2020届高考数学总复习课时跟踪练二十同角三角函数的基本关系式与诱导公式文含解析新人教A
2020高考数学总复习课时作业：同角三角函数的基本关系与诱导公式 含解析
A．sin 2－cos 2B．sin 2＋cos 2
C．±(sin 2－cos 2)D．cos 2－sin 2
解析：A[
＝ ＝ ＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.]
4．若 ＝3，则cosα－2sinα＝()
A．－1B．1
C．－ D．－1或－
解析：C[若 ＝3，则1＋cosα＝3sinα，又sin2α＋cos2α＝1，
∴sinα＝ ，∴cosα＝3sinα－1＝ ，∴cosα－2sinα＝－ ，故选C.]
5．已知sin ＋3cos (π－θ)＝sin (－θ)，则sinθcosθ＋cos2θ＝()
A. B.
C. D.
解析：D[∵sin ＋3cos (π－θ)＝cosθ－3cosθ＝－2cosθ＝sin (－θ)＝－sinθ，∴tanθ＝2，则sinθcosθ＋cos2θ＝ ＝ ＝ ，故选D.]
解析：cos ＝cos
＝－cos ＝－a.
sin ＝sin ＝cos ＝a，
∴cos ＋sin ＝0.
答案：0
9．求值： cos 375°＋ sin 375°
解：原式＝sin(45°＋375°)
＝sin 420°＝sin (360°＋60°)
＝sin 60°＝ .
10．已知sinα＝ ，求tan(α＋π)＋ 的值．
解析：∵sinα＝ >0，∴α为第一或第二象限角．
tan(α＋π)＋ ＝tanα＋
＝ ＋ ＝ .
(1)当α是第一象限角时，cosα＝ ＝ ，
原式＝ ＝ .
(2)当α是第二象限角时，cosα＝－ ＝－ ，
原式＝ ＝－ .
∵α∈(0，π)，∴sinα＝ ＝ ，
高考数学专题《同角三角函数的基本关系与诱导公式》习题含答案解析
专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．（2021·北京二中高三其他模拟）在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点34,55⎛⎫⎪⎝⎭，则tan()πθ-的值为（ ）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C 【解析】由题意可得角的正弦和余弦值，由同角三角函数的基本关系可求出角的正切值，结合诱导公式即可选出正确答案.【详解】解：由题意知，43sin ,cos 55θθ==，则sin 4tan cos 3θθθ==，所以4tan()tan 3πθθ-=-=-，故选:C.2．（2021·全国高三其他模拟（理））已知1tan ,2α=则()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ）A ．﹣12B ．12C ．2D ．﹣2【答案】C 【解析】先用“奇变偶不变，符号看象限”将()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭化简为cos sin αα--，结合同角三角函数的基本关系来求解.【详解】因为1tan 2α=，所以()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos sin αα--=1tan α=2.故选：C练基础3.（2021·全国高一专题练习）已知3cos cos()2παπα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭则1tan tan αα+=（ ）A ．2B ．-2C ．13D ．3【答案】A 【解析】用诱导公式化简，平方后求得sin cos αα，求值式切化弦后易得结论．【详解】3cos cos()sin cos 2παπααα⎛⎫-++=∴--= ⎪⎝⎭即21sin cos (sin cos )2,sin cos ,2αααααα+=∴+=∴=1sin cos 1tan 2tan cos sin sin cos αααααααα∴+=+==，故选：A ．4．（2021·河南高三其他模拟（理））若1tan 2α=，则22sin sin cos ααα+=_______________________.【答案】45【解析】利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值.【详解】因为12tan α=，所以222222224215sin sin cos tan tan sin sin cos sin cos tan ααααααααααα+++===++.故答案为：455．（2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（文））若3sin 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭[0,2)θπ∈，则θ=___________.【答案】116π【解析】根据三角函数的诱导公式，求得cos θ=[0,2)θπ∈，进而求得θ的值.【详解】由三角函数的诱导公式，可得3sin cos 2πθθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，即cos θ=，又因为[0,2)θπ∈，所以116πθ=.故答案为：116π.6．（2021·上海格致中学高三三模）已知α是第二象限角，且3sin 5α=，tan α=_________.【答案】34-【解析】根据角所在的象限，判断正切函数的正负，从而求得结果.【详解】由α是第二象限角，知4cos 5α===-，则sin 3tan cos 4ααα==-故答案为：34-7．（2021·上海高三二模）若sin cos k θθ=，则sin cos θθ⋅的值等于___________(用k 表示).【答案】21kk +【解析】由同角三角函数的关系得tan θk =,进而根据22sin cos sin cos sin cos θθθθθθ⋅⋅=+,结合齐次式求解即可.【详解】因为sin cos k θθ=，所以tan θk =，所以2222sin cos tan sin cos sin cos tan 11kk θθθθθθθθ⋅⋅===+++，故答案为:21k k +8．（2021·河北衡水市·高三其他模拟）函数log (3)2(0a y x a =-+>且a ≠1)的图象过定点Q ，且角a 的终边也过点Q ，则23sin α+2sin cos αα=___________.【答案】75【解析】首先可得点Q 的坐标，然后可得tan α，然后可求出答案.【详解】由题可知点Q (4，2)，所以1tan ,2α=所以22223sin 2sin cos 3sin 2sin cos sin cos αααααααα++==+2211323tan 2tan 74211tan 514ααα⨯+⨯+==++故答案为：759．（2021·上海高三其他模拟）已知3sin 5x =，(,)2x ππ∈，则cos(π﹣x )=___________.【答案】45【解析】根据22sin cos 1x x += ，(,)2x ππ∈，求出cos x ，再用“奇变偶不变，符号看象限”求出cos(π﹣x ).【详解】解：因为3sin 5x =，(,)2x ππ∈，可得cos x =﹣=﹣45，所以cos(π﹣x )=﹣cos x =45.故答案为：45.10．（2020·全国高一课时练习）若2cos()3απ-=-，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．【答案】.【解析】利用诱导公式化简已知和结论，转化为给值求值的三角函数问题解决.【详解】原式=sin(2)sin(3)cos(3)cos (cos )cos παπαπαααα---+----=2sin sin cos cos cos ααααα--+=sin (1cos )cos (1cos )αααα---=-tan α，因为2cos()cos 3απα-=-=-，所以2cos 3α=，所以α为第一象限角或第四象限角．(1)当α为第一象限角时，sin α=所以sin tan cos ααα=，所以原式.(2)当α为第四象限角时，sin α=所以sin tan cos ααα=，所以原式.综上，原式=.1．（2021·全国高三其他模拟（理）(0)a a =>，则1tan 2=________（用含a 的式子表示）．【解析】根据同角三角函数的相关公式，把根号下的式子变形为完全平方式，2111112sin cos sin cos 2222⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2111112sin cos sin cos 2222⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再由11cos sin 022>>，开方即得1cos 22a =，再由22111tan 12cos 2+=即可得解.【详解】练提升=+=1111cos sin sin cos2222=-++12cos 2a ==，则1cos 22a =而22111tan 12cos 2+=，2214tan 12a∴=-又1tan 02>，1tan 2∴==.2.（2021·河北邯郸市·高三二模）当04x π<<时，函数22cos ()sin cos sin xf x x x x=-的最大值为______．