【步步高】2015高考数学(广东专用,理)一轮题库：第12章 第2讲 直接证明与间接证明]

第2讲 直接证明与间接证明
一、选择题
1.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理( )
A 小前提错
B 结论错
C 正确
D 大前提错 解析 大前提，小前提都正确，推理正确，故选C. 答案 C
2．对于平面α和共面的直线m ，n ，下列命题中真命题是( )． A ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n C ．若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n
D ．若m ，n 与α所成的角相等，则m ∥n
解析 对于平面α和共面的直线m ，n ，真命题是“若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ”． 答案 C
3．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明 ( )．
A ．2ab －1－a 2b 2≤0
B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b
42≤0
C.(a ＋b )2
2－1－a 2b 2≤0
D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0
解析 因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0，故选D. 答案 D
4．命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )．
A ．不成立
B ．成立
C ．不能断定
D ．能断定 解析 ∵S n ＝2n 2－3n ，
∴S n －1＝2(n －1)2－3(n －1)(n ≥2)，
∴a n ＝S n －S n －1＝4n －5(n ＝1时，a 1＝S 1＝－1符合上式)． 又∵a n ＋1－a n ＝4(n ≥1)，
∴{a n }是等差数列． 答案 B
5．设a ，b ，c 均为正实数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1
a ( )． A ．都大于2
B ．都小于2
C ．至少有一个不大于2
D ．至少有一个不小于2
解析 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，
∴⎝ ⎛
⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b ＋1b ＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫
c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c 时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2. 答案 D
6．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：(n ＋1)*1＝n *1＋1，则n *1＝ ( )．
A ．n
B ．n ＋1
C ．n －1
D ．n 2
解析 由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝…＝n. 答案 A 二、填空题
7．要证明“3＋7＜25”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________(填序号)．
①反证法，②分析法，③综合法． 答案 ②
8．设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是________． 解析 取a ＝2，b ＝1，得m <n .再用分析法证明：
a －
b <a －b ⇐a <b ＋a －b ⇐a <b ＋2b ·a －b ＋a －b ⇐2b ·a －b >0，显然成立． 答案 m <n
9．已知a ，b ，μ∈(0，＋∞)且1a ＋9
b ＝1，则使得a ＋b ≥μ恒成立的μ的取值范围是________．
解析 ∵a ，b ∈(0，＋∞)且1a ＋9
b ＝1，
∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
9a b ＋b a ≥10＋29＝16，∴a ＋b 的最小值为16.
∴要使a ＋b ≥μ恒成立，需16≥μ，∴0<μ≤16. 答案 (0,16]
10．若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a >b 与a <b 及a ＝b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的是_______．
解析 ①②正确；③中a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可能同时成立， 如a ＝1，b ＝2，c ＝3.选C. 答案 ①② 三、解答题
11．已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a |＋|b |
|a ＋b |≤ 2.
证明 a ⊥b ⇔a ·b ＝0， 要证|a |＋|b ||a ＋b |
≤ 2.
只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |，
只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)， 只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2， 只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0， 即(|a |－|b |)2≥0，
上式显然成立，故原不等式得证．
12．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？
(1)证明 假设数列{S n }是等比数列，则S 2
2＝S 1S 3， 即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1·(1＋q ＋q 2)，
因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2， 即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾， 所以数列{S n }不是等比数列．
(2)解 当q ＝1时，S n ＝na 1，故{S n }是等差数列； 当q ≠1时，{S n }不是等差数列，否则2S 2＝S 1＋S 3， 即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)， 得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾． 13．已知f (x )＝x 2＋ax ＋b . (1)求：f (1)＋f (3)－2f (2)；
(2)求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于1
2.
(1)解 ∵f (1)＝a ＋b ＋1，f (2)＝2a ＋b ＋4，f (3)＝3a ＋b ＋9， ∴f (1)＋f (3)－2f (2)＝2.
(2)证明 假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于1
2. 则－12<f (1)<12，－12<f (2)<12，－12<f (3)<12， ∴－1<－2f (2)<1，－1<f (1)＋f (3)<1. ∴－2<f (1)＋f (3)－2f (2)<2， 这与f (1)＋f (3)－2f (2)＝2矛盾． ∴假设错误，即所证结论成立．
14．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若
f (c )＝0，且0＜x ＜c 时，f (x )＞0. (1)证明：1
a 是f (x )＝0的一个根；
(2)试比较1
a
与c 的大小； (3)证明：－2＜b ＜－1.
解 (1)证明 ∵f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2， ∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，
又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a ≠c ，
∴1
a
是f (x )＝0的一个根．
(2)假设1a ＜c ，又1
a
＞0，
由0＜x ＜c 时，f (x )＞0，
知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a ＝0矛盾，∴1a ≥c ，
又∵1a ≠c ，∴1
a
＞c .
(3)证明 由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0， ∴b ＝－1－ac .
又a ＞0，c ＞0，∴b ＜－1.
二次函数f (x )的图象的对称轴方程为
x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22＜x 2＋x 22＝x 2＝1a ，
即－
b 2a ＜1
a
.又a ＞0， ∴b ＞－2，∴－2＜b ＜－1.。