(高二下数学期末20份合集)湖北省高二下学期数学期末试卷合集

高二下学期期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

） 1. 在复平面内，复数112i-对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 已知32()21f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a =A.23B.14C.83D.123. 二项式61(2)x x-展开式中的常数项为 A. －160B. －180C. 160D. 1804. 用反证法证明命题：“1234,,,a a a a 至少有一个数大于25”时，假设正确的是 A. 假设1234,,,a a a a 都大于25 B. 假设1234,,,a a a a 都小于或等于25 C. 假设1234,,,a a a a 至多有一个数大于25 D. 假设1234,,,a a a a 至少有两个数大于255. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本，不同的分法种数为 A. 6B. 12C. 60D. 906. 如图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，E 是MN 的三等分点，且13NE NM =，用向量,,OA OB OC 表示OE 为A. 16OE OA OB OC =++ B. 111333OE OA OB OC =++ C. 111663OE OA OB OC =++D. 111633OE OA OB OC =++ 7. 利用数学归纳法证明“*(1)(2)()213(21),n n n n n n n N +++=⨯⨯⨯⨯-∈”时，从“n k =”变到“1n k =+”时，左边应增乘的因式是A. 21k +B. 2(21)k +C. 1k +D. 2(1)k +8. 若函数3()63f x x bx b =-+在（0，1）内有极小值，则实数b 的取值范围是 A. (0,1)B. (,1)-∞C. (0,)+∞D. 1(0,)2二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分。

） 9.221x dx ⎰＝__________。

10. 已知函数()2xf x e x =-（e 为自然对数的底数），那么曲线()f x 在点（0，1）处的切线方程为___________。

11. 从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是__________。

12. 已知(1,1,),(2,,)a t t t b t t =--=，则||b a -的最小值是_______。

13. 在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率是__________。

14. 已知整数对按如下规律排成：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4）（2，3），（3，2），（4，1），……，照此规律则第60个数对是_________。

三、解答题（本大题共5小题，其中第15，16题各8分，第17，18题各9分，第19题10分，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 15. （本小题满分8分）一次考试中，要求考生从试卷上的10个题目中任选3道题解答，其中6道甲类题，4道乙类题。

（Ⅰ）求考生所选题目都是甲类题的概率；（Ⅱ）已知一考生所选的三道题目中有2道甲类题，1道乙类题，设该考生答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立；用X 表示该考生答对题的个数，求X 的分布列与数学期望。

16. （本小题满分8分）在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了120人，其中女性65人，男性55人。

女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外25人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外35人主要的休闲方式是运动。

（Ⅰ）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（Ⅱ）能够以多大的把握认为性别与休闲方式有关系，为什么？参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量。

3个人坐在一排6个座位上，问： （Ⅰ）3个人都相邻的坐法有多少种？ （Ⅱ）空位都不相邻的坐法有多少种？ （Ⅲ）空位至少有2个相邻的坐法有多少种？ 18. （本小题满分9分）如图，矩形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB ＝AD ＝DE ＝1，CD ＝2，M 为CE 上的点。

（Ⅰ）求证：BC ⊥平面BDE ；（Ⅱ）当M 为CE 中点时，求直线BM 与平面BEF 所成角的正弦值。

19. （本小题满分10分） 已知函数2()ln 2(0)f x a x a x=+->。

（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =-+平行，求函数()y f x =的极值； （Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有()2f x >-成立，试求a 的取值范围。

【试题答案】一、选择题（每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. A 2. C 3. A 4. B 5. D 6. D 7. B 8. D二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

9. 7310. 10x y +-=11.112113.16π 14. （5，7）三、解答题：本大题共5小题，其中第15，16题各8分，第17，18题各9分，第19题10分，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题满分8分）解：（1）设事件A ＝“考生所选题目都是甲类题”。

所以363101()6C P A C ==。

3分（2）X 所有的可能取值为0,1,2,3。

2023214(0)555125P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 112102232132428(1)555555125P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭211212232132457(2)555555125P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22232436(3)555125P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

