数学建模(金属板切割)
数学模型姓名：***129084106程根129084107王刚129084124金属板切割问题在一个金属板加工车间有一项长期的业务订单，订单要求除周六周日外每天提供如下表所车间将从尺寸为 54 cm× 1）为生产出满足每天的订单要求的金属板，最少可以使用多少块大块金属板？如订单企业要求每两周供货一次，能否给车间带来更多的利益?2）裁剪小块的金属板的裁剪方式太多会带来较高的成本，若要求每次裁剪时裁剪方式不超过三种，再考虑问题1）。
3） 若大块金属也是从市场上购买的，其价格与面积成正比。
市场上除现有的规格金属板外，还有另外三种规格的的金属板，其尺寸分别为： 48 cm×96 cm ，72 cm×120 cm ，90 cm×148 cm 。
a)若只能使用一种大金属板裁剪，来满足该长期订单的要求，是否需要换一种规格的大金属板？如更换，换那种规格的，其完成订单要求能节省多少成本。
b )若组合使用这四种大块金属板，其完成订单要求又能节省多少成本。
分析题目，我们可知，大金属板的切割方式有很多种，即使在省材料的情况下也是如此，当然，如果所有的切割方式让我们列举出来，我们就可以把题目转换成线性问题，因为切割方式太多，我们把四个小金属板分类。
四个小金属板可以组成1544342414=+++C C C C 种，在前面的例子中可以看到每一小金属板种类可能切出不同的数量组合。
通过这种分类方式，把大金属板分成小金属板，将问题转线性规划问题。
通过上述分类将问题给出的大金属板分割，给以每一种切割模式一种变量x i ，那么所得到的小金属板就可以用这些变量x i 来表示，在要求的小金属板数这一约束条件下通过LINGO 程序解出结果。
有上述知问题（1）直接可以得出。
若分别给变量x i 一个系数并赋予成0或1变量，只允许其中三个可以为正整数，其余为零。
通过问题（1）就可以解决问题（2）。
对于问题（3），同样的对问题给出的另外三种规格的金属板分割，可分别对每一金属板按照问题（1）计算，并可将四种金属板的分割当作一个新大金属板的分割，添加价格系数在其中，编写LINGO 程序求解。
详细结果见附录模型的建立1）a)每天完成订单：所要求的目标函数：完成订单要求所用所有切割模式使用的大块金属板数量和，求此和的最小值。
∑==291min i i x zx i 的需求约束方程为：1）a)每天完成订单： ∑==291min i i x zji i i cx ,291∑= >=xq ib ）每两周供货一次： E(i)>=10*xq(i)2）切割模式不超过三种考虑问题1） a)每天完成订单：x(i)<=s(i)*m(i),i=1,2,…,29∑im i <=3E(i)>=xq(i)b)每两周供货一次：x(j)<=s(j)*10*m(j)∑im i <=3E(i)>=10*xq(i)3) E(i)>=xq(i) （注意：对不同规格的主板有不同的E （i) )（二） 模型的求解在模型求解的过程中,我们调用了Lingo 软件，将以上分析所得方程输入，程序见附录。
由运行结果（见附录）可知，1）最少可使用8块大块金属板；若企业要求每两周供货一次，74块大块金属板可完成任务，如果每天供货一次则需要80块。
74<80，故可以给车间带来更多利益。
2）切割模式不超过3种考虑问题1）最少可使用8块大块金属板；切割的3种模式为W1（3次），W12（1次），W22（4次）；若企业要求每两周供货一次，74块大块金属板可完成任务，如果每天供货一次则需要80块。
74<80，故可以给车间带来更多利益。
3)a)需要！由于金属板价格与面积成正比，设价格P=K*S（K>0）。
故使用金属板总面积S越小，越节省成本。
下表是使用各规格金属板完成生产要求所需的最小数量。
通过比较知道90 cm×148 cm故需要更换，可更换规格为90 cm×148 cm的金属板，可以节约（46656-39960）*K=6696*K的成本。
下表是各个规格裁剪详情，b)把每一种规格的金属板的切割模式累加起来，重新赋予序号，通过LINGO程序运行结果制成下表。
可是W143过后全部都是由规格90cm ×148cm切割得来的。
故组合四块金属板切割按照材料最省原则只需要使用第四块金属板就可以了。
故可节约的成本与a)中相同。
为（46656-39960）*K=6696*K。
附录（Lingo程序）1）model:sets:A/1..4/:xq;W/1..29/:x;zh(A,W):cost;endsetsdata:xq=8 13 7 15;cost=3 0 0 0 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 1 1 1 1 0 6 0 04 2 0 0 0 4 25 4 3 2 1 0 0 2 0 1 2 1 2 1 2 3 1 1 0 0 2 0 0 0 2 0 0 1 2 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 2 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 7 1 0 0 4 8 1 1 1 1 1 0 8 1 3 5 1 4 8 4 1 3 ;enddatamin=@sum(W(j):x(j));@for(A(i):@sum(W(j):cost(i,j)*x(j))>=xq(i));@for(W(j):@gin(x(j)));end运行结果：Global optimal solution found.Objective value: 8.000000Objective bound: 8.000000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 7Variable Value Reduced CostX( 1) 3.000000 1.000000X( 2) 1.000000 1.000000X( 22) 3.000000 1.000000X( 24) 1.000000 1.000000model:sets:A/1..4/:xq;W/1..29/:x;zh(A,W):cost;endsetsdata:xq=8 13 7 15;cost=3 0 0 0 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 1 1 1 1 0 6 0 04 2 0 0 0 4 25 4 3 2 1 0 0 2 0 1 2 1 2 1 2 3 1 1 0 0 2 0 0 0 2 0 0 1 2 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 2 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 7 1 0 0 4 8 1 1 1 1 1 0 8 1 3 5 1 4 8 4 1 3 ;enddatamin=@sum(W(j):x(j));@for(A(i):@sum(W(j):cost(i,j)*x(j))>=10*xq(i));@for(W(j):@gin(x(j)));End运行结果：Global optimal solution found.Objective value: 74.00000Objective bound: 74.00000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 5Variable Value Reduced CostX( 1) 27.00000 1.000000X( 2) 9.000000 1.000000X( 22) 32.00000 1.000000X( 24) 6.000000 1.0000002）model:sets:A/1..4/:xq;W/1..29/:x,s,m;zh(A,W):cost;endsetsdata:xq=8 13 7 15;s=3 34 1 4 4 4 1 2 4 4 3 2 2 2 1 25 7 2 2 4 4 2 4 2 4 2 4 ;cost=3 0 0 0 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 1 1 1 1 0 6 0 04 2 0 0 0 4 25 4 3 2 1 0 0 2 0 1 2 1 2 1 2 3 1 1 0 0 2 0 0 0 2 0 0 1 2 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 2 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 7 1 0 0 4 8 1 1 1 1 1 0 8 1 3 5 1 4 8 4 1 3 ;enddatamin=@sum(W(j):x(j));@for(A(i):@sum(W(j):cost(i,j)*x(j))>=xq(i));@for(W(j):x(j)-s(j)*m(j)<=0);@sum(W(j):m(j))<=3;@for(W(j):@bin(m(j)));@for(W(j):@gin(x(j)));End运行结果：Global optimal solution found.Objective value: 8.000000Objective bound: 8.000000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 204Variable Value Reduced CostX( 1) 3.000000 1.000000X( 12) 1.000000 1.000000X( 22) 4.000000 1.000000model:sets:A/1..4/:xq;W/1..29/:x,s,m;zh(A,W):cost;endsetsdata:xq=8 13 7 15;s=3 34 1 4 4 4 1 2 4 4 3 2 2 2 1 25 7 2 2 4 4 2 4 2 4 2 4 ;cost=3 0 0 0 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 1 1 1 10 6 0 0 4 2 0 0 0 4 2 5 4 3 2 1 0 0 2 0 1 2 1 2 1 2 3 1 10 0 2 0 0 0 2 0 0 1 2 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 2 2 1 0 0 0 0 10 0 0 2 0 0 0 7 1 0 0 4 8 1 1 1 1 1 0 8 1 3 5 1 4 8 4 1 3;enddatamin=@sum(W(j):x(j));@for(A(i):@sum(W(j):cost(i,j)*x(j))>=10*xq(i));@for(W(j):x(j)-s(j)*10*m(j)<=0);@sum(W(j):m(j))<=3;@for(W(j):@bin(m(j)));@for(W(j):@gin(x(j)));end运行结果：Global optimal