17.2.2 原命题、逆命题
17.2勾股定理的逆定理(优质课)优秀教学设计
《17.2勾股定理的逆定理》教学设计Y qzx Bmm【内容和教材分析】内容教材第31-33页，17.2勾股定理的逆定理.教材分析“勾股定理的逆定理”一节，是在上节“勾股定理”之后，继续学习的一个直角三角形的判断定理，它是前面只是的继续和深化.勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔，所以本节也是本章的重要内容之一.【教学目标】知识与技能1．理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理．2．理解原命题、逆命题、逆定理的概念关系．3．掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形．过程与方法1．通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展与形成过程．2．通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形结合方法的应用．3．通过勾股定理的逆定理的证明，体会数与形结合方法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题．情感、态度与价值观1．通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系．2．在探究勾股定理的逆定理的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神．【教学重难点及突破】重点1．勾股定理的逆定理及运用.2．灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题.难点1．勾股定理的逆定理的证明.2．说出一个命题的逆命题及辨别其真假性.【教学突破】1.勾股定理的逆定理的题设实际上是给出了三条边的条件，其形式和勾股定理的结论形式一致.证明在此条件下的三角形是一个直角三角形，需要构造直角三角形才能完成，构造直角三角形是解决问题的关键.可以从特例推向一般，设置两个动手操作问题.2.勾股定理的逆定理给出的是判定一个三角形是直角三角形的方法，和前面学过的一些判定方法不同，它通过计算来做判断.3.几何中有许多互逆的命题、互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念.对互逆命题、互逆定理的概念，理解它们通常困难不大.但对那些不是以“如果……那么……”形式给出的命题，叙述它们的逆命题有时就会有困难，可以尝试首先把命题变为“如果……那么……”.4.勾股定理的逆定理可以解决生活中的许多问题.在解决实际问题时，常先画出图形，根据已知条件计算出各边长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是否是直角三角形，再回答问题.【教学设计】一、复习导入师：上一节课我们学习了勾股定理，请同学们回忆一下：勾股定理的内容是什么？生：如果直角三角形的两条直角边为a、b,斜边为c，那么三边满足的关系为a2+b2=c2.师：勾股定理反映了直角三角形三边间的数量关系，即直角边为a,b斜边为c,则三边满足a2+b2=c2（带领学生集体复习勾股定理）.思考：勾股定理的题设、结论分别是什么? 生：题设为直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边为c,结论为a2+b2=c2师：如果把勾股定理的题设、结论交换一下位置，即如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2,那么这个三角形是否是直角三角形？本节课我们一起来研究这个问题.板书课题：17.2勾股定理的逆定理设计意图：通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，自然地引出勾股定理的逆定理.二、教学新知1.发现勾股定理的逆定理.观察发现：师生共同学习古埃及人画直角的方法：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
八下数学17.2(2)勾股定理的逆定理
试一试
[P76:2.]
八年级 数学
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?
(1) 同旁内角互补，两条直线平行．
逆命题: 两条直线平行，同旁内角互补． 成立
(2)如果两个角是直角，那么它们相等．
逆命题: 如果两个角相等，那么它们是直角． 不成立
(3)全等三角形的对应边相等．
逆命题:对应边相等的两个三角形是全等三角形. 成立
D
12
A
13
4
B 3C
自主评价：
八年级 数学
1、勾股定理的逆定理
2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题 3、什么称为互为逆定理。
作业：38页， 复习题17, 第4、5、6题
(4) 如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等. 不成立
八年级 数学
例1 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺 寸，这个零件符合要求吗？
此时四边形ABCD的面积是多少?
C
答案：符合 S四边形ABCD
C
S2
A
b
ca
S1
B
S3
C
S2 b
S1
a
c
A
B
S3
思维训练
八年级 数学
7、 已知a，b，c为△ABC的三边, 且满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ABC的形状.
