圆和扇形综合提高
六年级圆和扇形综合练习试题
页眉圆与扇形练习题一一、判断1、两个圆的周长相等，它们的直径也相等（）2、圆的周长总是该圆直径的∏倍。
（）3．大圆的圆周率比小圆的圆周率大。
（）4、大圆的直径是小圆半径的4倍，那么大圆的周长是小圆周长的4倍。
（）5、半圆的周长就是圆周长的一半。
（）6、圆的半径扩大2倍，它的直径也扩大2倍，它的周长将会增加一倍。
（）二、填空。
1。
在同一个圆里，半径是5厘米，直径是（）厘米。
2．圆是平面上的一种（）图形。
3、圆的半径是3厘米，直径是（）厘米，周页脚页眉长是（）厘米。
4．圆的周长是28．26米，它的直径是（）厘米，半径是（）厘米。
5、一台时钟的分针长6厘米，它走过2圈走了（）厘米6。
一个圆的周长是12．56厘米，如果用圆规画这个圆，圆规两脚的距离是（）厘米。
7、一个圆环，外圆半径是3厘米，内圆半径是2厘米，这个圆环的面积是（）8、圆心角是90度的扇形面积是所在圆面积的（）三、圆的面积1．一个圆的周长与一个正方形的周长相等，这个正方形的边长是6．28厘米，圆的面积是多少平方厘米？页脚页眉2．圆形水池，周长是18．84米，面积是多少平方厘米？5．直径是1.5米，每分转8圈，压路机每分前进多少米？6．圆形养鱼池，直径是4米，这个养鱼池的周长是多少米？8．自动旋转喷灌装置半径是10米，它的最大喷灌面积是多少平方米？9．草坪周长是50.24米，这块草坪占地多少平方米？10．画一个直径2cm的圆。
圆与扇形练习题二1.填空题页脚页眉1、一个半圆，半径为r，半圆周长是（）。
（2）如果一个圆的半径扩大3倍，它的直径扩大（）倍，面积扩大（）倍。
（3）圆的周长是157厘米，它的直径是（50）厘米，面积是（）平方厘米。
（4）一根铜丝长18.84米，正好在一个圆形线轴上绕40周。
这个圆形线轴的直径是（）厘米。
（5）圆的周长是直径的（）倍，是半径的（）倍。
（7）圆规两脚分开的距离是6厘米，用这个圆规画出的圆，它的周长是（）。
（8）在一个正方形中画出一个最大的圆，圆的面积与正方形面积的比是（）。
奥数班六年级第4讲 圆和扇形进阶
C B
A 第七讲 圆和扇形进阶
【知识点拨】
在较难的图形题中常用的思想方法：
①容斥原理
②整体思考
【典型例题】
例1：如图，矩形ABCD 中，AB =6厘米，BC =4厘米，扇形ABE 半径AE =6厘米，扇形CBF 的半径CB =4厘米，求阴影部分的面积．(π取3)
例2：在图20－12中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。
例3：求下图中圆的面积是正方形面积的几分之几？（可以用π表示）
例4：在正方形ABCD 中，AC ＝6厘米。
求阴影部分的面积。
例5：在下图的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。
求阴影部分的面积。
【课堂精练】
1. (2008年四中考题)已知三角形ABC 是直角三角形，4cm AC =，2cm BC =，求阴影部分的面积．
2. 求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
A B
D
10
3. 求下图中圆的面积是正方形面积的几分之几？（可以用π表示）
4. 如图所示，图形中正方形的面积都是50平方厘米，求阴影部分的面积。
5. 求如图中阴影部分的面积．(圆周率取3.14)
【杯赛试题】
6. 如图所示，平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。
B D
7.如图所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为6厘米和8厘米，高为5.2厘米。
求图中阴影部分的面积。
8.如图19－18所示，图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平方厘
米，∠ABC＝30度，求阴影部分的面积(圆周率取3)。
D。
六年级数学圆和扇形知识点总结
六年级数学圆和扇形知识点总结一、圆的认识圆是一种几何图形，由一个动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线。
1、圆的各部分名称圆心：用字母“O”表示，圆中心的一点叫做圆心，它决定了圆的位置。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用字母“r”表示。
半径决定了圆的大小。
直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母“d”表示。
2、圆的特征在同一个圆内，有无数条半径，所有的半径都相等；有无数条直径，所有的直径也都相等。
在同一个圆内，直径的长度是半径的 2 倍，即 d ＝ 2r 或 r ＝ d÷2。
圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。
3、圆的周长圆的周长是指围成圆的曲线的长度。
圆的周长计算公式：C ＝πd 或 C ＝2πr （其中 C 表示圆的周长，π是圆周率，通常取值 314，d 表示圆的直径，r 表示圆的半径）4、圆的面积圆的面积是指圆所占平面的大小。
圆的面积计算公式：S ＝πr² （其中 S 表示圆的面积）二、扇形的认识扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。
1、扇形的各部分名称圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧：圆上两点之间的部分叫做弧。
2、扇形的特征扇形是圆的一部分。
扇形的大小与圆心角的大小和半径的长短有关。
圆心角越大，扇形越大；半径越长，扇形越大。
3、扇形的面积扇形的面积公式：S ＝（n÷360）×πr² （其中 S 表示扇形的面积，n 表示圆心角的度数，r 表示扇形所在圆的半径）三、圆和扇形的应用1、计算圆的周长和面积已知圆的半径或直径，直接代入相应的公式计算。
