2018年秋高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第2课时数列的通项与递推公式学案新人教A版必修

第2课时数列的通项与递推公式学习目标：1.理解递推公式的含义(重点).2.掌握递推公式的应用(难点).3.会求数列中的最大(小)项(易错点)．[自主预习·探新知]1．数列递推公式(1)两个条件：①已知数列的第1项(或前n项)；②从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式．思考：所有数列都有递推公式吗？[提示]不一定．例如2精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排列成一列数：1,1.4,1.41,1.414，…没有递推公式．2．数列递推公式与通项公式的关系n n n－1[提示]不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．[基础自测]1．思考辨析(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．( )(2)有些数列可能不存在最大项．( )(3)递推公式是表示数列的一种方法．( )(4)所有的数列都有递推公式．( )[答案](1)√(2)√(3)√(4)×提示：并不是所有的数列都有递推公式，如3的精确值就没有递推公式．2．符合递推关系式a n＝2a n－1的数列是( )A．1,2,3,4，…B．1, 2，2,22，…C.2，2, 2，2，… D ．0, 2，2,22，…B3．数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2－a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 5＝( )【导学号：91432124】A ．－3B ．－11C ．－5D ．19D [a 3＝a 2＋a 1＝5＋2＝7，a 4＝a 3＋a 2＝7＋5＝12，a 5＝a 4＋a 3＝12＋7＝19，故选D.]4．已知a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n ≥2)，则a 5＝________.85 [a 2＝1＋1a 1＝1＋1＝2， a 3＝1＋1a 2＝1＋12＝32，a 4＝1＋1a 3＝1＋23＝53， a 5＝1＋1a 4＝1＋35＝85.] [合 作 探 究·攻 重 难]由递推关系写出数列的项已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，以后各项由a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)给出． (1)写出此数列的前5项； (2)通过公式b n ＝a na n ＋1构造一个新的数列{b n }，写出数列{b n }的前4项. 【导学号：91432125】[解] (1)∵a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)， 且a 1＝1，a 2＝2，∴a 3＝a 2＋a 1＝3，a 4＝a 3＋a 2＝3＋2＝5，a 5＝a 4＋a 3＝5＋3＝8.故数列{a n }的前5项依次为a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8. (2)∵b n ＝a na n ＋1，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8， ∴b 1＝a 1a 2＝12，b 2＝a 2a 3＝23，b 3＝a 3a 4＝35，b 4＝a 4a 5＝58.故{b n }的前4项依次为b 1＝12，b 2＝23，b 3＝35，b 4＝58.根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如－1.1．已知数列{a n }的第1项a 1＝1，以后的各项由公式a n ＋1＝2a na n ＋2给出，试写出这个数列的前5项．[解] ∵a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2， ∴a 2＝2a 1a 1＋2＝23， a 3＝2a 2a 2＋2＝2×2323＋2＝12，a 4＝2a 3a 3＋2＝2×1212＋2＝25，a 5＝2a 4a 4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13.数列的最大(小)项的求法已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，试问数列{a n}有没有最大项？若有，求最大项；若没有，说明理由.【导学号：91432126】思路探究：①a n ＋1－a n 等于多少？②n 为何值时，a n ＋1－a n >0？a n ＋1－a n <0?[解] 法一：(单调性法)∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n·－n11， 当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n <a n ＋1； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＝a n ＋1； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n >a n ＋1；故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且a 9＝a 10＝101011.法二：(最大项法)设a k 是数列{a n }的最大项．则⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1a k ≥a k ＋1，即⎩⎨⎧k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011k≥k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011k －1k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011kk ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1011k ＋1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋10≥11k 11k ＋11≥10k ＋20，得9≤k ≤10，∴k ＝9或10，即数列{a n }中的最大项为a 9＝a 10＝1010119.小项的两种方法：一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项二是设2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． [解] (1)由n 2－5n ＋4<0， 解得1<n <4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3，∴数列中有两项是负数．(2)法一：∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎪⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5.又∵n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值，且a 2＝a 3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.法二：设第n 项最小，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－5n ＋n ＋2－n ＋＋4，n 2－5n ＋n －2－n －＋4，解这个不等式组，得2≤n ≤3， ∴n ＝2或3，∴a 2＝a 3且最小． ∴a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝－2.由递推公式求数列的通项公式[探究问题]1．某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列{a n }，满足a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2，你能归纳出数列{a n }的通项公式吗？提示：由a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2得a 2＝a 1＋2＝22，a 3＝a 2＋2＝24，a 4＝a 3＋2＝26，a 5＝a 4＋2＝28，…，由以上各项归纳可知a n ＝20＋(n －1)·2＝2n ＋18. 