八年级 数学
8.如图，一块四边形地，测得四边长如图所示，且 ∠ABC＝90°，求这个四边形地的面积。（单位：米）
八年级 数学
人教版初中数学八年级下册17.2.1《原(逆)命题、原(逆)定理》教案设计
原（逆）命题，原（逆）定理教学设计通过探索逆命题的写法、培养学生的观察能力、应变能力和语言表达能力。
情感态度与价值观教学中渗透着数学的形式美和内涵美,提高学生对数学美的鉴赏能力.教学重难点重点会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立．难点能判断一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题，同时了解假命题的证明方法是举反例说明．教学过程教学环节（注明每个环节预设的时间）教师活动学生活动设计意图㈠创设情景，导入新课5分钟一、回顾旧知，引入新课1、命题的概念：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。
2、命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成。
3、命题有真有假。
正确的命题是真命题；错误的命题是假命题.填表并思考学生思考、相互交流本环（三）深入探究，巩固概念 10分钟例1 写出下列命题的逆命题1、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
1）如果一个三角形是直角三角形,那么它斜边上中线等于斜边的一半。
2）如果一个三角形斜边上中线等于斜边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
3）如果一个三角形一边上的中线等于该边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
4）一边上的中线等于该边一半的三角形是直角三形。
2、等腰三角形两底角相等。
如果三角形是等腰三角形，那么它的两底角相等。
如果三角形的两底角相等，那么它是等腰三角形。
两角相等的三角形是等腰三角形。
4、角平分线上的点到角两边的距离相等。
1）如果一个点在角的角平分线上，那么这个点到角两边的距离相等。
2）如果一个点到角两边距离相等，那么这个点在叫的角平分线上。
3）到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
巩固知识例2 说出下列命题的逆命题，并判定原命题逆命题的真假：1、说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假；①既是中心对称，又是轴对称的图形是圆。
逆命题：圆既是中心对称，又是轴对称的图形——真命题。
人教版八年级下册数学《原(逆)命题、原(逆)定理》
规律方法总结： 每一个命题都有逆命题，而一个定理 不一定有逆定理。定理和逆定理都是 真命题，而命题和逆命题却不一定是 真命题。
小结：本节课你学到了什么？
逆命题: 如果三角形三边a,b,c满足关系 a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形
原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段 两端的距离相等。
逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段 的垂直平分线上。
原命题：角平分线上的点，到这个角的两边 距离相等。
逆命题： 到角两边距离相等的点，在这个 角的平分线上。
课堂练习
1、说出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题 （1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角 互余 （2）等边三角形的每个角都等于60°
(3)矩形的对角线相等
(4)两直线平行，同旁内角互补
2、举例说明下列命题的逆命题是假 命题：
（1）如果一个整数的个位数字是5， 那么这个整数能被5整除；
请同学们举出一些互逆命题，并思 考：是否原命题正确，它的逆命题 也正确呢？
说出下列命题的逆命题，ຫໍສະໝຸດ 些命题的 逆命题成立吗？ 1、两条直线平行，内错角相等。
内错角相等，两直线平行
2、如果两个实数相等，那么它们的绝对 值相等。
如果两个实数的绝对值相等，那么这两 个实数也相等
3、对顶角相等。 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
17.2.1 原（逆）命题，原（逆）定理
学习目标
1.理解原命题、逆命题、逆定理 的概念。 2.理解定理、逆定理、互逆定理 的关系。
探究一：命题与逆命题
1、什么叫做命题？
可以判断真假的语句叫做命题。 2、什么叫做逆命题？ 命题的题设和结论正好是相反的， 像这样的两个命题称为互逆命题。 如果把其中一个叫做原命题，那么 另一个叫做它的逆命题。
新人教版八年级数学下《17.2 勾股定理的逆定理 原(逆)命题、原(逆)定理》优质课教学设计_0
通过阅读教材，培养学生的阅读水平和自主学习的水平。
教学环节4
教学过程
合作探究、交流展示
教师活动
以小组为单位，完成导学案合作探究部分。
学生活动
按照老师的要求，小组合作、探究勾股定理的逆命题，并验证它的准确性，得到逆定理。并选出一组实行展讲。
设计意图
培养学生的合作意识和水平，并锻炼学生的展讲水平。
教学难点
写出一个命题的逆命题并判断命题的真假。
五、教学方法
采用自主学习和小组合作交流展示的方法。
六．教具准备
课件
七、教学过程设计
教学环节1
教学过程
明确学习目标，复习巩固
教师活动
齐读学习目标。
思考：什么是命题？
命题能够写成什么形式？
什么叫题设和结论。
