高考数学一轮复习 单元能力测试卷2

第二章 单元能力测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．已知A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f 是从A 到B 的映射，则满足f (0)>f (1)的映射有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．2个答案 A解析 当f (0)＝－1时f (1)可以是0或1，则有2个映射． 当f (0)＝0时，f (1)＝1，则有1个映射． 2．函数y ＝1lnx －1的定义域为( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(1,2)∪(2，＋∞) D ．(1,2)∪[3，＋∞) 答案 C解析 由ln(x －1)≠0得x －1>0且x －1≠1，由此解得x >1且x ≠2，即函数y ＝1ln x －1的定义域是(1,2)∪(2，＋∞)．3．已知f (x )＝a |x －a |(a ≠0)，则“a <0”是“f (x )在区间(0,1)内单调递减”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 f (x )＝a |x －a |(a ≠0)在(0,1)内单调递减的充要条件是a <0或a ≥1，故选A. 4．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为( ) A ．2 B.23 C.13 D ．1答案 B解析 由题可知函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，当f (x )＝0时x ＝1，当f (x )＝1时x ＝3或13，所以要使值域为[0,1]，定义域可以为[13，3]，[1,3]，[13，1]，所以b －a 的最小值为23.故选B.5．设f (x )是R 上的偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋3x )，则当x ∈(－∞，0)时，f (x )等于( )A ．x (1＋3x ) B ．－x (1＋3x ) C ．－x (1－3x ) D ．x (1－3x )答案 C解析 令x <0，则－x >0∴f (－x )＝－x (1＋3－x )＝－x (1－3x ) ∵f (－x )＝f (x )＝－x (1－3x )6．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝(13)x ，那么f －1(0)＋f －1(－9)的值为( )A ．7B ．2或7C ．7或12D ．2答案 D7．已知定义域为R 的函数f (x )在(8，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋8)为偶函数，则( )A ．f (6)>f (7)B ．f (6)>f (9)C ．f (7)>f (9)D ．f (7)>f (10)答案 D解析 y ＝f (x ＋8)可看作是y ＝f (x )左移8个单位 ∴y ＝f (x )关于x ＝8对称，两侧单调性相反． 8．函数y ＝2－|x |的单调递增区间是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．非奇非偶函数答案 B 解析 画出y ＝2－|x |的图象如图：故选B.9．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b －3(x ∈R )图象恒过点(2,0)，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5B.15C ．4 D.14答案 B解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b －3的图象恒过点(2,0)，∴4＋2a ＋b －3＝0，即2a ＋b ＋1＝0，则a 2＋b 2＝a 2＋(1＋2a )2＝5a 2＋4a ＋1＝5(a ＋25)2＋15，∴a 2＋b 2的最小值为15.10．已知偶函数y ＝f (x )满足条件f (x ＋1)＝f (x －1)，且当x ∈[－1,0]时，f (x )＝3x＋49，则f (log 135)的值等于( )A ．－1 B.2950 C.10145D ．1答案 D解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)，知f (x ＋2)＝f (x )，函数y ＝f (x )是以2为周期的周期函数． 因为log 135∈(－2，－1)，log 135＋2＝log 1359∈(0,1)，又f (x )为偶函数且x ∈[－1,0]，f (x )＝3x＋49，∴当x ∈[0,1]时，f (x )＝3－x＋49，所以f (log 135)＝f (log 135＋2)＝f (log 1359)＝3－log 1359＋49＝3log 359＋49＝59＋49＝1，故选D.11．将函数y ＝3x ＋a的图象C 向左平移一个单位后，得到的是函数y ＝f (x )的图象，若y ＝f (x )的反函数是一个奇函数，则实数a 的值是( )A ．