2018_2019学年九年级数学下册第1章二次函数1.4二次函数与一元二次方程的联系课件(新版)湘教

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湘教版数学九年级下册第1章《二次函数》教学设计

湘教版数学九年级下册第1章《二次函数》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级下册第1章《二次函数》是学生在学习了初中阶段函数知识后，进一步深入研究函数性质的重要内容。

本章主要介绍二次函数的定义、性质、图象及其应用。

通过学习二次函数，学生可以更好地理解数学与实际生活的联系，提高解决问题的能力。

教材内容安排合理，由浅入深，逐步引导学生掌握二次函数的知识。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对函数的概念、性质有所了解。

但二次函数相对于一次函数和反比例函数，其性质和图象更具复杂性，需要学生在已有的知识基础上，通过观察、分析、归纳等方法，自主探究二次函数的性质。

此外，学生在生活中接触到的一些现象和问题，也需要用二次函数来解释和解决。

三. 教学目标1.理解二次函数的定义，掌握二次函数的表示方法。

2.掌握二次函数的性质，能够分析二次函数图象的特点。

3.会利用二次函数解决实际问题，提高数学应用能力。

4.培养学生的观察、分析、归纳、总结能力，提高学生的自主学习能力。

四. 教学重难点1.二次函数的定义和表示方法。

2.二次函数的性质及其图象特点。

3.二次函数在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的性质。

2.利用数形结合法，让学生直观地理解二次函数的图象特点。

3.运用实例分析法，让学生学会将二次函数应用于实际问题。

4.采用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关课件、图片、实例等教学资源。

2.安排适当的时间让学生进行自主学习和小组讨论。

3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题引入二次函数的概念，激发学生的兴趣。

例如：抛物线运动中，物体上升和下降的轨迹为什么是抛物线？2.呈现（10分钟）介绍二次函数的定义和表示方法，展示二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0）。

