【精准解析】辽宁省辽阳市2020届高三上学期期末考试数学(文)试题
2019-2020学年辽宁省辽阳市高级中学高三数学文期末试卷含解析
2019-2020学年辽宁省辽阳市高级中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且，则的取值集合是( )．A． B． C． D．参考答案：C2. 已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：A3. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（）A． B． C． D．参考答案：D考点：由图象确定函数解析式.4. 方程的两个根为，则A． B．C． D．参考答案：D略5. 若实数x，y满足约束条件，则的最大值为（）A. 3B. 6C. 10D. 12参考答案：C【分析】由约束条件得到可行域，可知当在轴截距最小时，最大；通过图象平移可知当过时，最大，代入求得最大值.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：则当在轴截距最小时，最大由平移可知，当过时，最大由得：本题正确选项：C6. 已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{b n}的连续三项，则的值为A． B．4 C．2 D．参考答案：A7. 已知正实数a，b满足：，则A.a<b<1B.1<b<aC.b<1<aD.1<a<b参考答案：B8. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A． B．1C．2D．4参考答案：B试题分析：从三视图所提供的图形信息和数据信息可知该几何体的三棱锥,且底面三角形的面积为,高为,故该三棱锥的体积,故应选B.考点：三视图的识读和理解.9. 已知则（）A．B． C． D．参考答案：C10. 若（1+2x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a0+a1+a2+…+a7的值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．253 D．126参考答案：C【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理可知，对已知关系式中的x赋值1即可求得a1+a2+…+a8的值．【解答】解：∵（1+2x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，∴a8=2?C77?（﹣2）7=﹣256．令x=1得：（1+2）（1﹣2）7=a0+a1+a2+…+a7+a8=﹣3，∴a1+a2+…+a7=﹣3﹣a8=﹣3+256=253．故选：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知圆C过点，且圆心在x轴的负半轴上，直线l：被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为 .参考答案：12. 如图，一边长为30cm的正方形铁皮，先将阴影部分裁下，然后用余下的四个全等等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，要使这个容器的容积最大，则等腰三角形的底边长为______（cm）．参考答案：【分析】设所截等腰三角形的底边边长为xcm，根据所给的数据写出四棱锥的高，即可写出四棱锥的体积，然后利用基本不等式求最值．【详解】设所截等腰三角形的底边边长为x cm，（0＜x＜30）．在Rt△EOF中，EF=15cm，OF= xcm，∴．于是（cm3）．当且仅当x2=1800-2x2，即x=cm时取“=”．故答案为：．【点睛】本题主要考查棱柱体积最值的求法，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．13. （5分）（2015?嘉峪关校级三模）已知函数f（x）=xsinx+cosx，给出如命题：①f（x）是偶函数；②f（x）在上单调递减，在上单调递增；③函数f（x）在上有3个零点；④当x≥0时，f（x）≤x2+1恒成立；其中正确的命题序号是．参考答案：①④【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：简易逻辑．【分析】：①利用偶函数的定义判断；②利用导数求解，导数大于0求增区间，导数小于0求减区间；③研究极值、端点处的函数值的符号；④转化为f（x）﹣（x2+1）≤0恒成立，因此只需求左边函数的最大值小于0即可．解：对于①，显然定义域为R，f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）+cos（﹣x）=xsinx+cosx=f （x）．所以函数为偶函数，所以①为真命题；对于②，f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，当x∈时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，故②为假命题；对于③，令f（x）=0，所以，做出y=及y=﹣tanx在上的图象可知，它们在上只有两个交点，所以原函数在有两个零点，故③为假命题；对于④，要使当x≥0时，f（x）≤x2+1恒成立，只需当x≥0时，f（x）﹣x2﹣1≤0恒成立，即y=xsinx+cosx﹣x2﹣1≤0恒成立，而y′=xcosx﹣2x=（cosx﹣2）x显然小于等于0恒成立，所以该函数在上的最大值．【题文】（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若，且，求a和c的值．【答案】【解析】【考点】：正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．【专题】：计算题；转化思想．【分析】：（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB﹣2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a2+b2=12，再根据完全平方式易得a=c=．解：（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，因此．（6分）（II）解：由，可得accosB=2，，由b2=a2+c2﹣2accosB，可得a2+c2=12，所以（a﹣c）2=0，即a=c，所以．（13分）【点评】：本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．14. 双曲线的渐近线方程为_________.参考答案：略15. △ABC中，B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为___________.参考答案：根据余弦定理可得,即，所以，解得，所以△ABC的面积.16. 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、N分别在线段AB1、BC1上运动（不包括线段端点），且AM= BN.以下结论：①；②若点M、N分别为线段AB1、BC1的中点，则由线MN与AB1确定的平面在正方体ABCD-A1B1C1D1上的截面为等边三角形；③四面体MBCN的体积的最大值为；④直线D1M与直线A1N的夹角为定值.其中正确的结论为______.（填序号）参考答案：①②③【分析】①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，可得四边形MNEF是矩形，可得MN∥FE，利用AA1⊥面AC，可得结论成立；②截面为△AB1C，为等边三角形，故正确．③设，则＝d M﹣BCN=，故③成立；④设，当接近于0时，直线与直线的夹角接近于，当接近于1时，夹角接近于，故④不正确；【详解】①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，∵AM＝BN，∴NE＝MF，∴四边形MNEF是矩形，∴MN∥FE，∵AA1⊥面AC，EF?面AC，∴AA1⊥EF，∴AA1⊥MN，故①正确；②点M、N分别为线段AB1、BC1的中点，则由线MN与AB1确定的平面在正方体ABCD﹣A1B1C1D1 上的截面为△AB1C，为等边三角形，故②正确．③设，则＝d M﹣BCN，又AM=BN=,∴=，d M﹣BCN =，∴＝d M﹣=，当且仅当时取得最大值，故③成立；BCN④设，当接近于0时，直线与直线的夹角近似于直线和直线的夹角，接近于，当接近于1时，直线与直线的夹角近似于直线和直线的夹角，接近于，故④不正确；综上可知，正确的结论为①②③故答案为：①②③【点睛】本题考查线面平行、垂直，考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17. 已知，，若，或，则m的取值范围是_________。
辽宁省2020届高三数学上学期期末考试试题文
高三数学上学期期末考试试题 文时间：120分钟 分值：150分一、选择题（每题一个选项，每题5分共60分）1．复数z 满足()1i i z +=，则在复平面内复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知{}lg 0A x x =>，{}12B x x =-<，则A B =（ ）A ．{}11x x x <-≥或B ．{}1x x >-C ．{}3x x >D ．{}13x x <<3．一个体积可忽略不计的小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，则它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为（ ） A ．π4B ．2πC ．π12- D ． 14π-4．设0534a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．，0443b ⎛⎫= ⎪⎝⎭．，()334log log 4c =，则（ ）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a b c <<5．若x ，y 满足1010330x y x y x y +-≥--≤-+≥⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．1-B ．2-C ．2D ．16．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ） A ．35 B ．36 C ．45 D ．547．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“2cos a b C =”是“ABC △是等腰三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设向量(),4x =-a ，()1,x =-b ，向量a 与b 的夹角为锐角，则x 的范围为（ ） A ．()2,2-B ．()0,+∞C ．[]2,2-D ．()()0,22,+∞9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）A ．90B ．72C ．68D ．6010．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．12s >B ．35s >C ．45s >D ．710s >11．过双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左焦点F 作圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT交双曲线右支于点P ．若线段PF 的中点为M ，O 为坐标原点，则OM MT -与b a -的大小关系是（ ） A ．OM MT b a -=- B ．OM MT b a -<- C ．OM MT b a ->-D ．无法确定12．设函数()244,143,1x x f x x x x -≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，()2log g x x =，则函数()()()h x f x g x =-的零点个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(每小题５分，每题５分共２０分) 13．若ABC △的内A ，B 满足()sin 2cos sin BA B A=+，则tan B 的最大值为 ．14．已知椭圆()2211221110x y a b a b +=>>与双曲线()2222222210,0x y a b a b -=>>有公共的左、右焦点1F ，2F ，它们在第一象限交于点P ，其离心率分别为1e ，2e ，以1F ，2F 为直径的圆恰好过点P ，则221211e e +=________． 15．若241x y +=，则2x y +的取值范围为_____．16．已知函数()32f x x ax =-在()1,1-上没有最小值，则a 的取值范围是__________． 三．解答题：(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17．（12分）已知正项等比数列{}n a 满足126a a +=，324a a -=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记2211log log n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷．为了解共享单车在A 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关？（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人．从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率． 参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：19．（12分）如图1所示，平面多边形CDEF 中，四边形ABCD 为正方形， EF AB ∥，22AB EF ==，沿着AB 将图形折成图2，其中90AED ∠=︒，AE ED =，H 为AD 的中点．（1）求证：EH BD ⊥；（2）求四棱锥D ABFE -的体积．20. （12分）已知抛物线2:2C y px =过点()1,1A ． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点（均与点A 不重合）．设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：1k ，2k 为定值．21. 已知函数()()ln 1f x x a x =+-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围．选做题：共10分。
2020年辽阳市高三数学上期末模拟试题附答案
2020年辽阳市高三数学上期末模拟试题附答案一、选择题1．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A ．94-B ．94C ．274D ．274-2．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36=2S =18S ，，则105S S 等于( ) A ．－3B ．5C ．33D ．－313．已知点(),P x y 是平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M ,若M ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是（ ）A ．11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,,35⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭4．在ABC V 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22C a ba+=，则ABC V 的形状一定是( ) A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5．已知数列{}n a的首项110,1n n a a a +==+，则20a =（ ） A ．99B ．101C ．399D ．4016．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，，„„…则2z x y =-的最大值为（ ）.A ．10B ．8C ．3D ．27．已知集合2A {t |t 40}=-≤，对于满足集合A 的所有实数t ，使不等式2x tx t 2x 1+->-恒成立的x 的取值范围为( )A ．()(),13,∞∞-⋃+B ．()(),13,∞∞--⋃+C ．(),1∞--D ．()3,∞+8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21n n S a n N =-∈，则5a 等于（ ）A ．16-B ．16C ．31D ．329．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（ ） A ．32B ．5C ．5D ．9210．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，数列{}n b 满足1sin2n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为nT，则2017T =（ ） A ．2016B ．2017C ．2018D ．201911．ABC ∆中有：①若A B >，则sin sin A>B ；②若22sin A sin B =，则ABC ∆—定为等腰三角形；③若cos acosB b A c -=，则ABC ∆—定为直角三角形.以上结论中正确的个数有（ ） A ．0B ．1C ．2D ．312．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *++∈＜.若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值为8S B ．n S 的最小值为8S C ．n S 的最大值为7S D ．n S 的最小值为7S二、填空题13．已知实数，且，则的最小值为____14．数列{}n a 满足11,a =前n 项和为n S ，且*2(2,)n n S a n n N =≥∈，则{}n a 的通项公式n a =____；15．已知0a >，0b >，当()214a b ab++取得最小值时，b =__________． 16．已知函数1()f x x x=-，数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且61a =，1239101()()()()()f a f a f a f a f a a +++⋅⋅⋅++=-，则1a =_______.17．已知数列{}n a 的前n 项和n s =23n -2n+1,则通项公式.n a =_________18．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三角形的面积2223)S a b c =+-，则角C =__________． 19．设122012(1)(1)(1)n nn x x x a a x a x a x ++++++=++++L L ，其中n *∈N ，且2n ≥，若0121022n a a a a ++++=L ，则n =_____20．设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________．三、解答题21．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值. 22．已知数列中，，. （1）求证：是等比数列，并求的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和.23．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a 的正三角形ABC 绕其中心O 逆时针旋转θ到三角形A 1B 1C 1，且20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.顺次连结A ，A 1，B ，B 1，C ，C 1，A ，得到六边形徽标AA 1BB 1CC 1 .(1)当θ＝6π时，求六边形徽标的面积； (2)求六边形徽标的周长的最大值.24．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-．（1）求角B ；（2）点D 在线段BC 上，满足DA DC =，且11a =，5cos()A C -=DC 的长．25．在等比数列{}n a 中，125a a +=，且2320a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}3n n a a +的前n 项和n S . 26．