【答案】-4【解析】化简函数得21()tan tan f x x x=-，再换元tan ,(0,1)t x t =∈，利用二次函数和复合函数求函数的最值.【详解】由题意得22222cos cos ()sin cos sin cos cos x x f x x x xx x =-所以21()tan tan f x x x =-，当04x π<<时，0tan 1x <<，设tan ,(0,1)t x t =∈所以2211()=11()24g t t t t =---，所以当12t =时，函数()g t 取最大值4-.所以()f x 的最大值为-4．故答案为：4-3．（2021·浙江高三其他模拟）已知πtan 34α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则3πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______，sin cos αα=______.【答案】3 25【解析】由3ππtan tan 44αα⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求，由和的正切公式求出tan α，再建立齐次式即可求出.【详解】3πππtan tan πtan 3444ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由πtan 1tan 341tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，得tan 2α=，故222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15αααααααα===++.故答案为：3；254．（2021·全国高一专题练习）如图，单位圆与x 轴正半轴的交点为A ，M ，N 在单位圆上且分别在第一､第二象限内，OM ON ⊥.若四边形OAMN 的面积为34，则AOM ∠=___________；若三角形AMN 的面积为25，则sin AOM ∠=___________.【答案】6π 35【解析】根据四边形OAMN 的面积，列出关于M 点纵坐标M y 的方程，求出M y ；即可根据三角函数的定义求出sin AOM ∠，进而可得AOM ∠；根据三角形AMN 的面积为25，得到M y 与N y 之间关系，再结合三角函数的定义，得到1cos sin 5AOM AOM ∠-∠=，利用同角三角函数基本关系，即可求出结果.【详解】若四边形OAMN 的面积为34，则3111142222MON MOA M M S S OM ON OA y y =+=⨯⨯+⨯⨯=+V V ，解得12M y =，由三角函数的定义可得1sin 2M AOM y ∠==，因为M 为第一象限内的点，所以AOM ∠为锐角，因此6AOM π∠=；若三角形AMN 的面积为25，则21115222MON MOA AMN OAMN AON AON M N S S S S S S y y ==-=-=+-+V V V V V ，即51N M y y -=，由三角函数的定义可得，sin M AOM y ∠=，sin N AON y ∠=，又sin sin cos 2N y AON AOM AOM π⎛⎫=∠=∠+=∠ ⎪⎝⎭，所以1cos sin 5AOM AOM ∠-∠=，由221cos sin 5sin cos 1AOM AOM AOM AOM ⎧∠-∠=⎪⎨⎪∠+∠=⎩解得3in 5s AOM ∠=或4in 5s AOM ∠=-，又AOM ∠为锐角，所以3in 5s AOM ∠=.故答案为：6π；35.5．（2021·河南高一期中（文））（1）已知角α的终边经过点()43P ,-，化简并求值：221cos sin cos sin cos tan 1a ααααα-+---；（2的值．【答案】（1）15-（2）1．【解析】（1）利用三角函数定义得到3sin 5α=，4cos 5α=-，化简三角函数表达式代入即可得到结果；（2）利用同角基本关系式化简即可.【详解】（1）由题意知，3sin 5α=，4cos 5α=-．原式222sin sin cos sin sin cos 1cos ααααααα+=---2222sin sin cos sin cos sin cos cos αααααααα+=---()2222cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα+=---22sin cos sin cos sin cos αααααα=---22sin cos sin cos αααα-=-341sin cos 555αα=+=-=-；（2）原式=sin 40cos 40cos 40cos50︒-︒=︒-︒cos 40sin 401cos 40sin 40-==-︒︒︒︒．6．（2021·河南高一期中（文））已知sin 2cos 0αα+=．（1）求sin 2cos cos 5sin αααα--的值；（2）求33sin cos cos sin aααα+的值．【答案】（1）411-；（2）858-．【解析】（1）本题可根据sin 2cos 0αα+=得出tan 2α=-，然后根据同角三角函数关系即可得出结果；（2）本题可通过22sin cos 1αα+=求出2sin α、2cos α的值，然后通过同角三角函数关系即可得出结果.【详解】（1）因为sin 2cos 0αα+=，所以tan 2α=-，则sin 2cos tan 24cos 5sin 15tan 11αααααα--==---.（2）联立22sin 2cos 0sin cos 1αααα+=⎧⎨+=⎩，解得224sin 51cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则3322sin cos tan 185cos sin cos sin tan 8a ααααααα+=+=-.7．（2020·武汉市新洲区第一中学高一期末）在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴非负半轴为始边作角0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知点A ，B，．（1）求23sin sin cos 1ααα-+的值；（2）化简并求cos 的值．【答案】（1）195；（2）1-+【解析】（1）由已知条件可知求得sin α，tan α，已知式变形为2222223sin sin cos 3tan tan 3sin sin cos 111sin cos tan 1ααααααααααα---+=+=+++，代入可得答案；（2）由已知得cos β，sin β=.【详解】解：（1）由已知条件可知：cos α=0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0α>，sin α==，tan 7α=，2222223sin sin cos 3tan tan 3497193sin sin cos 1111sin cos tan 1505ααααααααααα--⨯--+=+=+=+=++，（2）cos β=,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0β>，从而sin β==；1sin cos cos cos (1sin )1|cos |ββββ-===--=-+.8．（2021·全国高三专题练习（理））求函数sin cos sin cos y x x x x =+-(x ∈R )的值域．【答案】112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【解析】令sin cos t x x =-=4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭，所以()2221111+++122221t y t t t t -=--=+=-，根据二次函数的性质可求得值域．【详解】令sin cos t x x =-=4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭，所以()2221111+++122221t y t t t t -=--=+=-，所以当t =24=-+x k ππ (k Z ∈)时，min y =12-；当1t =，即()114k x k ππ⎡⎤=++-⎣⎦(k Z ∈)时，max 1y =，因此函数y =sin cos sin cos y x x x x =+-的值域应为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．9．（2021·江苏高一月考）如图，锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点()11,A x y ，将射线OA 按逆时针方向旋转3π后与单位圆交于点()()2212,,B x y f x x α=+.（1）求()fα的取值范围；（2）若()fα=，求tan α的值.【答案】（1）32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（2【解析】（1）由三角函数的定义可得1cos x α=，2cos(3x πα=+，化简()f α6)πα+．根据2663πππα<+<，利用余弦函数的定义域和值域求得()f α的范围．