数学建模(金属板切割)
2021年第十一届MathorCup高校数学建模挑战赛赛题
成功。该水下数据中心原型机装配了传感器，可以感知压力，湿度等状况， 帮助研究人员更好地了解其在水下环境的运行情况。2018年微软Project Natick项目在苏格兰海岸线附近的水域中实验性地部署了一个水下的数据 中心。这是数据中心首次部署在海底，这个数据中心被设计成集装箱样式， 然后被悬放在海平面117英尺处，之后海底数据中心通过铺设的海底电缆 与陆上操作中心相连。海底数据中心以城市工业用电为主，海上风能、太 阳能、潮汐能等可再生能源为辅，具有低成本、低时延、高可靠性和高安 全性的特点。据微软团队测算，海底数据中心的故障率是陆地的1/8。
问题1:固体在液体中的冷却的方式主要是对流传热，对流传热可分 为自然对流和强制对流。假定数据中心集装箱的尺寸为直径lim长12m的圆柱形，悬空放置（圆柱形轴线与海平面平行）在中国南海温度为20摄 氏度的海域深度，其中单个1U服务器的产热为500W（正常工作温度不能 超过80摄氏度），1U服务器机箱的高度为44.45毫米，宽度为482.6毫米， 长度为525毫米，请评估单个集装箱外壳中最多可以放多少个服务器（仅 考虑服务器的散热需求）。
2021
赛题分为A、B、C、D题，其中，硏究生组参赛队只能从A、B题中任选 —题完成答卷；本科组及专科组参赛队可从A、B、C、D题中任选一题完成答 卷。
2021
A
自动驾驶是近年人工智能应用的热门研究领域之一，其中调头是自动 驾驶中一个非常实际又很有趣的场景。假设无人车为四轮乘用车，采用前 轮转向后轮驱动；车身可认为是一个矩形，车长5米，车宽2米，轴距2.8米；方向盘最大转角470°,方向盘与前轮转角的传动比为16: I（方向盘 每转动16°,前轮转动1° ）,方向盘最犬转速为400°/s；最大油门加速 度3m/s2,极限刹车加速度-5m/s2o
数学建模---最优化有效切割问题
钢管下料
切割模式
按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。 4米 1根 4米 1根 6米 1根 6米 1根 8米 1根 6米 1根 余料1米 余料3米 余料3米
8米 1根
8米 1根
合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸
钢管下料问题1
模式 1 2 3 4 5 6 7 4米钢管根数 4 3 2 1 1 0 0
26 x1 x2 x3 31
x1 x2 x3
模式排列顺序可任定
计算结果
• 模式1：每根原料钢管切割成3根4米和1根6 米钢管，共10根； • 模式2：每根原料钢管切割成2根4米、1根5 米和1根6米钢管，共10根； • 模式3：每根原料钢管切割成2根8米钢管， 共8根。 • 原料钢管总根数为28根。
合理切割模式
6米钢管根数 0 1 0 2 1 3 0 8米钢管根数 0 0 1 0 1 0 2 余料(米) 3 1 3 3 1 1 3
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式 切割多少根原料钢管，最为节省？ 两种 标准 1. 原料钢管剩余总余量最小
2. 所用原料钢管总根数最少
决策 变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7) 目标1（总余量） Min Z1 3x1 x2 3x3 3x4 x5 x6 3x7
钢管下料问题2
增加一种需求：5米10根；切割模式不超过3种。
现有4种需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米 15根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。 对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式
决策变量
xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,3)
r1i, r2i, r3i, r4i ~ 第i 种切割模式下，每根原料钢管 生产4米、5米、6米和8米长的钢管的数量
数学建模中的切割及解答
下料问题：一个公司有一批钢材，每根钢材长7.3米，由于某种需求，需要100套短钢材，已知每套钢材包括长2.9米，2.1米和1.5米的各一根，现在问从公司的利益出发（余料只能作为废品出售），至少要用掉多少根短钢材才能保证既满足需求，又使得余料最少？显然，如果公司采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该公司规定采用的不同的切割模式不能超过3种。
此外该客户需要的100套短钢材，每套改变为2.9米，2.1米，1.5米各一根，该如何下料最节省？（此为带有普遍性的方法）决策目标：1.以切割后剩余的总余量最小为目标，Min=0.2x2+0.8x3+1.4x4+1.0x5+0.1x6+0.7x7+1.3*x8;2.以切割原材料钢材的总根数最少为目标，则有Min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7约束条件：2x1+x2+x3+x4>=100;2x2+x3+3x4+2x5+x6>=100;X1+x3+2x5+3x6+4x7>=100;min=0.2*x2+0.8*x3+1.4*x4+1.0*x5+0.1*x6+0.7*x7+1.3*x8;2*x1+x2+x3+x4=100;2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7=100;x1+x3+2*x4+2*x6+3*x7+4*x8=100;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);@gin(x8);Global optimal solution found at iteration: 2Objective value: 7.000000Variable Value Reduced Cost X2 20.00000 0.2000000 X3 0.000000 0.8000000 X4 0.000000 1.400000 X5 0.000000 1.000000 X6 30.00000 0.1000000 X7 0.000000 0.7000000 X8 0.000000 1.300000 X1 40.