1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
高中数学必修四《正弦函数、余弦函数的图像》PPT
2
2
-1
3
2
x
2
〖练习 〗 画出函数y=-cosx，x[0, 2]的简
图.
x
0
2
3
2
2
cosx 1
0
-1
0
1
- cosx -1
0
1
0
-1
y
1
o
2
2
-1
3
2
x
2
y= - cosx，x[0, 2]
归纳与整理
1. 正弦曲线、余弦曲线
几何画法 五点法(画简图)
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系
y
1
y=cosx，x[0, 2]
o
2
2
3
2
x
2
-1
y=sinx，x[0, 2]
其中“五点法”最常用，要牢记五个关键点的 坐标。
课堂延伸 思考1、你能否从正弦函数、余弦函数 的图象发现函数的哪些性质呢？
思考2、在同一坐标系中画出函数 y=sinx ，x∈[0,2π]与y=cosx ，x∈[0,2π] 的图象，你还能发现什么？
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) 2 ,0)
x
3
0
2
2
2
sinx
0
1
0
-1
0
【正弦函数、余弦函数的图象】
y
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
正弦函数的图象
关系？
y=cosx=sin(x+ ), xR
2
余弦函数的图象 y
-4 -3
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象知识点归纳与练习(含详细答案)
第一章 三角函数 §1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课时目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．1．正弦曲线、余弦曲线2．“五点法”画图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是_________________________； 画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________． 3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向________平移π2个单位长度即可．知识点归纳：1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．一、选择题1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．直线x ＝π22．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向右平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式为( )A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x3．函数y ＝－sin x ，x ∈[－π2，3π2]的简图是( )4．在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4，π2∪⎝⎛⎦⎤5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭⎫5π4，7π4 5．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π 6．方程sin x ＝lg x 的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 7．函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向右平移π2个单位后所得图象对应的函数解析式是__________．8．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是________________． 9．方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________．10．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________． 三、解答题11．利用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)； (2)y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)．12．分别作出下列函数的图象．(1)y＝|sin x|，x∈R；(2)y＝sin|x|，x∈R.能力提升13．求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．14．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．§1.4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象答案知识梳理2．(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－1，(2π，0) (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫32π，0，(2π，1) 3．左 作业设计1．D 2.B 3.D 4．A [∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫π4，34π.] 5．D [作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象，函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝2围成的平面图形，如图所示的阴影部分．利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC 的面积，又∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 平面图形＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π.]6．C [用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．描出点⎝⎛⎭⎫110，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．]7．y ＝－cos x解析 y ＝sin x 2π−−−−−−→向右平移个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 ∵sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，∴y ＝－cos x . 8.⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z 解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图象知x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋2π3，k ∈Z . 9．2解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解．10.⎣⎡⎦⎤π4，5π4解析 由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与 y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示：观察图象知x ∈[π4，54π]．11．解 利用“五点法”作图 (1)列表：X 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x1121描点作图，如图所示．(2)列表：X0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x－2－1－1－2描点作图，如图所示．12．解 (1)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π) (k ∈Z )．其图象如图所示，(2)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (x ≥0)－sin x (x <0)，其图象如图所示，13．解 由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >016－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．14．解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x x ∈[0，π]，－sin x x ∈(π，2π].图象如图，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1,3)．。
课件12： 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
3．请补充完整下面用“五点法”作出 y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象 时的列表．
x
0
π 2
①
3π 2
2π
－sin x ② －1 0 ③ 0
①
；②
；③
.
解析：用“五点法”作 y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象的五个 关键点为(0,0)，π2，－1，(π，0)，32π，1，(2π，0)故①为 π， ②为 0，③为 1. 答案：π 0 1
的横坐标可以是( )
A．0，π2，π，32π，2π
B．0，π4，π2，34π，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，π6，π3，π2，23π
解析：根据“五点法”作图，x 的取值为 0，π2，π，32π，2π.
