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椭圆中的蝴蝶定理是什么？
椭圆中的蝴蝶定理是什么？
蝴蝶定理起源于圆，并可推广至圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线），椭圆中的蝴蝶定理是高考中最常见的情况，对综合分析能力要求甚高。
一·何谓蝴蝶定理：
1815年，英国伦敦出版社，著名的数学科普刊物《男士日记》上刊登了如下的命题：
以上问题的图形，像一只翩翩起舞的蝴蝶，这正是该命题被称之为“蝴蝶定理”的原因。
由于蝴蝶定理意境优美，结论简洁，内涵丰富，两百多年来引无数数学家为之流连忘返，浮想联翩。
时至今日，人们不仅发现了蝴蝶定理的六十多种证明方法，而且还给出了定理的各种变形与推广。
二·蝴蝶定理的证明：
蝴蝶定理的证明方法非常之多，但利用曲线系方程来证明蝴蝶定理干净简洁，内涵丰富。
另外，如果将圆的方程换成圆锥曲线（椭圆、双曲线或抛物线）的方程，则得到对应这些曲线中的蝴蝶定理。
三·蝴蝶定理的推广：
对蝴蝶定理的探索与研究至今仍然没有结束，由人称它为欧氏平面几何里的一颗璀璨明珠。
四·典型高考题示例：
蝴蝶定理在高考数学中曾多次出现，下面仅举一例进行说明：
蝴蝶定理，butterfly thearem，古典欧氏几何最精彩的结果之一。
1815年首次被一个自学成才的中学教师W·霍纳以初等方式证明。
足可见，高等的东西用初等方法解决未必完全不可能。
以上，祝你好运。
蝴蝶定理的证明
图 5蝴蝶定理的证明定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。
设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。
则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ∆∆，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。
证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即PC'CQ =。
又111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222∠∠（）（）故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ∆≅∆，故ME=MF 。
证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。
对NEF ∆及截线AMB ，NEF ∆及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有FM EA NB 1ME AN BF ⋅⋅=，FM ED NC1ME DN CF⋅⋅= 由上述两式相乘，并注意到NA ND NC NB ⋅=⋅ 得22FM AN ND BF CF BF CFME AE ED BN CN AE ED⋅=⋅⋅⋅=⋅ ()()()()2222PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -==-+--化简上式后得ME=MF 。
蝴蝶定理
蝴蝶定理蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。
由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职815年所给出的证法。
至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。
1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。
这里介绍一种较为简便的初等数学证法。
证明：过圆心O作AD与BC垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM。
SM。
MT。
∵△AMD∽△CMB，且SD=1/2AD, BT=1/2BC，∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B∴△MSD∽△MTB，∠MSD=∠MTB∴∠MSX=∠MTY；又∵O，S，X，M与O，T。
Y。
M均是四点共圆，∴∠XOM=∠YOM∵OM⊥PQ∴XM=YM二，如图1，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b ＞r＞0）。
（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）。
（Ⅱ）直线y=k求证：k1x1x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。
求证：| OP | = | OQ |。
（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）2．解答：北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下：（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。