solution found.Objective value: 74.00000Objective bound: 74.00000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 3Total solver iterations: 723Variable Value Reduced CostX( 1) 27.00000 1.000000X( 12) 12.00000 1.000000X( 22) 35.00000 1.000000３）大块金属板为48cm*96cm规格model:sets:a/1..4/: ma;b/1..17/: da,x;C(b,a): cost;endsetsdata:ma=8,13,7,15;cost=@ole('D:\data.xlsx','data31');enddatamin=@sum(b(i):x(i));@for(a(k):@sum(b(i):cost(i,k)*x(i))>=ma(k));@for(b(i):@gin(x(i)));end运行结果：Global optimal solution found.Objective value: 12.00000Objective bound: 12.00000 Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 6Variable Value Reduced CostX( 3) 1.000000 1.000000X( 7) 3.000000 1.000000X( 15) 8.000000 1.000000大块金属板为72cm*120cm规格model:sets:a/1..4/: ma;b/1..97/: da,x;C(b,a): cost;endsetsdata:ma=8,13,7,15;cost=@ole('D:\data.xlsx','data32');enddatamin=@sum(b(i):x(i));@for(a(k):@sum(b(i):cost(i,k)*x(i))>=ma(k));@for(b(i):@gin(x(i)));end运行结果：Global optimal solution found.Objective value: 5.000000Objective bound: 5.000000 Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 20Variable Value Reduced CostX( 2) 1.000000 1.000000X( 8) 1.000000 1.000000X( 83) 2.000000 1.000000X( 91) 1.000000 1.000000大块金属板为90cm*148cm规格model:sets:a/1..4/:ma;b/1..184/:da,x;C(b,a):cost;endsetsdata:ma=8,13,7,15;cost=@ole('D:\data.xlsx','data33');enddatamin=@sum(b(i):x(i));@for(a(k):@sum(b(i):cost(i,k)*x(i))>=ma(k));@for(b(i):@gin(x(i)));end运行结果：Global optimal solution found.Objective value: 3.000000Objective bound: 3.000000 Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 19Variable Value Reduced CostX( 5) 1.000000 1.000000X( 16) 1.000000 1.000000X( 102) 1.000000 1.000000四块金属板组合：model:sets:a/1..4/: ma;b/1..327/: da,x;C(b,a): cost;endsetsdata:ma=8,13,7,15;cost=@ole('D:\dataE.xlsx','Ex_1');enddatamin=@sum(b(i):x(i));@for(a(k):@sum(b(i):cost(i,k)*x(i))>=ma(k));@for(b(i):@gin(x(i)));end运行结果：Global optimal solution found.Objective value: 3.000000Objective bound: 3.000000 Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 20Variable Value Reduced CostX( 148) 1.000000 1.000000X( 159) 1.000000 1.000000X( 245) 1.000000 1.000000其他三种大金属块的分割模式汇总。
2021年第十一届MathorCup高校数学建模挑战赛赛题
成功。该水下数据中心原型机装配了传感器，可以感知压力，湿度等状况， 帮助研究人员更好地了解其在水下环境的运行情况。2018年微软Project Natick项目在苏格兰海岸线附近的水域中实验性地部署了一个水下的数据 中心。这是数据中心首次部署在海底，这个数据中心被设计成集装箱样式， 然后被悬放在海平面117英尺处，之后海底数据中心通过铺设的海底电缆 与陆上操作中心相连。海底数据中心以城市工业用电为主，海上风能、太 阳能、潮汐能等可再生能源为辅，具有低成本、低时延、高可靠性和高安 全性的特点。据微软团队测算，海底数据中心的故障率是陆地的1/8。
问题1:固体在液体中的冷却的方式主要是对流传热，对流传热可分 为自然对流和强制对流。假定数据中心集装箱的尺寸为直径lim长12m的圆柱形，悬空放置（圆柱形轴线与海平面平行）在中国南海温度为20摄 氏度的海域深度，其中单个1U服务器的产热为500W（正常工作温度不能 超过80摄氏度），1U服务器机箱的高度为44.45毫米，宽度为482.6毫米， 长度为525毫米，请评估单个集装箱外壳中最多可以放多少个服务器（仅 考虑服务器的散热需求）。
2021
赛题分为A、B、C、D题，其中，硏究生组参赛队只能从A、B题中任选 —题完成答卷；本科组及专科组参赛队可从A、B、C、D题中任选一题完成答 卷。
2021
A
自动驾驶是近年人工智能应用的热门研究领域之一，其中调头是自动 驾驶中一个非常实际又很有趣的场景。假设无人车为四轮乘用车，采用前 轮转向后轮驱动；车身可认为是一个矩形，车长5米，车宽2米，轴距2.8米；方向盘最大转角470°,方向盘与前轮转角的传动比为16: I（方向盘 每转动16°,前轮转动1° ）,方向盘最犬转速为400°/s；最大油门加速 度3m/s2,极限刹车加速度-5m/s2o
数学建模---最优化有效切割问题
钢管下料
切割模式
按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。 4米 1根 4米 1根 6米 1根 6米 1根 8米 1根 6米 1根 余料1米 余料3米 余料3米
8米 1根
8米 1根
合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸
钢管下料问题1
模式 1 2 3 4 5 6 7 4米钢管根数 4 3 2 1 1 0 0
26 x1 x2 x3 31
x1 x2 x3
模式排列顺序可任定
计算结果
• 模式1：每根原料钢管切割成3根4米和1根6 米钢管，共10根； • 模式2：每根原料钢管切割成2根4米、1根5 米和1根6米钢管，共10根； • 模式3：每根原料钢管切割成2根8米钢管， 共8根。 • 原料钢管总根数为28根。
合理切割模式
6米钢管根数 0 1 0 2 1 3 0 8米钢管根数 0 0 1 0 1 0 2 余料(米) 3 1 3 3 1 1 3
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式 切割多少根原料钢管，最为节省？ 两种 标准 1. 原料钢管剩余总余量最小
2. 所用原料钢管总根数最少
决策 变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7) 目标1（总余量） Min Z1 3x1 x2 3x3 3x4 x5 x6 3x7
钢管下料问题2
增加一种需求：5米10根；切割模式不超过3种。
现有4种需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米 15根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。 对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式
决策变量
xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,3)
r1i, r2i, r3i, r4i ~ 第i 种切割模式下，每根原料钢管 生产4米、5米、6米和8米长的钢管的数量
数学建模中的切割及解答
下料问题：一个公司有一批钢材，每根钢材长7.3米，由于某种需求，需要100套短钢材，已知每套钢材包括长2.9米，2.1米和1.5米的各一根，现在问从公司的利益出发（余料只能作为废品出售），至少要用掉多少根短钢材才能保证既满足需求，又使得余料最少？显然，如果公司采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该公司规定采用的不同的切割模式不能超过3种。
