴∠AMD ＝∠ADB ＝90°，∵∠1＝∠4，∴△ADM ∽△ABD ，∴AM AD ＝AD AB ，∴AD2＝AM ·AB.(3)解：∵sin ∠ABD ＝35，∴sin ∠1＝35，∵AM ＝185，∴AD ＝6，∴AB ＝10，∴BD ＝AB2－AD2＝8，∵BN ⊥CD ，∴∠BND ＝90°，∴∠DB N ＋∠BDN ＝∠1＋∠BDN ＝90°，∴∠DBN ＝∠1，∴sin ∠NBD ＝35，∴DN ＝245，∴BN ＝BD2－DN2＝325.8．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠DCG ＝90°， ∵点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE.∵∠DEF ＝∠CEG ，∴△EDF ≌△ECG ，∴EF ＝EG .又∵BE ⊥FG ，∴BE 是FG 的中垂线，∴BF ＝BG .(2)解：∵BF ＝BG ，∴∠BFG ＝∠G ，∴tan ∠BFG ＝tan G ＝3，设CG ＝x ，则CE ＝3x ，∴S △CGE ＝32x2＝63，解得x ＝23(负值舍去)， ∴CG ＝23，CE ＝6，又易通过三角形相似得出EC2＝BC ·CG ，∴B C ＝63，∴AD ＝6 3.专训61．思路导引：求∠BCD 的三个三角函数值，关键要弄清它们的定义．由于∠BCD 是Rt △BCD 中的一个内角，按照定义，仅一边BC 是已知的，现在有两条路可走，一是设法求出BD 或CD ，二是把∠BCD 转化成∠A ，明显走第二条路较方便，因为在Rt △ABC 中，三边均可得出，利用三角函数的定义即可求出答案．解：在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠ACD ＋∠A ＝90°，∴∠BCD ＝∠A.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB ＝AC2＋BC2＝10， ∴sin ∠BCD ＝sin A ＝BC AB ＝45，cos ∠BCD ＝cos A ＝AC AB ＝35，tan ∠BCD ＝tan A ＝BC AC ＝43.2．思路导引：由sin B ＝DE DB ＝AC AB ＝35，可设DE ＝CD ＝3k ，则DB ＝5k ，求得BC ＝8k ，AC ＝6k ，AB ＝10k.再由AC ＋CD ＝9，可列出以k 为未知数的方程，进而求出各边的长．在Rt △BDE 中，由勾股定理求BE 的长，过C 作CF ⊥AB 于点F ，再用勾股定理求出CE 的长．解：∵sin B ＝35，∠ACB ＝90°，DE ⊥AB ，∴sin B ＝DE DB ＝AC AB ＝35.设DE ＝CD ＝3k ，则DB ＝5k ，∴CB ＝8k ，AC ＝6k ，AB ＝10k.∵AC ＋CD ＝9，∴6k ＋3k ＝9，∴k ＝1，∴DE ＝3，DB ＝5，∴BE ＝52－32＝4.过点C 作CF ⊥AB 于点F ，如图，则CF ∥DE ，∴DE CF ＝BE BF ＝BD BC ＝58，求得CF ＝245，BF ＝325，∴EF ＝125.在Rt △CEF 中，CE ＝CF2＋EF2＝125 5.(第2题)点拨：方程思想是一种重要的思想方法，运用方程思想能够建立已知量和待求量之间的关系式，平常学习时，应该持续积存用方程思想解题的方法．3．解：(1)原式＝33×32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫222×1＝12＋34－12＝34.(2)原式＝14×12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋112－1＝14＋4－3×34＋2－1＝3. 4．解：设CE ＝y ，(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB ＝CD ＝4，BC ＝AD ＝5，∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝90°.∵BP ＝a ，CE ＝y ，∴PC ＝5－a ，DE ＝4－y ，∵AP ⊥PE ，∴∠APE ＝90°，∴∠APB ＋∠CPE ＝90°，∵∠APB ＋∠BAP ＝90°，∴∠CPE ＝∠BAP ，∴△ABP ∽△PCE ，∴BP CE ＝AB PC ，∴y ＝－a2＋5a 4，即CE ＝－a2＋5a 4. (2)四边形APFD 是菱形，理由如下：当a ＝3时，y ＝－32＋5×34＝32，即CE ＝32，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BF ，∴△AED ∽△FEC ，∴AD CF ＝DE CE ，∴CF ＝3，易求PC ＝2，∴PF ＝PC ＋CF ＝5.∴PF ＝AD ，∴四边形APFD 是平行四边形，在Rt △APB 中，AB ＝4，BP ＝3，∠B ＝90°，∴AP ＝5＝PF ，∴四边形APFD 是菱形．(3)按照tan ∠PAE ＝12可得AP PE ＝2，易得△ABP ∽△PCE ，∴BP CE ＝AB PC ＝AP PE ＝2，得a y ＝45－a ＝2或a y ＝4a －5＝2，解得a ＝3，y ＝1.5或a ＝7，y ＝3.5.∴a ＝3或7.5．解：(1)相等．理由如下：由已知条件易知，∠QPB ＝90°－24.5°＝65.5°，∠PQB ＝90°－41°＝49°，∴∠PBQ ＝180°－65.5°－49°＝65.5°.∴∠PBQ ＝∠BPQ.∴BQ ＝PQ.(2)由(1)，得BQ ＝PQ ＝1 200 m.由已知条件易知∠AQP ＝90°－49°＝41°.