解直角三角形应用举例
解直角三角形应用举例
海洋100海里以内的区域，如图，设A、B
是我们的观察站，A和B 之间的距离为
157.73海里，海岸线是过A、B的一条直
线，一外国船只在P点，在A点测得
∠BAP=450，同时在B点测得∠ABP=600，
问此时是否要向外国船只发出警告，令
其退出我国海域.
P
A
B
——坡度、坡角
学习目标
1、知道坡角、坡比（坡度）的意义。 2、能将h、l、c、i各量的计算问题转化 为解直角三角形的问题，这些量中若已知 两个量，可求其他量. 3、在有些实际问题中没有直角三角形， 学会添加辅助线构造直角三角形.
Ex
x
100 2xD
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知 相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角 形时，要通过作辅助线构筑直角三角形（作某 边上的高是常用的辅助线）；当问题以一个实 际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实 际问题化归为直角三角形中的边角关系。
2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联 系，所以在复习时要形成知识结构，要把解直 角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问 题时合理运用。
65° P
C 34°
B
例4.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内 有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测 得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达 D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如 果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁 的危险？
A
60°
B 12
30°
DF
3.国外船只，除特许外，不得进入我国
___1 :__3__。
h
α
L
例1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高
23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度
中考一轮复习 解直角三角形的 五种常见类型
解直角三角形的五种常见类型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础．解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免计算复杂．在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形．类型一、已知两直角边解直角三角形【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝2，b＝6，解这个直角三角形．类型二、已知一直角边和斜边解直角三角形【例2】如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin ∠BAC的值和点B到直线MC的距离．类型三、已知一直角边和一锐角解直角三角形【例3】如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°， AB＝3.(1)求AC的长；(2)求BC的长类型四、已知斜边和一锐角解直角三角形【例4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形类型五、已知非直角三角形中的边(或角或三角函数值)解直角三角形题型一：化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)【例5】如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，1，求∠A的三角函数值．且tan ∠BCD＝3题型2:化解四边形问题为解直角三角形问题【例6】【中考·北京】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝2，BE＝22 .求CD的长和四边形ABCD的面积．题型3、化解方程问题为解直角三角形问题【例7】已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x 的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.(1)判断△ABC的形状；(2)求sin A＋sin B的值．。
