2020年高中数学新教材同步必修第一册 第1章 1.1 第1课时 集合的概念
2019-2020学年高中数学新教材必修一第1章 1.1.1 第1课时 集合的含义
2．已知集合 A 由 x<1 的数构成，则有( )
A．3∈A
B．1∈A
C．0∈A
D．－1∉A
C [∵0<1，∴0 是集合 A 中的元素，故 0∈A.]
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3．下列各组对象不能构成一个集合的是( ) A．不超过 20 的非负实数 B．方程 x2－9＝0 在实数范围内的解 C. 3的近似值的全体 D．某校身高超过 170 厘米的同学的全体
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2．元素与集合的关系 (1)属于：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a属于A ，记作_a_∈__A____. (2)不属于：如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a不属于A ，记 作 a∉A . 3．空集 我们把不含任何元素的集合称为空集，记作 ∅ .
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4．常见的数集及表示符号
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【例 3】 已知集合 A 含有两个元素 1 和 a2，若 a∈A，求实数 a 的值．
[思路点拨] A中含有两个元素：1和a2 ―a―∈―A→ a＝1或a2＝a ―求―a的―值→ 检验集合中元素的互异性
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[解] 由题意可知，a＝1 或 a2＝a， (1)若 a＝1，则 a2＝1，这与 a2≠1 相矛盾，故 a≠1. (2)若 a2＝a，则 a＝0 或 a＝1(舍去)，又当 a＝0 时，A 中含有元 素 1 和 0，满足集合中元素的互异性，符合题意． 综上可知，实数 a 的值为 0.
(2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合． (3)不正确，方程的解只有 1 和－2，集合中有 2 个元素．
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元素与集合的关系
【例 2】 (1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；② 2∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.
新教材人教版高中数学必修第一册 1.1 第1课时 集合的概念 教学课件
第五页，共二十六页。
一．元素与集合的相关概念
1.元素：一般地，把 研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母 a，b，c表…示．
2.集合：一些 元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母
A，表B示，C．…
3.集合相等：指构成两个集合的元素是 一样的． 4.集合中元素的特性： 确定、性 互异和性 无．序性
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题型三 集合中元素的特性 例 3 已知集合 A 含有两个元素 a 和 a2，若 1∈A，则实数 a 的值为________．
－1 解析：若 a＝1，则 a2＝1，此时集合 A 中两元素相同，与互异性矛盾，故 a≠1； 若 a2＝1，则 a＝－1 或 a＝1(舍去)，此时集合 A 中两元素为－1,1，故 a＝－1. 综上所述 a＝－1.
题型一 集合的概念
例 1 下列所给的对象能构成集合的是________． ①所有的正三角形；②比较接近 1 的数的全体；③某校高一年级所有 16 岁以下的学生； ④平面直角坐标系内到原点距离等于 1 的点的集合； ⑤所有参加 2018 年俄罗斯世界杯的年轻足球运动员； ⑥ 2的近似值的全体．
①③④ 解析：①能构成集合，其中的元素满足三条边相等；
a2＝|a|＝ a，a>0，
所以一定与 a 或－a 中的一个一致．故组成的集合中有
－a，a<0，
两个元素．故选 B．
第二十二页，共二十六页。
5．给出下列关系：①1∈Z；② 3
5∈R；③|－5|∉ N＋；
④|－ 3|∈Q；⑤π∈R. 2
其中，正确的个数为________．
2 解析：由 Z，R，Q，N＋的含义，可知②⑤正确，①③④不正确．故正 确的个数为 2.