（2）根据()f α=，求得3cos(654sin(65παπα⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，再利用两角差的正弦余弦公式求出sin ,cos αα的值，从而得出结论．【详解】（1）由图知，3AOB π∠=，由三角函数的定义可得1cos x α=，2cos(3x πα=+，123()cos cos()cos cos cossin sincos 3332f x x πππαααααααα==+++-+=-=6)πα=+．角α为锐角，∴2663πππα<+<，∴1co 26s()πα-<+<∴623πα<+<，即()f α的范围是32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．（2）因为()fα=，2663πππα<+<，6πα+=，3cos()65)46sin()65παπαπα⎧+=⎪⎪+=⇒⎨⎪+=⎪⎩，431sin sin66552ππαα⎡⎤⎛⎫=+-=⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦341cos cos66552ππαα⎡⎤⎛⎫=+-=+⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sintancosααα∴===10．（2021·河南省实验中学高一期中）（1）已知sin()cos()tan(3)()3cos2fπθπθπθθπθ-+-=⎛⎫-⎪⎝⎭，求73fπ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值（2）已知1sin cos5αα+=-，2παπ<<，求sin(3)cos(2)sin()sin2παπαπαα--++⎛⎫-++⎪⎝⎭的值．【答案】（1（2）17.【解析】（1）利用诱导公式、同角三角函数基本关系化简()fθ，然后再代值计算即可.（2）利用同角三角函数间的关系，将1sin cos5αα+=-平方求出sin cosαα的值，从而求出cos sinαα-的值，再由诱导公式将所求式子化简，即可得出答案.【详解】(1)()()sin cos tansin()cos()tan(3)()sin3sincos2fθθθπθπθπθθθπθθ⋅-⋅--+-===--⎛⎫-⎪⎝⎭所以77sin sin2sin3333fπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由1sin cos 5αα+=-，则112sin cos 25αα+=，所以242sin cos 25αα=-由2παπ<<，则sin 0,cos 0αα><设cos sin 0t αα=-<，则2244912cos sin 12525t αα=-=+=由cos sin 0t αα=-<，所以7cos sin 5αα-=-1sin(3)cos(2)sin cos 157sin cos 7sin()sin 52παπαααπαααα---+++===-+⎛⎫--++ ⎪⎝⎭1．（2021·全国高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25-C ．25D ．65【答案】C 【解析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．2.（2020·全国高考真题（理））已知π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）AB ．23C ．13D练真题【答案】A 【解析】3cos 28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin απα∈∴== 故选：A.3.（2019·北京高考真题（文））如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B 【解析】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为+S △POB + S △POA =4β+.故选：B .APB ∠2222βππ⨯⨯1||sin()2OPOB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅4．（2017·北京高考真题（文））在平面直角坐标系中,角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若,则_____.【答案】【解析】因为角与角的终边关于轴对称，所以，所以.5．（2018·北京高考真题（理））设函数f （x ）=cos(ωx ―π6)(ω>0)，若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，所以f (π4)取最大值，所以π4ω―π6=2k π(k ∈Z )，∴ω=8k +23(k∈Z )，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为23.6．（2017·全国高考真题（理））函数f (x )=s in 2x +3cosx ―34（x ∈0,__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1―cos 2x +3cos x ―34=―cos 2x +3cos x +14= ―(cos x ―32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cos x ∈[0,1]，当cos x =32时，函数f (x )取得最大值1．xOy αβOx y 1sin 3α=sin β=13αβy 2,k k Z αβππ+=+∈()1sin sin 2sin 3k βππαα=+-==。
高考数学一轮复习专练20同角三角函数的基本关系及诱导公式(含解析)
专练20 同角三角函数的基本关系及诱导公式[基础强化]一、选择题1．sin 256π＝( ) A ．－32B ．－12C.12D.322．cos π5＋cos 25π＋cos 35π＋cos 45π的值为( ) A ．－1B ．0C ．1D ．23．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，tan(α－7π)＝34，则sin α＋cos α＝( ) A ．±15B ．－15C.15D ．－754．已知2sin α－cos α＝0，则sin 2α－2sin αcos α的值为( )A ．－35B ．－125C.35D.1255．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则tan α＝( ) A.153B ．－153C.53D ．－53 6．已知sin α－cos α＝43，则sin2α＝( ) A ．－79B ．－29C.29D.797．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边经过点P (3,4)，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2017π2＝( ) A ．－45B ．－35C.35D.458．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋2cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)等于( ) A ．－32B.32C ．0D.239．已知α为第二象限角，则cos α1－sin α1＋sin α＋sin α·1－cos α1＋cos α＝( ) A ．sin α－cos αB ．sin α＋cos αC ．cos α－sin αD ．－(sin α＋cos α)二、填空题10．已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，sin α＝－35，则cos α＝________，tan(π＋α)＝________. 11．若cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫512π＋θ＝________. 12．已知1－cos(π－α)＝2sin α，那么tan α的值为________．[能力提升]13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos2α＝23，则|a －b |＝( ) A.15B.55C.255D ．1 14．(多选)若θ是△ABC 的一个内角，且cos θ<－13，则下列结论正确的是( ) A ．sin θ<223B ．tan θ>－2 2C ．cos2θ>－79D ．sin2θ<－42915．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin β的值为________．16．设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，则下列关系式中恒成立的是________(填写序号)． ①cos(A ＋B )＝cos C ；②cos B ＋C 2＝sin A 2； ③sin(2A ＋B ＋C )＝－sin A .专练20 同角三角函数的基本关系及诱导公式1．C sin 256π＝sin ⎝⎛⎭⎫4π＋π6＝sin π6＝12. 2．