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 7.000000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.000000 min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;2*x1+x2+x3+x4=100;2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7=100;x1+x3+2*x4+2*x6+3*x7+4*x8=100;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);@gin(x8);Global optimal solution found at iteration: 3Objective value: 90.00000Variable Value Reduced Cost X1 40.00000 1.000000 X2 20.00000 1.000000 X3 0.000000 1.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 1.000000 X6 30.00000 1.000000 X7 0.000000 1.000000 X8 0.000000 1.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 90.00000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.000000方法二：min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;2*x1+x2+x3+x4>=100;2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7>=100;x1+x3+2*x4+2*x6+3*x7+4*x8>=100;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);@gin(x8);Global optimal solution found at iteration: 4Objective value: 90.00000Variable Value Reduced Cost X1 40.00000 1.000000 X2 20.00000 1.000000 X3 0.000000 1.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 1.000000 X6 30.00000 1.000000 X7 0.000000 1.000000 X8 0.000000 1.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 90.00000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.000000第二问：min=x1+x2+x3;r11*x1+r12*x2+r13*x3>=100;r21*x1+r22*x2+r23*x3>=100;r31*x1+r32*x2+r33*x3>=100;2.9*r11+2.1*r21+1.5*r31<=7.3;2.9*r12+2.1*r22+1.5*r32<=7.3;2.9*r13+2.1*r23+1.5*r33<=7.3;2.9*r11+2.1*r21+1.5*r31>=5.8;2.9*r12+2.1*r22+1.5*r32>=5.8;2.9*r13+2.1*r23+1.5*r33>=5.8;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);Local optimal solution found at iteration: 15Objective value: 90.00000Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 1.000000 X2 30.00000 1.000000 X3 40.00000 1.000000 R11 1.000000 0.000000 R12 0.000000 0.000000 R13 2.000000 0.000000 R21 2.000000 0.000000 R22 2.000000 0.000000 R23 0.000000 0.000000 R31 0.000000 0.000000 R32 2.000000 0.000000 R33 1.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 90.00000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 0.2000000 0.0000006 0.1000000 0.0000007 0.000000 0.0000008 1.300000 0.0000009 1.400000 0.00000010 1.500000 0.000000。
数学建模课件06-1第六章 建模范例 第1节
3
求数学解 最简单的形式如图6.1所示
呈现四点接触的方形排列，如前所述，有
L b 1, r 0.125 和N=16；损耗为
w 1 16 (0.125) 21.5%
2
若r 0.05,同样L b 1 则N 100, 损 耗 为 ： ， 4
w 1 100 (0.05) 21.5%
各种情况下，
1 L x [1 ( 2)] 3 r
10
模型说明 不能说哪种方法更佳，对参数值的变化，两种方 法都可能更有效。应注意对参数的两个整数值，N值 可能不变但损耗会改变。 对 L b 1 ，r=0.05 的情况，引用上面六点相切 式的方法得
1 1 x [1 ( 2)] [11.39] 11 3 0.05
12