解直角三角形应用举例》1课件例例例
确定测量目标：选择需要测量的直角三角形 准备测量工具：直尺、量角器、卷尺等 测量角度：使用量角器测量直角三角形的两个直角 测量边长：使用直尺测量直角三角形的三条边长 计算结果：根据测量结果，使用解直角三角形公式计算未知边长或角度 复核结果：对计算结果进行复核，确保准确性
确定已知条件：直角三角形的 边长、角度等
画图时，注意角度的准确性，避免误差过大 画图时，注意长度的准确性，避免误差过大 画图时，注意比例的准确性，避免误差过大 画图时，注意图形的完整性，避免遗漏重要信息
确保直角三角形的边长和角度测量准确，避免误差
使用直角三角形工具时，注意安全操作，避免受伤
解直角三角形时，注意不要混淆角度和边长，避免错误 解直角三角形时，注意不要忽略特殊三角形（如等腰直角三角形） 的性质，避免错误
测量工具的选择：选择精度高的测量工具，如电子尺、游标卡尺等 测量方法的选择：选择合适的测量方法，如直接测量、间接测量等 测量环境的影响：注意测量环境的温度、湿度、光照等对测量结果的影响 测量数据的处理：对测量数据进行处理，如剔除异常值、进行误差分析等
计算过程中需要注意小数点的位数，避免因小数点位数不足导致的误差 在计算过程中，需要注意三角函数的取值范围，避免因取值范围错误导致的误差 在计算过程中，需要注意三角函数的正负号，避免因正负号错误导致的误差 在计算过程中，需要注意三角函数的周期性，避免因周期性错误导致的误差
正割定理： secA=1/co sA
余割定理： cscA=1/si nA
勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 应用：在解直角三角形时，可以利用勾股定理求解未知边长 例题：已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边长 解题步骤：利用勾股定理，计算斜边长为5，得出解直角三角形的结论
解直角三角形典型应用20例子
解直角三角形.典型应用题20例1.已知：如图，河旁有一座小山，从山顶 A 处测得河对岸点 C 的俯角为30°,测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽 CD 为50m .现需从山顶 A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆 绳AC ,求山的高度及缆绳 AC 的长（答案可带根号）•2•已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 A 处测得灯塔M 在北偏西30°,货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔 M 在北偏西45°,问该货轮 继续向北航行时，与灯塔 M 之间的最短距离是多少 ？（精确到0.1海里，J 3止1.732）3.已知：如图，在两面墙之间有一个底端在端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在45°.点D 到地面的垂直距离 DE =3J2m ，求点B 到地面的垂直距离 BC •4.已知：如图，小明准备测量学校旗杆 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上， 上的影长CD = 8m ,太阳光线AD 与水平地面成26°角，斜坡CD 与水平地面所成的锐 角为30°,求旗杆 AB 的高度（精确到1m ） •A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶D 点.已知/ BAC = 60°,/ DAE=AB 的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB测得水平地面上的影长 BC = 20m ,斜坡坡面北A5.已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚一个景点B ，再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ,如果在山顶 C 处观测到景点 B 的俯角为60°.求山高CD （精确到0.01米）.5.已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一 根2m 长的竹竿，测得竹竿影长为 1m ,他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的 长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为2m .问路灯高度为多少米 ？运动员从营地A 出发，沿北偏东60°方向走了 500 30°方向走了 500m ，到达目的地 C 点.