高中数学新教材必修第一册第一章第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念(南开题库含详解)
高中数学新教材必修第一册第一章1.1 集合的概念（南开题库）一、选择题（共40小题；共200分）1. 集合的元素个数有A. 个B. 个C. 个D. 无数个2. 设集合，，那么" "是" "的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若，则的值为A. B. C. D. 或4. 设集合，，定义，则中元素的个数为A. B. C. D.5. 用列举法可以将集合表示为A.B.C.D.6. 下列说法正确的有①与表示同一个集合；②由，，组成的集合可表示为或；③方程的所有解的集合可表示为；④集合是有限集．A. 只有①和④B. 只有②和③C. 只有②D. 以上四种说法都不对7. 下面关于集合的表示正确的个数是①；②；③．A. B. C. D.8. 若集合，，则中元素的个数是A. B. C. D.9. 设集合，，则“且”成立的充要条件是A. B. C. D.10. 设集合，若（为自然对数底数），则A. B.C. D.11. 已知集合，则集合中元素的个数是A. B. C. D.12. 已知集合，，则中所含元素的个数为A. B. C. D.13. 设集合，，，则中的元素个数为A. B. C. D.14. 已知集合，则中元素的个数为A. B. C. D.15. 下列集合中，是空集的是A.B.C.D.16. 设集合，，若，则A. B. C. D.17. 设集合，集合，则集合中元素的个数是A. B. C. D.18. 若正方体的棱长为，则集合中个元素的个数为A. B. C. D.19. 若集合，则集合中的元素个数是A. B. C. D.20. 若集合，则实数的取值集合是A. B.C. D.21. 已知集合，，则中所含元素的个数为A. B. C. D.22. 设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是A. B. C. D.23. 若集合满足对任意的，有，则称集合为“闭集”，下列集合中不是“闭集”的是A. 自然数集B. 整数集C. 有理数集D. 实数集24. 已知集合，，则中所含元素的个数为A. B. C. D.25. 若集合，则实数的值的集合是A. B.C. D.26. 已知集合，集合中至少有个元素，则A. B. C. D.27. 已知，则集合的子集的个数是A. B. C. D.28. 已知集合，集合，则集合中元素的个数为A. B. C. D.29. 设是实数集的非空子集，如果，，，则称是一个“和谐集”．下面命题中假命题是A. 存在有限集，是一个“和谐集”B. 对任意无理数，集合都是“和谐集”C. 若，且均是“和谐集”，则D. 对任意两个“和谐集”，，若，，则30. 已知集合，，，则A. 或B. 或C. 或D. 或31. 函数的定义域为，图象如图1所示，函数的定义域为，图象如图2所示，若集合，，则中元素的个数为A. B. C. D.32. 已知集合，，定义集合，则中元素的个数为A. B. C. D.33. 已知集合，，定义集合，则中元素的个数为A. B. C. D.34. 设集合，则A. 对任意实数，B. 对任意实数，C. 当且仅当时，D. 当且仅当时，35. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，，，，，给出如下四个结论：①；②；③若整数，属于同一“类”，则；④若，则整数，属于同一“类”．其中，正确结论的个数是A. B. C. D.36. 用表示非空集合中元素的个数，定义若，，且，设实数的所有可能取值构成集合，则A. B. C. D.37. 已知集合，，，且，，．设，则A. B. C. D. 以上都不对38. 设是实数集的非空子集，如果，有，，则称是一个“和谐集”．下面命题为假命题的是A. 存在有限集，是一个“和谐集”B. 对任意无理数，集合都是“和谐集”C. 若，且，均是“和谐集”，则D. 对任意两个“和谐集”，，若，，则39. 设是整数集的非空子集，如果对任意的，，有，则称关于数的乘法是封闭的．若，是的两个不相交的非空子集，，且对任意的，，，有，对任意的，，有，则下列结论恒成立的是A. ，中至少有一个关于数的乘法是封闭的B. ，中至多有一个关于数的乘法是封闭的C. ，中有且只有一个关于数的乘法是封闭的D. ，关于数的乘法都是封闭的40. 若集合且，且，用表示集合中元素个数，则A. B. C. D.二、填空题（共40小题；共200分）41. 集合，当时，若，则称为的一个“孤立元素”，则中孤立元素的个数为．42. 设集合，则．43. 集合中的最小整数为．44. 元素与集合的概念（1）把统称为元素，通常用表示．（2）把叫做集合（简称为集），通常用表示．45. 定义集合运算，设集合，，则集合．46. 集合的元素个数有个．47. 含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则．48. 已知关于的不等式的解集为，，则实数的取值范围是．49. 已知，，则．50. 下列各组对象不能形成集合的是．（填序号）①大于的所有整数；②高中数学的所有难题；③被除余的所有整数；④函数图象上所有的点．51. 已知，若集合中恰有个元素，则的取值范围为．52. 已知集合，若，则实数的值为 .53. 已知集合，若中元素至多有个，则的取值范围是．54. 集合与集合的元素个数相同，则的取值集合为．55. 已知集合，若，则的值为．56. 设，，，则集合中元素的个数为个．57. 将，，，，这个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有和，第二张卡片上写有，第三张卡片上写有，则应该写在第张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是．