例如：一个圆的半径是 5 厘米，求它的周长和面积。
周长：C ＝2πr ＝ 2×314×5 ＝ 314（厘米）面积：S ＝πr² ＝ 314×5²＝ 785（平方厘米）2、计算扇形的面积已知扇形的圆心角和半径，代入扇形面积公式计算。
中考数学总复习：圆综合复习--知识讲解(提高)
中考总复习：圆综合复习—知识讲解（提高）责编：常春芳【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；②圆是到定点的距离等于定长的点的集合．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB ，BC ，AC 都是弦． ②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC 是⊙O 的直径，直径是圆中最长的弦．③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC 、BAC 都是⊙O 中的弧，分别记作BC ，BAC ．④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC 是半圆． ⑤劣弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧． ⑥优弧：像BAC 这样大于半圆周的圆弧叫做优弧． ⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆． ⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． ⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB ，∠BOC 是圆心角．⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC 、∠ACB 都是圆周角． 要点诠释：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.圆外角度数等于它所夹弧的度数的差的一半. 圆内角度数等于它所夹弧的度数的和的一半.考点二、圆的有关性质 1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合． 2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r要点诠释：(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．②圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．要点诠释：找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点．三角形外心、内心有关知识比较3.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R 、r 为两圆半径(R ≥r)．d 为圆心距．要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点． ②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解． ④“r 1－r 2”时，要特别注意，r 1＞r 2．考点四、正多边形和圆 1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360n°． 要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比．3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形．正n 边形的边长a 、边心距r 、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算．360n a n =°，1802sin n a R n =°，180cos n r R n=°， 2222n n a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n n P n a =，1122n nnn n S a r n P r ==．考点五、圆中的计算问题 1.弧长公式：180n Rl π=，其中l 为n °的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径． 2.扇形面积公式：2360n R S π=扇，其中12S lR =扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR =扇．3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长． 圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和． 要点诠释：（1）在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径．（2）求阴影面积的几种常用方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法．考点六、四点共圆 1.四点共圆的定义四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”.2.证明四点共圆一些基本方法：1.从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．或利用圆的定义，证各点均与某一定点等距.2.