（即时巩固，以游戏的方式实行）
学生活动
学生抢答
设计意图
通过抢答的形式激发学生的竞争意识。复习旧知识为本节课内容做好铺垫。
教学环节2
教学过程
创设情境探索新知
教师活动
和学生一起做个小游戏“说反话”，举个例子，老师说“我是老师”，学生说“老师是我”。
你是学生。
如果是红灯，那么汽车要停。
如果是小鸟，那么它在天上飞。
提出问题：从老师和你说的两句话你有什么发现。
学生活动
教材版本：2019年人教版
教师
年级
八年级
学生人数
授课时间
课题
勾股定理逆定理
课时安排
2课时
第1课时
授课类型
新授课
一、学情分析
本节课是在学生已经学习了勾股定理的基础上学习勾股定理的逆定理，八年级的学生抽象思维已经趋于成熟，具有一定的独立思考和合作学习的水平
人教版八年级数学下《17.2 勾股定理的逆定理 原(逆)命题、原(逆)定理》优质课教学设计_9
.17.2勾股定理的逆定理1.会理解并判断勾股数,掌握勾股定理的逆定理,并能灵活应用逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.1.通过对勾股定理的逆定理的探索,经历知识发生、发展和形成的过程.2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数形结合方法的应用.1.通过用三边之间的数量关系来判断三角形的形状,体验数与形的内在联系,感受定理与逆定理之间的和谐辩证统一的关系.2.在对勾股定理的逆定理的探索中,培养了学生的交流、合作的意识和严谨的学习态度,同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值.【重点】勾股定理的逆定理的应用.【难点】勾股定理的逆定理的证明.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】三角板、绳子.学生利用准备好的绳子,以小组为单位动手操作,观察,做出合理的推断.[设计意图]介绍前人经验,启发思考,使学生意识到数学来源于生活,同时明确了本节课研究的问题,既实行了数学史的教育,又锻炼了学生动手实践、观察探究的水平.导入二：你能说出勾股定理吗?并指出定理的题设和结论.学生独立回忆勾股定理,师生共同分析得出其题设和结论,教师引导指出勾股定理是从形的特殊性得出三边之间的数量关系.追问：你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗?师生共同得出新的命题,教师指出其为勾股定理的逆命题.追问：“如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.”能否把它作为判定直角三角形的依据呢?本节课我们一起来研究这个问题.[设计意图]通过对前面所学知识的归纳总结,自然合理地引出勾股定理的逆定理.1.勾股定理的逆定理思路一①如果改变一下三条边的结数,是否还能摆放出同样形状的三角形吗?②画图看一看,三角形的三边长分别为2.5 cm,6 cm,6.5 cm,观察三角形的形状.再换成4 cm,7.5 cm,8.5 cm试试看.③三角形的三边具有怎样的关系,才得到上面同样的结论?教师根据学生的思考结果,对第③个问题总结归纳,提出猜想：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.[设计意图]由特殊到一般,归纳猜想出“如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就为直角三角形”的结论,培养学生动手操作水平和寻求解决数学问题的一般方法.思路二下面的三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c.5,12,13;7,24,25;8,15,17.①这三组数都满足a2+b2=c2吗?②分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?学生以小组为单位,按给出的三组数作出三角形,得出结论：①这三组数都满足a2+b2=c2;②以每组数为边长作出的三角形都是直角三角形.师生进一步通过实际操作,猜想结论：如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.[设计意图]本活动通过让学生按已知数据作出三角形,并测量三角形三个内角的度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的相关边的条件,猜想得出结论.学生独立思考回答问题,命题1的题设是直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,结论是a2+b2=c2;命题2的题设是三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,结论是这个三角形是直角三角形.教师引导学生分析得出这两个命题的题设和结论正好是相反的.归纳出互逆命题概念：两个命题的题设和结论正好相反,像这样的两个命题叫做互逆命题,如果其中一个叫原命题,那么另一个就叫做它的逆命题.提问：请同学们举出一些互逆命题,并思考：原命题准确,它的逆命题是否也准确呢?举例说明.学生分组讨论合作交流,然后举手发言,教师适时记下一些互逆命题,其中既包含有原命题、逆命题都成立的互逆命题,也包括原命题成立逆命题不成立的互逆命题.如：①对顶角相等和相等的角是对顶角;②两直线平行,内错角相等和内错角相等,两直线平行;③全等三角形的对应角相等和对应角相等的三角形是全等三角形.追问：在大家举出的互逆命题中原命题和逆命题都成立吗?学生举手发言回答,另一学生纠错.同时教师引导学生明确：①任何一个命题都有逆命题.②原命题准确,逆命题不一定准确;原命题不准确,逆命题可能准确.③原命题与逆命题的关系就是命题中题设与结论“互换”的关系.