答案：A
2．函数 y＝－sin x，x∈－2π，32π的简图是(
)
解析：函数 y＝－sin x 与 y＝sin x 的图象关于 x 轴对称，故选 D. 答案：D
当堂检测
1．对于余弦函数 y＝cos x 的图象，有以下三项描述：
①向左向右无限延伸；
②与 x 轴有无数多个交点；
③与 y＝sin x 的图象形状一样，只是位置不同．
其中正确的有( )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
解析：根据正余弦函数图象可知，①②③正确．
答案：D
2．函数y＝cos x与函数y＝－cos x的图象( )
思考：y＝cos x(x∈R)的图象可由 y＝sin x(x∈R)的图象平移得到
的原因是什么？ [提示] 因为 cos x＝sinx＋π2，所以 y＝sin x(x∈R)的图象向左
平移π2个单位可得 y＝cos x(x∈R)的图象．
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
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1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
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链接一: 正弦线、余弦线的作法
如图, 设α是一个任意角, 它的终边与单位圆交于点 P ( x, y) , 过点 P 作 x轴的垂线, 垂足为 M . 则有向线段 M P 、O M 分别叫做角α的正弦线、余弦线.
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(1)正弦曲线是中心对称图形, 其所有的对称中心坐标为( kπ, 0) ( k∈Z ) ; 正弦曲线是轴对称图形,
其所有的对称轴方程是 x=kπ+ ( k∈Z ) .
(2)余弦曲线是中心对称图形 , 其所有的对称中心坐标是( kπ+ , 0) ( k∈Z ) ; 余弦曲线是轴对称图
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正、余弦函数图象的应用
【例 3】 画出正弦函数 y=si n x, ( x∈R ) 的简图, 并根据图象写出: y≥ 时 x的集合.
思路点拨:先作简图,然后观察在哪些区域能使不等式成立.
解: 用“五点法”作出 y=si n x的简图.
过( 0, ) 点作 x 轴的平行线, 从图象可看出它在区间 [ 0, 2π ] 上与正弦曲线交于 ( , ) , ( ,) 点, 在[ 0, 2π ] 区间 内, y≥ 时 x的集合为{x| பைடு நூலகம்x≤ }, 当 x∈R 时, 若 y≥ , 则 x的集合为{x| +2kπ≤x≤ +2kπ, k∈Z }.
形, 其所有的对称轴方程是 x=kπ( k∈Z ) .
正弦余弦函数的图像
想一想?
1、 sin 、 cos的几何意义
y
P
正弦线MP
o
M
1
x
余弦线OM
利用正弦线作函数 y sin x, x 0,2 图象
y
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线
/ p1
1P 1
6
(3) 平移 (4) 连线
2
o1
M -1 1
A
o
-1 -
6
3
2 3
5 6
7 6
作业:
P34
1.2题 ； P46
1题
y sin x, x (0,2 )
y, sin x, x (0,2 ) （2）用“五点法”作出正弦函数图象 （3）用正弦函数图象平移法作出余弦函数图象,
(4) 作函数图象的基本方法有描点法和图象变换法.
,即正弦函数图象左移 个单位. cos x sin( x ) 2 2
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-
-
-
-
正弦曲线
y
1-
6
-
4
-
2
-
o-1
2
-
4
-
6
-
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， 4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
2
3 3 2
y sin x, x [0,2 ]
2
2 2
xx
y cos x, x [0,2 ]
1.4.1_正弦函数、余弦函数的图象
正弦函数：y sin x
xR
正弦曲线
y
1
-1
x
余弦函数：y cos x
(2 ,1)
( , 1)
2 , 0)
3 ( , 0) 2
与x轴的交点： (
第一章 三角函数
题型探究
五点作图法
•
例1
用“五点法”作出下列函数的简图． y＝sinx+1，x∈[0，2π]．
x
sinx 1+sinx
y 2 1
0
0 1
π 2 1 2
π
0 1
3π 2 -1 0
2π
0 1
y=1+sinx，x[0, 2]
第一章 三角函数
函数图象的应用
例4 (本题满分 10 分)根据正弦函数的图象， 1 求满足 sinx≥ 的 x 的范围． 2
1 【解】 在同一坐标系内画出 y＝sinx 和 y＝ 2 的图象，如图所示： 3分
第一章 三角函数
由图看到在 x∈[0，2π]内， 1 π 5π 满足 sinx≥ 的 x 为 ≤x≤ . 2 6 6 7分
描点作图法的步骤： （1）列表（2）描点（3）连线
沙漏试验
探究一:函数y sin x, x 0, 2 图象的作法
作法: (1) 等分; (2) 作正弦线; y
第一章 三角函数
(3) 平移; (4) 连线.