所以用各行所含圆盘数不等情况（n 9, n 1 10 ）下 的公式得 11 1 N ( 20 1) 105 2 2 四点相切式显然为100个，所以要次一些。 11
思考： 1．数量105还能增加吗？若用相等行和不等行 的混合方案，可求出各行圆板个数为10，9，10， 9，10，9，10，9，10，10，10，总数为106个呢！ 这种混合策略值得考虑。 2．四点相切式不必为方形排列，采用一种错开 的形式如图6.4所示，研究一下这种形式的效率。 3．把模型扩展为在同一块钢板上切两种不同尺 寸的圆板的情况，在什么条件下小圆板能嵌在大 圆板缝隙之间呢？
2
结果同 0.125 r 时相同，奇怪吗？
对于这种切割方式，考虑参数值的变化。
若b 2nr (如图 能得到 列圆， ) n 若b增加到 2n 2)r , 还可增加一列。 5 (
b b 这说明n是 的整数部分，记成 [ ]; 2r 2r L 同理推出行数为 [ ]; 2r
数学建模---最优化的有效切割问题
约束 满足需求 4 x1 3x2 2 x3 x4 x5 50
x2 2 x4 x5 3x6 20 x3 x5 2 x7 15
26 x1 x2 x3 31
x1 x2 x3
模式排列顺序可任定
计算结果
• 模式1：每根原料钢管切割成3根4米和1根6 米钢管，共10根； • 模式2：每根原料钢管切割成2根4米、1根5 米和1根6米钢管，共10根； • 模式3：每根原料钢管切割成2根8米钢管， 共8根。 • 原料钢管总根数为28根。
整数非线性规划模型
钢管下料问题2
增加约束，缩小可行域，便于求解
每根原料钢管长19米
需求：4米50根，5米10 根，6米20根，8米15根
4 50 5 10 6 20 8 15 26 原料钢管总根数下界： 19
特殊生产计划：对每根原料钢管 模式1：切割成4根4米钢管，需13根； 模式2：切割成1根5米和2根6米钢管，需10根； 模式3：切割成2根8米钢管，需8根。 原料钢管总根数上界：13+10+8=31
钢管下料问题2 目标函数（总根数）
Min x1 x2 x3
模式合理：每根 余料不超过3米
约束 条件
满足需求
r11 x1 r12 x2 r13 x3 50
r21 x1 r22 x2 r23 x3 10
16 4r11 5r21 6r31 8r41 19
金属本构数值建模和切削仿真加工参数优化
金属本构数值建模和切削仿真加工参数优化华中科技大学硕士学位论文金属本构数值建模和切削仿真加工参数优化姓名：万修龙申请学位级别：硕士专业：机械工程指导教师：闫蓉2011-05-25摘要随着计算机技术迅速发展，有限元技术在金属切削领域得到广泛应用，有限元切削仿真软件也应运而生。
现有的商用有限元切削仿真软件中提供的材料库、材料失效准则可以针对一些常用的材料进行准确的仿真计算，然而却无法应用于新的加工材料和加工工艺的切削仿真，带来了有限元仿真软件工程应用的局限性，本文深入研究金属切削的材料变形机理，构造材料本构模型，研究切削仿真有限元二次开发技术，并提出了采用金属切削仿真技术进行加工参数优化的一整套行之有效的方案。
基于有限元和材料弹塑性力学、断裂力学等理论，使用Fortran语言开发了有限元软件ABAQUS材料Vumat子程序，在金属切削仿真计算中准确地重构了常用的材料Johnson-Cook本构模型和Johnson-Cook失效准则，通过与ABAQUS本身自带的Johnson-Cook本构模型在材料拉伸模拟中的对比，验证了子程序在表征材料Johnson-Cook本构模型的准确性。
分别采用ABAUQS和AdvantEdge FEM有限元软件，分别对铝合金Al6061加工进行了二维正交切削仿真模拟，其中ABAQUS仿真中使用了二次开发的Vumat 子程序。
设计仿真对比方案，计算得到切削力、切削温度和Mises应力以及切屑形态，采用两种软件的仿真结果的对比验证了二次开发的Vumat子程序在切削仿真中应用的可行性。
对上汽通用五菱发动机工厂发动机曲轴孔精镗加工进行了切削仿真与试验，通过设置不同的加工参数进行仿真对比，选择最优的加工参数。
发动机工厂采用优化后的加工参数进行试验，试验结果表明采用优化后的工艺参数，刀具磨损减小，加工中出现毛刺、崩边等问题次数减少，加工效率提高7%。
关键词：切削仿真有限元本构方程加工参数AbstractDue to rapid developments of technology of computer, finite-element analysis has been utilized widely in domain of metal-cutting. Related software which was designed based on the simulation of metal-cutting has emerged in decades. Current commercial software is able to simulate common materials precisely resulting in the mature study on these material models. However many limitations of finite-element analysis software have been realized in the actual engineering issues resulting in lacking of the specific material models, especially some characteristics of new materials can be hardly obtained in these commercial software. This thesis represents further researches on the mechanism of the metal chip deformation, structure the material constitutive model and secondary development technology of finite-element simulation in cutting process. Series valid strategies of optimizing