[设计意图]让学生在合作交流的基础上明确互逆命题的概念,在互动的过程中掌握互逆命题的真假性是各自独立的.这个三角形是直角三角形”吗?教师引导学生分析命题的题设及结论,让学生独立画出图形,写出已知和求证.已知：如图所示,△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,且a2+b2=c2.求证：∠C=90°.追问：要证明△ABC是直角三角形,只要证明∠C=90°,由已知能直接证吗?教师引导,如果能证明△ABC与一个以a,b为直角边长的Rt△A'B'C'全等.那么就证明了△ABC是直角三角形,为此,能够先构造Rt△A'B'C',使A'C'=b,B'C'=a,∠C'=90°,再让学生小组讨论得出证明思路,证明了猜想的准确性.教师适时板书出规范的证明过程.证明：如图所示,作直角三角形A'B'C',使∠C'=90°,B'C'=a,A'C'=b,由勾股定理得A'B'===c,∴A'B'=AB,B'C'=BC,A'C'=AC,∴△ABC≌△A'B'C',∴∠C=∠C'=90°,∴△ABC是直角三角形.教师在此基础上进一步指出,如果一个定理的逆命题经过证明是准确的,那么它也是一个定理,我们把上面所形成的这个定理叫做勾股定理的逆定理,称这两个定理为互逆定理.[设计意图]引导学生用图形和数学符号语言表示文字命题,构造直角三角形,让学生体会这种证明思路的合理性,协助学生突破难点.2.例题讲解(教材例1)判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a=15,b=8,c=17;(2)a=13,b=14,c=15.学生独立完成,教师适时指导,并规范地书写解题过程.在此活动中,教师协助学生分析得到：要判断一个三角形是不是直角三角形,可根据勾股定理及其逆定理,关键是对两条较小边长的平方和与最大边长的平方实行比较,只有相等时才是直角三角形.解：(1)因为a2+b2=152+82=289,c2=172=289,所以152+82=172,根据勾股定理的逆定理,这个三角形是直角三角形.(2)因为a2+b2=132+142=365,c2=152=225,所以132+142≠152,(1)3,4,;(2)6,8,;(3)7,24,;(4)5,12,;(5)9,12, .[设计意图]通过练习,学会使用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.[知识拓展]勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一,利用它判定是否为直角三角形的一般步骤：①确定最大边长c;②计算a2+b2和c2的值,若a2+b2=c2,则此三角形是直角三角形;若a2+b2<c2,则此三角形是钝角三角形;若a2+b2>c2,则此三角形是锐角三角形.(教材例2)某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16 n mile,“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处,且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?引导学生认真审题,弄清已知是什么,解决的问题是什么.学生通过思考举手回答,教师在黑板上列出：已知两艘轮船的航速,它们的航行时间以及相距的路程,“远航”号的航向——东北方向;解决的问题是“海天”号的航向.引导学生尝试画图,教师在黑板上或多媒体中画出示意图.引导学生分析：图中的E,N分别表示东、北两个方向.要求出“海天”号的航行方向,只要求出∠RPQ的度数,而∠1=45°,利用角的和差得出∠2的度数.解：根据题意,由已知得PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30.因为242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,所以∠QPR=90°,由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°,所以∠2=∠QPR-∠1=45°,即“海天”号沿西北方向航行.[设计意图]学生在规范化的解答过程及练习中,提升对勾股定理逆定理的理解以及实际应用的水平.师生共同回顾本节课所学主要内容：(1)已知一个三角形的三边长,利用勾股定理的逆定理来判定这个三角形是不是直角三角形.(2)一个命题一定有逆命题,一个定理不一定有逆定理.(3)三个数满足勾股数的两个条件：①三个数必须满足较小的两个数的平方和等于最大的一个数的平方;②三个数必须都是正整数.(4)解题时,注意勾股定理与其逆定理的区别.勾股定理是在直角三角形中使用的,而勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的.1.(2019·毕节中考)下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是 ()A.,,B.1,,C.6,7,8D.2,3,4解析：A中,()2+()2≠()2,不能构成直角三角形,故错误;B中,12+()2=()2,能构成直角三角形,故准确;C中,62+72≠82,不能构成直角三角形,故错误;D中,22+32≠42,不能构成直角三角形,故错误.故选B.2.若△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是 ()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析：根据题意可得a=b或a2+b2-c2=0,所以△ABC可能为等腰三角形,也可能为直角三角形.故选C.3.