通过示例，让学生理解二次函数的各项参数代表的意义。

二次函数与一元二次方程、不等式

2．3 二次函数与一元二次方程、不等式(一)教材梳理填空(1)一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0，其中a ，b ，c 均为常数，a ≠0.(2)二次函数的零点：一般地，对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，我们把使ax 2＋bx ＋c ＝0的实数x 叫做二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点．(3)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x ＜x 1，或x ＞x 2} ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}∅∅(二)基本知能小试 1．判断正误(1)mx 2－5x <0是一元二次不等式．( )(2)若a >0，则一元二次不等式ax 2＋1>0无解．( )(3)若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，则一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}．( )(4)不等式x 2－2x ＋3>0的解集为R.( ) 2．不等式2x 2－x －1>0的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <1 B ．{x |x >1} C ．{x |x <1或x >2} D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x >1 3．不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集是( )A ．{x |x <－1}B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >32C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1<x <32D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >32 4．若不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值分别为________，________.题型一一元二次不等式的解法[学透用活][典例1] 解下列不等式：(1)－2x 2＋x －6＜0； (2)－x 2＋6x －9≥0； (3)x 2－2x －3＞0； (4)－4x 2＋4x －1＞0.[对点练清]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}2．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－1或x ≥92B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x ≤92C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－92或x ≥1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－92≤x ≤1 3．解不等式：－2<x 2－3x ≤10.题型二二次函数与一元二次方程、不等式间的关系[学透用活][典例2] 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．[对点练清]1．[变结论]本例中条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．2．[变条件]若将本例的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}”变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤2”．求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．题型三一元二次不等式的实际应用[学透用活][典例3]某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．[对点练清]1．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(0<t≤30，t ∈N)；销售量y2与时间t的关系式是y2＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额z不小于500元的t的范围为________．2．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m. 又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x ＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任．[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．下列不等式：①x 2>0；②－x 2－x ≤5；③ax 2>2；④x 3＋5x －6>0；⑤mx 2－5y <0；⑥ax 2＋bx ＋c >0.其中是一元二次不等式的有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个2．不等式－x 2－5x ＋6≥0的解集为( ) A ．{x |x ≥6或x ≤－1} B ．{x |－1≤x ≤6} C ．{x |－6≤x ≤1}D ．{x |x ≤－6或x ≥1}3．二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ>0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0C.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ>0 D.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0 4．若a <0，则关于x 的不等式a (x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1a <0的解集为________． 5．若关于x 的不等式(k －1)x 2＋(k －1)x －1<0恒成立，则实数k 的取值范围是________．二、创新应用题6．解关于x 的不等式x 2－3ax －18a 2>0.[课下双层级演练过关]A 级——学考水平达标练1．设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( )A ．{x |2≤x ≤3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C ．{x |x ≥3}D ．{x |0<x ≤2或x ≥3} 2．下列四个不等式：①－x 2＋x ＋1≥0；②x 2－25x ＋5>0；③x 2＋6x ＋10>0；④2x 2－3x ＋4<1.其中解集为R 的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④3．若0<t <1，则不等式(x －t )⎝⎛⎭⎫x －1t <0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >1t 或x <t C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1t 或x >t D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪t <x <1t 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}5．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 6．要使17－6x －x 2有意义，则x 的解集为________．7．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________． 8．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的非空解集为{x |1<x <m }，则m ＝________. 9．解下列不等式：(1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)－4x 2＋18x －814≥0; (3)－2x 2＋3x －2<0; (4)－12x 2＋3x －5>0.10．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？B级——高考水平高分练1．设x2－2x＋a－8≤0对于任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立，则a的取值范围是________．2．对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．3．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.4．某小商品在2018年的价格为8元/件，年销量是a件．现经销商计划在2019年将该商品的价格下调至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下调后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下调后，经销商的年收益y与实际价格x的关系式；(2)设k＝2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2019年的收益比2018年至少增长20%?5．某热带风暴中心B 位于海港城市A 东偏南30°的方向，与A 市相距400 km.该热带风暴中心B 以40 km/h 的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A 市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？习题课(提升关键能力) 一元二次函数、方程和不等式高频考点一|比较大小[例1] (1)已知a, b 满足等式x ＝a 2＋b 2＋20, y ＝4(2b －a ), 则x, y 满足的大小关系是( )A ．x ≤yB ．x ≥yC ．x <yD ．x >y (2)对于a ＞0，b ＞0，下列不等式中不正确的是( ) A.ab 2＜1a ＋1b B ．ab ≤a 2＋b 22 C ．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22D.⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(3)若角α，β满足－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，则2α＋β的取值范围是( )A ．－π<2α＋β<0B ．－π<2α＋β<πC ．－3π2<2α＋β<π2D ．－3π2<2α＋β<3π2[集训冲关]1．若a >b ，x >y ，下列不等式正确的是( )A ．a ＋x <b ＋yB ．ax >byC ．|a |x ≥|a |yD ．(a －b )x <(a －b )y 2．已知a ＋b <0，且a >0，则( )A ．a 2<－ab <b 2B ．b 2<－ab <a 2C ．a 2<b 2<－abD ．－ab <b 2<a 23．若0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b4．已知a <b <c ，试比较a 2b ＋b 2c ＋c 2a 与ab 2＋bc 2＋ca 2的大小．高频考点二|基本不等式及应用[例2] (1)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝________. (3)某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)为50<x ≤80时，每天售出的件数为P ＝105(x －40)2，若要使每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？[集训冲关]1.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.3222．设a ＞0，若对于任意的正数m ，n ，都有m ＋n ＝8，则满足1a ≤1m ＋4n ＋1的a 的取值范围是________．3．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位 m/s)、平均车长l (单位：m)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为____辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时． 4．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求2x ＋y 的最小值．高频考点三|一元二次不等式及其应用[例3] (1)解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.(2)甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． ①要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元，求x 的取值范围；②要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．[集训冲关]1．若不等式－x 2＋mx －1＞0有解，则m 的取值范围是( ) A ．m <－2或m >2 B ．－2<m <2 C ．m ≠±2D ．1<m <32．关于x 的不等式x 2－ax －6a 2>0(a <0)的解集为{x |x <x 1或x >x 2}，且x 2－x 1＝52，则a 的值为( )A ．－ 5B ．－32C ．－ 2D ．－523．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？高频考点四|一元二次函数、方程和不等式[例4] 若不等式x 2＋ax ＋3－a >0对于满足－2≤x ≤2的一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．[集训冲关]1．若关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根均大于1，则m 的取值范围是________．2．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .一、选择题1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >B D ．A >B2．设集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1<x <1} C ．{x |1<x <2} D ．{x |2<x <3}3．设m >1，P ＝m ＋4m －1，Q ＝5，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P <Q B ．P ＝Q C ．P ≥QD ．P ≤Q4．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2<x <－14，则a ＋b 等于( ) A ．－18 B ．8 C ．－13 D ．15．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤2 B ．a ≥2 C ．a ≥3D ．a ≤36.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB .设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 7．对任意实数x ，不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．{a |－2<a ≤2} B ．{a |－2≤a ≤2} C ．{a |a <－2或a >2}D ．{a |a ≤－2或a >2}8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定二、填空题 9．若a ＜b ＜0，则1a －b与1a 的大小关系为________． 10．已知x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．11．关于x 的不等式ax －b >0的解集是{x |x >1}，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)>0的解集是________．12．若m 2x －1mx ＋1＜0(m ≠0)对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是________．三、解答题13. 当x >3时，求2x 2x －3的取值范围．14．解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2<0.15．已知a >0，b >0，1a ＋1b ＝1，求1a －1＋9b －1的最小值．16. 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元．(1)写出钻石的价值y 关于钻石重量x 的关系式；(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n 克拉，试证明：当m ＝n 时，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率＝原有价值－现有价值原有价值×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计)。

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湘教版初中数学目录七年级上册第1章有理数1.1具有相反意义的量1.2数轴、相反数与绝对值1.3有理数大小的比较1.4有理数的加法和减法1.5有理数的乘法和除法1.6有理数的乘方1。

7有理数的混合运算第2章代数式2.1用字母表示数2.2列代数式2.3代数式的值2.4整式2.5正式的加法和减法第3章一元一次方程3.1建立一元一次方程模型3。

2等式的性质3.3一元一次方程的解法3.4一元一次方程模型的应用第4章图形的认识4.1几何图形4.2线段、射线、直线4.3角第5章数据的收集与统计图5.1数据的收集与抽样5。

2统计图七年级下册第1章二元一次方程组1。

1建立二元一次方程组1。

2二元一次方程组的解法1。

3二元一次方程组的应用1.4三元一次方程组第2章整式的乘法2。

1整式的乘法2。

2乘法公式第3章因式分解3。

1多项式的因式分解3.2提公因式法3.3公式法第4章相交线与平行线4。

1平面上两条直线的位置关系4.2平移4.3平行线的性质4.4平行线的判定4.5垂线4.6两条平行线间的距离第5章轴对称与旋转5.1轴对称5.2旋转5.3图形变换的简单应用八年级上册第1章分式1。

