【精品】九年级数学下册第一章1
(初中精品)第一章解直角三角形 锐角三角函数 学年浙教版九年级数学下册
【知识梳理】一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA ＞0．锐角三角函数BCa bc二、特殊角的三角函数值锐角30°45° 160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反.三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．【典型例题】考点一锐角三角函数值的求解策略【例1】如图,在方格纸中,点A,B,C都在格点上,则tan∠ABC的值是()A.2B.12C.√55D.√5【例2】如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长均为1,则tan∠BAC的值为()A.12B.1C.√33D.√3【变式训练】1.如图，若点A的坐标为(1,√3),则sin∠1=.2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．考点二已知三角函数求边长,则BC的长为()【例3】如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=15,sin B=35A.3B.9C.4D.12【变式训练】,则AB的长是()1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=12A.2B.8C.2√5D.4√5,则斜边AB上的高为.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=5,sin A=35考点三特殊角的三角函数值的计算【例5】求+tan60°﹣【例6】已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【变式训练】1. 6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°2. sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°+(√3-tanβ)2=0,则对此三角形的形状描3.若α,β是一个三角形的两个锐角,且满足sinα-√32述最准确的是 ( ) A .等腰三角形 B .直角三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形考点三 锐角三角函数的拓展探究与应用【例6】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【变式训练】如图,定义:在Rt △ABC 中,锐角α的邻边与对边的比叫做∠α的余切,记作cot α,即cot α=∠α的邻边∠α的对边=ACBC .根据上述角的余切定义,解答下列问题:(1)cot30°= ;(2)已知tan A=34,其中∠A 为锐角,则cot A 的值为 .【强化练习】1. 如图,以点O 为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A ,B 两点,P 是AB⏜上一点(不与点A ,B 重合),连结PO,设∠POB=α,则点P的坐标是()A.(sinα,sinα)B.(cosα,cosα)C.(cosα,sinα)D.(sinα,cosα)2. 如图,已知AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,AC=2√2,BC=1,那么sin∠ABD的值是.3.在Rt△ABC中,若2AB=AC,则cos C=.,AD是BC边上的高线.4. 如图,在△ABC中,∠B=45°,AC=5,cos C=35(1)求AD的长;(2)求△ABC的面积.5. 如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，若弦CD ＝6，试求cos∠APC的值．【典型例题】考点一 锐角三角函数值的求解策略【例1】如图,在方格纸中,点A ,B ,C 都在格点上,则tan ∠ABC 的值是 ( )A .2B .12C .√55D .√5【答案】A【例2】如图,A ,B ,C 是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长均为1,则tan ∠BAC 的值为( )A .12B .1C .√33D .√3【答案】B【解析】如图,连结BC ,则BC ⊥AB.答案及解析=1.在Rt△ABC中,AB=BC=√22+12=√5,∴tan∠BAC=BCAB【变式训练】1.如图，若点A的坐标为(1,√3),则sin∠1=.【答案】√322. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．考点二已知三角函数求边长,则BC的长为()【例3】如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=15,sin B=35A.3B.9C.4D.12【答案】D【变式训练】,则AB的长是() 1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=12A.2B.8C.2√5D.4√5【答案】C,则斜边AB上的高为.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=5,sin A=35【答案】125考点三特殊角的三角函数值的计算【例5】求+tan60°﹣【答案】见解析【解析】原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2．【例6】已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0 （1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【答案】见解析【解析】（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°， ∴△ABC 是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【变式训练】 1. 