58. 已知集合，则集合中元素的个数是．59. 已知集合，且，那么实数的取值范围是．60. 从集合中随机取一个点，若的概率为，则的最大值是．61. 已知是集合的非空子集，且当时，有，记满足条件的集合的个数为，则，．62. 若集合中只有一个元素，则．63. 已知集合，若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是．64. 设集合，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个．65. 已知集合，若存在，使得集合中所有整数的元素的和为，则的取值范围是．66. 若集合，且下列四个关系中有且只有一个是正确的：①；②；③；④．则符合条件的有序数组的个数是．67. 已知集合，存在，使得集合中所有为整数的元素和为，则的取值范围是．68. 已知集合，若对于任意，都存在，使得成立，则称集合是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①；②；③；④．其中是“垂直对点集”的序号是．69. 已知集合，集合，定义集合，之间的运算“”：，则集合中最大的元素是，集合所有子集的个数为．70. 已知集合，若表示集合中元素的个数，则．71. 以下关于命题的说法正确的有（填写所有正确命题的序号）．①“若，则函数（，且）在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若，则”的否命题是“若，则”；③命题“若，都是偶数，则也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若，则”与命题“若，则”等价．72. 若集合，则实数的取值范围是．73. 设，，均为非零实数，则的所有值为元素组成的集合是．74. 对于任意实数，表示不超过的最大整数，如，．定义在上的函数，若，则中所有元素之和为．75. 设全集，，，，则集合，．76. 设表示不超过的最大整数，集合中的元素个数为个．77. 若自然数使得加法运算均不产生进位现象，则称为"给力数"，例如：是"给力数"，因为不产生进位现象；不是"给力数"，因产生进位现象．设小于的所有"给力数"的各个数位上的数字组成集合，则集合中的数字和为．78. 已知数集（）具有性质对任意，其中，均有，若，则．79. 在边长为的正方形中，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．若为的最小值，其中，，则．80. 已知集合，对于元素和，有，（填“”或“”） .三、解答题（共20小题；共260分）81. 已知集合．（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围．82. 若数集具有以下性质：对任意的，，与两数中至少有一个属于，则称数集具有性质．分别判断数集与是否具有性质，并说明理由．83. 已知集合中至多有一个元素，求实数的取值范围．84. 已知，若，求实数的值．85. 已知集合，试用列举法表示集合．86. （1）已知，非空集合．若是的必要条件，求的取值范围．（2）本例条件不变，问是否存在实数，使是的充要条件．（3）本例条件不变，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．87. 已知集合各元素之和等于，求实数的值．88. 集合中的元素为正整数，且满足“若，则”．（1）试写出只有一个元素的集合；（2）试写出全部的有两个元素的集合；（3）满足上述条件的集合总共有多少个?89. 数集满足条件：若，则．（1）若，试求中必须含有的其它所有元素；（2）自己设计一个数属于，然后求出中必须含有的其它所有元素；（3）从上面的解答过程中你能悟出什么道理，并大胆证明你发现的"道理"．90. 设数集满足条件：①；②且；③若，则．（1）若，则中至少有几个元素?（2）证明：中不可能只有一个元素．91. 已知集合，其中，由的元素构成两个相应的集合：，，其中是有序数对．若对于任意的，总有，则称集合具有性质．检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和．92. （1）设集合，，，求集合中的元素个数；（2）设，集合，求的值．93. 已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围．94. 已知数集满足条件：，若，则．（1）若，则集合中还有哪些元素?（2）请你任意设集合中的一个元素（实数），再探讨该集合中其他元素；（3）从上面两题的解答过程中，你领悟到什么结论?并加以证明．95. 已知集合，，用列举法表示集合．96. 用适当的方法表示下列集合：（1）的正约数组成的集合；（2）大于且小于的实数组成的集合；（3）图中阴影部分的点（不包括边界）组成的集合．97. 已知集合．在下列条件下分别求实数的取值范围：（1）；（2）恰有两个子集；（3）．98. 已知数集且有性质：对任意的，，与两数中至少有一个属于．（1）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（2）证明：，且；（3）当时，证明：，，，，成等差数列．99. 已知集合．对于，，定义；；与之间的距离为．（1）当时，设，，求；（2）证明：若，，，且，使，则；（3）记．若，，且，求的最大值．100. 已知集合，其中，，称为的第个坐标分量，若，且满足如下两条性质：中元素个数不少于个；，，，存在，使得，，的第个坐标分量是；则称为的一个好子集．