1分式1.2分式的乘法和除法1。

3整数指数幂1。

4分式的加法和减法1。

5可化为一元一次方程的分式方程第2章三角形2.1三角形2。

2命题与证明2.3等腰三角形2.4线段的垂直平分线2。

5全等三角形2。

6用尺规作图第3章实数3.1平方根3.2立方根3。

3实数第4章一元一次不等式（组）4.1不等式4.2不等式的基本性质4.3一元一次不等式的解法4.4一元一次不等式的应用4.5一元一次不等式组第5章二次根式5.1二次根式5.2二次根式的乘法和除法5。

3二次根式的加法和减法八年级下册第1章直角三角形1。

1直角三角形的性质和判定（1) 1.2直角三角形的性质和判定（2）1.3直角三角形全等的判定1。

4角平分线的性质第2章四边形2.1多边形2.2平行四边形2。

第1章二次函数单元检测(解析卷)

二次函数单元检测一、单选题1．把二次函数y=−x2的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为（）A．y=−(x+1)2+3B．y=−(x+1)2−3C．y=−(x−1)2−3D．y=−(x−1)2+3【答案】A【详解】解：y=−x2的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位得y=−(x+1)2+3．故选A．2．用配方法将二次函数y=−x2−2x−3化为y=a(x−ℎ)2+k的形式为（）A．y=−(x−1)2+3B．y=(x+1)2−4C．y=−(x+1)2−2D．y=(x−1)2+2【答案】C【详解】解：y=−x2−2x−3=−(x2+2x+1)−2=−(x+1)2−2故选：C．3．一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度ℎ（单位：米）与经过的时间t（单位：秒）满足函数关系式ℎ=−5t2+15t，那么球弹起后又回到地面所经过的时间t是（）A．4秒B．3秒C．2秒D．1秒【答案】B【详解】解：∵ℎ=−5t2+15t，∴当ℎ=0时，即：0=−5t2+15t，解得：t=0或t=3，∴球弹起后又回到地面所经过的时间t是3秒．故选：B．4．函数y=(1+m)x m2−2m−1是关于x的二次函数，则m的值为（）A．2B．−1或3C．3D．m不存在【答案】C【详解】解：由题意得{m2−2m−1=21+m≠0，解得：m=3，故选：C．5．某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（）A．y=9(1+x)2B．y=9+9x+x2C．y=9+9(1+x)+9(1+x)2D．y=9(1+x)2【答案】C【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：9(1+x)，三月份新产品的研发资金为：9(1+x)2，今年一季度新产品的研发资金y=9+9(1+x)+9(1+x)2，故选：C．6．下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大的有（）④y＝3x2．①y＝x②y＝﹣2x+1③y＝﹣1xA．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【详解】①函数为增函数，满足题意；②函数为减函数，不满足题意；③函数为反比例函数，图象在二、四象限函数值y随x的增大而增大；④函数对称轴为y轴，开口向上，当x＜0时，函数值y随x的增大而减小，不满足题意；故选B．7．如图，二次函数y=x2−ax+1和y=ax−a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】B>0，在y轴右侧，一次函数y=ax−a经过第一、三、四象【详解】解：当a>0时，二次函数对称轴x=a2<0，在y轴左侧，一次函数y=ax−a经过第一、二、四象限；限；当a<0时，二次函数对称轴x=a2故选项A、C、D不合题意，选项B符合题意．故选：B．8．已知(−4,y1)，(2.5,y2)，(5,y3)是抛物线y=−3x2−6x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1>y2>y3B．y3>y2>y1C．y1>y3>y2D．y2>y1>y3【答案】A【详解】解：根据题意，则∵y=−3x2−6x+m，=−1，∴对称轴是：x=−−62×(−3)∵−3<0，∴当x>−1时，y随x的增大而减小，∵2.5<5，∴y2>y3，∵−1−(−4)<2.5−(−1)，∴y1>y2，∴y1>y2>y3；故选：A9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x(0<x<12)，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：当HG与BC重合时，设AE=x，由题可得：∴EF=EH=2x，BE=12−x，在Rt△EHB中，由勾股定理可得：BE2=BH2+EH2，∴(2x )2+(2x )2=(12−x )2，∴x =4，∴当0<x ≤4时，y =(2x )2=2x 2，∵2>0，∴图象为开口向上的抛物线的一部分，当HG 在BC 下方时，设AE =x ，由题可得：∴EF =2x ，BE =12−x ，∵∠AEF =∠B =45°，∠A =∠EOB =90°,∴△FAE ∽△EOB ，∴AE EF =EO EB ，∴x 2x =EO 12−x ，∴EO =12−x2，∴当4<x <12时，y =(2x )·12−x2=(12−x )x =−x 2+12x ，∵−1<0，∴图象为开口向下的抛物线的一部分，综上所述：A 正确，故选：A ．10．如图，二次函数y =−x 2+2mx +2m +1（m 是常数，且m >0）的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．其对称轴与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ．连接AC ．