6tan 230°﹣sin60°﹣2sin45° 2.sin60°﹣4cos 230°+sin45°•tan60°【答案】见解析 【解答】（1）原式==12- (2) 原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+3；3. 若α,β是一个三角形的两个锐角,且满足sin α-√32+(√3-tan β)2=0,则对此三角形的形状描述最准确的是 ( ) A .等腰三角形 B .直角三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形【答案】C 【解答】∵sin α-√32+(√3-tan β)2=0,∴sin α-√32=0,√3-tan β=0, ∴sin α=√32,tan β=√3. 又∵α,β都是锐角, ∴α=60°,β=60°,∴此三角形的形状是等边三角形. 故选C考点三 锐角三角函数的拓展探究与应用【例6】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BC AB ==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．．【答案】见解析【解析】(1)1； (2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ， ∴ 22(5)(3)4AC a a a =-=，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，22(3)10BD a a a =+=，∴ 10sadA BD AD ==．【变式训练】如图,定义:在Rt △ABC 中,锐角α的邻边与对边的比叫做∠α的余切,记作cot α,即cot α=∠α的邻边∠α的对边=ACBC .根据上述角的余切定义,解答下列问题:(1)cot30°= ;(2)已知tan A=34,其中∠A为锐角,则cot A的值为.【答案】（2）4 3【强化练习】1. 如图,以点O为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A,B两点,P是AB⏜上一点(不与点A,B重合),连结PO,设∠POB=α,则点P的坐标是()A.(sinα,sinα)B.(cosα,cosα)C.(cosα,sinα)D.(sinα,cosα)【答案】C【解析】如图,过点P作PQ⊥OB,垂足为Q.在Rt△OPQ中,OP=1,∠POQ=α,∴sinα=PQOP ,cosα=OQOP,即PQ=sinα,OQ=cosα,则点P的坐标为(cosα,sinα).故选C.2. 如图,已知AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,AC=2√2,BC=1,那么sin∠ABD的值是.【答案】2√23【解析】∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,则AB=√12+(2√2)2=3.∵AB ⊥CD ,AC⏜=AD ⏜,∴∠ABC=∠ABD , ∴sin ∠ABD=sin ∠ABC=AC AB =2√23. 3. 在Rt △ABC 中,若2AB=AC ,则cos C= .【答案】.√32或2√55【解析】∵2AB=AC ,∴AB 不是最长边,即∠C ≠90°.分两种情况讨论:①当∠B=90°时,设AB=x ,则AC=2x ,∴BC=√(2x )2-x 2=√3x ,∴cos C=BC AC =√3x 2x =√32.②当∠A=90°时,设AB=y ,则AC=2y ,∴BC=√(2y )2+y 2=√5y ,∴cos C=AC BC =√5y =2√55. 综上所述,cos C 的值为√32或2√55. 4. 如图,在△ABC 中,∠B=45°,AC=5,cos C=35,AD 是BC 边上的高线.(1)求AD 的长;(2)求△ABC 的面积.【答案】见解析【解答】解:(1)∵AD ⊥BC ,∴∠ADC=∠ADB=90°.在Rt △ACD 中,AC=5,cos C=35,∴CD=AC ·cos C=3,∴AD=√AC 2-CD 2=4.(2)∵∠B=45°,∠ADB=90°,∴∠BAD=90°-∠B=45°,∴∠B=∠BAD ,∴BD=AD=4,∴S △ABC =12AD ·BC=12×4×(4+3)=14.5. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ，若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案】见解析【解答】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACP ＝90°，又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB ，∴ PC CD PA AB=． 又∵ CD ＝6，AB ＝10，∴ 在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．。
北师大版九年级数学下册：第一章 1.4《解直角三角形》精品教案
北师大版九年级数学下册：第一章 1.4《解直角三角形》精品教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《解直角三角形》是整个初中数学的重要内容，它不仅巩固了初中阶段的知识，同时也为高中阶段的数学学习打下了基础。
本节课的主要内容是让学生掌握直角三角形的性质，学会使用勾股定理和锐角三角函数，并能解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对直角三角形有一定的了解。
但是，对于如何运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题，他们可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，我们需要关注学生的学习需求，引导学生主动探索，培养他们的解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握勾股定理和锐角三角函数的定义及应用。