此外该客户需要的100套短钢材，每套改变为2.9米，2.1米，1.5米各一根，该如何下料最节省？（此为带有普遍性的方法）决策目标：1.以切割后剩余的总余量最小为目标，Min=0.2x2+0.8x3+1.4x4+1.0x5+0.1x6+0.7x7+1.3*x8;2.以切割原材料钢材的总根数最少为目标，则有Min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7约束条件：2x1+x2+x3+x4>=100;2x2+x3+3x4+2x5+x6>=100;X1+x3+2x5+3x6+4x7>=100;min=0.2*x2+0.8*x3+1.4*x4+1.0*x5+0.1*x6+0.7*x7+1.3*x8;2*x1+x2+x3+x4=100;2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7=100;x1+x3+2*x4+2*x6+3*x7+4*x8=100;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);@gin(x8);Global optimal solution found at iteration: 2Objective value: 7.000000Variable Value Reduced Cost X2 20.00000 0.2000000 X3 0.000000 0.8000000 X4 0.000000 1.400000 X5 0.000000 1.000000 X6 30.00000 0.1000000 X7 0.000000 0.7000000 X8 0.000000 1.300000 X1 40.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 7.000000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.000000 min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;2*x1+x2+x3+x4=100;2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7=100;x1+x3+2*x4+2*x6+3*x7+4*x8=100;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);@gin(x8);Global optimal solution found at iteration: 3Objective value: 90.00000Variable Value Reduced Cost X1 40.00000 1.000000 X2 20.00000 1.000000 X3 0.000000 1.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 1.000000 X6 30.00000 1.000000 X7 0.000000 1.000000 X8 0.000000 1.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 90.00000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.000000方法二：min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;2*x1+x2+x3+x4>=100;2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7>=100;x1+x3+2*x4+2*x6+3*x7+4*x8>=100;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);@gin(x8);Global optimal solution found at iteration: 4Objective value: 90.00000Variable Value Reduced Cost X1 40.00000 1.000000 X2 20.00000 1.000000 X3 0.000000 1.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 1.000000 X6 30.00000 1.000000 X7 0.000000 1.000000 X8 0.000000 1.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 90.00000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.000000第二问：min=x1+x2+x3;r11*x1+r12*x2+r13*x3>=100;r21*x1+r22*x2+r23*x3>=100;r31*x1+r32*x2+r33*x3>=100;2.9*r11+2.1*r21+1.5*r31<=7.3;2.9*r12+2.1*r22+1.5*r32<=7.3;2.9*r13+2.1*r23+1.5*r33<=7.3;2.9*r11+2.1*r21+1.5*r31>=5.8;2.9*r12+2.1*r22+1.5*r32>=5.8;2.9*r13+2.1*r23+1.5*r33>=5.8;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);Local optimal solution found at iteration: 15Objective value: 90.00000Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 1.000000 X2 30.00000 1.000000 X3 40.00000 1.000000 R11 1.000000 0.000000 R12 0.000000 0.000000 R13 2.000000 0.000000 R21 2.000000 0.000000 R22 2.000000 0.000000 R23 0.000000 0.000000 R31 0.000000 0.000000 R32 2.000000 0.000000 R33 1.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 90.00000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 0.2000000 0.0000006 0.1000000 0.0000007 0.000000 0.0000008 1.300000 0.0000009 1.400000 0.00000010 1.500000 0.000000。
数学建模课件06-1第六章 建模范例 第1节
3
求数学解 最简单的形式如图6.1所示
呈现四点接触的方形排列，如前所述，有
L b 1, r 0.125 和N=16；损耗为
w 1 16 (0.125) 21.5%
2
若r 0.05,同样L b 1 则N 100, 损 耗 为 ： ， 4
w 1 100 (0.05) 21.5%
各种情况下，
1 L x [1 ( 2)] 3 r
10
模型说明 不能说哪种方法更佳，对参数值的变化，两种方 法都可能更有效。应注意对参数的两个整数值，N值 可能不变但损耗会改变。 对 L b 1 ，r=0.05 的情况，引用上面六点相切 式的方法得
1 1 x [1 ( 2)] [11.39] 11 3 0.05
12
所以用各行所含圆盘数不等情况（n 9, n 1 10 ）下 的公式得 11 1 N ( 20 1) 105 2 2 四点相切式显然为100个，所以要次一些。 11
思考： 1．数量105还能增加吗？若用相等行和不等行 的混合方案，可求出各行圆板个数为10，9，10， 9，10，9，10，9，10，10，10，总数为106个呢！ 这种混合策略值得考虑。 2．四点相切式不必为方形排列，采用一种错开 的形式如图6.4所示，研究一下这种形式的效率。 3．把模型扩展为在同一块钢板上切两种不同尺 寸的圆板的情况，在什么条件下小圆板能嵌在大 圆板缝隙之间呢？
2
结果同 0.125 r 时相同，奇怪吗？
对于这种切割方式，考虑参数值的变化。
若b 2nr (如图 能得到 列圆， ) n 若b增加到 2n 2)r , 还可增加一列。 5 (
b b 这说明n是 的整数部分，记成 [ ]; 2r 2r L 同理推出行数为 [ ]; 2r
数学建模---最优化的有效切割问题
约束 满足需求 4 x1 3x2 2 x3 x4 x5 50
x2 2 x4 x5 3x6 20 x3 x5 2 x7 15
26 x1 x2 x3 31
x1 x2 x3
模式排列顺序可任定
计算结果
• 模式1：每根原料钢管切割成3根4米和1根6 米钢管，共10根； • 模式2：每根原料钢管切割成2根4米、1根5 米和1根6米钢管，共10根； • 模式3：每根原料钢管切割成2根8米钢管， 共8根。 • 原料钢管总根数为28根。
整数非线性规划模型
钢管下料问题2
增加约束，缩小可行域，便于求解
每根原料钢管长19米
需求：4米50根，5米10 根，6米20根，8米15根
4 50 5 10 6 20 8 15 26 原料钢管总根数下界： 19
特殊生产计划：对每根原料钢管 模式1：切割成4根4米钢管，需13根； 模式2：切割成1根5米和2根6米钢管，需10根； 模式3：切割成2根8米钢管，需8根。 原料钢管总根数上界：13+10+8=31
钢管下料问题2 目标函数（总根数）
Min x1 x2 x3
模式合理：每根 余料不超过3米
约束 条件
满足需求
r11 x1 r12 x2 r13 x3 50
r21 x1 r22 x2 r23 x3 10
16 4r11 5r21 6r31 8r41 19
金属本构数值建模和切削仿真加工参数优化
金属本构数值建模和切削仿真加工参数优化华中科技大学硕士学位论文金属本构数值建模和切削仿真加工参数优化姓名：万修龙申请学位级别：硕士专业：机械工程指导教师：闫蓉2011-05-25摘要随着计算机技术迅速发展，有限元技术在金属切削领域得到广泛应用，有限元切削仿真软件也应运而生。
现有的商用有限元切削仿真软件中提供的材料库、材料失效准则可以针对一些常用的材料进行准确的仿真计算，然而却无法应用于新的加工材料和加工工艺的切削仿真，带来了有限元仿真软件工程应用的局限性，本文深入研究金属切削的材料变形机理，构造材料本构模型，研究切削仿真有限元二次开发技术，并提出了采用金属切削仿真技术进行加工参数优化的一整套行之有效的方案。
基于有限元和材料弹塑性力学、断裂力学等理论，使用Fortran语言开发了有限元软件ABAQUS材料Vumat子程序，在金属切削仿真计算中准确地重构了常用的材料Johnson-Cook本构模型和Johnson-Cook失效准则，通过与ABAQUS本身自带的Johnson-Cook本构模型在材料拉伸模拟中的对比，验证了子程序在表征材料Johnson-Cook本构模型的准确性。
分别采用ABAUQS和AdvantEdge FEM有限元软件，分别对铝合金Al6061加工进行了二维正交切削仿真模拟，其中ABAQUS仿真中使用了二次开发的Vumat 子程序。
设计仿真对比方案，计算得到切削力、切削温度和Mises应力以及切屑形态，采用两种软件的仿真结果的对比验证了二次开发的Vumat子程序在切削仿真中应用的可行性。
对上汽通用五菱发动机工厂发动机曲轴孔精镗加工进行了切削仿真与试验，通过设置不同的加工参数进行仿真对比，选择最优的加工参数。
发动机工厂采用优化后的加工参数进行试验，试验结果表明采用优化后的工艺参数，刀具磨损减小，加工中出现毛刺、崩边等问题次数减少，加工效率提高7%。