1P 1
/ p1
o1
6
M1
-1A
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象知识点一 正弦函数、余弦函数的概念实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦(或余弦)值．这样，任意给定一个实数x ，有唯一确定的值sin x (或cos x )与之对应．由这个对应法则所确定的函数y ＝sin x (或y ＝cos x )叫做正弦函数(或余弦函数)，其定义域是R .知识点二 几何法作正弦函数、余弦函数的图象利用正弦线，这种作图方法称为“几何法” 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．知识点三 “五点法”作正弦函数、余弦函数的图象描点法作函数图象步骤:列表、描点、连线．类型一 “五点法”作图的应用1．用“五点法”作y ＝2sin2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π32、利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图．3、利用正弦或余弦函数图象作出y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π2的图象．类型二 利用正、余弦函数图象解不等式 命题角度1 利用正、余弦函数图象解不等式用三角函数图象解三角不等式的方法(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象； (2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集； (3)根据公式一写出不等式的解集．1．不等式cos x <0，x ∈[0,2π]的解集为________．2、利用正弦曲线，求满足12<sin x ≤32的x 的集合．3、使不等式2－2sin x ≥0成立的x 的取值集合是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋3π4，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π－5π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z命题角度2 利用正、余弦函数图象求定义域1、求函数f (x )＝lgsin x ＋16－x 2的定义域． 2、求函数y ＝log 21sin x－1的定义域．3．若函数f (x )＝sin x －2m －1，x ∈[0,2π]有两个零点，求m 的取值范围．。
人教版高中数学正弦函数、余弦函数的图像(共21张PPT)教育课件
0
1
0
-1
0
y=-sin x
0
-1
0
1
0
描点得y=-sin x的图象
y y=sin x x∈[0,2π]
1
． ． ．π
0
2
-y1=-sin x x∈[0,2π]
． ． 3
2
2π
x
(2) 列表:
x
0
2
y=sin x
0
1
3
2
2
0
-1
0
y=1+sin x
1
2
1
0
1
描点得y=1+sin x的图象 y=1+sin x x∈[0,2π] y
图象的最低点(
3
2,
1)
图象的最高点(0,1) (2,1)
y co x ,x s0 ,2
图象与x轴的交点(
2
,0)
(
3 2
,0)
图象的最低点(,1)
三、例题分析
例 用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的简图。
(1)y=-sin x; (2)y=1+sin x.
解 (1)列表:
x
0
3
2
2
2
y=sin x
y
1
4
3
2
7
5
3
2
2
2
0
2
2
-1
2
3 2
3
4
5
7
x
2
2
y=sin x, x∈R
3.函数 ycox,sxR的图象:
由诱导公式 ycoxssinx () 可以看出：
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图象在4π,2π ,2π,0, 0, 2π,2π, 4π,…与其在
0, 2 的图象形状完全一致.
只需要将 y sin x, x 0, 2 的图象向左、向右平移
（每次2 个单位长度），即可得到正弦函数的图象.
想一想: 如何得到正弦函数 y sin x, x R 的图象呢?
y
-4 -3
-2
1
- o
些关键点？
y
1-
图象的最高点 ( ,1)
2
-
-1
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
与x轴的交点
(0,0) ( ,0) (2 ,0)
图象的最低点
(
3 2
,1)
想一想: 在作出正弦函数和余弦函数的图像时，应抓住哪
些关键点？
y
图象的最高点 (0,1) (2 ,1)
1-
-
-
1.4 三角函数的图象与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
（1）利用单位圆中的三角函数线作出 y sin x, x R
的图象，明确图象的形状；
（2）根据关系 cos x sin(x π )，作出 y cos x, x R
2
的图象；
（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利 用图象解决一些有关问题．
描点并将它们用光滑的曲线连接起来：
y
y=-cosx
1
3
2 2π
O
π
x
-1
2
1.在同一坐标系内，用五点法分别画出函数y=sinx，
x[0, 2] 和 y=cosx，x[ , 3 ]的简图，
22 并观察两条曲线，说出它们的关系.
x
0
2
20
scinosxx 10
01
向左平移 个单位长度 2
y
2
x
3
0 2 2 2
y=2sinx 0 2 0 -2 0
y
y=2sinx
2
1
0
2 x
（2）y=sin2x , x∈[0,π]
解: （1）列表
3
2x
0 2 2 2
x
3
0 424
(2)描点作图
y=sin2x 0 1 0 -1 0
y
y=sin2x
1
0
x
2
1.用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象. 2.用平移法得到余弦函数的图象. 3.利用五点作图法法作正弦函数、余弦函数的简图.