the cutting parameters are proposed.A subprogram of ABAQUS, which is also called Vumat, has been developed by FORTRAN based on the finite-element theory, plastoelasticity and fracture mechanics in the research. Johnson-Cook constitutive model and failure criterion is reconstructed in the subprogram while its validation is verified by comparing simulation of material extending to ABAQUS.ABAQUS and AdvantEdge are utilized separately in thesimulation of two-dimension orthogonal cutting in aluminum alloy 6061 machining. Particularly the simulations processed in ABAQUS use Vumat subprogram as a mainly method, furthermore a simulation comparison scheme is designed in the paper, which verifies the precision of the Vumat through the comparison between parameters such as calculating cutting force, temperature of cutting, stress and chip shape in these two software.By operating finite-element simulations to finish boring in crankshaft hole of engines authorized by SGMW and optimizing the machining parameters through simulation comparisons, the experiment shows an impressive outcome including tool wear decrease, reductions of burr issues as well as efficiency increase.Keywords:Cutting simulation FEM Constitutive equation Processing parameters独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
板材切割问题LINGO求解
《数学模型》课程结业论文题目板材切割的最优化问题院系理学院专业信息与计算科学学号2009041401017学生姓名麻林立任课教师单锋沈阳航空航天大学2011年5月任务及要求任务书[要求]1、将所给的问题翻译成汉语；2、给论文起个题目（名字或标题）3、根据任务来完成数学模型论文；4、论文书写格式要求按给定要求书写；5、态度要认真，要独立思考，独立完成任务；6、论文上交时间：6月1日前（要求交纸质论文和电子文档）。
7、严禁抄袭行为，若发现抄袭，则成绩记为“不及格”。
[任务]Cutting sheet metalA sheet metal workshop cuts pieces of sheet metal from large rectangular sheets of 48 decimeters × 96 decimeters (dm). It has received an order for 8 rectangular pieces of 36 dm × 50 dm, 13 sheets of 24 dm × 36 dm, 5 sheets of 20 dm × 60 dm, and 15 sheets of 18 dm × 30 dm. Theses pieces of sheet metal need to be cut from the available large pieces. How can this order by satisfied by using the least number of large sheets?金属板切割一个金属板材车间要在48dm×96dm的矩形大金属板上裁切。
车间受到一份8块36dm×50dm矩形板，13块24dm×36dm矩形板，5块20dm×60dm矩形板，15块18dm×30dm矩形板的订单。
数学建模金属板切割 2 (1)
武汉理工大学2014年数学建模课程论文题目：金属板切割问题姓名：张名扬学院：机电工程学院专业：工业工程学号：0121204931409选课老师：何郎2014年6月15日B题：金属板切割问题在一个金属板加工车间内将要从尺寸为48分米×96分米的大块矩形金属板上切割下小块的金属板。
此车间接到订单要求为：生产8块大小为36分米×50分米的矩形金属板，13块大小为24分米×36分米的矩形金属板，以及15块大小为18分米×30分米的矩形金属板。
这些金属板都需要从现有的大块金属板上切割下。
为生产出满足订单要求的金属板，最少可以使用多少块大块金属板？摘要本文针对运用最少的金属板块数，采用合适的切割方式满足生产要求的问题，运用穷举法得出一块金属板的切割方式为如下表所示再运用整数规划模型，和lingo软件求解，得出解决方案为：最少使用10块大金属板，切割方式为：7块大金属板采用方式1，1块大金属板采用方式3,，2块大金属板采用方式6。
一：问题重述在一个金属板加工车间内将要从尺寸为48分米×96分米的大块矩形金属板上切割下小块的金属板。
此车间接到订单要求为：生产8块大小为36分米×50分米的矩形金属板，13块大小为24分米×36分米的矩形金属板，以及15块大小为18分米×30分米的矩形金属板。
这些金属板都需要从现有的大块金属板上切割下。
