广东省东莞市2019届高三上学期期末统考模拟文科数学试题
2018-2019学年广东省东莞市高三(上)期末数学试卷(文科)-普通用卷
2018-2019学年广东省东莞市高三（上）期末数学试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合S={x|x＞-}，T={x|3x-1＜0}，则S∩T=（）A. B. C. D.2.已知复数z=（i为虚数单位），则|z|=（）A. 2B.C.D.3.已知向量=（l，1），=（2，x）， ⊥（-），则实数x的值为（）A. B. 0 C. 1 D. 24.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.5.若a＞0，b＞0，a+2b=5，则ab的最大值为（）A. 25B.C.D.6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.7.已知a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若⊥，⊥，则⊥D. 若⊥、⊥，则8.为了得到函数y=cos2x的图象，只需把函数y=cos（2x-）的图象（）A. 向左平移个单位得到B. 向右平移个单位得到C. 向左平移个单位得到D. 向右平移个单位得到9.在各项均为正数的等比数列{b n}中，若b4•b6=4，则log2b1+log2b2+…+log2b9=（）A. 6B. 7C. 8D. 910.在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点P是线段AD上一动点，则•的取值范围是（）A. B. C. D.11.已知圆C：x2+y2=4与y轴负半轴交于点M，圆C与直线l：x-y+1=0交于A，B两点，那么在圆C内随机取一点，则该点落在△ABM内的概率为（）A. B. C. D.12.设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x-）＞1的x的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=x2+e x在点（0，1）处的切线方程为______．14.实数x，y满足，且z=3x-y，则z的最小值为______．15.三棱锥A-BCD的外接球为球O，球O的直径是AD，且△ABC，△BCD都是边长为2的等边三角形，则球O的表面积为______．16.如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边△ABC．则四边形OACB的面积最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的首项a1=4，且a1，10，a2构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log4a n，T n=+++…+，求T2019．18.某电商在双十一搞促销活动，顾客购满5件获得积分30分（不足5件不积分），每多买2件再积20分（不足2件不积分），比如某顾客购买了12件，则可积90分，为了解顾客积分情况．该电商在某天随机抽取了1000名顾客，统计了当天他们的购物数额，并将样本数据分为[3.5），[5，7），（7，9），[9，11），[11，13），[13，15），[15，17），[17，19），[19，21）九组，整理得到如图频率分布直方图．（1）求直方图中a的值；（2）从当天购物数额在[13，15），[15，17）的顾客中按分层抽样的方式抽取6人那么，从这6人中随机抽取2人，则这2人积分之和不少于240分的概率．19.如图，四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PAB，△ABP为等腰直角三角形，且AB=AP=2，AD=CD=1，（1）求证：CD⊥AP；（2）若CD⊥PD，求四棱锥P-ABCD的体积．20.已知椭圆C的中心在坐标原点，左右焦点分别为F1（-1，0）和F2（1，0），且椭圆C经过点M（1，）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆的右顶点D作两条相互垂直的直线l1，l2，分别与椭圆交于点A，B（均异于点D），求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．21.已知函数f（x）=（x+a）ln x，g（x）=x2+x（a≤0且a为常数）．（1）当a=0时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x≥1都有f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为（x-1）2+y2=1，曲线C2的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（p∈R）．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）直线l与曲线C1在第一象限内的交点为P，过点P的直线交曲线C2于A，B 两点，且AB的中点为P，求直线P的斜率．23.设函数f（x）=|x+a|-|x-2|-2．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）∃x∈R，使得f（x）≥0，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合S={x|x＞-}，T={x|3x-1＜0}={x|x＜}，∴S∩T={x|-}．故选：D．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：z===1-i，故|z|=，故选：B．化简z，求出|z|即可．本题考查了复数的运算，考查转化思想，是一道基础题．3.【答案】B【解析】解：；∵；∴；∴x=0．故选：B．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算．4.【答案】D【解析】解：由双曲线的离心率为，则e==，即c=a，b===a，由双曲线的渐近线方程为y=x，即有y=x．故选：D．运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到．本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程的求法，属于基础题．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：a＞0，b＞0，a+2b=5，则ab=a•2b≤（）2=，当且仅当a=，b=时取等号，故选D．6.【答案】D【解析】解：函数f（x）=，可得：f（-x）==-=-f（x），则函数f（x）是奇函数，排除A；∵f（1）=＜0，故排除B，C故选：D．判断函数的奇偶性，利用函数值的符号判断本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的值的符号，考查计算能力．7.【答案】D【解析】解：由a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在A中，若a∥α，a∥b，则b∥a或b⊂α，故A错误；在B中，若a∥α，a∥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若a⊥α、b⊥α，则由线面垂直的性质定理得a∥b，故D正确．故选：D．在A中，b∥a或b⊂α；在B中，α与β相交或平行；在C中，α与β相交或平行；在D中，由线面垂直的性质定理得a∥b．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：函数=cos[2（x-）]，所以只需把函数的图象，向左平移个长度单位，即可得到函数y=cos[2（x+-）]=cos2x的图象．故选：A．由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin2x到函数y=cos2x的路线，即可得到选项．本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意x的系数的应用．9.【答案】D【解析】解：各项均为正数的等比数列{b n}中，若b4•b6=4，，所以：b5=2则：b1•b9=b2•b8=b3•b7=b4•b6=4所以：log2b1+log2b2+…+log2b9，=log2（b1•b2…b8•b9），=log2（4•4•4•4•2），=9，故选：D．直接利用对数列运算和等比数列的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：对数列运算的应用，等比数列的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】B【解析】解：设=，λ∈[0，1]，∵==，则•=•[]，==]=3（λ2-λ），∵0≤λ≤1，∴当λ=时，有最小值-，当λ=0或λ=1时，有最大值0，故选：B．设=，λ∈[0，1]，然后根据向量基本定理及向量的数量积定义可表示•，然后结合二次函数的性质即可求解．本题主要考查了向量的基本运算及向量数量积的性质，二次函数性质等知识的简单应用，属于基础试题．11.【答案】A【解析】解：由图可知：|OC|=，则|AB|=2=，因为|MD|=3|OD|，所以|MD|=，==，所以S三角形MAB由几何概型中的面积型有：该点落在△ABM内的概率为==，故选：A．由圆中弦长公式及三角形面积公式得：|AB|=2=，因为|MD|=3|OD|，所以|MD|=，所以S==，三角形MAB由几何概型中的面积型有：该点落在△ABM内的概率为==，得解．本题考查了圆中弦长公式及三角形面积公式，几何概型中的面积型题型，属中档题．12.【答案】C【解析】解：①若x≤0，则x-≤-，∴f（x）=2-x≥1，f（x-）＞1∴f（x）+f（x-）＞1成立，②当x＞时，x-＞0，∵f（x）+f（x-）＞1，∴-x+1-（x-）+1＞1，解得x＜，∴＜x＜，③当0＜x≤时，∴x-≤0，∴f（x-）≥1，f（x）=-x+1∈（，1），∴f（x）+f（x-）＞1成立，综上所述x＜故选：C．根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可．本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键．13.【答案】x-y+1=0【解析】解：求导函数可得y′=e x+2x，当x=0时，y′=e x+2×0=1，∴曲线y=e x+x2在点（0，1）处的切线方程为y-1=x，即：x-y+1=0．故答案为：x-y+1=0．求导函数，确定曲线y=e x+x2在点（0，1）处的切线斜率，从而可求切线方程．本题考查导数的几何意义，考查切线方程，属于基础题．14.【答案】-11【解析】解：如图作出阴影部分即为满足实数x，y满足的可行域，当直线z=3x-y平移到点A时，z=3x-y取最小值，∴当x=-4，y=-1时，z=3x-y取最小值为：-11．故答案为：-11．先画出实数x，y满足可行域，再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数z=3x-y，不难求出目标函数z=3x-y的最大值．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．15.【答案】8π【解析】解：如下图所示，由于AD是球O的直径，B为球O上一点，则∠ABD=90°，又因为△ABC，△BCD都是边长为2的等边三角形，则AB=BD=2，所以，球O的直径为，则，因此，球O的表面积为4πR2=8π．故答案为：8π．先由AD为球O的直径得出∠ABD为直角，由此可计算出AD的长度，可得出球O的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案．本题考查球体的表面积的计算，解决本题的关键在于球体基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题．16.【答案】2【解析】解：四边形OACB的面积=△OAB的面积+△ABC的面积，设∠AOB=θ，∴AB2=OA2+OB2-2OA•OB•sinθ=3+1-2×1×sinθ=4-2sinθ则△ABC的面积=•AB•AC•sin60°=•AB2=-cosθ△OAB的面积=•OA•OB•sinθ=×1×=sinθ，四边形OACB的面积=-cosθ+sinθ=+（sinθ-cosθ）=+sin（θ-60°），故当θ-60°=90°，即θ=150°时，四边形OACB的面积最大值为+=2，故答案为：2．设∠AOB=θ，并根据余弦定理，表示出△ABC的面积及△OAB的面积，进而表示出四边形OACB的面积，并化简函数的解析式为正弦型函数的形式，再结合正弦型函数最值的求法进行求解．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|、最小值为-|A|求解，属于中档题．17.【答案】解：（1）等比数列{a n}的首项a1=4，且a1，10，a2构成等差数列．所以：a1+a2=20，设等比数列的首项为q，则：4+4q=20，解得：q=4．所以：．（2）由于：，所以：设b n=log4a n=n，进一步整理得：，则：T n=+++…+，=，=，=．所以．【解析】首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（Ⅰ）各组的频率分别为0.04，0.06，2a，2a，6a，0.2，2a，0.08，0.02，∴0.04+0.06+2a+2a+6a+0.2+2a+0.08+0.02=1，解得a=0.05．（Ⅱ）按分层抽样的方法，在[13，15）内应抽取4人，记为A，B，C，D，每人的积分是110分，在[15，17）内应抽取2人，记为a，b，每人的积分是130分，从6人中随机抽取2人，有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，Ca，CB，Da，Db，ab，共15种方法，∴从6人中随机抽取2人，这两人的积分之和不少于240分的有：Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，ab，共9种方法，从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于240分的概率为：p==．【解析】（Ⅰ）利用频率分布直方图能求出a．（Ⅱ）按分层抽样的方法，在[13，15）内应抽取4人，记为A，B，C，D，每人的积分是110分，在[15，17）内应抽取2人，记为a，b，每人的积分是130分，从6人中随机抽取2人，利用列举法能求出这2人的积分之和不少于240分的概率．本题考查频率、概率的求法，考查列举法、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】证明：（1）∵AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，∴AD⊥AP，∵AP⊥AB，AB∩AD=A，∴AP⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴CD⊥AP．解：（2）∵CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP=P，∴CD⊥平面PAD，①∵AD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴AB⊥AD，∵AP⊥AB，AP∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，②由①②，得CD∥AB，∵AB⊥AD，∴四边形ABCD是直角梯形，∵AB=2，AD=CD=1，∴S梯形ABCD==，∵AP⊥平面PAB，∴四棱锥P-ABCD的体积==1．梯形【解析】（1）推导出AD⊥AP，AP⊥AB，从而AP⊥平面ABCD，由此能证明CD⊥AP．（2）推导出CD⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，从而CD∥AB，进而四边形ABCD 是直角梯形，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）设椭圆C的方程为=1，（a＞0，b＞0），∵椭圆左右焦点分别为F1（-1，0）和F2（1，0），且椭圆C经过点M（1，）．∴|MF1|==，|MF2|==，∴2a=|MF1|+|MF2|==4．∴a=2，∴b2=a2-c2=4-1=3，∴椭圆C的标准方程为=1．