（1）为的一个好子集，且，，写出，；（2）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过；（3）若为的一个好子集，且中恰有个元素，求证：一定存在唯一一个，使得中所有元素的第个坐标分量都是．答案第一部分1. B2. B3. C 【解析】提示：由两个集合相等可知，或，当时，无意义，所以．4. D5. C【解析】集合中的元素是点，故A，B不对．又，分别可以取或，故选C．6. C 【解析】①错；表示元素不是集合；②对；考查集合中元素的无序性；③错；考查集合中元素的互异性；④错；为无限集．7. B 【解析】因为集合的元素具有无序性，•故①不正确；中的元素为，表示直线上的点组成的集合，中的元素是，表示函数的值域，故②不正确；和均表示大于的数组成的集合，故③正确．所以正确的说法只有③．8. B 【解析】由已知，得．由，得的取值只可能是和，从而，所以中含有个元素．9. D10. C11. C 【解析】集合的元素来源于集合，且是集合中两元素的差值，因为集合中不同任意两元素的差分别是，，，，当两元素相同时，差为，所以集合．12. B13. B 【解析】因为集合中的元素，，，所以当，时，．当，时，．由集合元素的互异性，可知．即，共有个元素．14. A15. D【解析】因为方程的判别式，所以方程无实根，故D选项为空集，A选项中只有一个元素，B选项中有无数个元素，即抛物线上的点，C选项中只有一个元素．16. C 【解析】已知，所以，则，所以，所以，，所以．17. C 【解析】当时，；当时，．所以集合B中的元素个数是．18. A 【解析】因为正方体的棱长为，，，，所以所以集合中元素的个数为．19. A20. D【解析】时，满足条件；时，由题意知且，得，所以．21. D22. B 【解析】当时，；当时，；当时，．由集合中元素的互异性知中有，，，，，，，共个元素．23. A 【解析】取自然数集中两个值，，而．24. D25. D【解析】当时符合题意；当时，相应一元二次方程中的，得．综上得．26. C27. B28. B29. D 【解析】A显然正确；B，对任意无理数，取，，，则，，所以是“和谐集”，正确；C，任意“和谐集”中一定含有，所以，正确；D，取，，但既不属于也不属于，所以，D为假命题．30. B31. C32. C 【解析】当时，，而，此时，，则中元素的个数为．当时，，而，此时，．由于，时，中的元素与前面重复，故此时与前面不重复的元素个数为，则中元素的个数为．33. C 【解析】或或，共个点；，共个点．由，知；同理由，知．当或时，可取；当时，可取．故中共有元素个．34. D35. C【解析】由于，对于①，除以等于余，所以，所以①对；对于②，，被除余，所以②错；对于③，因为，是同一类，可设，，则能被整除，所以，所以③正确；对于④，若，则可设，，即，，不妨令，，，，，，，则，，，所以，属于同一类，所以④正确．故正确的有①③④．36. B 【解析】由，则或，，当时，符合题意；当，，符合题意．综上，．37. B 【解析】要判断与集合之间的关系，只要看能否写成，，，，，的形式即可．，，分别是，，中的元素，分别可以写成，，，，，的形式，对它们进行运算即可．设，，，，，，则由于，所以．38. D 【解析】方法一：显然集合｛｝是和谐集，选项A为真命题；对任意无理数，，，，，所以集合都是“和谐集”，选项B为真命题；若，且，均是“和谐集”，显然，，则，选项C为真命题．故选D．方法二：显然，均是“和谐集”，且，，而，选项D是假命题，故选D．39. A 【解析】由于，则整数一定在，两个集合中的一个中．不妨设，则，由于，，，则，即，从而对乘法封闭；另一方面，当非负整数，负整数时，关于乘法封闭，关于乘法不封闭，故D不对；当奇数，偶数时，，显然关于乘法都是封闭的，故B和C不对．40. A【解析】对于集合，当时，、、可取、、、，故个数为；当时，、、可取、、，故个数为；当时，、、可取、，故个数为；当时，、、可取，故个数为；所以集合中元素的个数为．对于集合，当时，可取、、、；当时，可取、、；当时，可取、；当时，可取；故、组共可取个，同理，、组也可取个，所以集合中元素的个数为．因此，．第二部分41.【解析】当时，；当时，；当时，；当时，；综上可知，中只有一个孤立元素．42. 143.44. （1）研究对象小写拉丁字母 .（2）一些元素组成的总体大写拉丁字母45.【解析】当，时，；当，时，；当，时，；当，时，．所以．46.【解析】容易解得，于是集合中的元素个数为个．47.48. 由于，即不满足集合，则或，得．49.50. ②【解析】①③④中的对象是确定的，能够形成集合；②中的对象不确定，故不能形成集合的是②．51.【解析】因为中恰有个元素，所以，故的取值范围为．52. 或53. 或54.【解析】由于集合中只有等式这一个元素，所以集合中也只有一个元素．当时，；当时，，．55.【解析】因为，所以或．当，即时，，此时集合中有重复元素，所以不符合题意，舍去；当时，解得或（舍去），此时符合题意．所以．56.57. 二，【解析】显然不在第一张卡片上，也不在第三张卡片上，所以只能在第二张卡片上；因为第一张卡片上已经写有和，所以不在第一张卡片上，又第二张卡片上写有，所以也不在第二张卡片上，故在第三张卡片上；，不在第三张卡片上，不在第二张卡片上，所以在第一张卡片上，在第二张卡片上；在第三张卡片上．58.【解析】当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，．根据集合中元素的互异性知，中元素有，，，，，共个．59.【解析】因为，所以不满足集合中的不等式，所以，故．60.【解析】从集合中随机取一个点，共有种情况，即，；，；，，的概率为，即的情况有种，即，，，，，，则的最大值是．61. ，【解析】将，，，分为组，和，和，，和，为一组，每组中的两个数中必须同时属于或同时不属于一个满足条件的集合，每组属于或不属于，有两种情况，的可能性有，排除一个空集，的个数为，故，．62. 