一次函数的中的误区课例
在一次函数教学中存在的误区及应对措施
在一次函数教学中存在的误区及应对措施 函数函数是中学数学的重要内容，而一次函数又是函数中比较基础的一部分，不仅是二次函数的学习的基础，而且在生活中也具有很重要的作用。
但是，一次函数是初中学生第一次接触的函数，在认知和学习上有一定的难度，因此，在备课时，需要从学生的认知能力和思维能力多个方面考虑，确保每个学生都能把知识掌握好，尽量避免走入各种误区。
函数y=kx+b （k 、B 常数，k ≠0）称为一次函数，因此，函数可写成y=kx+b 的形式；k 和b 均为常数。
出现的误区：没有抓住函数的本质，透彻理解一次函数的概念例如：已知函数y=6)3(2||++-a x a 是y 关于x 的一次函数，求a 的值.解： ∵y=6)3(2||++-a x a 是y 关于x 的一次函数∴|a|-2=1,解得a=±3.例如：已知1)2(32+-=-k x k y ，当k 为何值时，y 是x 的一次函数？解：设K ²-3=1，得k=±2∴ 当k=±2时，y 是x 的一次函数。
错误分析：在课堂教学时可能没有重点强调0≠k ，学生在理解时没有理解到位，忽视了0≠k ，简单的认为y 是关于x 的一次二项式，只知道x 的指数是1，没有注意到0≠k 的条件限制。
改正的措施:在教学时，重点讲解一次函数的概念，抓住一次函数的本质，一次函数是形如y=kx+b 的函数，其中k 和b 均为常数，0≠k ，x 的次数是1. 在理解一次函数的定义时，一定要注意y=kx ＋b 是关于x 的一次二项式，其中常数b 可以是任意实数，一次项系数k 必须是非零数，k ≠0，因为当k = 0时，y = b(b 是常数)，由于没有一次项，这样的函数不是一次函数；而当 b = 0，k ≠0，y = kx 既是正比例函数，也是一次函数。
在课堂上，让学生多动脑思考，找出容易出现问题的一些题目，在学生自己思考的同时，自己总结，发挥学生的主观能动性，加深对知识的理解，教师对学生理解不到位的知识点再加以总结。
一次函数错题小析
初学习•纠错解析王丽琴在利用一次函数的有关知识解题时，同学们往往会因忽略一次函数限制条件、考虑问题不全面而出错。
为帮助大家学好一次函数，下面以例题的形式对常见错误进行剖析。
一、忽视一次函数限制条件【例1]k为何值时，函数y=(k-2)J+_k-2是一次函数？【错解】•.■底-3=1，得Zc2=4o«=±2时，函数y=@-2)f-A-24次磴攵。
【点拨】错误原因是忽略了一次函数y=kx+b 中的隐含条件壮弄0”。
【正解】由题意有(f-解得扫-2。
(K-2.7^0,即眉-2时，函数y=(fc-2)-fc-2是一次函数。
二、混淆函数图像与直线关系【例2】已知函数y=-ax-3“+9的图像不经过第三象限，则a的取值范围是______□【错解】由题意可得，函数图像经过一、二、四象限或二、四象限，.每卜a<0‘寸j_3a+9M0,.■-解得0<aW3。
【点拨】因为直线y=~3a+9,当a=0时，y=9,图像也不经过第三象限，所以"=0也符合条件,错解原因是忽略了直线y=b(b>0)的图像也不过第三象限。
【正解】由题意可得，函数图像经过一、二、四象限或二、四象限，•得h a<0,■■W|-3a+9»0,解得0<aW3。
特别地，当a=0时,y=9也符合题意,得O0W3。
三、忽略线段的长要取绝对值【例3】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A是x轴上任意一点、，点、B在y轴上，且B (0,4),已知△(24B的面积为10,求直线MB的函数解析式。