几何中的蝴蝶定理
几何中的蝴蝶定理1. 哎呀，今天咱们来聊一个特别有意思的几何定理，叫蝴蝶定理！说实话，光听这名字就觉得美滋滋的，像是在数学花园里看见了一只翩翩起舞的蝴蝶。
2. 这个定理说的是啥呢？想象一下，在一个圆里面，画了两条相交的弦，就像蝴蝶的两个翅膀一样交叉在一起。
这时候就神奇了！3. 这两条弦交叉的那个点，把每条弦都分成了两段。
要是把这四段线段相乘，你猜怎么着？两组乘积居然完全相等！这就跟变魔术一样神奇。
4. 打个比方啊，假如咱们画了两条弦，一条被分成3厘米和5厘米两段，另一条被分成4厘米和3.75厘米两段。
你用计算器算算：3×5=15，4×3.75=15，这不就神了吗？5. 有的同学可能要问了：这定理咋这么像蝴蝶呢？你仔细看啊，两条相交的弦就像蝴蝶的翅膀，交点就像蝴蝶的身体，这不是活脱脱一只几何蝴蝶嘛！6. 这个定理还有个特别实用的地方。
要是你在做几何题时遇到圆里面有两条相交的弦，立马就能用上这个定理，分分钟解出来！7. 说到证明过程，其实也不难。
就像是把蝴蝶的翅膀折来折去，用相似三角形就能证明。
不过今天咱们主要是理解这个定理的妙处，就不钻牛角尖啦！8. 这个定理还告诉我们一个道理：看似不相关的东西，其实暗藏玄机。
就像蝴蝶翅膀上看似随意的花纹，背后却藏着严谨的数学规律。
9. 在实际应用中，蝴蝶定理经常和其他定理一起使用。
比如说和圆幂定理搭配，简直就是几何题的双保险！解题的时候，就像蝴蝶飞舞一样轻松自如。
10. 有意思的是，这个定理还能推广到更复杂的情况。
要是在圆里面画更多的弦，它们相交的点也会形成一些有趣的规律，就像一群蝴蝶在跳舞。
11. 学习数学最重要的就是找到乐趣。
蝴蝶定理就是个很好的例子，它把枯燥的几何变成了生动的图画，让人感受到数学之美。
12. 所以啊，下次你看到蝴蝶，别光顾着欣赏它的美丽，也想想它身上藏着的数学奥秘。
这不就是数学最迷人的地方吗？它把大自然的美和严谨的逻辑完美地结合在了一起！。
蝴蝶定理的八种证明及三种推广
蝴蝶定理的证明定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。
设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。
则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠，又MADMCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ∆∆，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。
证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即PC'CQ =。
又111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222∠∠（）（）故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ∆≅∆，故ME=MF 。
证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。
对NEF ∆及截线AMB ，NEF ∆及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有FM EA NB 1ME AN BF ⋅⋅=，FM ED NC1ME DN CF⋅⋅= 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB ⋅=⋅ 得22FM AN ND BF CF BF CF ME AE ED BN CN AE ED⋅=⋅⋅⋅=⋅ ()()()()2222PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -==-+--化简上式后得ME=MF 。
蝴蝶定理的证明与推广
蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典欧氏平面几何的最精彩的结果之一。
这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形象一只蝴蝶。
这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。
最基本的叙述为：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。
设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广：
从向和作垂线，设垂足分别为和。
类似地，从向和作垂
线，设垂足分别为和。
证明蝴蝶定理
现在，由于
从这些等式，可以很容易看出：
由于 =
现在，
因此，我们得出结论：，也就是说，是的中点。
蝴蝶定理
去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为"坎迪定理"，不为中点时满
足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP ,这对2，3均成立。
[1]
蝴蝶定理的证明
∴△ESL∽△CST
∴∠SLN=∠STM