或【解析】若，则，符合题意；若，则由题意得，解得．综上，的值为或．63. 或【解析】由题意知或解得或．64.【解析】符合题意的集合是：，，，，，，共个．65.【解析】不等式可化为，当时，集合，此时集合中所有整数的元素的和不可能为，不符合题意；当时，集合，此时集合中所有整数的元素的和为，不符合题意；当时，集合，要使集合中所有整数的元素的和为，则．66.【解析】由于题意是只有一个是正确的，所以①不成立，否则②成立，即可得．若，则或；若，则；若，则或或．所以共有个．67.【解析】不等式可化为．当时，集合，此时集合中所有为整数的元素和不可能为，不符合题意；当时，集合，此时集合中所有整数的元素和为，不符合题意；当时，集合，要使集合中所有为整数的元素和为，则．68. ③④【解析】由题意可得集合是“垂直对点集”等价于对于过曲线上任意一点与原点的直线，都存在过曲线上另一点与原点的直线与之垂直．①，假设集合是“垂直对点集”，则存在两点，，满足，化为，无解，因此假设不成立，即集合不是“垂直对点集”；②，取，则不存在，满足，因此集合不是“垂直对点集”；③，结合图象可知，集合是“垂直对点集”；④，结合图象可知，集合是“垂直对点集”．综上可得，只有③④是“垂直对点集”．69. ，70.【解析】因为，，，，，因为，，，，成首项为、公差为的等差数列，所以易知该等差数列的项数为．所以．71. ②④【解析】对于①，若，则，所以函数在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若是偶数，则，都是偶数”，是假命题，如是偶数，但和均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出命题“若，则”与命题“若，则”互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④．72.【解析】因为，所以，所以或解得．73.【解析】，，均为正数时，；，，均为负数时，；，，两正一负或两负一正时，．74.75.【解析】，由知，所以，即．所以，，故，所以，．76.【解析】设．当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．所以在时，，由上知可以取，若，则只取个值，故集合中共有个不同元素．77.【解析】"给力数"的个位取值有，，三种情况，"给力数"的其他数位取值有，，，四种情况，所以，故集合中的数字和为．78.【解析】当有，即，又因为，所以，故，由已知，又，，所以，即．又，且，故或，若，则，与已知矛盾，所以，即．同理可得出，故，故，．79.【解析】正方形如图所示，由题可知，，，；，，；因此，，，；再结合，当，时，如上图，，可算得为的最大值，则相应的，时，最大，且此时与夹角为，所以．80. ，【解析】因为，所以与均为整数，且．令，即，所以解得即二元方程有解，所以 .对于，即，令无整数解；再令亦无整数解．因此，．第三部分81. （1）因为中有两个元素，所以关于的方程有两个不等的实数根，所以，且，即所求的范围是且．（2）当时，方程为，所以集合；当时，若关于的方程有两个不相等的实数根，则也只有一个元素，此时；若关于的方程没有实数根，则没有元素，此时，综合知此时所求的范围是或．82. 由于与均不属于集数，所以该数集不具有性质．由于，，，，，，，，，均属于数集，所以该数集具有性质．83. 或．84. ．85. ．86. （1）由，得，所以，由是的必要条件，知．则所以，所以当时，是的必要条件，即所求的取值范围是．（2）若是的充要条件，则，所以方程组无解，即不存在实数，使是的充要条件．（3）由例题知，因为是的必要不充分条件，所以且．所以．所以或所以，即的取值范围是．87. 或．忽略集合的互异性，由直接得到，所以．漏解，此时．88. （1），即，则．（2），．（3）共有个，分别为，，，，，，．89. （1），则，即．则，即；则，即；所以中必须含有的其它所有元素为．（2）答案不唯一，如：若，则中必须含有的其它所有元素为．（3）分析以上结果可以得出，中只要含有元素，就至少含有个元素，分别是，且三个数的乘积为．证明如下：若，则有，且，所以又有，且，进而有．又因为（因为，则，而方程无解），同理，所以中至少含有个元素，它们分别是，且三个数的乘积是．90. （1）若，则，所以．所以．所以中至少有，，三个元素．（2）假设中只有一个元素，设这个元素为，由已知，则，即，此方程无解．这与中有一个元素矛盾，所以中不可能只有一个元素．91. 集合不具有性质．集合具有性质，其相应的集合，．92. （1）因为集合中的元素，，，所以当时，，此时；当时，，此时．根据集合中元素的互异性可知，．即，共有个元素．（2）因为，，所以，得，所以，，所以．93. （1）当时，，则．（2）由知解得，即实数的取值范围为．（3）当，即时，满足；当，即时，要满足，需有或，解得或，所以．综上，实数的取值范围是．94. （1）由已知，得，即，，即，，即，所以，．所以集合中还有，．（2）不妨设，则，即，，即，，即，所以，．（3）由（ 1）（ 2）猜测中仅有三个元素，即，，．下面证明这三个数在集合中且互不相等．先证存在．因为，所以存在且不等于，所以．由，可知．而，即时，有意义．再证互不相等．若，则，又，故无实数解，即，同理，．综上所述，集合中必有这三个互不相等的元素，而，因此中有且仅有这三个元素．95. 因为，，，，，，，所以．96. （1）的正约数有，，，，是个有限集，因此采用列举法表示为．（2）采用描述法表示为．（3）采用描述法表示为且．97. （1）若，则关于的方程没有实数解，则解得；（2）若恰有两个子集，则为单元素集，则关于的方程恰有一个实数解．①当时，，满足题意；②当时，解得．综上，的取值集合为．（3）若，则关于的方程在区间内有解．因为所以．98. （1）因为与均不属于集合，所以数集不具有性质．因为，，，，，，，，，均属于集合，所以数集是具有性质．