所以X 的分布列为：所以()0232125125125125E X =⨯++⨯+⨯=。

8分16. （本小题满分8分） 解：（Ⅰ）列联表5分（Ⅱ）解：因2K ＝7.552>6.635，故有99％的把握认为性别与休闲方式有关系。

8分17. （本小题满分9分）解：3个人排有33A ＝6种，3人排好后包含两端共有4个“间隔”可以插入空位。

（Ⅰ）若从第一个位置开始相邻坐下，有33A 种坐法 若从第二个位置开始相邻坐下，有33A 种坐法 同理，综上可知，共有4·33A ＝24种坐法3分（Ⅱ）空位都不相邻相当于将3个空位安插在4个“间隔”中，有34C 种故有333424A C ⋅=种6分（Ⅲ）3个空位至少有2个相邻的情况有两类：①3个空位恰有2个相邻，另有1个不相邻有323472A A ⋅=种②3个空位都相邻，有33A ·14A ＝24种 综上可知，有72+24＝96种坐法9分18. （本小题满分9分）解：（Ⅰ）因为矩形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面 互相垂直，且交于AD ，因为DE ⊥AD ，DE ⊂平面ADEF ， 所以DE ⊥平面ABCD 。

又因为AD ⊥CD ，所以DA ，DC ，DE 三条线两两垂直，以D 点为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系。

3分因为AB ＝AD ＝DE ＝1，CD ＝2，所以(0,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1)D B C E 所以(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0)DB DE BC ===-(1,1,0)(1,1,0)0BC DB ⋅=-⋅=且(1,1,0)(0,0,1)0BC DE ⋅=-⋅=， 且BDDE D =，所以，直线BC ⊥平面BDE 。

6分（Ⅱ）1(1,0,1),(0,0,1),(0,1,)2F E M ，所以1(0,1,1),(1,0,0),(1,0,)2BF EF BM =-==-设(,,)m x y z =为平面BEF 的一个法向量，则00m BF m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0y z x -+=⎧⎨=⎩，令1y =，得(0,1,1)m =。

设直线BM 与平面BEF 所成角为θ， 则10sin |cos ,|m BM θ=<>=， 所以直线BM 与平面BEF 所成角的正弦值为10。

9分19. （本小题满分10分）解：（Ⅰ）直线2y x =-+的斜率为－1。

函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 因为22()a f x x x '=-+，所以22(1)111af '=-+=-，所以1a =。