∵S是AB的中点所以OS⊥AB
∴∠OSN=∠OLN=90°
∴O，S，N，L四点共圆，(一中同长)
同理，O，T，M，S四点共圆
∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON
∴∠SON=∠SOM
∵OS⊥AB
∴MS=NS
从X向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''。
类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为
Y'和Y''。
证法2
证明方法二
(证明过程见图片)证法3:对称证法
(证明过程见图片)【此方法也可证明蝴蝶定理的一般形式:坎迪定理】证法4:面积法
证法5:帕斯卡定理证法∵M为AB 中点∴KM⊥AB∴∠GMK=∠HMK=90°
∴∠GKM=∠GFM，∠MKH=∠MDH 又∵∠GFM=∠MDH
∴∠GKM=∠MKH
又∵∠GMK=∠HMK=90°
∴△GMK≡△HMK(ASA)
∴GM=MH。
蝴蝶定理高中
蝴蝶定理高中
（实用版）
目录
1.蝴蝶定理的概述
2.蝴蝶定理的证明方法
3.蝴蝶定理在数学领域的应用
4.蝴蝶定理对高中数学教学的重要性
正文
【蝴蝶定理的概述】
蝴蝶定理，又称为蝶形定理，是一种数学公式，主要描述了三角函数的性质。
它的名字来源于它的形状像一只蝴蝶。
在数学中，蝴蝶定理是一种基本的公式，它在解决许多数学问题时都起到了关键的作用。
【蝴蝶定理的证明方法】
蝴蝶定理的证明方法比较简单，主要是通过将三角函数进行拆分和组合，然后通过化简，最后得到蝴蝶定理的公式。
具体的证明过程需要一定的数学技巧，但对于高中生来说，理解这个过程可以帮助他们更好地理解三角函数的性质。
【蝴蝶定理在数学领域的应用】
蝴蝶定理在数学领域中有广泛的应用，它不仅可以用来解决三角函数的问题，还可以用来解决复数和指数函数的问题。
在解决一些复杂的数学问题时，蝴蝶定理往往能够提供一种简单而优美的解决方案。
【蝴蝶定理对高中数学教学的重要性】
蝴蝶定理对高中数学教学具有重要的意义。
通过学习蝴蝶定理，学生可以更好地理解三角函数的性质，提高他们的数学技能和解决问题的能力。
同时，蝴蝶定理也是一种很好的教学工具，可以帮助教师更好地解释和教授三角函数。
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蝴蝶定理的证明定理： 设 M 为圆内 弦 PQ 的中点，过M 作弦 AB 和 CD 。
设 AD 和 BC 各相交 PQ 于点 E 和 F ，则 M 是 EF 的中点。
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法 1如图 2 ，作 OUAD ， OV BC U ，V 分别为 AD 、 BC的中点，且由于，则垂足EUO EMO 90 FVOFMO 90得 M 、 E 、U 、O 共圆； M 、F 、V 、 O 共圆。
则 AUM= EOM ， MOFMVC又 MAD MCB ， U 、V 为 AD 、BC 的中点，从而 MUAMVC ，AUMMVC则EOMMOF ，于是 ME=MF 。
证法 2 过 D 作关于直线 OM 的对称点 D' ，如图 3所示，则FMD'EMD ，MD=MD'1A○C联结 D'M 交圆 O 于 C'，则 C 与 C'关于 OM 对称，即P EFQUMPC'CQ 。
又VDO1 1 1CFP= （ QB+PC ）= （QB+CC'+CQ ）=BC'= BD'C'2 22故 M 、F 、 B 、 D' 四点共圆，即 MBF MD'F而MBF EDM2○B图 2C'CA由 1 、 2 知， DMED'MF， 故 ME=MF 。
○ ○PEFQM证法 3 如图 4，设直线 DA 与 BC 交于点 N 。
对 NEF 及截线 AMB ， NEF 及截线 CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有FM EA NB 1 ， FM ED NC 1ME AN BFME DN CF由上述两式相乘，并注意到NA ND NC NBOBDD'图 3N得FM 2 AN ND BF CF BF CF ME2AE EDBN CNAE EDAC PEFQPM +MF MQ - MFPM 2 MF 2PM - ME MQ+MEPM 2 ME 2MDOB化简上式后得 ME=MF 。
[2]图 42 不使用辅助线的证明方法单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。
证法 4（ Steven 给出）如图 5，并令DAB= DCB ACαADC=ABCαP EδγF QDMP= CMQγM δAMP=BMQβ OPM MQaDβMEx ， MFyB由SAMESFCMSEDM SFMB1即SFCM SEDMSFMB SAME图 5，AM AE sinFM CM sin ED MD sinMF MB sinMC CF sinEM MD sinFB BM sinMA ME 1sin化简得MF 2CF FBQF FP a y a y a 2 y 2ME 2AE EDPE EQa x a xa2x2即 y 2a 2 y 2从而 xy,MEMF 。