1B ．0C ．－1D ．－3答案 C12．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1－2 x ≤131－x－2x >1的值域是( )A ．(－2，－1)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－2，－1]答案 D解析 当x ≤1 时，y ＝3x －1－2，∵0<3x －1≤1，∴－2<y ≤－1.当x >1时，0<31－x<1，∴－2<y <－1，综上得：－2<y ≤－1，∴选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知f (x )＝ax －12，f (lg a )＝10，则a 的值为________．答案 10或10－12解析 alg a －12＝10，两边取10为底的对数得(lg a －12)lg a ＝12，解得lg a ＝1或lg a ＝－12，故a ＝10或a ＝10－12.14．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f x，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (1.5)＝________.答案 2.5 解析 f (x ＋2)＝－1f x，∴f (x ＋4)＝－1fx ＋2＝f (x )，故T ＝4， ∴f (1.5)＝f (1.5－4)＝f (－2.5)＝f (2.5)＝2.5.15．某厂有形状为直角梯形的边角料，现从中截取矩形铁片(如图所示)，当矩形面积最大时，矩形的两边x ，y 分别应为________．答案 x ＝15，y ＝12解析 由三角形相似的性质可得：x 24－y ＝2024－8，∴16x ＝480－20y ，y ＝24－45x .∴S ＝x ·y ＝x ·(24－45x )＝24x －45x 2＝－45(x －15)2＋45×152.当x ＝15，y ＝12时，S 最大．16．设f (x )是偶函数，且当x >0时，f (x )是单调函数，则满足f (x )＝f (x ＋3x ＋4)的所有x的和为________．答案 －8解析 依题意，当f (x )＝f (x ＋3x ＋4)时，x ＝x ＋3x ＋4，即x 2＋3x －3＝0，此时满足f (x )＝f (x ＋3x ＋4)的x 的和为x 1＋x 2＝－3；又f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (－x )＝f (x ＋3x ＋4)，即－x ＝x ＋3x ＋4，即x 2＋5x ＋3＝0，∴满足f (x )＝f (x ＋3x ＋4)的x 的和为x 3＋x 4＝－5.∴满足f (x )＝f (x ＋3x ＋4)的所有x 的和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－3＋(－5)＝－8.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝1x 2＋1，令g (x )＝f (1x)．(1)如图，已知f (x )在区间[0，＋∞)的图象，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图象，请说明你的作图依据；(2)求证：f (x )＋g (x )＝1(x ≠0)． 解析 (1)∵f (x )＝1x 2＋1，所以f (x )的定义域为R ，又任意x ∈R ，都有f (－x )＝1－x2＋1＝1x 2＋1＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，故f (x )的图象关于y 轴对称，其图象如图所示(2)∵g (x )＝f (1x)＝11x2＋1＝x 21＋x 2(x ≠0)，∴g (x )＋f (x )＝11＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋x21＋x 2＝1，即g (x )＋f (x )＝1(x ≠0)点评 利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋22， x <0，4， x ＝0x －22， x >0.(1)写出f (x )的单调区间； (2)若f (x )＝16，求相应x 的值．解析 (1)当x <0时，f (x )在(－∞，－2]上递减，在(－2,0)上递增； 当x >0时，f (x )在(0,2]上递减，在(2，＋∞)上递增．综上，f (x )的单调增区间为(－2,0)，(2，＋∞)，单调减区间为(－∞，－2]，(0,2]． (2)当x <0时，f (x )＝16，即(x ＋2)2＝16，解得x ＝－6； 当x >0时，f (x )＝16，即(x －2)2＝16，解得x ＝6. 故所求x 的值为－6或6.19．(本小题满分12分)已知f (x )＝x 2－x ＋k ，且log 2f (a )＝2，f (log 2a )＝k (a ＞0，a ≠1) (1)求a ，k 的值；(2)当x 为何值时，f (log a x )有最小值？并求出该最小值．