（2）因为对任意的，与两数中至少有一个属于，所以与中至少有一个是数列中的项，因为数列是递增有限数列，且，所以，故．从而．所以，因为，所以，故．所以．又因为，所以，所以，，，，，即．所以．（3）由知，当时，有，，即，因为，所以，所以，所以．由，得，且，所以，即，所以，，，，是首项为，公差为的等差数列．99. （1）当时，由，得所以．（2）设，，．由，使，即得所以，使得，其中．由此与同为非负数或同为负数．从而（3）首先证明如下引理：设，则有．证明如下：因为，，所以即成立．结合上述引理，得上式等号成立的条件为，或，所以．对于，，有，且综上，的最大值为．100. （1）；（2）对于，考虑元素，显然，，，，对于任意的，，，不可能都为，可得，不可能都在好子集中，又因为取定，则一定存在且唯一，而且，且由的定义知道，，，，这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素个数为，所以中元素个数不超过．（3），定义元素，的乘积为：，显然 .我们证明：“对任意的，，都有.”假设存在，使得，则由知，此时，对于任意的，不可能同时为，矛盾，所以．因为中只有个元素，我们记为中所有元素的乘积，根据上面的结论，我们知道，显然这个元素的坐标分量不能都为，不妨设，根据的定义，可以知道中所有元素的坐标分量都为．下面再证明的唯一性：若还有，即中所有元素的坐标分量都为，所以此时集合中元素个数至多为个，矛盾.所以结论成立．。
2020年高中数学新教材同步必修第一册 第1章 1.1 第2课时 集合的表示
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.
解 坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0， 故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}.
反思
感悟 利用描述法表示集合应关注五点 (1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}. (2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表 达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}. (3)不能出现未被说明的字母. (4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不 写.例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也 可写成{x|x2－2x＋1＝0}.
三、集合表示法的综合应用
例3 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合.
解 (1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意； (2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素， 则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意. 综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}.
跟踪训练1 用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
解 因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}. (2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B； 解 方程x2－9＝0的实数根为－3,3，所以B＝{－3,3}.
(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合D. 解 由yy＝＝－x＋22x＋，5， 得yx＝＝31，， 所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的交点为(1,3)，所以D＝{(1,3)}.
人教版高中数学必修第一册第一章1.1集合的概念课时1集合的概念【课件】
知识要点及教学要求
4. 能使用Venn图表达集合的基本关系并进行集合的基本运算，
体会数形结合的数学思想．
5. 通过对典型数学命题的梳理，帮助学生理解必要条件、充分条
件、充要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系、判定定
理与充分条件的关系、数学定义与充要条件的关系．
(3) 所有等边三角形；
(4) 方程 = 的实数解；
(5) 不等式x＋2>0的所有实数解．
思路点拨：判断一组对象能否构成集合，关键是看这组对象是否确定．
【解】“高一（1）班个子高的男生”无确定的标准，因此(1)不能构成
集合．(2)(3)(4)(5)的元素有点、图形、实数等，虽然不尽相同，但它
怎么表示一个集合和集合中的元素?
【问题3】结合问题1,你能说出集合中的元素应具
有怎样的特征吗?
【活动2】理解元素与集合的关系，熟悉常用数集的
表示方法
【问题4】某中学2021级高一年级的20个班构成一个集合，
则高一(1)班是这个集合中的元素吗？高二(2)班呢？
【问题5】结合问题4,你能说出集合与元素之间 具有怎
(3)(4)中的元素表示出来．
【问题9】从上面的例子看到,我们可以用自然语言描述一
个集合.除此之外,还可以用什么方式表示集合呢?
【问题10】什么是列举法?什么是描述法?怎样用列举法和
描述法表示集合?