B cos π5＋cos 25π＋cos 35π＋cos 45π ＝cos π5＋cos 25π＋cos ⎝⎛⎭⎫π－25π＋cos ⎝⎛⎭⎫π－π5 ＝cos π5＋cos 25π－cos 25π－cos π5＝03．D tan(α－7π)＝tan α＝34>0，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，32π，∴α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，∴sin α＝－35，cos α＝－45，∴sin α＋cos α＝－75. 4．A 2sin α－cos α＝0，∴tan α＝12，∴sin 2α－2sin αcos α＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan α1＋tan 2α＝14－11＋14＝－35. 5．B 由三角函数的定义得cos α＝2x 4＝x x 2＋5，解得x ＝±3或x ＝0.因为点P (x ，5)在第二象限内，所以x ＝－3，故tan α＝5x ＝5－3＝－153.故选B. 6．A 由sin α－cos α＝43，得1－2sin αcos α＝169， ∴2sin αcos α＝1－169＝－79，即：sin2α＝－79. 7．B 由三角函数的定义可知tan α＝43，由题可知α为第一象限角，∴cos α＝35，sin ⎝⎛⎭⎫α－20172π＝sin α－π2＝－cos α＝－35. 8．B 由三角函数的定义可知tan θ＝3，∴sin ⎝⎛⎭⎫32π＋θ＋2cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32. 9．A 1－sin α1＋sin α＝(1－sin α)2(1＋sin α)(1－sin α)＝(1－sin α)2cos 2α＝⎪⎪⎪⎪1－sin αcos α，1－cos α1＋cos α＝(1－cos α)2(1＋cos α)(1－cos α)＝⎪⎪⎪⎪1－cos αsin α， 根据三角函数性质知1－sin α>0,1－cos α>0，再根据α为第二象限角知cos α<0，sin α>0，所以原式＝cos α×⎝⎛⎭⎫－1－sin αcos α＋sin α×1－cos αsin α＝sin α－cos α. 10.45 －34解析：由α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，sin α＝－35，得cos α＝1－sin 2α＝45，tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－34.11.13解析：∵π12－θ＋512π＋θ＝π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫512π＋θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝13. 12.43或0 解析：1－cos(π－α)＝2sin α可化为1＋cos α＝2sin α，等式两边同时平方，得1＋2cos α＋cos 2α＝4sin 2α，即5cos 2α＋2cos α－3＝0，则cos α＝35或cos α＝－1.当cos α＝35时，sin α＝45，tan α＝43；当cos α＝－1时，sin α＝0，tan α＝0.13．B 由题意得tan α＝b －a 2－1＝b －a ， 又cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－(b －a )21＋(b －a )2＝23，得|b －a |＝55. 14．ABC 因为θ是△ABC 的一个内角，且cos θ<－13，所以π2<θ<π.设cos φ＝－13⎝⎛⎭⎫π2<φ<π，则sin φ＝223，tan φ＝sin φcos φ＝－2 2.因为函数y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，所以由cos θ<－13＝cos φ，得π2<φ<θ<π.对于A ，因为函数y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，所以sin θ<sin φ，即sin θ<223，故A 正确；对于B ，因为函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，所以tan θ>tan φ，即tan θ>－22，故B 正确；对于C ，因为cos θ<－13，所以cos 2θ>19，所以cos2θ＝2cos 2θ－1>2×19－1＝－79，故C 正确；对于D ，sin2θ＝2sin θcos θ，当cos θ＝－223时，sin θ＝13，sin2θ＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429，故D 不正确．综上，选ABC. 15.13解析：2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0化为－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1化为tan α－6sin β＝1，因而sin β＝13. 16．②③解析：由题意得A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，故①不正确；由于B ＋C 2＝π2－A 2，∴cos B ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝sin A 2，故②正确；由于A ＋B ＋C ＝π，∴2A ＋B ＋C ＝π＋A ，∴sin(2A ＋B ＋C )＝sin(π＋A )＝－sin A ，故③正确．。
2020届高考数学总复习课时跟踪练二十同角三角函数的基本关系式与诱导公式
课时跟踪练(二十)A 组 基础巩固1．sin 600°的值为( ) A ．－12B ．－32C.12D.32解析：sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 答案：B2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋17π12的值等于( ) A.13B.223C ．－13D ．－223解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋17π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2－π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝13. 答案：A3．(2019·安徽江南十校联考)已知tan α＝－34，则sin α·(sin α－cos α)等于( )A.2125B.2521C.45D.54解析：sin α·(sin α－cos α)＝sin 2α－sin α·cos α＝sin 2α－sin α·cos αsin 2 α＋cos 2 α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1，将tan α＝－34代入，得原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋1＝2125. 答案：A4．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， 所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝3，又|θ|<π2，所以θ＝π3.答案：D5．(2019·衡水金卷信息卷(一))已知直线2x －y －1＝0的倾斜角为α，则sin 2α－2cos 2α＝( )A.25B ．－65C ．－45D ．－125解析：由题意知tan α＝2，所以sin 2α－2cos 2α＝2sin αcos α－2cos 2αsin 2 α＋cos 2 α＝2tan α－2tan 2α＋1＝25. 答案：A6．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：由角α的终边落在第三象限， 得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.答案：B7．向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝( ) A ．－13B.13C ．－23D ．－223解析：因为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ， 所以13×1－tan αcos α＝0，所以sin α＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－13.答案：A8．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 018)的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：因为f (4)＝αsin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，所以f (2 018)＝a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3. 