湖北省天门中学2008年高三11月月考数学试题(理科)

湖北省天门中学2008年高三11月月考数学试题（理科） 命题人：代成红一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．已知全集U=},,,,{e d c b a ,集合},,{},,{e b a B c b A ==，则()U C A B ⋂= （ ）A ．},{e aB ．},,{d c bC ．},,{e c aD ．}{c2．条件p q x q x p ⌝⌝>->+是则条件,131:,1|1:|的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．{an}为等差数列，a10=33，a2=1，Sn 为数列{an}的前n 项和，则S20－2S10= （ ） A ．40 B ．200 C ．400 D ．204．关于x 的不等式ax+b<0的解集为{x|x>1}，则关于x 的不等式02>--x bax 的解集为（ ）A ．（1，2）B ．（－1，2）C ．（－∞，－1）∪（2，+∞）D ．（2，+∞）5．若43sin(),sin(),(,).(,0),sin 25522ππαβαβαβπαββ+=-=-+∈-∈-其中则=（ ）A ．257B ．－257C ．1D ．－16．若平面四边形ABCD 满足0)(,2=⋅-=，则该四边形一定是（ ）A ．矩形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．平行四边形7．已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R ）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（ ）A ．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称D ．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称8．已知2222222,4)(c ab b a c c b a +=+++则的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如右图，虚线部分是四个象限的角平分线，实线部分是函数)(x f y =的部分图像，则)(x f 可能是 （ ）A ．x x sinB ．x x cosC ．x x cos 2D ．x x sin 210．点O 为△ABC 内一点，且存在正,,321321=++λλλλλλ使，设△AOB ，△S1、S2，则S1：S2= （ ）A ．λ1：λ2B ．λ2：λ3C ．λ3：λ2D ．λ2：λ1二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共20分）11．已知x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥++020402y x y x y x 则z=2x+y 的最大值为12.不等式(20x -≥的解集是＿＿＿＿＿＿13．已知⊙A ：(x －3)2+(y －5)2=1，⊙B:(x －2)2+(y －6)2=1，P 是平面内一动点，过P 作⊙A 、⊙B 的切线，切点分别为D 、E ，若||),0,0(|,|||PO O PE PD 则=的最小值为 . 14．式子︒︒︒-+-35cos 35sin 20cos 1的值等于 ．15． 给出下列命题：①()sin cos 02παπα⎛⎫++-= ⎪⎝⎭；②函数()()23log 2f x x x =-的单调减区间为(),1-∞；③已知21:231,:06p x q x x ->>+-，则p 是q 的必要不充分条件；④在平面内，与两圆221x y +=及228120x y x +-+=都外切的动圆圆心的轨迹是双曲线。

其中所有正确命题的序号是 。

三、解答题（本大题共6小题，共75分） 16．（本小题12分）在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，设向量(,cos ),(,cos )m a B n b A ==，//.m nm n ≠且， （1）求sin sin A B +的取值范围；（2）若(),abx a b c =+试确定实数x 的取值范围. 17．（本小题12分）已知平面上三个向量,,a b c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为0120.(1) 求()a b c -⋅的值；(2) 若()1ka b c k R ++>∈，求k 的取值范围。

18.设函数()()(),0f x x a g x ax a =-=>（1）解关于x 的不等式()()f xg x <； （2）设()()()F x f x g x =-，若()F x 在()0,+∞上有最小值，求a 的取值范围。

19. （本小题满分12分） 已知点(),P a b到直线：12:(2,:(2l y x l y x ==的距离之和为4，求22a b +的最小值20. （本小题满分13分）某工厂有216名工人接受了生产1000台GH 型高科技产品的总任务，已知每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成. 每个工人每小时能加工6个G 型装置或3个H 型装置. 现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置。