2.能够运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质，勾股定理和锐角三角函数的定义及应用。
2.教学难点：如何引导学生运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生主动探索直角三角形的性质，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：设置一系列问题，引导学生思考和解决问题，培养学生的思维能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和实践，提高学生的合作能力和动手能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助教学。
2.教学素材：准备一些实际的直角三角形问题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如测量楼房的高度等，引出直角三角形的问题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过课件展示直角三角形的性质，引导学生观察和思考，总结出直角三角形的性质。
3.操练（10分钟）让学生通过实际问题，运用勾股定理和锐角三角函数解决问题，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）设置一些练习题，让学生独立完成，检查他们对直角三角形性质的掌握程度。
北师大版九年级数学下册：第一章 1《回顾与思考》精品教案
北师大版九年级数学下册：第一章 1《回顾与思考》精品教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《回顾与思考》是对整个初中数学知识的总结与回顾。
本章通过对之前学习的知识进行梳理，帮助学生建立知识体系，提高解决问题的能力。
本节课的内容包括数的开方与乘方、勾股定理、相似三角形的性质等，旨在让学生通过回顾与思考，对所学知识有更深入的理解和掌握。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的大部分数学知识，对于数的开方与乘方、勾股定理、相似三角形的性质等概念和性质有一定的了解。
但部分学生在应用这些知识解决问题时，可能会出现混淆和错误。
因此，在教学过程中，需要关注学生的知识掌握情况，针对性地进行引导和讲解。
三. 教学目标1.帮助学生回顾和总结初中阶段的数学知识，建立知识体系。
2.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
四. 教学重难点1.数的开方与乘方、勾股定理、相似三角形的性质等知识的运用。
2.学生对于实际问题进行分析，运用所学知识解决问题的能力。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动回顾和总结所学知识。
2.通过实例分析，让学生运用所学知识解决实际问题。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队合作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关知识点的PPT，用于呈现和讲解。
2.准备一些实际问题，用于引导学生运用所学知识解决。
3.准备黑板和粉笔，用于板书和标注。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的实际问题，引导学生运用所学知识解决。
例如，计算一个房间的面积，或者计算一个三角形的周长等。
通过这些问题，激发学生的学习兴趣，并引出本节课的内容。
2.呈现（10分钟）利用PPT呈现本的回顾与思考的内容，包括数的开方与乘方、勾股定理、相似三角形的性质等。
在呈现过程中，引导学生主动回顾和总结所学知识，并与同学进行交流。
3.操练（10分钟）针对每个知识点，设计一些练习题，让学生独立完成。
九年级l下册数学第一章知识点
九年级l下册数学第一章知识点数学是一门学科，它包括了许多知识点。
在九年级下册的数学课程中，第一章主要涉及了一些基础的知识点，下面我们一起来探讨一下。
一、有理数的概念有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数。
在第一章中，我们学习了如何将一个数判断为有理数，以及如何在数轴上表示有理数。
有理数的概念相对较为简单，但是在实际运用中却能发挥重要的作用。
例如，在计算中，我们经常会遇到需要比较大小、进行加减乘除等操作的数，而这些数往往都是有理数。
二、绝对值及其应用绝对值是一个数离0的距离，在数学中用符号“| |”来表示。
绝对值的性质有三个：非负性、正数的绝对值等于它本身、负数的绝对值等于它的相反数。
绝对值的应用非常广泛，例如在距离的计算中，我们常常使用绝对值来表示两个点之间的距离。
此外，在解决一些实际问题时，绝对值也可以用来表示误差、温度差等。
三、乘法的应用乘法是数学中一个非常基础而又重要的运算，它可以用来表示数量的增加或减少。
在第一章中，我们学习了乘法的应用。
乘法不仅可以用于求解两个数的乘积，还可以用来表示两个数之间的比例关系。
例如，在解决一些比例问题时，我们常常会使用乘法来计算未知数的值。
四、带有系数的一元一次方程方程是数学中一个非常重要的概念，它是通过字母和数字的组合来表示一个等式关系。
在第一章中，我们学习了带有系数的一元一次方程。
一元一次方程是指方程中只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为1。
在解一元一次方程时，我们可以通过加减乘除等运算来求解。
一元一次方程在实际生活中的应用非常广泛，例如在物理学、化学、经济学等领域都需要使用方程来求解问题。
五、图形的认识与应用图形的认识与应用也是第一章中一个重要的知识点。
在学习图形时，我们学会了如何计算图形的周长和面积，以及如何绘制图形。
图形在日常生活中随处可见，比如街道上的交通标识、建筑物的平面图等。