在Rt △APQ 中，AQ ＝PQ cos ∠AQP ≈1 2000.75＝1 600(m)． 又∵∠AQB ＝∠AQP ＋∠PQB ＝90°， ∴在Rt △AQB 中， AB ＝AQ2＋BQ2≈ 1 6002＋1 2002＝2 000(m)．∴A ，B 间的距离约是2 000 m.点拨：证明线段相等常利用全等三角形的对应边相等或等角对等边；运算线段的长度常利用锐角三角函数或勾股定理．6．解：如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F.(第6题)设铁塔高AE ＝x m ，由题意得EF ＝BE －CD ＝56－27＝29(m)，AF ＝AE ＋EF ＝(x ＋29)m.在Rt △AFC 中，∠ACF ＝36°52′，AF ＝(x ＋29)m ，则CF ＝AF tan 36°52′≈x ＋290.75＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋1163(m)， 在Rt △ABD 中，∠ADB ＝45°，AB ＝(x ＋56)m ，则BD ＝AB ＝(x ＋56)m ，∵CF ＝BD ，∴x ＋56≈43x ＋1163，解得x ≈52.答：该铁塔的高AE 约为52 m.7．解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D.在Rt △ACD 中，∵AC ＝23，∠A ＝30°，∴CD ＝12AC ＝3，AD ＝AC ·cos 30°＝23×32＝3.在Rt △BCD 中，CD DB ＝tan B ＝32，∴DB ＝2CD 3＝233＝2， ∴AB ＝AD ＋DB ＝3＋2＝5.(第7题)方法总结：在不含直角三角形的图形中，如果求与三角形有关的线段长、非专门角的某个三角函数、面积等咨询题，一样可通过分割图形、作高等方法，把咨询题转化为解直角三角形得以解决，引辅助线的技巧是解此类题的关键．8．解法1：如图①所示，过点B 作BE ∥AD 交DC 于点E ，过点E 作EF ∥AB 交AD 于点F ，则BE ⊥AB ，EF ⊥AD.∴四边形ABEF 是矩形．∴EF ＝AB ，AF ＝BE.∵∠ABC ＝120°，∴∠CBE ＝120°－90°＝30°，∠D ＝180°－120°＝60°.在Rt △BCE 中，BE ＝BC cos ∠CBE ＝503cos 30°＝50332＝100， EC ＝BC ·tan ∠CBE ＝503×tan 30°＝503×33＝50.在Rt △DEF 中，DF ＝EF tan D ＝AB tan 60°＝3033＝30. ∴AD ＝AF ＋DF ＝BE ＋DF ＝100＋30＝130.∴S 四边形ABCD ＝S 梯形ABED ＋S △BCE ＝12(AD ＋BE)·AB ＋12BC ·E C ＝12×(130＋100)×303＋12×503×50＝4 700 3.(第8题)解法2：如图②所示，延长DA ，CB 交于点E ，则∠ABE ＝180°－∠ABC ＝60°，∠E ＝90°－∠ABE ＝30°. 在Rt △ABE 中，AE ＝AB ·tan 60°＝303×3＝90，BE ＝AB cos 60°＝30312＝60 3. ∴CE ＝BE ＋BC ＝603＋503＝110 3.在Rt △DCE 中，DC ＝CE ·tan 30°＝1103×33＝110.∴S 四边形ABCD ＝S △DCE －S △ABE ＝12DC ·CE －12AB ·AE ＝12×110×1103－12×303×90＝4 700 3.。
九年级数学下册28.1锐角三角函数余弦正切导学案(新人教版)
28．1锐角三角函数（余弦，正切）【学习目标】1．我能感知当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实。
2．我能根据余弦、正切的概念，正确进行计算。
学习重点：理解余弦、正切的概念。
学习难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。
导学过程： 一、自主学习1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,锐角Ａ________________叫 做∠A 的正弦，记作________。
即SinA=________=________。
2、（1）如图2，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA= ，sinB = 。
（2）如图3，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且 AB ＝5，BC ＝3，则sin ∠BAC=_______；sin ∠ADC=_______。
二、合作交流探究与展示 问题11）一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？如图，任意画R t △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°，∠A=∠A ′=a ，那么B A C A AB AC ''''与有什么关系？你能解释一下吗？2）如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，当锐角A 的大小确定时，∠A 的邻边与斜边的比、∠A 的对边与邻边的比也分别是确定的。
我们把 叫做∠A 的余弦，记作 ，即 ； 把 叫做∠A 的正切，记作 ，即 。
3）锐角A 的正弦,余弦,正切都叫做∠A 的锐角三角函数。