典例精析
【例1】（教材改编题）下列元素的全体能否构成一个集合？
(1) 高一（1）班个子高的男生；
(2) 平面上到原点的距离等于1的所有点；
3. 在呈现方式上，以选择题、填空题为主．
学法指导
用观察、比较法研究典型的数学实例、回顾旧知，
2020届新人教高中数学必修第一册集合的概念课件(2)
[点睛] 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题 的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的 元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．
2．元素与集合的关系
关系
语言描述
记法
读法
属于 a 是集合 A 中的元素 a ∈A a 属于集合 A
不属于 a 不是集合 A 中的元素 a ∉A a 不属于集合 A
法叫做列举法．
[点睛] 列举法表示集合时的 4 个关注点 (1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法 (1)定义：用集合所含元素的 共同特征 表示集合的方法． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的 __一__般_符__号__及 取值(或变化)范围 ，再画一条竖线，在竖线后写 出这个集合中元素所具有的 共同特征 ．
解析：(1)易知 A＝{0,1}，故 1∈A，－1∉A； (2)将 x＝1，y＝2 代入 y＝x＋1，等式成立．
答案：(1)∈ ∉ (2)∈
4．用适当的方法表示下列集合： (1)已知集合 P＝{x|x＝2n,0≤n≤2 且 n∈N}； (2)抛物线 y＝x2－2x 与 x 轴的公共点的集合； (3)直线 y＝x 上去掉原点的点的集合． 解：(1)列举法：P＝{0,2,4}．
()
①12∈R；② 2∉Q；③|－3|∈N；④|－ 3|∈Q.
A．1 个
B．2 个 C．3 个 D．4 个
(2)集合 A 中的元素 x 满足3－6 x∈N，x∈N，则集合 A 中的元素为________．
[答案] (1) C (2) 0,1,2
2020-2021学年高中数学新教材必修第一册(人A教版)课件：1.1 集合的概念
3．把集合{x|x2－4x＋3＝0}用列举法表示为( )
A．{1,3}
B．{x|x＝1，x＝3}
C．{x2－4x＋3＝0} D．{x＝1，x＝3}
解析：解方程 x2－4x＋3＝0 得 x＝1 或 x＝3，用列举法表示解集为 {1,3}．
答案：A
4．集合{3，x，x2－2x}中，x 应满足的条件是________．
状元随笔 集合中的元素必须是确定的，一个元素要么属于这一
集合，要么不属于这一集合，绝不是模糊的．例如，“班上身高高于 1.7 米的同学”是确定的，构成一个集合；而“班上个子高的同学”无 法确定，不能构成集合．
要点二 元素与集合的关系
关系
概念
记法
读法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
属于
如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集 合A
解析：根据集合中元素的互异性，得xx≠2－32，x≠3， x2－2x≠x，
且 x≠－1. 答案：x≠3 且 x≠0 且 x≠－1
解得 x≠3 且 x≠0
题型一 集合的概念——自主完成 1．下列对象能构成集合的是( ) A．高一年级全体较胖的学生 B．sin 30°，sin 45°，cos 60°，1 C．全体很大的自然数 D．平面内到△ABC 三个顶点距离相等的所有点
2．(多选)下面四个说法中错误的是( ) A．10 以内的质数组成的集合是{2,3,5,7} B．由 1,2,3 组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,1,2} C．方程 x2－2x＋1＝0 的解集是{1,1} D．0 与{0}表示同一个集合
解析：10 以内的质数组成的集合是{2,3,5,7}，故 A 正确；由集合中 元素的互异性知{1,2,3}和{3,1,2}相等，故 B 正确；方程 x2－2x＋1＝0 的 解集应为{1}，故 C 错误；由集合的表示方法知 0 不是集合，故 D 错误．
2020年高中数学 新人教A版 必修第一册 1.1 集合的概念(1) 课件
巩固练习
2．已知集合 Ω 中的三个元素 l，m，n 分别是△ABC 的三边
长，则△ABC 一定不是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
解析：选 D 因为集合中的元素是互异的，所以 l，m，n
互不相等，即△ABC 不可能是等腰三角形．故选 D．
巩固练习
3．“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念(1)
高中数学 新人教A版 必修第一册
探究新知
1．把握一个标准——一组对象能否构成集合的标准 考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特 征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这 个总体，如果有，则能构成集合，如果没有，就不能构成集合．
B．2
C．3
D．4
巩固练习
解析：选 B ①12∈R，正确；② 2∉R，错误；③|－3|∈N， 正确；④|－ 3|∈Q，错误．所以正确的个数为 2，故选 B．
巩固练习
5．已知集合 A 中的元素 x 满足 x－1< 3，则下列各式正确 的是( )
A．3∈A 且－3∉A
B．3∈A 且－3∈A
C．3∉A 且－3∉A
探究新知
2．掌握一组关系——元素与集合的关系
元素 a 与集合 A 之间只有两种关系：a∈A，a∉A．
(1)唯一性：a∈A 与 a∉A 取决于 a 是不是集合 A 中的元素， 只有属于和不属于两种关系．
(2)方向性：符号“∈”“∉”具有方向性，左边是元素，右 边是集合．
探究新知
3．牢记三个性质——集合中元素的三个特性 (1)确定性：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合 的元素必须是确定的．其作用为判断一组对象能否组成集合． (2)互异性：对于给定的一个集合，它的任何两个元素都不 相同，相同的对象只能算一个元素． (3)无序性：集合中的元素没有先后顺序，只要一个集合的 元素确定，则这个集合也随之确定，与元素的排列顺序无关．
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3 随堂演练
PART THREE
1.下列给出的对象中，能组成集合的是 A.一切很大的数 B.好心人 C.漂亮的小女孩
√D.方程x2－1＝0的实数根
12345
2.下列结论不正确的是
A.0∈N
B. 2∉Q
√C.0∉Q
解析 0是有理数，故0∈Q，所以C错误.