如果各点都在某两点所在直线同侧，且各点对这两点的张角相等，则这些点共圆． （若能证明其两张角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径.）3.把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．4.把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆． 即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理证四点共圆.考点七、与圆有关的比例线段（补充知识）1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.3.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统一归纳为圆幂定理）定理 图形 已知 结论 证法 相交弦定理⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于P. PA·PB＝PC·PD . 连结AC 、BD ， 证：△APC∽△DPB .相交弦定理的推论⊙O 中，AB 为直径，CD⊥AB 于P.PC 2＝PA·PB . 用相交弦定理.切割线定理⊙O 中，PT 切⊙O 于T ，割线PB 交⊙O 于A PT 2＝PA·PB 连结TA 、TB ， 证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、CPA·PB＝PC·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ， 用两次切割线定理【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1． BC 为O 的弦，∠BOC=130°，△ABC 为O 的内接三角形，求∠A 的度数.【思路点拨】依题意知O 为△ABC 的外心，由外心O 的位置可知应分两种情况进行解答. 【答案与解析】应分两种情况，当O 在△ABC 内部时，1113065;22A BOC ∠=∠=⨯︒=︒当O 在△ABC 外部时，由∠BOC=130°，得劣弧BC 的度数为130︒，则BAC 的度数为360︒－130︒＝230︒,故∠A=115°. 综合以上得∠A=65°或∠A=115°. 【总结升华】转化思想就是化未知为已知，化繁为简，化难为易，从而将无法求解的问题转化成可以求解的问题，使问题得以解决. 举一反三：【变式】如图，∠AOB＝100°，点C 在⊙O 上，且点C 不与A 、B 重合，则∠ACB 的度数为（ ）A ．50B ．80或50C ．130D ．50 或130 【答案】解：当点C 在优弧上时，∠ACB＝21∠AOB＝21×100°＝50°， 当点C 在劣弧上时，∠ACB＝21（360°－∠AOB）＝21×（360°－100°）＝130°．故选D ．类型二、与圆有关的位置关系2．如图，已知正方形的边长是4cm ，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．（答案保留π）【思路点拨】设正方形外接圆，内切圆的半径分别为R ，r ，根据圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可． 【答案与解析】A BO解：设正方形外接圆，内切圆的半径分别为R ，r ， 如图，连接OE 、OA ， 则OA 2-OE 2=AE 2，即R 2-r 2=（）2=（）2=4，S 圆环=S 大圆-S 小圆=πR 2-πr 2，（2分）=π（R 2-r 2），（3分） ∵R 2-r 2=（）2=4， ∴S=4π（cm 2）．【总结升华】此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，找出两圆半径之间的关系，根据圆的面积公式列出关系式即可．3．如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，10cm OP =，射线PN 与⊙O 相切于点Q ．A,B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t s ． （1）求PQ 的长；（2）当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？【思路点拨】(1)连OQ,则OQ⊥PN,由勾股定理可以求得PQ 的长；(2)由直线AB 与⊙O 相切,先找出结论成立的条件,当BQ 等于⊙O 的半径时,直线AB 与⊙O 相切,再根据直线AB 与⊙O 相切时的不同位置,分类求出t 的值. 【答案与解析】解 （1）连接OQ ．∵PN 与⊙O 相切于点Q ，∴OQ⊥PN, 即90OQP ∠=．10OP =，6OQ =，∴)(861022cm PQ =-=（2）过点O 作OC AB ⊥，垂足为C ．点A 的运动速度为5cm/s ，点B 的运动速度为4cm/s ，运动时间为t s ， ∴t PA 5=，4PB t =．10PO =，8PQ =，∴PQPBPO PA = P P ∠=∠，∴△PAB∽△POQ, ∴∠PBA=∠PQO=90090BQO CBQ OCB ∠=∠=∠=，∴四边形OCBQ 为矩形．∴BQ=OC∵⊙O 的半径为6，∴BQ=OC=6时，直线AB 与⊙O 相切．①当AB 运动到如图1所示的位置时．84BQ PQ PB t =-=-．由6BQ =，得846t -=．解得0.5(s)t =． ②当AB 运动到如图2所示的位置时．48BQ PB PQ t =-=-．由6BQ =，得486t -=．解得 3.5(s)t =． 所以，当t 为0.5s 或3.5s 时,直线AB 与⊙O 相切． 【总结升华】本例是一道双动点几何动态题.是近年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大，对学生获取信息和处理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动.