证明：（2）①直线AB斜率存在，设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去y，得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，△=64m2k2-16（3+4k2）（m2-3）＞0.3+4k2-m2＞0，∴ ，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2=，由AD⊥BD，得k AD k BD=-1，∴=-1，∴y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，∴++4=0，∴7m2+16mk+4k2=0，解得，，且均满足3+4k2-m2＞0，当m2=-2k时，直线AB的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾，当m2=-时，直线AB的方程为y=k（x-），直线过定点（，0）．②由椭圆的对称性所得，当直线l1，l2的倾斜角分别为45°，135°时，直线l1的方程为y=x-2，直线l2的方程为-x+2，直线l1，l2分别与椭圆交于A（，），B（，-），此时直线AB的斜率不存在，也过定点（，0）．综上，直线AB恒过定点（，0）．【解析】（1）设椭圆C的方程为=1，（a＞0，b＞0），由椭圆左右焦点分别为F1（-1，0）和F2（1，0），且椭圆C经过点M（1，），利用椭圆定义求出a=2，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）直线AB斜率存在，设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，利用根的判别式、韦达定理、直线垂直，结合已知条件求出直线过定点（，0）；由椭圆的对称性所得，当直线l1，l2的倾斜角分别为45°，135°时，直线l1，l2分别与椭圆义于A（，），B（，-），此时直线AB的斜率不存在，也过定点（，0）．由此能证明直线AB恒过定点（，0）．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线过定点的证明，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线垂直等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．21.【答案】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），当a=0时，f′（x）=1+ln x，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）极小值=f（）=-；（2）令F（x）=f（x）-g（x）=（x+a）ln x-x2-x（x≥1），则，对于任意x≥1都有f（x）≥g（x），只需F（x）≥0即可，F′（x）=ln x+-ax且F′（1）=0，记G（x）=F′（x）=ln x+-ax（x≥1），G′（x）=--a，由已知a≤0，故对于任意x≥1，都有G′（x）＞0恒成立，又G（1）=F′（1）=0，故F（x）在[1，+∞）递增，故F（x）min=F（1）=--1，由--1≥0，解得：a≤-2，故a≤-2时，对任意x≥1都有f（x）≥g（x）成立．【解析】（1）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；（2）令F（x）=f（x）-g（x），对于任意x≥1都有f（x）≥g（x），只需F（x）≥0即可，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最小值，确定a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．22.【答案】解：（1）∵曲线C1的普通方程为（x-1）2+y2=1，∴曲线C1的圆心极坐标为（1，0），半径为1，∴曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，∵曲线C2的参数方程为（θ为参数），∴曲线C2的普通方程为=1．（2）当时，ρ=2cosθ=，，（α为倾斜角，t为参数），代入C2的普通方程，整理，得：（3cos2α+1）t2+（2sinα+8cosα）t-11=0，∵曲线C1截直线l′所得的线段的中点（1，1）在C1内，设A，B对应的参数为t1，t2，则t1+t2=0，由韦达定理得t1+t2=-=0，2sinα+8cosα=0，tanα=-4，∴直线l′的斜率为-4．【解析】（1）由曲线C1的普通方程能求出曲线C1的极坐标方程；由曲线C2的参数方程，能求出曲线C2的普通方程．（2）当时，ρ=2cosθ=，，（α为倾斜角，t为参数）代入C2的普通方程，得：（3cos2α+1）t2+（2sinα+8cosα）t-11=0，由此能求出直线l′的斜率．本题考查曲线的极坐标方程和普通方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．23.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|-|x-2|-2，令f（x）≥0，①当x≤-1时，-（x+1）+（x-2）-2=-5≥0，矛盾；②当-1＜x＜2时，（x+1）+（x-2）-2≥0，所以≤x＜2，③当x≥2时，（x+1）-（x-2）-2≥0，解得x≥2，综上所述，不等式的解集为{x|≤x}．……（6分）（2）因为f（x）=|x-a|-|x-2|-2≥0，|x+a|-|x-2|≥2，……（7分）因为，|x+a|-|x-2|≤|x+a-x+2|=|2+a|所以只需|a+2|≥2，……（8分）解得0≤a或a≤-4，所以a的取值范围为（-∞，-4]∪[0，+∞）．……（10分）【解析】（1）当a=1时，f（x）=|x-1|+|x+2|，①当x≤-1时，②当-1＜x＜2时，③当x≥2时，化简不等式去掉绝对值符号，求解不等式的解集即可．（2）利用绝对值的几何意义，推出|a+2|≥2，求解即可．本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．。
2019届东莞市高三文科数学模拟试题(三)
东莞市2019届高三文科数学模拟试题(三)东华高级中学康逢永老师提供一、选择题（每小题5分，共50分） 1. 复数22(1i)i+等于（ ） A.2 B.2- C.i 2- D.i 2 2.已知直线l 、m 和平面α、β，下列四个命题中，真命题的个数是（①若l ∥α，m ∥α，则l ∥m ；②若α∥l ，β∥l ，则α∥β； ③若l α⊥，l β⊥，则α∥β；④若l α⊥，m α⊥，则l ∥m . A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.已知}{n a 为等差数列，且1247-=-a a , 03=a ，则公差=d （ ）A.2-B.－12C.12D.24.在右面的程序框图中，若5=x ，则输出的i 的值是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 5.如图，一个体积为 则这个三棱柱的左视图的面积为（ ） A.36 B ．8 C ．38 D ．126.“1=m ”是“直线01)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 相互垂 直”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．.必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件7.已知两点(2,0),(0,2)A B -，点C 是圆224460x y x y +-++=上任意一点，则点C 到直线AB 距离的最小值是（ ） A.22 B.C ．2D ．8．设min{, }p q 表示p ，q 两者中的较小者，若函数}log ,3m in{)(2x x x f -=，则满足0)(<x f 的x的取值范围是（ ）A. ),3()1,0(+∞B. )3,1(C. ),3()1,(+∞-∞D. ),25()1,0(+∞9．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点，若ABE ∆是直角三角形，则该双曲线的离心率等于（ ）A. 3B. 2C.3D.410.已知函数()f t 是奇函数且是R 上的增函数，若y x ,满足不等式22(2)(2)f x x f y y -≤--，则22x y + 的最大值是（ ）AB．．8 D ．12 二、填空题（每小题5分，共20分）11.已知向量)2,4(=→a ，向量)3,(xb =→，且→→b a //，则=x .12.若实数,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-00101y y x y x ，则函数2z x y =+的最大值为 .13. 已知集合{}(,)1,,A x y y x x y ==-∈R ，{}(,)2,,B x y y ax x y ==+∈R ，若集合A B 有且只有一个元素，则实数a 的取值范围是 . ▲选做题（考生只能从中选做一题） 14.在极坐标系中，点)47,2(πA 到直线22)4sin(=+πθρ的 距离为 .15.已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于B A ,两点，割线PCD 经过圆心，若3=PA ，4=AB ，5=PO ，则⊙O 的半径为___________. 三、解答题（本大题共6小题，满分80分） 16．（本小题满分12分）已知函数)2sin(sin 3sin )(2πωωω+⋅+=x x x x f （0>ω）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间]32,0[π上的取值范围． （Ⅲ）函数)(x f 的图象可由x y sin =的图象经过怎样的变化得到？PACBDO某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题： （Ⅰ）求全班人数；（Ⅱ）求分数在)90,80[之间的人数；并计算频率分布直方图中)90,80[间的矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在]100,80[之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在]100,90[之间的概率.18. （本小题满分14分）在三棱锥P ABC -中，PAC ∆和PBC ∆的等边三角形，2AB =，,O D 分别是,AB PB 的中点．（Ⅰ）求证：OD ∥平面PAC ； （Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面ABC ； （Ⅲ）求三棱锥P ABC -的体积．19．（本小题满分14分）已知函数321()(,3f x x x ax b a b =-+++∈R ). (Ⅰ) 若3=a ，试确定函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 若函数()f x 在其图象上任意一点00(,())x f x 处切线的斜率都小于22a ，求实数a 的取值范围.已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>线0x y -=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设(4,0)P ，M ，N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点． 21．（本小题满分14分）位于函数4133+=x y 的图象上的一系列点 ),,(,),,(),,(222111n n n y x P y x P y x P ,这一系列点的横坐标构成以25-为首项,1-为公差的等差数列{}n x . (Ⅰ)求点n P 的坐标；(Ⅱ)设抛物线 ,,,,,321n C C C C 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴,对于n ∈*N 第n 条抛物线n C的顶点为n P ,抛物线n C 过点)1,0(2+n D n ,且在该点处的切线的斜率为n k .求证:10111113221<+++-n n k k k k k k .东莞市2019届高三文科数学模拟试题(三)参考答案及评分标准一、选择题（共10题，每小题均只有一个正确答案，每小题5分，共50分）二、填空题（每小题5分，共20分）11. 6 ； 12. 2 ； 13. (,1][1,)-∞-+∞ ； 14. 2； 15. 2 三、（本大题共6小题，满分80分） 16. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）x x xx f ωωωcos sin 322cos 1)(⋅+-=212cos 212sin 23+-=x x ωω 21)62sin(+-=πωx ………………………………3分 )(x f 的最小正周期为π，且0>ωπωπ=∴22 1=∴ω …………4分（Ⅱ）解：21)62sin()(+-=πx x f ]32,0[π∈x ， ]34,0[2π∈∴x ， ]67,6[62πππ-∈-∴x ………………5分]1,21[)62sin(-∈-∴πx ]23,0[)(∈∴x f ……………………7分即)(x f 在区间]32,0[π上的取值范围是]23,0[. ……………………8分PACBDO（Ⅲ）解：把x y sin =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的21倍（纵坐标不变）， 再把所得函数的图象向右平移12π个单位， 再把所得函数的图象向上平移21个单位，可得到)(x f 的图象. …………12分17. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由茎叶图知：分数在)60,50[之间的频数为2.由频率分布直方图知：分数在)60,50[之间的频率为08.010008.0=⨯. 所以，全班人数为2250.08=人. ………………………4分 （Ⅱ）解：分数在)90,80[之间的人数为42107225=----人 ………………6分 故分数在)90,80[之间的频率为16.0254= 所以频率分布直方图中)90,80[间的矩形的高为016.01016.0=. …………………8分 （Ⅲ）将)90,80[之间的4个分数编号为4,3,2,1；]100,90[之间的2个分数编号为6,5. 则在]100,80[之间的试卷中任取两份的基本事件为：)2,1(，)3,1(，)4,1(，)5,1(，)6,1(，)3,2(，)4,2(，)5,2(，)6,2(，)4,3(，)5,3(，)6,3(， )5,4(，)6,4(，)6,5(共15个. ……………………………………10分其中，至少有一个在]100,90[之间的基本事件有9个， 故至少有一份分数在]100,90[之间的概率是53159=.………………………12分18. （本小题满分14分） （Ⅰ）,O D 分别为,AB PB 的中点，∴OD ∥PA又PA ⊂平面PAC ，OD ⊄平面PACOD ∴∥平面PAC . (5)分（Ⅱ）连结OC ，OPAC CB ==O 为AB 中点，2AB =,OC ∴⊥AB ，1OC =.同理, PO ⊥AB ，1PO =.又PC =2222PC OC PO ∴=+=,90POC ∴∠=，PO ∴⊥OC .PO ⊥OC ,PO ⊥AB ,AB OC O ⋂=,PO ∴⊥平面ABC .又 PO ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABC . ……………………………………10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知OP 垂直平面ABC∴OP 为三棱锥P ABC -的高，且1OP =3112213131=⨯⨯⨯=⋅=∴∆-OP S V ABC ABC P . …………………………14分19. （本小题满分14分）（Ⅰ）解：当3=a 时，321()33f x x x x b =-+++， 所以32)(2/++-=x x x f ， …………………………2分 由0)(/>x f ，解得31<<-x ，由0)(/<x f ，解得1-<x 或3>x ， ……………………4分所以函数()f x 的单调增区间为)3,1(-，减区间为)1,(--∞和),3(+∞. ………………6分 （Ⅱ）解：因为2()2f x x x a '=-++，由题意得：22()22f x x x a a '=-++<对任意R x ∈恒成立，…………………………8分 即2222x x a a -+<-对任意R x ∈恒成立， 设2()2g x x x =-+，所以22()2(1)1g x x x x =-+=--+，所以当1x =时，()g x 有最大值为1， …………………………10分 因为对任意R x ∈，2222x x a a -+<-恒成立，所以221a a ->，解得1a >或21-<a ， …………………………13分 所以，实数a 的取值范围为{|1a a >或}21-<a . …………………………14分解：（Ⅰ）由题意知2c e a ==， 所以22222234c a b e a a -===，即224a b =， b a 2=∴又因为1b ==，2=∴a 故椭圆C 的方程为22:14x C y +=．