已知0a >，0b >，且1a b +=. （1）若ab m ≤恒成立，求m 的取值范围；（2）)若41212x x a b+≥--+恒成立，求x 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】设等比数列的公比为q （q ＞1），1+（a 2-a 4）+λ（a 3-a 5）=0，可得λ=24531a a a a +--则a 8+λa 9=a 8+666929498385888222535353111a a a a a a a a a q q q a a a a a a a q a a q q --+=++=+-=------令21t q =-，（t ＞0），q 2=t+1，则设f （t ）=()()()()()()3232622213112111t t t t t t q f t q t t t ++-+-+=='=∴-当t ＞12时，f （t ）递增； 当0＜t ＜12时，f （t ）递减． 可得t=12处，此时q=2f （t ）取得最小值，且为274，则a 8+λa 9的最小值为274； 故选C.2．C解析：C 【解析】 【分析】由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出105S S . 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q （公比显然不为1），则()()61636333111119111a q S q q q S qa q q---===+=---，得2q =，因此，()()101105510555111111233111a q S q q q S q a qq---===+=+=---，故选C. 【点睛】本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：（1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算；（2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．3．C解析：C 【解析】试题分析：直线()4x m y =-恒过定点(0,4)，当0m >时，约束条件()4{04y x y x m y ≤-≤≥-对应的可行域如图，则()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M =，满足M ≤，当0m =时，直线()4x m y =-与y 轴重合，平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-为图中y 轴右侧的阴影区域，则()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M =，满足M ≤，当0m <时，由约束条件()4{04y x y x m y ≤-≤≥-表示的可行域如图，点P 与点B 重合时，()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M OB =u u u r ，联立{(4)y x x m y ==-，解得44(,)11m mB m m --，所以OB =u u u r，由≤1135m -≤≤，所以103m -≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选C.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.4．A解析：A 【解析】 【分析】利用平方化倍角公式和边化角公式化简2cos22C a b a+=得到sin cos sin A C B =，结合三角形内角和定理化简得到cos sin 0A C =，即可确定ABC V 的形状． 【详解】22cos 2a b aC +=Q 1cos sin sin 22sin C A BA ++\=化简得sin cos sin A C B = ()B A C p =-+Qsin cos sin()A C A C \=+即cos sin 0A C =sin 0C ≠Qcos 0A ∴=即0A = 90ABC ∴V 是直角三角形 故选A 【点睛】本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简2cos22C a b a+=时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略．5．C解析：C 【解析】 【分析】【详解】由1211n n n a a a +=+++，可得()211111111n n n n a a a a +++=+++-+=，，{}+1n a 是以1为公差，以1为首项的等差数列.∴21,1n n a n a n +==-，即220201399a =-=.故选C.6．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图：化目标函数为2y x z =-， 联立70310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得5,2A（）. 由图象可知，当直线过点A 时，直线在y 轴上截距最小，z 有最大值25-28⨯=. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.7．B解析：B 【解析】 【分析】由条件求出t 的范围，不等式221x tx t x +->-变形为2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式()()110x t x +-->恒成立，再由不等式的左边两个因式同为正或同为负处理． 【详解】由240t -≤得，22t -≤≤，113t ∴-≤-≤不等式221x tx t x +->-恒成立，即不等式2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式()()110x t x +-->恒成立，∴只需{1010x t x +->->或{1010x t x +-<-<恒成立， ∴只需{11x tx >->或{11x tx <-<恒成立，113t -≤-≤Q只需3x >或1x <-即可． 故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法问题，难度较大，充分利用恒成立的思想解题是关键．8．B解析：B 【解析】 【分析】令1n =，由11a S =可求出1a 的值，再令2n ≥，由21n n S a =-得出1121n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，解得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=.所以，数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，则451216a =⨯=，故选：B. 【点睛】本题考查利用n S 来求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，同时也要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.9．C解析：C 【解析】由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选C.10．A解析：A 【解析】 【分析】由2n S n n =-得到22n a n =-，即n b =2(1)cos2n n π-，利用分组求和法即可得到结果. 【详解】由数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，当1n =时，11110a S ==-=；当2n …时，1n n n a S S -=-22(1)(1)22n n n n n ⎡⎤=-----=-⎣⎦，上式对1n =时也成立， ∴22n a n =-， ∴cos2n n n b a π==2(1)cos 2n n π-， ∵函数cos 2n y π=的周期242T ππ==，∴()2017152013T b b b =++++L (26b b +)2014b ++L ()()3720154820162017b b b b b b b +++++++++L L02(152013)0=-+++++L 2(3+72015)045042016+++=⨯=L ，故选：A.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．11．C解析：C 【解析】 【分析】①根据正弦定理可得到结果；②根据A B =或,2A B π+=可得到结论不正确；③可由余弦定理推得222a b c =+，三角形为直角三角形. 【详解】①根据大角对大边得到a>b,再由正弦定理sin sin a b A B =知sinA sinB >，①正确；②22sin A sin B =，则A B =或,2A B π+=ABC ∆是直角三角形或等腰三角形；所以②错误；③由已知及余弦定理可得22222222a c b b c a a b c ac bc+-+--=，化简得222a b c =+，所以③正确. 故选C. 【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据,解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.12．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件推导出（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ，从而得到d ＞0，所以a 7＜0，a 8＞0，由此求出数列{S n }中最小值是S 7． 【详解】∵（n +1）S n ＜nS n +1， ∴S n ＜nS n +1﹣nS n ＝na n +1 即na 1()12n n d-+＜na 1+n 2d ，整理得（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ∵n 2﹣n ﹣2n 2＝﹣n 2﹣n ＜0 ∴d ＞0∵87a a ＜1＜0 ∴a 7＜0，a 8＞0 数列的前7项为负， 故数列{S n }中最小值是S 7 故选C ． 【点睛】本题考查等差数列中前n 项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．二、填空题13．3+54【解析】【分析】由a+b ＝2得出b ＝2﹣a 代入代数式中化简后换元t ＝2a ﹣1得2a ＝t+1得出1＜t ＜3再代入代数式化简后得出2t6t-(t2+5)然后在分式分子分母中同时除以t 利用基本不等 解析：【解析】 【分析】由a+b ＝2得出b ＝2﹣a ，代入代数式中，化简后换元t ＝2a ﹣1，得2a ＝t +1，得出1＜t ＜3，再代入代数式化简后得出，然后在分式分子分母中同时除以t ，利用基本不等式即可求出该代数式的最小值． 【详解】解：由于a +b ＝2，且a ＞b ＞0，则0＜b ＜1＜a ＜2， 所以，，令t ＝2a ﹣1∈（1，3），则2a ＝t +1， 所以，． 当且仅当，即当时，等号成立．因此，的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解本题的关键就是对代数式进行化简变形，考查计算能力，属于中等题．14．【解析】【分析】根据递推关系式可得两式相减得：即可知从第二项起数列是等比数列即可写出通项公式【详解】因为所以两式相减得：即所以从第二项起是等比数列又所以故又所以【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式解析：21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩【解析】 【分析】根据递推关系式()*22,n n S a n n N=≥∈可得()*1123,n n Sa n n N --=≥∈，两式相减得：122(3,)n n n a a a n n N *-=-≥∈，即12(3,)nn a n n N a *-=≥∈，可知从第二项起数列是等比数列，即可写出通项公式. 【详解】因为()*22,n n S a n n N=≥∈所以()*1123,n n S a n n N--=≥∈两式相减得：122(3,)n n n a a a n n N *-=-≥∈即12(3,)nn a n n N a *-=≥∈ 所以{}n a 从第二项起是等比数列， 又22221+S a a ==，所以21a =故22(2,n n a n -=≥ *)n N ∈，又11a =所以21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩. 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列，数列的通项公式，属于中档题.15．【解析】【分析】根据均值不等式知即再由即可求解注意等号成立的条件【详解】（当且仅当等号成立）（当且仅当等号成立）（当且仅当等号成立）故答案为【点睛】本题主要考查了均值不等式不等式等号成立的条件属于中解析：14【解析】 【分析】根据均值不等式知，4a b +≥=()2416a b ab +≥，再由41684ab a b +≥=⋅即可求解，注意等号成立的条件. 【详解】4a b +≥=Q （当且仅当4a b =等号成立），()2416a b ab ∴+≥（当且仅当4a b =等号成立）， ()2444a b a b ∴++≥⋅8=（当且仅当4a b =等号成立）， ()224281a a a∴+=⇒=. 故答案为14b =. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，不等式等号成立的条件，属于中档题.16．【解析】【分析】由于是等比数列所以也是等比数列根据题目所给条件列方程解方程求得的值【详解】设数列的公比为则是首项为公比为的等比数列由得即①由得②联立①②解得【点睛】本小题主要考查等比数列的性质考查等解析：2【解析】 【分析】由于{}n a 是等比数列，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等比数列.根据题目所给条件列方程，解方程求得1a 的值. 【详解】设数列{}n a 的公比为0q >，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，由()()()()()1239101f a f a f a f a f a a +++⋅⋅⋅++=-得121011210111a a a a a a a ⎛⎫+++-+++=- ⎪⎝⎭L L ，即()10101111111111a q a q a q q⎛⎫-⎪-⎝⎭-=---①，由61a =，得511a q =②，联立①②解得12a =. 【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列的前n 项和公式，考查运算求解能力，属于中档题.17．【解析】试题分析：n=1时a1=S1=2；当时-2n+1－-2（n-1）+1=6n-5a1=2不满足所以数列的通项公式为考点：1数列的前n 项和；2数列的通项公式解析：na =2,1{65,2n n n =-≥ 【解析】试题分析：n=1时，a 1=S 1=2；当2n ≥时，1n n n a S S -=-=23n -2n+1－[23(1)n --2（n-1）+1]=6n-5, a 1=2不满足61n a n =-，所以数列{}n a 的通项公式为n a =2,1{65,2n n n =-≥.考点：1.数列的前n 项和；2.数列的通项公式.18．【解析】分析：利用面积公式和余弦定理结合可得详解：由余弦定理：可得：∴∵∴故答案为：点睛：在解三角形时有许多公式到底选用哪个公式要根据已知条件根据待求式子灵活选用象本题出现因此联想余弦定理由于要求角解析：π3. 【解析】分析：利用面积公式in 12s S ab C =和余弦定理结合可得．详解：由)2221sin 2S a b c ab C =+-=． 余弦定理：2222cos a b c ab C +-=，12cos sin 2ab C ab C =，∴tan C = ∵0πC <<， ∴π3C =． 故答案为：π3． 点睛：在解三角形时，有许多公式，到底选用哪个公式，要根据已知条件，根据待求式子灵活选用，象本题出现222a b c +-，因此联想余弦定理2222cos a b c ab C +-=，由于要求C 角，因此面积公式自然而然 选用in 12s S ab C =．许多问题可能比本题要更复杂，目标更隐蔽，需要我们不断探索，不断弃取才能得出正确结论，而这也要求我们首先要熟记公式．19．9【解析】【分析】记函数利用等比数列求和公式即可求解【详解】由题：记函数即故答案为：9【点睛】此题考查多项式系数之和问题常用赋值法整体代入求解体现出转化与化归思想解析：9 【解析】 【分析】记函数122012()(1)(1)(1)n nn f x x x x a a x a x a x =++++++=++++L L ，012222(1)2n n f a a a a =+++=++++L L ，利用等比数列求和公式即可求解.【详解】由题：记函数212012()(1)(1)(1)n nn f x a a x a x a x x x x =++++=++++++L L ，021222(12)(21)212n nn f a a a a -=++++++=-=+L L ， 即1221022n +-=，121024,9n n +==故答案为：9 【点睛】此题考查多项式系数之和问题，常用赋值法整体代入求解，体现出转化与化归思想.20．-8【解析】设等比数列的公比为很明显结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：由可得：代入①可得由等比数列的通项公式可得【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题解决这类问题的关键在于解析：-8 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，很明显1q ≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：()()12121311113a a a q a a a q ⎧+=+=-⎪⎨-=-=-⎪⎩，①，②，由②①可得：2q =-，代入①可得11a =， 由等比数列的通项公式可得3418a a q ==-.【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.三、解答题21．（1）3π；（2）3.【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化思想得出sin cos 6B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式可得出tan B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的大小；（2）由中线向量得出2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出ac 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出ABC ∆面积的最大值. 【详解】（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由()0,A π∈知sin 0A >， 则31sin cos cos sin 622B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，化简得sin 3cos B B =，tan 3B ∴=. 又()0,B π∈，因此，3B π=；（2）如下图，由13sin 24ABC S ac B ac ∆==，又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u r u u r ，所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥u u u r u u u r，则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ∆的面积最大值为3433⨯=. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题，对于三角形的中线计算，可以利用中线向量进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 22．(1)答案见解析；(2) .【解析】试题分析：⑴根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可证明是等比数列，并求的通项公式，⑵利用错位相减法即可求得答案；解析：（1）∵ ∴ ∴，∵，，∴是以为首项，以4为公比的等比数列∴，∴， ∴，（2），∴① ②①-②得∴.23．