所以2()ln 2f x x x =+-。

22()x f x x-'=。

令()0,2f x x '== 由()0f x '>解得2x >；由()0f x '<解得02x <<。

所以()f x 的单调增区间是(2,)+∞，单调减区间是(0,2)。

所以()f x 的极小值为(2)ln 21f =-。

5分（Ⅱ）2222()a ax f x x x x -'=-+=， 由()0f x '>解得2x a >；由()0f x '<解得20x a<<。

所以()f x 在区间2(,)a+∞上单调递增，在区间2(0,)a上单调递减。

所以当2x a =时，函数()f x 取得最小值，min 2()y f a=。

因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2f x >-成立， 所以2()2f a>-即可。

则22ln 222a a a+->-，则2ln 0a a a +>， 解得02a e <<。

所以a 的取值范围是(0,2)e 。

10分高二下学期期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则A B = ▲ ．2．i 为虚数单位，复数21i-= ▲ ． 3．函数()lg(1)f x x =+的定义域为 ▲ ． 4．“0ϕ=”是“函数()sin()f x x ϕ=+为奇函数”的▲ 条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写） 5．函数xy e =在1x =处的切线的斜率为 ▲ ． 6．若tan θ+1tan θ=4则sin2θ= ▲ ． 7．点A （2,2）关于直线x-y-1=0的对称点'A 的坐标为 ▲ ． 8．函数()sin cos f x x x =-的值域为 ▲ ．9===⋅⋅⋅=， 则21n m+= ▲ ． 10．已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．11．已知函数()f x 是定义在[4,)-+∞上的单调增函数，且对于一切实数x ，不等式22(cos )(sin 3)f x b f x b -≥--恒成立，则实数b 的取值范围是 ▲ ．12．设T S ,是R 的两个非空子集，如果存在．．一个从S 到T 的函数)(x f y =满足； (i)}|)({S x x f T ∈=；(ii)对任意S x x ∈21,，当21x x <时,恒有)()(21x f x f <． 那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下4对集合： ①,{1,1}S R T ==-； ②*,S N T N ==；③{|13},{|810}S x x T x x =-≤≤=-≤≤； ④{|01},S x x T R =<<=其中，“保序同构”的集合对的对应的序号是 ▲ (写出所有“保序同构”的集合对的对应的序号)．13．已知点(1,2),(1,2),(5,2)A B C --，若分别以,AB BC 为弦作两外切的圆M 和圆N ，且两圆半径相等，则圆的半径为 ▲ ．14．若关于x 的不等式2xax e ≥的解集中的正整数解有且只有3个，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）已知a R ∈，命题2:"[1,2],0"p x x a ∀∈-≥，命题2:",220"q x R x ax a ∃∈++-=． ⑴若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；⑵若命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．16．（本小题满分14分）已知函数()2cos()(0,)6f x x x R πωω=+>∈的最小正周期为10π．⑴求函数()f x 的对称轴方程； ⑵设,[0,]2παβ∈，56516(5),(5)35617f f ππαβ+=--=，求cos()αβ+的值．17．（本小题满分14分）已知函数2()1f x ax bx =++（,a b 为实数，0,a x R ≠∈），(),0()(),0f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩．⑴若(1)0f -=，且函数()f x 的值域为[0,)+∞，求()F x 的表达式；⑵设0,0,0mn m n a <+>>，且函数()f x 为偶函数，求证：()()0F m F n +>．18．（本小题满分16分）如图，某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y 轴左侧的观光道曲线段是函数sin()(0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<，[4,0]x ∈-时的图象且最高点B （-1，4），在y 轴右侧的曲线段是以CO 为直径的半圆弧． ⑴试确定A ，ω和ϕ的值；⑵现要在右侧的半圆中修建一条步行道CDO （单位：米），在点C 与半圆弧上的一点D 之间设计为直线段（造价为2万元/米），从D 到点O 之间设计为沿半圆弧的弧形（造价为1万元/米）．设DCO θ∠=(弧度)，试用θ表示修建步行道的造价预算，并求造价预算的最大值？（注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度）19．（本小题满分16分）如图，圆22:4O x y +=⑴求与直线AC ⑵设点M 是圆上任意一点线BM 交直线AC 于点N ，①若D 点坐标为②求证：2ND MB k k -20．（本小题满分16分）已知函数2()(,)f x ax bx a b R =+∈，函数()ln g x x =．⑴当0=a 时，函数)(x f 的图象与函数)(x g 的图象有公共点，求实数b 的最大值； ⑵当0b =时，试判断函数)(x f 的图象与函数)(x g 的图象的公共点的个数；⑶函数)(x f 的图象能否恒在函数()y bg x =的图象的上方？若能，求出,a b 的取值范围；若不能，请说明理由．参考答案文 科 数 学 试题 参 考 答 案一、填空题：1．{2} 2．1i + 3．(1,)-+∞ 4．充分不必要5．e 6．127．（3,1） 8．[9．2014 10．(0,1)(1,4) 11．1[212．②③④13．