关键词：切削仿真有限元本构方程加工参数AbstractDue to rapid developments of technology of computer, finite-element analysis has been utilized widely in domain of metal-cutting. Related software which was designed based on the simulation of metal-cutting has emerged in decades. Current commercial software is able to simulate common materials precisely resulting in the mature study on these material models. However many limitations of finite-element analysis software have been realized in the actual engineering issues resulting in lacking of the specific material models, especially some characteristics of new materials can be hardly obtained in these commercial software. This thesis represents further researches on the mechanism of the metal chip deformation, structure the material constitutive model and secondary development technology of finite-element simulation in cutting process. Series valid strategies of optimizing the cutting parameters are proposed.A subprogram of ABAQUS, which is also called Vumat, has been developed by FORTRAN based on the finite-element theory, plastoelasticity and fracture mechanics in the research. Johnson-Cook constitutive model and failure criterion is reconstructed in the subprogram while its validation is verified by comparing simulation of material extending to ABAQUS.ABAQUS and AdvantEdge are utilized separately in thesimulation of two-dimension orthogonal cutting in aluminum alloy 6061 machining. Particularly the simulations processed in ABAQUS use Vumat subprogram as a mainly method, furthermore a simulation comparison scheme is designed in the paper, which verifies the precision of the Vumat through the comparison between parameters such as calculating cutting force, temperature of cutting, stress and chip shape in these two software.By operating finite-element simulations to finish boring in crankshaft hole of engines authorized by SGMW and optimizing the machining parameters through simulation comparisons, the experiment shows an impressive outcome including tool wear decrease, reductions of burr issues as well as efficiency increase.Keywords:Cutting simulation FEM Constitutive equation Processing parameters独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
板材切割问题LINGO求解
《数学模型》课程结业论文题目板材切割的最优化问题院系理学院专业信息与计算科学学号2009041401017学生姓名麻林立任课教师单锋沈阳航空航天大学2011年5月任务及要求任务书[要求]1、将所给的问题翻译成汉语；2、给论文起个题目（名字或标题）3、根据任务来完成数学模型论文；4、论文书写格式要求按给定要求书写；5、态度要认真，要独立思考，独立完成任务；6、论文上交时间：6月1日前（要求交纸质论文和电子文档）。
7、严禁抄袭行为，若发现抄袭，则成绩记为“不及格”。
[任务]Cutting sheet metalA sheet metal workshop cuts pieces of sheet metal from large rectangular sheets of 48 decimeters × 96 decimeters (dm). It has received an order for 8 rectangular pieces of 36 dm × 50 dm, 13 sheets of 24 dm × 36 dm, 5 sheets of 20 dm × 60 dm, and 15 sheets of 18 dm × 30 dm. Theses pieces of sheet metal need to be cut from the available large pieces. How can this order by satisfied by using the least number of large sheets?金属板切割一个金属板材车间要在48dm×96dm的矩形大金属板上裁切。
车间受到一份8块36dm×50dm矩形板，13块24dm×36dm矩形板，5块20dm×60dm矩形板，15块18dm×30dm矩形板的订单。
数学建模金属板切割 2 (1)
武汉理工大学2014年数学建模课程论文题目：金属板切割问题姓名：张名扬学院：机电工程学院专业：工业工程学号：0121204931409选课老师：何郎2014年6月15日B题：金属板切割问题在一个金属板加工车间内将要从尺寸为48分米×96分米的大块矩形金属板上切割下小块的金属板。
此车间接到订单要求为：生产8块大小为36分米×50分米的矩形金属板，13块大小为24分米×36分米的矩形金属板，以及15块大小为18分米×30分米的矩形金属板。
这些金属板都需要从现有的大块金属板上切割下。
为生产出满足订单要求的金属板，最少可以使用多少块大块金属板？摘要本文针对运用最少的金属板块数，采用合适的切割方式满足生产要求的问题，运用穷举法得出一块金属板的切割方式为如下表所示再运用整数规划模型，和lingo软件求解，得出解决方案为：最少使用10块大金属板，切割方式为：7块大金属板采用方式1，1块大金属板采用方式3,，2块大金属板采用方式6。
一：问题重述在一个金属板加工车间内将要从尺寸为48分米×96分米的大块矩形金属板上切割下小块的金属板。
此车间接到订单要求为：生产8块大小为36分米×50分米的矩形金属板，13块大小为24分米×36分米的矩形金属板，以及15块大小为18分米×30分米的矩形金属板。
这些金属板都需要从现有的大块金属板上切割下。
为生产出满足订单要求的金属板，最少可以使用多少块大块金属板？二：模型假设（1）假设切割过程中没有损坏金属板；（2）假设所有大金属板的大小都一样；三、符号说明四、问题分析本题要求使用数量最少的大块金属块切割出满足订单要求的为3种金属块，为整数规划问题。
可以先穷举出一块大金属板的各种分割方式，列出目标方程式，运用Lingo 软件求解得出最优解。
五、模型建立与求解5.1穷举法先列举出将一块48*96的大金属板可以切割的几种切割模式，为下表表1：金属板切割方式5.2整数规划所需的金属板数量等于各种切割方式所需金属板数量之和，所以目标函数为：123456z x x x x x x =+++++要求生产8块大小为36分米×50分米的矩形金属板A ，所以有1238x x x ++≥要求生产13块大小为24分米×36分米的矩形金属板，所以有124525413x x x x +++≥要求生产15块大小为18分米×30分米的矩形金属板，所以有23563815x x x x +++≥整数规划模型为：123456min z x x x x x x =+++++s.t. 123124523561234568254133815,,,,,0x x x x x x x x x x x x x x x x x ++≥+++≥+++≥≥5.3模型求解运用lingo 软件求解：min =x1+x2+x3+x4+x5+x6; x1+x2+x3>=8;2*x1+x2+5*x4+4*x5>=13; x2+3*x3+x5+8*x6>=15;@gin（x1）;@gin（x2）;@gin（x3）;@gin（x4）;@gin（x5）;@gin（x6）;求解结果为：Global optimal solution found.Objective value: 10.00000Objective bound: 10.00000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 7Variable Value Reduced CostX1 7.000000 1.000000X2 0.000000 1.000000X3 1.000000 1.000000X4 0.000000 1.000000X5 0.000000 1.000000X6 2.000000 1.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 10.00000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 1.000000 0.0000004 4.000000 0.000000由结果可知，最少使用10块大金属板，切割方式为：7块大金属板采用方式1，1块大金属板采用方式3,，2块大金属板采用方式6。
数学建模案例分析--线性代数建模案例20例