掌握图形的认识与应用可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
九年级下数学第一章知识点
九年级下数学第一章知识点数学作为一门基础学科，对于学生的思维能力和逻辑思维能力有着重要的培养作用。
九年级下学期，数学的第一章内容围绕着数的整除性展开。
下面将介绍该章节的一些重要知识点和应用。
一、质数与合数在九年级下学期数学中，质数与合数是一个非常重要的概念。
质数指的是只能被1和它本身整除的自然数，比如2、3、5等。
而合数则是除了1和自身之外，还能被其他自然数整除的数，比如4、6、8等。
理解质数与合数的概念对于后面的学习很有帮助。
二、最大公因数与最小公倍数在九年级下学期数学中，最大公因数和最小公倍数是一个重要的概念。
最大公因数是指两个或多个数公有的约数中最大的那个数，最小公倍数则是指两个或多个数公有的倍数中最小的那个数。
最大公因数和最小公倍数在实际生活中有着广泛的应用，比如在分数化简、解方程等问题中都需要用到这两个概念。
三、素因数分解素因数分解也是九年级下学期数学中的重要内容。
素因数分解是将一个合数分解成几个质数的乘积的过程。
通过素因数分解，我们可以更好地理解一个数的因数结构，也可以应用到小数的化简、解方程等问题中。
四、公因式与公倍式在九年级下学期数学中，公因式与公倍式是一个需要掌握的重要知识点。
公因式指的是两个或多个数都能整除的因数，公倍式则是指两个或多个数都是其倍数的数。
通过找到两个或多个数的公因式或公倍式，可以更好地简化问题，化简分数、解方程等问题中经常会遇到。
五、约分与通分在九年级下学期数学中，约分与通分是一个非常基础的知识点。
约分是指将一个分数化简成最简形式的过程，通分则是指将多个分数的分母改成相同的公倍数的过程。
掌握约分和通分的技巧可以帮助我们更好地进行计算和化简。
六、有理数的整除性有理数的整除性也是九年级下学期数学中的一个重要知识点。
有理数是指可以表示为两个整数的比的数，包括正整数、负整数和分数。
在解方程、比大小等运算中，有理数的整除性对于帮助我们准确计算和判断有着重要的作用。
通过对九年级下数学第一章知识点的介绍，我们可以看到这些概念和技巧对于我们的数学学习和实际应用非常重要。
九年级数学下册 第一章《解直角三角形》教案 浙教版【精品教案】
第一章 解直角三角形 教案 教学目标：1、复习巩固所学的锐角三角函数与直角三角形及其应用等有关知识、方法；2、发展学生的数学应用意识，培养分析问题和解决问题的能力。
教学重点：锐角三角函数的概念、计算和解直角三角形。
教学难点：解直角三角形的实际应用教学过程：一、知识梳理 引导学生回忆本章所学知识，用图表的方式加以梳理概括。
着重说明以下几点：1、本章的重点是锐角的三角函数的概念、计算以及解直角三角形的一般方法。
2、注意对锐角三角函数概念的理解，要准确记忆30°、45°、60°角的三角函数值，有关锥度、坡度、方向角、仰角、俯角等概念的理解与应用。
二、例题教学：例1、如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB=Rt ∠，CD ⊥AB ，D 为垂足，CD=5，BD=2，求：(1) tanA; (2)cos ∠ACD;(3)AC 的长。
注意：角之间的转化，如∠ACD=∠B ，∠A=∠BCD 。
例2、在△ABC 中，∠C=90°，AB=,3D 为AC 上一点，且∠DBC=30°，COS ∠ABC=53. 求BC 和AD 的长。
注意：求AD 的长的关键在于求BC ，因此解此类问题应从两Rt △的公共边入手。
B2，求△ABC的面积。
例3 、已知：△ABC中，∠A=30°，∠C-∠B=60°，AC=2注意：画CD⊥AB，将解一般三角形问题转化为解直角三角形问题；在本题中，求公共直边CD成为求解的关键。
例4．北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距离A地40海里的B 处训练。
突然接到基地命令，要该舰前往C岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治。
已知C岛在A的北偏东方向60°，且在B的北偏西45°方向，军舰从B处出发，平均每小时行驶20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院?(精确到0.1小时)例5．如图，城市规划期间，要拆除一电线杆AB，已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i＝2:1，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2米的人行道．请问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域)。
【2019-2020】九年级数学下册 第1章 解直角三角形 1
教学资料参考范本【2019-2020】九年级数学下册第1章解直角三角形 1撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________(见A本57页)A 练就好基础基础达标1．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100 m到B地，再从B地向正南方向走200 m到C地，此时王英同学离A地( D ) A．150 m B．50m C．100 mD．100m2．如图所示，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝100 m，则B点到河岸AD 的距离为( B )A．100 m B．50 m C. mD．50 m第2题图第3题图3．苏州中考如图所示，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°.为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为( B )A．2 m B．2 m C．(2－2) mD．(2－2) m4．西宁中考如图所示，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC. 