湖南省宁乡县三仙坳初级中学九年级数学下册2721 相似三角形的判定第一课时教案 新人教版教案
九年级数学下册人教版27.2.1相似三角形的判定第一课时说课稿
5.课后拓展：布置一些富有挑战性的课后作业，引导学生运用所学知识解决实际问题，提高他们的应用能力。
三、教学方法与手段
（一）教学策略
在本节课的教学中，我将主要采用以下教学方法：
1.情境教学法：通过生活实例引入相似三角形的概念，让学生在具体的情境中感受和理解数学知识。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我将引导学生自我评价，并提供有效的反馈和建议：
1.学生自我评价：让学生回顾自己的学习过程，总结自己在理解相似三角形概念、判定方法等方面的优点和不足。
2.教师反馈：根据学生的回答和表现，给予及时的评价和反馈，指出他们的错误和不足，并提供改进的建议。
3.课堂小结：对本节课的主要知识点进行总结，强调相似三角形的定义、性质和判定方法的重要性。
2.反思教学方法和策略，根据学生的反馈和学习情况，调整教学方式和内容，以提高教学效果。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将逐步呈现知识点，引导学生深入理解：
1.相似三角形的定义：通过展示不同大小的两个三角形，引导学生发现它们的形状相同，从而引入相似三角形的定义。
2.相似三角形的性质：引导学生观察和操作，发现相似三角形的对应边成比例、对应角相等等性质。
3.相似三角形的判定方法：通过具体案例和引导学生进行推理和验证，逐步引导学生掌握AA、SAS、SSS等判定方法。
2.启发式教学法：引导学生通过观察、操作、猜想、验证等方法，自主发现相似三角形的性质和判定方法，培养他们的探究精神。
3.小组合作学习法：组织学生进行小组讨论和问题探究，让他们在合作中交流思想、共享成果，增强团队意识。
4.案例教学法：通过分析具体案例，使学生学会运用相似三角形的判定方法解决实际问题。
九年级数学下册27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定(第一课时平行线分线段成比例)课件人教版
D
l4
B
E
l1
l2 一般到特殊
B
C l3
字母 X 型
归纳
A
D
E
E
D
A
B
C
B
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
推论：平行于三角形一边的直线截其
他两边（或两边的延长线），所得的
对应线段成比例.
如下图：A DE
ED A
B
C
B
C
“A”型
“X”型
除了刚才的结论，你还能得出△ABC与它平行的线DE 所截得△ADE之间还有什么关系？你能用语言叙述这 个结论？
第二十七章
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例
知识回顾
（1）相似多边形的判定 （2）什么叫相似比 （3）最简单的相似多边形是什么图形
新课导入
A1
A
要把表示对应角顶点的
字母写在对应的位置上。
注意
B
C
在△ ABC与△ A1B1C1中
B1
C1
如果 ∠A =∠A1， ∠B =∠B1， ∠C =∠C1，
AB BC AC k A1B1 B1C1 A1C1
∽ 则△ABC 与△A1B1C1 相似，记作△ABC △A1B1C1。
相似的表示方法
符号：∽ 读作：相似于
相似比
A1
A
B
C B1
C1
如果△ABC与△A1B1C1的相似比为（ k 如
AB A1B1
=k），
则△A1B1C1与△ABC的相似比为
l1
AB AC
DE DF
,
上 全
九年级数学人教版下册第27章第2节第1部分相似三角形的判定教案
27.2.1 相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例《平行线分线段成比例》是人教版九年级数学第二十七章《相似》第二节《相似三角形》第一课时的内容。
它是在学生认识相似图形，了解相似多边形的性质及判定的基础上进行学习的。
本课时首先复习相似多边形的性质，然后引出两个三角形相似的定义（即三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似），然后引导学生思考类比全等三角形的判定方法，对于相似三角形是否存在较为简便的方法。
接下来通过一个探究，由学生动手计算来探究得到平行线分线段成比例的基本事实（三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等），从而将其应用于三角形中，得到“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”这一基本事实的推论，是进一步学习相似三角形判定的预备定理的基础。
●教学目标：【知识与技能目标】1、了解相似三角形的定义；2、理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用；3、掌握两个三角形相似的预备定理.【过程与方法目标】经历“动手操作—直观感知—发现事实”的过程，增强学生发现问题，解决问题的能力．【情感态度与价值观目标】1、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值.2、在进行探索的活动过程中，发展学生的探索发现归纳意识，并养成合作交流的学习习惯，体现数学的真善美.●教学重点：判定两个三角形相似的预备定理●教学难点：探究两个三角形相似的预备定理的过程●教学过程设计：一、复习提问，引入新课问题1：什么是相似多边形？它具有什么性质？师生活动：教师提出问题，学生思考并回答，使学生对上节课所学内容有深刻印象，以引起学生对本节课的研究内容的关注。
设计意图：通过对旧知识的复习和回顾，激发学生的学习兴趣，为学习新知识提供基础。
二、探索新知，自主学习问题2：如何定义相似三角形？问题3：如果k=1，则△ABC______△A'B'C'师生活动：学生观察图形，结合相似多边形的定义，不难发现如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似。
人教版九年级数学下册第1课时 相似三角形的判定(1)(教案)