…………………………………………4分 （Ⅱ）由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =-．由22(4),1.4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(41)326440k x k x k +-+-=． ① …………6分由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=--+->， 得21210k -<，6363<<-∴k ………………………………8分 又0k =不合题意，所以直线PN 的斜率的取值范围是： )0,63(-)63,0(．……………9分 （Ⅲ）设点11(,)N x y ，22(,)E x y ，则11(,)M x y -．直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--．令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．…………………………………………11分将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由①得 21223241k x x k +=+，212264441k x x k -=+代入② 整理，得1x =．………………………………………………………………13分 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．……………………………………14分解: (Ⅰ)由于n P 的横坐标构成以25-为首项,1-为公差的等差数列{}n x , 故153(1)(1)22n x x n d n n =+-=---=--. …………………3分又),(n n n y x P 位于函数4133+=x y 的图象上,所以y 453413)23(34133--=+--=+=n n x n n . ………………5分所求点),(n n n y x P 的坐标为()453,23----n n . ………………6分(Ⅱ)证明:由题意可设抛物线n C 的方程为2()n n n y a x x y =-+,即235()324n y a x n n =++--. 由抛物线n C 过点)1,0(2+n D n ,于是有22351()324n n a n n +=+--. 由此可得2351,()324n a y x n n ==++--. ………………9分 故32)23(20+=++='===n n x y k x x n .所以)2)(321121(21)32)(12(111≥+-+=++=-n n n n n k k nn , …………11分于是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++-+-=+++-)321121()9171()7151(2111113221n n k k k k k k n n )32151(21+-=n 101<. 即10111113221<+++-n n k k k k k k . …………………14分。
广东省2019届高三上学期期末联考数学文试题(解析版)
广东省2019届高三上学期期末联考数学文试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合1，2，3，，，则A. B. 1，2，C. D. 3，【答案】A【解析】解：，，，，．故选：A．求解一元二次不等式化简集合N，然后直接利用交集运算得答案．本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．2.若复数z满足，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由，得．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.已知向量，，若，则x的值为A. 1B. 2C. 3D.【答案】D【解析】解：即解得故选：D．利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量的数量积公式列出方程，求出x．本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0、考查向量的数量积公式．4.已知双曲线C：的焦距为6，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：双曲线C：的焦距为6，可得：，解得，所以，可得．故选：B．利用双曲线的方程，转化求解焦距即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．5.若，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，故选：C．根据两角和差的正切公式进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正切公式是解决本题的关键．6.若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为A. 6500元B. 7000元C. 7500元D. 8000元【答案】D【解析】解：设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：．解得．故选：D．设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，能求出结果．本题考查该教师目前的月退休金的求法，考查条形图和折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7.已知函数，则下列命题中的真命题是A. 函数的周期是B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的图象关于点对称D. 函数在上单调递增【答案】C【解析】解：函数，可得的周期为，则A错误；由，，可得，，则B错误；由，即有，，可得的图象关于点对称，则C正确；由，，可得，，而，则D错误．故选：C．由正弦函数的周期公式可判断A；由正弦函数的对称轴方程可判断B；由正弦函数的对称中心可判断C；由正弦函数的增区间可判断D．本题考查三角函数的图象和性质，考查周期性、对称性和单调性的判断，考查运算能力，属于基础题．8.已知等差数列的公差不为零，前项和为，若，则A. B. C. 7 D.【答案】A【解析】解：等差数列的公差不为零，前项和为，，，解得，．故选：A．由等差数列的公差不为零，前项和为，，求出，由此能求出的值．本题考查等差数列的前7项和与第7项的比值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.已知一个组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由三视图可知，该组合体由四分之一球体和半圆锥组成，故其体积为：，故选：D．关键是根据三视图明确原图为四分之一球体和半圆锥的组合体，求解容易．本题考查了由三视图求体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．10.已知函数的定义域是R，其导函数是，且，则满足不等式的实数t的集合是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设，，，则为R上的增函数，由，得，即，则，．满足不等式的实数t的集合是．故选：C．构造函数，求导可知在R上为增函数，把转化为，则，求解对数不等式得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是关键，是中档题．11.已知椭圆E：的离心率为，一直线与椭圆E交于P，Q两点，且线段PQ的中点坐标为，则直线PQ的斜率为A. 1B.C.D.【答案】B【解析】解：设，，椭圆E：的离心率为，，可得，可得：，，相减可得：，可得．故选：B．设出PQ的坐标，利用平方差公式转化求解直线PQ的斜率．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．12.已知数列是首项为，公比为的等比数列，为数列的前n项乘积，则使取得最大值的n等于A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】解：数列是首项为，公比为的等比数列，可得，，由于，10，上式为负值，不能取得最大值；当时，，当时，，由．则使取得最大值的n等于11．故选：C．根据等比数列的首项与公比，写出它的通项公式，讨论n的取值和正负，由比较法和排除法即得结果．本题考查等比数列通项公式的应用以及乘积最值问题问题，是基础题目．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若函数，则______．【答案】1【解析】解：根据题意，，则，又由；则；故答案为：．根据题意，由函数的解析式可得，计算可得的值即可得答案．本题考查分段函数的求值，涉及函数的周期，属于基础题．14.已知实数x，y满足不等式组，若，则z的最小值为______．【答案】【解析】解：画出实数x，y满足不等式组的平面区域，如图示：由得：，通过图象得过时，z最小，z的最小值是：，故答案为：．画出满足条件的平面区域，将转化为，通过图象转化求解即可．本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道基础题．15.拿破仑为人好学，是法兰西科学院院士，他对数学方面很感兴趣，在行军打仗的空闲时间，经常研究平面几何他提出了著名的拿破仑定理：以三角形各边为边分别向外内侧作等边三角形，则它们的中心构成一个等边三角形如图所示，以等边的三条边为边，向外作3个正三角形，取它们的中心A，B，C，顺次连接得到，图中阴影部分为与的公共部分，则往中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为______．【答案】【解析】解：设等边的边长为3a，则的边长为6a，等边的边长为a，则，阴影部分的面积阴影．由测度比为面积比可得：往中投掷一点，则该点落在阴影部分内的概率为．故答案为：．设等边的边长为3a，则的边长为6a，等边的边长为a，分别求出阴影部分的面积与的面积，由测度比是面积比得答案．本题考查几何概型，关键是求阴影部分的面积，是基础题．16.已知正方体的棱长为2，AC交BD于O，E是棱的中点，则直线OE被正方体外接球所截得的线段长度为______．【答案】【解析】解：正方体内接于球，，，设正方体的中心为G，，到OE的距离．则直线OE被正方体外接球所截得的线段长度为．故答案为：．由题意画出图形，求出正方体外接球的半径，再求出球心到OE的距离，利用勾股定理求解．本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径R满足．求角B的大小；若，求的取值范围．【答案】本题满分为12分解：．又由正弦定理可得：，由余弦定理可得：，可得：，解得：，为锐角，可得，．，，，，，，锐角三角形中，，可得：，，即的取值范围为：【解析】由正弦定理，余弦定理化简已知可解得：，结合B为锐角，可得，可求B的值．由正弦定理可得，，利用两角和与差的正弦函数公式可求，结合A的范围，可得的范围，利用正弦函数的图象和性质可求取值范围．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质，两角和与差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．18.今年七月，某品种西瓜销售火爆，当日最高气温越高，西瓜价格越高，小王计划向商贩购近该品种西瓜若干，他通过对七月份前6天的数据进行研究，发现价格单位：元千克与当日最高气温单位：呈线性相关，整理相关数据得到表：根据参考数据建立y关于x的线性回归方程；若某日最高气温为，估算购买8千克的该种西瓜所需的金额精确到元如果最高气温达到以上，气象部门将发布高温橙色预警已知这6天中达到以上的有4天，现从这6天中随机取2天，求恰在一天发布了高超色预警的概率．附：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的量小二乘估计分别为，．【答案】解：，．．．关于x的线性回归方程为；取，得，估算购买8千克的该种西瓜所需的金额为元．设这6天中达到以上的4天为a，b，c，d，小于等于的2天为m，n，则从这6天中随机取2天的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，共15个．其中恰在一天发布了高超色预警的有8个．故恰在一天发布了高超色预警的概率．【解析】由所给数据求得的值，则线性回归方程可求；取，求得y值，乘以购买量得答案；利用枚举法列出基本事件情况，求出恰在一天发布了高超色预警的事件数，再由古典概型概率公式求解．本题考查线性回归方程的求法，训练了古典概型概率公式的应用，是中档题．19.在多面体AFCDEB中，BCDE是边长为2的正方形，，平面平面BCDE，，．求证：平面CFE；求该多面体的表面积．【答案】证明：是边长为2的正方形，，平面平面BCDE，，．，平面ABCF，，，平BCDE，平面BCDE，，是正方形，，，平面CEF．解：，，，，，，该多面体的表面积：正方体梯形．【解析】推导出，平面ABCF，，从而平BCDE，进而平面BCDE，，由BCDE是正方形，得，由此能证明平面CEF．求出，，，从而求出，该多面体的表面积：．正方体梯形本题考查线面垂直的证明，考查多面体的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知抛物线C：，直线l：，点A在抛物线C上运动但不在直线l上．判断直线：与抛物线C的位置关系，并说明理由；若轴，且直线AB与直线l交于点P，，垂是为探究是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】解：由直线方程和抛物线方程，可得，由，可得方程无解，则直线与抛物线相离；设，直线AB：代入直线l：，可得，由AQ：，代入直线l：，可得Q的横坐标为，由E在直线l上，可得．则是定值．【解析】联立直线和抛物线方程，运用判别式法即可判断；设出A的坐标，可得直线AB：，代入直线l的方程可得P的坐标，求得AQ的方程，联立直线l的方程可得Q的横坐标，由两点的距离公式，化简整理可得定值．本题考查直线和抛物线的位置关系的判断，注意联立直线方程和抛物线方程，考查两直线的位置关系和交点，以及探究性问题解法，考查运算能力，属于中档题．21.设函数．求的单调区间；若函数的图象在处的切线斜率在时单调递增，求k的最小值．【答案】解：，．函数在内单调递减，在单调递增．．，函数的图象在处的切线斜率，．函数的图象在处的切线斜率在时单调递增，，在上恒成立．，．解得．的最小值是．【解析】，利用导数研究其单调性即可得出．，根据函数的图象在处的切线斜率，由函数的图象在处的切线斜率在时单调递增，可得，在上恒成立即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.已知极坐标系中，点，曲线C的极坐标方程为，点N在曲线C上运动，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数．求直线l的极坐标方程与曲线C的参数方程；求线段MN的中点P到直线l的距离的最大值．【答案】解：直线l的参数方程为为参数．直线的普通方程为，直线l的极坐标方程为，即．曲线C的极坐标方程为，曲线C的直角坐标方，即．曲线C的参数方程为，为参数．设，，点M的极坐标化为直角坐标为，则，点P到直线l的距离，当时，等号成立，点P到l的距离的最大值为．【解析】由直线l的参数方程，求出直线的普通方程，由此能求出直线l的极坐标方程；由曲线C的极坐标方程求出曲线C的直角坐标，由此能求出曲线C的参数方程．设，，点M的极坐标化为直角坐标为，则，点P到直线l的距离，由此能求出点P到l的距离的最大值．本题考查直线的极坐标方程、曲线的参数方程，考查点到直线的距离的最大值求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.已知函数，．求不等式的解集；当时，恒成立，求a的取值范围．【答案】解：函数，，不等式可化为或或，解得或或，即，不等式的解集为；当时，恒成立，的解集包含，由得的解集为，，，即，解得，的取值范围是．【解析】去掉绝对值，化简函数，把不等式化为或或，求出解集，再取它们的并集．时恒成立，得出的解集包含，由得的解集，列不等式组求得a的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。