若∠B＝56°，∠C＝45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为__60__ m．(sin 56°≈0.8，tan 56°≈1.5)第4题图第5题图5．如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD平分AC.若BD＝8，AC＝6，∠BOC＝120°，则四边形ABCD的面积为__12__(结果保留根号)．6．益阳中考如图所示，小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1 m，则旗杆PA的高度为____ m.7．绍兴中考如图所示，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60 m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向．(1)求∠CBA的度数；(2)求出这段河的宽．(结果精确到1 m，备用数据：≈1.41，≈1.73)解：(1)由题意，得∠BAD＝45°，∠BCA＝30°，∴∠CBA＝∠BAD－∠BCA＝15°.(2)如图，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设BD＝x，∵∠BCA＝30°，∴CD＝＝x，∵∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝x，则x－x＝60，解得x＝≈82，即这段河的宽约为82 m.8．2017·乌鲁木齐中考一艘渔船位于港口A北偏东60°方向，距离港口20海里的B处，它沿北偏西37°方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B，C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20分钟到达C处，求救援艇的航行速度．(sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，≈1.732，结果取整数)解：作辅助线如图所示：BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF，由题意知，∠FAB＝60°，∠CBE＝37°，∴∠BAD＝30°，∵AB＝20海里，∴BD＝10海里，在Rt△ABD中，AD＝＝10≈17.32(海里)，在Rt△BCE中，sin37°＝，∴CE＝BC·sin37°≈0.6×10＝6(海里)，∵cos37°＝，∴EB＝BC·cos37°≈0.8×10＝8(海里)，EF＝AD＝17.32海里，∴FC＝EF－CE＝11.32(海里)，AF＝ED＝EB＋BD＝18(海里)，在Rt△AFC中，AC＝＝≈21.26(海里)，21．26÷＝64(海里/小时)．答：救援艇的航行速度大约是64海里/小时．B 更上一层楼能力提升9．扬州中考若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外(与点C在AB 同侧)，有下列三个结论：①sin∠C>sin∠D；②cos∠C>cos∠D；③tan∠C>tan∠D.正确的结论为( D )A．①②B．②③C．①②③D．①③10．如图所示，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28 km/h的速度向正东方向航行，半小时后到达B 处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M与渔船的距离是( A )A．7 km B．14 km C．7 km D．14 km11．2017·苏州中考如图所示，在一笔直的沿湖道路l上有A，B 两个游船码头，观光岛屿C在码头Α北偏东60°的方向，在码头B北偏西45°的方向，AC＝4 km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B.设开往码头A，B的游船速度分别为v1，v2，若回到A，B所用时间相等，则＝____(结果保留根号)．C 开拓新思路拓展创新12．如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是的中点，连结PA，PB，PC.(1)如图(a)，若∠BPC＝60°，求证：AC＝AP；(2)如图(b)，若sin∠BPC＝，求tan∠PAB的值．第12题图解：(1)证明：∵∠BAC＝∠BPC＝60°.又∵AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵点P是的中点，∴∠ACP＝30°，又∵∠APC＝∠ABC＝60°，∴AC＝AP.(2)如图，连结AO并延长交PC于点E，交BC于点F，过点E作EG⊥AC于点G，连结OC.∵AB＝AC，∴AF⊥BC，BF＝CF.又∵点P是的中点，∴∠ACP＝∠PCB，∴EG＝EF.∵∠BPC＝∠BAC，又∵∠BAC＝∠FOC，∴∠BPC＝∠FOC，∴sin∠FOC＝sin∠BPC＝.设FC＝24a，则OC＝OA＝25a，∴OF＝7a，AF＝32a.在Rt△AFC中，AC2＝AF2＋FC2，∴AC＝40a.在Rt△AGE和Rt△AFC中，sin∠FAC＝＝，∴＝，∴EG＝12a.∴tan∠PAB＝tan∠PCB＝＝＝.13．如图所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图(b)所示．晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，∠CED的大小也随之发生变化．已知每个菱形边长均等于20 cm，且AH＝DE＝EG＝20 cm.(1)当∠CED＝60°时，求C，D两点间的距离；(2)当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少 cm？(结果精确到0.1 cm)(3)设DG＝x，当∠CED的变化范围为60°～120°(包括端点值)时，求x的取值范围．(结果精确到0.1 cm，参考数据：≈1.732)图(b)第13题图解：(1)如图(a)，连结CD，13题答图(a)第13题答图(b)∵每个菱形的边长都是20 cm, 且DE＝20 cm，∴CE＝DE，∵∠CED＝60°，∴△CED是等边三角形，∴CD＝20 cm, ∴C，D两点之间的距离是20 cm.(2)如图(b)，作EM⊥CD于点M, 在△CED中，CE＝DE, ∠CED＝120°，∴∠ECD＝30°，∴EM＝CE＝10 cm，∴CM＝10 cm，∴CD＝20 cm，∴点C向左移动了(20－20) cm，∴点A向左移动了(20－20)×3≈43.9(cm)．(3)如图(a)，当∠CED＝60°时，∵ED＝EG, ∠CGD＝30°，在Rt△CGD中，cos 30°＝，∵CG＝40 cm，∴DG＝20≈34.6(cm)．如答图(b)，当∠CED＝120°时，∠CGD＝60°，∴DG＝CG＝20 cm，∴20 cm≤x≤34.6 cm.。