为生产出满足订单要求的金属板，最少可以使用多少块大块金属板？二：模型假设（1）假设切割过程中没有损坏金属板；（2）假设所有大金属板的大小都一样；三、符号说明四、问题分析本题要求使用数量最少的大块金属块切割出满足订单要求的为3种金属块，为整数规划问题。
可以先穷举出一块大金属板的各种分割方式，列出目标方程式，运用Lingo 软件求解得出最优解。
五、模型建立与求解5.1穷举法先列举出将一块48*96的大金属板可以切割的几种切割模式，为下表表1：金属板切割方式5.2整数规划所需的金属板数量等于各种切割方式所需金属板数量之和，所以目标函数为：123456z x x x x x x =+++++要求生产8块大小为36分米×50分米的矩形金属板A ，所以有1238x x x ++≥要求生产13块大小为24分米×36分米的矩形金属板，所以有124525413x x x x +++≥要求生产15块大小为18分米×30分米的矩形金属板，所以有23563815x x x x +++≥整数规划模型为：123456min z x x x x x x =+++++s.t. 123124523561234568254133815,,,,,0x x x x x x x x x x x x x x x x x ++≥+++≥+++≥≥5.3模型求解运用lingo 软件求解：min =x1+x2+x3+x4+x5+x6; x1+x2+x3>=8;2*x1+x2+5*x4+4*x5>=13; x2+3*x3+x5+8*x6>=15;@gin（x1）;@gin（x2）;@gin（x3）;@gin（x4）;@gin（x5）;@gin（x6）;求解结果为：Global optimal solution found.Objective value: 10.00000Objective bound: 10.00000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 7Variable Value Reduced CostX1 7.000000 1.000000X2 0.000000 1.000000X3 1.000000 1.000000X4 0.000000 1.000000X5 0.000000 1.000000X6 2.000000 1.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 10.00000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 1.000000 0.0000004 4.000000 0.000000由结果可知，最少使用10块大金属板，切割方式为：7块大金属板采用方式1，1块大金属板采用方式3,，2块大金属板采用方式6。
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数学模型姓名：***129084106程根129084107王刚129084124金属板切割问题在一个金属板加工车间有一项长期的业务订单，订单要求除周六周日外每天提供如下表所车间将从尺寸为 54 cm× 1）为生产出满足每天的订单要求的金属板，最少可以使用多少块大块金属板？如订单企业要求每两周供货一次，能否给车间带来更多的利益?2）裁剪小块的金属板的裁剪方式太多会带来较高的成本，若要求每次裁剪时裁剪方式不超过三种，再考虑问题1）。
3） 若大块金属也是从市场上购买的，其价格与面积成正比。
市场上除现有的规格金属板外，还有另外三种规格的的金属板，其尺寸分别为： 48 cm×96 cm ，72 cm×120 cm ，90 cm×148 cm 。
a)若只能使用一种大金属板裁剪，来满足该长期订单的要求，是否需要换一种规格的大金属板？如更换，换那种规格的，其完成订单要求能节省多少成本。
b )若组合使用这四种大块金属板，其完成订单要求又能节省多少成本。
分析题目，我们可知，大金属板的切割方式有很多种，即使在省材料的情况下也是如此，当然，如果所有的切割方式让我们列举出来，我们就可以把题目转换成线性问题，因为切割方式太多，我们把四个小金属板分类。
四个小金属板可以组成1544342414=+++C C C C 种，在前面的例子中可以看到每一小金属板种类可能切出不同的数量组合。
通过这种分类方式，把大金属板分成小金属板，将问题转线性规划问题。
通过上述分类将问题给出的大金属板分割，给以每一种切割模式一种变量x i ，那么所得到的小金属板就可以用这些变量x i 来表示，在要求的小金属板数这一约束条件下通过LINGO 程序解出结果。
有上述知问题（1）直接可以得出。
若分别给变量x i 一个系数并赋予成0或1变量，只允许其中三个可以为正整数，其余为零。
通过问题（1）就可以解决问题（2）。
对于问题（3），同样的对问题给出的另外三种规格的金属板分割，可分别对每一金属板按照问题（1）计算，并可将四种金属板的分割当作一个新大金属板的分割，添加价格系数在其中，编写LINGO 程序求解。
详细结果见附录模型的建立1）a)每天完成订单：所要求的目标函数：完成订单要求所用所有切割模式使用的大块金属板数量和，求此和的最小值。
∑==291min i i x zx i 的需求约束方程为：1）a)每天完成订单： ∑==291min i i x zji i i cx ,291∑= >=xq ib ）每两周供货一次： E(i)>=10*xq(i)2）切割模式不超过三种考虑问题1） a)每天完成订单：x(i)<=s(i)*m(i),i=1,2,…,29∑im i <=3E(i)>=xq(i)b)每两周供货一次：x(j)<=s(j)*10*m(j)∑im i <=3E(i)>=10*xq(i)3) E(i)>=xq(i) （注意：对不同规格的主板有不同的E （i) )（二） 模型的求解在模型求解的过程中,我们调用了Lingo 软件，将以上分析所得方程输入，程序见附录。
由运行结果（见附录）可知，1）最少可使用8块大块金属板；若企业要求每两周供货一次，74块大块金属板可完成任务，如果每天供货一次则需要80块。
74<80，故可以给车间带来更多利益。
2）切割模式不超过3种考虑问题1）最少可使用8块大块金属板；切割的3种模式为W1（3次），W12（1次），W22（4次）；若企业要求每两周供货一次，74块大块金属板可完成任务，如果每天供货一次则需要80块。