27.2相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第1课时相似三角形的判定（1)【知识与技能】1.了解相似三角形的概念及其表示方法；2.掌握平行线分线段成比例定理及平行于三角形一边的直线的性质定理；3.掌握相似三角形判定的预备定理.【过程与方法】经历从探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力.【情感态度】体验从一般到特殊及由特殊到一般的认知规律，发展辩证思维能力. 【教学重点】平行线分线段成比例定理及判定三角形相似的预备定理.【教学难点】探索平行线分线段成比例定理的过程.一、情境导入，初步认识问题1相似多边形的性质是否也适用于相似三角形呢？问题2如果△ABC与△A1B1C1相似，能类似于两个三角形全等，给出一种相似表示方法吗？△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为k ，那么△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比也是k 吗？问题3 如何判定两个三角形相似呢？【教学说明】通过上述三个问题的设置，既帮助学生认识了相似三角形的一些基本知识，又为引出平行线分线段成比例定理作些铺塾，教师可釆用自问自答形式讲述这部分内容. 二、思考探究，获取新知问题1 如图，任意画两条直线l 1，l 2，再画三条与l 1，l 2相交的平行线l 3，l 4，l 5分别度量AB ，BC ，DE ，EF 长度，则EFDEBC AB 与相等吗？呢？与DF DE AC AB 呢？与DFEFCA BC【教学说明】教师可让学生在自己准备的 白纸上画出类似图形，测出所截各条线段的长度（尽可能准确些），然后求出相应比值的近似值，便于作出说明.教师巡视，发现问题及时引导.对出现比值相差较大情形，帮助他们分析，找出原因，尽量让学生们获得对应线段的比值近似相等这一结果，形成感性认知.最后，教师可综合大多数同学的认知，给予总结，得出结论.平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等.【教学说明】这一结论不要求学生证明，只需形成感性认识.为了便于记忆，上述定理的结论可使用下面形象化的语言，如：.等全下全下，全上全上，上下上下，下上下上==== 问题 2 如图，当l 1//l 2//l 3时，在（1）中是否仍有呢？，，AF EFAC BCAF AE AC AB EF AE BC AB ===在（2）中是否仍有呢？，，DFBFACBCDF DB AC AB BF DB BC AB ===【教学说明】针对问题2，教师应引导学生利用“平行线分线段成比例定理”来进行说明，不可继续用测量方法得到，这样就由感性认识 上升到理性思考.这里建议将学生进行分组，小组讨论，相互交流，形成认识，最后教师再与全 班同学一道分析，得出结论.平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得到的对应线段的比相等.问题3 如图，在△ABC 中，DE// BC ，DE 分别交AB 、AC 于D 、E ，则△ABC 与△ADE 能相似吗？为什么？问题4如图，已知DE//BC，DE分别交AB.AC的反向延长线于D、E，则△ADE与△ABC能相似吗？为什么？【教学说明】将全班学生分成两组，分别完成问题3、4的探究，教师应先给予点拨，突破难点（即添加辅助线，达到两个三角形的三边的比能相等的目的），然后学生自主完成，锻炼逻辑思维能力和推理能力.平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 (相似三角形判定的预备定理).三、运用新知，深化理解1.如图，DE//BC，EF//AB，请尽可能多地找出图中的相似三角形，并用符号表示出来.2.如图D 为△ABC 中BC 边的中点，E 为AD 中点，连接并延长BE 交 AC 于F.过E 作EG//AC 交BC 于G. （1） 求AC EG 的值；（2)求CF EG 的值；（3)求FCAF的值.3.如图，已知在△ABC 中，DE//BC ，AD=EC ，BD=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ， 求 DE 的长.【教学说明】 让学生自主完成，也可合作完成，在练习中加深理解.教师巡视指导，及时点拨.在完成上述题目后，教师引导学生完成创 优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1.解：△ADE ～△ABC ，△CEF ～△CAB, △ADE ～△EFC. 2.解：（1）∵EG//AC ，∴△DGE ～△DCA ，∴21==DA DE AC EG . （2）∵EG//AC ，E 是AD 的中点，∴G 是CD 的中点，即CG=DG.又D 是BC 的中点，∴BD=CD ，∴BG=3CG ，BC=4CG ，∴34BG BC = . ∵EG//FC, ∴△BEG ～△BFC,∴43==BC BG FC FG . （3）过D 点作DH//CF ，交BF 于H.易得DH=AF ，∴21==FC DH FC AF . 3.解：∵DE//BC ，∴ECAEDB AD =,又AD=CE ，∴AD 2=4，∴AD=2，∴AB=3.由DE//BC 可知△ADE ～△ABC ，∴）（cm 310352=⨯==BC DE AB AD . 四、师生互动，课堂小结 1.这节课你学到了哪些知识？ 2.你还有哪些疑惑？【教学说明】师生以交谈方式回顾本节知识，重点应关注哪些内容，还有什么地方不太明白，及时解疑.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.本课时教学思路应从探究、猜想、验证归纳出发，遵循学生的理解认知能力，由浅入深、逐步推进，激发学生自主探究的学习热情，培养学生的自主学习能力.。
初中数学 九年级下册 27-2-1 相似三角形的判定(第一课时)(教学课件)
课堂练习 （由平行截线判断成比例线段的长成比例）
变式1-3 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=1，BD=3，那么由下列条件能够
判断DE∥BC的是（
）
A． =
B． =
C． =
【详解】
1
如图，∵AD=1，BD=3，∴ = 4，
1
3）运用平行线分线段成比例定理进行三角形相似证明及计算。
重点
掌握平行线分线段成比例定理和推论。
难点
运用平行线分线段成比例定理进行三角形相似证明及计算。
01
相似三角形
根据相似多边形的概念，你能说出相似三角形的定义吗？
定义：在△ABC和△A′B′C′中，
AB
A′B′
若∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′且
解：∵ EF∥BC∴
∴
8
8
=
5
=
=
而AB=12，AE=6，AF=6
6
12
=
F
解得AF=5
∵ EF∥BC ∴
∴
E
而AE=BE=8，FC=5
6
解得AC=12，FC= AC – AF =6
B
C
课堂练习 （考查平行线分线段定理推论）