若∠BEF =2∠ACO ，则m 的值为（）A ．12B ．22C ．2−12D ．3−12【详解】当y =0时，−x 2+2mx +2m +1=0，解方程，得x 1=−1，x 2=2m +1，∵点A 在点B 的左侧，且m >0，∴A(−1,0)，B(2m +1,0)，当x =0时，y =2m +1，∴C(0,2m +1)，∴OB =OC =2m +1，∵∠BOC =90°，∴∠OBC =45°，∵EF ∥y 轴，∴∠BEF =∠BCO ，∵∠BEF =2∠ACO ，∴∠BCO =2∠ACO ，作∠OCB 的平分线交OB 于点G ，过点G 作GH ⊥BC 于点H ，如图，∴∠BCO =2∠OCG ，GH =GO ，∴∠ACO =∠GCO ，在△ACO 和△GCO 中，{∠ACO =∠GCO OC =OC ∠AOC =∠GOC，∴△ACO≌△GCO(ASA)，∴OA =OG =1，∴GB =OB−OG =2m +1−1=2m ，∵GH ⊥BC ，∠GBH =45°，∴GB =2GH ，即2m =2，∴m =22．二、填空题11．下列函数一定是二次函数的是．①y =ax 2+bx +c ；②y =−3x ；③y =4x 2−3x +1；④y =(m−1)x 2+bx +c ；⑤y =(x -3)2-x 2【答案】③【详解】解：①y =ax 2+bx +c ，必须满足a≠0才为二次函数，故①不一定是二次函数；②等号右边为分式，故②不是二次函数；③y =4x 2−3x +1是二次函数，故③是二次函数；④y =(m−1)x 2+bx +c ，m =1时，该式不是二次函数；⑤y =(x−3)2−x 2=x 2−6x +9−x 2=−6x +9，该式不是二次函数；故答案为：③．12．把抛物线y =x 2+6向下平移3个单位，得到抛物线．【答案】y =x 2+3【详解】解：将抛物线y =x 2+6向下平移3个单位所得直线解析式为：y =x 2+6-3；即：y =x 2+3．故答案为：y =x 2+3．13．若二次函数y =2x 2−4x−1的图象与x 轴交于A (x 1，０)，B (x ２，０)两点，则1x 1+1x 2的值为．【答案】﹣4【详解】设y=0，则2x 2−4x−1=0，∴一元二次方程的解分别是点A 和点B 的横坐标，即x 1，x 2，∴x 1+x 2=−−42=2，x 1x 2=−12∴1x 1+1x 2 =x 1+x 2x 1x 2=2−12=-4，故答案为−4．14．如图，P 是抛物线y=﹣x 2+x+1在第一象限上的点，过点P 分别向x 轴和y 轴引垂线，垂足别为A ，B ，则四边形OAPB 周长的最大值为．【答案】4【详解】试题解析：∵y=-x2+x+1，∴当y=0时，-x2+x+1=0，解得 x=1+52或x=1−52故设P （x ，y ）（1+52＞x ＞0，y ＞0），∴C=2（x+y）=2（x-x2+x+1）=-2（x-1）2+4．∴当x=1时，C最大值=4，．即：四边形OAPB周长的最大值为4．15．若直线y=x+b与抛物线y=−2x2+8x−6(y>0)与抛物线y=−2x2+16x−30有三个不同交点，则b的取值范围为．【答案】−3<b<−158【详解】对于抛物线y=−2x2+8x−6，当y=0时，x=3或x=1，对于抛物线y=−2x2+16x−30=−2(x−3)(x−5)，当y=0时，x=3或x=5，两条抛物线如下图：∴A(3,0)，B(5,0)，C(1,0)，当直线y=x+b经过A(3,0)时，3+b=0，得b=−3，此时直线y=x+b与抛物线y=−2x2+8x−6(y>0)与抛物线y=−2x2+16x−30有两个交点，此时y=x−3，结合图象可知，当直线y=x+b在y=x−3下方时，只有两个交点不符合题意；当直线y=x+b与抛物线y=−2x2+16x−30只有一个交点时，即：方程−2x2+16x−30=x+b只有一个解，即：方程−2x2+15x−30−b=0只有一个解，，∴Δ=152−4×(−2)×(−30−b)=0，解得：b=−158此时直线y=x+b与抛物线y=−2x2+8x−6(y>0)与抛物线y=−2x2+16x−30有两个交点，此时y=x−15，8上方时，最多只有两个交点不符合题意；结合图象可知，当直线y=x+b在y=x−158时，直线y=x+b与抛物线y=−2x2+8x−6(y>0)与抛物线y=−2x2+16x−30有三综上，当−3<b<−158个不同交点，．故答案为：−3<b<−15816．如图（1），在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x=AD，y=AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点(0,2)，则图象最低点的横坐标是．【答案】2−1【详解】解：由图可知，当x=0时，AE+CD=AB+AC=2∴AB=AC=1，BC=2，图象最低点函数值即为AE+CD 的最小值由题意可得：CD=x 2+1,AE=(22−x )2+(22)2 ∴AE+CD=x 2+1+(22−x )2+(22)2，即点（x ，0）到（0,-1）与（22，22）的距离之和∴当这三点共线时，AE+CD 最小设该直线的解析式为y=kx+b{−1=b 22=22k +b 解得{k =2+1b =−1 ∴y =(2+1)x−1当y=0时，x=2−1．故填2−1．三、解答题17．已知函数y =(m 2−9)x 2−(m−3)x +2．(1)当m 为何值时，这个函数是二次函数？(2)当m 为何值时，这个函数是一次函数？【详解】（1）解：当函数y =(m 2−9)x 2−(m−3)x +2为二次函数时，则m 2−9≠0，即m ≠±3．（2）解：当函数y =(m 2−9)x 2−(m−3)x +2为一次函数时，则{m 2−9=0−(m−3)≠0，解得：m =−3．18．用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础，并能直观反映出两个变量之间的函数关系．请用描点法画函数y =12x 2的图象，并按照要求回答下列问题：x …−3−2−10123…y… 4.50.502 4.5…(1)补齐上表；(2)在所给坐标系内描出表格中的点；(3)将上述各点用平滑曲线连线．