(1)234a ；(2) 23a 【解析】 【分析】（1）连接OB ,则123AOB πθ∠=-,由等边三角形ABC 的边长为a ,可得OA OB ==,再利用三角形面积公式求解即可； （2）根据三角形的对称性可得12sin sin 232AA OA a θθ==,112sin sin 3232222A B OB πθθθ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则周长为关于θ的函数,进而求得最值即可 【详解】（1）Q 等边三角形ABC 的边长为a ,3OA OB a ∴==, 连接OB ,123AOB πθ∴∠=-,22123sin sin sin 2326S OA ππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=⨯+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, ∴当6πθ=时,六边形徽标的面积为234S a =（2）在1AOA V 中,12sinsin 232AA OA a θθ==,在1BOA V 中,112sin cos sin 3232222A B OB a πθθθ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设周长为()f q ,则()()113sin 23f AA A B θπθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,20,3θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,当且仅当232θππ+=,即3πθ=时,()max fθ=【点睛】本题考查三角形面积的应用,考查正弦型函数的最值问题,考查三角函数在几何中的应用,考查数形结合思想24．（Ⅰ）6B π=;（Ⅱ）5AD =．【解析】【试题分析】（1）运用正弦定理将已知中的222sin sin sin sin A C B A C +-=等式转化为边的关系，再借助运用余弦定理求解；（2）借助题设条件DA DC =，且11a =，()cos A C -=，再运用正弦定理建立方程求解：（Ⅰ）由正弦定理和已知条件，222a c b +-=所以cos 2B =． 因为()0,B π∈，所以6B π=．（Ⅱ）由条件．由()()cos sin 55A C A C -=⇒-=．设AD x =，则CD x =，11BD x =-，在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ADBAD B=∠．故5125xx =⇒=．所以5AD DC ==． 25．（1）14n n a -=；（2）n S 4121n n =-+-.【解析】 【分析】（1）由数列{}n a 是等比数列，及125a a +=，且2320a a +=，两式相除得到公比q ，再代入125a a +=可求1a ，则通项公式可求.（2）利用分组求和求出数列{3n a 的前n 项和n S . 【详解】解：（1）因为等比数列{}n a 中，125a a +=，且2320a a +=. 所以公比23124a a q a a +==+， 所以12155a a a +==， 即11a =， 故14n n a -=.（2）因为14n n a -=所以113342n n n a --=⋅+，所以141231412n nn S --=⨯+--4121n n =-+- 422n n =+-. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式的计算与等比数列前n 项和公式的应用，属于基础题. 26．（1）14m ≥（2）[]6,12- 【解析】【分析】（1）由已知根据基本不等式得2124a b ab +⎛⎫≤=⎪⎝⎭，再由不等式的恒成立的思想：ab m ≤恒成立，则需()max m ab ≥得所求范围；（2）根据基本不等式得()41419a b a b a b ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭，再根据不等式恒成立的思想得到绝对值不等式2129x x --+≤，运用分类讨论法可求出不等式的解集. 【详解】（1）0a >，0b >，且1a b +=，∴2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时“=”成立，由ab m ≤恒成立，故14m ≥. （2）∵(),0,a b ∈+∞，1a b +=，∴()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，故若41212x x a b+≥--+恒成立，则2129x x --+≤， 当2x -≤时，不等式化为1229x x -++≤，解得62x -≤≤-，当122x -<<，不等式化为1229x x ---≤，解得122x -<<， 当12x ≥时，不等式化为2129x x ---≤，解得1122x ≤≤. 综上所述，x 的取值范围为[]6,12-. 【点睛】本题综合考查运用基本不等式求得最值，利用不等式的恒成立的思想建立相应的不等关系，分类讨论求解绝对值不等式，属于中档题.。
2020届辽宁省辽阳市高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2020届辽宁省辽阳市高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题。
1．复数5iz i=+上的虚部为（ ） A ．526B ．526i C ．526-D ．526i -【答案】A【解析】化简得到152626z i =+计算虚部得到答案. 【详解】()515262626i i z i -==+，所以5i z i =+的虚部为526. 故选：A 【点睛】本题考查了复数虚部的计算，属于简单题.2．设集合{}2|9A x x =>，()(){}|2140B x x x =+-<，则()R A B =U ð（ ）A ．{}|34x x -<<B ．1|32x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭C ．{}|34x x -<„D ．1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】先计算得到{}|33A x x =-≤≤R ð，1|42B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，再计算()R A B ðU 得到答案. 【详解】{}|33A x x =-≤≤R ð，1|42B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，所以(){}|34A B x x =-≤<R U ð.故选：C 【点睛】本题考查了集合的运算，属于简单题.3．若双曲线22214x y a -=()0a >的实轴长为则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ． 2y x =±D ．y =【答案】D【解析】根据实轴长得到a =.【详解】∵2a =，∴a =∴双曲线的渐近线方程为b y x x a =±==. 故选：D 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题型.4．已知α，β是两个不同的平面，m ，l ，是两条不同的直线，且αβ⊥，m α⊂，l αβ=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据面面垂直的性质分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】若m l ⊥，则根据面面垂直的性质定理可得m β⊥；若m β⊥，则由l β⊂，可得m l ⊥. 故选：C 【点睛】本题考查了充要条件，理解把握面面垂直的性质是解题的关键.5．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A ．这组新数据的平均数为m B ．这组新数据的平均数为a m +C ．这组新数据的方差为anD ．这组新数据的标准差为 【答案】D【解析】计算得到新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为，结合选项得到答案. 【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为. 故选：D 【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.6．将曲线sin 2y x =向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到曲线5cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则tan ϕ=（ ）A B ．C D ．【答案】B【解析】变换得到sin 2cos 22x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据平移得到()23k k πϕπ=+∈N ，计算得到答案. 【详解】sin 2cos 22x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以52cos 2cos 2632x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()23k k πϕπ=+∈N ，则tan ϕ=故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的平移，变换sin 2cos 22x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是解题的关键. 7．已知函数()22log ,02,69,2,x x f x x x x ⎧<<=⎨-+⎩…若()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则()1234x x x x ⋅⋅+的值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】画出函数图像，根据对称性得到346x x +=，再计算121x x ⋅=得到答案. 【详解】如图所示：根据对称性得到3432x x +=，则346x x +=. 2122log log x x -=，所以()212log 0x x ⋅=，即121x x ⋅=，故()12346x x x x ⋅⋅+=.【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像观察性质是解题的关键.8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且54S =，1010S =，则15S =（ ） A ．16 B ．19C ．20D ．25【答案】B【解析】利用5S ，105S S -，1510S S -成等比数列求解 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，因为54S =，1010S =，所以1056S S -=，15109S S -=，故1510919S =+=.故选：B 【点睛】本题考查等比数列前n 项性质，熟记性质是关键，是基础题 9．()()52122x x --的展开式中8x的项的系数为（ ）A ．120B ．80C ．60D ．40【答案】A【解析】化简得到()()()()555212222222xx x x x =⋅-----，再利用二项式定理展开得到答案. 【详解】()()()()555212222222x x x x x =⋅-----展开式中8x 的项为()()232332552C 22C 221208x x x x ---=⨯.故选：A本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.10．已知函数()14216x x f x +-+=，()()20g x ax a =->.若[]120,log 3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，()()12f x g x =，则a 的取值范围是（ ）A ．21,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】先计算()f x 的值域为20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，再计算()g x 在[]1,2上的值域为[]2,22a a --，根据题意得到[]20,2,223a a ⎡⎤⊆--⎢⎥⎣⎦，计算得到答案.【详解】()()2216x f x -=，0212x≤-≤，所以()f x 的值域为20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.因为0a >，所以()g x 在[]1,2上的值域为[]2,22a a --依题意得[]20,2,223a a ⎡⎤⊆--⎢⎥⎣⎦，则202223a a -≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩解得423a ≤≤.故选：C 【点睛】本题考查了根据函数值域求参数范围，意在考查学生对于函数知识的综合应用能力.11．已知椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，I 为12PF F ∆的内心，且1221IPF IF F IPF S S S λ∆∆∆=-，若椭圆的离心率为e ，则λ=（ ） A ．1eB ．2eC ．eD ．2e【答案】A【解析】设12PF F ∆内切圆的半径为r ，根据题意化简得到1212F F PF PF λ=+，代入数据计算得到答案. 【详解】设12PF F ∆内切圆的半径为r 则1112IPF S r PF ∆=⋅，2212IPF S r PF ∆=⋅，121212IF F S r F F ∆=⋅·∵1221IPF IF F IPF S S S λ∆∆∆=-，∴112211222r PF r F F r PF λ⋅=⋅-⋅整理得1212F F PF PF λ=+.∵P 为椭圆上的点，∴22c a λ⋅=，解得1eλ=. 故选：A 【点睛】本题考查了椭圆离心率相关问题，根据面积关系化简得到1212F F PF PF λ=+是解得的关键.12．设()f x 是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的奇函数，其导函数为()f x '，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()cos 0sin x f x f x x '-<，则不等式()sin 3f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．,00,33ππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U B ．,0,332πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,,2332ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D ．,0,233πππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【答案】B 【解析】令()()sin f x h x x =，易得()()sin f x h x x=是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的偶函数，因为()()cos 0sin x f x f x x '-<，可知()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，从而可以根据函数的单调性，确定不等式的解. 【详解】 令()()sin f x h x x=，∵()f x 是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的奇函数，∴()()sin f x h x x=是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的偶函数．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x >，由()()cos 0sin xf x f x x'-<，得()()sin cos 0f x x f x x '⋅-⋅<，∴()()()2sin cos 0sin f x x f x x h x x'⋅-⋅'=<，则()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减． 将()sin 3f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭化为()3sin sin3f f x x ππ⎛⎫⎪⎝⎭<，即()3h x h π⎛⎫< ⎪⎝⎭，则32x ππ<<．又()()sin f x h x x=是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的偶函数．∴()h x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且33h h ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin 0x <，将()sin 33f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭化为()3sin sin3ππ⎛⎫⎪⎝⎭>f f x x ，即()33h x h h ππ⎛⎫⎛⎫>=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则03x π-<<． 综上，所求不等式的解集为,0,332πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：B 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及利用函数的单调性解不等式，构造函数是解决本题的关键.二、填空题 13x =______. 【答案】4【解析】11=+-，再利用均值不等式得到答案. 【详解】1115=+-=…1=，即4x =时，等号成立. 故答案为：4 【点睛】本题考查了利用均值不等式求函数的最值，意在考查学生的计算能力.14．在三棱锥B ACD -中，BA ，BC ，BD 两两垂直，2BC =，4BD =，三棱锥B ACD -的侧面积为13，则该三棱锥外接球的表面积为______.【答案】29π【解析】根据侧面积计算得到3AB =，再计算半径为R =，代入表面积公式得到答案. 【详解】三棱锥B ACD -的侧面积为111242413222AB AB ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以3AB =故该三棱锥外接球的半径为：22R ==，球的表面积为24π29πR =. 故答案为：29π 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.15．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的《九章算术》也有记载.所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，现有ABC ∆满足“勾3股4弦5”，其中4AB =，D 为弦BC 上一点（不含端点），且ABD ∆满足勾股定理，则()CB CA AD -⋅=u u u r u u u r u u u r______. 【答案】14425【解析】根据等面积法得到125AD =，再计算()CB CA AD -⋅u u u r u u u r u u u r 得到答案.【详解】根据等面积法可得341255AD ⨯== 依题意可得AD BC ⊥，所以()214425CB CA AD AB AD AD -⋅=⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故答案为：14425【点睛】本题考查了向量的运算，根据等面积法计算125AD =是解题的关键. 16．在数列{}n a 中，13a =，且()()12(1)22n n n a n a n +-=++- （1）{}n a 的通项公式为________；（2）在1a ，2a ，3a ，L ，2019a 这2019项中，被10除余2的项数为________.【答案】222n a n n =-+ 403【解析】（1）等式两边同除()1n n +构造数列为等差数列即可求出通项公式； （2）利用通项公式及被10除余2 的数的特点即可求解 【详解】（1）因为()()12(1)22n n n a n a n +-=++-，所以122221n n n a a n a n n n+-+--==+ 2+，即12221n n a a n n +---=+，则2n a n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列且首项为1，差为2，所以212(1)n a n n-=+- 21n =-，故222n a n n =-+（2）因为(21)2n n n a =-+，所以当n 能被10整除或n 为偶数且21n -能被5整除时，n a 被10除余2，所以8,10,18,20,,2010,2018n =L ，故被10除余2的项数为201014035+=. 