问题2如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=8，BC=6，求sinA,cosA ，tanA 的值。
∠A的邻边b∠A的对边a 斜边c CBAB CAB610图1图2图3三、课堂检测(1、2、3题为必做题；4、5题为选做题。
人教版九年级数学下册28.1 锐角三角函数同步练习(填空题) 含答案
第28章锐角三角函数 同步学习检测（一）一、填空题：注意：填空题的答案请写在下面的横线上, （每小题3分，共96分） 1、 ；2、 ；3、 ；4、 ；5、 ； 6、 ；7、 ；8、 ；9、 ；10、 ； 11、 ；12、 ；13、 ；14、 ；15、 ； 16、 ；17、 ；18、 ；19、 ；20、 、 ；21、 ； 22、 ；23、 ； 24、 ； 25、 ；26、 ；27、 ；28、 ；29、 ；30、 ；31、 ；32、 ；1．（2009年济南）如图，AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角，则cos AOB ∠的值是 ．2．（2009年济南）九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图所放风筝的高度，进行了如下操作：（1）在放风筝的点A 处安置测倾器，测得风筝C 的仰角60CBD =︒∠； （2）根据手中剩余线的长度出风筝线BC 的长度为70米； （3）量出测倾器的高度 1.5AB =米．根据测量数据，计算出风筝的高度CE 约为 米．（精确到0.1米，3 1.73≈） 3. （2009仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点．C 点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC 为_____________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)4．（2009年安徽）长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m ．5.（2009年桂林市．百色市）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B 与钢缆固定点C 的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电 线杆上的固定点A 到地面的距离AB 是 米．（结果保留根号）．6．（2009湖北省荆门市）计算：104cos30sin 60(2)(20092008)-︒︒+---=______． 7.（2009年宁波市）如图，在坡屋顶的设计图中，AB AC =，屋顶的宽度l 为10米，坡角α为35°，则坡屋顶高度h 为 米．（结果精确到0.1米）8．（2009桂林百色）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B 与钢缆固定点C 的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A 到地面的距离AB 是 米．（结果保留根号）．9．（2009丽水市）将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的直角边AC 和MD 重合.已知AB =AC =8 cm,将△MED 绕点A (M )逆时针旋转60°后(图2),两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是 ▲ cm 2(结果 精确到0.1，73.13≈)10．（09湖南怀化）如图，小明从A 地沿北偏东ο30方向走1003m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时小明离A 地 m ．11．（2009年孝感）如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ．12．（2009泰安）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 的中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处，若CD 恰好与MB 垂直，则tanA 的值为 ． 13．（2009年南宁市）如图，一艘海轮位于灯塔P 的东北方向，距离灯塔402A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则海轮行驶 的路程AB为 _____________海里（结果保留根号）．14．（2009年衡阳市）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个破面的坡度为_________.15.2009年鄂州)小明同学在东西方向的沿江大道A 处，测得江中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处正东400米的B 处，测得江中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到沿江大道的距离为____________米．16．（2009年广西梧州）在△ABC 中，∠C ＝90°， BC ＝6 cm ，53sin =A ， 则AB 的长是 cm ．17．(2009宁夏)10．在Rt ABC △中，903C AB BC ∠===°，，， 则cos A 的值是 ．18．（2009年包头）如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）． 