(4)由图象可知：当x=4时，y=；当y<2时，x的取值范围是．×(−2)2=2；【详解】（1）当x=−2时，y=12×12=0.5；当x=1时，y=12故答案为：2，0.5．（2）描点如下图．（3）用平滑曲线连线如下图．（4）由图象可知：当x=4时，y=8；当y<2时，−2<x<2．19．某影像公司经过市场调研，发现制作某种毕业相册的销量y（套）是售价x（元/套）的一次函数，其售价、销售量、销售利润w（元）的三组对应值如下表：售价x（元/套）130150180销售量y（套）21015060销售利润w（元）10500105006000注：销售利润=销售量×（售价−成本价）(1)求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)求制作该毕业相册的成本价；(3)当售价为多少元时，销售利润最大？最大利润是多少？(4)已知影像公司在七月份为某校九年级制作这种毕业相册的过程中，尽可能让利于学生，最后所得利润为9600元，求这种毕业相册的售价．【详解】（1）解：由题意可设y关于x的函数解析式为y=kx+b，由表格可知当x=130时，y=210；当x=150时，y=150，∴{210=130k+b150=150k+b解得：{k=−3b=600∴y关于x的函数解析式为y=−3x+600；（2）设制作该毕业相册的成本价为m元/套由题意可知：w=y(x−m)由表可得当x=130时，y=210，w=10500，∴10500=210(130−m)，解得：m=80∴制作该毕业相册的成本价为80元/套；（3）解：由题意可知：w=y(x−80)=(−3x+600)(x−80)=−3x2+840x−48000=−3(x−140)2+10800∵−3<0∴当x=140时，w有最大值，最大值为10800答：当售价是140元时，销售利润最大，最大利润是10800元．（4）解：当所得利润为9600元，即w=9600时，−3(x−140)2+10800=9600，解得：x1=120，x2=160，∵由于影像公司尽可能让利于学生，∴x=120，∴这种毕业相册的售价为120元/套．20．已知二次函数y=ax2+bx+5的图象经过点A(1,4),B(−1,8)．(1)求二次函数的表达式；(2)若关于x的方程ax2+bx+5−m=0有实数根，求m的取值范围．【详解】（1）解：把A(1,4),B(−1,8)代入，得{a+b+5=4,a−b+5=8,解得{a=1,b=−2,,∴二次函数表达式为y=x2−2x+5．（2）解：∵a=1,b=−2，∴方程为x2−2x+5−m=0，∴Δ=(−2)2−4×1×(5−m)≥0，∴m≥4．21．已知二次函数y=ax2+bx−3a经过点A(−1,0)、C(0,3)，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．(1)求此二次函数解析式；(2)连接DC、BC、DB，求△BCD的面积；(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【详解】（1）解：把A(−1,0)、C(0,3)代入y=ax2+bx−3a得：{0=a−b−3a3=−3a，解得：{a=−1b=2，∴此二次函数解析式为y=−x2+2x+3；（2）解：∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，∴D(1,4)，此二次函数对称轴为直线x=1，∵A(−1,0)，∴B(3,0)，∴CD=12+(4−3)2=2，BC=32+32=32，BD=42+(3−1)2=25，∵CD 2+BC 2=2+18=20=BD 2，∴△BCD 为直角三角形，∴S △BCD =12BC ⋅CD =12×2×32=3；（3）解：①当DC =DP 时，∵C(0,3)，此二次函数对称轴为直线x =1，∴P(2,3)；②当CP =DP 时，设P(m,n)，∵C(0,3)，D(1,4)，P(m,n)，∴PC 2=m 2+(3−n )2,PD 2=(m−1)2+(4−n )2，∵CP =DP ，∴m 2+(3−n )2=(m−1)2+(4−n )2，整理得：n =−m +4，∵P(m,n)在抛物线上，∴n =−m 2+2m +3，∴−m +4=−m 2+2m +3，解得：m 1=3+52，m 2=3−52<1（舍去），∴P(3+52,5−52)，③当DC =CP 时，∵点P 在对称轴右边，∴此情况不存在，综上：P(2,3)或P(3+52,5−52)．22．如图，水池中心点O 处竖直安装了一跟水管，水管上端有一喷头，可喷出形似抛物线的水柱，当喷头上下移动时，喷出的抛物线型水柱也会随之竖直上下平移，但水柱落点与O 点始终保持在同一水平面，安装师傅调试后发现，当喷头距地面高2.5米时，水柱落点到O 点的水平距离为2.5米，此时，喷头喷出水柱的最高点距离水管的水平距离为0.5米．(1)求此时喷出的水柱所在抛物线的表达式；(2)若要使喷出的水柱落点距O 点3米，那么喷头应向上移动几米？【详解】（1）解：（1）由题意可知，抛物线经过点(0,2.5)和(2.5,0)，且抛物线的对称轴为直线x =12，所以抛物线与x 轴的另一交点坐标为(−1.5,0)，设抛物线表达式为y =ax 2+bx +c ，将点(0,2.5)，(2.5,0)，(−1.5,0)代入，得{6.25a +2.5b +c =02.25a−1.5b +c =0c =2.5，解得{a =−23b =23c =52，∴喷出的水柱所在抛物线的表达式为y =−23x 2+23x +52；（2）（2）由（1）可知y =−23x 2+23x +52=−23(x−12)2+83，设需要将喷头向上移动m 米，即将抛物线向上平移m 米．那么平移后的函数表达式为y =−23(x−12)2+83+m ，将点(3,0)代入，得0=−23×(3−12)2+83+m ，解得m =32．答：喷头应向上移动32米．