故答案为：222n a n n =-+；403【点睛】本题考查数列的通项，考查构造法，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin bA B=. （1）求A ；（2）若2a =，且()cos 2sin sin cos B C B C C -=-，求ABC ∆的面积.【答案】(1) 6A π=. (2)【解析】（1）根据正弦定理得到tan 3A =，计算得到答案.（2）化简得到()cos cos B C C +=-，即A C =，再计算得到2a c ==，代入面积公式得到答案. 【详解】 （1）∵3cos sin sin a b a A B A ==，∴3tan A =.∵()0,A π∈，∴6A π=. （2）∵()cos 2sin sin cos B C B C C -=-∴cos cos sin sin 2sin sin cos B C B C B C C +=-， ∴()cos cos B C C +=-，即cos cos A C =，即A C =. ∵6A π=，∴23B π=.∵2a =，∴2a c ==. ∴113sin 22322ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力.18．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，AB CD ∥，60BAD ∠=︒，1CD =，2AD =，4AB =，点G 在线段AB 上，3AG GB =，11AA =.（1）证明：1D G ∥平面11BB C C . （2）求二面角11A D G A --的余弦值. 【答案】(1)见解析 (2)531【解析】（1）连接1C B ，证明11GB CD D C P P 得到四边形11GBC D 为平行四边形，故11D G C B P 得到证明.（2）作DH AB ⊥于H ，以D 点为坐标原点，分别以DH ，DC ，1DD 所在直线为x轴，y 轴，z 轴，计算平面11A D G 的法向量为()1,3,33m =u r，平面1AD G 的法向量为()1,0,3n =r，计算夹角得到答案.【详解】（1）证明：连接1C B ，因为底面ABCD 为梯形，AB CD ∥，44AB CD ==，3AG GB =，则11GB CD D C P P ，且111GB D C ==， 所以四边形11GBC D 为平行四边形，则11D G C B P .又1C B ⊂平面11BB C C ，1D G ⊄平面11BB C C ，所以1D G ∥平面11BB C C .（2）作DH AB ⊥于H ，以D 点为坐标原点，分别以DH ，DC ，1DD 所 在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()10,0,1D ，)13,1,1A -，()3,1,0A-，()10,0,1D ，)3,2,0G，所以)113,1,0D A =-u u u u r ，()13,2,1D G =-u u u u r，()0,3,0AG =u u u r.设平面11A D G 的法向量为()111,,m x y z =u r，则1111111130,320,D A m x y D G m x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u u v v u u u u v v 令11x =，得(3,33m =u r . 设平面1AD G 的法向量为()222,,n x y z =r，则2122230,320,AG n y D G n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u v vu u u u v v 令21x =，得(3n =r .所以cos,31m n==u r r因为二面角11A D G A--.【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19．某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.（1）根据以上数据完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p（每次抽奖互不影响，且p的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望.附：参考公式和数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.附表：【答案】(1)见解析，有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.(2)分布列见解析，数学期望75【解析】（1）完善列联表，计算214403.841247K =>得到答案. （2）先计算13p =，分别计算()16527P X ==，()2709P X ==，()4759P X ==，()88027P X ==，得到分布列，计算得到答案. 【详解】（1）22⨯列联表如下：()22901220401814405 3.84130605238247K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关. （2）X 可能取值为65，70，75，80，且10201903p +==. ()3331165327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()22312270339P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()21312475339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()3032880327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为12486570758075279927EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了列联表，分布列，意在考查学生的应用能力和计算能力.20．已知直线l 与抛物线C ：24y x =交于A ，B 两点，()()002,0M y y ≠为弦AB 的中点，过M 作AB 的垂线交x 轴于点P . （1）求点P 的坐标；（2）当弦AB 最长时，求直线l 的方程. 【答案】(1) ()4,0. (2) y =-y =【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),0P P x 代入抛物线相减得到02k y =，再根据1MP k k ⋅=-计算得到答案. （2）直线l 的方程为()22y k x k -=-，联立方程，根据韦达定理得到124y y k+=， 212288k y y k -+=，代入计算得到()2219224f t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭得到答案. 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),0P P x ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，，两式相减得()()()1212124y y y y x x -+=-. 因为00y ≠，所以直线l 的斜率一定存在，设直线l 的斜率为k ， 所以121212042y y k x x y y y -===-+.因为1MP k k ⋅=-，所以00022MP P y y k x -=-=-， 解得4P x =，所以点P 的坐标为()4,0.（2）由（1）知，直线l 的斜率一定存在，且不为0，设直线l 的斜率为k ， 则02k y =，即02y k =，所以直线l 的方程为()22y k x k-=-. 联立()24,22,y x y k x k ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩得2224880k y ky k --+=，则124y y k +=，212288k y y k-+=. 由()222164880k kk ∆=-->，可得212k>，所以12AB y =-=设()2102t t k =<<，令()2219224f t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，可知()max 1924f t f ⎛⎫==⎪⎝⎭，此时2112t k ==，即k =所以当弦AB 最长时，直线l 的方程为y =y =+【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力. 21．已知函数()()()1ln 1f x x x m n =++++⎡⎤⎣⎦，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为21y x =+.（1）求m ，n 的值和()f x 的单调区间；（2）若对任意的[)0,x ∈+∞，()f x kx >恒成立，求整数k 的最大值. 【答案】（1）1m =，0n =，()f x 的单调递增区间为211,e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭，单调递减区间为211,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）3. 【解析】（1）求导得到()()'ln 11f x x m =+++，根据切线方程计算得到1m =，0n =，代入导函数得到函数的单调区间.（2）讨论0x =，0x >两种情况，变换得到()111ln 11x x k x⎛⎫++++ ⎪⎝⎭<，设 ()()111ln 11h x x x x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，求函数的最小值得到答案.【详解】（1）()()'ln 11f x x m =+++，由切线方程，知()01f m n =+=，()'012f m =+=， 解得1m =，0n =.故()()()1ln 11f x x x x =++++，()()()'ln 121f x x x =++>-， 由()'0f x >，得211x e >-；由()'0f x <，得2111x e-<<-. 所以()f x 的单调递增区间为211,e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭，单调递减区间为211,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. （2）①当0x =时，()0100f k =>⨯=恒成立，则k ∈R . ②当0x >时，()f x kx >恒成立等价于()111ln 11x x k x⎛⎫++++ ⎪⎝⎭<对()0,∞+恒成立. 令()()111ln 11h x x x x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，()()2ln 11'h x x x x -+-=，()0,x ∈+∞. 令()()ln 11u x x x =-+-，()0,x ∈+∞， 则()1'1101xx u x x =-=>++对()0,x ∈+∞恒成立，所以()u x 在()0,∞+上单调递增. 又()21ln30u =-<，()32ln 40u =->，所以()02,3x ∃∈，()00u x =. 当()00,x x ∈时，()'0h x <；当()0,x x ∈+∞时，()'0h x >. 所以()()()min 0000111ln 11h x x h x x x ⎛⎫==++++ ⎪⎝⎭，又()()000ln 110u x x x =-+-=，则()()()min 0000111ln 11h x x h x x x ⎛⎫==++++ ⎪⎝⎭()()00001111113,4x x x x ⎛⎫=+-++=+∈ ⎪⎝⎭，故01k x <+，整数k 的最大值为3. 【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为cos sin x m y a n αα=⎧⎨=+⎩（0m >，0n >，α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=. （1）求a ，m ，n 的值；（2）已知点P 的直角坐标为()0,1，l 与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +. 【答案】（1）4a m n ===；（2.【解析】（1）根据极坐标方程得到()22416x y +-=，根据参数方程得到答案. （2）将参数方程代入圆方程得到270t --=，根据韦达定理得到120t t +=>，1270t t =-<，计算12PA PB t t +=-得到答案.【详解】（1）由8sin ρθ=，得28sin ρρθ=，则228x y y +=，即()22416x y +-=.因为0m >，0n >，所以4a m n ===.（2）将212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()22416x y +-=，得270t --=.设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t，则120t t +=>，1270t t =-<. 所以12t t P PB A =-==+【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键. 23．已知函数()3124f x x x =+--. （1）求不等式()3f x >的解集；（2）若对任意x ∈R ，不等式()228f x x t t --≤-恒成立，求t 的取值范围.【答案】（1）()4,10,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ；（2）1t ≤-或9t ≥. 【解析】（1）分别计算1x <-，12x -≤≤，2x >三种情况，综合得到答案. （2）化简得到()23336f x x x x --=+--，利用绝对值三角不等式得到()29f x x --≤，解不等式289t t -≥计算得到答案.【详解】（1）当1x <-时，()()()31243f x x x =-++->，解得10x <-； 当12x -≤≤时，()()()31243f x x x =++->，解得45x >，则425x <≤；当2x >时，()()()31243f x x x =+-->，解得4x >-，则2x >. 综上所述：不等式()3f x >的解集为()4,10,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U .（2）()231242f x x x x x --=+----3132x x =+--3336x x =+--()33369x x ≤+--=，当2x ≥时等号成立.若对任意x ∈R ，不等式()228f x x t t --≤-恒成立，即289t t -≥，解得1t ≤-或9t ≥. 【点睛】本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式解决恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.。
2020届辽宁省辽阳市高三二模考试数学(文)试题(解析版)
2020届辽宁省辽阳市高三二模考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}30M x x =-≤，{}1,3,5,7N =，则M N =I （ ） A ．{}1 B ．{}1,3 C ．{}3,5 D ．{}3,5,7【答案】D【解析】计算{}3M x x =≥，再计算交集得到答案. 【详解】因为{}3M x x =≥，{}1,3,5,7N =，所以{}3,5,7M N ⋂=. 故选：D . 【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于简单题. 2．若()()112z i i +-=，则z =（ ） A ．2i -- B ．2i -+ C ．2i + D ．2i - 【答案】B【解析】化简得到211iz i=--，计算得到答案. 【详解】因为211iz i +=-，所以()()()()2121211121112i i i i i z i i i i ++=-=-=-=-+--+. 故选：B . 【点睛】本题考查了复数的化简，意在考查学生的计算能力.3．已知抛物线C ：()220x py p =>的准线l 平分圆M ：()()22234x y +++=的周长，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【答案】D【解析】根据抛物线C ：()220x py p =>的准线l 平分圆M ：()()22234x y +++=的周长，则圆心在准线上求解. 【详解】抛物线C ：22x py =的准线为2p y =-， 因为抛物线C ：()220x py p =>的准线l 平分圆M ：()()22234x y +++=的周长， 所以32p-=-，则6p =. 故选：D 【点睛】本题主要考查抛物线和圆的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．已知向量()3,1a =r ，(),2b m m =+r ，(),3c m =r ，若//a b r r，则b c ⋅=r r （ ）A ．12-B ．6-C ．6D ．3【答案】C【解析】根据//a b r r ，有360m m +-=，解得m ，得到b r，再利用数量积公式求解. 【详解】 因为//a b r r，所以360m m +-=，解得3m =-，()3,1b =--r ，又()3,3c =-r， 所以936b c ⋅=-=r r.故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5．已知动点(),P x y 在由直线1l ：210x y -+=，2l ：250x y ++=和10x y -+=围成的封闭区域（含边界）内，则21y x -+的取值范围为（ ） A ．(][),13,-∞-+∞U B ．()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣U C ．[)8,3,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．[)8,1,5⎛⎤-∞-⋃-+∞ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】根据约束条件，画出可行域，由21y z x -=+的几何意义为可行域内的点到点()1,2Q -的斜率求解.【详解】由题意，画出可行域如图所示阴影部分：21y z x -=+的几何意义为可行域内的点到点()1,2Q -的斜率， 因为1,3QA QB k k =-=， 所以(][),13,z ∈-∞-⋃+∞. 故选：A 【点睛】本题主要考查简单线性规划求最值，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 6．若函数()()2log f x x x a =+-的定义域为()1,+∞，则()3f a =（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】由定义域求得参数a ，即可由对数运算求得结果. 【详解】因为()()2log f x x x a =+-的定义域为(),a +∞，所以1a =， 所以()233log 24f a =+=. 故选：C . 【点睛】本题考查由对数型函数的定义域求参数值，以及对数运算，属基础题. 7．已知0a >，0b >，32a b ab +=，则23a b +的最小值为（ ） A ．20 B ．24C ．25D ．28【答案】C【解析】化简得到321b a +=，变换()322323a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用均值不等式得到答案. 【详解】因为0a >，0b >，32a b ab +=，所以321b a+=， 则()32662323131325a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥=⎪⎝⎭，当且仅当5a b ==时，等号成立. 故选：C . 【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，变换()322323a b a b b a ⎛⎫+=++⎪⎝⎭是解题的关键. 8．已知直线//a 平面α，则“平面α⊥平面β”是“直线a ⊥平面β”的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件. 【详解】若直线//a 平面α，平面α⊥平面β，此时直线a 与平面β可能平行，所以充分性不成立；若直线//a 平面α，直线a ⊥平面β，则平面α⊥平面β，所以必要性成立. 故选:B 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间线面、面面的位置关系，属于基础题. 9．