下列说法中准确的有 ()(1)在一个三角形中,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这条边所对的角是直角;(2)命题“在一个三角形中,有一个角是30°,那么它所对的边是另一边的一半”的逆命题是真命题;(3)勾股定理的逆定理是：如果两条直角边长的平方和等于斜边长的平方,那么这个三角形是直角三角形;(4)△ABC的三边之比是1∶1∶,则△ABC是直角三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个解析：(1)准确,(2)错误,(3)错误,(4)准确,故有两个说法是准确的.故选B.4.如图(1)所示的是一块地,已知AD=4 m,CD=3 m,AD⊥DC,AB=13 m,BC=12 m,求这块地的面积.解：如图(2)所示,连接AC.∵AD⊥DC,∴在Rt△ACD中,AD2+CD2=AC2,∴AC===5(m).∵AC2+BC2=52+122=132=AB2,∴△ABC为直角三角形,∴这块地的面积为S=S△ABC-S△ACD=AC·CB-AD·DC=×5×12-×3×4=24(m2).17.2勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理(1)归纳猜想(2)原命题、逆命题(3)勾股定理的逆定理的证明2.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材练习第33页第1,2,3题;教材第34页习题17.2第1,2,3,4题.【选做题】教材第34页习题17.2第7题.本节课以“提出问题——解决问题”为主线,以学生的自主探索学习为中心,从解决问题的完成情况看,知识目标完全达到,水平目标基本实现,情感目标基本实现.在本节课教学中,充分发挥学生在教学中的主体作用,教师不能一味地“讲知识”,而是应用启发式的原则,给学生指明学习目标和方向,让学生去自主探究,注重了知识上的即时巩固,也侧重了学生各方面的素质的培养.在重难点的突破上,还应加一些递进的习题,降低题的难度,使优生学好,中等生也能跟上.同时,缺少了板书示范,不利于学生养成良好的书写习惯.。
人教版八年级下册数学：17.2.2-勾股定理的逆定理课件
过了2秒后行驶了50米，此时测得小汽车与车速检测仪
间的距离为40米. 问：2秒后小汽车在车速检测仪的哪
个方向?这辆小汽车超速了吗?
小汽车在车 速检测仪的2秒后
你觉的此题解对了吗?
50米
小汽车
北偏西60° 方向 25米/秒=90千米/时 40米 >70千米/时∴小汽车超速了
30米 北 30°
60°
车速检测仪
∠B=90°
B
答：C在B地的正北方向．
13cm
A 12cm
2、有一电子跳蚤从坐标原点O出发向正东方向跳1cm，
又向南跳2cm，再向西跳3cm，然后又跳回原点，问电
子跳蚤跳回原点的运动方向是怎样的？所跳距离是多
少厘米？
y
电子跳蚤跳回原点 的运动方向是
东北方向；
所跳距离是 2 2 厘
米．
O1 x
22 2 2 2
（1）类似这样的关系6，8，10；9，12，15是否 也是勾股数？如何验证？
（2）通过对以上勾股数的研究，你有什么样的 猜想？
结论：若a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck （k为正整数)也是一组勾股数．
北
Q
30
R S 东 12×1.5=1485° 16×1.5=24 P
港口
解:根据题意画图,如图所示:
N
PQ=16×1.5=24
Q
PR=12×1.5=18
30
S
QR=30 ∵242+182=302,
R
16×1.5=24
12×1.5=18 45°45°
即 PQ2+PR2=QR2 ∴∠QPR=900
P
E
3
3、小明向东走80m后，又向某一方向走60m后，再沿
人教版八年级数学下册《原(逆)命题、原(逆)定理》教学设计
17.2原（逆）命题、原（逆）定理八年级的学生正是由实验几何向推理几何过渡的重要时期，通过勾股定理的逆定理的探究，培养学生的分析问题的思维能力，发展推理能力，所以要充分利用课堂，让学生当堂动脑，深入探究，课后微课助消化.一、学习目标1、理解勾股定理的逆定理，探索勾股定理的逆定理.2、通过用三角形三边的数量系来判断三角形的形状，体验数与形结合的方法.3、通过具体事例，了解原命题及其逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 二、重点难点重点：探索勾股定理的逆定理，原命题及其逆命题的概念. 难点：勾股定理的逆定理的探索与证明.教学准备:圆规、三角板、课件.三、教学过程:（一）逆向思考提出问题据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？思考1：三角形的三边长分别是多少？它的三边数量之间有怎样的关系？发现这 个三角形是什么样的三角形？思考2： 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a ²+b ²=c ²， 那么这个三角形是否是直角三角形？（二）精确验证 提出猜想回顾勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ， 那么a ²+b ²=c ²．用圆规、三角板作符合下列条件的三角形. （（（（（（（（（（（（（（1）画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，（2）分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm ），它们是直角三角形吗？① 2.5，6，6.5； ② 6，8，10．它们的三边有怎样的关系？②学生猜想：△ABC 中，三边长满足下面的关系，则这个三角形的形状是--- ？哪条边所 对的角是90度？