23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝﹣x +3与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，抛物线经过A ，B 两点，并与x 轴交于另一点C ，抛物线的对称轴为直线x ＝2，顶点为点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点E 为对称轴右侧的抛物线上的点．①点F 在抛物线的对称轴上，且EF //x 轴，若以点D ，E ，F 为顶点的三角形与△ABD 相似，求出此时点E 的坐标；②点G 在平面内，则以点A ，B ，E ，G 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出此时点E 的坐标；若不能，请说明理由．【详解】解：（1）在y=-x+3中令x=0得到y=3，令y=0得到x=3，∴A 、B 坐标分别为（0，3）、（3，0），设抛物线的函数表达式为y =ax 2+bx +c ，则由题意可得：{c =39a +3b +c =0−b2a=2，∴{a =1b =−4c =3，∴所求抛物线的函数表达式为y =x 2−4x +3；（2）①如图，可设E 点坐标为(x,x 2−4x +3)，所以F 点坐标为 (2,x 2−4x +3)，由（1）可得D 坐标为（2，-1），∴AB2=32+32=18,AD2=22+42=20,BD2=12+12=2，∴AB2+BD2=AD2,∴△ABD为以AD为斜边的直角三角形，所以由题意可分两种情况：a、△DFE∽△ABD，则DFAB =EFBD，即x2−4x+3+132=x−22，解之得x=5或x=2（不合题意，舍去），∴E点坐标为(5，52−4×5+3)即（5，8）；b、△EFD∽△ABD，则EFAB =FDBD，即x−232=x2−4x+3+12，解之得：x=73或x=2（不合题意，舍去），∴E点坐标为[73，(73)2−4×73+3]即(73，−89)，综上所述，若以点D，E，F为顶点的三角形与△ABD相似，则点E的坐标为（5，8）或(73，−89)；②由①知，∠ABD=90°，所以当E点为D点时，以点A，B，E，G为顶点的四边形能够成为矩形，即E点坐标为（2，-1）．24．如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．(1)如图1，点B 与地面的距离为2米，水滑道最低点C 与地面的距离为78米，点C 到点B 的水平距离为3米，则水滑道ACB 所在抛物线的解析式为______；(2)如图1，腾空点B 与对面水池边缘的水平距离OE =12米，人腾空后的落点D 与水池边缘的安全距离DE 不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD 恰好与抛物线ACB 关于点B 成中心对称．①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD 的解析式；②此人腾空飞出后的落点D 是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M 处竖直支撑的钢架MN ，另一条是点M 与点B 之间连接支撑的钢架BM ．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM 平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN 上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．【详解】（1）解：根据题意得到水滑道ACB 所在抛物线的顶点坐标为C (−3,78)，且过点B(0,2)，设水滑道ACB 所在抛物线的解析式为y =a(x +3)2+78，将B(0,2)代入，得：2=a(0+3)2+78，即9a =98，∴a =18，∴水滑道ACB 所在抛物线的解析式为y =18(x +3)2+78；（2）解：①∵人腾空后的路径形成的抛物线BD 恰好与抛物线ACB 关于点B 成中心对称，则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为y =−18(x +b)2+c ，∴人腾空后的路径形成的抛物线BD 的顶点坐标与抛物线ACB 的顶点坐标C (−3,78)关于点B(0,2)成中心对称，∵ 0×2−(−3)=3,2×2−78=258，∴人腾空后的路径形成的抛物线BD 的顶点坐标为(3,258)，即b =3,c =258，∴此人腾空后的最大高度是258米，人腾空后的路径形成的抛物线BD 的解析式为：y =−18(x−3)2+258；由①知人腾空后的路径形成的抛物线BD 的解析式为：y =−18(x−3)2+258，令y =0，则−18(x−3)2+258=0，即(x−3)2=25∴ x =8或x =−2（舍去，不符合题意），∴点D(8,0)，∴OD =8，∵ OE =12，∴DE =OE−OD =4>3，∴此人腾空飞出后的落点D 在安全范围内；（3）解：根据题意可得M 点的纵坐标为4，令y =18(x +3)2+78=4，即(x +3)2=25，∴x =2（舍去，不符合题意）或x =−8，∴M(−8,4)，设BM 所在直线的解析式为y =kx +b ′，将M(−8,4),B(0,2)代入得：{2=b ′4=−8k +b ′，解得：{b ′=2k =−14，∴ BM 所在直线的解析式为y =−14x +2，如图，设这条钢架为GH ，与MN 交于点G ，与地面交于H ，∵这条钢架与BM 平行，∴设该钢架GH 所在直线的解析式为y =−14x +n ，联立{y =−14x +n y =18(x +3)2+78，即−14x +n =18(x +3)2+78，整理得：x 2+8x +16−8n =0，∵该钢架GH 与水滑道有唯一公共点，∴Δ=82−4×1×(16−8n )=0，∴ n =0即该钢架所在直线的解析式为y =−14x ，∴点H 与点O 重合，∵ GN =−14×(−8)=2，NO =8，∠GNO =90°，∴GH=GN2+NO2=217，∴这条钢架的长度为217米．。

