第七讲：正弦函数、余弦函数的图象
正弦余弦函数的图像性质(周期、对称、奇偶)
4π
6π
正弦函数y=sinx的图 象
-
-
-
x
-
每隔2π ，图象重复出现
− 6π − 4π
-
y
即对任意x，y = sin x + 2π） sin x （ =
1-1-
− 2π
-
o
2π
4π
6π
如果令f（x）＝ 如果令 （ ）＝sinx，则 f（x＋2π）＝ （x) ， （ ＋ ）＝f（ ）＝ ）＝ 抽象 f (x +T) = f(x)
y
2
+ kπ，k ∈ Z
（kπ，0）,k∈Z ， ） ∈
余 弦函 数 y=cosx的 图象 的
1-
− 4π
-
− 2π
-
o
- 1心： 无数个 对称中心：
-
-
x
0 k （ + kπ， ）（ ∈ z） 2
π
巩固运用
例4、判断下列函数的奇偶 性 5 （1） f（ x） 2sin （2x＋ π）； = 2
-
-
-
-
x
-
正弦余弦函数对称性
正弦函数.余弦函数的图象和性质 正弦函数 余弦函数的图象和性质
y
正弦 函数 y=sinx的 图象 的
1-
− 6π
对称轴： 无数条 对称轴：
x=
− 6π
-
对称轴： 无数条 对称轴： x=kπ， x=kπ，k∈Z
-
− 4π
-
− 2π
-
o
-1 -
2π
4π
6π
x
π
对称中心： 无数个 对称中心：
答： T =
2π
正弦函数与余弦函数的图象
当两个角的和为$frac{pi}{2}$时，一个角的正弦值等于另一个角的余弦值，反之亦然。
04
正弦函数与余弦函数的应用
在物理中的应用
振动和波动
正弦函数和余弦函数是描述简谐 振动和波动的基本数学工具，如 弹簧振荡器、声波等。
交流电
正弦函数和余弦函数用于描述交 流电的电压和电流，广泛应用于 电力系统和电子设备。
02
正弦函数在直角三角形中可以表 示直角边与斜边的比值。
余弦函数的定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为y=cosx，其中x是角度（以弧度为单位），y是对应的余弦值。
余弦函数在直角三角形中可以表示邻边与斜边的比值。
正弦函数与余弦函数的基本性质
周期性
正弦函数和余弦函数都是周期函数，具有特定的周期，例如 y=sinx的周期为2π，y=cosx的周期为2π。
正弦函数和余弦函数用于设计和 分析交流电路，如变压器、电感 和电容等。
在经济中的应用
金融
01
正弦函数和余弦函数用于描述股票、债券和其他金融产品的价
格波动，以及利率和汇率的变化。
市场营销
02
正弦函数和余弦函数用于分析市场需求和消费者行为，用于制
定销售策略和预测市场趋势。
生产管理
03
正弦函数和余弦函数用于生产计划和调度，如安排生产线的运
周期性
正弦函数是周期函数，其周期为 $2pi$。这意味着函数图像每隔$2pi$ 会重复出现。
对称性
正弦函数具有轴对称性和中心对称性。 轴对称性体现在函数图像关于y轴对称， 中心对称性则体现在图像关于原点对 称。
余弦函数的周期性和对称性
周期性
余弦函数同样是周期函数，其周期为$2pi$。与正弦函数类似，其图像每隔 $2pi$会重复出现。
正弦函数、余弦函数的图像(完整)
(
3 2
,1)
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(2) 描点(定出五个关键点)
(3) 连y线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
图象的最高点
1-
-
(0,1) (2 ,1)
与x轴的交点
-
-1
o
6
2
3
2 3
5
7
6
6
4 3
3 5
2
3
11 6
2
x
(
2
,0)
(
3 2
,0)
-1 -
图象的最低点 ( ,1)
三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
-1
O
M A(1,0) x
正弦函数的图象
问题：如何作出正弦函数的图象？
途径：利用单位圆中正弦线来解决。
描图：用光滑曲线
y
B
1
将这些正弦线的 终点连结起来
A
O1
O
2
4
5
2
x
4
5 6 x
正弦、余弦函数的图象
如何由正弦函数图像得y 到余弦函数图像？
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象
y=cosx=sin(x+ ), xR
2
余弦函数的图象
y
1
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦曲 线
-4 -3