举一反三：【高清课堂：圆的综合复习 例4】【变式】已知：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于点D ，过点C 作⊙O 的切线，交OD 的延长线于点E ，连接BE ．（1）求证：BE 与⊙O 相切；（2）连接AD 并延长交BE 于点F ，若OB=9，2sin 3ABC ∠=，求BF 的长．【答案】（1）证明：连结OC .EC 与⊙O 相切，C 为切点.90....ECO OB OC OCB OBC OD DC DB DC ∴∠==∴∠=∠⊥∴=，∴直线OE 是线段BC 的垂直平分线....90.EB EC ECB EBC ECO EBO EBO ∴=∴∠=∠∴∠=∠∴∠= AB 是⊙O 的直径.BE ∴与⊙O 相切.（2）解：过点D 作DM AB ⊥于点M ，则DM ∥FB .在Rt ODB ∆中， 2909sin 3sin 6.ODB OB ABC OD OB ABC ∠==∠=∴=⋅∠=，，，由勾股定理得223 5.BD OB OD =-=在Rt DMB ∆中，同理得 22sin 2 5.5.DM BD ABC BM BD DM =⋅∠==-=O 是AB 的中点，18.13.AB AM AB BM ∴=∴=-= DM ∥FB ，∴△AMD ∽△ABF .36513MD AM BF AB MD AB BF AM ∴=⋅∴==类型三、与圆有关的计算4．如图，有一个圆O 和两个正六边形T 1，T 2． T 1的6个顶点都在圆周上，T 2的6条边都和圆O 相切（我们称T1，T2分别为圆O 的内接正六边形和外切正六边形）．（1）设T1，T2的边长分别为a ，b ，圆O 的半径为r ，求r ：a 及r ：b 的值；（2）求正六边形T 1，T 2的面积比S 1：S 2的值．【思路点拨】（1）根据圆内接正六边形的半径等于它的边长，则r ：a=1：1；在由圆的半径和正六边形的半边以及正六边形的半径组成的直角三角形中，根据锐角三角函数即可求得其比值；（2）根据相似多边形的面积比是相似比的平方．由（1）可以求得其相似比，再进一步求得其面积比．【答案与解析】解：（1）连接圆心O 和T 1的6个顶点可得6个全等的正三角形．所以r ：a=1：1；连接圆心O 和T 2相邻的两个顶点，得以圆O 半径为高的正三角形，所以r ：b=AO ：BO=sin60°=：2；（2）T 1：T 2的边长比是：2，所以S 1：S 2=（a ：b ）2=3：4．【总结升华】 计算正多边形中的有关量的时候，可以构造到由正多边形的半径、边心距、半边组成的直角三角形中，根据锐角三角函数进行计算．注意：相似多边形的面积比即是其相似比的平方．举一反三：【变式】有一个亭子，它的地基是半径为8m的正六边形，求地基的周长和面积．（结果保留根号）【答案】解：连接OB、OC；∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC==60°，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=8m，∴正六边形ABCDEF的周长=6×8=48m．过O作OG⊥BC于G，∵△OBC是等边三角形，OB=8m，∴∠OBC=60°，∴OG=OB•sin∠OBC=8×=4m，∴S △OBC=BC•OG=×8×4=16，∴S 六边形ABCDEF=6S△OBC=6×16=96m2．类型四、与圆有关的综合应用5．（2014•孝感模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作EF∥BC，交AB、AC的延长线于点E、F．（1）求证：EF为⊙O的切线；（2）若sin∠ABC=，CF=1，求⊙O的半径及EF的长．【思路点拨】（1）连接OD，只要证明OD⊥EF即可．（2）连接BD，CD，根据相似三角形的判定可得到△CDF∽△ABD∽△ADF，根据相似比及勾股定理即可求得半径及EF的值．【答案与解析】（1）证明：连接OD；∵AB是直径，∴∠ACB=90°；∵EF∥BC，∴∠AFE=∠ACB=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA；又∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AF，∴∠ODE=∠AFD=90°，即OD⊥EF；又∵EF过点D，∴EF是⊙O的切线．（2）解：连接BD，CD；∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADB=∠AFD；∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠DAC，∴BD=CD；设BD=CD=a；又∵EF是⊙O的切线，∴∠CDF=∠DAC，∴∠CDF=∠OAD=∠DAC，∴△CDF∽△ABD∽△ADF，∴=，=；∵sin∠ABC==，∴设AC=3x，AB=4x，∴=，则a2=4x，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得DF2=CD2﹣CF2=4x﹣1；又∵=，∴4x﹣1=1×（1+3x），∴x=2，∴AB=4x=8，AC=3x=6；∵EF∥BC，∴△ABC∽△AEF，∴=，=，AE=，∴在Rt△AEF中，EF===．综上所述，⊙O的半径及EF的长分别是4和．【总结升华】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识点的综合运用．举一反三：【高清课堂：圆的综合复习例3】【变式】（2015•宁波模拟）已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且BD=BA，过点B画AD的垂线交AC于点O，以O为圆心，AO为半径画圆．