(好卷)广东省东莞市2019届高三上学期期末调研测试数学文试卷及答案解析
2018-2019学年度第一学期期末调研测试高三数学（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元一次不等式求得的范围，然后求两个集合的交集.【详解】由，解得.故.故选D.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的交集等知识，属于基础题.2.已知复数（为虚数单位），则（）A. 2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用复数除法运算化简为的形式，由此求得.【详解】依题意，，故，故选B.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的知识和运算，属于基础题.3.已知向量，，若，则实数的值为（）A. -2B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】由题得，解方程即得解.【详解】因为，由，得，解得x=2，故选D.【点睛】(1)本题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 如果=,=，则||的充要条件是.4.已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据离心率得到，由此计算得，进而求得双曲线渐近线方程.【详解】由于双曲线离心率为，故，解得，故双曲线的渐近线方程为.所以选A.【点睛】本小题主要考查双曲线的离心率，考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.5.若，，，则的最大值为（）A. 25B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将等价变换后，利用基本不等式求得最大值.【详解】依题意，当且仅当时等号成立，故选D.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最大值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 6.函数的图像大致为 ( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．7.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】D【解析】【分析】根据空间线、面的位置关系有关定理，对四个选项逐一分析排除，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，直线有可能在平面呢，故A选项错误.对于B选项，两个平面有可能相交，平行与它们的交线，故B选项错误.对于C选项，可能平行，故C选项错误.根据线面垂直的性质定理可知D 选项正确.故选D.【点睛】本小题主要考查空间线、面位置关系的判断，属于基础题.8.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】将转化为，由此判断出正确选项.【详解】由于，故需向左平移后得到的图像.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，转换过程中要注意是将哪个函数变到哪个函数，属于基础题.9.在各项均为正数的等比数列中，若，则（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】【分析】由等比数列的性质可得b5＝2,再利用对数的运算性质即可得出．【详解】已知,由等比数列的性质可得，又等比数列各项为正数，b5＞0，可得b5＝2．则＝log2（b1b2•…•b9）＝log2＝9．故选：D．【点睛】本题考查等比数列的性质（其中m+n=p+q）、对数的运算性质的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10.在边长为2的等边中，是的中点，点是线段上一动点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以为原点建立平面直角坐标系，设出点的坐标，代入，化简后求得取值范围.【详解】画出图像如下图所示，以分别为轴建立平面直角坐标系，故设，所以，根据二次函数的性质可知，对称轴，故当或时取得最大值为，当时取得最小值为，故的取值范围是.故选B.【点睛】本小题主要考查利用坐标法，求向量数量积的取值范围，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.由于题目所给几何体是等边三角形，所以可以通过建立平面直角坐标系的方法，写出各点的坐标，利用数量积的坐标表示求得数量积的表达式，然后利用二次函数的图像与性质求得最值也即求得取值范围.11.已知圆：与轴负半轴交于点，圆与直线：交于两点，那么在圆内随机取一点，则该点落在内的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用弦长公式求得，利用点到直线的距离求得到直线的距离，由此求得三角形的面积，根据几何概型概率计算公式求得所求的概率.【详解】圆心到直线的距离为，圆的半径为，故，点到直线的距离为，故三角形的面积为.故所求的概率为，故选A.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆相交所得弦长的求法，考查点到直线的距离公式，考查三角形的面积公式，属于中档题.有关直线和圆相交所得弦长问题，往往是通过计算圆心到直线的距离，然后通过弦长公式求解，其中是圆的半径，是圆心到直线的距离.12.设函数，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用特殊值，对选项进行排除，由此得到正确选项.【详解】当时，，由此排除D选项.当时，，由此排除B选项.当时，，由此排除A选项.综上所述，本小题选C.【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.曲线在点处的切线方程为_____．【答案】【解析】【分析】先求得曲线在点处切线的斜率，再根据点斜式求得切线方程.【详解】，所以，且切线的斜率为，由点斜式得，即.【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查导数的运算，考查直线的点斜式方程，属于基础题.要求曲线在某点处的切线方程，要先求得曲线在切点的斜率，斜率是利用导数求得.直线的点斜式方程为，其中为斜率，即.填空题，切线方程可写为一般式或者斜截式.14.实数，满足，且，则的最小值为_____．【答案】-11【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】画约束条件可行域如图：目标函数z＝3x﹣y可化为y＝3x﹣z，即斜率为3，截距为﹣z的动直线，数形结合可知，当动直线过点C时，z最小由得C（﹣4，-1）∴目标函数z＝3x﹣y的最小值为z＝-12+1＝-11．故答案为：-11【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.三棱锥的外接球为球，球的直径是，且，都是边长为2的等边三角形，则球的表面积为____．【答案】【解析】【分析】根据已知条件是球的直径，所以的中点为球心，根据直径多对的圆周角为直角，在等腰直角三角形中求得直径的长，进而求得球的表面积.【详解】由于是球的直径，故的中点为球心.由于直径所对的圆周角是直角，且是有一条公共边的等边三角形，故三角形是等腰直角三角形，故，所以求的表面积为.【点睛】本小题主要考查几何体外接球的表面积计算问题，关键是找到球心和求出球的半径，属于基础题. 16.如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边.则四边形的面积最大值为_____．【答案】【解析】 【分析】 设，利用表示出四边形面积，并根据三角函数的性质求得面积的最大值.【详解】设设，由余弦定理得，所以四边形的面积，故当，时，面积取得最大值为.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查辅助角公式以及三角函数求最值的方法，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列的首项，且，10，构成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，，求.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）根据等差中项的性质列方程，并转化为的形式，解方程求得的值，进而求得数列的通项公式.（2）先求得的表达式，利用裂项求和法求得数列的前项和.【详解】（1）因为，10，构成等差数列，所以，又因为数列为等比数列，，设其公比为，那么，解得，所以；（2）因为，所以，【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量、通项公式和前项和，考查裂项求和法.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.18.某电商在双十一搞促销活动，顾客购满5件获得积分30分（不足5件不积分），每多买2件再积20分（不足2件不积分），比如某顾客购买了12件，则可积90分.为了解顾客积分情况，该电商在某天随机抽取了1000名顾客，统计了当天他们的购物数额，并将样本数据分为，，，，，，，，九组，整理得到如图频率分布直方图.（1）求直方图中的值；（2）从当天购物数额在，的顾客中按分层抽样的方式抽取6人.那么，从这6人中随机抽取2人，则这2人积分之和不少于240分的概率.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）利用小长方形面积之和为列方程，解方程求得的值.（2）利用列举法列出所有的基本事件，求得“积分之和不少于分”的事件数，根据古典概型概率计算公式求得所求的概率.【详解】（1）各组的频率分别为0.04，0.06，，，，0.2，，0.08，0.02∴化简得，解得，（2）按分层抽样的方法，在内应抽取4人，记为每人的积分是110分；在内应抽取2人，记为，每人的积分是130分；从6人中随机抽取2人，有共15种方法.所以，从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于240分的有共9种方法.设从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于240分为事件，则.所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于240分的概率为.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图的知识，考查利用列举法求解古典概型问题，属于中档题. 19.如图，四棱锥中，平面，为等腰直角三角形，且，.（1）求证：；（2）若，求四棱锥的体积.【答案】(1)见证明；（2）1【解析】【分析】（1）通过证明，证得平面，由此证得.(2)首先证得平面，其次证得平面，由此得到，从而得到四边形是直角梯形，并求得面积，利用椎体体积公式计算得四棱锥的体积.【详解】（1）因为平面，平面，所以.又因为，，平面，平面，所以平面.因为平面，所以.（2）因为，，且，平面，平面，所以平面.①因为平面，平面，所以.又因为，，平面，平面，所以平面②由①②得，因为，所以四边形是直角梯形，因为，，所以又因为平面，所以【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查四棱锥体积的计算，属于中档题.20.已知椭圆的中心在坐标原点，左右焦点分别为和，且椭圆经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆交于点（均异于点），求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义求得，根据焦点求得，结合求得，由此得到椭圆的标准方程.（2）当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出判别式及韦达定理，利用列出方程，并由此化简直线方程，得到直线所过定点.当直线斜率不存在时，根据椭圆的对称性，证得直线过定点.【详解】（1）设椭圆的标准方程为，∴∴∴所以，椭圆的标准方程为.（2）①直线斜率存在，设直线：，，，联立方程消去得，，，，又，由得，即，，∴，∴，∴.解得：，，且均满足，当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，直线的方程为，直线过定点.②由椭圆的对称性所得，当直线，的倾斜角分别为，，易得直线：，：，直线，分别与椭圆交于点，，此时直线斜率不存在，也过定点综上所述，直线恒过定点【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查一元二次方程根与系数关系以及判别式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.直线和圆锥曲线相交有关的题目，直线的斜率是否存在，这是首先要考虑的，要分为斜率存在和不存在两种情况讨论.21.已知函数，（且为常数）.（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意都有成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）当时，先求得函数的定义域，然后对函数求导，由此求得函数的单调区间，并求得最小值.（2）构造函数，将原不等式恒成立问题，转化为求解.利用的导数，研究函数的单调性，求得的最小值，令这个最小大于或等于零，求得的取值范围.【详解】（1）的定义域为，当时，的导数.令，解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增.所以，当时，取得最小值.（2）令那么，对于任意都有，只须即可，，且记由已知，所以对于任意，都有恒成立，又因为，所以在上单调递增，所以，，由，解得，所以，当时，对任意都有成立.【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数的单调区间以及最值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.解决恒成立问题，可以采用分离常数法，或者构造函数法，本题中构造出函数，将问题转化为的最小值为非负数求解.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的普通方程；（2）直线与曲线在第一象限内的交点为，过点的直线交曲线于两点，且的中点为，求直线的斜率.【答案】(1) 的极坐标方程,曲线的普通方程 (2)-4【解析】【分析】（1）对于，根据圆心和半径，得出其极坐标方程，对于，利用消去参数，化简为直角坐标方程.（2）求出直线的参数方程，代入得到关于的一元二次方程，利用韦达定理以及直线参数的几何意义列方程，由此求得直线的斜率.【详解】（1）曲线的圆心极坐标为，半径为1，所以，其极坐标方程为.由题意得：，，曲线的普通方程.（2）当时，，，所以，于是直线的参数方程为（为倾斜角，为参数），代入的普通方程，整理得关于的方程.①因为曲线截直线所得线段的中点在内，设对应的参数为，，则.由韦达定理得：，，.所以，直线的斜率为-4.【点睛】本小题主要考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查参数方程化为直角坐标方程，考查直线的参数方程的几何意义，属于中档题.23.选修4-5：不等式选讲设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2），使得，求的取值范围.【答案】(1) (2) 或.【解析】【分析】（1）利用零点分段法，分别去掉绝对值，列出不等式组，求出每一个不等式的解，通过求交集、求并集得到原不等式的解集；（2）不等式有解，即,利用绝对值三角不等式可得f(x)最大值，从而得到a的范围.【详解】（1）当时，，令，①当时，，，矛盾.②当时，，，所以，.③当时，，，所以.综上所述，不等式的解集为.（2）由题意得：，有解，因为，，所以，，于是，或，所以，或.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式有解问题，考查利用绝对值三角不等式求最值问题，属于基础题型.。