19．（2009年包头）如图，已知ACB △与DFE △是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B C F D 、、、在同一条直线上，且点C 与点F 重合，将图（1）中的ACB △绕点C 顺时针方向旋转到图（2）的位置，点E 在AB 边上，AC 交DE 于点G ，则线段FG 的长为 cm （保留根号）．20．（2009年山东青岛市）如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ．ANBM21．（2009年益阳市）如图，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到△C B A '''，使点B '与C 重合，连结B A '，则C B A ''∠tan 的值为 . 22．（2009白银市）如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B ．C ，那么线段AO = cm ．23. (2009年金华市) “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α的值等于 .24．(2009年温州)如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=8，cosA=43，则AC 的长是 25．（2009年深圳市）如图，小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆BC 的高度，他发现 绳子刚好比旗杆长11米，若把绳子往外拉直，绳子接触地面A 点并与地面形成30º角时，绳子末端D 距A 点还有1米，那么旗杆BC 的高度为 .26．（2009年深圳市）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90º，点D 是BC 上一点，AD=BD ， 若AB=8，BD=5，则CD= .27．（2009年黄石市）计算：1132|20093tan 303-⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭°＝ .28．．（2009年中山）计算：19sin 30π+32-0°+()＝ .29．（2009年遂宁）计算：()3208160cot 33+--o －＝ .30．(2009年湖州)计算：()02cos602009π9--+°＝ . 31.（2009年泸州）︒+--+-30sin 29)2009()21(01＝ . 32.（2009年安徽）计算：|2-|o 2o 12sin30(3)(tan 45)-+--+＝ . 二、解答题（每小题4分，24分）1.(2009年河北)图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin∠DOE = 1213． （1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？OEC D2．（2009年新疆乌鲁木齐市）九（1）班的数学课外小组，对公园人工湖中的湖心亭A 处到笔直的南岸的距离进行测量．他们采取了以下方案：如图7，站在湖心亭的A 处测得南岸的一尊石雕C 在其东南方向，再向正北方向前进10米到达B 处，又测得石雕C 在其南偏东30°方向．你认为此方案能够测得该公园的湖心亭A 处到南岸的距离吗？若可以，请计算此距离是多少米（结果保留到小数点后一位）？3．（2009年哈尔滨）如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A 处测得灯塔C 在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B 处，在B 处测得灯塔C 在北偏西60°方向．当轮船到达灯塔C 的正东方向的D 处时，求此时轮船与灯塔C 的距离．（结果保留根号）BADC北东西南4. （2009山西省太原市）如图，从热气球C 上测得两建筑物A ．B 底部的俯角分别为30°和60°．如果这时气球的高度CD 为90米．且点A ．D ．B 在同一直线上，求建筑物A ．B 间的距离．5．（2009年中山）如图所示，A ．B 两城市相距100km ，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏ABC EF60°30°CDBA 北60°30°西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：3≈1.732，2≈1.414）6．（2009河池）如图，为测量某塔AB 的高度，在离该塔底部20米处目测其顶A ，仰角为60o ，目高1.5米，试求该塔的高度(3 1.7)≈．1.5C 60oA1.51．22 2. 16.1 3. 3.5 4. 2(32)- 5. 43 6. 327. 3.5 8. 43 9. 20.3 10. 100 11. 45(或0.8); 12. 33 13.. ()40340+ 14.1:215. 3200 16. 10 17. 53 18. π33-19..532 20. 10，22916n +（或23664n +）21. 3122. 5 23。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数 第1课时 正弦
课前预习
要点感知 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的 边与 边的比叫做∠A 的正弦，记作 ，即sinA= .