求IIIA 沿坡角为30°的山坡AB 行走400m ，到达6.已知：如图，在一次越野比赛中,到达B 点，然后再沿北偏西北n(1)A 、C 两地之间的距离；⑵确定目的地C 在营地A 的什么方向？已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m 的河堤.大堤高5m ,坝顶宽4m ，迎水坡和背水坡都是坡度为1 : 1的等腰梯形.现要将大堤加高坡度改为1 : 1.5.已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米， 多少立方米的土石？(1)BC 的长； ⑵△ ABC 的面积.(1)求AB 的长；a⑵求证：—一si n ot7. 1m ,背水坡完成工程需已知：如图，在△ ABC 中, 9. 已知：如图，在△ ABC 中, AC = b , BC = a ,锐角/ A = Ct ,/ B =P .__b sin P . A拓展、探究、思考AB = c , AC = b ,锐角/ A = Ct .RRt △ ADC 中，/ D = 90°,/ A=a ,/ CBD = P , AB = a.用含a 及P的三10.已知：如图，在角函数的式子表示CD的长.11.已知：△ ABC 中，/ A = 30°, AC = 10,12.已知：四边形 ABCD 的两条对角线 AC 、=a (0 °v a v 90° )，求此四边形的面积. BD 相交于 E 点，AC = a , BD = b , / BEC13 ..已知：如图, 长.(精确到 AB = 52m , / DAB = 430.01m),/ CAB = 40°,求大楼上的避雷针 CD 的□□□□□□□□□ □□口□□口口口口口□□口口□□口口14.已知：如图， 知测角仪AB 的高为在距旗杆 25m 的A 处，用测角仪测得旗杆顶点C 的仰角为30°,已BC =5J2，求 AB 的长.4 1如图，△ ABC 中，AC = 10, si nC=-,si nB=-,求 AB .3如图，在O O 中，/ A =/ C ,求证：AB = CD （利用三角函数证明）.如图，P 是矩形ABCD 的CD 边上一点，PE 丄AC 于E , PF 丄BD 于F , AC18.已知：如图，一艘渔船正在港口 A 的正东方向40海里的B 处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C 岛运送一批物资到 A 港，已知C 岛在A 港的北偏东60 ° 方向，且在B 的北偏西45°方向.问该船从B 处出发，以平均每小时20海里的速 度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A 港（精确到1小时）（该船在C 岛停留半个小时"（丁㊁止1.41, J 3 7.73, J 6 止 2.45）15 .已知:16.已知:17.已知：=15, BC = 8，求 PE + PF.C19.已知：如图，直线y = —x+ 12分别交X轴、y轴于A、B点，将△ AOB折叠，使A 点恰好落在0B的中点C处，折痕为DE .(1)求AE 的长及sin / BEC 的值; ⑵求△ CDE 的面积.20..已知：如图，斜坡 PQ 的坡度i = 1 ： J 3，在坡面上点0处有一根1m 高且垂直于水平面的水管0A ，顶端A 处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的 抛物线落下，水流最高点 M 比点A 高出1m ,且在点A 测得点M 的仰角为30°, 以0点为原点，OA 所在直线为 标系•设水喷到斜坡上的最低点为(1) 写出A 点的坐标及直线 PQ 的解析式; (2) 求此抛物线AMC 的解析式；⑶求 I X C — X B I ； ⑷求B 点与C 点间的距离.y 轴，过O 点垂直于OA 的直线为X 轴建立直角坐 B ，最高点为C.。
解直角三角形应用举例
则tanα = i h L
解直角三角形应用举例
练习：
（ 1 ） 一 段 坡 面 的 坡 角 为 60° ， 则 坡3度
i=_____;
（2）已知一段坡面上，铅直高度为 3 ，
坡面长为 2 3 ，
则坡度i＝___3 ____,坡角α＝__3_0___。
3
解直角三角形应用举例
你会算吗？
1、坡角α=45°坡比i= 1∶1 2、坡比为 1: 3 ,坡角α= 30°
解直角三角形应用 ---测高问题
解直角三角形应用举例
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线的上
方的角叫做仰角。视线在水平线下方的角叫做
俯角。强调：仰角与俯角都是视线与水平线所成的角 。
铅 垂
仰角
线
俯角
视线 水平线
视线
解直角三角形应用举例
例题