答案：C9．在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝________． 解析：因为tan A ＝23>0，所以A 为锐角， 由tan A ＝sin A cos A ＝23以及sin 2 A ＋cos 2A ＝1，可求得sin A ＝2211. 答案：221110．已知α为钝角，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝______．解析：因为α为钝角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－74，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－74. 答案：－7411．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为________．解析：因为sin θ＋cos θ＝43，所以sin θcos θ＝718.又因为(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin θ－cos θ＝－23.答案：－2312．设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，f ⎝⎛⎭⎪⎫7π6的值是________．解析：原式＝f (α)＝（－2sin α）（－cos α）＋cos α1＋sin 2 α＋sin α－cos 2α ＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α（1＋2sin α）sin α（1＋2sin α）＝1tan α，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76π＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫76π＝1tanπ6＝ 3.答案： 3B 组 素养提升13．若sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin α·cos α的值等于( )A ．－25B ．－15C.25或－25D.25解析：由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α， 可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2 α＋cos 2 α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 答案：A14．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1± 5D ．－1－ 5解析：由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 即m 24＝1＋m2，解得m ＝1± 5.又Δ＝4m 2－16m ≥0，所以m ≤0或m ≥4，所以m ＝1－ 5. 答案：B15．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cosα＝________．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.因为0<α<π4，所以0<sin α<cos α.又因为sin 2 α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝45.答案：35 4516．(2019·邯郸模拟)若sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan αtan β＝________．解析：因为sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，所以sin αcos β＝2cos αsin β，所以tan α＝2tan β， tan αtan β＝2. 答案：2。
高考数学复习、高中数学 同角三角函数的基本关系与诱导公式附答案解析
第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式22sin sin cos 1,tan cos xx x x x+==；2. 能利用定义推导出诱导公式（2πααπ±±，的正弦、余弦、正切）.【知识衍化体验】【知识梳理】1. 同角三角函数的基本关系式平方关系：22sin cos 1αα+= 商数关系：sin tan cos ααα= 2．诱导公式:诱导公式可概括为：k ·π2±α（k ∈Z ）的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限． 常见的几组为:3.已知一个角的某一个三角函数值,求其余三角函数值时,要特别注意这个角的范围.4.求一个已知的角的三角函数值,其一般步骤为: (1)负角化为正角;(2)大角化为小角. 5．sinα±cosα与sinα·cosα之间的关系：(1) (sinα＋cosα)2＝1＋2sinα·cosα； (2) (sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα ； [微点提醒]1.诱导公式口诀中“奇变偶不变，符号看象限”其中的奇、偶是指的2π的奇数倍和偶数倍. 应用公式有时要先技术处理一下，如33sin()sin(2)()222πππααπα-=-+=+.2.利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.【基础自测】疑误辨析1. 判断下列结论正误（1）sin()sin παα+=- （ ）（2）3sin()cos 2παα-= （ ）（3）3cos()sin 2παα+=- （ ）（4）2211+tan cos αα= （ ） 教材衍化2．（多选）下列式子化简结果和sin x 相同的是 （ ） A ．()sin x π-B ．()sin x π+C ．cos 2x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．cos 2x π⎛⎫-⎪⎝⎭3．角α的终边在直线2y x =上，则()()()()sin cos sin cos αππαπαπα-+-=+-- （ ）A ．13B ．1C ．3D ．1-考题体验4．（2016年全国III ）若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2=αα+ （ ） A ．6425 B ．4825 C ．1 D ． 16255．（2013新课标Ⅱ）设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=___． 6．（2016年全国II ）若3cos()45πα-=，则sin2=α （ ） A ． B ． C ． D ．【考点聚焦突破】考点一.同角三角函数基本关系式 角度1 公式的直接运用【例1-1】已知α为第四象限角，化简：ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-7251515-725-角度2 关于sin ,cos αα的齐次式问题【例1-2】若tan α1）sin cos cos sin αααα+-的值；（2）222sin sin cos cos αααα-+的值．角度3 “sin cos sin sin αααα±⋅，”之间的关系【例1-3】已知sin α和cos α是方程250x x m -+=的两实根，求：（1）m 的值；（2）当(0,)απ∈时，求tan(3)πα-的值；（3）33sin +cos αα的值．(4) 2sin 22sin 1tan ααα+-规律方法 1.已知角的一个三角函数值求其余两个三角函数值，通过22sin cos 1αα+=事先正弦与余弦的互化，通过sin tan cos ααα=实现切和弦的互化.2. 利用2sin cos =1sin cos x x x x ±±⋅（）对sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +⋅-知一求二的问题.3.注意公式的逆运用及变形应用，如221=sin cos αα+，221sin cos αα-=，221cos =sin αα-.【训练1】（1）求值（2）已知A 、B 、C ,cos A A -是220x x a -+=方程的两根．①求角A ；②若221+2sin cos 3cos sin B BB B=--，求tanB .（3）已知关于x 的方程221)0x x m -+=的两根为sin ,cos θθ，θ∈(0，2π) ．求：①2sin cos sin cos 1tan θθθθθ+--； ①m 的值； ①方程的两根及此时θ.考点二.诱导公式的应用 【例2】化简：3tan()cos(2)sin()2cos(3)sin(3)ππαπαααππα++-----规律方法 诱导公式的两个简单应用:（1）求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.【训练2】（1）已知72sin()123πα+=，则11cos()=12πα-________ （2）已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2y x =上，则3sin()cos()2sin()sin()2πθπθπθπθ++----＝考点三.