（三）探究新知：勾股定理逆定理的证明：1、探究的关键构建一个直角边是a ，b 的直角△A‘B’C‘ ，然后和△ABC 比较！于是画一个直角三角形A‘B’C‘， 使∠C’=90°，A‘C’=b，B‘C ’ =a .（教师演示板书操作； 学生分组动手画，教师巡视指导）A bc A B C b b ╒（四）逻辑推理证明结论已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a²+b²=c²．求证：△ABC一定是直角三角形．证明: 作△A’B’C’，使∠C’=90°，A’C’=b，B’C’=a，如上图那么A’B’²=a²+b²（勾股定理）又∵a²+b²=c ²（已知）∴A’B’²=c²，A’B’=c(A’B’＞0)在△ABC和△A’B’C’中，BC=a=B’C’CA==C’A’AB=c=A’B’∴△ABC≌△A’B’C’(SSS)∴∠C=∠C’=90°，∴△ABC是直角三角形（五）演绎推理形成定理定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a²+b²=c²．那么这个三角形是直角三角形．作用：判定一个三角形三边满足什么条件时为直角三角形．（六）直接运用巩固知识例1 判断由线段a,b,c 组成的三角形是不是直角三角形：（1） a=15，b=17，c=8；（2） a=13，b=15，c=14；（3） a= √41，b=4，c=5．分析：看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．（七）互逆命题概念：勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²=c²．定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a²+b²=c²．那么这个三角形是直角三角形．两个命题的题设与结论正好相反，像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．练习：说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题是真命题吗？（1）两条直线平行，内错角相等；逆命题：内错角相等，两直线平行．真命题．（2）对顶角相等；逆命题：相等的角是对顶角．假命题．（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．真命题．（八）当堂检测1.下列各组长度的线段为边能构成直角三角形的一组是( )(A) 1,2,3 (B) 2,√2,√3 (C) 6,8,14 (D)2,1.5,2.52.写出下列命题的逆命题，并判断这些命题的逆命题是否为真命题：全等三角形的对应边相等；两个负数的积是正数.3.在△ABC中，a=24,b=25,c=7,求三角形的面积。
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运用知识：
练1 说出下列命题的逆命题.并判断这些命题 是否成立。 （1） 同旁内角互补，两直线平行。 ……真命题
两直线平行，同旁内角互补。 ……真命题
（2） 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等。
……真命题
如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实 数相等。 ……假命题
运用知识：
练1 说出下列命题的逆命题.并判断这些命题 是否成立。 （3） 原命题：全等三角形的对应角相等。
运用知识：
例1 问1：说出下列命题的逆命题. 问2：判断这些命题是否成立。 （1） 同位角相等，两直线平行。 ……真命题 两直线平行，同位角相等。 ……真命题
……真命题 （2） 如果天空下雨，那么地面是湿的。
如果地面是湿的，那么天空下雨。 ……假命题 （3） 对顶角相等。 ……真命题 改写： 如果两个角是对顶角，那么它们相等。 ……假命题 如果两个角相等，那么它们是对顶角。
课堂小结： 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b， 斜边为c，那么a2+b2=c2． 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 两个命题的题设与结论正好相反，像这样的两个命 题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那 么另一个命题叫做它的逆命题．
……真命题
改写：如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等。 逆命题：如果两个三角形对应角相等，那么这两个三 角形全等。
……假命题
运用知识：
练1 说出下列命题的逆命题.并判断这些命题 是否成立。
（4） 原命题：在角的内部，到角两边距离相等的 点在角的平分线上。 ……真命题
改写：在角的内部，如果有一个点到角两边的距 离相等，那么这个点在角平分线上。 逆命题：在角的内部，如果有一个点在角平分线 上，那么这个点到角两边的距离相等。 ……真命题
课后作业：
《课本》第34页 第 2题
17.2.2ຫໍສະໝຸດ 原命题、逆命题东兴实验学校
周洁
温故知新：
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b， 斜边为c，那么a2+b2=c2． 勾股定理的逆定理： 勾股定理的逆命题： 定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形． 两个命题的题设与结论正好相反，像这样的两个命 题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那 么另一个命题叫做它的逆命题．