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为8，tan∠C=，求线段AB的长，sin∠ADB的值．【答案】解：（1）连接OD，∵BA=BD，BO⊥AD，∴∠ABO=∠DBO，在△ABO和△DBO中，∴△ABO≌△DBO（SAS），∴OD=OA．∠ODB=∠OAB=90°，∴BD⊥OD，∴BC是⊙O的切线；（2）∵在RT△ODC中，CD===6，∴OC=10，∴AC=18在RT△ABC中，AB=AC•tan∠C=18×=24，∵∠ADB=∠DAB=∠AOB，∴sin∠ADB=sin∠AOB==，6．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC；（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC 三者之间有何数量关系，并给予证明．【思路点拨】（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE，证明△PCE是等边三角形．利用CE=PC，∠E=60°，∠EBC=∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA=BE=PB+PC；（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，证明△ABE≌△CBP，所以PC=AE，可得PA=PC+PB．（3）在AP上截取AQ=PC，连接BQ可证△ABQ≌△CBP，所以BQ=BP．又因为∠APB=30°．所以PQ=PB，PA=PQ+AQ=PB+PC．【答案与解析】证明：（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE．∵∠BAC=∠CPE=60°，PE=PC，∴△PCE是等边三角形，∴CE=PC，∠E=60°；又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，∴∠BCE=∠ACP，∵△ABC、△ECP为等边三角形，∴CE=PC，AC=BC，∴△BEC≌△APC（SAS），∴PA=BE=PB+PC．（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°∴∠1=∠3，又∵∠APB=45°，∴BP=BE，∴；又∵AB=BC，∴△ABE≌△CBP，∴PC=AE．∴．（3）答：；证明：过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ=PC，连接BQ，∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，∴△ABQ≌△CBP，∴BQ=BP．∴MP=QM，又∵∠APB=30°，∴cos30°=，∴PM=PB，∴∴【总结升华】本题考查三角形全等的性质和判定方法以及正多边形和圆的有关知识．要熟悉这些基本性质才能灵活运用解决综合性的习题．举一反三：【变式】（1）如图①，M、N分别是⊙O的内接正△ABC的边AB、BC上的点且BM=CN，连接OM、ON，求∠MON的度数；（2）图②、③、…④中，M、N分别是⊙O的内接正方形ABCD、正五边ABCDE、…正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON，则图②中∠MON的度数是，图③中∠MON的度数是；…由此可猜测在n边形图中∠MON的度数是；（3）若3≤n≤8，各自有一个正多边形，则从中任取2个图形，恰好都是中心对称图形的概率是 .【答案】解：（1）连接OB、OC；∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴OB=OC∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=∠OBA=30°；又∵BM=CN，∴△OBM≌△OCN，∴∠MOB=∠NOC，∴∠MON=∠BOC=120°；（2）90°；72°；360n．（3）15.。
新冀教版六年级数学上册《 圆和扇形 扇形 认识扇形;综合练习》研讨课教案_2
师：谁来让大家看一看你画的扇形？说一说你是怎样画的？
师：下面，我们来看一道有点挑战性的题，请同学们先测量出下面每个涂色扇形的圆心角的度数。
指名回答。
（120°）（72°）（45°）
师：测量的很Байду номын сангаас确，同学们想一想：如果不测量，你能算出圆心角的度数吗？
指名回答，并说明理由。
（针对学生有价值的课堂临时生成进行记录并进行双边反思）
扇形的特征我是让学生观察，通过观察把自己的发现与大家交流，学生能够说出：两条半径，圆心，有一个学生还说出了一段曲线，最后我让学生用一句话把上述三点串起来，表述扇形的定义。学生能够大致表示出意思，最后再出示完完整的定义。这样感觉学生掌握的比较好。
书中没有出现“圆心角”，在上课时我也只是简单的给学生说了说有关圆心角的知识。没有重点强调，只是告诉学生什么是圆心角，感觉这里处理得不够清楚。尤其是圆心角。
学生动手画，教师巡视，并对操作有困难的学生进行指导。
师：谁愿意展示一下你画的扇形，并说一说你是怎样画的？
展示学生作品，让两三名同学介绍自己画图的步骤。
四、课堂练习
师：同学们不但认识了扇形，还学会了画扇形，接下来请同学们判断一下下面哪个图形中的涂色部分是扇形？为什么？
出示练一练第1题。
生1：第一幅、第二幅图形中的涂色部分不是扇形，因为它们不是由两条半径和圆上的一段曲线组成的。
板书设计：
扇形的认识
扇形是由两条半径和圆上的一段曲线围成的。
扇形有一个圆心角，角的顶点在圆心。
教师揭示课题。
师：请同学们继续观察，谁能用自己的话描述一下扇形有什么特征？
生1：扇形都是圆的一部分。
生2：扇形是由两条半径和圆上
圆和扇形练习提高的的题目