北师大版九年级数学下册：第一章 1.3《三角函数的计算》精品教学设计
北师大版九年级数学下册：第一章 1.3《三角函数的计算》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《三角函数的计算》的内容包括正弦、余弦、正切函数的定义，三角函数的图像和性质，以及三角函数在实际问题中的应用。
本节课的重点是让学生掌握三角函数的定义和计算方法，理解三角函数的图像和性质，能够运用三角函数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的代数和几何知识，对函数的概念和性质有一定的了解。
但是，三角函数作为一种新的函数类型，对学生来说还是相对陌生的。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步理解和掌握三角函数的概念和性质。
三. 教学目标1.了解三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切函数的计算方法。
2.理解三角函数的图像和性质，能够运用三角函数解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和创新能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.三角函数的定义和计算方法。
2.三角函数的图像和性质。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题引入三角函数的概念，让学生在解决问题的过程中理解和掌握三角函数的性质。
2.数形结合法：通过绘制三角函数的图像，让学生直观地理解三角函数的性质。
3.小组合作学习：引导学生分组讨论和探究，培养学生的团队合作能力和创新能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作三角函数的图像和性质的课件，以便在课堂上进行展示和讲解。
2.练习题：准备一些有关三角函数计算和应用的练习题，以便在课堂上进行巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入三角函数的概念，如在直角三角形中，边长为a、b、c的三角形的面积可以表示为S=1/2ab sinC，让学生思考sinC的定义和计算方法。
2.呈现（15分钟）讲解三角函数的定义，引导学生从已有的知识出发，理解三角函数的概念。
然后，通过绘制三角函数的图像，让学生直观地理解三角函数的性质。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论和探究，运用三角函数的性质解决实际问题。
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九年级数学下册第一章1第1课时利用二次函数解决实物抛物线问题、面积问题基础题知识点1 利用二次函数解决实物抛物线问题1．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为(C)A．－20 m B．10 m C ．20 m D．－10 m2．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3 m，此时距喷水管的水平距离为 m，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是(C)A．y＝－(x－)2＋3B．y＝－3(x＋)2＋3C．y＝－12(x－)2＋3D．y＝－12(x＋)2＋33．某工厂大门是一抛物线水泥建筑物(如图)，大门地面宽AB＝4 m，顶部C离地面高为4.4 m.(1)以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式；(2)现有一辆载满货物的汽车欲通过大门，货物顶点距地面2.8 m，装货宽度为2.4 m，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门．解：(1)如图，过AB的中点作AB的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点A，B，C的坐标分别为 A(－2，0)，B(2，0)，C(0，4.4)．设抛物线的表达式为y＝a(x－2)(x＋2)．将点C(0，4.4)代入得a(0－2)(0＋2)＝4.4，解得a＝－1.1，∴y＝－1.1(x－2)(x＋2)＝－1.1x2＋4.4.故此抛物线的表达式为y＝－1.1x2＋4.4.(2)∵货物顶点距地面2.8 m，装货宽度为2.4，∴只要判断点(－1.2，2.8)或点(1.2，2.8)与抛物线的位置关系即可．将x＝1.2代入抛物线，得 y＝2.816＞2.8，∴点(－1.2，2.8)和点(1.2，2.8)都在抛物线内．∴这辆汽车能够通过大门．知识点2 利用二次函数解决面积问题4．(教材P32习题T2变式)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是(C)A．60 m2 B．63 m2C．64 m2 D．66 m25．某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m，则池底的最大面积是(B)A．600 m2 B．625 m2C．650 m2 D．675 m26．(教材P31练习T2变式)将一根长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2. 