4[,)16e e二、解答题：15⑴因为命题2:"[1,2],0"p x x a ∀∈-≥，令2()f x x a =-，根据题意，只要[1,2]x ∈时，min ()0f x ≥即可， ……4分也就是101a a -≥⇒≤； ……7分 ⑵由⑴可知，当命题p 为真命题时，1a ≤，命题q 为真命题时，244(2)0a a ∆=--≥，解得21a a ≤-≥或 ……11分 因为命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，所以命题p 与命题q 一真一假， 当命题p 为真，命题q 为假时，12121a a a ≤⎧⇒-<<⎨-<<⎩，当命题p 为假，命题q 为真时，11-21a a a a >⎧⇒>⎨≤≥⎩或，综上：1a >或21a -<<． ……14分 16⑴由条件可知，21105T ππωω==⇔=， ……4分则由155()566x k x k k Z ππππ+=⇒=-+∈为所求对称轴方程； ……7分 ⑵56334(5)cos()sin ,cos352555f ππαααα+=-⇔+=-⇔==， 因为[0,]2πα∈，所以6334cos()sin ,cos 52555πααα⇔+=-⇔==，516815(5)cos ,sin 6171717f πβββ-=⇔==，因为[0,]2πβ∈，所以516815(5)cos ,sin 6171717f πβββ-=⇔== ……11分4831513cos()cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-． ……14分17⑴由(1)0f -=得10a b -+=，由()f x 值域为[0,)+∞得20,40a b a >⎧⎨∆=-=⎩， ……4分24(1)02,1b b b a --=⇒==，2()(1)f x x =+，22(1),0()(1),0x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩；……7分⑵因为偶函数，2()1f x ax =+，又0a >，所以221,0()1,0ax x F x ax x ⎧+>⎪=⎨--<⎪⎩， ……11分 因为0mn <，不妨设0m >，则0n <，又0m n +>，所以0m n >->，2222()()11()0F m F n am an a m n +=+--=->，则()()0F m F n +>． …14分18⑴因为最高点B （-1，4），所以A=4；1(4)3124TT =---=⇒=， 因为2126T ππωω==⇒=……5分代入点B （-1，4），44sin[(1)]sin()166ππϕϕ=⨯-+⇒-=，又203πϕπϕ<<⇒=； ……8分⑵由⑴可知：24sin(),[4,0]63y x x ππ=+∈-，得点C (0,即CO =取CO 中点F ，连结DF ，因为弧CD 为半圆弧，所以2,90DFO CDO θ∠=∠=︒，即2DO θ== ，则圆弧段DO造价预算为万元， Rt CDO ∆中，CD θ=，则直线段CD造价预算为θ万元所以步行道造价预算()g θθ=+，(0,)2πθ∈． ……13分由'()sin )2sin )g x θθ=-+=-得当6πθ=时，'()0g θ=，当(0,)6πθ∈时，'()0g x >，即()g θ在(0,)6π上单调递增； 当(,)62ππθ∈时，'()0g x <，即()g θ在(,)62ππ上单调递减 所以()g θ在6πθ=时取极大值，也即造价预算最大值为（63+）万元．……16分19．(2,0),(2,0),(0,2)A B C -，直线:20AC x y -+=， ……2分 ⑴设l ：0x y b ++=2=则b =±l：0x y +±=； ……5分⑵①CM：0x +-=，圆心到直线CM的距离d ==所以弦CM的长为2=；（或由等边三角形COM ∆亦可） ……9分 ②解法一：设直线CM 的方程为：2(y kx k =+存在，0,1)k k ≠≠±，则2(,0)D k-由2224y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得22(1)40k x kx ++=，所以0x =或241k x k =-+，将241kx k =-+代入直线CM ，得22221k y k -=+，即222422(,)11k k M k k --++，……12分 则11BMk k k -=+，BM ：1(2)1k y x k -=-+，:201:(2)1AC BM l x y k l y x k -+=⎧⎪⎨-=-⎪+⎩，(2,22)N k k -- 得1ND k k k =+，所以212111ND MB k k k k k k --=-=++为定值． ……16分解法二：设00(,)M x y ，则2200002,0,4x x x y ≠±≠+=，直线002:2CM y l y x x -=+， 则002(,0)2x D y -，002MB y k x =-，直线00:(2)2BM y l y x x =--，又:2AC l y x =+ AC 与BM 交点00000004224(,)22x y y N x y x y -------，02000022000000000004242242224422NDy x y y y k x x y x x y y y y x y ---==---+------ 将22004x y =-，代入得00022ND y k x y -=+-， ……13分 所以200000002000000002(2)248222424ND MB y y x y y x y k k x y x x x x y y ---+--=-=+---+-+， 得220000000000220000000000248248214424842ND MBx y y x y x y y x y k k y x x y y y x x y y --+---+--===--+-+--+-为定值．……16分 20⑴bx x f a =∴=)(0 ,由一次函数与对数函数图象可知两图象相切时b 取最大值， ……1分 设切点横坐标为0x ，1(),()f x b g x x''==， 000011,,ln b x x e b e bx x⎧=⎪∴∴=∴=⎨⎪=⎩, 即实数b 的最大值为1b e =； ……4分⑵2ln 0,0,()()xb x f x g x a x =>∴=⇔=， 即原题等价于直线y a =与函数2ln ()xr x x =的图象的公共点的个数， ……5分 '432ln 12ln ()x x x xr x x x --==， ()r x ∴在递增且1()(,)2r x e∈-∞，()r x 在)+∞递减且1()(0,)2r x e∈， 1(,)2a e∴∈+∞时，无公共点， 1(,0]{}2a e∈-∞⋃时，有一个公共点，1(0,)2a e∈时，有两个公共点； ……9分 ⑶函数)(x f 的图象恒在函数()y bg x =的图象的上方，即()()f x bg x >在0x >时恒成立， ……10分①0a <时()f x 图象开口向下，即()()f x bg x >在0x >时不可能恒成立， ②0a =时ln bx b x >，由⑴可得ln x x >，0b ∴>时()()f x bg x >恒成立，0b ≤时()()f x bg x >不成立，③0a >时， 若0b <则2ln a x x b x -<，由⑵可得2ln x xx-无最小值，故()()f x bg x >不可能恒成立， 若0b =则20ax >，故()()f x bg x >恒成立，若0b >则2(ln )0ax b x x +->，故()()f x bg x >恒成立， ……15分综上，0,0a b =>或0,0a b >≥时函数)(x f 的图象恒在函数()y bg x =的图象的上方． ……16分高二下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。