同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用 【例3】 是否存在22ππα∈（-,），0βπ∈（,），使得等式sin(3))2ππαβ-=-，))απβ-=+同时成立？若存在，求出αβ，的值，若不存在，请说明理由.规律方法 1.注意角的范围对三角函数值符号的影响，特别是多解时要考虑舍解，一解时要考虑漏解.2.一般情况下首先要注意分析角和角之间的关系，比如+36ππαα-，是互余的角,我们常常要在展开和保留整体角之间作出选择.【训练3】已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin()=3sin()2αππα+-（ ）A ．-B ．C ．D反思与感悟 [思维升华]1. 有切有弦，常常切化弦，利用sin tan cos xx x=， 2. 关注齐次式2sin cos sin sin cos ,sin cos cos2a x b x x x xc xd x x+++， 3. 互相关联的sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +⋅-知一求二的问题，如求sin cos +sin cos y x x x x =+⋅的最大值，令sin cos =x x t +换元.[易错防范]利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，基本思想是负化正，大化小，钝化锐.第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式【知识衍化体验】 【知识梳理】 2． 常见的几组为:【基础自测】1.(1).对 （2）.错 （3）.错 （4）.对 2． ACD对于A ：()sin sin x x π-=，则A 选项与sin x 相同，故A 选项正确； 对于B ：()sin sin x x π+=-，则B 选项与sin x 不相同，故B 选项不正确； 对于C ：cos sin 2x x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则C 选项与sin x 相同，故C 选项正确； 对于D ：cos cos sin 22x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则D 选项与sin x 相同，故D 选项正确. 3． C ．角α的终边在直线2y x =上，tan 2α∴=，则()()()()sin cos sin sin cos sin cos cso αππαααπαπααα-+---=+---+sin cos tan 13sin cos tan 1αααααα++===--.考题体验 4．A 由sin 3tan cos 4ααα==，22cos sin 1αα+=，得3sin 5α=，4cos 5α=或 3sin 5α=-，4cos 5α=-，所以24sin 22sin cos 25ααα==，则2164864cos 2sin 2252525αα+=+=，故选A ．5. 5-1tan()=42πθ+则1tan 3θ=-，sin θ=，cos θ=，sin cos = 5θθ+-. 6．D因为3cos cos )45πααα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以sin cos 5αα+=， 所以181sin 225α+=,所以7sin 225α=-,故选D ． 【考点聚焦突破】【例1-1】因为α为第四象限角所以原式=αααααα2222cos 1)cos 1(sin sin 1)sin 1(cos --+-- ()ααααααααααsin cos cos 1sin 1sin cos 1sin cos sin 1cos -=---=--+-=【例题1-2】（1）cos sin 1tan 3cos sin 1tan αααααα++===----（2）原式2222222sin sin cos cos 2tan tan 1sin cos tan 1ααααααααα-+-+==++=． 【例1-3】(1)解： 1sin cos 5sin cos 5mαααα⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，11+2sin cos 25αα=，125m =-(2)sin cos 0,(,)2παααπ<∈,4sin 5α=,3cos 5α=-,4tan 3α=-4tan tan 3παα-=-=（3） (3)332211237sin cos (sin cos )(sin sin cos cos )=(1)525125αααααααα+=+-++=。
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知，则.【答案】3【解析】===3.【考点】同角三角函数基本关系式2.若tan α＝3，则 sin2α－2 sin αcos α＋3 cos2α＝______.【答案】【解析】sin2α－2 sin αcos α＋3 cos2α＝＝＝＝.3.已知f(α)＝，则f的值为________．【答案】－【解析】∵f(α)＝＝－cos α，∴f＝－cos＝－cos＝－cos＝－.4.化简＋＝________.【解析】原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0.5.已知α∈(，π)，tanα＝－，则sin(α＋π)＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】由题意可知，由此解得sin2α＝，又α∈(，π)，因此有sinα＝，sin(α＋π)＝－sinα＝－，故选B．6.记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】解法一：因为cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝＝，所以tan100°＝－tan80°＝－＝－．解法二：因为cos(－80°)＝k，所以cos80°＝k，所以tan100°＝－tan80°＝＝－．7.已知sinαcosα＝，且π<α<，则cosα－sinα的值为()A．－B．C．－D．【答案】B【解析】∵π<α<，∴cosα>sinα，∴cosα－sinα>0，又∵(cosα－sinα)2＝1－2cosαsinα＝，∴cosα－sinα＝．8.若3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，则cos2θ＋sin2θ的值是________．【答案】【解析】∵3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，即3sinθ－cosθ＝0，即tanθ＝．∴cos2θ＋sin2θ＝＝＝＝＝＝．9.（5分）（2011•福建）若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】把已知的等式中的cos2α，利用同角三角函数间的基本关系化简后，得到关于sinα的方程，根据α的度数，求出方程的解即可得到sinα的值，然后利用特殊角的三角函数值，由α的范围即可得到α的度数，利用α的度数求出tanα即可．解：由cos2α=1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=，则sin2α=，又α∈（0，），所以sinα=，则α=，所以tanα=tan=．故选D点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意角度的范围．10.已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．【答案】－【解析】将sin α－cos α＝两边平方，得2sin α·cos α＝，(sin α＋cos α)2＝，sin α＋cos α＝，＝＝－(sin α＋cos α)＝－．11.在△ABC中,若sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根,则△ABC是 ( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A【解析】∵sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根∴sinA+cosA=∴(sinA+cosA)2=1+2sinAcosA=即sinAcosA=-∵0o<A<180o,∴sinA>0,所以cosA<0,即90o<A<180o故知△ABC是钝角三角形12.已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴.【考点】三角函数求值.13.在中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且，则 .【答案】【解析】∵成等差数列，∴，∴，∵，∴，∴，∴，（1）∵且，∴代入（1）式中，，∴，∴，∴，∴.【考点】1.等差中项；2.倍角公式；3.诱导公式.14.已知，，则．【答案】【解析】由题意，，．【考点】同角间的三角函数关系．15.若则【答案】【解析】，得，∴.【考点】求三角函数值.16.