在假期里，同学们约好一起去爬山，他们走进大门 后远远望见山顶的C处都觉得它好远好高，能爬上去不 容易，出发时大家都充满信心，但是有的同学在爬的过 程中由于体力不支，在半山腰B处就停下来，有的同学 则克服困难，坚持着爬到山顶C处，
解直角三角形应用举例
问题1：在旧城改造中，要拆除一烟囱AB，在地面上 事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区， 现在从离B点21米远的建筑物CD顶端C测得A点的仰角 为45°，到B点的俯角为30°，问离B点30米远的保 护文物是否在危险区内？
（ 3 约等于1.732）
A
C 45 °
30 °
练习2: 从20米高的甲楼顶 A 处望乙楼 顶C处的仰角为30°，望乙楼底D处的 俯角为45°，求乙楼的高度。（精确到 0.1 米）
C
A
甲 20m
30 45 ° °
解直角三角形五种常见类型
解直角三角形五种常见类型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础．解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免计算复杂．在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形．类型一、已知两直角边解直角三角形【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝2，b＝6，解这个直角三角形．类型二、已知一直角边和斜边解直角三角形【例2】如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin ∠BAC的值和点B到直线MC的距离．类型三、已知一直角边和一锐角解直角三角形【例3】如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°， AB＝3.(1)求AC的长；(2)求BC的长类型四、已知斜边和一锐角解直角三角形【例4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形类型五、已知非直角三角形中的边(或角或三角函数值)解直角三角形题型一：化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)【例5】如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，1，求∠A的三角函数值．且tan ∠BCD＝3题型2:化解四边形问题为解直角三角形问题【例6】【中考·北京】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝2，BE＝22 .求CD的长和四边形ABCD的面积．题型3、化解方程问题为解直角三角形问题【例7】已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x 的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.(1)判断△ABC的形状；(2)求sin A＋sin B的值．。
解直角三角形的应用题型
解直角三角形的应用题型直角三角形是初中数学中一个重要的概念，也是解决实际问题中常用的基本图形之一。
在应用题中，我们经常需要用到直角三角形的性质和定理，以解决各种实际问题。
下面列举一些常见的直角三角形应用题型。
1. 求斜边长已知直角三角形的一条直角边和另一条边的长度，求斜边长。
这类问题可以用勾股定理解决，即斜边的长度等于直角边长度的平方加上另一条边长度的平方的平方根。
例题：已知直角三角形的一个直角边为3，另一条边长为4，求斜边长。
解：斜边长等于3的平方加上4的平方的平方根，即√(3+4)=√25=5。
2. 求角度已知直角三角形两个角度，求第三个角度。
由于直角三角形的内角和为180度，因此第三个角度可以用90度减去已知的两个角度得到。
例题：已知直角三角形两个角度分别为30度和60度，求第三个角度。
解：第三个角度等于90度减去30度和60度的和，即90-30-60=0度。
3. 求高已知直角三角形的斜边和一条直角边，求高。
我们可以通过求出这个三角形的面积以及底边长度来求出高，也可以利用正弦定理或余弦定理求出高。
例题：已知直角三角形的斜边长为5，直角边长为3，求高。
解：利用勾股定理可求出这个三角形的面积为(3*4)/2=6。
利用面积公式S=1/2*底边长*高，可得高为(2*6)/3=4。
4. 求面积已知直角三角形的两条直角边长度，求面积。
我们可以利用面积公式S=1/2*底边长*高求出面积。
例题：已知直角三角形的两条直角边长分别为4和3，求面积。
解：利用面积公式S=1/2*4*3，可得面积为6。
以上是直角三角形应用题的一些常见类型，希望能对大家的学习有所帮助。
解直角三角形的应用