2019-2020学年人教A版广东省东莞市高三第一学期期末文科数学试卷(解析版)
2019-2020学年高三第一学期期末（文科）数学试卷一、选择题1．若z（1﹣i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i2．已知集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B等于（）A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{0，3}3．已知向量满足，且与的夹角为60°，则＝（）A．B．C．D．4．已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3﹣a5＝3，则S7＝（）A．42 B．21 C．7 D．35．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（）A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C．互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%6．已知P（1，）在双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．7．函数f（x）＝（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A．B．C．D．8．为了纪念中华人民共和国成立70周年，某单位计划印制纪念图案．为了测算纪念图案的面积，如图，作一个面积约为12cm2的正六边形将其包含在内，并向正六边形内随机投掷300个点，已知有124个点落在纪念图案部分，据此可以估计纪念图案的面积约为（）A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm29．已知函数，把函数f（x）的图象上每个点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一条对称轴方程为（）A．B．x＝πC．x＝2πD．10．设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点．有下列四个命题：①在α内存在直线与直线AB异面；②在α内存在直线与直线AB相交；③存在过直线AB的平面与α垂直；④存在过直线AB的平面与α平行．其中，一定正确的是（）A．①②③B．①③C．①④D．③④11．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，直线y＝与C相交于A，B两点，且AF⊥BF，则C的离心率为（）A．B．﹣1 C．D．﹣112．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝﹣f（2﹣x），函数g（x）＝a（e x﹣1﹣e1﹣x），若方程f（x）＝g（x）有2019个解，记为x i（i＝1，2，…，2019），则＝（）A．2019 B．4038 C．2020 D．4040二、填空题13．已知函数f（x）＝，满足f（﹣1）+f（a）＝0，则a的值为．14．已知，则＝．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b cos A+a cos B＝2c cos B，，则△ABC外接圆的面积为．16．如图，六氟化硫（SF6）的分子是一个正八面体结构，其中6个氟原子（F）恰好在正八面体的顶点上，而硫原子（S）恰好是正八面体的中心．若把该分子放入一个球内，则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为．三、解答题（一）必考题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.17．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a1＝1，a2+a3＝12，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n}的前n项和T n．18．某农科所对冬季昼夜温差（最高温度与最低温度的差）大小与某反季节大豆新品种一天内发芽数之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了12月1日至12月6日每天昼夜最高、最低的温度（如图1），以及实验室每天每100颗种子中的发芽数情况（如图2），得到如下资料：（1）请画出发芽数y与温差x的散点图；（2）若建立发芽数y与温差x之间的线性回归模型，请用相关系数说明建立模型的合理性；（3）①求出发芽数y与温差x之间的回归方程（系数精确到0.01）；②若12月7日的昼夜温差为8℃，通过建立的y关于x的回归方程，估计该实验室12月7日当天100颗种子的发芽数．参考数据：＝2051，≈4.2，≈6.5．参考公式：相关系数：r＝（当|r|＞0.75时，具有较强的相关关系）．回归方程中斜率和截距计算公式：＝，＝．19．如图1，AD，BC是等腰梯形CDEF的两条高，AD＝AE＝CD＝2，点M是线段AE的中点，将该等腰梯形沿着两条高AD，BC折叠成如图2所示的四棱锥P﹣ABCD（E，F重合，记为点P）．（1）求证：BM⊥DP；（2）求点M到平面BDP距离h．20．已知函数f（x）＝e x﹣2ax（a∈R）．（1）若f（x）的极值为0，求实数a的值；（2）若f（x）≥2xlnx﹣2x对于x∈（2，4）恒成立，求实数a的取值范围．21．已知抛物线C：y2＝4x，在x轴正半轴上任意选定一点M（m，0）（m＞0），过点M作与x轴垂直的直线交C于P，Q两点．（1）设m＝1，证明：抛物线C：y2＝4x在点P，Q处的切线方程的交点N与点M关于原点O对称；（2）通过解答（1），猜想求过抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点G（x0，y0）（不为原点）的切线方程的一种做法，并加以证明．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为x2+y2﹣4x﹣6y+5＝0．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P在C上，点Q在l上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≤1；（2）记函数f（x）的最大值为s，若＝s（a，b，c＞0），证明：≥3．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1．若z（1﹣i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（1﹣i）＝2i，得z＝．故选：B．2．已知集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B等于（）A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{0，3}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|0＜x＜3}，B＝{0，1，2，3}，∴A∩B＝{1，2}．故选：C．3．已知向量满足，且与的夹角为60°，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据条件进行数量积的运算即可求出的值，进而得出的值．解：∵，∴，∴．故选：A．4．已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3﹣a5＝3，则S7＝（）A．42 B．21 C．7 D．3【分析】利用等差数列通项公式求出a1+3d＝3，再由S7＝＝7（a1+3d），能求出结果．解：∵数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3﹣a5＝3，∴a1+5d+a1+2d﹣a1﹣4d＝a1+3d＝3，∴S7＝＝7（a1+3d）＝21．故选：B．5．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（）A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C．互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图直接求解．解：由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图，知：在A中，互联网行业从业人员中90后占56%，故A正确；在B中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故B错误；在C中，互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多，故C正确；在D中，互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%，故D正确．故选：B．6．已知P（1，）在双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得＝，由双曲线的离心率公式，计算可得所求值．解：P（1，）在双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线y＝x上，可得＝，则双曲线的离心率为e＝＝＝＝，故选：D．7．函数f（x）＝（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数为偶函数，排除AC；由x→+∞时，f（x）→0，排除B，由此得到答案．解：，故函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A，C；当x→+∞时，x3（e x﹣1）＞＞e x+1，f（x）→0，故排除B．故选：D．8．为了纪念中华人民共和国成立70周年，某单位计划印制纪念图案．为了测算纪念图案的面积，如图，作一个面积约为12cm2的正六边形将其包含在内，并向正六边形内随机投掷300个点，已知有124个点落在纪念图案部分，据此可以估计纪念图案的面积约为（）A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm2【分析】设纪念图案的面积为S，由题意可得：≈，解得S．解：设纪念图案的面积为S，由题意可得：≈，解得S≈5cm2．故选：C．9．已知函数，把函数f（x）的图象上每个点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一条对称轴方程为（）A．B．x＝πC．x＝2πD．【分析】根据三角函数的图象平移得出函数g（x）的解析式，再求函数g（x）的对称轴方程即可．解：函数，把函数f（x）的图象上每个点向右平移个单位，得y＝f（x﹣）＝sin[（x﹣）﹣]＝sin（x﹣）＝﹣cos x的图象，则函数y＝g（x）＝﹣cos x；所以函数g（x）的对称轴方程为x＝kπ，k∈Z；即x＝2kπ，k∈Z；令k＝1，得x＝2π，所以x＝2π是g（x）的一条对称轴方程．故选：C．10．设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点．有下列四个命题：①在α内存在直线与直线AB异面；②在α内存在直线与直线AB相交；③存在过直线AB的平面与α垂直；④存在过直线AB的平面与α平行．其中，一定正确的是（）A．①②③B．①③C．①④D．③④【分析】根据空间中的直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断题目中的命题真假性即可．解：对于①，无论直线AB与α平行，还是直线AB与α相交，都在α内存在直线与直线AB异面，所以①正确；对于②，当直线AB与α平行时，平面α内不存在直线与直线AB相交，所以②错误；对于③，无论直线AB与α平行，还是直线AB与α相交，都存在过直线AB的平面与α垂直，所以③正确；对于④，若直线AB与α相交，则不存在过直线AB的平面与α平行，所以④错误；综上知，正确的命题序号是①③．故选：B．11．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，直线y＝与C相交于A，B两点，且AF⊥BF，则C的离心率为（）A．B．﹣1 C．D．﹣1【分析】可解得点A、B坐标，由AF⊥BF，得•＝0，把b2＝a2﹣c2代入该式整理后两边同除以a4，得e的方程，解出即可，注意e的取值范围解：由，消y可得得（3a2+b2）x2＝a2b2，解得x＝±，分别代入y＝±，∴A（，），B（﹣，﹣），∴＝（+c，），＝（c﹣，﹣），∴•＝c2﹣﹣＝0，∴c2＝，（*）把b2＝a2﹣c2代入（*）式并整理得4a2c2﹣c4＝4a2（a2﹣c2），两边同除以a4并整理得e4﹣8e2+4＝0，解得e2＝4﹣2∴e＝﹣1，故选：D．12．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝﹣f（2﹣x），函数g（x）＝a（e x﹣1﹣e1﹣x），若方程f（x）＝g（x）有2019个解，记为x i（i＝1，2，…，2019），则＝（）A．2019 B．4038 C．2020 D．4040【分析】分析可知，函数f（x）与g（x）均关于（1，0）对称，根据对称性即可得解．解：∵f（x）＝﹣f（2﹣x），∴f（x）关于（1，0）对称，∵g（x）＝a（e x﹣1﹣e1﹣x），∴g（2﹣x）＝a（e1﹣x﹣e x﹣1）＝﹣a（e x﹣1﹣e1﹣x）＝﹣g（x），∴g（x）关于（1，0）对称，∵方程f（x）＝g（x）有2019个解，即y＝f（x）与y＝g（x）有2019个交点，∴必有一个交点的横坐标为1，且其余2018个交点关于关于（1，0）对称，共1009对，而且每对横坐标之和为2，∴．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上．13．已知函数f（x）＝，满足f（﹣1）+f（a）＝0，则a的值为2018 ．【分析】推导出f（a）＝﹣f（﹣1）＝﹣e0＝﹣1．当a＜0时，f（a）＝e a+1＝﹣1，当a ≥0时，f（a）＝a﹣2019＝﹣1，由此能求出a的值．解：∵函数f（x）＝，满足f（﹣1）+f（a）＝0，∴f（a）＝﹣f（﹣1）＝﹣e0＝﹣1．当a＜0时，f（a）＝e a+1＝﹣1，无解，当a≥0时，f（a）＝a﹣2019＝﹣1，解得a＝2018．故答案为：2018．14．已知，则＝．【分析】利用换元法结合三角函数的诱导公式进行化简即可．解：设θ＝α+，则sinθ＝，α＝θ﹣，则＝cos（θ﹣﹣）＝cos（θ﹣）＝cos（﹣θ）＝sinθ＝，故答案为：15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b cos A+a cos B＝2c cos B，，则△ABC外接圆的面积为4π．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin C＝2sin C cos B，由sin C≠0，可得cos B＝，结合范围B∈（0，π），可得B＝，设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可求R的值，进而即可得解△ABC外接圆的面积．解：∵b cos A+a cos B＝2c cos B，∴由正弦定理可得sin B cos A+sin A cos B＝2sin C cos B，∴sin（A+B）＝sin C＝2sin C cos B，∵sin C≠0，∴可得cos B＝，∵B∈（0，π），∴可得B＝，∵，∴设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可得2R＝＝＝4，可得R＝2，∴△ABC外接圆的面积为S＝πR2＝4π．故答案为：4π．16．如图，六氟化硫（SF6）的分子是一个正八面体结构，其中6个氟原子（F）恰好在正八面体的顶点上，而硫原子（S）恰好是正八面体的中心．若把该分子放入一个球内，则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为π．【分析】连结EF，SF，则S在线段EF上，当球半径R＝SF＝EF时，这个球的体积与六氟化硫分子体积之比取最小值，由此能求出结果．