'\圆和扇形练习题1(如无特别说明，题目中n取3.14 )姓名：____________________一、填空题1. 如果用d表示圆的直径，那么圆的周长C = _______________ .2. 如果已知圆的周长为C,那么求圆的半径用公式_______________ .3. n叫做 ___________ ，它是_______________ 禾廿 __________ 的比值，即n = _______4•我国南北朝时期的数学家将圆周率计算到七位小数.5•如果已知圆的半径为r,那么半圆的周长公式为C半圆= __________________ .6.已知圆环的外圆半径为r i,内圆半径为匕，那么圆环的宽度d= ___________ .7•已知圆的周长为C,那么圆心角为n°的弧长1 = ________________ .&半径为r,圆心角为n°勺弧长1= ________________ .9. __________________________ 120。
的圆心角是360。
的_________________ 分之一，它所对的弧是相应圆周长的 _____ 分之一.10. _____________________________________________________ 将长为12 cm的圆周平均分为四份，每一份的弧长为 _______________________________ cm .11. 已知60。
的圆心角所对的弧长为3 cm,它所在的圆的周长是____________12. _______________________________________________ 半径为2 cm,圆心角为90°勺弧长为 _______________________________________ .、选择题cm.1.圆的周长是直径的(A) 3.14159 倍； (B) 3.14 倍；(C) 3 倍； (D) n 倍2. 圆的半径扩大为原来的3倍.......................... ( )(A)周长扩大为原来的9倍(B)周长扩大为原来的6倍(C)周长扩大为原来的3倍(D)周长不变3. 圆的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则...... ()(A)弧长扩大为原来的4倍(B)弧长扩大为原来的2倍(C)弧长不变(D )弧长缩小为原来的一半三、简答题1.求下图中圆的周长2、一个圆形花坛的直径为5米, 要在它的边上镶一圈合金，需要合金3、用18.84 cm的铁丝做一个圆, 求这个圆的半径.多少米?5、如果圆环的外圆周长为 30 cm,内圆周长为20 cm,求圆环的宽度.(结果 保留两位小数)d=8厘米8.半径为6 cm 的圆，一圆心角所对的弧长为6.28 cm,这个圆心角多少度?9、一辆自行车的车轮直径是 0.76米，那么 (1) 它在地面上转一圈行了多少路程？(2) 如果它每分钟转 200圈，那么它每分钟可以行驶多少路程？ (3) 按上面的速度，小明从家到学校要 5分钟，求小明家到学校的距离10.某海关大楼的大钟时针长 1.8米，从上午11点到下午4点，时针的尖端移动了多 少米？6. 半径为5 cm,圆心角为72°勺 弧长是多少？7. 直径为9 cm 的圆，圆心角 40°勺 弧长是多少？4、求下图中半圆的周长圆和扇形练习题2（如无特别说明，题目中n取3.14 ）姓名：_____________________一、填空题1. 如果用r表示圆的半径，那么圆的面积S= .2. __________________________________ 半径为1米的圆的面积为______ ，半径为2米的圆面积为_______________________________ •3. 直径为1米的圆的面积为 ___________ ，直径为6米的圆面积为_______________ .4. _______________________________________ 面积为12.56平方米的圆，半径为__________________________________________________ 米，直径为_________ 米.5•如果已知圆的半径为r,那么半圆的面积公式为S半圆= ________________ .6•外滩海关大钟钟面的直径是 5.8米，面积是_________ 平方米（结果保留一位小数）⑵ d=10cm2、上海体育馆圆形比赛场地的半径是55米，求它的周长和面积4、在一个边长为20 cm的正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积又是多少?6. 如下图，在半径为5米的圆形花坛周围修一条宽1米的小路，求小路的面积7•图中正方形的边长为2 cm,求下图中阴影部分的面积9.直径为18 cm的圆中，圆心角40°勺扇形面积是多少？10.半径为6 cm的扇形面积为18.84cm2,它的圆心角是多少度?5.已知电风扇的叶片长约50 cm,风扇转动时叶片扫过的面积•&半径为15 cm,圆心角为72°勺扇形面积是多少？3、求下图中半圆的面积11. 某海关大楼的大钟时针长1.8米，从上午11点到下午4点，时针扫过的面积是多少平方米？14•已知正方形的边长为2，求右图中阴影部分的面积12. 求下图中扇形的周长和面积13 .下列每个正方形的边长为2,求下图中阴影部分的面积第四章圆和扇形测试卷(时间45分钟，满分100分)姓名：_______________一、填空题(每小题3分，满分36分)1、圆的直径为30,则圆的周长= ___________ .2、圆半径为2cm，那么180°的圆心角所对的弧长1= ________ cm.3、如果圆的半径r = 12cm，那么18°的圆心角所对的弧长I = ___________ cm.24、把边长为2分米的正方形剪成一个最大的圆，则这个圆的面积= ____ m .5、大圆的半径是小圆的半径的2倍，则大圆面积是小圆面积的 ________ 倍•6、一个半圆面的半径是r,则它的面积是________ .7、圆的面积扩大到原来的9倍，则它的半径扩大到原来的_________ 倍.8、一个圆的半径从2cm增加到3cm，则周长增加了_______ cm.9、120°的圆心角所对的弧长是15.072米，弧所在的圆的半径是 _______ 米.1 、10、一个扇形面积是它所在圆面积的，这个扇形的圆心角是度.611、一个圆环的外半径是5cm，内半径是3cm,这圆环的面积是_______ cm2.12、把直径为18厘米的圆等分成9个扇形，每个扇形的周长是 __________ 厘米.