高考数学(理科)必考题型过关练：专题3 第7练 基本初等函数问题

第7练 基本初等函数问题题型一 指数函数的图象和性质 例1 已知函数f (x )＝2|2x－m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．破题切入点 判断函数t ＝|2x －m |的单调区间，结合函数y ＝2t 的单调性，得m 的不等式，求解即可． 答案 (－∞，4]解析 令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[m 2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减．而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．故填(－∞，4]． 题型二 对数函数的图象和性质例2 函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )破题切入点 求出函数y ＝2log 4(1－x )的定义域并判断函数的单调性，即可得出结论． 答案 C解析 函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C.题型三 幂函数的图象和性质例3 已知周期函数f (x )的定义域为R ，周期为2，且当－1<x ≤1时，f (x )＝1－x 2.若直线y ＝－x ＋a 与曲线y ＝f (x )恰有2个交点，则实数a 的所有可能取值构成的集合为( ) A ．{a |a ＝2k ＋34或2k ＋54，k ∈Z }B ．{a |a ＝2k －14或2k ＋34，k ∈Z }C ．{a |a ＝2k ＋1或2k ＋54，k ∈Z }D ．{a |a ＝2k ＋1，k ∈Z }破题切入点 画出函数f (x )的草图，看选项，对参数a 取特殊值，验证是否满足题设条件，不满足则排除，即可得正确选项． 答案 C解析 画出函数f (x )的草图，当a ＝1时，如图所示，直线y ＝－x ＋1与曲线y ＝f (x )恰有2个交点，故排除A 、B ；当a ＝54时，直线y ＝－x ＋54与曲线y ＝f (x )恰有2个交点，如图所示，根据函数的周期性，选C.总结提高 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高中数学重要的基本初等函数，考查形式主要是选择题和填空题，也有可能以解答题中某一小问的形式出现．考查重点主要有三个：一是考查指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，二是考查指数式与对数式的运算，三是考查交汇性问题． (2)解决好本部分问题需要注意以下三点：①理清定义：掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念，并注意指数函数与幂函数的区别． ②心中有图：掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，并能灵活运用函数图象和性质解题． ③把握交汇：把握指数函数、对数函数、幂函数与其他知识交汇的特点，在综合应用中强化对这三种函数的理解．1．若函数y ＝a x ＋b －1 (a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( ) A ．0<a <1且b >0 B ．a >1且b >0 C ．0<a <1且b <0D ．a >1且b <0答案 C解析 (1)当0<a <1时，不论上下怎样平移，图象必过第二象限；当a >1时，不论上下怎样平移，图象必过第一象限．∵y ＝a x ＋b －1的图象经过第二、三、四象限，∴只可能0<a <1.(2)如图，这个图可理解为y ＝a x (0<a <1)的图象向下平移大于1个单位长度．∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1<0，|b －1|>1，解得b <0. 由(1)、(2)可知0<a <1且b <0.2．(2013·课标全国Ⅱ)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >bD ．a >b >c答案 D解析 因为a ＝log 36＝1＋log 32＝1＋1log 23，b ＝log 510＝1＋log 52＝1＋1log 25，c ＝log 714＝1＋log 72＝1＋1log 27，显然a >b >c .3．(2014·福建)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )答案 B解析 由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称．显然不符．故选B. 4．设a >0，b >0( ) A ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a >b B ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a <b C ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a >b D ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a <b 答案 A解析 对于x >0时有2x ＋2x <2x ＋3x 恒成立，而要使2a ＋2a ＝2b ＋3b 成立，则必须有a >b .5．“lg x ，lg y ，lg z 成等差数列”是“y 2＝xz 成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由lg x ，lg y ，lg z 成等差数列，可以得出2lg y ＝lg x ＋lg z ，根据对数函数的基本运算可得，y 2＝xz ，但反之，若y 2＝xz ，并不能保证x ，y ，z 均为正数，所以不能得出lg x ，lg y ，lg z 成等差数列．故选A. 6．已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y＝2lg x ＋2lg yB ．2lg(x＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x ·lg y＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y 答案 D 解析 2lg(xy )＝2lg x＋lg y＝2lg x ·2lg y .7．已知0<a <1，则函数f (x )＝a x －|log a x |的零点个数为________． 答案 2解析 分别画出函数y ＝a x (0<a <1)与y ＝|log a x |(0<a <1)的图象，如图所示，图象有两个交点．8．若函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则实数m 的取值范围是________． 答案 [－1,0) 解析 由题得，函数y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫121－x ＋m ，x ≤1⎝⎛⎭⎫12x －1＋m ，x >1.首先作出函数y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫121－x ，x ≤1⎝⎛⎭⎫12x －1，x >1的图象，如图所示．由图象可知要使函数y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫121－x＋m ，x ≤1⎝⎛⎭⎫12x －1＋m ，x >1的图象与x 轴有公共点，则m ∈[－1,0)．9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫15x－log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)与0的大小关系为________． 答案 f (x 1)>0解析 当x >0时，f (x )＝(15)x －log 3x 是减函数，又x 0是方程f (x )＝0的根，即f (x 0)＝0. ∴当0<x 1<x 0时，f (x 1)>f (x 0)＝0.10．定义两个实数间的一种新运算“*”：x *y ＝ln(e x ＋e y )，x ，y ∈R .当x *x ＝y 时，x ＝*y .对任意实数a ，b ，c ，给出如下命题： ①a *b ＝b *a ；②(a *b )＋c ＝(a ＋c )*(b ＋c )； ③(a *b )－c ＝(a －c )*(b －c )； ④(a *b )*c ＝a *(b *c )； ⑤*a *b ≥a ＋b 2.其中正确的命题有________．(写出所有你认为正确的命题序号) 答案 ①②③④⑤解析 因为a *b ＝ln(e a ＋e b )，b *a ＝ln(e b ＋e a )， 所以a *b ＝b *a ，即①对；因为(a *b )＋c ＝ln(e a ＋e b )＋c ＝ln [(e a ＋e b )e c ] ＝ln(e a ＋c ＋e b ＋c )＝(a ＋c )*(b ＋c )，所以②对；只需令②中的c 为－c ，即有结论(a *b )－c ＝(a －c )*(b －c )，所以③对； 因为(a *b )*c ＝[ln(e a ＋e b )]*c ＝ln [eln(e a ＋e b )＋e c ]＝ln(e a ＋e b ＋e c )， a *(b *c )＝a *[ln(e b ＋e c )]＝ln [e a ＋eln(e b ＋e c )]＝ln(e a ＋e b ＋e c )， 所以(a *b )*c ＝a *(b *c )，即④对； 设*a *b ＝x ，则x *x ＝a *b ， 所以ln(e x ＋e x )＝ln(e a ＋e b )， 所以2×e x ＝e a ＋e b ， 所以x ＝ln e a ＋e b2，即*a *b ＝ln e a ＋e b 2≥ln 2e a ·e b 2＝a ＋b2，故⑤对．故正确的命题是①②③④⑤.11．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3， 令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 所以，函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，方程ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根． 所以，b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立， 所以有(－4a )2－4(4a )<0⇒a 2－a <0，所以0<a <1. 因此实数a 的取值范围是(0,1)．12．已知函数f (x )＝log a (x ＋1) (a >1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．解 (1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点， ∵Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，∴－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝g (x )＝－log a (1－x )． (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a x ＋11－x≥m .设F (x )＝log a 1＋x1－x ，x ∈[0,1)，由题意知，只要F (x )min ≥m 即可．∵F (x )在[0,1)上是增函数，∴F (x )min ＝F (0)＝0. 故m ≤0即为所求．。