解直角三角形的应用例1：有一块三角形余料，三个角均为锐角，三边分别为a ，b ，c ，且满足a ＞b ＞c ，现要把它加工成正方形的半成品，使其四个顶点都在三角形边上，问两个顶点放在哪一边可使得正方形的面积最大？解：设ΔABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，各边上的高分别为h a 、h b 、h c ，在各边上的正方形的边长分别为x a 、x b 、x c ，ΔABC 的面积为S ，则由于ΔAPQ ∽ΔABC ， 可得a a a a h x h a x -=，整理得x a ＝aa a h a s h a ah +=+2 同理得xb ＝a h b s +2，xc ＝ah c s +2 用比差法比较x a ，x a 的大小，x a －x b ＝))(()]()[(222b a a a a a h b h a h h a b s h b s h a S ++-+-=+-+ ＝))(()1)(sin (2))(()]sin sin ()[(2b a b a h b h a c b a s h b h a c b c a a b s ++--=++-+- ∵ sin c －＜0，a ―b ＞0∴ x a －x b ＜0，同理，x a －x c ＜0，∴x a ＜x b ＜x c∴ 在最小边C 上的内接正方形的面积最大．例2．已知a ，b ，c ，为ΔABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，当m>0时，关于x 的方程b(x 2＋m)＋c(x ―m)―2m ax ＝0，有两个相等的实数根，且sinC ·cosA ―cosC ·sinA ＝0，试判断ΔABC 的形状．解：(a ＋c)x 2―2m a x ＋m(b ―c)= 0∵ 关于x 的方程有两个相等的实数根∴ Δ＝B 2－4AC ＝(―2m a)2－4m(b ＋c)(b －c)＝4m(a 2―b 2＋c 2)＝0∵ m ＞0∴ a 2―b 2＋c 2＝0∴ b 2＝a 2＋c 2∴ ΔABC 为直角三角形，且∠＝90°，∴∠A 与∠C 互余，∴ cosA ＝sinC ，cosC ＝sinA ．∵ sinC •cos A －cosC•sin A ＝0＝sin 2C=sin 2A∴∠C ＝∠A ，∴a ＝CABC 为等腰直角三角形例3．ΔABCD 中，∠A ＝60°，最大边与最小边的长分别是方程3x 2―27x ＋32＝0的两实根，求ΔABC 的内切圆的面积．解：∵三角形中最大角不小于60°，最小角不大于60°，而∠A ＝60°，∠A 必须是最大边与最小边的夹角，设大边为c ，小为b ，由韦达定理b ＋c ＝9，bc ＝332． ∵S ΔABC ＝21b ·h ＝21b ·csin A ＝21×332×33823= 过点C 作CD ⊥AB 交AB 于∵∠ACD ＝30°，∴AD ＝21AC ＝21b CD ＝2322=-AD AC b BD ＝AB －AD ＝C －21b, BC 2＝CD 2＋DB 2＝222123⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b C b ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c) 2－3bc ＝81－3×332＝49 ∴a ＝BC=7设ΔABC 的内切圆半径为r ，圆心为0,∴S ΔABC ＝S ΔO AB ＋S ΔO BC ＋S ΔO CA∴ r ＝339733822=+⨯=++∆c b a S ABC ∴三角形内切圆面积S ＝πr 2＝π31332=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π 例4．在梯形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，CD ＝m ，AD ＝n ，AB ＝p ，以BC 为直径作圆分别交AB 和AD 于E 和H 、F ，（1）求tg ∠DCF ＋tg ∠DCH 的值．（2）求证：tg ∠DCF 和∠DCH 是方程mx 2－nx ＋p ＝0的两个根．解：（1）连接CE ，AE ＝DC ＝m ，连结CF ，EH ，则∠DFC ＝∠CEH ，而∠CEH ＝∠AHE ，∴∠DFC ＝∠AHE ，∴Rt ΔAEH ≌Rt ΔDCFDF ＝AH, AF ＝DH∵tg ∠DCF=m DF DC DF =, tg ∠DCH mDH DC DH = (1) ∵AH ·AF ＝AF ·AB∴tg ∠DCF ·tg ∠DCH ＝m p mmp m AB AE m AF AH m DH DF ==⋅=⋅=⋅2222 ∴mx 2－nx ＋p ＝0例5．已知矩形的长大于的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于21，设梯形的面积为S ，梯形中较短的底的长为x ，试写出梯形面积S 关于的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．