已知函数()22x f x a-=+（0a >且1a ≠）过定点P ，且角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过点P ，则()119cos sin sin 222cos sin 2ππαααπαπα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+-- ⎪⎝⎭（ ） A ．23B ．23-C ．32D ．32-【答案】B 【解析】计算定点()2,3P ，故3tan 2α=，化简得到原式等于1tan α-，计算得到答案. 【详解】函数()22x f x a-=+（0a >且1a ≠）过定点()2,3P ，故3tan 2α=， 则()119cos sin sin 222cos sin 2ππαααπαπα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+-- ⎪⎝⎭3cos sin sin 222cos sin 2ππαααπαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin cos 2sin cos cos 12sin sin sin tan 3ααααααααα-+==-=-=--.故选：B. 【点睛】本题考查了指数函数过定点，三角函数定义，诱导公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.10．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前50项和50T =（ ） A ．5051 B ．4950C ．100101D ．50101【答案】D【解析】根据1S ，2S ，4S 成等比数列结合公差为2，求得n a ，得到n b ，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为11S a =，2112122222S a a ⨯=+⨯=+，41143424122S a a ⨯=+⨯=+， 由题意得()()211122412a a a +=+， 解得11a =， 所以21n a n =-， 则()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，则501111111150123355799101101T ⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，2AB BD ==，E 为CD 的中点，若异面直线AC 与BE 所成的角为60°，则BC =（ ） A ．2 B ．2C ．22D ．4【答案】B【解析】取AD 的中点F ，连接EF ，BF ，即可由线面角求得关于BC 长度的方程，则问题得解. 【详解】取AD 的中点F ，连接EF ，BF ，如下图所示：则//EF AC ，BEF ∠为异面直线AC 与BE 所成的角，所以60BEF ∠=︒. 设BC x =，则24x BE EF +==，2BF = 从而BEF V 为等边三角形，则2422x +=解得2x =.故2BC =. 故选：B. 【点睛】本题考查由线线角求线段长度，涉及由线面垂直推线线垂直，属中档题. 12．若对函数()2sin f x x x =-的图象上任意一点处的切线1l ，函数()()2x g x me m x =+-的图象上总存在一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则m 的取值范围是（ ） A ．,02e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,0-D ．()0,1【答案】D 【解析】求导得到1()f x -'范围A ，再分0m >，0m <，0m =三种情况讨论得()g x '范围B ，最后根据条件得A 与B 包含关系，计算得到答案. 【详解】由()2sin f x x x =-，得()[]2cos 1,3f x x '=-∈，所以111,=2cos 3A x ⎡⎤-∈--⎢⎥-⎣⎦，由()()2xg x me m x =+-，得()2xg x me m '=+-.(1)当0m >时，导函数单调递增，()()2,g x m '∈-+∞， 由题意得()()1212211,,()1()x x f x g x g x A B f x '''∀∃=-∴=-∴⊆' 故21m -<-，解得01m <<；(2)当0m <时，导函数单调递减，()(),2g x m '∈-∞-，同理可得123m ->-，与0m <矛盾，舍去；（3）当0m =时，不符合题意. 综上所述：m 的取值范围为()0,1. 故选：D . 【点睛】本题考查了函数的切线问题，根据直线的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、填空题13．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且4a ，5a 的等差中项为33a ，则q =______. 【答案】3-或2 【解析】直接根据等比数列通项公式，等差中项性质，计算得到答案.【详解】因为4536a a a +=，所以3421116a q a q a q +=，即260q q +-=，解得3q =-或2q =.故答案为：3-或2. 【点睛】本题考查了求等比数列公比，意在考查学生的计算能力.14．某公司对2019年1至4月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示.根据上表可得回归方程为y bx a =+$$$，其中$4a=，则预测2019年10月份的利润为______万元. 【答案】13.5 【解析】计算52x =，518y =，代入回归方程得到0.95b=$，代入数据计算得到答案. 【详解】设线性回归方程为$4y bx=+$，因为52x =，518y =，由题意可得55142ˆ8b+=， 解得0.95b =$，即$0.954y x =+，当10x =时，$13.5y =.故答案为：13.5. 【点睛】本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.15．从1-，0，1，2这四个数字中任意取出两个不同的数字，记为有序数对(),a b ，则341133a b⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立的概率是______.【答案】12【解析】列出所有情况，统计满足34a b ≥的情况，计算得到答案. 【详解】总体的情形有()1,0-，()1,1-，()1,2-，()0,1，()0,2，()1,2，()0,1-，()1,1-，()2,1-，()1,0，()2,0，()2,1共12种.因为341133ab⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价于34a b ≥， 所以符合条件的情形有()0,1-，()1,1-，()2,1-，()1,0，()2,0，()2,1共6种， 因此所求概率12P =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.16．已知菱形ABCD 的边长为60BAD ∠=︒，沿对角线BD 将菱形ABCD 折起，使得二面角A BD C --为钝二面角，该四面体ABCD 外接球的表面积为36π，则四面体ABCD 的体积为______.【解析】设E 为BD 的中点，延长CE ，作AH EC ⊥交EC 于点H ，易得AH ⊥平面BCD ，计算3R =，故222R CF OF =+，222R OG AG =+，222AE AH HE =+，解得AH =，2HE =，得到答案. 【详解】由已知得，ABD △和BCD V 均为正三角形，如图，设E 为BD 的中点，延长CE ，作AH EC ⊥交EC 于点H ，易得AH ⊥平面BCD ， 作BCD V 的中心F ，则F 在EC 上，且2FC EF =.作//FG HA ，作//AG HC ，AG GF G =I ，可知四面体ABCD 外接球的球心O 在GF 上，设外接球的半径为R ，2436R ππ=，则3R =，在Rt AGO △和Rt CFO V中，由于2CF ==，1EF =，所以222R CF OF =+，222R OG AG =+，222AE AH HE =+，解得AH =，2HE =，13BCD ABCD V S AH =⨯=△四面体【点睛】本题考查了四面体的外接球问题，四面体体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题17．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3a =，2b =，521sin sin A B +=. （1）求sin B 的值；（2）若ABC V 为锐角三角形，求ABC V 的面积. 【答案】（1）217（2）332【解析】（1）由正弦定理将521sin sin 14A B +=，转化为5212214a b R R +=，求得2R ，再由sin 2bB R=求解.（2）根据ABC V 为锐角三角形，得到cos B ，再利用余弦定理，解得c ，利用1sin 2S ac B =求解. 【详解】（1）由正弦定理，521sin sin 14A B +=，可化为5212214a b R R +=， 解得22123R =，所以21sin 27221b B R ===.（2）因为ABC V 为锐角三角形，所22127cos 177B ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 2222cos b a c ac B =+-，即2712570c c -+=，解得7c =或7c =. 当7c =时，222a b c >+，此时A 为钝角，舍去. 所以7c =，112133sin 372272S ac B ==⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．某校为了有效地加强高中生自主管理能力，推出了一系列措施，其中自习课时间的自主管理作为重点项目，学校有关处室制定了“高中生自习课时间自主管理方案”.现准备对该“方案”进行调查，并根据调查结果决定是否启用该“方案”，调查人员分别在各个年级随机抽取若干学生对该“方案”进行评分，并将评分分成[)30,40，[)40,50，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，[]90,100七组，绘制成如图所示的频率分布直方图.相关规则为①采用百分制评分，[)60,80内认定为对该“方案”满意，不低于80分认定为对该“方案”非常满意，60分以下认定为对该“方案”不满意；②学生对“方案”的满意率不低于80%即可启用该“方案”；③用样本的频率代替概率.（1）从该校学生中随机抽取1人，求被抽取的这位同学非常满意该“方案”的概率，并根据频率分布直方图求学生对该“方案”评分的中位数.（2）根据所学统计知识，判断该校是否启用该“方案”，说明理由.【答案】（1）325，中位数66（2）该校不应启用该“方案”.见解析 【解析】（1）计算概率得到答案，设中位数为0x ，则()00.020.060.240.03600.5x +++⨯-=，解得答案.（2）计算评分在[]60,100的频率为0.680.80<，得到答案. 【详解】（1）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是()30.010.0021025+⨯=， 设中位数为0x ，根据中位数将频率分布直方图的左右两边分成面积相等的两部分可知，()00.020.060.240.03600.5x +++⨯-=，解得066x =.（2）根据题意，60分或以上被认定为满意或非常满意， 在频率分布直方图中，评分在[]60,100的频率为()0.0300.0260.010.002100.680.80+++⨯=<， 根据相关规则，该校不应启用该“方案”. 【点睛】本题考查了频率分布直方图，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC V 是直角三角形，侧面11ABB A 是矩形，1AB BC ==，12BB =，13BC =.（1）证明：1BC AC ^.（2）若E 是棱1CC 的中点，求点C 到平面ABE 的距离.【答案】（1）见解析（2）32【解析】（1）证明AB ⊥平面11BCC B 得到1AB BC ⊥，得到1BC ⊥平面ABC ，得到答案.（2）设点C 到平面ABE 的距离为d ，根据等体积法C ABE A BCE V V --=计算得到答案. 【详解】（1）因为ABC V 是直角三角形，BA BC =，所以AB BC ⊥. 因为侧面11ABB A 是矩形，所以1AB BB ⊥.因为1BC BB B =I ，所以AB ⊥平面11BCC B ，从而1AB BC ⊥.因为1BC =，12CC =，13BC =，所以22211BC BC CC +=，即1⊥BC BC .因为BC AB B =I ，所以1BC ⊥平面ABC ，所以1BC AC ^.（2）设点C 到平面ABE 的距离为d ，由（1）知AB ，BC ，1BC 两两垂直， 又BE 是1Rt BCC △斜边上的中线，所以112CC BE ==，111122ABE S =⨯⨯=△. 因为BCE V 是边长为1的正三角形，所以21331224BCE S =⨯⨯=△， 由C ABE A BCE V V --=，得11133ABE BCE S d S ⨯⨯=⨯⨯△△，解得32d =.【点睛】本题考查了线线垂直，点面距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，圆F ：()2211x y -+=，一动圆在y 轴右侧与y 轴相切，同时与圆F 相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C ，椭圆E 与曲线C 有相同的焦点.（1）求曲线C 的方程；（2）设曲线C 与椭圆E 相交于第一象限点K ，且53KF =，求椭圆E 的标准方程； （3）在（2）的条件下，如果椭圆E 的左顶点为A ，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆E交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与直线l：(2a x c c==分别交于N ，M两点，证明：四边形MNPQ 的对角线的交点是椭圆E 的右顶点.【答案】（1）()240y x x =>（2）22143x y +=（3）见解析【解析】（1）设动圆圆心的坐标为()(),0x y x >，1CF x -=，计算化简得到答案.（2）计算23K ⎛ ⎝⎭，则124a KF KF =+=，得到答案.（3）计算31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()4,3N ，直线QN 的方程为33322141y x ++=--，令0y =，得2x =，得到答案. 【详解】（1）设动圆圆心的坐标为()(),0x y x >，因为动圆在y 轴右侧与y 轴相切，同时与圆F 相外切，所以1CF x -=1x =+，化简整理得24y x =，曲线C 的方程为()240y x x =>.（2）依题意，1c =，513K KF x =+=，可得23K x =，故K点坐标为23K ⎛ ⎝⎭， 椭圆的另一焦点为()11,0F -，由两点间的距离可得173KF ===，又由椭圆的定义得1752433a KF KF =+=+=，2a =. 所以2223b a c =-=，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=.（3）由（2）知()2,0A -，()1,0F ，直线l 的方程为4x =，根据椭圆的对称性，当直线PQ x ⊥轴时，四边形MNPQ 是等腰梯形，对角线的交点在x 轴上，此时直线PQ 的方程为1x =，由221431x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，321y x ⎧=±⎪⎨⎪=⎩，不妨取31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故直线AP 的方程为()122y x =+，将4x =代入得()4,3N ， 所以直线QN 的方程为33322141y x ++=--，令0y =，得2x =，即直线QN 与x 轴的交点为()2,0，此时恰好为椭圆的右顶点. 【点睛】本题考查了轨迹方程，椭圆方程，定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．已知函数()ln xf x x =. （1）若不等式()ln 12af x a≥+在[](),20x a a a e ∈<≤上有解，求a 的取值范围； （2）若1x ，[)22,x ∈+∞，且12x x >，证明：()()2212121133f x f x x x -<-.【答案】（1）ln 202a <≤（2）见解析【解析】（1）求导得到()21ln x f x x -'=，得到函数单调区间，讨论02ea <≤和2ea e <≤，计算函数最值，解不等式得到答案. （2）设()()213G x f x x =-，求导得到()()3233ln 223x x G x x x--'=≥，证明()G x 在[)2,+∞上是单调递减函数，得到答案.【详解】（1）()21ln xf x x-'=，函数()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为(),e +∞. 当02e a <≤，()max ln 2ln 122a af x a a=≥+，解得ln 22a ≤，故ln 202a <≤；当2e a e <≤，()max 1ln 12a f x e a =≥+，因为ln 112a a +>，故1ln 12ae a≥+无解. 综上，ln 202a <≤. （2）()ln x f x x =，设()()221ln 133x G x f x x x x =-=-， 则()()3221ln 233ln 2233x x x x G x x x x---'=-=≥， 令()()333ln 22H x x xx =--≥，则()236H x x x-'=-， 因为2x ≥，所以()0H x '<，故()H x 为减函数， 所以()()2133ln 20H x H ≤=--<，所以()0G x '<，故()G x 在[)2,+∞上是单调递减函数.所以对于任意1x ，[)22,x ∈+∞，且12x x >，必有()()2211221133f x x f x x -<-， 即()()2212121133f x f x x x -<-. 【点睛】本题考查了利用导数求表达式能成立问题，证明不等式，构造函数()()213G x f x x =-是解题的关键.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为4,1x y αα⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线L 的极坐标方程为()704πθρ=≥. （1）求曲线C 的极坐标方程与射线L 的直角坐标方程；（2）若射线L 与曲线C 交于A ，B 两点，求22OA OB OB OA ⋅+⋅. 【答案】（1）28cos 2sin 90ρρθρθ-++=.()0y x x =-≥.（2）【解析】（1）消参即可容易求得曲线C 的普通方程，结合公式即可由极坐标方程求得直角坐标方程； （2）联立74πθ=与28cos 2sin 90ρρθρθ-++=，即可求得12ρρ，12ρρ+，则问题得解. 【详解】（1）由4,1,x y αα⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩得()()22418x y -++=，即228290x y x y +-++=，故曲线C 的极坐标方程为28cos 2sin 90ρρθρθ-++=. 射线L 的直角坐标方程为()0y x x =-≥. （2）将74πθ=代入28cos 2sin 90ρρθρθ-++=，得2829022ρρρ-⨯-⨯+=，即290ρ-+=， 设,A B 两点对应的ρ为12,ρρ，则12ρρ+=129ρρ=，所以()()221212OA OB OB OA OA OB OA OB ρρρρ⋅+⋅=⋅⋅+=+=【点睛】本题考查极坐标方程，参数方程和直角坐标方程之间的相互转化，涉及利用极坐标求线段，属综合基础题.23．已知0a ≠，函数()1f x ax =-，()2g x ax =+. （1）若()()f x g x <，求x 的取值范围；（2）若()()2107af xg x +≥⨯-对x ∈R 恒成立，求a 的最大值与最小值之和.【答案】（1）当0a >时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；当0a <时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（2）1. 【解析】（1）两边平方求解绝对值不等式，对参数a 进行分类讨论，则问题得解； （2）利用绝对值三角不等式，即可容易求得()()f x g x +的最小值，再求解绝对值不等式，即可求得a 的最大值和最小值，利用对数运算，求解即可. 【详解】（1）因为()()f x g x <，所以12ax ax -<+， 两边同时平方得22222144a x ax a x ax -+<++， 即63ax >-， 当0a >时，12x a >-；当0a <时，12x a<-. 故当0a >时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；当0a <时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭（2）因为()()()()12123f x g x ax ax ax ax +=-++≥--+=， 当且仅当()()120ax ax -+≤时取得等号. 所以()()f x g x +的最小值为3，所以21073a⨯-≤，则321073a -≤⨯-≤， 解得lg 2lg5a ≤≤，+==.故a的最大值与最小值之和为lg2lg5lg101【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，涉及绝对值三角不等式，对数运算，属综合中档题.。