线性代数建模案例汇编目录案例一. 交通网络流量分析问题1案例二. 配方问题4案例三. 投入产出问题6案例四. 平板的稳态温度分布问题7案例五. CT图像的代数重建问题11案例六. 平衡结构的梁受力计算13案例七. 化学方程式配平问题16案例八. 互付工资问题17案例九. 平衡价格问题19案例十. 电路设计问题20案例十一. 平面图形的几何变换22案例十二. 太空探测器轨道数据问题24案例十三. 应用矩阵编制Hill密码25案例十四. 显示器色彩制式转换问题27案例十五. 人员流动问题29案例十六. 金融公司支付基金的流动31案例十七. 选举问题33案例十八. 简单的种群增长问题34案例十九. 一阶常系数线性齐次微分方程组的求解36 案例二十. 最值问题38附录数学实验报告模板错误!未定义书签。
案例一. 交通网络流量分析问题城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。
根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。
【模型准备】 某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆).图3 某城市单行线车流量(1) 建立确定每条道路流量的线性方程组.(2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计? (3) 当x 4 = 350时, 确定x 1, x 2, x 3的值.(4) 若x 4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理?【模型假设】 (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.【模型建立】 根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分别满足500 = x 1 + x 2① 400 + x 1 = x 4 + 300 ② x 2 + x 3 = 100 + 200 ③ x 4 = x 3 + 300 ④ 【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组12142334500100300300x x x x x x x x +=⎧⎪-=-⎪⎨+=⎪⎪-+=⎩其增广矩阵(A , b ) =1100500100110001103000011300⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭−−−−→初等行变换10011000101600001130000000--⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪⎪⎝⎭由此可得142434100600300x x x x x x -=-⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩ 即142434100600300x x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩. 为了唯一确定未知流量, 只要增添x 4统计的值即可. 当x 4 = 350时, 确定x 1 = 250, x 2 = 250, x 3 = 50.若x 4 = 200, 则x 1 = 100, x 2 = 400, x 3 = -100 < 0. 这表明单行线“③←④”应该改为“③→④”才合理.【模型分析】(1) 由(A , b )的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程是多余的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计.(2) 由142434100600300x x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩可得213141500200100x x x x x x =-+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩, 123242500300600x x x x x x =-+⎧⎪=-+⎨⎪=-+⎩, 132343200300300x x x x x x =+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩, 这就是说x 1, x 2, x 3, x 4这四个未知量中, 任意一个未知量的值统计出来之后都可以确定出其他三个未知量的值.Matlab 实验题某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是单行线, 需要调查每条道路每小时的车流量. 图中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉路口进入和离开的车数相等, 整个图中进入和离开的车数相等.图4 某城市单行线车流量(1)建立确定每条道路流量的线性方程组.(2)分析哪些流量数据是多余的.(3)为了唯一确定未知流量, 需要增添哪几条道路的流量统计.案例二. 配方问题在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到配方问题. 在不考虑各种成分之间可能发生某些化学反应时, 配方问题可以用向量和线性方程组来建模. 【模型准备】一种佐料由四种原料A 、B 、C 、D 混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这两种规格的佐料中, 四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2. 现在需要四种原料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料. 问: 第三种规格的佐料能否由前两种规格的佐料按一定比例配制而成?【模型假设】 (1) 假设四种原料混合在一起时不发生化学变化. (2) 假设四种原料的比例是按重量计算的. (3) 假设前两种规格的佐料分装成袋, 比如说第一种规格的佐料每袋净重7克(其中A 、B 、C 、D 四种原料分别为2克, 3克, 1克, 1克), 第二种规格的佐料每袋净重6克(其中A 、B 、C 、D 四种原料分别为1克, 2克, 1克, 2克). 【模型建立】 根据已知数据和上述假设, 可以进一步假设将x 袋第一种规格的佐料与y 袋第二种规格的佐料混合在一起, 得到的混合物中A 、B 、C 、D 四种原料分别为4克, 7克, 3克, 5克, 则有以下线性方程组24,327,3,2 5.x y x y x y x y +=⎧⎪+=⎨+=⎪+=⎩ 【模型求解】上述线性方程组的增广矩阵(A , b ) =214327113125⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭−−−−→初等行变换101012000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,可见{1,2.x y == 又因为第一种规格的佐料每袋净重7克, 第二种规格的佐料每袋净重6克, 所以第三种规格的佐料能由前两种规格的佐料按7:12的比例配制而成. 【模型分析】(1) 若令α1 = (2, 3, 1, 1)T , α2 = (1, 2, 1, 1)T , β = (4, 7, 5, 3)T , 则原问题等价于“线性方程组Ax = b 是否有解”, 也等价于“β能否由α1, α2线性表示”.(2) 若四种原料的比例是按体积计算的, 则还要考虑混合前后体积的关系(未必是简单的叠加), 因而最好还是先根据具体情况将体积比转换为重量比, 然后再按上述方法处理.(3) 上面的模型假设中的第三个假设只是起到简化运算的作用. 如果直接设x 克第一种规格的佐料与y 克第二种规格的佐料混合得第三种规格的佐料, 则有下表因而有如下线性方程组214(),7619327(),7619113(),7619125().7619x y x y x y x y x y x y x y x y ⎧+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎨⎪+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎩(*) 【模型检验】把x = 7, y = 12代入上述方程组(*), 则各等式都成立. 可见模型假设中的第三个假设不影响解的正确性.Matlab 实验题蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养, 但过量的脂肪摄入不利于健康.人们可以通过适量的运动来消耗多余的脂肪. 设三种食物(脱脂牛奶、大豆面粉、乳清)每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分钟消耗蛋白质、碳水化合物和脂肪的量如下表.问怎样安排饮食和运动才能实现每日的营养需求?案例三. 投入产出问题在研究多个经济部门之间的投入产出关系时, W. Leontief 提出了投入产出模型. 这为经济学研究提供了强有力的手段. W. Leontief 因此获得了1973年的Nobel 经济学奖.【模型准备】某地有一座煤矿, 一个发电厂和一条铁路. 经成本核算, 每生产价值1元钱的煤需消耗0.3元的电; 为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费; 每生产1元的电需0.6元的煤作燃料; 为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电, 还需要花费0.1元的运费; 作为铁路局, 每提供1元运费的运输需消耗0.5元的煤, 辅助设备要消耗0.1元的电. 现煤矿接到外地6万元煤的订货, 电厂有10万元电的外地需求, 问: 煤矿和电厂各生产多少才能满足需求? 【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素.【模型建立】设煤矿, 电厂, 铁路分别产出x 元, y 元, z 元刚好满足需求. 则有下表根据需求, 应该有(0.60.5)60000(0.30.10.1)100000(0.20.1)0x y z y x y z z x y -+=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩, 即0.60.5600000.30.90.11000000.20.10x y z x y z x y z --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,-0.6,-0.5;-0.3,0.9,-0.1;-0.2,-0.1,1]; b = [60000;100000;0]; >> x = A\bMatlab 执行后得 x =1.0e+005 *1.99661.84150.5835可见煤矿要生产1.9966⨯105元的煤, 电厂要生产1.8415⨯105元的电恰好满足需求.