变式2-1 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB和AC上的点，且DE//BC。若AE=1，
DB=2，则DE：BC的值为（
）
A．
��
B．
C．
【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
人教初中数学九年级下册《27-2-1 相似三角形的判定(第一课时)》(教学设计)
人教初中数学九年级下册《27-2-1 相似三角形的判定（第一课时）》（教学设计）一. 教材分析《27-2-1 相似三角形的判定（第一课时）》是人教初中数学九年级下册的教学内容。
本节课的主要任务是让学生掌握相似三角形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
教材通过引入生活中的实例，激发学生的学习兴趣，引导学生探究相似三角形的判定方法，从而提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似形的概念和性质，具备了一定的几何知识基础。
但是，对于相似三角形的判定方法，学生可能还没有完全理解和掌握。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握相似三角形的判定方法，能够正确判定两个三角形是否相似。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和探究精神。
四. 教学重难点1.教学重点：相似三角形的判定方法。
2.教学难点：如何引导学生理解并掌握相似三角形的判定方法，以及如何运用这些方法解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入生活中的实例，激发学生的学习兴趣，引导学生探究相似三角形的判定方法。
2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生进行思考和讨论，从而促进学生对知识的理解和掌握。
3.合作学习法：学生分组进行讨论和实践，培养学生的团队合作意识和交流能力。
六. 教学准备1.教学素材：准备与相似三角形相关的图片、实例等教学素材。
2.教学工具：准备黑板、粉笔、多媒体设备等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）–教师通过展示一些生活中的实例，如相似的图形、建筑物的比例等，引导学生观察和思考相似形的应用。
–提问：你们知道什么是相似三角形吗？相似三角形有什么性质和判定方法呢？2.呈现（10分钟）–教师通过多媒体展示相似三角形的定义和性质，引导学生理解和掌握相似三角形的概念。
湖南省宁乡县三仙坳初级中学九年级数学下册《27.2.3
湖南省宁乡县三仙坳初级中学九年级数学下册《27.2.3 相似三角形的周长与面积（第一课时）》教案 新人教版第一课时 教学目标： (一)知识与技能1、理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。
2、探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想。
(二)过程与方法经历探索相似三角形性质“相似三角形周长的比等于相似比” 、“面积比等于相似比的平方”的过程。
(三)情感态度与价值观在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体验解决实际问题策略的多样性。
教学重点：理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。
教学难点：探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。
教学过程： 新课引入：1．回顾相似三角形的概念及判定方法。
2．复习相似多边形的定义及相似多边形对应边、对应角的性质。
提出问题：如果两个三角形相似，它们的周长之间什么关系？两个相似多边形呢？（学生小组讨论）∆ABC ∽∆A 1B 1C 1，相似比为k ⇒111111AB BC CAk A B B C C A === ⇒AB=kA 1B 1,BC=kB 1C 1,CA=kC 1A 1 ⇒111111111111111111AB BC CA kA B kB C kC A k A B B C C A A B B C C A ++++==++++进而得到结论：相似三角形周长的比等于相似比 延伸问题：探究：（1） 如图27．2-11（1），∆ABC ∽∆A 1B 1C 1，相似比为k 1 ，它们的面积比是多少？ABCDABDA 1BC 11（1） （2）图27．2-11分析：如图27．2-11（1），分别作出∆ABC 和∆A 1B 1C 1的高AD 和A 1D 1。
∠ADB=∠A 1D 1B 1=900又∠B=∠B 1⇒∆ABD ∽∆A 1B 1D 1⇒11111AD ABk A D A B == ⇒111ABCA B C S S =V V 111111*********1221122BC AD K B C K A D B C A D B C A D =g g g g g g =k 12进而得到结论：相似三角形面积比等于相似比的平方（2）如图27．2-11（2），四边形ABCD 相似于四边形A 1B 1C 1D 1，相似比为k 2，它们的面积比是多少？分析：111ABC A B C S S =V V 111ACDA C D S S =V V k 22⇒1111ABCD A B C D S S =四边形四边形111111ABC ACDA B C A C D ++S S S S =V V V V k 22⇒相似多边形面积比等于相似比的平方应用新知：例6：如图27．2-12，在∆ABC 和∆DEF 中， AB=2DE ，AC=2DF ，∠A=∠D ，∆ABC 的周长是 24，面积是48，求 ∆DEF 的周长和面积。
人教版数学九年级下册教案：27.2.1 相似三角形的判定 第一课时