【错解】直线佔与y轴交点为(0,4),设一次函数解析式为:y=k.x+4，可得它与x轴的交点为,0),K•.•图像与两坐标轴围成的三角形面积为10,专X4X(-¥)=10,解得：《=-*，•••直线脑的函数解析式为:y=-|x+4o【点拨】由于点A是乂轴上任意一点,既可能在正半轴上也可能在负半轴上，所以直角三角形的底边是线段Od的长度，要用绝对值卜自来表示,否则容易造成漏掉一个解的错误。
一次函数教学中出现的误区
通过具体课例分析函数教学中出现的一种误区，提升对函数教学整体性和连贯性的认识，谈谈你有什么好的方法避免走入这种误区。
作业要求： 1.字数要求：不少于300字。
一次函数教学中出现的误区函数是中学数学的重要内容，而一次函数又是函数学习的基础．掌握一次函数的意义、特点、应用对以后进一步学习函数有着非常重要的意义。
经常听学生反映老师上课讲的时候，能听得懂，但课后做作业时就会遇到很多困难，有的甚至一点思路也没有。
这说明我们教师上课时函数内容讲得还不透彻，方法不得当。
下面就我的一节课谈谈我对一次函数教学看法。
课例：一次函数的图像和性质知识目标：（1）了解一次函数的的有关概念（培养学生的“数感”和“符号感”）（2）明确一次函数的表达式（体现数学的严谨性）（3）掌握一次函数的图象的画法；结合图象，使学生初步理解一次函数的性质；技能目标：渗透数形结合的思想和函数的思想，培养学生抽象思维能力，形成良好的思维品质；能力目标（1）通过引导、探索得出结论，培养学生抽象概括的逻辑思维能力。
（2）通过一题多解，培养学生发散思维和创新能力。
情感目标：通过函数图像的平移，培养学生初步的辩证唯物主义“运动变化”的观点和浓厚的学习兴趣。
教学过程：（1）复习旧知创设情境----一揭示理论根据复习引入阶段我设计了两个问题：(1)复习正比例函数y＝kx和一次函数y＝kx＋b的概念。
抽学生回答这个问题并强调：我们不仅要掌握好一次函数和正比例函数的概念，也要掌握好一次函数和正比例函数的图象和性质(由此引出本课课题，达到了新旧联系、自然过渡的目的)。
(2)引入练习：在同一坐标系内画出下列函数的图象：y＝2x，y＝2x＋1。
复习作一次函数图象的一般步骤：列表、描点和连线(将与本课要学习的两点作图法比较，为新课的讲解作铺垫)。
引导学生观察对应值表，比较图象上的点，如果它们的横坐标相同，那么它们在坐标平面中点的位置之间有什么关系？从而使学生懂得一次函数y＝2x＋1的图象可以由正比例y＝2x的图象向上平移一个单位，多取几点来说明。
走出一次函数的误区
错解剖析
走出一次函数的误区
山东 刘开永
一、忽视y=kx+b 中k≠0
例1 已知y=(m+4)x 152
－m +m+1是y 关于x 的一次函数，则m 的值为_____.
（针对性训练见2版“一次函数与正比例函数”3题）
错解：由已知得m 2-15=1，解得m=±4.
剖析：错解只考虑了x 的指数等于1，而忽视了系数m+4≠0，即m≠-4．
正解：由已知得m 2-15=1，且m+4≠0，解得m=4.
二、考虑不周
例2 若直线y=2x+b 不经过第二象限，则b 的取值范围是_______.
（针对性训练见2版“一次函数的图象”6题）
错解：由已知得直线经过第一、三、四象限，画草图可知直线与y 轴负半轴相交，即b<0.
剖析：直线y=2x+b 不经过第二象限，可能经过第一、三、四象限，此时b<0；或经过第一、三象限，此时b=0.
正解：b≤0.
三、忽视自变量的取值范围
例3 长方形的周长是10 cm ，长为x cm ，宽为y cm ，写出y 与x 的函数关系式，并画出函数图象.
错解：因为长方形的周长为10 cm ，所以2（x+y ）=10，所以y=5-x.所画图象如图1所示.
图1 图2 剖析：错解没有考虑自变量的取值范围.因为y ＞0，x ＞0，所以0<x<5.