解：连结EF，SF，则S在线段EF上，当球半径R＝SF＝EF时，这个球的体积与六氟化硫分子体积之比取最小值，六氟化硫（SF6）的分子是一个正八面体结构，这个正八面体结构是两个正四棱锥组合而成，设正四棱锥的底面正方形的边长为x，则2x2＝4R2，解得x＝，∴这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为：＝π．故答案为：π．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.17．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a1＝1，a2+a3＝12，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）直接利用已知条件和定义求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．解：（1）因为{a n}是正数等比数列，且a1＝1，a2+a3＝12，所以，即q2+q﹣12＝0，分解得（q+4）（q﹣3）＝0，又因为a n＞0，所以q＝3，所以数列{a n}的通项公式为；（2）因为{b n﹣a n}是首项为1，公差为2的等差数列，所以b n﹣a n＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，所以，所以T n＝b1+b2+…+b n＝（30+1）+（31+3）+…+（3n﹣1+2n﹣1），＝（30+31+…+3n﹣1）+（1+3+…+2n﹣1），＝，＝．18．某农科所对冬季昼夜温差（最高温度与最低温度的差）大小与某反季节大豆新品种一天内发芽数之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了12月1日至12月6日每天昼夜最高、最低的温度（如图1），以及实验室每天每100颗种子中的发芽数情况（如图2），得到如下资料：（1）请画出发芽数y与温差x的散点图；（2）若建立发芽数y与温差x之间的线性回归模型，请用相关系数说明建立模型的合理性；（3）①求出发芽数y与温差x之间的回归方程（系数精确到0.01）；②若12月7日的昼夜温差为8℃，通过建立的y关于x的回归方程，估计该实验室12月7日当天100颗种子的发芽数．参考数据：＝2051，≈4.2，≈6.5．参考公式：相关系数：r＝（当|r|＞0.75时，具有较强的相关关系）．回归方程中斜率和截距计算公式：＝，＝．【分析】（1）直接根据资料画出发芽数y与温差x的散点图即可；（2）先求出相关系数r，判断r是否大于0.75，再说明建立模型的合理性；（3）直接根据条件求出线性回归方程，再将x＝8代入回归方程中计算出发芽数．解：（1）散点图如图所示（2）≈＝，∵y与x的相关系数近似为0.952＞0.75，说明y与x的线性相关程度较强，从而建立发芽数y与温差x之间的线性回归模型是合理的．（3）①由最小二乘估计公式，得≈＝，，∴，②当x＝8时，（颗），∴估计该实验室12月7日当天种子的发芽数为20颗，19．如图1，AD，BC是等腰梯形CDEF的两条高，AD＝AE＝CD＝2，点M是线段AE的中点，将该等腰梯形沿着两条高AD，BC折叠成如图2所示的四棱锥P﹣ABCD（E，F重合，记为点P）．（1）求证：BM⊥DP；（2）求点M到平面BDP距离h．【分析】（1）由已知可得AD⊥AP，AD⊥AB，得到AD⊥平面ABP，则AD⊥BM；再证明BM ⊥AP；由线面垂直的判定可得BM⊥平面ADP，从而得到BM⊥DP；（2）取BP中点N，连结DN，由题意AD⊥平面ABP，由V M﹣BDP＝V D﹣BMP，即可求得点M到平面BDP的距离h．【解答】（1）证明：∵AD⊥EF，∴AD⊥AP，AD⊥AB，又AP∩AB＝A，AP，AB⊂平面ABP，∴AD⊥平面ABP．∵BM⊂平面ABP，∴AD⊥BM；由已知得，AB＝AP＝BP＝2，∴△ABP是等边三角形，又∵点M是AP的中点，∴BM⊥AP；∵AD⊥BM，AP⊥BM，AD∩AP＝A，AD，AP⊂平面ADP，∴BM⊥平面ADP，∵DP⊂平面ADP，∴BM⊥DP；（2）解：取BP中点N，连结DN，∵AD⊥平面ABP，AB＝AP＝AD＝2，∴，∴DN⊥BP，在Rt△DPN中，，∴，∵AD⊥平面ABP，∴，∵V M﹣BDP＝V D﹣BMP，∴，又，∴，即点M到平面BDP的距离为．20．已知函数f（x）＝e x﹣2ax（a∈R）．（1）若f（x）的极值为0，求实数a的值；（2）若f（x）≥2xlnx﹣2x对于x∈（2，4）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性，极值的关系可求，（2）分离系数可得，对于x∈（2，4）恒成立，构造函数，原问题转化为2a≤H（x）min，x∈（2，4），结合导数与函数的性质可求．解：（1）由题得f'（x）＝e x﹣2a，①当a≤0时，f'（x）＞0恒成立∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，没有极值．②当a＞0时，由f'（x）＝0，得x＝ln2a，当x∈（﹣∞，ln2a）时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，ln2a）上单调递减当x∈（ln2a，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（ln2a，+∞）上单调递增，∴f（x）在x＝ln2a时取到极小值，∵f（x）的极值为0，∴f（ln2a）＝0，∴e ln2a﹣2aln2a＝0即 2a（1﹣ln2a）＝0，∴，（2）由题得e x﹣2ax≥2xlnx﹣2x对于x∈（2，4）恒成立，∴对于x∈（2，4）恒成立，令，原问题转化为2a≤H（x）min，x∈（2，4），又，令G（x）＝e x x﹣e x﹣2x，则G'（x）＝e x x﹣2＞0在x∈（2，4）上恒成立，∴G（x）在（2，4）上单调递增，∴G（x）＞G（2）＝2e2﹣e2﹣4＝e2﹣4＞0，∴H'（x）＞0∴，在（2，4）上单调递增，∴，∴，21．已知抛物线C：y2＝4x，在x轴正半轴上任意选定一点M（m，0）（m＞0），过点M作与x轴垂直的直线交C于P，Q两点．（1）设m＝1，证明：抛物线C：y2＝4x在点P，Q处的切线方程的交点N与点M关于原点O对称；（2）通过解答（1），猜想求过抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点G（x0，y0）（不为原点）的切线方程的一种做法，并加以证明．【分析】（1）m＝1时可求得x＝1与抛物线的交点P，Q的坐标，设在P处的切线方程，与抛物线联立用判别式为零求出斜率，进而求出在P处的切线方程，同理求出在Q处的切线方程，两式联立求出交点即N的坐标，证出N与点M关于原点O对称；（2）故G做GM⊥x轴交于M，求得M关于原点的对称点M'，则GM'为抛物线的切线，将直线GM'与抛物线联立可得判别式为零，证得直线GM'与抛物线相切．解：（1）解法一：证明：当m＝1时，点M（1，0），P（1，2），Q（1，﹣2），设在点P处的切线的斜率为k（k≠0），联立得，由，得k＝1，故在点P处的切线方程为y＝x+1，同理，求得在点Q的切线方程为y＝﹣x﹣1，由得交点N（﹣1，0），所以交点N与点M关于原点O对称；解法二：m＝1时，点M（1，0），P（1，2），Q（1，﹣2，由y2＝4x得，故或，所以在点P处的切线方程为y﹣2＝x﹣1即y＝x+1，在点Q处的切线方程为y+2＝﹣（x﹣1）即y＝﹣x﹣1，由得交点N（﹣1，0），所以交点N与M关于原点O对称；（2）解法一：过点G（x0，y0），（x0≠0）作与x轴垂直的直线交x轴于点M（x0，0），作点M关于原点对称的点M'（﹣x0，0），猜想切线方程为直线GM'：，即y0y＝p（x+x0），其中，联立得，∵，所以y0y＝p（x+x0）与抛物线y2＝2px相切．解法二：过点G（x0，y0），（x0≠0）作与x轴垂直的直线交x轴于点M（x0，0），作点M关于原点对称的点M'（﹣x0，0），猜想切线方程为直线GM'：，即y0y＝p（x+x0），其中，由y2＝2px得，∴或，所以在点G（x0，y0）处的切线斜率为或故点G（x0，y0）处的切线方程为或，由得或所以在点G（x0，y0）处切线方程为，整理得，即y0y＝p（x+x0）．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为x2+y2﹣4x﹣6y+5＝0．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P在C上，点Q在l上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和方程组的解法的应用求出结果．解：（1）圆C的方程可化为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝8，圆心为C（2，3），半径为，∴圆C的参数方程为（α为参数）直线l的极坐标方程可化为ρsinθ+ρcosθ＝﹣3，∵，∴直线l的直角坐标方程为x+y+3＝0．（2）：曲线C是以C（2，3）为圆心，半径为的圆，圆心C（2，3）到直线l：x+y+3＝0的距离，所以，此时直线PQ经过圆心C（2，3），且与直线l：x+y+3＝0垂直，k PQ•k l＝﹣1，所以k PQ＝1，PQ所在直线方程为y﹣3＝x﹣2，即y＝x+1．联立直线和圆的方程，解得或当|PQ|取得最小值时，点P的坐标为（0，1）所以，此时点P的坐标为（0，1）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≤1；（2）记函数f（x）的最大值为s，若＝s（a，b，c＞0），证明：≥3．【分析】（1）先将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）≤1分别解不等式即可；（2）先由（1）得到f（x）的最大值s，然后利用基本不等式即可证明≥3成立．解：（1），①当x≤﹣1时，﹣3≤1恒成立，所以x≤﹣1；②当﹣1＜x＜2时，2x﹣1≤1，即x≤1，所以﹣1＜x≤1；③当x≥2时，3≤1显然不成立，所以不合题意；综上，不等式的解集为（﹣∞，1]．（2）证明：由（1）知f（x）max＝3＝s，于是，所以≥＝6，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，所以．。
2019届广东省东莞市数学(文科)一模试题及答案解析
2019届广东省东莞市数学（文科）一模试题及答案解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1,2，5}，B ={x|x ≤2}，则A ∩B =( )A. {1}B. {5}C. {1,2}D. {2,5}【答案】C【解析】解：集合A ={1,2，5}，B ={x|x ≤2}，则A ∩B =(1,2}． 故选：C ．直接求解交集即可．本题考查集合的交集的求法，基本知识的考查．2. 已知i 是虚数单位，z =4(1+i)4−3i ，则|z|=( )A. 10B. √10C. 5D. √5【答案】B【解析】解：∵z =4(1+i)4−3i =4(2i)2−3i =−1−3i ， ∴|z|=√(−1)2+(−3)2=√10． 故选：B ．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3. 现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为( )A. 12B. 13 C. 16 D. 112【答案】B【解析】解：现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件总数n =C 42C 22A 22⋅A 22=6，乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数m =C 22C 22⋅A 22=2，∴乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率p =m n=26=13．故选：B ．先求出基本事件总数n =C 42C 22A 22⋅A 22=6，再求出乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数m =C 22C 22⋅A 22=2，由此能求出乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.双曲线x24−y2=1的焦点到渐近线的距离为()A. 1B. √2C. 2D. 3【答案】A【解析】解：双曲线中，焦点坐标为(±√5,0)，渐近线方程为：y=±12x，∴双曲线x24−y2=1的焦点到渐近线的距离：d=√5|√1+4=1．故选：A．分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，能求出结果．本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．5.由y=2sin(4x−14π)的图象向左平移π2个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为()A. y=2sin(8x−14π) B. y=2sin(2x+14π)C. y=2sin(2x−18π) D. y=2sin(2x−14π)【答案】D【解析】解：由y=2sin(4x−14π)的图象向左平移π2个单位，可得y=2sin(4x+2π−π4)=2sin(4x−π4)的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，可得y=2sin(2x−π4)的图象，故选：D．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．6.函数y=log a(x+4)+2(a>0且a≠1)的图象恒过点A，且点A在角θ的终边上，则sin2θ=()A. −513B. 513C. −1213D. 1213【答案】C【解析】解：对于函数y =log a (x +4)+2(a >0且a ≠1)，令x +4=1，求得x =−3，y =2，可得函数的图象恒过点A(−3,2)，且点A 在角θ的终边上，∴tanθ=yx =−23，则sin2θ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=−1213，故选：C ．令对数的真数等于零，求得x 、y 的值，可得定点A 的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得tanθ，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得sin2θ的值．本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题．7. 如图所示，△ABC 中，BD⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 是线段AD 的中点，则( )A. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BE ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =54AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BE ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =54AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】C【解析】解：如图所示，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =54AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：C ．利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出．本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8. 已知{a n }是等差数列，{b n }是正项等比数列，且b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6，则a 2018+b 9=( )A. 2274B. 2074C. 2226D. 2026【答案】A【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，正项等比数列{b n }的公比为q >0，∵b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6， ∴q 2=q +2，q 3=2a 1+6d ，q 4=3a 1+13d ， 解得q =2，a 1=d =1．