27.2.1 相似三角形的判定 第一课时一、教学目标 1.核心素养通过相似三角形的判定的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力.2.学习目标掌握平行线分线段成比例定理和推论、相似三角形判定的预备定理；并且会进行简单应用.3.学习重点平行线分线段成比例定理和推论的应用，相似三角形判定的预备定理及其应用.4.学习难点平行线分线段成比例定理及推论、相似三角形判定的预备定理的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式.二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务任务1. 阅读教材P29-30，思考：什么是平行线分线段成比例定理？如何得到此定理？任务2. 阅读教材P30，思考：什么是平行线分线段成比例定理的推论？此定理是如何得来的？任务3. 阅读教材P30-31，思考：相似三角形判定的预备定理是什么？怎么证明呢？2.预习自测1.在△ 与C B A '''∆中，如果 ∠∠A '，∠∠B '，∠∠C '，且k AC CA C B BC B A AB =''=''=''，那么△与C B A '''∆，记作 ，其中k 就是两个相似三角形的 ； 如果 k = 1，那么这两个三角形.【知识点：相似三角形定义，相似比，三角形全等】 2.已知△∽△，若∠70°，∠60°，则∠度. 【知识点：相似三角形性质】3.如图，，且6，12，10，则.【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】（二）课堂设计1.知识回顾1.相似多边形的概念：两个边数相同的多边形，如果它们所有的角分别相等、所有的边成比例，那么这两个多边形相似.2.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.3.成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a ：：d ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段. 2.问题探究问题探究一 什么是相似三角形？●活动1 阅读教材，联想相似多边形，得出相似三角形的概念回顾与思考：回忆什么是相似多边形？想一想什么是相似三角形？相似比为1的两个三角形有怎样的关系？归纳 如图，在△和△A′B′C′中，如果∠∠A′，∠∠B′，∠∠C′，==,AB BC AC k A B B C A C =''''''即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△与△A′B′C′相似，相似比为k.相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. △与△A′B′C′相似记作 “△∽△A′B′C′”.相似比为1的两个三角形全等.说明：(1)判定两个三角形相似的必备条件：三个角分别相等，三条边成比例； （2）相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形.(3)对应性：表示两三角形相似时，要注意对应性，即要把对应顶点写在对应位置上.(4)顺序性：求两相似三角形的相似比，要注意顺序性.若当△∽△A′B′C′时，==,AB BC AC k A B B C A C =''''''则△A′B′C′∽△时，1==.A B B C A C AB BC AC k ''''''= （5）相似三角形具有传递性：即若△∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△∽△A″B″C″；●活动2 例题讲解，相似三角形定义的应用例 如图，△∽△，其中＝6，＝9， 指出对应边、对应角，并求出相似比. 解：对应边分别是：与，与，与.对应角分别是：∠A 与∠D ，∠B 与∠E ，∠C 与∠F. ∵∶＝6∶9＝2∶3，∴相似比为2∶3.点拨：用“∽”表示两个图形相似时，表示对应顶点的字母应该写在对应的位置上.问题探究二 什么是平行线分线段成比例定理？●活动1 探究定理 应用多媒体展示问题，让学生自主去探索.问题：如图，任意画两条直线m 、n ，再画三条与m 、n 都相交的平行线1l 、 2l 、3l ，分别度量1l 、 2l 、3l 在m 上截得的两条线段，和在n 上截得的两条线段，的长度，AB DEBC EF与相等吗？任意平移3l ，AB DE BC EF与 还相等吗？ 探究：如图，小方格的边长都是1，直线 1l ∥2l ∥3l ，分别交直线m ，n 于 A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3 . 问题1：计算12122323,A AB B A A B B ，你有什么发现？ 问题2：将2l 向下平移到如图的位置，直线m ，n 与2l 的交点分别为2A ，2B ，问题1中的结论还成立吗？计算试一试.问题3：还可以得到那些对应线段的比值相等？ 学生讨论，通过计算12122323,A AB B A A B B 可以发现：将2l 平移到其他位置，上述结果一样.还可得到下面的比例式： 于是有，平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 可简记为：===.上上上上下下，，下下全全全全说明：(1)一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；(2)所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关；(3)当上比下的值为1时，说明这组平行线间的距离相等. ●活动2 例题讲解，平行线分线段成比例性质的应用 例：如图，已知∥∥，交于点H ，下列结论中错误的是( )A.BH AHHC HD=B.AD BC DF CE =C.HC HD HE DF =D.AF BE DF CE = 详解：根据∥∥，结合平行线分线段成比例的基本事实可得解. ∵∥∥，故选项A ，B ，D 正确.∵∥，∴ ,HC HD HEHF=故选项C 错误.点拨：本题中利用平行线分线段成比例的基本事实的图形主要有“A”型和“X”型，从每种图形中找出比例线段即可判断.在题目中如遇到与直线平行相关的问题时，可从两个方面得到信息：一是位置角之间的关系(同位角相等、内错角相等、同旁内角互补)；二是线段之 间的关系，即平行线分线段成比例. ●活动3 应用练习1.已知两条直线被三条平行线所截，截得线段长度如图所示，则.【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】2.如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和D 、E 、F.已知，则的值为（ )A.23 B.32 C.52 D.53【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】 解：D问题探究三 平行线分线段成比例定理有怎样的推论呢？●活动1 利用多媒体演示，引导学生得出行线分线段成比例定理的推论. 把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况. 