7．在一幅长80 cm、宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是y cm2，设金色纸边的宽为x cm，要求纸边的宽度不得少于1 cm，同时不得超过2 cm.(1)求出y关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围；(2)此时金色纸边的宽应为多少厘米时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积．解：(1)镶金色纸边后风景画的长为(80＋2x)cm，宽为(50＋2x)cm，∴y＝(80＋2x)(50＋2x)＝4x2＋260x＋4 000(1≤x≤2)．(2)∵二次函数y＝4x2＋260x＋4 000的对称轴为直线x＝－，∴在1≤x≤2上，y随x的增大而增大．∴当x＝2时，y取最大值，最大值为4 536.答：金色纸边的宽为2 cm时，这幅挂图的面积最大，最大面积为4 536 cm2.中档题8．(2018·绵阳)如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2 m，则水面宽度增加(4－4) m.9．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两面墙隔开(如图)，已知计划中的建筑材料可建墙的长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值是144m2.10．如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了个简易秋千，拴绳子的地方离地面都是 2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1 m 的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子最低点距离地面的距离为多少米？解：如图，建立平面直角坐标系，由图可设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋c.把(－0.5，1)，(1，2.5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧（－0.5）2a ＋c ＝1，a ＋c ＝2.5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝12. ∴绳子所在抛物线的函数表达式为y ＝2x2＋.∵当x ＝0时，y ＝，∴绳子最低点距离地面的距离为0.5 m.11．(2018·荆州)为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18 m ，另外三边由36 m 长的栅栏围成，设矩形ABCD 空地中，垂直于墙的边AB ＝x m ，面积为y m2.(如图)(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)若矩形空地的面积为160 m2，求x 的值；(3)若该单位用8 600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵(每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表)．问丙种植物最多可购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明你的理由．解：(1)y ＝－2x2＋36x.(9≤x ＜18)(2)由题意，得－2x2＋36x ＝160.解得x1＝8(舍去)，x2＝10.∴x 的值为10.(3)设甲、乙、丙三种植物各购买a 棵，b 棵，c 棵．则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝400，14a ＋16b ＋28c ＝8 600，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1 100＋6c ，b ＝1 500－7c.∵∴183＜c＜214.∴c最大为214，即丙种植物最多可以购买214棵．当c＝214时，a＝184，b＝2，184×0.4＋2×1＋214×0.4＝161.2(m2)．∵y＝－2x2＋36x＝－2(x－9)2＋162，∴当x＝9时，空地的面积最大为162 m2.∵162＞161.2，∴这批植物可以全部栽种到这块空地上．第2课时利用二次函数解决销售问题及其他问题基础题知识点1 商品销售问题1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件商品，那么卖出商品所赚钱y元与售价x元之间的函数关系为(B)A．y＝－10x2－560x＋7 350B．y＝－10x2＋560x－7 350C．y＝－10x2＋350xD．y＝－10x2＋350x－7 3502．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(A)A．5元B．10元C．0元D．6元3．某商店经营某种商品，已知每天获利y(元)与售价x(元/件)之间满足关系式y＝－x2＋80x－1 000，则每天最多可获利600元．4．(教材P32习题T3变式)一名在校大学生利用“互联网＋”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？解：(1)设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b.将(10，30)，(16，24)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝30，16k ＋b ＝24. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝40.∴y 与x 的函数关系式为y ＝－x ＋40(10≤x ≤16)．(2)根据题意知，W ＝(x －10)y＝(x －10)(－x ＋40)＝－x2＋50x －400＝－(x －25)2＋225.