设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完G 型装置所需时间为)(x g ，其余工人加工完H 型装置所需时间为)(x h （单位：小时，可以不是整数）. （Ⅰ）写出)(),(x h x g 解析式；（Ⅱ）比较)(x g 与)(x h 的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间)(x f 的解析式；（Ⅲ）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？ 21．（本小题满分14分）已知数列,21,0,}{11n n n a a a a -==+中（1）证明11na ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{n a }的通项公式n a . （2）设数列{n a }的前n 项和为Sn ，证明Sn<n －ln(n+1).（3）设n n n a b )109(=，证明：对任意的正整数n 、m ，均有53||<-m n b b .参考答案一、A 、B 、C 、B 、A 、B 、D 、B 、A 、C二、11：16；12：[){}2,3,4+∞⋃--；1314：0 ；15：①③三：16.解：因为(,cos ),(,cos )//m a B n b A m n ==且，所以cos cos a A b B =，由正弦定理，得sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 又,m n ≠所以22,A B π+=即/2A B π+= …………3分(1)sin sin A B +=sin sin()sin cos /4)2A A A A A ππ+-=+=+ 30,,24442244A A A A ππππππππ<<≠∴<+<<+<1)4A π∴<+<，因此sin sin A B +的取值范围是( …………6分(2)若(),abx a b c =+则()a b cx ab +=,由正弦定理，得()sin sin sin cos sin sin sin cos a b c A B A Ax ab A B A A +++===⋅⋅ …………8分设sin cos A A +=t∈(,则212sin cos t A A =+,所以21sin cos 2t A A -=即222221112t t x t t t t ===>=---，所以实数x的取值范围为()+∞…………12分17．解：(1):00()11cos12011cos1200a b c ac bc -⋅=-=⨯⨯-⨯⨯=…………5分 (2):2222221,1,2221200 2.ka b c ka b c k a b c ka b ka c b c k k k k ++>∴++>∴+++⋅+⋅+⋅>∴->∴<>或…………12分18.解：(1)不等式等价于()()()()1010a x a I a x a II +->⎧⎪⎨--<⎪⎩…………1分当1a >时，由（I ）得1a x a >+，由（II ）得1a x a >-，此时不等式的解集是|1a x x a ⎧⎫>⎨⎬+⎩⎭； 当1a =时，由（I ）得1a x a >+，由（II ）得x R ∈，此时不等式的解集是|1a x x a ⎧⎫>⎨⎬+⎩⎭； 当01a <<时，由（I ）得|1a x x a ⎧⎫>⎨⎬+⎩⎭，由（II ）得1ax a <-，此时不等式的解集是 |11a a x x a a ⎧⎫<<⎨⎬+-⎩⎭； …………5分 综合得，当1a ≥时，不等式的解集为|1a x x a ⎧⎫>⎨⎬+⎩⎭，当01a <<时，不等式的解集为|11a a x x a a ⎧⎫<<⎨⎬+-⎩⎭ …………7分 （2）()()()()()110a x ax a F x x a ax a x a x a --≥⎧⎪=--=⎨-++<≤⎪⎩由于0a >，()F x 在(]0,a 上为减函数，因此，要使()F x 在()0,+∞上有最小值，xl 1必须而且只需()F x 在[),a +∞上为常数函数或增函数，因此10,01a a -≥∴<≤…………12分19.解：设1l 与2l的夹角为θ，P 到1l的射影为A ，P 到的射影为B ，POA x ∠=，则tan θ==3πθ∴=…………2分(1)当P 位于平面区域I(()(()220y x y x -⋅-≤时，()/34OP Sinx OP Sin x π⋅+⋅-=，()444/36OP Sinx Sin x Cos x ππ==≥+-⎛⎫- ⎪⎝⎭，2216a b ∴+≥。

…………8分(2)当P 位于平面区域II ：(()(()220y x y x -⋅-+>时，()2/34OP SinxOP Sin x π⋅+⋅-=，()442/33OP Sinx Sin x x ππ==≥+-⎛⎫- ⎪⎝⎭，22163a b ∴+≥。

…………11分22a b ∴+的最小值是163。

………12分20．解：（Ⅰ）由题意知，需加工G 型装置4000个，加工H 型装置3000个，所用工人分别为x 人，x -216人..3)216(3000)(,64000)(⋅-==∴x x h x x g即*).,2160(2161000)(,32000)(N x x x x h x x g ∈<<-==……4分（Ⅱ）.)216(3)5432(1000216100032000)()(x x x x x x h x g --⋅=--=-.0216,2160>-∴<<x x当086,432-50,()-()0,()()x x g x h x g x h x <≤>>>时；当87216,432-50,()-()0,()().x x g x h x g x h x ≤<<<<时……6分 =∴)(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈<≤-∈≤<.*,21687,2161000*;,860,32000N x x x N x x x ……9分（Ⅲ）完成总任务所用时间最少即求)(x f 的最小值.当860≤<x 时，)(x f 递减，,12910008632000)86()(=⨯=≥∴f x f),86()(m in f x f =∴此时216-130,x =……10分当21687<≤x 时，)(x f 递增，,1291000872162000)86()(=-=≥∴f x f ),87()(min f x f =∴此时,129216=-x,1291000)87()86()(min ===∴f f x f∴加工G 型装置，H 型装置的人数分别为86，130或87，129. …………13分21．解：（1）因为111121211111-+-=--=--=-+n n n n n a a a a a n a n n a a n n 11)1()1(11111-=-=-⨯-+-=-所以所以 （2）设F(x)=ln(x+1)－x(x>0)1()10(0)11()(0)0,ln(1)(0)1111ln(1)11ln(1),11-1-ln(1)ln ,(1ln 2ln1)(1ln 3ln 2)(1ln(1)ln )ln(1)n nx F x x x x F x F x x x n n n na n n nn n S n n -'=-=<>++<=+<>+<∴-<-+=<++<-++-++⋅⋅⋅+-++<-+n 则故所以所以所以所以S…………9分 （3）因为n n n n b )109(1⨯-=>>><<<≤<<⨯-=≥>>⨯-=⨯-=⨯+⨯-=+++654321221221221310,19101410,19101910191011b b b b b b n n n n b b n n n n b b nn n n n n b b n n n n n n 所以即时当即时当所以………………………………4分又因为n ≥2时，bn>0，并且b1=0，所以40b b n ≤≤. 所以对任意的正整数n 、m ，均有|bn －bm|的最大值为：14b b -=,53400002400040000196830)109(434=<=-⨯ 所以对任意的正整数n 、m ，均有53||<-m n b b ………………14分。