在图 (1)中，把4l 看成平行于△的边的直线；在图 (2)中，把3l 看成平行于△的边的直线，那么我们可以得到结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.数学表达式： 如图，∵∥，●活动2 例题讲解，平行线分线段成比例性质推论的应用例1.如图，在△中，E 、F 分别是和上的点，且 ∥， （1）如果 = 7，5， = 4，那么的长是多少？ （2）如果 = 10，6， = 5，那么的长是多少？【知识点：平行线分线段成比例定理推论；数学思想：数形结合】详解：(1)∵∥， ∴＝.∵＝7，＝5，＝4， ∴＝＝＝. (2)∵∥ ， ∴＝.∵＝10，＝6，＝5， ∴＝＝＝， ∴＝－＝－5＝.点拨：写比例式时，注意线段的对应关系.ABCEFABCDE F例2：如图，F 是平行四边形的边上一点，连接，并延长交的延长线于点E. 求证：.DE DFAE DC= 【知识点：平行线分线段成比例定理推论】解析： 先根据平行四边形的性质得出∥，∥，再根据平行线分线段成比例定理的推论得出对应边成比例即可得出结论. 证明：∵四边形是平行四边形， ∴∥，∥. ∴EBEFAE DE（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）. 同理可得.EF DFEB DC= 点拨：本题是证明等积式的典型题.要证明 a c bd=， 经常要把它转化为两个等式：.a e e c bffd==和我们通常把e f叫做中间比.而找中间比的常见的方法就是通过找到平行线，然后利用平行线分线段成比例定理和它的推论来构造比例式. ●活动3 应用练习1.如图，已知∥，与交于点O ，则下列比例式中不成立的是( )∶＝∶ ∶＝∶ ∶＝∶ ∶＝∶【知识点：平行线分线段成比例定理的推论】 解：B2.如图，已知∥∥，若＝6 ，＝9 ，＝7 .则＝. 【知识点：平行线分线段成比例定理定理的推论；数学思想：数形结合】 解：17.5问题探究四 相似三角形判定的预备定理是什么？ ●活动1 分组讨论，探究相似三角形判定的预备定理提出问题：在同学交流、评判的过程中，老师进一步阐述，平行于三角形一边的直线截其他两边（或其延长线）所得的三角形与原三角形相似吗？如图，在△中，∥，且分别交，于点D，E，△与△有什么关系？分析引导：直觉告诉我们，△与△相似，我们通过相似的定义证明它，即证明∠A＝∠A，∠＝∠B，∠＝∠C，＝＝.由前面的结论可得，＝.而中的不在△的边上，不能直接利用前面的结论.但从要证的＝可以看出，除外，，，都在△的边上，因此只需将平移到边上去，使得＝，再证明＝就可以了.只要过点E作∥，交于点F，就是平移所得的线段.师生活动：先证明两个三角形的角分别相等.如图，在△与△中，∠A＝∠A.∵∥，∴∠＝∠B，∠＝∠C.再证明两个三角形的边成比例.过点E作∥，交于点F.∵∥，∥，∴＝，＝.∵四边形是平行四边形，∴＝，∴＝，∴＝＝.这样，我们证明了△和△的角分别相等、边成比例，所以△∽△，追问：若点D、E分别在、的反向延长线上，△与△是否还相似呢？因此，我们有如下判定三角形相似的定理.相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的反向延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.(定理的证明由学生独立完成)定理的几何语言表述：∵∥，∴△∽△.●活动2 例题讲解，相似三角形判定的预备定理的应用例1：如图，D，E分别是△的边，上的点，∥，＝7，＝5，＝10，求的长. 【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】解：∵∥，∴△∽△，∴＝，∴＝＝＝14.点拨在根据相似三角形写比例式时，对应线段不要写错了.例2：如图，在△中，∥，∥.求证：△∽△.【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】解：∵∥，∴△∽△，又∵∥，∴△∽△，∴△∽△点拨：利用平行线得三角形相似，是判定三角形相似的常用方法.●活动3 应用练习1.如图，在平行四边形中，∥交于E，交于F，：＝3：4，＝3，则的长为( )A.4B.7C.3D.12【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】解：B2.在△中，＝6，＝9，点D在边所在的直线上，且＝2，过点D作∥交边所在直线于点E，则的长为.【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合、分类讨论】解：6或12问题探究五如何巧作平行线构造相似三角形解题？解题时，往往会遇到要求的线段比或要证的比例式找不到成比例的线段，与相似三角形联系不上，或者说图中没有平行线也根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是解决这类几何题的一种重要方法.而作平行线构造三角形相似是常用方法.活动1 合作探究，巧作平行线构造相似三角形解题技巧1：连接线段的中点构造相似三角形例1.如图，在△中，E，F是边上的两个三等分点，D是的中点，分别交，于点P，Q，求：：.【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】分析：题中无平行线，又无相似三角形，得不到成比例的线段，无法求出三条线段的比，需构造出平行线.由题意，D、F分别是、的中点，连接可得，由此平行得线段成比例可求.解：如图，连接，∵E，F是边的两个三等分点，∴＝＝.∵D是的中点，∴＝.∴是△的中位线.∴∥，且＝.∴∥.∴△∽△.∴＝.∵＝2，∴＝2.∴＝.∴＝2.∵∥，∴∠＝∠，∠＝∠.∴△∽△.∴＝.设＝a，则＝2a，＝3a.∴：＝：＝3：2.∴：：＝5：3：2.点拨：当题中已知有多条线段的中点时，可将中点与中点连接，构造三角形中位线，得到平行线.口诀是“中点连中点，构造中位线”.技巧2：过顶点作平行线构造相似三角形例2.如图，在△中，F为底边上一点，：＝3：2，取的中点D，连接并延长交于点E，求的值.【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】分析：要求，不能与已知条件：＝3：2联系起来，求不出.因此可作平行线，得到成比例线段，把它们联系起来，再求出.解：如图，过点C作∥交的延长线于点G.∵∥，∴∠＝∠G.又∵D为的中点，∴＝.又∵∠＝∠.∴△≌△.∴＝.∵：＝3：2，∴：＝5：2. ∵∥.∴△∽△. ∴＝＝＝.点拨：过顶点作平行线构造相似三角形，是常用之法.本题也可过顶点B 作的平行线与的延长线相交求；也可过顶点A 作的平行线与的延长线相交求. 