二、选择题(每题3分，满分12分)13、下列结论中正确的是................................. ( )(A) 任何圆的周长与半径之比不是一个常数；(B) 任何两个圆的周长之比等于它们的半径之比；(C) 任何两个圆的周长之比是一个常数；(D称圆的周长与半径之比为圆周率.14、下列判断中正确的是.................................. ( )(A) 半径越大的弧越长；(B) 所对圆心角越大的弧越长；(C) 所对圆心角相同时，半径越大的弧越长；(D) 半径相等时，无论圆心角怎么改变弧长都不会改变15、下列判断中正确的是.................................. ( )(A) 半径越大的扇形面积越大；(B) 所对圆心角越大的扇形面积越大；(C) 所对圆心角相同时，半径越大的扇形面积越大；(D) 半径相等时，所对圆心角越大的扇形面积越小16、一个圆的半径增加2cm,则这个圆......................... ( )(A)周长增加4cm ；(B)周长增加4二cm ；(C)面积增加4cm ；(D)面积增加.4二cm .三、简答题(17〜20每题5分，21〜24每题6分，25题8分，满分52分)17、一辆汽车的轮子直径1米，若行驶时车轮转速为8周/秒,取■:3,试计算这辆汽车的行驶速度为每小时多少千米？18、取■: 3，试计算当上述汽车以120千米/小时的速度行使时，车轮的转速是每秒多少周.(结果保留整数位)19、如图，一个圆环的外圆半径为试计算圆环的面积•20、如图，半径为6的圆恰容于一个正方形内， 试用二表示正方形内圆以外部分的面积21、某建筑物上大钟的分针长1.2米，时针长0.9米，取：：3.14，试计算一小时分针和时针的针尖运动的弧长.22、已知正方形边长为 2，分别以正方形两个对角顶点为圆心，以边长为半径作两段圆23、已知C 、D 两点在以AB 为直径的半圆周上且把半圆三等分，若已知AB 长为10，试用二表示阴影部分面积24、如图，四个圆的半径都是1,四个圆的圆心恰好是正方形的四个顶点，试用 二表示阴影部分面积25、小红用4根各长1米的绳子围成4个圆，小蓝用2根各长2米的绳子围成2个圆, 小白用1根长4米的绳子围成1个圆，试求他们围得图形的面积之比 .7. 半径为3 cm 的圆的面积是 ________ ，直径为2 cm 的圆面积为 _____ . 8. 面积为3.14怦的圆半径是 _________ 米，直径是 ____ 米.29. ____________________________________________ 分针长6 cm,它一小时扫过的面积为4cm ，内圆半径为 3cm ，取7： 3.14,弧，试用二表示两弧所夹叶形部分的面积________________________________________________________ cm .10. 某圆的周长是12.56米，那么它的半径是，面积是.11 .已知外圆的面积为5 m* 2 3,内圆的面积为 3 m2,圆环的面积是 _______ .12. ____________________________________________________________ 已知外圆的半径为 2 cm,内圆半径为 1 cm,圆环的面积为___________________________________ .13. 已知圆面积为S,那么圆心角为n°的扇形面积S扇= ________________ .14. _____________________________________________ 半径为r,圆心角为n°勺扇形面积S扇= ___________________________________________________ .15. __________________________ 120。
圆与扇形进阶 培优奥数课件 小学数学六年级
知识精讲 捆绳问题的秘密
捆绳问题总结 基本方法 确定圆心，连点作答，应用公式。 规律总结 绳子的长度＝外圈圆的个数×直径+圆的周长
知识精讲 旋转与轨迹
若线段绕某个点顺时针或逆时针进行旋转，旋转的线段的 长度即圆的半径，旋转360º所形成的图形是圆形，旋转其 他较小的度数，所形成的图形是扇形。
做此类题型时，千万要注意避开单位坑，注意 已知条件与问题单位的异同，计算后，进行单 位换算，单位变小，数要变大。单位变大，数 要变小。
10×10＝100 3.14×10²÷4＝78.5 100－78.5＝21.5
例题8 下面3幅图中互相垂直的两条线段的长度均为10，求各图阴影部分 的面积。
3.14×10² ÷4＝78.5 78.5×2＝157 10×10＝100 157－100＝57
例题9
下图中圆的周长是20厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等， 则图中阴影部分的周长是多少厘米？ 设长方形的长为a,则πr² ＝ar，由此可 得，a＝πr。 由此得，阴影部分周长由四分之一圆+一 个圆的周长组成，列式可得。 20÷4+20＝5+20＝25(厘米 )
每份的面积 (16π )÷(2π ) ＝8 正方形面积 8×4＝32 小圆面积 8π
答 正方形的面积是32，里面小圆的面积是8π。
例题6 一根绳子将三根圆形的木头紧密地捆在了一起，已知一根木头的横 截面是半径为4的圆，求绳子的长度。 圆的周长 3.14×2×4＝25.12
圆的六条半径 4×6＝24