74<80，故可以给车间带来更多利益。
3)a)需要！由于金属板价格与面积成正比，设价格P=K*S（K>0）。
故使用金属板总面积S越小，越节省成本。
下表是使用各规格金属板完成生产要求所需的最小数量。
通过比较知道90 cm×148 cm故需要更换，可更换规格为90 cm×148 cm的金属板，可以节约（46656-39960）*K=6696*K的成本。
下表是各个规格裁剪详情，b)把每一种规格的金属板的切割模式累加起来，重新赋予序号，通过LINGO程序运行结果制成下表。
可是W143过后全部都是由规格90cm ×148cm切割得来的。
故组合四块金属板切割按照材料最省原则只需要使用第四块金属板就可以了。
故可节约的成本与a)中相同。
为（46656-39960）*K=6696*K。
附录（Lingo程序）1）model:sets:A/1..4/:xq;W/1..29/:x;zh(A,W):cost;endsetsdata:xq=8 13 7 15;cost=3 0 0 0 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 1 1 1 1 0 6 0 04 2 0 0 0 4 25 4 3 2 1 0 0 2 0 1 2 1 2 1 2 3 1 1 0 0 2 0 0 0 2 0 0 1 2 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 2 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 7 1 0 0 4 8 1 1 1 1 1 0 8 1 3 5 1 4 8 4 1 3 ;enddatamin=@sum(W(j):x(j));@for(A(i):@sum(W(j):cost(i,j)*x(j))>=xq(i));@for(W(j):@gin(x(j)));end运行结果：Global optimal solution found.Objective value: 8.000000Objective bound: 8.000000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 7Variable Value Reduced CostX( 1) 3.000000 1.000000X( 2) 1.000000 1.000000X( 22) 3.000000 1.000000X( 24) 1.000000 1.000000model:sets:A/1..4/:xq;W/1..29/:x;zh(A,W):cost;endsetsdata:xq=8 13 7 15;cost=3 0 0 0 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 1 1 1 1 0 6 0 04 2 0 0 0 4 25 4 3 2 1 0 0 2 0 1 2 1 2 1 2 3 1 1 0 0 2 0 0 0 2 0 0 1 2 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 2 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 7 1 0 0 4 8 1 1 1 1 1 0 8 1 3 5 1 4 8 4 1 3 ;enddatamin=@sum(W(j):x(j));@for(A(i):@sum(W(j):cost(i,j)*x(j))>=10*xq(i));@for(W(j):@gin(x(j)));End运行结果：Global optimal solution found.Objective value: 74.00000Objective bound: 74.00000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 5Variable Value Reduced CostX( 1) 27.00000 1.000000X( 2) 9.000000 1.000000X( 22) 32.00000 1.000000X( 24) 6.000000 1.0000002）model:sets:A/1..4/:xq;W/1..29/:x,s,m;zh(A,W):cost;endsetsdata:xq=8 13 7 15;s=3 34 1 4 4 4 1 2 4 4 3 2 2 2 1 25 7 2 2 4 4 2 4 2 4 2 4 ;cost=3 0 0 0 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 1 1 1 1 0 6 0 04 2 0 0 0 4 25 4 3 2 1 0 0 2 0 1 2 1 2 1 2 3 1 1 0 0 2 0 0 0 2 0 0 1 2 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 2 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 7 1 0 0 4 8 1 1 1 1 1 0 8 1 3 5 1 4 8 4 1 3 ;enddatamin=@sum(W(j):x(j));@for(A(i):@sum(W(j):cost(i,j)*x(j))>=xq(i));@for(W(j):x(j)-s(j)*m(j)<=0);@sum(W(j):m(j))<=3;@for(W(j):@bin(m(j)));@for(W(j):@gin(x(j)));End运行结果：Global optimal solution found.Objective value: 8.000000Objective bound: 8.000000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 204Variable Value Reduced CostX( 1) 3.000000 1.000000X( 12) 1.000000 1.000000X( 22) 4.000000 