九年级数学下册阶段核心归类利用二次函数解实际应用问题的六种常见类型习题新版湘教版

(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？解：由题意可知，∠B＝60°，BP＝(3－t)cm，BQ＝t cm. 若△ PBQ 是直角三角形，则∠BPQ＝30°或∠BQP＝30°，于是 BQ＝12BP 或 BP＝12BQ，即 t＝12(3－t)或 3－t＝12t. 解得 t＝1 或 t＝2，即当 t 为 1 或 2 时，△ PBQ 是直角三角形．
的取值范围是 h≥3.025.
3．【中考·十堰】某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg，设第x天的销售价格为y(元 /kg)，销售量为m(kg)．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律： ① 当 1≤x≤30 时， y ＝ 40 ；当 31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x＝36时，y ＝37；x＝44时，y＝33.②m与x之间的函数关系式为m ＝5x＋50.
(2)设四边形APQC的面积为y cm2，求y关于t的函数表达式，当t取何值时，四边形APQC的面积最小？并求出最小面积．解：过点 P 作 PM⊥BC 于点 M，则易知 BM＝12BP＝12(3－t)cm. ∴PM＝ BP2－BM2＝ 23(3－t)cm.
∴S 四边形 APQC＝S△ABC－S△PBQ＝12×3×32 3－12t·23(3－t)＝ 43t2－343t＋943，即 y＝ 43t2－343t＋943，易知 0<t<3.
最大高度h的取值范围是多少(排球压线属于没出界)?
解：设抛物线对应的函数表达式为 y＝a(x－7)2＋h，将点 C(0，1.8)的坐标代入，得 49a＋h＝1.8，即 a＝1.84－9 hx－7)2＋h.
根据题意，得41(211.4(8194－.98h－)＋h)＋h＞h2≤.04，3，解得 h≥3.025.故排球飞行的最大高度 h

湘教版九年级下册数学第1章二次函数与一元二次方程的联系

A．x＝－1
B．x＝－12
C．x＝12
D．x＝1
【点拨】依题意可知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点的坐标分别是(－1，0)和(2，0)，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝ .
1 2
4．【原创题】若抛物线y＝x2－2x＋p(常数p≠0)与x轴的一个交点为(4，0)，则关于x的一元二次方程x2－2x＋p＝0的两个实数根是________________．
时设抛物线的表达式为y＝ax2＋4，将(4，0)代入得到a＝－，
∴抛物线的表达式为y＝－ x2＋4.
当点C在点A的右侧时，△ABC是以BC为腰的等腰三角形，这个显然不可能，
此种情形不存在，
1
4 1 综上所述，抛物线的表达式为y＝－ x2＋4.
4
1 4
②将抛物线G向下平移4个单位后，恰好与直线AB只有一个交点N，求点N的坐标．
两个相等
没有
3．求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是求二次函数y＝ax2＋bx＋c在y＝
________时，自变量x的值，也就是求二次函数图象与x轴交点的________ 坐标，因而我们可以利用二0次函数的图象来求一元二次方程的根．由于作图
或观察的误差，由图象求得的根，一般是近似的．横
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则方程ax2＋bx＋c＝0的根是(
A．－2B. C．－2或2D．2
C
1 4
7．若二次函数y＝ax2＋2x－4的值总是负值，则a的取值范围是__________．
a＜－14
【点拨】∵x取一切实数时，函数值y恒为负，∴图象开口向下，且与x 轴无交点，∴a＜0，4－4a×(－4)＜0，∴a＜－ .

九年级数学下册第1章二次函数 1.4 二次函数与一元二次方程的联系课件

第五页，共四十一页。
3.利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的方法
(1)先画出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象.
(2)确定抛物线与x轴的交点(jiāodiǎn)分别在哪两个相邻的整数之间.
(3)列表,在(2)中的两整数之间取值,从而利用计算器确定方程的
近似根.
第六页，共四十一页。
4.二次函数图象上的点与一元二次方程的关系
x1 x2
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【母题变式】
【变式一】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数
y= x2的图象(tú xiànɡ)如图所示,则方程ax2+ 3
的两根之和 ( A )
A.大于0
B.等于0
(xb不能确定
第三十九页，共四十一页。
【变式二】二次函数y=-x2+mx的图象(tú xiànɡ)如图,对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数) 在1<x<5的范围内有解,则t的取值范围是_________-_5_<t_≤.4
___两_个__(_li_ǎn_ɡ _ɡè_)不__相__等__的_实__数__根_ ___两_个__(_li_ǎn_ɡ _ɡè_)相__等__的_实__数__根_ ___无_实__数__(s_hì_sh_ù)_根_
第四页，共四十一页。
2.一元二次方程的图象解法(jiě fǎ)
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的 ____横__坐__标___就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的_____根__.
∴m=4a+2b-(a+b)=3a+b, ∵m>0,∴3a+b>0, 又∵a+b<0,

九年级数学下册第1章二次函数 1.4 二次函数与一元二次方程的联系教学课件

若此抛物线与x轴有两个交点(jiāodiǎn),求k的取值范围.
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第八页，共十五页。
基础(jīchǔ)练习:
1.不与x轴相交(xiāngjiāo)的抛物线是D( )
A y= 2x2 – 3
B y= - 2x2 + 3
C y= - x2 –3x
D y= - 2(x+1)2 - 3
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是( ) C
No ax2+bx+c=0的根。没有实数根。一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac。练习:根据
下列表格(biǎogé)的对应值:。y=ax2+bx+c。弄清一种关系------函数与一元二次方程的关系
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12/11/2021
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5.若函数(hánshù)y=-x2+2kx+2与坐标轴交点的个数有 3个.
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6.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则关于(guānyú)x的方程 ax2+bx+c -3=0根的情况是( ) D
A 有两个不相等的实数根
y
B 有两个异号的实数根
2
C有两个相等的实数根
D 没有实数根
O1
x
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例: 利用函数(hánshù)图象求方程 x ²-2x-2=0的实数根 (精确到0.1)
解: 作y=x²-2x-2的图象(如图),它与x轴的公共点