想一想: 如何作出角 x 的 正弦线和余弦线？
正弦线MP 余弦线OM
y
x
1P
o M1
x
想一想: 如何利用正弦线画出 y sin x, x 0, 2 图像？
y
1
x
o1
o
2 5
7
4
3 5 11 2
6
3
2
36
6
3
2
3
6
-1
想一想: 如何利用正弦线画出 y sin x, x 0, 2 图像？
在付当日的菜帐时，他对店主说： “唉!你忘了，去年我还欠你两只鸡蛋的账呢?我该付你多少钱?” “慢着!”店主人说，“这可得好好算一算：那两只鸡蛋本来可以孵出小鸡来，而鸡又会下蛋……” 最后，算下来要他付五百个比塞塔。 夏天来了，小狐狸们住的小山坡上小山沟里长出了好多豚草。 这时，围上来一群人。
QQ代刷网 / 留下了老鼠一个人，它伤心地哭了。”布谷鸟疑惑地问：“为什么?”麻雀回答：“这里只有这棵大树，大风一来，你的窝会被刮掉的。，”
例1.分别作出下列函数的简图 （1）y=1+sinx , x∈[0,2π]（2）y=-cosx , x∈[0,2π]
解：（1）按五个关键点列表
x0 sinx 0 1+sinx 1
2
10 21
3 22 -1 0
01
描点并将它们用光滑的曲线连接起来：
y 2 1
O -1
y=1+sinx
3
π
2
2
2π x
-
-
-1
o
6
2
3
2 3
5
7
6
6
4 3
3 5 23
11 6
2
x
-1 -
图象的最低点 ( ,1)
与x轴的交点(
2
,0)(
3 2
,0)
想一想: 通过上面的分析，你能不能更快捷的画出正弦函 数和余弦函数的简图？如何作？
五点作图法： (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
-1
正弦曲 线
2
3
4
5 6 x
想一想: 如何利用正弦函数 y sin x, x R 的图像得到余
弦函数 y cos x, x R 的图象？
向左平移
y sin x的图象
2
个单位
y
cos
x
sin
x
2
的图象
-
-
y-
1
பைடு நூலகம்
6
4
2
o-
2
-1
4
6
余弦曲线
想一想: 在作出正弦函数和余弦函数的图象时，应抓住哪
y
1
x
o1
o
2 5
7 4 3 5 11 2
632
36
6
3
23
6
-1
y=sinx, x [ 0, 2 ]
想一想: 如何利用正弦线画出 y sin x, x 0, 2 图像？
y
1
x
o1
o
2 5
7 4 3 5 11 2
632
36
6
3
23
6
-1
y=sinx, x [ 0, 2 ]
想一想: 如何得到正弦函数 y sin x, x R 的图象呢？ 因为终边相同的角的三角函数值相同，所以 y sin x 的
3
3
2
2
22
-01
0-1
01
1
o
2
-1
y=sinx，x[0, 2]
3
2
x
2
2
y=
cosx，x[
2
,
3
2
]
2.分别作出下列函数简图（五点法作图） （1）y=2sinx , x∈[0,2π] （2）y=sin2x , x∈[0,π]
（1）y=2sinx , x∈[0,2π]
解: （1）列表 (2)描点作图
雄鹰沉思了一会，地鼠又说道：“您不用担心我会逃跑，我已经是您的口中食了，在您的眼皮底下我还能逃到哪去
例2.分别作出下列函数的简图 （1）y=1+sinx, x∈[0,2π]（2）y=-cosx , x∈[0,2π]
解：（2）按五个关键点列表
x 02
3 22
cosx 1 0 -1 0 1
-cosx -1 0 1 0 -1