1.000000model:sets:A/1..4/:xq;W/1..29/:x,s,m;zh(A,W):cost;endsetsdata:xq=8 13 7 15;s=3 34 1 4 4 4 1 2 4 4 3 2 2 2 1 25 7 2 2 4 4 2 4 2 4 2 4 ;cost=3 0 0 0 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 1 1 1 10 6 0 0 4 2 0 0 0 4 2 5 4 3 2 1 0 0 2 0 1 2 1 2 1 2 3 1 10 0 2 0 0 0 2 0 0 1 2 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 2 2 1 0 0 0 0 10 0 0 2 0 0 0 7 1 0 0 4 8 1 1 1 1 1 0 8 1 3 5 1 4 8 4 1 3;enddatamin=@sum(W(j):x(j));@for(A(i):@sum(W(j):cost(i,j)*x(j))>=10*xq(i));@for(W(j):x(j)-s(j)*10*m(j)<=0);@sum(W(j):m(j))<=3;@for(W(j):@bin(m(j)));@for(W(j):@gin(x(j)));end运行结果：Global optimal solution found.Objective value: 74.00000Objective bound: 74.00000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 3Total solver iterations: 723Variable Value Reduced CostX( 1) 27.00000 1.000000X( 12) 12.00000 1.000000X( 22) 35.00000 1.000000３）大块金属板为48cm*96cm规格model:sets:a/1..4/: ma;b/1..17/: da,x;C(b,a): cost;endsetsdata:ma=8,13,7,15;cost=@ole('D:\data.xlsx','data31');enddatamin=@sum(b(i):x(i));@for(a(k):@sum(b(i):cost(i,k)*x(i))>=ma(k));@for(b(i):@gin(x(i)));end运行结果：Global optimal solution found.Objective value: 12.00000Objective bound: 12.00000 Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 6Variable Value Reduced CostX( 3) 1.000000 1.000000X( 7) 3.000000 1.000000X( 15) 8.000000 1.000000大块金属板为72cm*120cm规格model:sets:a/1..4/: ma;b/1..97/: da,x;C(b,a): cost;endsetsdata:ma=8,13,7,15;cost=@ole('D:\data.xlsx','data32');enddatamin=@sum(b(i):x(i));@for(a(k):@sum(b(i):cost(i,k)*x(i))>=ma(k));@for(b(i):@gin(x(i)));end运行结果：Global optimal solution found.Objective value: 5.000000Objective bound: 5.000000 Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 20Variable Value Reduced CostX( 2) 1.000000 1.000000X( 8) 1.000000 1.000000X( 83) 2.000000 1.000000X( 91) 1.000000 1.000000大块金属板为90cm*148cm规格model:sets:a/1..4/:ma;b/1..184/:da,x;C(b,a):cost;endsetsdata:ma=8,13,7,15;cost=@ole('D:\data.xlsx','data33');enddatamin=@sum(b(i):x(i));@for(a(k):@sum(b(i):cost(i,k)*x(i))>=ma(k));@for(b(i):@gin(x(i)));end运行结果：Global optimal solution found.Objective value: 3.000000Objective bound: 3.000000 Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 19Variable Value Reduced CostX( 5) 1.000000 1.000000X( 16) 1.000000 1.000000X( 102) 1.000000 1.000000四块金属板组合：model:sets:a/1..4/: ma;b/1..327/: da,x;C(b,a): cost;endsetsdata:ma=8,13,7,15;cost=@ole('D:\dataE.xlsx','Ex_1');enddatamin=@sum(b(i):x(i));@for(a(k):@sum(b(i):cost(i,k)*x(i))>=ma(k));@for(b(i):@gin(x(i)));end运行结果：Global optimal solution found.Objective value: 3.000000Objective bound: 3.000000 Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 20Variable Value Reduced CostX( 148) 1.000000 1.000000X( 159) 1.000000 1.000000X( 245) 1.000000 1.000000其他三种大金属块的分割模式汇总。