-2
- o
-1
正弦函数、余弦函数的图象
-1
o
-1 -
2
3
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
2
图象的最低点 ( 32 ,1)
x
简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) y (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
(0,1)
-
1-
-1
o
-1 -
( ,0) 2
2
( ,0)
5 6
3 2
(2 ,1)
5 3 11 6
6
图象的最低点
-
3
2 3
7 6
4 3
3 2
2
x
下一步 要结束吗
( ,1)
作业:
1.课本 57页 习题 1 2.研究性课题:正弦仪的设计及制造
3. 探索发现：
y
1 -4 -3 -2 -
y sin x
2 3 4 5 6
sinx 1+sinx
y 2 1
y 1 sin x，x [0,2 ] 的简图：
0
0 1
2
1 2
0 1
3 2 -1 0
2
0 1
y=1+sinx，x[0, 2]
2
2
o -1
3 2
2
x
y=sinx，x[0, 2]
3 思考：函数y 1 sin x( x [0, 2 ])的图像与直线y 的交点个数是__。 2
☆锦句戏说: 正弦已变余弦样. 1. 长江后浪推前浪,________________________.
1.4.1(公开课课件)正弦函数、余弦函数的图像
实 一 一对应
唯一确定
角
正 弦
数
一对多 值
定义：任意给定的一个实数x,有唯一确定的值sinx与 之对应。由这个法则所确定的函数 y=sinx叫做正弦
函数，y=cosx叫做余弦函数，二者定义域为R。
第3页，共28页。
二、正弦函数 y =sinx(x∈R)的图象
1.几何法作图:
问题:如何作出正弦函数的图象？
(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
1-
-
-
-1
o
6
2
3
2 3
5
7
6
6
4 3
3 5 23
-1 -
第26页，共28页。
图象的最高点
(0,1) (2 ,1)
与x轴的交点
11 6
2
x
(
2
,0)
(
3 2
,0)
图象的最低点 ( ,1)
课堂小结
1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此， 只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦 曲线和余弦曲线.
正弦函数、余弦函数的图象
第1页，共28页。
1.正弦线、余弦线的概念
设任意角α的终 边与单位圆交于点P. 过点P做x轴的垂线, 垂足为M.
则有向线段MP叫做角α的正弦线. 有向线段OM叫做角α的余弦线.
2. 三角函数值的符号判断
y α 的终边
P(x,y)
oMx
第2页，共28页。
一、正弦函数的定义:
有何联系？
第17页，共28页。
练习：（1）作函数 y=1+3cosx，x∈[0,2π]的简图 (２)作函数 y=2sinx-1，x∈[0,2π]的简图
正弦函数、余弦函数的图象(2017.11)
正弦曲线
2
), xR
y
1
形状完全一样 只是位置不同
余弦曲线
2 3 4 5 6
-4
-3
-2
o
-1
x
【达标检测】
1、函数 与 的图象（ A．重合 B．形状相同，位置不同 C．形状不同，位置相同 D．形状不同，位置不同 ２、函数y 1 sin x, x [o,2 ] 的大致图象是（ ）
7 6
01
4 3
3 5 2 3
6 2 0 11 6 3 2
6 -1
2 3
5 6
7 4 3 5 11 6 2 6 3 2 3
● ● ● ● ● ●
●
x
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
思考:如何画函数y =sinx(x∈R)的图象?
数学使人聪颖 数学使人严谨
数学使人深刻 数学使人缜密
数学使人坚毅 数学使人智慧
பைடு நூலகம்
弹簧振子
正弦函数、余弦函数的图象
鹤北高中
张维国
一、利用正弦线画函数 y sin x, x 0,2 的图象
2 5 3 6
2
●
3
y
1
● ● ● ●
y sin x ( x [0, 2 ])
● ●
y=sinx x[0,2] sin(x+2k)=sinx, kZ
y
1
y=sinx x R
？
2 3 4
4
3
2
1
o
x
正弦函数y=sinx, xR的图象叫正弦曲线.