α是第二象限角，tanα＝－，则sinα＝________．【答案】【解析】由解得sinα＝±.∵α为第二象限角，∴sinα>0，∴sinα＝.17. cos＝________．【答案】－【解析】cos＝cos＝cos(17π＋)＝－cos＝－.18.已知其中若．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）先由已知条件求得的值，再由平方关系可得的值，把拆为，最后利用两角和的余弦公式即可求得的值；（2）考查了三角函数中知一求三的思想，即这几个量“知一求三”．可先利用差角余弦公式将展开，求得的值，两边平方即可求得的值，再由平方关系即可求得的值，最后由商关系即可求得的值．试题解析：（1）由已知得：，（2）由，得，两边平方得：，即，∵，且，从而． 12分【考点】1．平面向量的数量积运算；2．应用三角恒等变换求三角函数的值．19.已知x∈(0,),则函数f(x)=的最大值为()A．0B．C．D．1【答案】C【解析】由已知得,f(x)==tanx-tan2x=-(tanx-)2+,∵x∈(0,),∴tanx∈(0,1),=.故当tanx=时,f(x)max20.已知sinθ,cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.(1)求cos3(-θ)+sin3(-θ)的值.(2)求tan(π-θ)-的值.【答案】(1) -2 (2) 1+【解析】【思路点拨】先由方程根的判别式Δ≥0,求a的取值范围,而后应用根与系数的关系及诱导公式求解.解：由已知,原方程的判别式Δ≥0,即(-a)2-4a≥0,∴a≥4或a≤0.又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,则a2-2a-1=0,从而a=1-或a=1+(舍去),因此sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-.(1)cos3(-θ)+sin3(-θ)=sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθ·cosθ+cos2θ)=(1-)[1-(1-)]=-2.(2)tan(π-θ)-=-tanθ-=-(+)=-=-=1+.21.若sinθcosθ>0,则θ在()A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限【答案】B【解析】∵sinθcosθ>0,∴sinθ,cosθ同号.当sinθ>0,cosθ>0时,θ在第一象限,当sinθ<0,cosθ<0时,θ在第三象限,因此,选B.22.＝()A．－B．－C．D．【解析】＝＝＝＝sin 30°＝.23.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.【答案】－【解析】f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.24. 4cos 50°－tan 40°＝________.【答案】【解析】4cos 50°－tan 40°＝＝＝＝＝＝.25.已知α∈，且cos α＝－，则tan α＝________.【答案】2【解析】利用同角三角函数的基本关系求解．由条件可得sin α＝－，所以tan α＝＝＝2.26.若α，β∈，cos ＝，sin ＝－，则cos (α＋β)＝________.【答案】【解析】∵α，β∈，∴－<α－<，－<－β<，由cos ＝和sin ＝－得α－＝±，－β＝－，当α－＝－，－β＝－时，α＋β＝0，与α，β∈矛盾；当α－＝，－β＝－时，α＝β＝，此时cos (α＋β)＝－.27.若cos ＝，则cos ＝()．A．－B．－C．D．【答案】D【解析】∵cos ＝，∴cos ＝2cos 2－1＝－，即sin 2x＝，∴cos ＝sin 2x＝.28.已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为________．【答案】－【解析】∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2cos θsin θ＝，∴2cos θsin θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝1－＝，又θ∈，∴sin θ＜cos θ，∴sin θ－cos θ＝－.29.已知，则=____________.【答案】【解析】，根据，可知：，故答案为.【考点】同角三角函数的基本关系式的运算30.已知，且，则．【答案】【解析】因为，所以。
同角三角函数的基本关系与诱导公式-高考数学复习
3
θ＝ ，
5
cos
π
θ＜0，所以可得θ∈（ ，π），
2
sin θ cos
θ）2＝1－2
sin θ＋ cos
4
θ＝－ ，tan
5
1
θ＝ ，可得
25
sin θ cos
1
θ＝－ ，
5
sin θ cos θ
49
θ＝ ，所以
25
sin θ－ cos
sin θ
7
θ＝ ，联
5
3
θ＝－ ，故B错误，C正确.
4
目录
高中总复习·数学
可求解；
（2）若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母
1用 sin 2α＋ cos 2α替换，再将分子与分母同除以 cos 2α，化为只
含有tan α的式子，代入tan α的值即可求解.
目录
高中总复习·数学
考向3 “ sin α±cos α， sin α cos α”之间关系的应用
可以知一求二.
目录
高中总复习·数学
1. 若 sin θ＋ cos
2 3
θ＝
，则
3
解析：由 sin θ＋ cos
θ cos
1
θ＝ ，∴
6
sin 4θ＋ cos 4θ＝（
2 3
θ＝
，平方得1＋2
3
）
sin θ cos
4
θ＝ ，∴
3
sin
sin 4θ＋ cos 4θ＝（ sin 2θ＋ cos 2θ）2－2 sin 2θ cos 2θ
（1）思路：①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成单
（4） sin α＝tan α cos
2020年高考数学(文)一轮总复习专题02 同角三角函数的基本关系式与诱导公式(解析版)
专题02同角三角函数的基本关系式与诱导公式一、本专题要特别小心： 1.角的范围问题 2.诱导公式的符号问题 3.象限角4.同角三角函数的基本关系式5.“1”的妙用6.三角函数线的应用7.角的一致性8.三角化简形式、名称、角的一致原则 二．方法总结：1.化简过程中，利用同角三角函数的关系可将不同名的三角函数化成同名三角函数.2.运用诱导公式，可将任意角的求值问题转化成锐角的求值问题.3.注意“1”的灵活运用，如1＝sin 2θ＋cos 2θ等.4.化简三角函数式时，要注意观察式子的特征，如关于sin θ，cos θ的齐次式可转化为tan θ的式子，注意弦切互化.5.解题时要充分挖掘题目条件中隐含的条件，尽可能缩小角的范围. 三．【题型方法规律总结】（一）同角三角函数基本关系式的简单应用例1.已知tan 1α=，则212cos sin 2αα+=（ ）A ．2B ．-2C ．3D ．-3【答案】A【解析】因为222212cos 3cos sin 3tan 42sin 22sin cos 2tan 2αααααααα+++====，练习1. 已知是第三象限角，且，则 ( ) A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为是第三象限角，所以，，故.又因为，所以.故，所以，故选B.练习2.已知向量，，若，则（）A．-1 B．C．D．1【答案】A【解析】，，且，即则本题正确选项：（二）“1”的变通例2. 已知，则的值为（）A．B．C．4 D．【答案】D【解析】，上下同时除以得答案选D练习1. 求的值为________．【答案】44.5【解析】，，同理，，故答案为44.5.练习2. （1）化简：；（2）求证：.【答案】（1）1；（2）见解析 【解析】（1）原式.（2）证明右边左边，原等式成立．（三）sin cos x x 与sin cos x x 的关系 例3. 已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】因为，所以，即，所以，因此.故选A 练习1. 若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为，左右两边同时平方得因为化简可得即所以选A练习2.已知，则等于( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，平方可得，所以，即，故选C.（四）角的一致性原则例4. 已知，，则等于（）A．-2 B．-1 C．D．【答案】A【解析】由题意，以及可得，则，.故答案为：A.练习1. 已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α−β)＝−，则tanβ＝()A．B．3 C．D．【答案】B【解析】因为，且为锐角，则，所以，因为，所以故选B.练习2。
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课时跟踪练(二十)
A 组 基础巩固
1．sin 600°的值为( )A ．－
B ．－
C. D.
12
3212
32
解析：sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－
.