解：∵矩形ABCD 的长大于宽的2倍，矩形的周长为12，∴AD ＞4，AB ＜2，根据题意，可分为以下两种情况第一种情况如（一）图当tg ∠BAE ＝21时，设CE ＝x ，BE ＝m ， 则AB ＝DC ＝2m ，AD ＝m ＋x ，∵AB ＋AD ＝6，∴2m ＋m ＋x ＝6，m ＝36x - S 梯形＝21(AD ＋EC)·DC ＝21[(m ＋x)＋x] ·2m =m(m ＋2x)＝9535636-=+⋅-x x x 2＋38x ＋4 其中3＜x ＜6，第二种情况如图二当tg ∠DAE ＝21时，在矩形ABCD 中，AD//BC ，∴∠DAE ＝∠AEB ，∴tg ∠AEB ＝21，∴tg ∠AEB ＝21，设CE ＝x, AB ＝CD ＝n ，则BE ＝2n ，AD ＝2n ＋x ，∵矩形的周长为12，∴AB ＋AD ＝6 ∴n ＋2n ＋x ＝6，n ＝36x - S 梯形ABCD ＝21 (AD+EC)·DC ＝21[(2n+x)+x]·n ＝(n+x)·n ＝9236326-=-⋅+x x x 2＋32x ＋4 其中0＜x ＜6例6．已知A 是⊙o 上一点，以A 为圆心作圆交⊙o 于B ，C 两点，E 是弦BC 上一点，连结AE ，并延长交⊙o 于D ，连结BD, CD 设∠BDC ＝2α（1）求证：BD ·CD ＝AD ·ED（2）若ED ∶AD ＝43cos 2α，求作一个以AD BD 和ADCD 为根的一元二次方程， 并求出BD ∶CD 的值．证明：（1）连结AB ，AC ，则AB ＝AC∴AB ＝AC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝α又∴∠BAD ＝∠BCD ∴ΔABD ∽ΔCED∴BD ∶ED ＝AD ∶CD BD ·CD ＝AD ·ED（2）在等腰ΔABC 中，作AF ⊥BC 于F ，F 为BC 的中点，BC ＝BF ＋FG ＝2FC ， ∵∠ACB ＝∠ADB ＝α，∴FC ＝AC ·cos αCOS ，BC ＝2AC ·cos α在ΔABE 和ΔADB 中，∵∠ABE ＝∠ADB ，∠BAD ＝∠BAE ，∴ΔABE ∽ΔADB ∴BD ∶AD=BE ∶AB同理ΔAEC ∽ΔACD ，∴CD ∶AD ＝ED ∶AC由（1）BD ·CD ＝AD ·ED ∴432==⋅=⋅AD ED ADFD AD AD CD AD BD cos 2α ∴x 2―2cos ·x ＋43cos 2α=0 解得x 1＝21cos α, 当BD ＜CD 时， 31cos 23cos 21:21===ααx x AD CD AD BD 当BD ＞CD 时，321==x x CD BD练习：1、已知方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是直角三角形的两个锐角的余弦值．（1）求证：m 2＝2n ＋1；（2）若P(m ，n)是一次函数y ＝―21x ―83图象上一点，求点P 的坐标．2、已知在ΔABC 中，若AC 和BC 边的长是关于x 的方程x 2―(AB ＋4)x ＋4AB ＋8＝0的两根，且25BC ·sinA ＝9AB ，DB 为半圆的直径，0为圆心，AC 切半圆于E ，BC 交半圆于F ，（1）求ΔABC 三边的长．（2）求AD 的长．3、已知ΔABC 内接于⊙o ，弦AE 交BC 于D（1）求证：DEAD BE AC CE AB =⋅ （2）如果AE 是直径，那么DE AD 与tgB 和tgC 具有什么关系？并简要说明理由。
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【例】 某灯塔B 在观测点A 的北30°的方向，船M 在灯塔正东方向，且在观测点A 的北60°东的方向距A 30海里，求若船M 在上午11点10分出发，下午1点40分时驶抵灯塔B 处，求船的速度（精确到0.1海里）.分析 只需延长MB ，归结为解直角三角形问题来加以解决. 解：延长MB 和正北的方向线相交于C ，得︒=∠90ACB .在MCA ∆Rt 中，有︒=∠60CAM ，所以.315233060sin ;15213060cos 30cos =⨯=︒⋅==⨯=︒⋅=∠⋅=AM MC CAM AM AC又，在ABC ∆Rt 中，︒=∠90ACB ，所以35331530tan =⨯=︒⋅=AC BC . 于是，有31035315=-=-=BC MC MB .据题意，船M 行驶到B 只用时2.5小时，所以，船的速度为9.673.143425310≈⨯≈=（海里/时） 答：这艘船的速度是6.9海里/时.说明 由于南北方向线和东西方向线互相垂直.所以航海问题大都能归结为解直角三角形问题；本例由于所给的已知角都是特殊角，所以也可用平面几何图形的性质和勾股定理来解.