预习练习1-1 把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦函数值( ) A.不变 B.缩小为原来的3
1 C.扩大为原来的3倍 D.不能确定
1-2 在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=1，c=2，那么sinA= . 当堂训练
知识点1 已知直角三角形的边长求锐角的正弦值
1.在△ABC 中，∠C=90°，AB ＝13，BC ＝5，则sinA 的值是( ) A.
135 B.1312 C.125 D.513 2.如图，P 是∠α的边OA 上一点，点P 的坐标为(12，5)，则∠α的正弦值为( ) A.
135 B.1312 C.125 D.5
12
3.如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sinA= .
4.如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，a ∶c=2∶3，求sinA 和sinB 的值.
知识点2 已知锐角的正弦值，求直角三角形的边长 5.在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，sinA=5
3，则AB=( )
A.8
B.9
C.10
D.12 6.(2013·扬州)在△ABC 中，AB=AC=5，sin ∠ABC=0.8，则BC= . 7.如图，在△ABC 中，∠C=90°，sinA=
4
1
，BC=2，求AC ，AB 的长.
课后作业
8.已知Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′，∠C=∠C ′=90°，且AB=2A ′B ′，则sinA 与sinA ′的关系为( ) A.sinA=2sinA ′ B.sinA=sinA ′ C.2sinA=sinA ′ D.不确定
9.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2BC ，则sinB 的值为( ) A.
21 B.22 C.2
3 D.1
10.(2013·杭州)在Rt △ABC 中，∠C=90°，若AB=4，sinA=5
3
，则斜边上的高等于( )
A.2564
B.2548
C.516
D.5
12
11.如图,在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB,垂足为点D.若AC=5,BC=2,则sin ∠ACD 的值为( ) A.
35 B.552 C.2
5 D.32
12.已知锐角A 的正弦sinA 是一元二次方程2x 2
-7x+3=0的根，则sinA= .
13.(2014·黄石)如图，圆O 的直径CD=10 cm ，且AB ⊥CD ，垂足为P ，AB=8 cm ，则sin ∠OAP= .
14.已知一次函数y=2x-4与x 轴的夹角的锐角为α，则sin α= .
15.如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，那么sin α= .
16.如图，菱形ABCD 的边长为10 cm ，DE ⊥AB ，sinA=5
3,求DE 的长和菱形ABCD 的面积.
17.如图，直径为10的⊙A 经过点C(0,5)和点O(0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧OC 上一点,求∠OBC 的正弦值.
挑战自我
18.(2014·贺州改编)网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，求sinA 的值.
参考答案 课前预习
要点感知 对 斜 sinA a c
预习练习1-1 A
1-21 2
当堂训练
1.A
2.A
3.
5
4.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a∶c=2∶3，设a=2k，c=3k.(k>0)
∴
∴sinA=a
c
=
2
3
k
k
=
2
3
，sinB=
b
c
5.C
6.6
7.∵在△ABC中，∠C=90°，sinA=1
4
，
∴BC
AB
=
1
4
.
∴AB=4BC=4×2=8.
∴
.
课后作业
8.B 9.C 10.B 11.A 12.1
2
13.
3
5
16.∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°.
在Rt△AE D中，sinA=DE AD
.
即3
5
＝
10
DE
.解得DE=6.
∴菱形ABCD的面积为：10×6=60(cm2).
17.连接OA并延长交⊙A于点D，连接CD.
∴∠OBC=∠ODC,∠OCD=90°,
∴sin∠OBC=sin∠ODC=OC
OD
=
5
10
=
1
2
.
18.作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，
由勾股定理得
BC
=2
由BC·AD=AB·CE，得
sinA=CE
AC
=
3
5
.。