32答案：B
2．已知sin ＝，则cos 的值等于( )(
α－π12)13(α＋17π12)
A. B.
C ．－
D ．－
13
22
313223
解析：cos ＝cos ＝sin ＝.(
α＋17π12)(α＋3π2－π12)(α－π12)
1
3答案：A
3．(2019·安徽江南十校联考)已知tan α＝－，则sin α·(sin α－cos α)等于
3
4( )
A. B. C. D.2125
2521
45
54
解析：sin α·(sin α－cos α)＝sin 2 α－sin α·cos α
＝＝，将tan α＝－代入，得原式＝
sin 2 α－sin α·cos αsin 2 α＋cos 2 αtan 2 α－tan αtan 2 α＋13
4
＝.
(－34)2 －(－34
)(－34)2
＋12125答案：A
4．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于( )3π
2
A ．－
B ．－
C. D.π6
π3
π6
π3
解析：因为sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，3所以－sin θ＝－cos θ，3所以tan θ＝，又|θ|<，所以θ＝.3π2π
3
答案：D
5．(2019·衡水金卷信息卷(一))已知直线2x －y －1＝0的倾斜角为α，则sin 2α－2cos 2 α＝( )
A. B ．－
C ．－
D ．－
25
65
45
125
解析：由题意知tan α＝2，所以
sin 2α－2cos 2 α＝
＝＝.
2sin αcos α－2cos 2 αsin 2 α＋cos 2 α2tan α－2tan 2 α＋12
5
答案：A
6．若角α的终边落在第三象限，则＋
的值为( )
cos α1－sin 2 α
2sin α
1－cos 2 α
A ．3
B ．－3
C ．1
D ．－1
解析：由角α的终边落在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝＋＝＋＝－3.
cos α|cos α|2sin α|sin α|cos α－cos α2sin α
－sin α
答案：B
7．向量a ＝，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos ＝( )
(13，tan α)(π
2＋α)
A ．－
B. C ．－
D ．－
1
3
13
23
223
解析：因为a ＝，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，
(1
3，tan α)
所以×1－tan αcos α＝0，所以sin α＝，
1313所以cos ＝－sin α＝－.(
π2＋α)
1
3
答案：A
8．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 018)的值为( )
A ．－1
B ．1
C ．3
D ．－3
解析：因为f (4)＝αsin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，
所以f (2 018)＝a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3.答案：C
9．在△ABC 中，若tan A ＝
，则sin A ＝________．
23
解析：因为tan A ＝>0，所以A 为锐角，
23
由tan A ＝
＝以及sin 2 A ＋cos 2 A ＝1，sin A
cos A 23
可求得sin A ＝.
2211答案：
2211
10．已知α为钝角，sin ＝，则sin ＝______．(
π4＋α)34(π
4
－α)
解析：因为α为钝角，所以cos ＝－，
(π
4＋α)74
所以sin ＝cos ＝cos ＝－.
(π4－α)[π2－(π4－α)](π
4＋α)74
答案：－
74
11．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________．
43(0，π
4)
解析：因为sin θ＋cos θ＝，所以sin θcos θ＝.
437
18又因为(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
2
9又θ∈，所以sin θ－cos θ＝－.(
0，π
4)
23
答案：－
23
12．设f (α)＝
(1＋2sin α≠0)，f
2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）
1＋sin 2 α＋cos (3π2＋α)－sin 2(π
2
＋α
)
的值是________．(7π
6
)
解析：原式＝f (α)＝（－2sin α）（－cos α）＋cos α
1＋sin 2 α＋sin α－cos 2 α
＝
＝＝，
2sin αcos α＋cos α2sin 2 α＋sin αcos α（1＋2sin α）sin α（1＋2sin α）1
tan α
所以f ＝
＝＝.(7
6π)
1tan (76π)
1
tan
π6
3答案：3
B 组 素养提升
13．若sin(π－α)＝－2sin ，则sin α·cos α的值等于( )(
π
2
＋α)
A ．－
B ．－2515
C.或－
D.2525
25解析：由sin(π－α)＝－2sin
，(
π
2
＋α)
可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，sin α·cos α＝＝＝－.
sin α·cos αsin 2 α＋cos 2 αtan αtan 2 α＋12
5
答案：A
14．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( )A ．1＋ B ．1－55C ．1±
D ．－1－55
解析：由题意知sin θ＋cos θ＝－，sin θ·cos θ＝，
m 2m
4又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即＝1＋，解得m ＝1±.
m 24m
2
5又Δ＝4m 2－16m ≥0，所以m ≤0或m ≥4，所以m ＝1－.5答案：B
15．已知sin cos ＝，且0<α<，则sin α＝________，cos
(－π2－α)(－7π2＋α)
1225π4
α＝________．
解析：sin cos (
－
π2－α)(－7π2
＋α)
＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝.12
25
因为0<α<
，所以0<sin α<cos α.π
4
又因为sin 2 α＋cos 2 α＝1，所以sin α＝，cos α＝.
354
5答案：
354
5
16．(2019·邯郸模拟)若sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，α，β∈，则＝(
0，π2)
tan α
tan β
________．
解析：因为sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，
所以sin αcos β＝2cos αsin β，所以tan α＝2tan β，＝2.tan α
tan β答案：2。