技巧3：过分点作平行线构造相似三角形例3.如图，在△中，＝4，＝，求的值.【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】分析：要求，需作平行线，构造相似三角形，利用成比例线段求. 解：过D 点作∥，交于N ，如图.易知△∽△，△∽△.∵＝，∴＝. ∴＝＝.∵＝4，∴＝＝4. ∴＝·＝×4＝.点拨：点D 、M 、E 分别为线段、、的分点，过它们任一点作平行线都可求.活动2 应用练习1.如图，在△中，D 为边上一点，23 CD BD ，E 为中点，求FBAF的值.【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】 解：如图，过点D 作∥交于点P ，∴△∽△，.△∽△. ∵E 为中点，2， ∴，∴.2.如图，在△中，＞，在边上取一点D ，在上取一点E ，使＝，直线和的延长线交于点P.求证：＝.【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理】证明：如图，过点C作∥交于点F，∴△∽△.∴＝.∵∥，∴∠＝∠.∵＝，∴∠＝∠.∵∠＝∠，∴∠＝∠.∴＝.∴＝.3.课堂总结【知识梳理】(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.(2)平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得到的对应线段成比例.（3）相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.【重难点突破】（1）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.（2）平行线除了具备造成“三线八角”相等或互补的功能外，还可以分线段成比例，利用平行线得线段成比例的基本思路是：①善于从较复杂的几何图形中分离出基本图形：“型”或“型”，得到相应的比例式；②平行是前提条件，没有平行线可以添加辅助线，一般从分点或中点出发作平行线.（3）相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似.（4）解与线段成比例有关的问题时，往往会遇到求解的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加平行线构造相似三角形是解决这类问题的一种重要方法.4.随堂检测1.如图，△∽△，∠＝75°，∠A ＝60°，则∠C 等于( )A.45° B .60° C .75° D .80°【知识点：相似三角形；数学思想：数形结合】2.如图，直线1l ∥2l ∥3l ，若4，6，2，则的值为（ ）A.34B.3C.12D.31 【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】3.如图，直线1l ∥2l ∥3l ，直线分别交1l 、2l 、3l 于点A ，B ，C ，直线分别交1l 、2l 、3l 于点D ，E ，F ，与相交于点G ，且＝5，＝3，＝10，则DE EF的值为( ) A. 21 B.135 C. 53 D.54 【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】4.如图， △中D ，，，则下列比例式中正确的是（ ） A.AE BD EC AD = B.AE CF EC FB= C.BF AD BD FC = D.EC CF AE BF = 【知识点：平行线分线段成比例定理的推论】5.如图，在△中，∥，∶＝5∶3，＝12，则等于( )A.32B.24C.20D.16【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】（三）课后作业基础型 自主突破1.下列各组三角形一定相似的是（ ）.A.两个直角三角形B.两个都有一个内角等于130°的钝角三角形C.两个等腰三角形D.两个等边三角形【知识点：相似三角形】2.如图，△∽△，相似比为3∶7.若＝14，则的长是( )A.3B.6C.7D.8【知识点：相似比；数学思想：数形结合】3.已知，如图，∥∥，则下列结论不正确的是( )＝ ＝ ＝ ＝【知识点：平行线分线段成比例定理】4.如图，在四边形中，，，F 是上一点，连接.延长到H ，连接，分别交、于G 、E ，则图中相似三角形共有( )A.2对B.3对C.4对D.5对【知识点：相似三角形判定的预备定理】5.如图，已知：l 1∥l 2∥l 3，12，10，6，则 .【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】6.如图，，3，2，则B C CE. 【知识点：平行线分线段成比例定理的推论；数学思想：数形结合】能力型 师生共研7.已知在△中，点D ，E 分别在边，上，∥，＝，那么的值等于.【知识点：平行线分线段成比例定理的推论；数学思想：数形结合】8.如图，四边形是平行四边形，且：3：5，3，则的长为.【知识点：平行线分线段成比例定理的推论，平行四边形性质；数学思想：数形结合】9.如图所示l 1∥l 2∥l 3，且＝2，＝15 ，＝12 ，求，，的长.【知识点：平行线分线段成比例定理及推论；数学思想：数形结合】10.如图，在四边形中，，.延长到G ，连接，分别交对角线、边于点E ，F. 求证：EG EF ⋅=2EF .【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：转化思想】探究型 多维突破11.如图，已知△，延长到点D ，使＝.取的中点F ，连接交于点E.(1)求的值；(2)若＝6，＝，求的长.【知识点：平行线分线段成比例定理的推论；数学思想：数形结合】12.如图1，在□中，点E 是边上的中点，点F 是线段上一点，的延长线交于点G ，（1）若)0( m m EF AF =，求CD CG的值（用含m 的代数式表示）. （2）（拓展迁移）如图2，梯形中，∥，点E 是延长线上一点，和相交于点F ，若,(0,0)AB BC a b a b CD BE==>>，求EF AE 的值（用含,a b 的代数式表示）. 【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合、类比、转化思想】 自助餐1.如图，∥∥，则在图中下列关系式一定成立的是（ ）【知识点：平行线分线段成比例定理】2.如图，△中，∠∠，∥，则图中与△相似的三角形有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个【知识点：相似三角形判定的预备定理】3.