【模型分析】令x =xyz⎛⎫⎪⎪⎝⎭, A =00.60.50.30.10.10.20.10⎛⎫⎪⎪⎝⎭, b =60000100000⎛⎫⎪⎪⎝⎭, 其中x称为总产值列向量,A称为消耗系数矩阵, b称为最终产品向量, 则Ax =00.60.50.30.10.10.20.10⎛⎫⎪⎪⎝⎭xyz⎛⎫⎪⎪⎝⎭=0.60.50.30.10.10.20.1y zx y zx y+⎛⎫⎪++⎪+⎝⎭根据需求, 应该有x-Ax = b, 即(E-A)x = b. 故x = (E-A)-1b.Matlab实验题某乡镇有甲、乙、丙三个企业. 甲企业每生产1元的产品要消耗0.25元乙企业的产品和0.25元丙企业的产品. 乙企业每生产1元的产品要消耗0.65元甲企业的产品, 0.05元自产的产品和0.05元丙企业的产品. 丙企业每生产1元的产品要消耗0.5元甲企业的产品和0.1元乙企业的产品. 在一个生产周期内, 甲、乙、丙三个企业生产的产品价值分别为100万元, 120万元, 60万元, 同时各自的固定资产折旧分别为20万元, 5万元和5万元.(1) 求一个生产周期内这三个企业扣除消耗和折旧后的新创价值.(2) 如果这三个企业接到外来订单分别为50万元, 60万元, 40万元, 那么他们各生产多少才能满足需求?案例四. 平板的稳态温度分布问题在热传导的研究中, 一个重要的问题是确定一块平板的稳态温度分布. 根据…定律, 只要测定一块矩形平板四周的温度就可以确定平板上各点的温度.图8 一块平板的温度分布图【模型准备】如图9所示的平板代表一条金属梁的截面. 已知四周8个节点处的温度(单位°C), 求中间4个点处的温度T 1, T 2, T 3, T 4.图9 一块平板的温度分布图【模型假设】假设忽略垂直于该截面方向上的热传导, 并且每个节点的温度等于与它相邻的四个节点温度的平均值.【模型建立】根据已知条件和上述假设, 有如下线性方程组1232143144231(90100)41(8060)41(8060)41(5050)4T T T T T T T T T T T T ⎧=+++⎪⎪⎪=+++⎪⎨⎪=+++⎪⎪=+++⎪⎩ 【模型求解】将上述线性方程组整理得1231241342344190414041404100T T T T T T T T T T T T --=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-=⎪--+=⎪⎩. 在Matlab 命令窗口输入以下命令T 1T 2 T 3 T 4 10080908060506050>> A = [4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]; b = [190;140;140;100];>> x = A\b; x’Matlab执行后得ans =82.9167 70.8333 70.8333 60.4167可见T1 = 82.9167, T2 = 70.8333, T3 = 70.8333, T4 = 60.4167.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数,: 电子工业, 2007. 页码: 15-16.Matlab实验题假定下图中的平板代表一条金属梁的截面, 并忽略垂直于该截面方向上的热传导. 已知平板内部有30个节点, 每个节点的温度近似等于与它相邻的四个节点温度的平均值. 设4条边界上的温度分别等于每位同学学号的后四位的5倍, 例如学号为16308209的同学计算本题时, 选择T l = 40, T u = 10, T r = 0, T d = 45.图10 一块平板的温度分布图(1) 建立可以确定平板内节点温度的线性方程组.(2) 用Matlab软件求解该线性方程组.(3) 用Matlab中的函数mesh绘制三维平板温度分布图.案例五. CT图像的代数重建问题X射线透视可以得到3维对象在2维平面上的投影, CT则通过不同角度的X射线得到3维对象的多个2维投影, 并以此重建对象内部的3维图像. 代数重建方法就是从这些2维投影出发, 通过求解超定线性方程组, 获得对象内部3维图像的方法.图11双层螺旋CT 图12 CT图像这里我们考虑一个更简单的模型, 从2维图像的1维投影重建原先的2维图像. 一个长方形图像可以用一个横竖均匀划分的离散网格来覆盖, 每个网格对应一个像素, 它是该网格上各点像素的均值. 这样一个图像就可以用一个矩阵表示,其元素就是图像在一点的灰度值(黑白图像). 下面我们以3⨯3图像为例来说明.3⨯3图像各点的灰度值水平方向上的叠加值x1 = 1 x2 = 0 x3 = 0 x1 + x2 + x3 = 1x4 = 0 x5 = 0.5 x6 = 0.5 x4 + x5 + x6 = 1x7 = 0.5 x8 = 0 x9 = 1 x7 + x8 + x9 = 1.5 竖直方向上的叠加值x1 + x4 + x7= 1.5x2 + x5 + x8= 0.5x3 + x6 + x9= 1.5i色. 如果我们不知道网格中的数值, 只知道沿竖直方向和水平方向的叠加值, 为了确定网格中的灰度值, 可以建立线性方程组(含有6个方程, 9个未知数)123456369111x x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎪⎨⎪++=⎪⎩显然该方程组的解是不唯一的, 为了重建图像, 必须增加叠加值. 如我们增加从右上方到左下方的叠加值, 则方程组将增加5个方程x1 = 1,x2 + x4 = 0,x3 + x5 + x7 = 1,x 6 + x 8 = 0.5, x 9 = 1,和上面的6个方程放在一起构成一个含有11个方程, 9个未知数的线性方程组. 【模型准备】设3⨯3图像中第一行3个点的灰度值依次为x 1, x 2, x 3, 第二行3个点的灰度值依次为x 4, x 5,x 6, 第三行3个点的灰度值依次为x 7, x 8, x 9. 沿竖直方向的叠加值依次为1.5, 0.5, 1.5, 沿水平方向的叠加值依次为1, 1, 1.5, 沿右上方到左下方的叠加值依次为1, 0, 1, 0.5, 1. 确定x 1, x 2, …, x 9的值.【模型建立】由已知条件可得(含有11个方程, 9个未知数的)线性方程组1234569111x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪=⎪⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,1,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,1;1,0,0,1,0,0,1,0,0;0,1,0,0,1,0,0,1,0;0,0,1,0,0,1,0,0,1; 1,0,0,0,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0,0;0,0,1,0,1,0,1,0,0; 0,0,0,0,0,1,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1];>> b = [1;1;1.5;1.5;0.5;1.5;1;0;1;0.5;1]; >> x = A\b; x ’Matlab 执行后得Warning: Rank deficient, rank = 8 tol =4.2305e-015. ans =1.0000 0.0000 0 -0.0000 0.5000 0.5000 0.5000 -0.0000 1.0000 可见上述方程组的解不唯一. 其中的一个特解为x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 0.5, x 6 = 0.5, x 7 = 0.5, x 8 = 0, x 9 = 1.【模型分析】上述结果表明, 仅有三个方向上的叠加值还不够.可以再增加从左上方到右下方的叠加值. 在实际情况下, 由于测量误差, 上述线性方程组可能是超定的. 这时可以将超定方程组的近似解作为重建的图像数据.Matlab 实验题给定一个3⨯3图像的2个方向上的灰度叠加值: 沿左上方到右下方的灰度叠加值依次为0.8, 1.2, 1.7, 0.2, 0.3; 沿右上方到左下方的灰度叠加值依次为0.6, 0.2, 1.6, 1.2, 0.6.(1) 建立可以确定网格数据的线性方程组, 并用Matlab 求解. (2) 将网格数据乘以256, 再取整, 用Matlab 绘制该灰度图像.案例六. 平衡结构的梁受力计算在桥梁、房顶、铁塔等建筑结构中, 涉及到各种各样的梁. 对这些梁进行受力分析是设计师、工程师经常做的事情.图14 埃菲尔铁塔局部下面以双杆系统的受力分析为例, 说明如何研究梁上各铰接点处的受力情况. 【模型准备】在图15所示的双杆系统中, 已知杆1重G1 = 200牛顿, 长L1 = 2米, 与水平方向的夹角为θ1 = π/6, 杆2重G2 = 100牛顿, 长L2 = 2米, 与水平方向的夹角为θ2 = π/4. 三个铰接点A, B, C所在平面垂直于水平面. 求杆1, 杆2在铰接点处所受到的力.图15双杆系统【模型假设】假设两杆都是均匀的. 在铰接点处的受力情况如图16所示.【模型建立】对于杆1:水平方向受到的合力为零, 故N1 = N3,竖直方向受到的合力为零, 故N2 + N4 = G1,以点A为支点的合力矩为零, 故(L1sinθ1)N3 + (L1cosθ1)N4 = (12L1cosθ1)G1.图16 两杆受力情况对于杆2类似地有AC杆1杆2CN1N2N3N5N6G1G2A B杆1杆2π/6π/4N 5 = N 7, N 6 = N 8 + G 2, (L 2sin θ2)N 7 = (L 2cos θ2)N 8 + (12L 2cos θ2)G 2.此外还有N 3 = N 7, N 4 = N 8. 于是将上述8个等式联立起来得到关于N 1, N 2, …, N 8的线性方程组:132414800N N N N G N N -=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪-=⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> G1=200; L1=2; theta1=pi/6; G2=100; L2=sqrt(2); theta2=pi/4; >> A = [1,0,-1,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0;0,0,L1*sin(theta1),L1*cos(theta1),0,0,0,0;0,0,0,0,1,0,-1,0; 0,0,0,0,0,1,0,-1;0,0,0,0,0,0,L2*sin(theta2),-L2*cos(theta2); 0,0,1,0,0,0,-1,0;0,0,0,1,0,0,0,-1];>> b = [0;G1;0.5*L1*cos(theta1)*G1;0;G2;0.5*L2*cos(theta2)*G2;0;0]; >> x = A\b; x ’ Matlab 执行后得 ans =95.0962 154.9038 95.0962 45.0962 95.0962 145.0962 95.0962 45.0962【模型分析】最后的结果没有出现负值, 说明图16中假设的各个力的方向与事实一致. 