如设x BM =（海里），证,1521212121=====AM AC x BM AB BC于是，根据勾股定理，有,67549,301522222==+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x 由于0>x ，所以得310=x .下同.【例】 某水坝的断面是梯形，上宽6=DC （米），底角︒=∠60A ，坡BC的坡比2.1:1=i ，坝高为20米，求坝底的宽（精确到0.1米）.分析 分别解FBC AED ∆∆Rt ,Rt . 解：在AED ∆Rt 中，有3320332060cot =⨯=︒⋅=DE AE ； 在BFC ∆Rt 中，有2.11=FB CF ∴ ,242.120=⨯=BF 又，DC EF =，所以5.4153.11302463320≈+=++=AB （米） 答：坝底宽约为41.5米.【例3】 在距山坡脚B 100米的测点A 测山顶上高压输电铁塔顶端M 的仰角为6328'︒，测底端N 的仰角为2434'︒，求铁塔的高（精确到0.1米，如图）.分析 ABM ∆和ABN ∆都是直角三角形，且2434,6328'︒=∠'︒=∠BAM BAN .解：在ABN ∆Rt 中，有52.545452.01006328tan ≈⨯='︒⋅=AB BN ， 在ABM ∆Rt 中，有,24.696924.01002434tan ≈⨯='︒⋅=AB BM所以，铁塔的高度为7.1472.1452.5424.69≈=-≈-=BN BM MN （米）说明 应当注意，MAN ∠不是视线和水平线的夹角，所以它既不是仰角，也不是俯角.【例】 某直升飞机在我迫击炮阵地M 上方测得敌军雷达站P 的俯角为15°，在向点P 的迎面沿仰角30°的方向飞行，升高100米后再测点P 的俯角为30°，分别求原飞行高度和点M 到点P 的水平距离（3215cot +=︒）.分析 据题意，画出图形.如图，仰角︒=∠30FAB ，俯角100,15,30=︒=∠︒=∠BH FAP EBP （m ）.解ABG ∆Rt 可得AG 的长.由于BNP ∆Rt 和AMP ∆Rt 都没有已知的边长所以都不能独立解出，所以应列方程组求解.解：在ABG ∆Rt 中，100=BG ，所以310030cot 100=︒=AG ，设y NP x AM ==,，于是分别在AMP ∆Rt 和BNP ∆Rt 中，有⎩⎨⎧︒+=︒=+.30cot )100(,15cot 3100x y x y 消去y ，整理，得,3100,32002)32(31003)100(=∴=+=++x x x x把3100=x 代入②，得31003003)1003100(+=+=y ，于是，有)m (32003003100)3100300()m (3100+=++=+=+==AGPN MN PN PM AM答：我直升机的原飞行高度为3100米，炮兵阵地M 到P 的距离为（3200300+）米.说明 在解题时，首先要准确画图，理解题意，确定可解的直角三角形.如果没有直接可解的三角形，不能用一元方程求解，则应考虑到方程组求解.典型例题五例 如图，在电线杆上离地面高度5m 的C 点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC 和地面成60°角，另一根拉线BC 和地面成45°角.求两根拉线的总长度（结果用带根号的数的形式表示）.分析：分别在两个直角三角形ADC 和BDC 中，利用正弦函数的定义，求出AC 和BC 。
解 在ADC Rt ∆中，.331023560sin ===DC AC 在BDC Rt ∆中，.221022545sin ===DC BC .253310+=+∴BC AC 说明：本题考查正弦的定义，对于锐角三角函数的定义，要熟练掌握。
典型例题六例 为响应哈尔滨市人民政府“形象胜于生命”的号召，在甲建筑物上从A 点到E 点挂一长为30m 的宣传条幅（如图），在乙建筑物的顶部D 点测得条幅顶端A 点的仰角为45°，测得条幅度端E 点的俯角为30°，求底部不能直接到达的甲、乙两建筑物之间的水平距离BC （答案可带根号）.分析 解决测量问题：一方面要明确仰角、俯角、视角、坡度、坡角等名词术词；另一方面要分清谁是测量者与被测量者.本考题可过点D 作AE DF ⊥,垂足为F ，这时仰角,45=∠ADF 从而有).m (31540,3033,30,33tan ,-==+=+=∠⋅==DF DF DF EF AE DF FDE DF EF DF AF 解出有由又 这便是甲、乙两建筑物之间的水平距离.（解答略）。