如图，点E 是平行四边形的边上一点，：5：7，交于F ，则：等于( )A.5：17B.5：7C.5：12D.7：12【知识点：平行线分线段成比例定理的推论，平行四边形性质；数学思想：数形结合】4.如图，直线l 1∥l 2，：＝3：4，：＝3：2，则：为( )A.3：2B.4：3C.2：1D.15：8【知识点：平行线分线段成比例定理及推论；数学思想：数形结合】5.如图，正方形的边长为6，E 为中点，4，线段的两端点在、上滑动，当△与以D 、M 、N 为顶点的三角形相似时，长为（ ）. A.554 B.558 C.554或558 D.554或556 【知识点：相似三角形，正方形，勾股定理；数学思想：数形结合，分类讨论】6.如图，已知、、都与垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且＝4，＝10，那么的长是( ) A.38 B.310 C.720 D.514 【知识点：平行线分线段成比例定理的推论，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】7.如图，已知∥∥，∶4∶5，27，那么.【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】8.如图，分别交平行四边形的对角线、边于P 、N ，交的延长线于M ，若10，8，则的长为.【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】9.如图，在Δ中，D 为中点，E 为上一点，且ED AE 54=，的延长线交于F ，若8，则 .【知识点：平行线分线段成比例定理的推论，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】10.如图△∽△，∥，∠∠.（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；（3）若20，24，12.求、的长.【知识点：相似三角形；数学思想：数形结合】11.如图，在△中，＝30 ，＝24 ，菱形的顶点在△的边上，求的长.【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合，方程思想】12.如图，∥，，相交于点E ，过点E 作∥，交于点F ，则：(1)求证：EF CD AB 111=+； (2)请找出S △，S △和S △间的关系式，并给出证明.【知识点：相似三角形判定的预备定理，三角形面积；数学思想：数形结合】五.参考答案预习自测1.相似 ABC ∆∽C B A '''∆ 相似比 全等2.50°3.∵，∴EF DE BC AB =，∴10126DE =，∴5. 随堂检测1.C2.B3.D4.B 由FB CF DB AD EC AE == 5.A课后作业基础型12345.19.26.52能力型 7.52 8.4.89.∵l 1∥l 2∥l 3，∴＝＝＝2，∴＝＝6，∴＝18 ，∴＝，∴＝＝510.∵，，∴四边形是平行四边形.∴∥，∴＝，又∵∥，∴＝，∴＝1，∴2＝·探究型11.解：(1)如图，过点C 作∥，交于点M.∵点C 为的中点，∴点M 为的中点，＝＝.∵∥，∴△∽△.∴＝AF CM＝2. ∴＝2.∴＝＝＝.(2)∵＝6，∴＝＝3.又∵＝，∴＝3. ∴＝3＝9.12.(1)如图1，作∥交于点H ，则△∽△，∵，∴CD mEH =，∥∥，∴△∽△ ∴2CG BC EH BE ==，∴2，∴.22CD mEH m CG EH == (2)如图2，过点E 作∥交的延长线于点H ，则有∥∥.∵∥，∴△∽△. ∴b BEBC EH CD ==.∴＝. 又a CD AB =，∴＝＝. ∵∥，∴△∽△. ∴ab EHabEH EH AB EF AF ===. ∴1+=+=+=ab EF EF EF AF EF EF AF EF AE . 自助餐1234. D 由题意得43==FB AF BD AG ，∵25=CD BC ，∴815=CD AG ，∴815==CD AG EC AE . 5 由题意得53，5343=DM 或5346=DM ，∴558554或=DM . 6. C 由题意得25410===AB CD AE DE ，∴75=DA DE ，∴75==DA DE AB EF ，即754=EF ， 7. 12 由题意得：54==DF BD CE AC ，5427=-AC AC ， ∴12.8. 12 ∵∥，∴Δ∽Δ，∴DPBP PN AP =.∵∥， ∴Δ∽Δ，∴DP BP AP MP =，∴AP MP PN AP =，即APAP 188=，∴12. 9. 28 过点D 做∥交与点M ，∴94==AD AE AM AF ，∵D 为中点，∴. 图1 图2∴144=AB AF ，∴1448=AB ，∴28. 10.（1）;AD CA CA BC DC AB == (2)∠∠，∠∠，∠∠;（3）∵,DAAC CA BC DC AB ==又20，24，12 11.设菱形的边长为x ，由题意知∥，∥，∴CB CE AB EF =，BCBF AC DE =， ∴1==+=+=+BC BC BC BE CE BC BE CB CE AC DE AB EF ，∴13024=+x x ，解得x ＝340， ∴340. 12.（1）证明：∵∥，∴DBDF AB EF =. ∵∥，∴DB BF CD EF =. (2)关系式为：BED BDC ABD S S S ∆∆∆=+111.证明如下：分别过A 作⊥于M ，过E 作⊥于N ，过C 作⊥交的延长线于K ，由题设可得：EN CK AM 111=+. 即BED BDC ABD S S S ∆∆∆=+111.。
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湖南省宁乡县三仙坳初级中学九年级数学下册《27.2.1 相似三角形的判定（第一课时）》教案新人教版
第一课时
教学目标
(一)知识与技能
1、了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法“平行于三角形一边的直线和
其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”；
2、掌握“如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似”的判定定
理。
(二)过程与方法
培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
（三）情感态度与价值观
让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