正解：y=5-x （0<x<5）.函数图象如图2所示.。
《一次函数》教学误区剖析.doc
《一次函数》教学误区剖析函数是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型，也是初屮数学里代数领域的重要内容，它在初屮数学屮具有较强的综合性。
在教学屮，学空常常觉得函数抽象深奥，高不可攀, 老师也觉得函数难讲，讲了学生也理解不了，理解了也容易出错。
那么在教学小怎样才能取得好的教学效果呢？我结合实例把一次函数教学小容易出现的误区整理如卜•，并提出了相应的避免出现课区的方法，与学友们交流。
课例1：已知1・已知y = (m-2)x w2"3+m + l ,当m为何值时，y是x的一次函数？误区：解：设m2 —3二1,得m二±2,剖析：由一次函数的定义知m二2时，比例系数m-2=0,不合要求，所以只取m二- 2 避免出现误区的方法：抓住事物本质，透彻理解两数和一次函数概念内涵。
首先，吃透函数概念的内涵。
在一个变化过程屮，两个变量x和y,对于x的每一个值y都有唯一的值和它对应，这时y叫做x的函数，x叫做H变量。
在函数概念小，凸显“唯一性”，正是展现函数的深层内涵。
其次，在深刻理解函数概念基础上，要抓住一次函数概念y二kx+b(kH0)的本质，k、b 为常数，且kHO,自变量x的次数为1。
上面的解答只考虑到x的指数m2-3=1,却忽视了一次函数表达式成立的条件kHO,即比例系数(m-2) H0,所以mH2,故只取m二-2课例2：若氏线y = -3;r + R不经过第三象限，贝U k的取值范围是_____误区：解：由已知得当E>()时，直线y = -3x + k不经过第三象限.剖析：直线y = -3x + k不经过笫三象限，则可能过笫一、二、四象限，此时k>0；也可能只过第二、四和原点，此吋R=0・【正确答案】：k^O.避免出现误区的方法：深刻领悟一次函数的性质，揭示函数与图像的辩证关系，渗透数形结合思想，领会k、b值的正负对一次函数y二kx+b(kHO)图像的影响。
函数解析式及其图像都是函数的表示形式，均揭示了函数与白变最的互动性，它们之间冇着必然的联系。
一次函数常见错误分析
错解
设所求 的点 的坐标 为 （ Ｙ ， 据题 意可 得 ， ） 则
，
９则有 ．
－
１或 ｙ＝ ． １ 当 ＝１时 ， ：了 Ｉ 下 Ｉ
３ｋ ＋ｂ ＝
此 时 点 为 （ ， ） 当 Ｙ＝１ ， 得 ＝１ 此 时 点 也 为 Ｉ１． 时 求 ，
（ ，） 故满 足条件的点有 １ 所 以本题应选 Ａ １１ ． 个． ．
解 之 得 ２ ，
剖析
线 段长 度 为 非 负数 ， 用坐 标 表 示线 段 长 度
ｌ ７ ｂ＝ ．
时 ， 须 注 意 取 绝 对 值 这 一 步 ， 则 就 会 出错 ． 必 否 设 所 求 的 点 的 坐标 为 （ ｙ ， 据 题 意 可 得 ｌ ， ） 则
或 ＩＩ ． Ｙ ＝１
Ａ． ４ １
例 直 ｙ ÷ 到 轴 ｙ距 为 ７在 线 ÷ ＋ 上 或 轴 离 １
的点 有 （
Ａ１ ．个 Ｃ ３个 ．
） ．
） ．
Ｂ ２个 ． Ｄ． ４个
Ｂ．一６
Ｃ 一 ． ４或 ２ １
Ｄ ６或 １ ．一 ４
错解
＝
据题意知 ： 当 ＝一３时 ， Ｙ：１ 当 ＝１时 ， ； Ｙ
．
。＋
．＋
．．
。＋
。＋
．．
。＋
．．
．
◆ 数学夫世界 ．． ．＋＋．．＋＋＋．． 。 ６▲ ． 。。。。，。。。 ｖ 。
正 确 选 项 为 Ｂ ．
七 、 视 点 的坐 标 与 线 段 长 之 间的 关 系 致错 忽
六 、 视不同对应情况致错 忽
例 ６ 一次函数 Ｙ＝ ｘ＋ｂ 当 一３ ≤１时 ， 应的 ｋ ， ≤ 对 Ｙ值为 １ ≤９ 则 ｋ ≤ｙ ， ｂ的值是 （
一次函数中的常见错误分析
一
／ ＝ 一 ｋ ｘ ＋ ｂ
／
／ ／ ｒ Ｊ
由图可知 ： 该 函数 图像 不 经过 第 四象 限 ．
（ 作 者 单位 ： 南京 市 第一 中学 明发 滨 江分校 ）
次 函数 经 过 哪 几 个 象 限 ，不 需 要 死
例 １ 当ｍ为何 值 时 ， 函数 （ 玎 件３ ）
ｍ是 一 次 函 数 ？ 不够灵活 ， 常常会 出现这样或那样 的错误 ． ＋
现 就 一 次 函 数 中 的 常 见 解 题 错 误 分 类 举 例 加 以剖 析 ， 希望 对 同学们学好 一次 函数
乖 希 珠 不 币 乖
记 硬背 ， 只要 掌 握 了一 次 函数 图像 的性 质 ， 就 可 以快 速 画 出草 图 ， 从 而确 定 其位 置 ．
１ ８
’
． ．
１ ｍｌ 一 ２ ＝ １ ，
・
・
一
．
次 函 数 与 两 坐 标 轴 围 成 的三 角 形