则a 2018+b 9=1+2017+28=2274． 故选：A ．利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A. α⊥β，α∩β=m，m⊥n⇒n⊥βB. α⊥β=n，m⊂α，m//β⇒m//nC. m⊥n，m⊂α，n⊂β⇒α⊥βD. m//α，n⊂α，⇒m//n【答案】B【解析】解：由m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，得：在A中，α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n与β相交、平行或n⊂β，故选A；在B中，α⊥β=n，m⊂α，m//β，则由线面平行的性质定理得m//n，故B正确；在C中，m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，m//α，n⊂α，则m与n平行或异面，故D错误．故选：B．在A中，n与β相交、平行或n⊂β；在B中，由线面平行的性质定理得m//n；在C中，α与β相交或平行；在D中，m与n平行或异面．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数表结合思想，是中档题．10.三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=30∘，△APC的面积为2，则三棱锥P−ABC的外接球体积的最小值为()A. 4πB. 4π3C. 64π D. 32π3【答案】D【解析】解：设AC=x，由于PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PA⊥AC，则△APC的面积为S△APC=12AC⋅PA=2，则PA=4x，由正弦定理知，△ABC的外接圆直径为2r=ACsin∠ABC =xsin30∘=2x，所以，三棱锥P−ABC的外接球直径为2R=√PA2+(2r)2=√16x +4x2≥√2√16x⋅4x2=4，当且仅当16x2=4x2，即当x=√2时，等号成立，则R≥2．所以，该三棱锥P−ABC的外接球的体积为43πR3≥43π×23=323π．因此，三棱锥P−ABC的外接球体积的最小值为323π．故选：D．先证明PA−⊥AC，并设PA=x，利用△APC的面积得出PA=4x，然后利用正弦定理得出△ABC的外接圆直径2r的表达式，并利用公式2R=√PA2+(2r)2并结合基本不等式可得出外接球半径的最小值，最后利用球体体积公式可得出答案．本题考查球体体积的计算，考查利用基本不等式求最值，解决本题的关键在于找出合适的模型求出球体的半径，考查计算能力，属于中等题．11.在△ABC中，AB=2，C=π6，则AC+√3BC的最大值为()A. 4√7B. 3√7C. 2√7D. √7【答案】A【解析】解：△ABC中，AB=2，C=π6，则：2R=ABsinC=4，则：AC+√3BC，=4sinB+4√3sinA，=4sin(5π6−A)+4√3sinA，=2cosA+6√3sinA，=4√7sin(A+θ)，由于：0<A<5π6，0<θ<π2所以：0<A+θ<4π3，所以最大值为4√7．故选：A．直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用．12.设函数f(x)={1−log2x,x>121−x,x≤1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是()A. [−1,2]B. [0,2]C. [1,+∞)D. [0,+∞)【答案】D【解析】解：当x≤1时，21−x≤2的可变形为1−x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x>1时，1−log2x≤2的可变形为x≥12，∴x≥1，故答案为[0,+∞)．故选：D．分类讨论：①当x≤1时；②当x>1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=e x−1x在点(1,f(1))处的切线的斜率为______．【答案】e +1【解析】解：曲线y =e x −1x ，可得y′=e x +1x 2，所以曲线y =e x −1x 在点(1,f(1))处的切线的斜率为：y′|x=1=e +1． 故答案为：e +1．求出函数的导数，代入x =1，得到切线的斜率即可．本题考查函数的导数的应用，切线的斜率的求法，考查计算能力．14. 若x ，y 满足约束条件{x −y −1≤02x −y +1≥0x ≥0，则z =−x2+y 的最小值为______．【答案】−1【解析】解：画出约束条件{x −y −1≤02x −y +1≥0x ≥0表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数z =−12x +y 过点A 时取得最小值， 由{x −y −1=0x=0，解得A(0,−)， 代入计算z =0+(−1)=−1， 所以z =−12x +y 的最小值为−1． 故答案为：−1．画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数z =−12x +y 的最小值．本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题．15. 设双曲线x 29−y 26=1的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B两点，则|AF 2|+|BF 2|的最小值等于______．【答案】16【解析】解：根据双曲线x29−y26=1，得：a=3，b=√6，由双曲线的定义可得：|AF2|−|AF1|=2a=6…①，|BF2|−|BF1|=2a=6…②，①+②可得：|AF2|+|BF2|−(|AF1|+|BF1|)=12，∵过双曲线的左焦点F1的直线交双曲线的左支于A，B两点，∴|AF1|+|BF1|=|AB|，当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小．∴|AF2|+|BF2|−(|AF1|+|BF1|)=|AF2|+|BF2|−|AB|=12．|BF2|+|AF2|=|AB|+12≥2b2a +12=2×63+12=16．故答案为：16．根据双曲线的标准方程可得：a=3，b=√6，再由双曲线的定义可得：|AF2|−|AF1|= 2a=6，|BF2|−|BF1|=2a=6，所以得到|AF2|+|BF2|−(|AF1|+|BF1|)=12，再根据A、B两点的位置特征得到答案．本题考查两条线段和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意双曲线的简单性质的合理运用．16.圆锥底面半径为1，高为2√2，点P是底面圆周上一点，则一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是______．【答案】3√3【解析】解：圆锥的侧面展开图为扇形，其弧长为底面圆的周长，即2π∵圆锥的母线长为3.扇形的圆心角2π3，∴一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是：2×3√32=3√3．故答案为：3√3．利用圆锥的侧面展开图，确定扇形的圆心角，即可求得结论．本题考查旋转体表面上的最短距离，考查学生的计算能力，属于基础题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}的首项a1=1，且a2+1、a3+1、a4+2构成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式(2)设b n=2a n a n+1，求数列{b n}的前n项和S n【答案】解：(1)等差数列{a n}的首项a1=1，公差设为d，a2+1、a3+1、a4+2构成等比数列，可得(a3+1)2=(a2+1)(a4+2)，即为(2+2d)2=(2+d)(3+3d)，解得d=2或−1，当d=−1时，a2+1=0，不成立，舍去，则d=2，a1=1，可得a n=2n−1；(2)b n=2a n a n+1=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1，前n项和S n=1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1=1−12n+1=2n2n+1．【解析】(1)设公差为d，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差d，即可得到所求通项公式；(2)求得b n=2a n a n+1=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1，由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题．18.某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式：方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试方式二：周六一天培训4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：(1)用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间(精确到0.1)，并据此判断哪种培训方式效率更高？(2)在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率．【答案】解：(1)设甲乙两组员工受训的平均时间分别为t1、t2，则t1=20×5+25×10+10×15+5×2060=10(小时)----------------------------------------(2分)t2=8×4+16×8+20×12+16×1660≈10.9(小时)----------------------------------------(4分)据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因10<10.9，据此可判断培训方式一比方式二效率更高.---------------------------------------------(6分)(2)从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，则这6人中来自甲组的人数为：630×10=2，--------------------------------------------------(7分)×20=4，----------------------------------------------------------------(8分来自乙组的人数为：630)记来自甲组的2人为：a、b；来自乙组的4人为：c、d、e、f，则从这6人中随机抽取2人的不同方法数有：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,f)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,f)，(c,d)，(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，(e,f)，共15种，----------------------------------------------(10分)其中至少有1人来自甲组的有：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,f)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,f)，共9种，=故这2人中至少有1人来自甲组的概率P=9153.----------------------------------------------------------(12分)5【解析】(1)分别求出甲乙两组员工受训的平均时间，据此可判断培训方式一比方式二效率更高．(2)从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，则这6人中来自甲组的人数为2，来自乙组的人数为4，记来自甲组的2人为：a、b；来自乙组的4人为：c、d、e、f，则从这6人中随机抽取2人，利用列举法能求出这2人中至少有1人来自甲组的概率．本题考查平均数、概率的求法，考查古典概型、列举法、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60∘，E是BC中点，M是PD的中点．(1)求证：平面AEM⊥平面PAD；(2)若F是PC上的中点，且AB=AP=2，求三棱锥P−AMF的体积．【答案】证明：(1)连结AC，∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60∘，∴△ABC是正三角形，∵E是BC中点，∴AE⊥BC，又AD//BC，∴AE⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，∵PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，又AE ⊂平面AEM ，∴平面AEM ⊥平面PAD ． 解：(2)∵F 是PC 上的中点，且AB =AP =2， ∴AD =2，AE =√3， ∴三棱锥P −AMF 的体积：V P−AMF =V M−APF =12V F−PAD =12×12V C−PAD=14V P−ACD =14×13×S △ACD ×PA =112×12×AD ×AE ×PA =124×2×√3×2=√36． 【解析】(1)连结AC ，推导出AE ⊥BC ，AE ⊥AD ，PA ⊥AE ，从而AE ⊥平面PAD ，由此能证明平面AEM ⊥平面PAD ．(2)三棱锥P −AMF 的体积：V P−AMF =V M−APF =12V F−PAD =12×12V C−PAD ，由此能求出结果．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20. 已知椭圆E 的一个顶点为A(0,1)，焦点在x 轴上，若椭圆的右焦点到直线x −y +2√2=0的距离是3． (1)求椭圆E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与该椭圆交于另一点B ，当弦AB 的长度最大时，求直线l 的方程．【答案】解：(1)由题意：b =1，右焦点(c,0)(c >0)到直线x −y +2√2=0的距离为： d =√2|√2=3，∴c =√2，又∵a 2−b 2=c 2，∴a =√3，又∵椭圆E 的焦点在x 轴上，∴椭圆E 的方程为：x 23+y 2=1(2)①当直线l 的斜率不存在时，|AB|=2； ②当直线l 的斜率存在时，设l ：y =kx +1， 联立{y =kx +1x 23+y 2=1，得：(1+3k 2)x 2+6kx =0，∵x A =0，∴x B =−6k 1+3k 2，∴|AB|=√1+k 2|x B −x A |=√1+k 2⋅6|k|1+3k 2， ∴|AB|2=36k 2(1+k 2)(1+3k 2)2，设1+3k 2=t ≥1，则k 2=t−13记f(t)=4(t 2+t−2)t 2=4[−2(1t )2+1t +1]，∴1t =14，即t=4，k=±1时，|AB|=f(t)取得最大值92>2，此时直线l：y=x+1或y=−x+1．【解析】(1)根据点到直线的距离列式求得c，再求得a；(2)根据弦长公式求得弦长后，换元成二次函数求最值．本题考查了直线与椭圆的综合，属中档题．21.已知函数f(x)=xe x+a(lnx+x)．(1)若a=−e，求f(x)的单调区间；(2)当a<0时，记f(x)的最小值为m，求证：m≤1．【答案】(1)解：当a=−e时，f(x)=xe x−e(lnx+x)，f(x)的定义域是(0,+∞)……(1分)f′(x)=(x+1)e x−e(1x +1)=(x+1x)(xe x−e)，…………………………………(2分)当0<x<1时，；当x>1时，0.'/> (3))所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞).……………(4分) (2)证明：由(1)得f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=x+1x(xe x+a)，令g(x)=xe x+a，则g′(x)=(x+1)e x>0，g(x)在(0,+∞)上单调递增，………………………(5分)因为a<0，所以g(0)=a<0，g(−a)=−ae−a+a>−a+a=0，故存在x0∈(0,−a)，使得g(x0)=x0e x0+a= 0.