知识精讲 解几何问题的解题技巧
1.转化思想。也就是复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟 悉的。 2.等积变形。割补，平移，旋转，平行线间进行等积变形。 3.借来还去。加减法。 4.外围入手，曲线救国。从会求的图形或者能求的图形入 手，看与要求的部分之间的关系。 5.容斥原理。实际上这种思想是贯穿于加减法始终的。我 们把两部分面积加起来，去掉总面积，剩下的就是重叠部 分面积。 6.差不变原理。同加同减差不变。 7.整体减空白，用大图形的面积减去小图形的面积。
六年级上册圆和扇形练习题
六年级上册圆和扇形练习题一、选择题1. 下列哪个不是圆的特征？A. 有无数个对等的直径B. 任意两点之间的距离相等C. 长度相等的弧划分的圆周角相等D. 中心角的两条弧相等2. 圆的直径是8cm，那么圆的半径是多少？A. 4cmB. 8cmC. 16cmD. 12cm3. 直径为12cm的圆杆，一个圆柱形的铁板体积是多少立方厘米？A. 904.32立方厘米B. 2260.8立方厘米C. 1690.08立方厘米D. 6780.32立方厘米4. 将一个扇形展开，可以得到下列哪个图形？A. 圆B. 三角形C. 长方形D. 梯形5. 一个扇形的圆心角是60°，那么扇形的圆周角是多少度？A. 60°B. 120°C. 180°D. 360°二、解答题1. 一个扇形的弧长是20cm，半径是5cm，那么该扇形的面积是多少平方厘米？2. 圆的周长是30πcm，那么该圆的面积是多少平方厘米？3. 某个扇形的半径是8cm，圆心角是60°，求出该扇形的弧长和面积。
4. 一个扇形的半径是10cm，圆心角是120°，求出该扇形的弧长和面积。
三、应用题1. 一个扇形的半径是6cm，圆心角是30°。
一只小猫从扇形的一端点出发，绕该扇形一周，回到圆弧的另一端点，问它走的路程是多长？2. 王平拿到了一个半径为14cm的铁皮片，他想将其制作成一个扇形的风扇片。
如果他希望风扇片的圆心角是45°，他需要切割多长的弧长？四、综合题小明拿到了一个圆形的文具盒，他想在盖子上画一个扇形的花纹。
已知文具盒的半径是8cm，他希望花纹的圆心角是90°。
1. 请帮助小明计算出他需要画多长的弧线才能画出所期望的花纹。
2. 如果小明还希望花纹的半径是文具盒半径的一半，请计算出他需要画多长的弧线才能实现。
3. 如果小明决定将文具盒的圆盖分成四个等份，每个扇形的圆心角相等，求每个扇形的圆心角和面积。
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圆和扇形综合提高
一、填空题
2，那么它所对的圆心角是__________度。
1、如果一条弧长是它所在圆周长的
5
2、如果一个圆的半径为9 cm，那么圆上o40的圆心角所对的弧长是
cm。
3、一张圆形纸片，沿着它的两条半径剪下圆心角为o
120的一块，则剩余部分与圆形纸片的面积之比是。
4、台钟的时针长为6 cm，从7时到12时，时针针尖所走过的路程是cm。
5、钟面上分针半径为9cm，从8点到8点一刻，分针扫过的面积为________ cm2。
6、在一个边长为8 cm的正方形上剪下一个最大的圆，则剩余部分的面积是
2
cm
7、在长6分米，宽4分米的长方形木板上截取一个最大的圆，这个圆周长是_____ ___分米。
8、如果我们用整个圆表示某校六年级（1）班共有40人，那么评优的5名同学应该用圆心角为度的扇形来表示。
9、将圆分成两个扇形，圆心角之比为1:4，小扇形面积为25cm2,则大扇形比小扇形大____ ___ cm2。
10、一个圆的周长是25.12cm，如将周长延长至37.68cm，则半径应是原来半径的_______倍。
11、72º圆心角所在的扇形面积为31.4 cm2，这个扇形所在的圆面积为________ cm2。
12、甲圆半径与乙圆半径之比为5:4，那么乙圆的面积与甲圆的面积之比为________。
13、以直角三角形三个顶点为圆心，以20毫米长为半径在三角形内画弧，得到三个不重叠的扇形，三个扇形的面积之和是________平方厘米。
14、小明用一条细绳围成了一个半径为3dm圆，小丽用同样长的细绳为弧，与2条相等的小木条围成了一个圆心角为240º的扇形，这个扇形的面积是______ __ dm2。
二、选择题
1、下列说法正确的是……………………………………………………………………………………（）（A）圆周率决定圆的大小
（B）扇形是圆的一部分，所以扇形的面积比圆小
（C）弧长的大小由圆心角的大小决定
（D）扇形面积由弧长和半径的大小决定
2、下列说法正确的是………………………………………………………………………………………（）（A）圆的周长是它的直径的3.14倍；
（B）半圆是一个扇形；
（C）若两圆的周长相等，则它们面积也相等；
（D）半径是2cm的圆，周长与面积相等。
3、圆的半径不变，若圆心角扩大为2倍，则圆心角所对扇形面积…………………………（）（A）扩大为4倍（B）扩大为2倍（C）不变（D）缩小为一半。
4、在一张边长为6分米的正方形铁皮上，可剪下半径为1分米的圆……………………（）（A）6个（B）9个（C）12个（D）36个
5、用长度相等的铁丝围成一些图形，面积最大的是………………………………………（）（A）长方形（B）正方形（C）圆（D）梯形
6、圆的一部分………………………………………………………………………………………………（）（A）一定是扇形（B）不一定是扇形
（C）一定不是扇形（D）一定小于半圆
7、有相同周长的长方形，正方形和圆，她们的面积大小关系是………………………（）
（A）S
长方形> S
正方形
>S
圆
（B）S
正方形
>S
长方形
>S
圆
（C）S
圆>S
长方形
>S
正方形
（D）S
圆
>S
正方形
>S
长方形
8、一个圆半径增加2cm，则这个圆……………………………………………………………（）（A）周长增加4cm （B）周长增加4πcm
（C）面积增加4 cm （D）面积增加4πcm。