教学重点：两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1
教学难点：探究判定引例﹑判定方法1的过程
教学过程
新课引入：
1．复习相似多边形的定义及相似多边形相似比的定义
相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义
2．回顾全等三角形的概念及判定方法（SSS）
相似三角形的概念及判定相似三角形的思路。
提出问题：
如图27·2-1，在∆ABC中，点D是边AB的中点，
DE∥BC，DE交AC于点E ，∆ADE与∆ABC有什么
关系？
分析：观察27·2-1易知AD=1
2
AB，AE=
1
2
AC，∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
A
B
D E
C
F
只需引导学生证得DE=12
BC 即可，学生不难想到过E 作 EF ∥AB 。
∆ADE ∽∆ABC ，相似比为12。
延伸问题：
改变点D 在AB 上的位置，先让学生猜想∆ADE 与∆ABC 仍相似，然后再用几何画板演示验证。
归纳：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
探究方法：
探究1
在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k 倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？
分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的对应角都相等，根据相似三角形的定义，这两个三角形相似。
（学生小组交流）
在学生小组交流的基础上引导学生思考证明探究所得结论的途径。
分析：作A 1D=AB ，过D 作DE ∥B 1C 1，交A 1C 1于点E ⇒
∆A 1DE ∽∆A 1B 1C 1。
用几何画板演示∆ABC 平移至∆A 1DE 的过程
⇒ A 1D=AB ，A 1E=AC ，DE=BC ⇒∆A 1DE ≌∆ABC
⇒ ∆ABC ∽∆A 1B 1C 1
归纳：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
A
B C A 1
B 1
C 1
D E
A B C A 1 B 1
C 1
符号语言：若
11AB A B =11BC B C =11
CA k C A = ，则∆ABC ∽∆A 1B 1C 1 运用提高：
1． P 47练习题1（2）。
2． P 47练习题2（2）。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
布置作业：
1． 必做题：P 55习题27·2题2（1），3（1）。
2． 选做题：P 55习题27·2题4，5。
3． 备选题：
如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延
长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形（ ）
A 、1对
B 、2对
C 、3对
D 、4对
设计思想：
本节课主要是探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，因此在教学设计中突出了“探究”的过程，先让学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究，然后教师再应用“几何画板”等计算机软件作动态探究，从而给学生以深刻的实验几何的数学学习体验。
此外，本课教学设计在引导学生知识重构的维度上重视应用“比较”⇒“类比”⇒“猜想”的教学法，促使学生尽可能进行“有意义”的而非“机械、孤立”的认知建构，并在这一建构过程中发展合情推理能力。
配套课时练习
1．△ABC与△DEF全等，则其相似比是
2．已知△ABC∽△DEF，写出其对应角及对应边关系是。
3．平行与三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，△ADE∽，∠ADE= ，DE/BC= ，若AE=3，
EC=2，则△ADE与△ABC的相似比为
5．如图，CD∥EF∥AB，AC，BD相交于点O，则图中与△OEF相似的三角形为。
6．已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则△ABC与△DEF相似比是；△DEF与△ABC 的相似比是
7．如图，△ABC∽△AEF，且相似比3：2，EF=8cm，则BC= cm
8．如图，△ABC中，DE∥BC，MN∥AB，则图中与△ABC相似的三角形有（）
A．1个 B．2个 C．3个D．4个
9．如图，AD⊥AC，BC⊥AC，AB与CD相交于点E，过E点作EF⊥AC，交AC于F，写出图中所有的相似三角形，并说明理由。
10．求作△DEF使他与已知△ABC相似且相似比3：2。
11．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，BC=3，AB=6，则AD的长为（）A．1 B．2 C．1．5 D．2．5
12．如图，在△ABC中，AB=3AD，DE∥BC，EF∥AB，若AB=9，DE=2，则线段FC的长度 .
13．如图，已知AE=BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G。
若点E、F 在边AB上，试判断EG+FH=AC是否成立，并说明理由。
参考答案：
1、1：1；
2、∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AB/DE=BC/EF=AC/DF
3、相似；
4、△ABC，∠B，AD/AB=AE/BC，3：5
5、△OCD，△OAB；
6、1：2，2：1；
7、12；
8、C
9、△ABC∽△AEF，△CDA∽△CEF，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；△BCE∽△ADE，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似
10、作图略；11、B；12、FC=14；
13、成立，
理由：因为FH∥EG∥AC，所以 BE/AB=EG/AC，BF/AB=FH/AC
所以BE/AB+ BF/AB = EG/AC + FH/AC
即：(BE+BF)/AB=(EG+FH)/AC
又因为AE=BE，所以BE=AF，所以(AF+BF)/AB=1 所以(EG+FH)/AC=1，即EG+FH=AC。