…………………………………………(6分)当x∈(0,x0)时，g(x)<0，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(x0,+∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，f(x)单调递增；故x=x0时，f(x)取得最小值，即m=f(x0)=x0e x0+a(lnx0+x0)，…………………………(8分)由x0e x0+a=0，得m=x0e x0+aln(x0e x0)=−a+aln(−a)，………………………………(9分)令x=−a>0，h(x)=x−xlnx，则，当x∈(0,1)时，0'/>，h(x)=x−xlnx单调递增，………………………………(10分)当x∈(1,+∞)时，，h(x)=x−xlnx单调递减，………………………………(11分)故x=1，即a=−1时，h(x)=x−xlnx取最大值1，故m≤1.……………………(12分)【解析】(1)代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，得到m=x0e x0+aln(x0e x0)=−a+aln(−a)，令x=−a>0，h(x)=x−xlnx，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为：{y =1+tsinαx=tcosα(t 为参数，α∈[0,π))，曲线C 的极坐标方程为：ρ=4sinα．(1)写出曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，若|PQ|=√15，求直线l 的斜率．【答案】解：(1)曲线C 的极坐标方程为：ρ=4sinα．转换为直角坐标方程为：x 2+y 2=4y ．∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+(y −2)2=4．(2)把 {y =1+tsinαx=tcosα代入x 2+y 2=4y ，整理得t 2−2tsinα−3=0设其两根分别为 t 1和t 2，则t 1+t 2=2sinα，t 1t 2=−3，∴|PQ|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√4sin α+12=√15得sinα=√32，α=π3或2π3，∴直线l 的斜率为±√3．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23. 设函数f(x)=|x +1|+|x −2|．(1)求不等式f(x)≤3的解集；(2)当x ∈[2,3]时，f(x)≥−x 2+2x +m 恒成立，求m 的取值范围．【答案】解：(1)f(x)=|x +1|+|x −2|={1−2x,x ≤−13,−1<x <22x −1,x ≥2，由f(x)≤3，解得：1≤x ≤2，故不等式的解集是{x|−1≤x ≤2}；(2)当x ∈[2,3]时，f(x)=2x −1，由f(x)≥−x 2+2x +m ，得2x −1≥−x 2+2x +m ，即m ≤x 2−1在x ∈[2,3]恒成立，故m ≤3，即m 的范围是(−∞,3]．【解析】(1)通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出即可；(2)问题转化为m ≤x 2−1在x ∈[2,3]恒成立，求出m 的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及转化思想，分类讨论思想，是一道常规题．。
2018-2019学年广东省东莞市高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
（2）若对任意 x≥1 都有 f（x）≥g（x）成立，求实数 a 的取值范围．
[选修 4-4：坐标系参数方程]
22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的普通方程为（x﹣1）2+y2＝1，曲线 C2 的参数
方程为
（θ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，
直线 l 的极坐标方程为 θ＝ （p∈R）．
8．（5 分）为了得到函数 y＝cos2x 的图象，只需把函数 y＝cos（2x﹣ ）的图象（ ）
A．向左平移 个单位得到
B．向右平移 个单位得到
C．向左平移 个单位得到
D．向右平移 个单位得到
9．（5 分）在各项均为正数的等比数列{bn}中，若 b4•b6＝4，则 log2b1+log2b2+…+log2b9＝ （）
A．6
B．7
C．8
D．9
10．（5 分）在边长为 2 的等边△ABC 中，D 是 BC 的中点，点 P 是线段 AD 上一动点，则
• 的取值范围是（ ）
A．[﹣ ，+∞） B．[﹣ ，0]
C．[﹣1，0]
D．[﹣1，1]
11．（5 分）已知圆 C：x2+y2＝4 与 y 轴负半轴交于点 M，圆 C 与直线 l：x﹣y+1＝0 交于 A， B 两点，那么在圆 C 内随机取一点，则该点落在△ABM 内的概率为（ ）
（1）求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的普通方程； （2）直线 l 与曲线 C1 在第一象限内的交点为 P，过点 P 的直线交曲线 C2 于 A，B 两点， 且 AB 的中点为 P，求直线 P 的斜率． [选修 45：不等式选讲] 23．设函数 f（x）＝|x+a|﹣|x﹣2|﹣2． （1）当 a＝1 时，求不等式 f（x）≥0 的解集； （2）∃x∈R，使得 f（x）≥0，求 a 的取值范围．
2019年广东省东莞市高考文科数学一模试卷及答案解析
2019年广东省东莞市高考文科数学一模试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{1A =，2，5}，{|2}N x x =…，则M N 等于( ) A ．{1} B ．{5} C ．{1，2}D ．{2，5} 2．（5分）已知i 是虚数单位，443(1)z i i =-+，则||(z = )A ．10BC ．5 D3．（5分）现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为( )A ．12B ．13C ．16D ．1124．（5分）双曲线2214x y -=的焦点到渐近线的距离为( )A ．2BC ．1D ．35．（5分）由12sin(4)4y x π=-的图象向左平移2π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为( )A ．12sin(8)4y x π=- B ．12sin(2)4y x π=+C ．12sin(2)8y x π=-D ．12sin(2)4y x π=- 6．（5分）函数log (4)2(0a y x a =++>且1)a ≠的图象恒过点A ，且点A 在角θ的终边上，则sin 2(θ= )A ．513-B ．513C ．1213-D ．12137．（5分）如图所示，ABC ∆中，2BD DC =，点E 是线段AD 的中点，则( )A ．3142AC AD BE =+B ．34AC AD BE =+ C ．5142AC AD BE =+ D ．54AC AD BE =+8．（5分）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是正项等比数列，且11b =，322b b =+，435b a a =+，5462b a a =+，则20189(a b += )A ．2274B ．2074C ．2226D ．20269．（5分）设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．αβ⊥，m αβ=，m n n β⊥⇒⊥ B ．n αβ⊥=，m α⊂，////m m n β⇒C ．m n ⊥，m α⊂，n βαβ⊂⇒⊥D ．//m α，n α⊂，//m n ⇒10．（5分）三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，30ABC ∠=︒，APC ∆的面积为2，则三棱锥P ABC -的外接球体积的最小值为( )A ．4πB ．43πC ．64πD ．323π 11．（5分）在ABC ∆中，2AB =，6C π=，则AC 的最大值为( ) AB．C．D．12．（5分）设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧⎪=⎨->⎪⎩…，则满足()2f x …的x 的取值范围是( ) A ．[1-，2] B ．[0，2] C ．[1，)+∞ D ．[0，)+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）曲线1x y e x=-在点(1，f （1）)处的切线的斜率为 ． 14．（5分）若x ，y 满足约束条件102100x y x y x --⎧⎪-+⎨⎪⎩………，则2x z y =-+ 的最小值为 ． 15．（5分）设双曲线22196x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则22||||AF BF +的最小值等于 ．16．（5分）圆锥底面半径为1，高为点P 是底面圆周上一点，则一动点从点P 出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P ，则绕行的最短距离是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019届东莞市高三期末统考模拟考试
文科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分，考试用时120分钟
注意事项： 2018.12 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合{}0762
≤∈=x--x R x A ，集合{}2，1，0，1-2-，
=B ，则B A ⋂= A ．
{}2
B ．
{}
21， C ．
{}210，， D ．{}2101-，，，
2．已知复数z 满足534i
z i
=
-，则z =
A ．
5 B ．
3 C ．1 D ．5
3．已知,a b 为实数，命题甲：2ab b >，命题乙：
11
0b a
<<，则甲是乙的 A ．充分不必要条件 B ．.必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．按照程序框图（如右图所示）执行，输出的最后一个数是
A ．9
B ．7
C ．5
D ．3 5．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为 A ．
2
π B ．
2
3π C ．
2
2π D ．
2
5π
6．已知双曲线2
2
21y x b
-=的离心率为2,则双曲线的渐近线方程为
A
．y =
B
．y x = C
．y =
D
．y =
7．已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足4BD DC =u u u r u u u r ，则AD u u u r
可表示为
A ．1344AD A
B A
C =+u u u r u u u r u u u r
B ．
3144AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r
C ．4155A
D AB AC =+u u u r u u u r u u u r
D ．
1455
AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r
8．四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与BD 所成的角为
A .
6π B . 4π C . 3π D . 23
π
9．函数()x x f sin2=的图象与函数()⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=6 cos π＋x x f 的图象关于直线m x =对称，
则m 的值不可能是
A ．24
7-
π B ．
24π C ．245π D ．24
17π
10．已知ln 0a b -=，1c d
-=，则22()()a c b d -+-的最小值
A .
4 B . 2 C .1 D . 2
11．设121sin ,25
n n n n a S a a a n π
=
=+++L ，在12,,n S S S L 中，正数的个数是 A ．25 B ．50 C ．75 D ．100
12．已知函数⎪⎩
⎪
⎨⎧
>-≤+=0,10),2
cos()(x e x x x f x π,若1)(+≥ax x f 恒成立,则实数a 的取值范围是 A ．
[)+∞,0 B ．[]e ,0 C ．[]1,0 D ．[)+∞,e
二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分
13．已知13
2a =，2
3
1()2
b =，则2log ()ab =__________
14．曲线
()lnx e x f x =在点()()11f ，处的切线方程为__________
15．.若x ，y 满足约束条件满足22221x y x y y x +⎧⎪
--⎨⎪-⎩
≤≥≥，则3z y x =-的取值范围为
16．在ABC △中，2AC =，π
3
BAC ∠=，ABC △
的面积为P 在ABC △内，且2π
3
BPC ∠=
，则PBC △的面积的最大值为
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．
（一）必考题：共60分
17．（本小题满分12分）在数列{}n a 中，11a =，1334n
n n a a -=++ *
(,2)n N n ∈≥。
（1）证明：数列2
{
}3
n n a +为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。
18．（本小题满分12分）
某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x （单位：盒，
100200x ≤≤）表示这个开学季内的市场需求量，y （单位：元）表示这个开学季内经销
该产品的利润．
P
F D
C
B
A
（1）根据频率分布直方图估计这个开学季内市场需求量x 的平均数
（2）求y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润y 不少于4000元的概率．
19．（本小题满分12分） 如图，平行四边形ABCD 中，24BC AB ==，
60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，
E ，
F 分别为BC ，PE 的中点．
（1）求证：AF ⊥平面PED ； （2）求点C 到平面PED 的距离．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C
的左、右焦点分别为(
、0)，且椭圆C
经过点1
)2。
（1）求椭圆C 的方程:
（2）直线(0)y kx k =>与椭圆C 相交于A 、B 两点，D 点为椭圆C 上的动点，且AD BD =,请问ΔABD 的面积是否存在最小值?若存在，求出此时直线AB 的方程；若不存在，说明理由。
21． (本小题满分 12 分) 已知函数
0)(2)(2≠+=a alnx x -x x f ，x 是函数)(x f 的极值点. （1）若-4=a
，求函数)(x f 的最小值；
（2）若
)(x f 不是单调函数，且无最小值，证明：0)(0〈x f
（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：2
2
60x y x +-=，直线1l ：0x -=，直线2l ：
0y -=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出曲线C 的参数方程以及直线1l ，2l 的极坐标方程；
（2）若直线1l 与曲线C 分别交于O ，A 两点，直线2l 与曲线C 分别交于O ，B 两点，求
AOB ∆的面积.
23．已知函数()2-=x x f ．
（1）求不等式()042
>-+x x f 的解集；
（2）设()m x x g 37++-=，若关于x 的不等式()()x g x f <的解集非空，求实数m 的取值范围．。