如果结果中出现负值, 则说明该力的方向与假设的方向相反. 参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数,: 电子工业, 2007. 页码: 157- 158.Matlab 实验题有一个平面结构如下所示, 有13条梁(图中标号的线段)和8个铰接点(图中标号的圈)联结在一起. 其中1号铰接点完全固定, 8号铰接点竖直方向固定, 并在2号, 5号和6号铰接点上, 分别有图示的10吨, 15吨和20吨的负载. 在静平衡的条件下,任何一个铰接点上水平和竖直方向受力都是平衡的. 已知每条斜梁的角度都是45º.(1) 列出由各铰接点处受力平衡方程构成的线性方程组. (2) 用Matlab 软件求解该线性方程组, 确定每条梁受力情况.图17 一个平面结构的梁案例七. 化学方程式配平问题在用化学方法处理污水过程中, 有时会涉及到复杂的化学反应. 这些反应的化学方程式是分析计算和工艺设计的重要依据. 在定性地检测出反应物和生成物之后,可以通过求解线性方程组配平化学方程式.【模型准备】某厂废水中含K, 其浓度为650mg/L. 现用氯氧化法处理, 发生如下反应:K + 2KOH + Cl 2 = KO+ 2KCl + H 2O.投入过量液氯, 可将氰酸盐进一步氧化为氮气. 请配平下列化学方程式:KO +KOH +Cl 2 ===CO 2+N 2+KCl +H 2O.(注: 题目摘自XX 省XX 外国语学校2008-2009学年高三第三次月考化学试卷) 【模型建立】设x 1KO ＋x 2KOH ＋x 3Cl 2 === x 4CO 2 ＋x 5N 2 ＋x 6KCl ＋x 7H 2O,则1261247141527362222x x x x x x xx x x x x x x x +=⎧⎪+=+⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪=⎪⎩, 即1261247141527360200202020x x x x x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪+--=⎪⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎪-=⎪⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,1,0,0,0,-1,0;1,1,0,-2,0,0,-1;1,0,0,-1,0,0,0;1,0,0,0,-2,0,0;0,1,0,0,0,0,-2;0,0,2,0,0,-1,0];>> x = null(A,’r ’); format rat, x ’Matlab 执行后得 ans =1 2 3/2 1 1/2 3 1 可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1)T .取k = 2得x = (2, 4, 3, 2, 1, 6, 2)T . 可见配平后的化学方程式如下2KO + 4KOH + 3Cl 2 ===2CO 2+ N 2+ 6KCl + 2H 2O.【模型分析】利用线性方程组配平化学方程式是一种待定系数法. 关键是根据化学方程式两边所涉及到的各种元素的量相等的原则列出方程. 所得到的齐次线性方程组Ax = θ中所含方程的个数等于化学方程式中元素的种数s , 未知数的个数就是化学方程式中的项数n .当r(A ) = n -1时, Ax = θ的基础解系中含有1个(线性无关的)解向量. 这时在通解中取常数k 为各分量分母的最小公倍数即可. 例如本例中1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1分母的最小公倍数为2, 故取k = 2.当r(A ) ≤n -2时, Ax = θ的基础解系中含有2个以上的线性无关的解向量. 这时可以根据化学方程式中元素的化合价的上升与下降的情况, 在原线性方程组中添加新的方程. Matlab 实验题配平下列反应式(1) FeS + KMnO 4 + H 2SO 4—— K 2SO 4 + MnSO 4 + Fe 2(SO 4)3 + H 2O + S ↓ (2) Al 2(SO 4)3 + Na 2CO 3 + H 2O —— Al(OH)3↓+ CO 2↑+ Na 2SO 4案例八. 互付工资问题互付工资问题是多方合作相互提供劳动过程中产生的. 比如农忙季节, 多户农民组成互助组, 共同完成各户的耕、种、收等农活. 又如木工, 电工, 油漆工等组成互助组, 共同完成各家的装潢工作. 由于不同工种的劳动量有所不同, 为了均衡各方的利益, 就要计算互付工资的标准.【模型准备】现有一个木工, 电工, 油漆工. 相互装修他们的房子, 他们有如下协议:(1) 每人工作10天(包括在自己家的日子), (2) 每人的日工资一般的市价在60~80元之间, (3) 日工资数应使每人的总收入和总支出相等.求每人的日工资. 【模型假设】假设每人每天工作时间长度相同. 无论谁在谁家干活都按正常情况工作, 既不偷懒, 也不加班.【模型建立】设木工, 电工, 油漆工的日工资分别为x , y , z 元, 则由下表可得2610451044310x y z xx y z y x y z z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 即8604504470x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [-8,1,6;4,-5,1;4,4,-7];>> x = null(A,’r ’); format rat, x ’ Matlab 执行后得ans =31/36 8/9 1可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (31/36, 8/9, 1)T . 因而根据“每人的日工资一般的市价在60~80元之间”可知60 ≤3631k <98k < k ≤ 80, 即 312160≤k ≤ 80.也就是说, 木工, 电工, 油漆工的日工资分别为3631k 元, 98k 元, k 元, 其中312160≤k ≤ 80. 为了简便起见, 可取k = 72, 于是木工, 电工, 油漆工的日工资分别为62元, 64元, 72元.【模型分析】事实上各人都不必付自己工资, 这时各家应付工资和各人应得收入如下6845447y z x x z y x y z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 即8604504470x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 可见这样得到的方程组与前面得到的方程组是一样的.Matlab 实验题甲, 乙, 丙三个农民组成互助组, 每人工作6天(包括为自己家干活的天数), 刚好完成他们三人家的农活, 其中甲在甲, 乙, 丙三家干活的天数依次为: 2, 2.5, 1.5; 乙在甲, 乙, 丙三家各干2天活, 丙在甲, 乙, 丙三家干活的天数依次为: 1.5, 2, 2.5. 根据三人干活的种类, 速度和时间, 他们确定三人不必相互支付工资刚好公平. 随后三人又合作到邻村帮忙干了2天(各人干活的种类和强度不变), 共获得工资500元.问他们应该怎样分配这500元工资才合理?案例九. 平衡价格问题为了协调多个相互依存的行业的平衡发展, 有关部门需要根据每个行业的产出在各个行业中的分配情况确定每个行业产品的指导价格, 使得每个行业的投入与产出都大致相等.【模型准备】假设一个经济系统由煤炭、电力、钢铁行业组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配如下表所示:等的平衡价格.【模型假设】假设不考虑这个系统与外界的联系.【模型建立】把煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别用x 1,x 2, x 3表示, 则123212331230.40.60.60.10.20.40.50.2x x x x x x x x x x x =+⎧⎪=++⎨⎪=++⎩, 即1231231230.40.600.60.90.200.40.50.80x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩. 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,-0.4,-0.6;-0.6,0.9,-0.2;-0.4,-0.5,0.8]; >> x = null(A,’r ’); format short, x ’ Matlab 执行后得ans =0.9394 0.8485 1.0000 可见上述齐次线性方程组的通解为x = k(0.9394, 0.8485, 1)T.这就是说, 如果煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别0.9394亿元, 0.8485亿元, 1亿元, 那么每个行业的投入与产出都相等.【模型分析】实际上, 一个比较完整的经济系统不可能只涉及三个行业, 因此需要统计更多的行业间的分配数据.Matlab实验题假设一个经济系统由煤炭、石油、电力、钢铁、机械制造、运输行业组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配如下表所示:产出分配购买者煤炭石油电力钢铁制造运输0 0 0.2 0.1 0.2 0.2 煤炭0 0 0.1 0.1 0.2 0.1 石油0.5 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 电力0.4 0.1 0.2 0 0.1 0.4 钢铁0 0.1 0.3 0.6 0 0.2 制造0.1 0.7 0.1 0 0.4 0 运输等的平衡价格.案例十. 电路设计问题电路是电子元件的神经系统. 参数的计算是电路设计的重要环节. 其依据来自两个方面: 一是客观需要, 二是物理学定律.图22 USB扩展板【模型准备】假设图23中的方框代表某类具有输入和输出终端的电路. 用11vi⎛⎫⎪⎝⎭记录输入电压和输入电流(电压v以伏特为单位, 电流i以安培为单位), 用22vi⎛⎫⎪⎝⎭记录输出电压和输入电流. 若22vi⎛⎫⎪⎝⎭= A11vi⎛⎫⎪⎝⎭,则称矩阵A为转移矩阵.图23 具有输入和输出终端的电子电路图图24给出了一个梯形网络, 左边的电路称为串联电路, 电阻为R 1(单位: 欧姆). 右边的电路是并联电路, 电路R 2. 