解析 (1)由题得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋k ＝41log 2a 2－log 2a ＋k ＝k 2由(2)得log 2a ＝0或log 2a ＝1 解得a ＝1(舍去)或a ＝2 由a ＝2得k ＝2(2)f (log a x )＝f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2当log 2x ＝12即x ＝2时，f (log a x )有最小值，最小值为74.20．(本小题满分12分)(1)已知函数y ＝ln(－x 2＋x －a )的定义域为(－2,3)，求实数a 的取值范围；(2)已知函数y ＝ln(－x 2＋x －a )在(－2,3)上有意义，求实数a 的取值范围． 解 (1)据题意，不等式－x 2＋x －a >0的解集为(－2,3)， ∴方程－x 2＋x －a ＝0的两根分别为－2和3. ∴a ＝(－2)×3＝－6.(2)据题意，不等式－x 2＋x －a >0的解集{x |－x 2＋x －a >0}⊇(－2,3)，∴方程f (x )＝－x 2＋x －a ＝0的两根分别在(－∞，－2]和[3，＋∞)内．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0f －2≥0f 3≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <14a ≤－6⇒a ≤－6.a ≤－6.∴a 的取值范围为a ≤－6.21．(本小题满分12分)某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2010年该产品的利润y (万元)表示为m 的函数． (2)该厂家2010的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大．分析 (1)本题含有多个计算公式：年利润＝年销售收入－总成本；年销售收入＝年销售量×销售价格；总成本＝产品成本＋促销费用；销售价格1.5×每件产品平均成本；产品成本＝固定投入＋再投入；每件产品年平均成本＝产品成本/年销售量．(2)转化为求函数y ＝f (m )的最大值．解析 (1)由题意可知当m ＝0时，x ＝1(万件)， ∴1＝3－k ，即k ＝2. ∴x ＝3－2m ＋1. 由题意，得每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，则2010年的利润y ＝x [1.5×8＋16xx]－(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8(3－2m ＋1)－m ＝－16m ＋1－m ＋28(m ≥0)， 即y ＝－16m ＋1－m ＋28(m ≥0)． (2)下面证明当0≤m ≤3时，函数y ＝－16m ＋1－m ＋28是增函数．设0≤m 1＜m 2≤3，则y 1－y 2＝(－16m 1＋1－m 1＋28)－(－16m 2＋1－m 2＋28) ＝(16m 2＋1－16m 1＋1)＋(m 2－m 1) ＝16m 1－m 2m 2＋1m 1＋1＋(m 2－m 1)＝(m 1－m 2)[16m 2＋1m 1＋1－1]，∵0≤m 1＜m 2≤3，∴m 1－m 2＜0,0＜(m 2＋1)(m 1＋1)＜16. ∴16m 2＋1m 1＋1＞1. ∴16m 2＋1m 1＋1－1＞0.∴y 1＜y 2.∴当0≤m ≤3时，函数y ＝－16m ＋1－m ＋28是增函数． 同理可证，当m ＞3时，函数y ＝－16m ＋1－m ＋28是减函数． 则当m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)，∴该厂家2010年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元． [注]：也可用导数法求最值．22．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且f (x )最小值是－1，函数g (x )与f (x )的图象关于原点对称．(1)求f (x )和g (x )的解析式；(2)若h (x )＝f (x )－λg (x )在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围． 解 (1)依题意，设f (x )＝ax (x ＋2)＝ax 2＋2ax (a >0)． ∵f (x )图象的对称轴是x ＝－1，∴f (－1)＝－1，即a －2a ＝－1，得a ＝1. ∴f (x )＝x 2＋2x .由函数g (x )的图象与f (x )的图象关于原点对称， ∴g (x )＝－f (－x )＝－x 2＋2x .(2)由(1)得h (x )＝x 2＋2x －λ(－x 2＋2x )＝(λ＋1)x 2＋2(1－λ)x . ①当λ＝－1时，h (x )＝4x 满足在区间[－1,1]上是增函数； ②当λ<－1时，h (x )图象对称轴是x ＝λ－1λ＋1，则λ－1λ＋1≥1，又λ<－1，解得λ<－1； ③当λ>－1时，同理则需λ－1λ＋1≤－1， 又λ>－1，解得－1<λ≤0.综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．。