正弦函数、余弦函数的图象 课件
【方法技巧】用“五点法”画函数y=Asinx+b(A≠0)或
y=Acosx+b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤
(1)列表:
x
sinx (或cosx)
y
0
2
0(或1) 1(或0)
b
A+b
(或A+b) (或b)
π
0(或-1) b
(或-A+b)
3
2
-1 (或0)
-A+b (或b)
2π
0(或1) b
2
的图象,故B正确.
2.函数y=cosx,x∈R图象的一条对称轴是 ( )
A.x轴
C.直线x=
2
B.y轴
D.直线x= 3
2
【解析】选B.观察y=cosx,x∈R的图象可知,直线x=0即 y轴是一条对称轴.
3.请补充完整下面用“五点法”作出y=-sinx(0≤x≤
2π)的图象时的列表.
x -sinx
【审题路线图】1.求解 2-2sinx≥0⇒变形sinx≤
2⇒找出正弦曲线sinx= . 2
2
2
2.定义域⇒2sinx-1≥0.
3.求解x2-cosx=0⇒x2=cosx⇒构造函数⇒图象的交点.
【解析】1.选C.不等式可化为sinx≤ .2
2
方法一:作图,正弦曲线及直线y= 2如图所示.
2
由图知,不等式的解集为 {x|2k 5 x 2k ，k Z}.
【点拨】(1)辨析y=sinx,x∈[0,2π]与y=sinx,x∈R的 图象 ①函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象是函数y=sinx,x∈R 的图象的一部分;
②因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数 y=sinx,x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈Z且k≠0的图象与函 数y=sinx,x∈[0,2π]的图象形状完全一致,因此将 y=sinx,x∈[0,2π]的图象向左、向右平行移动(每次 移动2π个单位长度),就可得到函数y=sinx,x∈R的图 象.
三角函数正弦函数余弦函数的图象
三角函数正弦函数余弦函数的图象xx年xx月xx日•引言•正弦函数图像•余弦函数图像目录•正弦与余弦函数图像的对比•应用•结论01引言三角函数是数学中的基础知识正弦函数和余弦函数是三角函数的重要组成部分图象是数学中重要的表达方式之一课程背景研究目的和意义理解正弦函数和余弦函数的图象及性质掌握函数图象的绘制方法理解函数图象在实际问题中的应用本文将分为以下几个部分：正弦函数和余弦函数的定义、正弦函数和余弦函数的图象及性质、函数图象的绘制方法以及实际应用案例分析我们将通过观察图象来理解正弦函数和余弦函数的性质，并通过绘制函数图象来解决实际问题本文结构02正弦函数图像正弦函数sin(x)表示直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值。
定义域实数集，即x∈(-∞,∞)。
值域[-1,1]，即sin(x)∈[-1,1]。
1 2 3正弦函数的图像呈现出一种波动或振荡的形状，以原点为中心，左右对称。
图像形状正弦函数是周期性的，即对于任意的x∈(-∞,∞)，都有sin(x+2kπ)=sin(x)，其中k为任意整数。
周期性正弦函数的振幅为1，即正弦函数的取值范围在-1到1之间。
振幅奇偶性正弦函数是奇函数，即对于任意的x∈(-∞,∞)，都有sin(-x)=-sin(x)。
最大值最小值正弦函数的最小正周期为2π，即在2π的时间内完成一次完整的波动。
在每个周期内，正弦函数达到最大值1和最小值-1。
导数求导得sin'(x)=cos(x)。
01020303余弦函数图像余弦定理c² = a² + b² - 2ab cos(C)余弦函数图像以y轴为对称轴，以原点为对称中心，取一段区间，可以是[0,π]或[-π/2,π/2]或[π/2,3π/2]等余弦函数cos(x) = 邻边/斜边 = (b²+c²-a²)/(2bc)余弦函数的图像是在y轴上，以原点为中心，向左右两侧同时对称延长的。
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第七讲 正弦函数、余弦函数的图像与性质（1） 教学目标
1、利用单位圆中的三角函数线作出sin ,y x x R =∈的图象，明确图象的形状；
2、根据关系cos sin()2x x π
=+，作出cos ,y x x R =∈的图象；
3、用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题； 教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；
教学难点：作余弦函数的图象。
教学过程：
一、复习引入：
1．弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
2.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有
MP r y ==αsin
cos x OM r α== 有向线段MP 叫做角α的正弦线，
有向线段OM 叫做角α的余弦线．
二、讲解新课：
1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同。
（1）函数y=sinx 的图象
第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）. 第二步：在单位圆中画出对应于角0,,,,...,2632
ππππ的正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.