D.8∈Z
12345
3.若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是
√A.梯形
B.平行四边形
C.菱形
D.矩形
解析 由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等.
12345
4.一个小书架上有十个不同品种的书各3本，那么由这个书架上的书组成的集合中含 有__1_0__个元素. 解析 由集合元素的互异性知：集合中的元素必须是互不相同的(即没有重复现象)， 相同的元素在集合中只能算作一个，因此书架上的书组成的集合中有10个元素.
解 ∵－3∈A， ∴－3＝a－3或－3＝2a－1， 若－3＝a－3， 则a＝0， 此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a－1，则a＝－1， 此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意； 综上所述，a＝0或a＝－1.
延伸探究 若将“－3∈A”换成“a∈A”，求实数a的值.
解 ∵a∈A，∴a＝a－3或a＝2a－1， 解得a＝1，此时集合A中有两个元素－2,1， 符合题意. 故所求a的值为1.
12345
5.如果有一集合含有两个元素：x，x2－x，则实数x的取值范围是__x_≠__0_,2__. 解析 由集合元素的互异性可得x2－x≠x，解得x≠0,2.
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)元素与集合的概念、元素与集合的关系. (2)常用数集的表示. (3)集合中元素的特性及应用. 2.方法归纳：分类讨论. 3.常见误区：忽视集合中元素的互异性.
反思 感悟
由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤
跟踪训练2 已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a＝_－__1__.
解析 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1. 当a＝1时，a＝a2，集合A中有一个元素， ∴a≠1. 当a＝－1时， 集合A中含有两个元素1，－1，符合互异性. ∴a＝－1.
思考 我班所有的“追梦人”能否构成一个集合？ 答案 不能构成集合，因为“追梦人”没有明确的标准.
知识点二 元素与集合的关系
1.属于：如果a是集合A的元素，就说a 属于 集合A，记作 a∈A . 2.不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a 不属于 集合A，记作 a∉A .
知识点三 常见的数集及表示符号
2 题型探究
PART TWO
一、对集合的理解
例1 (1)考察下列每组对象，能构成集合的是
①中国各地的美丽乡村；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④截止到2019年1月1日，参加一带一路的国家.
A.③④
√B.②③④
C.②③
D.②④
解析 ①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可 构成集合，故选B.
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 _整__数__集__ 有理数集 _实__数__集__
符号
_N__
_N__*或__N__＋_
Z
_Q__
R
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.组成集合的元素一定是数.( × ) 2.接近于0的数可以组成集合.( × ) 3.分别由元素0,1和1,0组成的两个集合是相等的.( √ ) 4.一个集合中可以找到两个相同的元素.( × )
(2)下列说法中，正确的有___②___.(填序号) ①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个； ②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是 等腰三角形； ③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同 的两个集合.
解析 ①不正确. book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3. ②正确. 集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三 边不相等，故不可能是等腰三角形. ③不正确. 小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理 题型探究 随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 元素与集合的概念
1.元素：一般地，把 研究对象 统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母__a_，__b_，__ c… 表示. 2.集合：把一些 元素 组成的总体叫做集合(set)，(简称为 集 )，常用大写拉丁字母 A， B，C… 表示. 3.集合相等：指构成两个集合的元素是 一样 的. 4.集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是 确定的 、互不相同 的.
跟踪训练1 给出下列说法：
①R中最小的元素是0；
②若a∈Z，则－a∉Z；
③若a∈Q，b∈N*，则a＋b∈Q.
其中正确的个数为
A.0
√B.1
C.2
D.3
解析 实数集中没有最小的元素，故①不正确； 对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确； 只有③正确.
三、元素特性的应用
例3 已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值.
反思
感悟 判断一组对象是否为集合的三依据 (1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合. (2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数. (3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与 元素之间的排列 下列关系中正确的个数为
① 2∈Q；②－1∉N；③π∉R；④|－4|∈Z.
A.1
√B.2
C.3
D.4
解析 ①∵ 2是无理数，∴ 2∉Q，故①错误；
②－1∉N，②正确； ③∵π是实数，∴π∈R，故③错误； ④∵|－4|＝4是整数，∴|－4|∈Z，故④正确.
反思
感悟 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法：集合中的元素是直接给出的. (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集 合中元素所具有的特征即可.