∵a ＝－1＜0，∴当x ＜25时，W 随x 的增大而增大．∵10≤x ≤16，∴当x ＝16时，W 取得最大值，最大值为144.答：当每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．5．(教材P31例变式)“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？(2)若该型号自行车的进价不变，按(1)中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？解：(1)设该型号自行车进价为x 元，则标价是1.5x 元，由题意，得1．5x×0.9×8－8x ＝(1.5x －100)×7－7x ，解得x＝1 000.则1.5×1 000＝1 500(元)．答：该型号自行车进价为1 000元，标价为1 500元．(2)设该型号自行车降价a元，利润为w元，由题意，得w＝(51＋×3)(1 500－1 000－a)＝－(a－80)2＋26 460.∵－＜0，∴当a＝80时，w最大＝26 460.答：该型号自行车降价80元时，每月获利最大，最大利润是26 460元．知识点2 其他最值问题6．烟花厂为长沙橘子洲头周六晚上的烟花表演特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－t2＋20t＋1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为(B)A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s7．某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种10棵橘子树，橘子总个数最多．中档题8．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是(B)A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒9．(2017·天门)飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函数表达式是s＝60t－t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为20秒．10．(2018·安徽)小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2.(单位：元)(1)用含x的代数式分别表示W1，W2；(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？解：(1)第二期培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期培植盆景(50＋x)盆，花卉[100－(50＋x)]＝(50－x)盆，由题意，得W1＝(50＋x)(160－2x)＝－2x2＋60x＋8 000，W2＝19(50－x)＝－19x＋950.(2)W＝W1＋W2＝－2x2＋60x＋8 000＋(－19x＋950)＝－2x2＋41x＋8 950.∵－2＜0，－＝10.25，x为整数，∴当x＝10时，W最大，W最大＝－2×102＋41×10＋8 950＝9 160(元)．综合题11．(2018·黄冈)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y(万件)与月份x(月)的关系为：y＝每件产品的利润z(元)与月份x(月)的关系如下表：(1)请你根据表格求出每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式；(2)若月利润w(万元)＝当月销售量y(万件)×当月每件产品的利润z(元)，求月利润w(万元)与月份x(月)的关系式；(3)当x 为何值吋，月利润w 有最大值，最大值为多少？解：(1)根据表格可知：当1≤x ≤10(x 为整数)，z ＝－x ＋20；当11≤x ≤12(x 为整数)，z ＝10.∴z 与x 的关系式为：z ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋20（1≤x≤10，x 为整数），10（11≤x≤12，x 为整数）， 或z ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋20（1≤x≤9，x 为整数），10（10≤x≤12，x 为整数）. (2)当1≤x ≤8时，w ＝(－x ＋20)(x ＋4)＝－x2＋16x ＋80；当9≤x ≤10时，w ＝(－x ＋20)(－x ＋20)＝x2－40x ＋400；当11≤x ≤12时，w ＝10(－x ＋20)＝－10x ＋200.∴w 与x 的关系式为：w ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋16x ＋80（1≤x≤8，x 为整数），x2－40x ＋400（9≤x≤10，x 为整数），－10x ＋200（11≤x≤12，x 为整数）.或w ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋16x ＋80（1≤x≤8，x 为整数），x2－40x ＋400＝121（x ＝9），－10x ＋200（10≤x≤12，x 为整数）.(3)当1≤x ≤8时，w ＝－x2＋16x ＋80＝－(x －8)2＋144.∴当x ＝8时，w 有最大值为144.当9≤x≤10时，w＝x2－40x＋400＝(x－20)2.此时w随x增大而减小，∴当x＝9时，w有最大值为121.当11≤x≤12时，w＝－10x＋200，此时w随x增大而减小，∴当x＝11时，w有最大值为90.∵90＜121＜144，∴当x＝8时，w有最大值为144.或当1≤x≤8时，w＝－x2＋16x＋80＝－(x－8)2＋144，∴当x＝8时，w有最大值为144；当x＝9时，w＝121；当10≤x≤12时，w＝－10x＋200，此时w随x增大而减小，∴当x＝10时，w有最大值为100.∵100＜121＜144，∴当x＝8时，w有最大值144.11 / 11。