・ ．
．
１ ｍＩ ＝ ３ ． ｍ ＝ ± ３ ．
过第二 象限 ， 则ｍ的取 值 范 围是 — — ．
提 三角形 的三条边 ， 所 以 题 目中 隐 含
着“ 三角 形 的两 边 之 和大 于 第 三边 ” 的 条
件 ， 因此 还 需 要 有 ｘ ＋ ｘ ＞ ｙ ， ＋ ｙ ＞ （ 这 是 显
然的 ） ．
【 错解 】 根 据题意得ｍ ＜ Ｏ ． 【 错误分析 】 一次 函数 的图像 不过第二
一
【 错解 ＿ ｙ ＝ （ ｍ＋ ３ ） Ｉ ｍ Ｉ ＋ ｍ是 关 于 的
一次函数常见错误有以下几种
例谈一次函数教学中容易出现的“误区”函数是中学教学的重要内容，一次函数是学生在初中阶段接触的第一类函数，这部分知识的学习对于学生来说有一定的难度，所以我们在进行教学设计时，一定要了解学生的认知水平，充分了解学生的学习特点，因材施教。
通过对于一次函数的教学实践，对于学生学习出现的的误区进行一个简单的分析。
误区一：学生在学习过程中对于概念理解不够透彻例题：下列函数是一次函数的是( )①y=0.3x②y=2x ③y=-0.5x+1 ④y=0.4x+2 ⑤y=2x2+1⑥y=0.03x2+15 ⑦y=5x ⑧y=7x+4A 3个B 4个C 6个D 5个【错解】选A【错误解析】：不能正确理解一次函数的概念，正比例函数是特殊的一次函数。
【正解】选B误区二：确定正比例函数解析式时出现错误例1.设有三个变量x,y,z,其中y是x的正比例函数，z是y的正比例函数。
（1）试说明z是x的正比例函数。
（2）如果z=1时，x=4，求z关于x的函数解析式。
【错解】（1）根据题意，设y=kx ①，z=ky ②,且k≠0，将①代入②，得z =k2x，因为k≠0，所以k2≠0，k2为常数。
由正比例定义知z是x的正比例函数。
（2）当z=1，x=4时，代入z =k2x中，得1 =4k2，所以k2=0.25，所以k=±0.5，所以z关于x的函数解析式是z =0.5x 或-z =-0.5x。
【错误解析】（1）z与x的比例系数和z与y的比例系数并不一定相同，因此不能都设为k；（2）z与x 的关系式只要确定比例系数即可而不是求k值。
【正解】（1）根据题意，设y=k1x ①，z=k2y ②,且k1≠0，k2≠0，k1，k2为常数，将①代入②，得z = k1k2x，因为k1≠0，k2≠0，所以k1k2≠0是常数。
由正比例定义知z是x的正比例函数。
（2）当z=1，x=4时，代入z = k1k2x中，得1 =4 k1k2，所以k1k2=0.25，所以z关于x的函数解析式是z =0.25x。
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一次函数的中的误区课例
例1．已知函数2(1)1y k x k =-+-，当k 满足什么条件时，它是一次函数，当k 满足什么条件时，它是正比例函数？
误区：由21k -≠0得k ≠±1，所以当k ≠±1时，2(1)1y k x k =-+-是一次函数；
由21k -得k =±1，所以当k =±1时，2(1)1y k x k =-+-是正比例函数 避免走入误区的方法：本题是考查对正比例函数和一次函数的概念理解，误区中忽略了一次函数y kx b =+（k ≠0）和正比例函数y kx =（k ≠0）中的隐含条件“k ≠0”。
因此，日常应加强学生对函数知识的核心和细节方面的理解和记忆。
正解：∵函数2(1)1y k x k =-+- 是一次函数
∴1k -≠0，即k ≠1，
函数2(1)1y k x k =-+-是正比例函数，则1k -≠0，21k -=0，
∴k =-1
∴当k ≠1时，2(1)1y k x k =-+-是一次函数
当k =-1时，2(1)1y k x k =-+-是正比例函数
例2．已知y 与1x -成正比例，且当x =5时y =3，求y 与x 的函数关系式。
误区：认为是y 与x 的关系是正比例函数关系。
设y 与x 的函数关系式y kx =
∵当x =5时y =3
∴53k =得k =35
∴y 与x 的函数关系式为35
y x = 避免走入误区的方法：要避免出现以上错误，应让学生知道1x -是一个整体，不能分开，y 与1x -成正比例是指y 与整体1x -的关系。
因此应设(1)y k x =-。
正解：设y 与x 的函数关系式为(1)y k x =-
∵当x =5时y =3
∴3(51)
k
=-得
3
4 k=
∴y与x的函数关系式为
33
44 y x
=-
以上都是学生对一次函数的相关知识理解不深所导致的错误，要避免此类错误的出现，提高解题效率，就要加深学生对知识的理解和应用，多练习。