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1.4 二次函数与一元二次方程的联系
【归纳总结】利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的步骤：
(1) 将方程转化为函数，即将 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)转化为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)画出函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象； (3)找出二次函数图象与 x 轴交点的横坐标(不是整数的取近
第1章二次函数
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
第1章二次函数
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
知识目标目标突破
总结反思
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
知识目标
1．通过回顾一元二次方程的判别式与根的关系，理解二
次函数图象与 x 轴交点的个数可以通过一元二次方程的判别
式判别． 2．通过列表或电脑作图，能用图象法读取或求取一元二
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
目标二能用图象法求一元二次方程的近似解
例 2[教材例题变式]求一元二次方程 x2＋2x－10＝0 的近似解 (精确到 0.1)．
[解析] 方程 x2＋2x－10＝0 的解可以看成抛物线 y＝x2＋2x－10 与 x 轴交点的横坐标．因此应先画出函数 y＝x2＋2x－10 的图象，由图象与 x 轴的交点的位置确定两根的取值范围，利用计算器求得根的近似值．
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
【归纳总结】用根的判别式判断二次函数图象与 x 轴的交点
情况：
(1)抛物线与 x 轴的交点：对于二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，
c 是常数，a≠0)，Δ ＝b2－4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数：
①当Δ ＝b2－4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有两个不同的交点
[解析] (1)观察图象，知 A(0，2)，B(4，0)，C(5，－3)，利用待定系数法即可求出其表达式；
(2)画图象时，要注意先求出图象与 x 轴的交点； (3)先观察图象，再根据图象与 x 轴的交点坐标写出 x 的取值范围．
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
解：(1)由图象，知点 A(0，2)，B(4，0)，C(5，－3)在二次函数的图象上，
似值)，即联系
目标三能根据函数值(或取值范围)，求对应的自变量的值(或取值范围)
例 3[教材补充例题]二次函数的部分图象如图 1－4－1 所示，回答下列问题：
(1)当 x 取什么值时，y＞0? (2)当 x 取什么值时，y 随 x 的增大而减小？ (3)当 x 取什么值时，y＜3?
两个交点的坐标为－b＋

b2－4ac
2a
，0

与
－b－

2ba2－4ac，0；
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
②当Δ ＝b2－4ac＝0 时，抛物线与 x 轴有两个重合的交点[这个交点即为顶点，坐标为－2ba，0]；
③当Δ ＝b2－4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点(0 个交点)． (2)抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴有交点的条件是 b2－ 4ac≥0. (3)抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点在 x 轴上的条件是 b2－ 4ac＝0.
例已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过 A，B，C 三点，当 x≥0 时，其图象如图所示． (1)求抛物线的函数表达式，并写出顶点的坐标； (2)画出函数 y＝ax2＋bx＋c(x<0)的图象； (3)利用抛物线 y＝ax2＋bx＋c，写出当 x 为何值时， y>0.
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
(2)由函数图象，可知当 x＞－1 时，y 随 x 的增大而减小． (3)由对称性，可知抛物线经过点(－2，3)，当 y＜3 时，图象在直线 y＝3 的下方，此时对应的自变量 x 的取值范围是 x＜－2 或 x＞0.
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
备选目标二次函数与一元二次方程、不等式的综合应用
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
解：画出函数 y＝x2＋2x－10 的图象如图．
由图象，知方程 x2＋2x－10＝0 有两个根，一个根在－4 与－5 之间，另一个根在 2 和 3 之间．先求－4 和－5 之间的根，利用计算器进行探索：
x －4.1 －4.2 －4.3 －4.4 y －1.39 －0.76 －0.11 0.56 因此，x1≈－4.3 是方程的一个精确到 0.1 的近似解．同理，可求得另一个精确到 0.1 的近似解为 x2≈2.3.
(1)求 a 的取值范围； (2)若(m－1)(n－1)＝10，求 a 的值．
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
解：(1)令 x2－2(a－1)x＋a2－1＝0，由题意知Δ＝4(a－1)2－4(a2－1)
＞0，解得 a＜1. (2)∵(m，0)，(n，0)是抛物线 y＝x2－2(a－1)x＋a2－1 与 x 轴的两个
不同交点， ∴m，n 为方程 x2－2(a－1)x＋a2－1＝0 的两个根， ∴m＋n＝2 (a－1)＝2a－2，mn＝a2－1. ∵(m－1)(n－1)＝10，即 mn－(m＋n)＋1＝10， ∴a2－1－(2a－2)＋1＝a2－2a＋2＝10，解得 a＝－2 或 a＝4(大于 1，舍去)， ∴a 的值是－2.
次方程的近似根或确定根的取值范围． 3．利用数形结合，能根据自变量(函数值)的取值范围确
定函数值(自变量)的取值范围．
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
目标突破
目标一掌握抛物线与x轴的交点情况和一元二次方程的根的关系
例 1 [教材“探究”拓展] 例 1 已知(m，0)，(n，0)是抛物线 y＝x2－2(a－1)x＋a2－1 与 x 轴的两个不同的交点．
图 1－4－1
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
解：(1)∵抛物线的对称轴为直线 x＝－1，与 x 轴的一个交点坐标为(1，0)，
∴抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为(－3，0)．补全图象如图．
C
由函数图象，可知当－3＜x＜1 时，函数图象在 x 轴的上方， ∴当－3＜x＜1 时，y＞0.
1.4 二次函数与一元二次方程的联系