利用欧姆定理和楚列斯基定律, 我们可以得到串联电路和并联电路的转移矩阵分别是1101R -⎛⎫ ⎪⎝⎭和2101/1R ⎛⎫ ⎪-⎝⎭串联电路 并联电路图24 梯形网络设计一个梯形网络, 其转移矩阵是180.55-⎛⎫⎪-⎝⎭. 【模型假设】假设导线的电阻为零.【模型建立】设A 1和A 2分别是串联电路和并联电路的转移矩阵, 则输入向量x 先变换成A 1x , 再变换到A 2(A 1x ). 其中A 2A 1 =2101/1R ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1101R -⎛⎫ ⎪⎝⎭=121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭就是图22中梯形网络的转移矩阵.于是, 原问题转化为求R 1, R 2的值使得121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭=180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 【模型求解】由121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭=180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭可得121281/0.51/5R R R R -=-⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩. 根据其中的前两个方程可得R 1 = 8, R 2 = 2. 把R 1 = 8, R 2 = 2代入上面的第三个方程确实能使等式成立. 这就是说在图22中梯形网络中取R 1 = 8, R 2 = 2即为所求.【模型分析】若要求的转移矩阵改为180.54-⎛⎫⎪-⎝⎭, 则上面的梯形网络无法实现. 因为v 2这时对应的方程组是121281/0.51/4R R R R -=-⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩. 根据前两个方程依然得到R 1 = 8, R 2 = 2, 但把R 1= 8, R 2 = 2代入上第三个方程却不能使等式成立.练习题根据基尔霍夫回路电路定律(各节点处流入和流出的电流强度的代数和为零, 各回路中各支路的电压降之和为零), 列出下图所示电路中电流i 1, i 2, i 3所满足的线性方程组, 并用矩阵形式表示:图25简单的回路案例十一. 平面图形的几何变换随着计算机科学技术的发展, 计算机图形学的应用领域越来越广, 如仿真设计、效果图制作、动画片制作、电子游戏开发等.图形的几何变换, 包括图形的平移、旋转、放缩等, 是计算机图形学中经常遇到的问题. 这里暂时只讨论平面图形的几何变换.【模型准备】平面图形的旋转和放缩都很容易用矩阵乘法实现, 但是图形的平移并不是线性运算, 不能直接用矩阵乘法表示. 现在要求用一种方法使平移、旋转、放缩能统一用矩阵乘法来实现. 【模型假设】设平移变换为(x , y ) → (x +a , y +b )旋转变换(绕原点逆时针旋转θ角度)为(x , y ) → (x cos θ-y sin θ, x sin θ + y cos θ)放缩变换(沿x 轴方向放大s 倍, 沿y 轴方向放大t 倍)为(x , y ) → (sx , ty )【模型求解】R 2中的每个点(x , y )可以对应于R 3中的(x , y , 1). 它在xOy 平面上方1单E 12位的平面上. 我们称(x , y , 1)是(x , y )的齐次坐标. 在齐次坐标下, 平移变换(x , y ) → (x +a , y +b )可以用齐次坐标写成(x , y , 1) → (x +a , y +b , 1).于是可以用矩阵乘积1001001a b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=1x a y b +⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭实现.旋转变换(x , y ) → (x cos θ-y sin θ, x sin θ + y cos θ)可以用齐次坐标写成(x , y , 1) → (x cos θ-y sin θ, x sin θ + y cos θ, 1). 于是可以用矩阵乘积cos sin 0sin cos 0001θθθθ-⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=cos sin sin cos 1x y x y θθθθ-⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭实现.放缩变换(x , y ) → (sx , ty )可以用齐次坐标写成(x , y , 1) → (sx , ty , 1).于是可以用矩阵乘积0000001s t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=1sx ty ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭实现.【模型分析】由上述求解可以看出, R 2中的任何线性变换都可以用分块矩阵1⎛⎫⎪⎝⎭A O O 乘以齐次坐标实现, 其中A 是2阶方阵. 这样, 只要把平面图形上点的齐次坐标写成列向量, 平面图形的每一次几何变换, 都可通过左乘一个3阶变换矩阵来实现.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译,: 人民邮电, 2009. 页码: 139-141.Matlab 实验题在Matlab 命令窗口输入以下命令 >>clear all , clc,>>t=[1,3,5,11,13,15]*pi/8; >>x=sin(t); y=cos(t); >>fill(x,y,'r'); >>grid on ;>>axis([-2.4, 2.4, -2, 2])运行后得图25.图26Matlab绘制的图形(1) 写出该图形每个顶点的齐次坐标;; 最后进行横(2) 编写Matlab程序, 先将上面图形放大0.9倍; 再逆时针旋转3坐标加0.8, 纵坐标减1的图形平移. 分别绘制上述变换后的图形.案例十二. 太空探测器轨道数据问题太空航天探测器发射以后, 可能需要调整以使探测器处在精确计算的轨道里. 雷达监测到一组列向量x1, …, x k,它们给出了不同时刻探测器的实际位置与预定轨道之间的偏差的信息.图28 火星探测器【模型准备】令X k = [x1, …, x k]. 在雷达进行数据分析时需要计算出矩阵G k = X k X k T. 一旦接收到数据向量x k+1,必须计算出新矩阵G k+1. 因为数据向量到达的速度非常快, 随着k的增加, 直接计算的负担会越来越重. 现需要给出一个算法, 使得计算G k的负担不会因为k的增加而加重.【模型求解】因为G k = X k X k T=[x 1, …, x k ]T 1T k⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦x x =T 1k i i i =∑x x ,G k +1 = X k +1T1k +X =[X k , x k +1]T T 1k k +⎡⎤⎢⎥⎣⎦X x = X k X k T +x k +1T 1k +x =G k +x k +1T 1k +x ,所以一旦接收到数据向量x k +1, 只要计算x k +1T1k +x , 然后把它与上一步计算得到的G k相加即可. 这样计算G k 的负担不会因为k 的增加而加重.【模型分析】计算机计算加法的时间与计算乘法的时间相比可以忽略不计. 因此在考虑计算矩阵乘积的负担时, 只要考察乘法的次数就可以了. 设x k 的维数是n , 则X k = [x 1, …, x k ]是n ⨯k 的矩阵, G k = X k X k T 是n ⨯n 的矩阵. 直接计算G k = X k X k T 需要做n 2k 次乘法. 因而计算的负担会随着k 的增加而增加. 但是对于每一个k , 计算x k Tk x 始终只要做n 2次乘法.Matlab 实验题用Matlab 编写一个程序用于处理这个问题.案例十三. 应用矩阵编制Hill 密码密码学在经济和军事方面起着极其重要的作用. 现代密码学涉及很多高深的数学知识. 这里无法展开介绍.图29 XX 通信的基本模型密码学中将信息代码称为密码, 尚未转换成密码的文字信息称为明文, 由密码表示的信息称为密文. 从明文到密文的过程称为加密, 反之为解密. 1929年, 希尔(Hill)通过线性变换对待传输信息进行加密处理, 提出了在密码史上有重要地位的希尔加密算法. 下面我们略去一些实际应用中的细节, 只介绍最基本的思想.【模型准备】若要发出信息action, 现需要利用矩阵乘法给出加密方法和加密后得到的密文, 并给出相应的解密方法.。
数学建模练习题练习题
A. 线材切割问题在很多工程领域，都有线材切割问题。
这一问题可表述为:设能购买到的不同长度的原线材有m种，长度分别为L1,...,Lm，这些原线材只是长度不同，其它都相同。
某工程中所要切割出的线材长度分别为li,i=1, 2,...,n(这里 li < 所有Li)，对应数量分别为Ni,i=1,2,...,n。
设计优化计算方案，求出分别需要购买多少根不同长度的原线材,并能给出切割方案及线材利用率。
现假设某装修工程中需要对铝合金线材进行切割，工程能购买到的同一规格的铝合金线材有二种长度，一种长度是8米，另一种是12米。
现在假设要切割长度和数量如下所示的铝合金线材：编号长度(单位:米) 数量(单位:根)--------------------------------------------------1 6.20 902 3.60 1203 2.80 1364 1.85 3105 0.75 2156 0.55 320应用所设计的计算方案，请问至少需要购买多少根8米和12米的线材，使浪费的线材比较少，并给出切割方案和计算线材利用率。
B. 板材切割问题设工程中能购买到的原板材的长、宽分别为X、Y；现要切割长度和宽度分别为xi,yi, i = 1,2,...,m 共m种大小的板材，每种板材的所需数量分别为N1,N 2,...,Nm块给出一个切割算法，尽量使购买的板材数量少，并给出切割方案和计算板材利用率。
利用所设计计算方案，对下列假设数据，计算需要购买多少块原板材，并给出切割方案和计算板材利用率。
原板材长2.85米，宽1.55米。
所需板材:编号长度(单位:米) 宽度(单位:米) 数量(单位:块)-----------------------------------------------------------1 2.05 0.40 501 1.65 0.35 602 1.35 1.30 303 1.20 0.50 554 0.85 0.20 655 0.35 0.20 120注意:板材加工时是每次切割都是把板子沿直线锯成二块的。