第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．
根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移 动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.
（2）余弦函数y=cosx 的图象 如何作出余弦函数的图象？你能从正弦函数与余弦函数的关系出发，利用正弦函数得到余弦函数图象吗？ 根据诱导公式cos sin()2x x π=+
,还可以把正弦函数x=sinx 的图象向左平移2π单位即得余弦函数y=cosx 的图象.
正弦函数y=sinx 的图象和余弦函数y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． **思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？
2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(,1)2π
，(,0)π，3(,1)2
π-，(2,0)π
余弦函数y=cosx ，x ∈[0,2π]的五个点关键是哪几个？(0,1)，(,0)2π
，(,1)π-，3(,0)2
π，(2,1)π
只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．
优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以
3.例题讲解
例1 作下列函数的简图
（1）1sin ,[0,2]y x x π=+∈
（2）cos ,[0,2]y x x π=-∈
y=cosx y=sinx π2π3π4π5π6π-π-2π-3π-4π-5ππππ-4π-3π-2π-π6π5π4π3π2ππ-1
1y x -1
1o x y y=cosx y=sinx π2π3π4π5π6π-π-2π-3π-4π-5π-6π-6π-5π-4π-3π-2π-π6π5π4π3π2ππ-11
y
x -1
1
o
x y
思考探究：
①如何利用s i n ,[0,
2]y x x π=∈的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到s i n (),[0,2]3y x x π
π=-∈的图象？
②如何利用cos ,[0,2]y x x π=∈的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到2cos ,[0,2]y x x π=-∈的图象？ ③不用作图，你能判断函数3sin()2
y x π=-和cos y x =的图象有何关系吗？请在同一坐标系中画出它们的简图，以验证你的猜想。
小结：33sin()sin[()2]sin()cos 222
x x x x ππππ-=-+=+= 这两个函数相等，图象重合。
例2 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x 的集合：
（1）1sin 2x ≥ （2）15cos ,(0)22
x x π≤<<
4.巩固与练习
用图形变换和五点作图两种方法作出下列函数的图像
（1）2sin ,[0,2]y x x π=--∈
（2）31cos ,[,]22y x x ππ=+∈-
5.正余弦函数的周期性
由错误！未找到引用源。
知:
正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.
定义：对于函数错误！未找到引用源。
,如果存在一个非零常数错误！未找到引用源。
,使得当错误！未找到引用源。
取定义域内的每一个值时,
都有错误！未找到引用源。
,那么函数错误！未找到引用源。
就叫做周期函数,非零常数错误！未找到引用源。
叫做这个函数的周期.
由此可知, 错误！未找到引用源。
都是这两个函数的周期.
对于一个周期函数错误！未找到引用源。
,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做错误！未找到引用源。
的最小正周期.
根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,错误！未找到引用源。
都是它
的周期,最小正周期是错误！未找到引用源。
.
6.例题讲解
例3 求下列三角函数的周期：（P35页例2）
①3cos y x =；②sin 2y x =；③12sin(),26y x x R π=-
∈
一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈的周期2||T πω=
7.巩固与练习
P36页练习1,2题
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．正弦、余弦曲线 几何画法和五点法
2.注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系
3.正、余弦函数的周期性
作业：
P46第1题，第3题。