2020届辽宁省辽阳市高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2020届辽宁省辽阳市高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}|3B x x =-<-，则A B =I （ ） A ．{}5 B ．{}1,2C ．{}3,4,5D ．{}4,5【答案】D 2．复数5iz i=+上的虚部为（ ） A ．526B ．526i C ．526-D ．526i -【答案】A【解析】化简得到152626z i =+计算虚部得到答案.3．若双曲线22214x y a -=()0a >的实轴长为则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．y x =C ． 2y x =±D ．y =【答案】D4．已知α，β是两个不同的平面，m ，l ，是两条不同的直线，且αβ⊥，m α⊂，l αβ=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C5．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A ．这组新数据的平均数为m B ．这组新数据的平均数为a m +C ．这组新数据的方差为anD ．这组新数据的标准差为 【答案】D6．设函数()()()ln ,0,1,0,x x f x g x x ⎧-<⎪=⎨+>⎪⎩若()f x 是奇函数，则()2e g =（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1【答案】A7．第28届金鸡百花电影节将于11月19日至23日在福建省厦门市举办，近日首批影展片单揭晓，《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将在电影节进行展映.若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为（ ） A ．12B ．35C ．710D ．45【答案】C8．将曲线sin 2y x =向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到的曲线关于直线12x π=对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．12πB ．4πC ．6π D ．3π 【答案】C9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且54S =，1010S =，则15S =（ ） A ．16 B ．19C ．20D ．25【答案】B10．在三棱锥A BCD -中，AD CD ⊥，2AB BC ==，AD =CD =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．8π B ．9πC ．10πD ．12π【答案】A【解析】通过证明AB BC ⊥，又AD CD ⊥，可得AC 的中点O 为该三棱锥的外接球球心，外接球半径为2AC，再利用球的面积公式求得. 11．已知函数()1cos 2cos xf x x+=+，()()20g x ax a =->.若1x R ∀∈，[]21,2x ∃∈，()()12f x g x =，则a 的取值范围是（ ）A ．21,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】根据条件求出()f x 的值域，与()g x 的值域，由1x R ∀∈，[]21,2x ∃∈，()()12f x g x =，可得两值域的包含关系，即可求得参数a 的取值范围.【详解】解：因为()2cos 1112cos 2cos x f x x x+-==-++，12cos 3x +剟，所以()f x 的值域为20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 因为0a >，所以()g x 在[]1,2上的值域为[]2,22a a --，依题意得[]20,2,223a a ⎡⎤⊆--⎢⎥⎣⎦，则 20,222,3a a -⎧⎪⎨-⎪⎩„…解得423a 剟. 故选：C 【点睛】本题考查函数方程思想的综合应用，属于中档题.12．已知椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，I 为12PF F ∆的内心，且1221IPF IF F IPF S S S λ∆∆∆=-，若椭圆的离心率为e ，则λ=（ ） A ．1eB ．2eC ．eD ．2e【答案】A【解析】设12PF F ∆内切圆的半径为r ，根据题意化简得到1212F F PF PF λ=+，代入数据计算得到答案. 【详解】设12PF F ∆内切圆的半径为r 则1112IPF S r PF ∆=⋅，2212IPF S r PF ∆=⋅，121212IF F S r F F ∆=⋅·∵1221IPF IF F IPF S S S λ∆∆∆=-，∴112211222r PF r F F r PF λ⋅=⋅-⋅整理得1212F F PF PF λ=+.∵P 为椭圆上的点，∴22c a λ⋅=，解得1eλ=. 故选：A 【点睛】本题考查了椭圆离心率相关问题，根据面积关系化简得到1212F F PF PF λ=+是解得的关键.二、填空题13．设x ，y 满足则220,220,20,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩则3z x y =-的最小值是______.【答案】-4【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】解：作出可行域如图所示，当直线3z x y =-经过点()2,2时，min 2324z =-⨯=-. 故答案为：4- 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题． 14．若函数()e x f x mx =-在[2,0]-上为减函数，则m 的取值范围为___________. 【答案】[)1,+∞【解析】将问题转化为导函数在[]2,0-上恒小于零，从而根据恒成立思想求解出m 的取值范围. 【详解】由题意可知()e 0xf x m '=-≤，即x m e ≥对[2,0]x ∈-恒成立，所以()maxxm e≥，所以0e 1m ≥=即[)1,m ∈+∞. 故答案为：[)1,+∞. 【点睛】本题考查根据函数的单调性求解参数范围，难度一般.已知函数()f x 为指定区间的单调增(或减)函数，则()()()00f x f x ''≥≤在指定区间上恒成立.15．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的《九章算术》也有记载.所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有ABC ∆满足“勾3股4弦5”，其中4AB =，D 为弦BC上一点（不含端点），且ABD ∆满足勾股定理，则()CB CA AD -⋅=u u u r u u u r u u u r______.【答案】14425【解析】根据条件求出AD ，结合向量投影的定义即可求解． 【详解】解：由等面积法可得341255AD ⨯==，依题意可得，AD BC ⊥，所以()214425CB CA AD AB AD AD -⋅=⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故答案为：14425【点睛】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量投影定义，属于基础题． 16．在数列{}n a 中，13a =，且12221n n a a n n+---=+. （1）{}n a 的通项公式为__________；（2）在1a 、2a 、3a 、L 、2019a 这2019项中，被10除余2的项数为__________．【答案】222n a n n =-+ 403【解析】（1）根据题意得知数列2n a n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列2n a n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可求出n a ；（2）设()222102n a n n k k Z =-+=+∈，可得出()1021k n n =-，由21n -为奇数，可得出n 为10的倍数或21n -为5的奇数倍且n 为偶数，求出两种情况下n 值的个数，相加即可得出答案. 【详解】 （1）12221n n a a n n +---=+Q且1211a -=， 所以，数列2n a n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，()212121n a n n n-∴=+-=-，222n a n n ∴=-+； （2）被10整除且余数为2的整数可表示为()102k k Z +∈，令222102n a n n k =-+=+，可得()1021k n n =-，n N *∈Q ，且12019n ≤≤，则21n -为奇数，则n 为10的倍数，或者21n -为5的奇数倍且n 为偶数.当n 为10的倍数时，n 的取值有：10、20、30、L 、2010，共201个； 当21n -为5的奇数倍且n 为偶数时，n 的取值有：8、18、28、L 、2018，共202个.综上所述，在1a 、2a 、3a 、L 、2019a 这2019项中，被10除余2的项数为201202403+=.故答案为：222n n -+；403. 【点睛】本题考查数列通项的求解，同时也考查了数列中项的整除问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.三、解答题17．某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.（1）求购买金额不少于45元的频率；（2）根据以上数据完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.附：参考公式和数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.附表：【答案】（1）12（或0.5）；（2）列联表见解析，有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.【解析】（1）根据统计表及古典概型的概率计算公式即可计算出不少于45元的频率； （2）完善列联表，计算出2K 跟参考数据比较得出结论. 【详解】解：（1）购买金额不少于45元的频率为1520101902++=.（2）22⨯列联表如下：()22901220401814405 3.84130605238247K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关. 【点睛】本题考查独立性检验，以及古典概型的概率计算问题，属于基础题. 18．在ABC ∆中，角A ，B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且3sin a bB=. （1）求A ；（2）若2a =，且()cos 2sin sin cos B C B C C -=-，求ABC ∆的面积. 【答案】(1) 6A π=. (2)3【解析】（1）根据正弦定理得到3tan A =，计算得到答案. （2）化简得到()cos cos B C C +=-，即A C =，再计算得到2a c ==，代入面积公式得到答案. 【详解】 （1）∵3sin sin a b a B A ==，∴3tan A =.∵()0,A π∈，∴6A π=. （2）∵()cos 2sin sin cos B C B C C -=-∴cos cos sin sin 2sin sin cos B C B C B C C +=-， ∴()cos cos B C C +=-，即cos cos A C =，即A C =. ∵6A π=，∴23B π=.∵2a =，∴2a c ==. ∴113sin 223222ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力.19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F ，G 分别是棱1CC ，1AA 的中点，E ，M 分别为棱AB ，11A B 上一点，113B M MA =，且GM P 平面1B EF .（1）证明：E 为AB 的中点. （2）若四棱锥1F B MGE -的体积为32，求正方体1111ABCD A B C D -的表面积. 【答案】（1）见解析；（2）24【解析】（1）取11A B 的中点N ，连接AN ，可证GM AN P ，再由线面平行得到1AN B E P ，又1B N AE P ，所以四边形1AEB N 为平行四边形，即可得证.（2）设棱长为a ，易知F 到平面11ABB A 的距离为a ，由1113F B MGE B MGE V h S -=⋅⋅求出a 的值，即可求出表面积. 【详解】解：（1）证明：取11A B 的中点N ，连接AN因为113B M MA =，所以M 为1A N 的中点，又G 为1AA 的中点，所以GM AN P . 因为GM P 平面1B EF ，GM ⊂平面11ABB A ，平面11ABB A I 平面11B EF B E =. 所以1GM B E P ，即1AN B E P .又1B N AE P ，所以四边形1AEB N 为平行四边形，则1AE B N =，所以E 为AB 的中点.（2）设AB a =，则1A MG ∆，AGE ∆，1BEB ∆的面积分别为2a 16，28a ，24a ，易知F 到平面11ABB A 的距离为a ，所以11222321133331684162F B MGEB MGE a a a a V h S a a -⎛⎫==⋅⋅⨯---⨯== ⎪⎝⎭， 解得2a =，故所求正方体的表面积为2624a =. 【点睛】本题考查锥体的体积计算以及线面平行的性质，属于基础题.20．已知直线l 与抛物线C ：24y x =交于A ，B 两点，()()002,0M y y ≠为弦AB 的中点，过M 作AB 的垂线交x 轴于点P . （1）求点P 的坐标；（2）当弦AB 最长时，求直线l 的方程. 【答案】(1) ()4,0. (2) y =y =+【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),0P P x 代入抛物线相减得到02k y =，再根据1MP k k ⋅=-计算得到答案. （2）直线l 的方程为()22y k x k -=-，联立方程，根据韦达定理得到124y y k+=， 212288k y y k -+=，代入计算得到()2219224f t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭得到答案. 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),0P P x ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，，两式相减得()()()1212124y y y y x x -+=-.因为00y ≠，所以直线l 的斜率一定存在，设直线l 的斜率为k ， 所以121212042y y k x x y y y -===-+.因为1MP k k ⋅=-，所以00022MP P y y k x -=-=-， 解得4P x =，所以点P 的坐标为()4,0.（2）由（1）知，直线l 的斜率一定存在，且不为0，设直线l 的斜率为k ， 则02k y =，即02y k =，所以直线l 的方程为()22y k x k-=-. 联立()24,22,y x y k x k ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩得2224880k y ky k --+=， 则124y y k +=，212288k y y k -+=. 由()222164880k kk ∆=-->，可得212k >，所以12AB y =-=设()2102t t k =<<，令()2219224f t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，可知()max 1924f t f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，此时2112t k ==，即k =所以当弦AB 最长时，直线l 的方程为y =y =+【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力. 21．已知函数()e 2xf x ax a =--，()lng x x =. （1）讨论()f x 的单调性；（2）用{},max m n 表示m ，n 中的最大值，已知2a =，求函数()()(){}()max ,0h x f x g x x =>的零点的个数.【答案】（1）()f x 在()(),ln 2a -∞上单调递减，在()()ln 2,a +∞上单调递增；（2）零点个数为1【解析】（1）求出定义域、导函数，对a 分类讨论，可得单调区间；（2）由当()1,x ∈+∞时，()ln 0g x x =>，可知函数()h x 在()1,+∞上不存在零点，当1x =，分别计算函数值，可知1x =是()h x 的零点，由（1）知()h x 在()0,1上无零点.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为R ，且()e 2x f x a '=-. 当0a ≤时，()0f x '>对x ∈R 恒成立，所以()f x 在R 上单调递增.当0a >时，令()0f x '=，得()ln 2x a =，当()(),ln 2x a ∈-∞时，()0f x '<；当()()ln 2,x a ∈+∞时，()0f x '>. 所以()f x 在()(),ln 2a -∞上单调递减，在()()ln 2,a +∞上单调递增. （2）当()1,x ∈+∞时，()ln 0g x x =>，从而()()(){}()max ,0h x f x g x g x =>…，所以()h x 在()1,+∞上无零点.当1x =时，()1e 60f =-<，()10g =，所以1x =是()h x 的零点.当()0,1x ∈时，()ln 0g x x =<，所以()h x 在()0,1上的零点个数只需要考虑()f x 在()0,1上的零点个数.由（1）知，()e 42xf x x =--在()0,1上单调递减， 所以()()010f x f <=-<，从而()h x 在()0,1上无零点综上，()h x 的零点个数为1.【点睛】本题考查含参函数的单调性，以及函数的零点问题，属于中档题.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为cos sin x m y a n αα=⎧⎨=+⎩（0m >，0n >，α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=.（1）求a ，m ，n 的值；（2）已知点P 的直角坐标为()0,1，l 与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +.【答案】（1）4a m n ===；（2.【解析】（1）根据极坐标方程得到()22416x y +-=，根据参数方程得到答案. （2）将参数方程代入圆方程得到270t --=，根据韦达定理得到120t t +=>，1270t t =-<，计算12PA PB t t +=-得到答案.【详解】（1）由8sin ρθ=，得28sin ρρθ=，则228x y y +=，即()22416x y +-=. 因为0m >，0n >，所以4a m n ===.（2）将212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()22416x y +-=，得270t --=.设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t，则120t t +=>，1270t t =-<.所以12t t P PB A =-==+【点睛】 本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键. 23．已知函数()3124f x x x =+--.（1）求不等式()3f x >的解集；（2）若对任意x ∈R ，不等式()228f x x t t --≤-恒成立，求t 的取值范围. 【答案】（1）()4,10,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ；（2）1t ≤-或9t ≥.【解析】（1）分别计算1x <-，12x -≤≤，2x >三种情况，综合得到答案. （2）化简得到()23336f x x x x --=+--，利用绝对值三角不等式得到 ()29f x x --≤，解不等式289t t -≥计算得到答案.【详解】（1）当1x <-时，()()()31243f x x x =-++->，解得10x <-；当12x -≤≤时，()()()31243f x x x =++->，解得45x >，则425x <≤； 当2x >时，()()()31243f x x x =+-->，解得4x >-，则2x >.综上所述：不等式()3f x >的解集为()4,10,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U . （2）()231242f x x x x x --=+----3132x x =+--3336x x =+-- ()33369x x ≤+--=，当2x ≥时等号成立.若对任意x ∈R ，不等式()228f x x t t --≤-恒成立，即289t t -≥， 解得1t ≤-或9t ≥.【点睛】本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式解决恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.。