即a n ＝2n ＋18(n ∈N *，n ≤30)．2．对于任意数列{a n }，等式a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立吗？若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，你能求出它的通项a n 吗？提示：等式a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋＝1＋2(n －1)＝2n －1.3．若数列{a n }中的各项均不为0，等式a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n 成立吗？若数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1a n＝2，则它的通项a n 是什么？提示：等式a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n 成立． 按照a n ＋1a n ＝2可得a 2a 1＝2，a 3a 2＝2，a 4a 3＝2，…，a na n －1＝2(n ≥2)，将这些式子两边分别相乘可得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a na n －1＝2·2·…·2. 则a na 1＝2n －1，所以a n ＝3·2n －1(n ∈N *)．(1)已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1nn ＋，n ∈N *，求通项公式a n ；(2)设数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)，求通项公式a n .【导学号：91432127】思路探究：(1)先将a n ＋1＝a n ＋1nn ＋变形为a n ＋1－a n ＝1n －1n ＋1，照此递推关系写出前n项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别相加即可求解．(2)先将a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)变形为a n a n －1＝n －1n，按此递推关系，写出所有前后两项满足的关系，两边分别相乘即可求解．[解] (1)∵a n ＋1－a n ＝1nn ＋，∴a 2－a 1＝11×2；a 3－a 2＝12×3； a 4－a 3＝13×4； …a n －a n －1＝1n －n.以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1n －n＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1－1n .∴a n ＋1＝1－1n，∴a n ＝－1n(n ≥2)．又∵n ＝1时，a 1＝－1，符合上式， ∴a n ＝－1n(n ∈N *)．(2)∵a 1＝1，a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)，∴a n a n －1＝n －1n， a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×a n －2a n －3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1＝n －1n ×n －2n －1×n －3n －2×…×23×12×1＝1n.又∵n ＝1时，a 1＝1，符合上式，∴a n ＝1n(n ∈N *)．母题探究：1.(变条件)将例题(2)中的条件“a 1＝1，a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)”变为“a 1＝2，a n＋1＝3a n (n ∈N *)”写出数列的前5项，猜想a n 并加以证明．[解] 由a 1＝2，a n ＋1＝3a n ，得：a 2＝3a 1＝3×2，a 3＝3a 2＝3×3×2＝32×2， a 4＝3a 3＝3×32×2＝33×2， a 5＝3a 4＝3×33×2＝34×2，…，猜想：a n ＝2×3n －1，证明如下：由a n ＋1＝3a n 得a n ＋1a n＝3. 因此可得a 2a 1＝3，a 3a 2＝3，a 4a 3＝3，…，a na n －1＝3. 将上面的n －1个式子相乘可得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝3n －1. 即a na 1＝3n －1，所以a n ＝a 1·3n －1，又a 1＝2，故a n ＝2·3n －1.2．将例题(1)中的条件“a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1nn ＋，n ∈N *”变为“a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n (n ≥2)”求数列{a n }的通项公式．[解] ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1 ＝2＋＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1.n或n (1)累加法：当f n 时，常用a n －1＋a n －2＋…＋a 2－a 1＋求通项公式a n n 时，常用·a n －1a ·…·a 2a ·a 1求通项公式.[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项； ②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝n n ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4A [只有③正确．①中，如已知a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，a 1＝1，无法写出除首项外的其他项．②中a n ＝n ＋1n ＋2，④中－1和1排列的顺序不同，即二者不是同一数列．]2．数列2,4,6,8,10，…的递推公式是( )【导学号：91432128】A ．a n ＝a n －1＋2(n ≥2)B ．a n ＝2a n －1(n ≥2)C ．a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D ．a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)C [A ，B 中没有说明某一项，无法递推，D 中a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，不合题意．] 3．数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝1x n ＋1－1，则x 2 018等于( ) A ．－1 B ．－12C.12D ．1B [∵x 1＝1，∴x 2＝－12，∴x 3＝1，∴数列{x n }的周期为2，∴x 2 018＝x 2＝－12.]4．数列{a n }中，a n ＝n － 2 011n － 2 012，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( )【导学号：91432129】A ．a 1，a 50B ．a 1，a 44C ．a 45，a 44D ．a 45，a 50C [a n ＝n － 2 011n － 2 012＝1＋ 2 012－ 2 011n － 2 012.∴当n ∈[1,44]且n ∈N *时，{a n }单调递减，当n ∈[45，＋∞)且n ∈N *时，{a n }单调递减，结合函数f (x )＝2 012－ 2 011x － 2 012的图象(图略)，可知(a n )max ＝a 45，(a n )min ＝a 44.]5．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，求a n .[解] (1)由题意得a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n， ∴a n －a n －1＝lnnn －1(n ≥2)，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2，……，a 2－a 1＝ln 21.∴当n ≥2时，a n －a 1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·21＝ln n ，∴a n＝2＋ln n (n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2＋ln 1＝2，符合上式，∴a n ＝2＋ln n (n ∈N *)．。