典型例题七例 一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A 处看见小岛C 在船的北偏东60°，40分钟后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东30°已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？分析 要考虑渔船从B 处继续向东航行，有没有触礁的危险，关键的一点看BD 是否通过以岛C 为圆心，10海里长为半径的危险区域内.可先过C 作AB 的垂线CD ，交AB 的延长线于点D ，如图所示，然后考察CD 的长与半径10海里哪一个大.事实上，依题意，可算出AB ＝10，若设BD ＝x ，在RtCDB ADC Rt 和∆中，以CD 为等量关系建立方程：,60tan 30tan )20( ⋅=+x x解得.10=x.31060tan 10==∴ CD∴>,10310 这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域.说明：本题考查解直角三角形的应用，解题关键是作垂线构造直角三角形，易错点是弄不清题意造成错解.典型例题八例 (石家庄市,2000) 如图，一条土埂的横断面是等腰梯形ABCD ，AB 、DC 的坡度为1 ：1.4，上底AD 的宽为29.3dm ，现在土埂的中间挖出一条横断面MGHN 仍为等腰梯形的渠道（图中（三）），并把挖出来的土真在土埂两旁（如图中（一）（二）全等的两部分EAMF 和PNDQ ），加高、加宽渠道，且渠的坡度也是1：1.4，要求渠道下底面宽GH 为4dm ，挖成后渠道的两侧上沿宽EF 和PQ 均为3..35dm ，渠道的总深度为5dm.请你设计：在动工时，开始下挖的M 点和N 点应在土埂上底AD 的什么位置？从上底应向下挖的深度为多少dm ？ （可以用：30391809=）解 依题意：21梯形FGHP 的面积＝梯形PNDQ 的面积，设下挖深度为xdm ，则.dm 314924,3283033872891809387281035144387387,010*******),5(2)5(4.1235.335.324.1444212122,12即下挖深度为（不合题意，舍去）。
或整理化简得：==∴±=±=⨯⨯-±=∴=+--⨯-⨯++=⋅⨯++⨯x x x x x x x x x说明：本题考查坡度的应用，解题关键是依题意列出方程. 易错点是弄不清题意，列错或列不出方程.典型例题九例 如图，一勘测人员从B 点出发，沿坡角为015的坡面以5千米/时的速度行至D 点，用了12分钟，然后沿坡角为020的坡面以3千米/时的速度到达山顶A 点，用了10分钟.求山高（即AC 的长度）及A 、B 两点的水平距离（即BC 的长度）（精确到0.01千米）.(015sin =0.2588,9659.015cos 0=,3420.020sin 0=,9397.020cos 0=)解：过D 点作BC DF ⊥于F .160125=⨯=BD . .5.060103=⨯=AD在BFD Rt ∆和DEA Rt ∆， 0015sin 20sin ⋅+⋅=+=+=BD AD DF AE EC AE AC=2588.013420.05.0⨯+⨯ =43.0（千米）；DE BF FC BF BC +=+= =020cos 15cos ⋅+⋅AD BD=9397.05.09659.01⨯+⨯ ≈1.44(千米).答：山高约为0.43千米,山脚B 到山顶的水平距离约为1.44千米.典型例题十例 如图，客轮沿折线A —B —C 从A 出发经B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发沿直线匀速航行，将一批物品送达客轮.两船同时起航，并同时到达折线A —B —C 上的某点E 处.已知200==BC AB 海里，090=∠ABC ，客轮速度是货轮速度的2倍.（1）选择：两船相遇之处在（ ）.（A ）线段AB 上 （B ）线段BC 上 （C ）可以在线段AB 上，也可以在线段BC 上（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）（2002年南京市中考试题）解：（1）B .（2）设货轮从出发到两船相遇共航行了x 海里.过D 作CB DF ⊥，垂足为F ，连结DE .则x BE AB x DE 2,=+=.在等腰直角三角形ABC 中，200==BC AB ，D 是AC 中点，∴ x EF DF 2300,100-==. 在DEF Rt ∆中，222EF DF DE +=， ∴ .)2300(100222x x -+=解之，得36100200±=x . 200+20036100>， ∴ 36100200-=DE .答：货轮从出发到两船相遇共航行了（63100200-）海里.典型例题十一例 (辽宁省试题,2002) 如图，在小山的东侧A 处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为30°的方向飞行，半小时后到达C 处，这时气球上的人发现，在A 处的正西方向有一处着火点B ，5分钟后，在D 处测得着火点B 的俯角是15°，求热气球升空点A 与着火点B 的距离。