辽宁省五校2020届高三上学期期末考试数学(文)试题Word版含解析
辽宁省五校2020届高三上学期期末考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A. B. C. D.2.若复数满足，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.3.设，则“”是“函数在定义域上是奇函数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.若两个正实数满足,且不等式有解,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.5.过抛物线的焦点作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点，若，则（）A. 4B. 2C. 1D.6.将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后向左平移个单位长度，得到图象，若关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.数列满足，，是数列前5项和为（）A. B. C. D.8.如图所示，直线为双曲线：的一条渐近线，是双曲线的左、右焦点，关于直线的对称点为，且是以为圆心，以半焦距为半径的圆上的一点，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 39.在中，角所对的边分别是，已知，且，则的面积是（）A. B. C. 或 D. 或10.已知四面体，，则该四面体外接球的半径为（）A. 1B.C.D.11.中，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是（）A. B. C. D.12.定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.二、填空题：共4小题，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上.13.在区间上随机取一个实数，则事件“”发生的概率是__________．14.已知向量 ()∥，，则夹角的余弦值为________ .15.实数，满足，目标函数的最大值为__________．16.如图，在四棱锥中，底面，若为棱上一点，满足，则__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答. 17.在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，且. （1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18.某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则为“非微信控”，调查结果如下：（1）根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人是“微信控”的概率.参考数据：参考公式：，其中.19.如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直. .（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20.设椭圆的左焦点为，离心率为，为圆的圆心．（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围．21.已知函数，．（1）求函数的极值；（2）若不等式对恒成立，求的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题做答，做答时请涂对应的题号.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（1）把曲线的参数方程化为极坐标方程；（2）曲线与曲线交于点，与曲线交于点，求的值.23.设函数.（1）解不等式；（2）当时，证明：.辽宁省五校2020届高三上学期期末考试数学（文）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，解对数不等式求得集合，再求两个集合的交集得出选项.【详解】由解得，由解得，两个集合相等，故，所以选A. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，属于基础题.解一元二次不等式的过程中，要注意对应一元二次函数的开口方向.解对数不等式要注意对应的对数函数的底数，底数属于区间或者，对数不等式的解集是不一样的.2.若复数满足，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：设复数，利用相等，求得，进而可求复数的模.详解：设复数，则，则，所以，所以，故选C.点睛：本题考查了复数相等的概念和复数模的求解，着重考查了学生的推理与运算能力.3.设，则“”是“函数在定义域上是奇函数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】注意到当时，函数是奇函数，故是函数为奇函数的充分不必要条件.【详解】当时，，，函数为奇函数；当时，，，函数为奇函数.故当时，函数是奇函数，所以是函数为奇函数的充分不必要条件.故选A.【点睛】本小题主要考查充要条件的判断，考查函数奇偶性的定义以及判断，属于基础题.4.若两个正实数满足,且不等式有解,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：不等式有解，即为大于的最小值，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值，解不等式可得m的范围．详解：正实数满足则 =4，当且仅当，取得最小值4．由x有解，可得解得或．故选 D ．点睛：本题考查不等式成立的条件，注意运用转化思想，求最值，同时考查乘1法和基本不等式的运用，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属中档题．5.过抛物线的焦点作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点，若，则（）A. 4B. 2C. 1D.【答案】B【解析】【分析】设A，根据抛物线的定义知，又，联立即可求出p.【详解】设A，根据抛物线的定义知,又，联立解得，故选B.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及斜率公式，属于中档题.6.将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后向左平移个单位长度，得到图象，若关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据三角函数的图象变换关系求出的解析式，结合三角函数的图象进行求解即可.详解：将函数图象上个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到，然后向左平移，得到，因为，所以，当时，，函数的最大值为，要使在上有两个不相等的实根，则，即实数的取值范围是，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质，其中解答中求出函数的解析式以及利用整体转换法是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题.7.数列满足，，是数列前5项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用递推公式求得的值.进而利用裂项相消求和法，求得的值.【详解】由递推公式，将，代入得，解得；将代入递推公式得，解得.同理解得，所以.【点睛】本小题主要考查递推公式求数列的前几项，考查裂项求和法求数列前几项的和.属于中档题.8.如图所示，直线为双曲线：的一条渐近线，是双曲线的左、右焦点，关于直线的对称点为，且是以为圆心，以半焦距为半径的圆上的一点，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】设焦点关于渐近线的对称点为，则，又点在圆上，，故选C.9.在中，角所对的边分别是，已知，且，则的面积是（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】【分析】先利用两角和与差的正弦公式、二倍角公式化简已知条件，并用正弦定理转为边的形式，然后用余弦定理列方程组，解方程组求得的长，由三角形面积公式求得三角形的面积.【详解】依题意有，即或.当时，由正弦定理得①， 由余弦定理得②， 解由①②组成的方程组得，所以三角形面积为.当时，，三角形为直角三角形，，故三角形面积为.综上所述，三角形的面积为或，故选D.【点睛】本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式，考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查了化归与转化的数学思想方法.在化简的过程中，要注意运算化简，当时，可能是或者，即解的情况有两种，不能直接两边约掉. 10.已知四面体，，则该四面体外接球的半径为（ ）A. 1B.C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】 取直角三角形的斜边中点，点即的外心，球心在其正上方，作出球心后，利用余弦定理以及诱导公式列方程组，解方程求得外接球半径. 【详解】设为的中点，由于三角形为直角三角形，故其外心为点，则球心在点的正上方，设球心为，作出图像如下图所示.其中，.由余弦定理得，.设外接球的半径为.在三角形中，由勾股定理得①.在三角形中，由余弦定理得②.在三角形中，由余弦定理可知，由于，则，所以，所以③.联立①②③可得.故选B.【点睛】本小题主要考查空间几何体的外接球半径的求法，考查利用余弦定理和勾股定理解三角形，属于中档题.11.中，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用向量数量积的运算，求得的大小，由余弦定理计算的长度，由此判断三角形为直角三角形.利用向量加法的平行四边形法则，判断点的位置，从而确定取得最大值时点的位置，由此计算出的长.【详解】依题意，.由余弦定理得，故，三角形为直角三角形.设，过作，交于，过作，交于.由于，根据向量加法运算的平行四边形法则可知，点位于线段上，由图可知最长时为.由于，所以.所以.故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的运算，考查余弦定理解三角形，考查平面向量加法的平行四边形法则，综合性较强，属于中档题.12.定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用已知条件求得，即函数为增函数，而，由此求得，进而求得不等式的解集.【详解】构造函数，依题意可知，即函数在上单调递增.所求不等式可化为，而，所以，解得，故不等式的解集为. 【点睛】本小题主要考查利用导数解不等式，考查构造函数法，考查导数的运算以及指数不等式的解法，属于中档题.题目的关键突破口在于条件的应用.通过观察分析所求不等式，转化为，可发现对于，它的导数恰好可以应用上已知条件.从而可以得到解题的思路.二、填空题：共4小题，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上.13.在区间上随机取一个实数，则事件“”发生的概率是__________．【答案】【解析】【分析】用辅助角公式化简题目所给不等式，解三角不等式求得点的取值范围，利用几何概型的概率公式求得所求的概率.【详解】由得，，故，解得，根据几何概型概率计算公式有概率为.【点睛】本小题主要考查三角不等式的解法，考查三角函数辅助角公式，考查几何概型的计算，属于基础题.14.已知向量 ()∥，，则夹角的余弦值为________ .【答案】【解析】【分析】设，根据向量共线和向量垂直的条件得到的值，进而得到向量的坐标，然后可求出夹角的余弦值．【详解】设，则，∵()∥，，∴，即．又，,∴．由，解得，∴．设的夹角为，则，即夹角的余弦值为．故答案为．【点睛】本题考查向量的基本运算，解题时根据向量的共线和垂直的充要条件得到向量的坐标是关键，同时也考查转化和计算能力，属于基础题．15.实数，满足，目标函数的最大值为__________．【答案】-1【解析】原式变形为，根据不等式组画出可行域，得到一个开放性的区域目标函数化简为，当目标函数过点时，截距最小，目标函数最大，代入得到-1.故答案为：-1.16.如图，在四棱锥中，底面，若为棱上一点，满足，则__________．【答案】【解析】【分析】过作，交于，连接，根据，可得平面，通过解三角形求得的值，也即求得的值.【详解】过作，交于，连接，根据，可得平面，故，由于，所以.由于，所以.在直角三角形中，，所以，而，故.根据前面证得，可得.【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定，考查线面垂直的证明，考查简单的解特殊角三角形的知识.属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.17.在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，且. （1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用基本元的思想，将题目所给已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，由此求得和的通项公式.（2）利用错位相减法求得的前项和.【详解】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，解得，所以；（2），当时，；当时，，①，②① -②得：，，综上【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求解有关等差和等比数列的问题，考查错位相减求和法，属于中档题.18.某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则为“非微信控”，调查结果如下：（1）根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人是“微信控”的概率.参考数据：参考公式：，其中.【答案】（1）没有95%的把握（2）“微信控”有3人，“非微信控”有2人（3）【分析】（1）计算的值，对比题目所给参考数据可以判断出没有把握认为“微信控”与“性别”有关.（2）女性用户中，微信控和非微信控的比例为，由此求得各抽取的人数.（3）利用列举法以及古典概型概率计算公式，求得抽取人中恰有人是“微信控”的概率.【详解】解：（1）由2×2列联表可得：，所以没有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关；（2）根据题意所抽取的5位女性中，“微信控”有3人，“非微信控”有2人；（3）设事件“从（2）中抽取的5位女性中，再随机抽取3人，抽取3人中恰有2人是“微信控””抽取的5位女性中，“微信控”3人分别记为；“非微信控”2人分别记为.则再从中随机抽取3人构成的所有基本事件为：，共有10种；抽取3人中恰有2人为“微信控”所含基本事件为：，共有6种，所以.【点睛】本小题主要考查联表独立性检验的知识，考查分层抽样，考查利用列举法求古典概型，属于中档题.19.如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直..（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）存在点，且时，有平面【分析】（1）设是中点，连接，通过证明及，证得平面，由此证得.（2）通过证明平面，证得，而，故平面，由此证得平面平面.（3）连交于，由比例得，故只需，即时，,即有平面. 【详解】解：（1）证明：取中点，连结.由等腰直角三角形可得∵，∴，∵四边形为直角梯形，，∴四边形为正方形，所以，平面，∴.（2）∵平面平面，平面平面，且，∴平面，∴，又∵，∴平面，平面，∴平面平面；（3）解：存在点，且时，有平面，连交于，∵四边形为直角梯形，，∴，又，∴，∴，∵平面平面，∴平面.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直的证明，考查空间两个平面垂直的证明，考查线面平行的存在性问题.要证明空间两条直线垂直，主要方法是通过线面垂直来证明，也即通过证明直线垂直于另一条直线所在的平面，来证明线线垂直.要证明面面垂直，则是通过证明线面垂直来证明.20.设椭圆的左焦点为，离心率为，为圆的圆心．（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意求得a，b的值即可确定椭圆方程；（Ⅱ）分类讨论，设直线l代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|AB|，根据点到直线的距离公式可求出|CD|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围试题解析：（1）由题意知，则，圆的标准方程为，从而椭圆的左焦点为，即，所以，又，得．所以椭圆的方程为：.（2）可知椭圆右焦点．（ⅰ）当l与x轴垂直时，此时不存在，直线l：，直线，可得：，，四边形面积为12.（ⅱ）当l与x轴平行时，此时，直线，直线，可得：，，四边形面积为.（iii）当l与x轴不垂直时，设l的方程为，并设，.由得.显然，且，.所以.过且与l垂直的直线，则圆心到的距离为，所以.故四边形面积：.可得当l与x轴不垂直时，四边形面积的取值范围为(12,).综上，四边形面积的取值范围为．21.已知函数，．（1）求函数的极值；（2）若不等式对恒成立，求的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析：（1）对函数求导得到，讨论和0和1 的大小关系，在不同情况下求得导函数的正负即得到原函数的单调性，根据极值的概念得到结果；（2）设，构造以上函数，研究函数的单调性，求得函数的最值，使得最小值大于等于0即可.解析：（Ⅰ），，∵的定义域为.①即时，在上递减，在上递增，，无极大值.②即时，在和上递增，在上递减，，.③即时，在上递增，没有极值.④即时，在和上递增，在上递减，∴，.综上可知：时，，无极大值；时，，；时，没有极值；时，，.（Ⅱ）设，，设，则，，，∴在上递增，∴的值域为，①当时，，为上的增函数，∴，适合条件.②当时，∵，∴不适合条件.③当时，对于，，令，，存在，使得时，，∴在上单调递减，∴，即在时，，∴不适合条件.综上，的取值范围为.点睛：导数问题经常会遇见恒成立求参的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.请考生在第22、23题中任选一题做答，做答时请涂对应的题号.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（1）把曲线的参数方程化为极坐标方程；（2）曲线与曲线交于点，与曲线交于点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用消去参数，求得的普通方程，再利用转为极坐标方程.（2）将分别代入的极坐标方程，求得两点对应的极坐标，由此求得的值.【详解】解：（1）曲线的普通方程为，即，由，得，∴曲线的极坐标方程为；（2）设点的极坐标为，点的极坐标为，则，，∴.【点睛】本小题主要考查将圆的参数方程转化为极坐标方程，考查利用极坐标求解有关弦长的问题，属于基础题.23.设函数.（1）解不等式；（2）当时，证明：.【答案】（1）解集为；（2）见解析.【解析】【分析】(1)零点分区间，去掉绝对值，写成分段函数的形式，分段解不等式即可；(2) 由（1）知，,，之后利用均值不等式可证明.【详解】（1）由已知可得：，当时，成立；当时，，即，则．所以的解集为.（2）由（1）知，，由于，则，当且仅当，即时取等号，则有．【点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．。
辽宁省辽阳市2020届高三上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
辽宁省辽阳市2020届高三上学期期末考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合，，则的元素个数为A. 3B. 4C. 5D. 62.A. B. C. D.3. 双曲线的焦距为A. B. 4 C. D. 124. 已知为定义在R上的奇函数，当时，，则A. 4B.C.D.5. 设x，y满足约束条件，目标函数，则A. z的最大值为3B. z的最大值为2C. z的最小值为3D. z的最小值为26. 已知函数与的部分图象如图所示，则A. ，B. ，C. ，D. ，7. 函数的最小值为A. B. C. D.8. 若l，n是两条不相同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则9. 已知，且，函数，则“”是“在上单调递减”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，，且，则A. B. C. D.11. 设，，则A. 且B. 且C. 且D. 且12. 设为一个圆柱上底面的中心，A为该圆柱下底面圆周上一点，这两个底面圆周上的每个点都在球O的表面上，若两个底面的面积之和为，与底面所成角为，则球O的表面积为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量，的夹角为，且，，则______．14. 现有两对情侣都打算从巴黎、厦门、马尔代夫、三亚、泰国这五个地方选取一个地方拍婚纱照，且这两对情侣选择的地方不同，则这两对情侣都选在国外拍婚纱照的概率为______．15. 若为锐角，则当取得最小值时，______．16. 若椭圆C：上存在一点P，使得，其中，分别是C的左、右焦点，则C的离心率的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17. 设为等差数列的前n项和，，．求的通项公式；若，，成等比数列，求．18. 甲、乙两人这五年的年度体验的血压值的折线图如图所示．根据散点图，直接判断甲、乙这五年年度体检的血压值谁的波动更大，并求波动更大者的方差；根据乙这五年年度体检血压值的数据，求年度体检血压值y关于年份x的线性回归方程，并据此估计乙在2018年年度体检的血压值．附：，19.如图，在三棱锥中，平面ABC，且，．证明：为直角三角形；设A在平面PBC内的射影为D，求四面体ABCD的体积．20. 在直角坐标系xOy中直线与抛物线C：交于A，B两点，且．求C的方程；若D为直线外一点，且的外心M在C上，求M的坐标．21. 已知函数．求的单调区间；若，证明：；若，直线与曲线相切，证明：．参考数据：，22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，曲线C的参数方程为为参数．求l和C的直角坐标方程；讨论l和C的位置关系．23. 设函数．当时，求不等式的解集；若，，求a的取值范围．辽宁省辽阳市2020届高三上学期期末考试数学（文）试题参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合，，则的元素个数为A. 3B. 4C. 5D. 6【解析】解：集合，，5，6，．的元素个数为4．故选：B ． 利用交集定义先求出，由此能求出结果．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.A.B.C.D.【答案】A 【解析】解：．故选：A ．直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题． 3.双曲线的焦距为A.B. 4C.D. 12【答案】C【解析】解：根据题意，双曲线的标准方程为，其中，则，其焦距； 故选：C ．根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，分析可得a 、b 的值，计算可得c 的值，由焦距公式计算可得本题考查双曲线的标准方程，注意将双曲线的方程变形为标准方程．4. 已知为定义在R上的奇函数，当时，，则A. 4B.C.D.【答案】C【解析】解：根据题意，当时，，则，，又由函数为奇函数，则，则；故选：C．根据题意，由函数的解析式可得与的值，结合函数的奇偶性可得的值，计算的值即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及分段函数函数值的计算，属于基础题．5. 设x，y满足约束条件，目标函数，则A. z的最大值为3B. z的最大值为2C. z的最小值为3D. z的最小值为2【答案】D【解析】解：由作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为．故选：D．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6. 已知函数与的部分图象如图所示，则A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】解：由图象可知，，，，，又，，故选：B．结合图象可知，，，然后再由周期公式即可求解本题主要考查了利用函数的图象求解函数解析式中的参数，属于基础试题．7. 函数的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，当时，；当时，．故，故选：A．求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最小值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．8. 若l，n是两条不相同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】A【解析】解：A，两个平面平行，其中一个平面内的直线平行另一个平面，故A正确．故选：A．A，依两面平行的性质可知正确；B，C，D都缺少的情况．此题考查了线面平行，属容易题．9. 已知，且，函数，则“”是“在上单调递减”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：，且，函数在上单调递减．又函数在上单调递减，则，且，解得．“”是“在上单调递减”的充分不必要条件．故选：A．由，且，可得函数在上单调递减又函数在上单调递减，可得，且，解得a范围即可判断出结论．本题考查了复合函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：中，，，成等比数列，，．，，解得或，，，故选：D．利用等比数列的定义求得，及余弦定理可得，解得即可本题主要考查等比数列的定义，正弦定理余弦定理的应用，属于基础题．11. 设，，则A. 且B. 且C. 且D. 且【答案】B【解析】解：；；又；即，；，．故选：B．容易得出，，即得出，，从而得出，．考查对数函数的单调性，以及增函数的定义．12. 设为一个圆柱上底面的中心，A为该圆柱下底面圆周上一点，这两个底面圆周上的每个点都在球O的表面上，若两个底面的面积之和为，与底面所成角为，则球O的表面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：如图，设该圆柱底面半径为r，高为h，则，，解得，，则球O的半径，故球O的表面积为．故选：B．由题意画出图形，设该圆柱底面半径为r，高为h，由圆柱的底面积求得圆柱底面半径，再由与底面所成角为求得圆柱的高，进一步求出球的半径得答案．本题考查球内接旋转体及其表面积，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量，的夹角为，且，，则______．【答案】【解析】解：由向量的数量积公式得：，故答案为：由向量的数量积公式：运算即可．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属简单题．14. 现有两对情侣都打算从巴黎、厦门、马尔代夫、三亚、泰国这五个地方选取一个地方拍婚纱照，且这两对情侣选择的地方不同，则这两对情侣都选在国外拍婚纱照的概率为______．【答案】【解析】解：现有两对情侣都打算从巴黎、厦门、马尔代夫、三亚、泰国这五个地方选取一个地方拍婚纱照，且这两对情侣选择的地方不同，则基本事件总数，这两对情侣都选在国外拍婚纱照包含的基本事件个数，这两对情侣都选在国外拍婚纱照的概率为．故答案为：．先求出基本事件总数，再求出这两对情侣都选在国外拍婚纱照包含的基本事件个数，由此能求出这两对情侣都选在国外拍婚纱照的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15. 若为锐角，则当取得最小值时，______．【答案】【解析】解：为锐角，，则当，当且仅当即时取得最小值4，．故答案为：．由已知可得，，利用基本不等式可求的最小值及满足条件的，然后由二倍角公式可求．本题主要考查了利用基本不等式求解最值及二倍角的正切公式的简单应用，属于基础试题．16. 若椭圆C：上存在一点P，使得，其中，分别是C的左、右焦点，则C的离心率的取值范围为______．【答案】【解析】解：椭圆C：上存在一点P，使得，其中，分别是C的左、右焦点，，可得：，解得．所以椭圆的离心率为：．故答案为：．利用已知条件，通过椭圆的定义，列出不等式求解椭圆的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17. 设为等差数列的前n项和，，．求的通项公式；若，，成等比数列，求．【答案】解：为等差数列的前n项和，，．，解得，，．由知，．，，成等比数列，，即，解得，．【解析】由等差数列的前n项和公式和通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出的通项公式．推导出由，，成等比数列，得，从而求出，由此能求出．本题考查等差数列的通项公式、前n项和的求法及应用，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．18. 甲、乙两人这五年的年度体验的血压值的折线图如图所示．根据散点图，直接判断甲、乙这五年年度体检的血压值谁的波动更大，并求波动更大者的方差；根据乙这五年年度体检血压值的数据，求年度体检血压值y关于年份x的线性回归方程，并据此估计乙在2018年年度体检的血压值．附：，【答案】解：根据散点图知，甲的血压值波动更大些，甲这五年年度体检的血压值的平均值为，其方差为；计算，，回归系数为，；y关于x的线性回归方程为；当时，；估计乙在2018年年度体检的血压值为118．【解析】根据散点图知甲的血压值波动更大些，计算甲的平均值和方差；计算平均数和回归系数，写出回归方程，利用回归方程求出时的值即可．本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．19. 如图，在三棱锥中，平面ABC，且，．证明：为直角三角形；设A在平面PBC内的射影为D，求四面体ABCD的体积．【答案】证明：，，，．平面ABC，．，平面PAB．又平面PAB，，故为直角三角形．解：为线段PB的中点，证明如下：，．又平面PAB，．，平面PBC．取AB的中点H，则平面ABC，，的面积为2，四面体ABCD的体积为．【解析】推导出，，从而平面PAB，进而，由此能证明为直角三角形．为线段PB的中点，取AB的中点H，则平面ABC，由此能求出四面体ABCD的体积．本题考查直角三角形的证明，考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20. 在直角坐标系xOy中直线与抛物线C：交于A，B两点，且．求C的方程；若D为直线外一点，且的外心M在C上，求M的坐标．【答案】解：设，，联立，可得，则，，从而，，，解得，故C的方程为，设线段AB的中点，由可知，，则线段AB的中垂线方程为，即，联立，解得或，M的坐标为或．【解析】联立方程组，根据韦达定理和向量的数量积即可求出，先求出线段AB的中垂线方程为，再联立方程组，解得即可．本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了转化能力和运算能力，属于中档题21. 已知函数．求的单调区间；若，证明：；若，直线与曲线相切，证明：．参考数据：，【答案】解：，令，解得：，则在递增，令，解得：，则在递减；证明：，故，则0是的极小值点，由知，则，设函数，则，设函数，则，易知，则恒成立，令，得，令，得，则在递减，在递增，则，从而，即；证明：设切点为，当时，，则，则，即，设函数，，则递增，又，，取，设，则，若，则，递增，则，又，故．【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；求出的最小值，求出a的值，设函数，得到恒成立，根据函数的单调性证明即可；代入a的值，得到，设函数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想以及不等式的证明，是一道综合题．22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，曲线C的参数方程为为参数．求l和C的直角坐标方程；讨论l和C的位置关系．【答案】解：直线l的参数方程为为参数，直线l的直角坐标方程为．曲线C的参数方程为为参数，曲线C的直角坐标方程为．曲线C是以为圆心，1为半径的圆，圆心到直线l的距离，当时，，l和C相切；当时，，l和C相交；当或时，，l和C相离．【解析】由直线l的参数方程能求出直线l的直角坐标方程；由曲线C的参数方程能求出曲线C的直角坐标方程．曲线C是以为圆心，1为半径的圆，圆心到直线l的距离，由此利用分类讨论思想能判断l和C的位置关系．本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查直线与圆的位置关系的判断，考查直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23. 设函数．当时，求不等式的解集；若，，求a的取值范围．【答案】解：当时，，故不等式的解集为．，，则，解得，故a的取值范围为．【解析】求出a的值，求出的分段函数的形式，求出不等式的解集即可；求出的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。
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因为 y sin 2x 2 关于直线 x 对称，
12
所以 2 2 k k Z ，所以 k k N ，则 的最小值为 .
12
2
62
6
故选：C
【点睛】本题考查正弦函数的相位变换，以及正弦函数的对称性，属于基础题.
9.已知等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 S5 4 ， S10 10 ，则 S15 （ ）
【点睛】本题考查了充要条件，理解把握面面垂直的性质是解题的关键.
5.一组数据的平均数为 m ，方差为 n ，将这组数据的每个数都乘以 a a 0 得到一组新数据，
则下列说法正确的是（ ）
A. 这组新数据的平均数为 m C. 这组新数据的方差为 an
【答案】D 【解析】
B. 这组新数据的平均数为 a m D. 这组新数据的标准差为 a n
A. 16
B. 19
C. 20
D. 25
-4-
【答案】B 【解析】 【分析】
利用 S5 ， S10 S5 ， S15 S10 成等比数列求解
【详解】因为等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，所以 S5 ， S10 S5 ， S15 S10 成等比数列，因
为 S5 4 ， S10 10 ，所以 S10 S5 6 ， S15 S10 9 ，故 S15 10 9 19 .
则“ m l ”是“ m ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据面面垂直的性质分别判断充分性和必要性得到答案.
【详解】若 m l ，则根据面面垂直的性质定理可得 m ；若 m ，则由 l ，可得
ml. 故选： C
【详解】解：因为B x | x 3 B x | x 3， A 1, 2,3, 4,5 A B 4,5.
故选：D
【点睛】本题考查交集的运算，属于基础题.
2.复数 z i 上的虚部为（ ） 5i
5
A.
26
B. 5 i 26
【答案】A
C. 5 26
【解析】
【分析】
化简得到 z 1 5 i 计算虚部得到答案. 26 26
在电影节进行展映.若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，则《春潮》与《抵达
之谜》至少有一部被选中的概率为（ ）
1
A.
2
3
B.
5
【答案】C
Hale Waihona Puke 7C.10
4
D.
5
【解析】
【分析】
-3-
分别列举出五部作品中选择两部的情况,共有 10 种,再找到《春潮》与《抵达之谜》至少有一
部的情况,共有 7 部,求出概率即可
【详解】
z
i
5
26
i
1 26
5 26
i
，所以
z
5
i
i
的虚部为
5 26
.
故选： A
【点睛】本题考查了复数虚部的计算，属于简单题.
D. 5 i 26
3.若双曲线
x2 a2
y2 4
1 a
0 的实轴长为 2
2 ，则该双曲线的渐近线方程为（
）
A. y 1 x 2
B. y 2 x 2
C. y 2x
f
x
ln x, x 0, g x 1, x 0,
若
f
x
是奇函数，则
g
e2
（
）
A. 3
B. 2
C. 1
D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出 f e2 的值，再根据奇函数的性质 f (x) f (x) ，可得到 f e2 的值，最后代入
f e2 g(e2 ) 1，可得到答案.
【详解】从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位的所有情况为（《南方车站的聚会》，
《春江水暖》），（《南方车站的聚会》，《第一次的离别》），（《南方车站的聚会》，《春潮》），（《南
方车站的聚会》，《抵达之谜》），（《春江水暖》，《第一次的离别》），（《春江水暖》，《春潮》，（《春
江水暖》，《抵达之谜》），（《第一次的离别》，《春潮》）（《第一次的离别》，《抵达之谜》），（《春
-2-
【分析】
计算得到新数据的平均数为 am ，方差为 a2n ，标准差为 a n ，结合选项得到答案.
【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为 am ，方差为 a2n ，标准差为 a n .
故选： D
【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.
6.设函数
【详解】∵ f x 是奇函数
f e2 f e2 ln e2 2
g e2 f e2 1 3 ．
故选：A
【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求值的问题，属于基础题.
7.第 28 届金鸡百花电影节将于 11 月 19 日至 23 日在福建省厦门市举办，近日首批影展片单
揭晓，《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将
的最小值为（ ）
A.
12
B.
4
C.
6
D.
3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据相位变换规则求出变换后的解析式，由曲线关于直线 x 对称，得到关于 的关系式，
12
即可求出最小值.
【详解】解：由题意，将曲线 y sin 2x 向左平移 0 个单位长度，
可得 y sin 2x sin2x 2 ，
潮》，《抵达之谜》），共 10 种情况，其中《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的有 7 种，
7
故所求概率为
10
故选：C
【点睛】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率,考查古典概型,属于基础题
8.将曲线 y sin 2x 向左平移 0 个单位长度，得到的曲线关于直线 x 对称，则
12
D.
-1-
y 2x
【答案】D 【解析】 【分析】
根据实轴长得到 a 2 ，再根据渐近线公式得到答案.
【详解】∵ 2a 2 2 ，∴ a
2
，∴双曲线的渐近线方程为
y
b a
x
2 x 2
2x .
故选： D
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题型.
4.已知 ， 是两个不同的平面，m ，l ，是两条不同的直线，且 ，m ， l ，
高三数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1.已知集合 A 1, 2,3, 4,5 ， B x | x 3 ，则 A B （ ）
A. 5
B. 1, 2
C. 3, 4,5
D. 4,5
【答案】D 【解析】 【分析】 首先求出集合 B ，再根据交集的定义，即可得解.