222x a x ，证法 5 令 PMDQMC，QMBAMP，以点 M 为视点，对MBC 和 MAD分别应用张角定理，有sinsinsin sinsinsinMFMC，MDMAMBME上述两式相减，得sin11sinMCMDsinMB MAMF MEMC MDMA MB2设 G 、H 分别为 CD 、AB 的中点，由 OMPQ ，有MB MA 2MH 2OM cos 90 2OMsinMDMC 2MG 2OM cos 902OMsinyAC1P EM F Q221DO于是1 1 而180 ，知 sin0 ，2sinMFME，B3故 ME=MF 。
图 64（二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。
证法 6（单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为x22 直线 AB 的方程为 y k 1 x ，直线 CD 的方程为 y k 2 xy a R2。
由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为x2y a2R2y k 1x y k 2 x令 y0 ，知点 E 和点 F 的横坐标满足二次方程k 1k 2 x 2 a 2 R 20 ，由于 x 的系数为，则两根x 1 和 x 2 之和为 0 ， 即x 1x 2 ，故 ME=MF 。
[5]证法 7如图 7 建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为x 2y 2 r 2Da直线 AB 、 CD 的方程可写为 yk 1 x , yk 2x 。
又设 A 、 B 、 C 、 D 的坐标为x i , y i ,i 1,2,3,4则 x 1、 x 4 分别是二次方，程x a2k 12 x 2 r 2 ,x a 2r 2 的一根。
AD 在 y 轴上的截距为k 22 x 2 y 1y 4 y 1 x 1k 1 x 1 k 2 x 4 k 1 x 1 x 1 k 1 k 2 x 1x 4x 2 x 1x 4 x 1 x 4 x 1。
C 同 理 ， BC 在 y 轴 上 的 截 距 为k 1 k 2 x 2x 3注 意 到 x 1、 x 2 是 方 程x 3 x 2。
A1k 12 x 22ax a2r2的两根 ，x 3、 x 4 是 方 程2 222x 1 x 22ax 3 x 4从而易1k 2x2a x的两根，所以a 0ra2r2x 3 x 4x 1 x 2，得x 1 x 2 x 3x 4 0 即 MEMF 。
x 1 x 2x 3 x 4，证 法 8如 图 8 ， 以 M 为 极 点 ， MO 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 。
因 C 、F 、B BMx， CMx，则C F sin2 F B sinCB sin2即C B sin1AD sin2 FB cosC cos○EA cos D cos○2PE A12O MC1FQ2B图 73PBFVMO xE UDQ图 8三 点 共 线 ， 令作 OUCD 于 U ，作 OV AB 于 V 。
注意到A BCD由 RtOUM 与 Rt OVM 可得BADCcos cos将 3 4 代入 1 2 可得EF ，即 ME=MF 。
○ ○○ ○○3○4二 蝴蝶定理的推广和猜想（一） 猜想 1 在蝴蝶定理中 , P 、 Q 分别是 ED 、 CF 和 AB 的交点 . 如果 P 、 Q 分别是 CE 、 DF 和 AB 延长线的交点 , 我们猜想 , 仍可能会有 PM = QM .推论 1过圆的弦 AB 的中点 M 引任意两条弦 CD 与 EF,连结 CE 、 DF 并延长交 AB 的延长线于 P 、 Q.求证 : PM = QM.证明 ; 设 AM =BM = a, PM = x,QM = y ;∠PM E = ∠ QM F = α, ∠ PCM = ∠ DFM =β ;∠ CM E = ∠ DM F =γ , ∠ QDM = ∠ CEM =δ ;记 △ PM E, △ QM F,△ PMC, △ QMD 的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4.则由恒等式 S2· S3· S4· S1= 1 知 M P ·M Esin α MQ ·M Fsin α · FQ ·FM sin (π - β )CP ·CMsin β ·· MCsin ( α +γ ) ·MD sin ( α +γ) · DQ ·DM sin δ EP ·EM sin ( π - δ )= ·DQ ·MP2·EP ·MQ2 = 1 , 即 QF · QD · M P2= PC ·PE ·MQ2.②又由割线定理知PC ·PE = PA ·PB = ( x - a) ( x + a) = x2- a2,QF ·QD = QB ·QA = ( y-a) ( y + a) = y2- a2.代入 ②式 , 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2.即 a2x2= a2y2.由于 a≠ 0, x, y > 0,所以 x = y .即 PM = QM. [3]（二）猜想 2在蝴蝶定理中 , 显然 OM 是 AB 的垂线 (O 是圆心 ) , 那么 , 我们可以猜想 , 如果在保持 OM ⊥ AB 的前提下将圆 O 的弦 AB 移至圆外 ,仍可能会有 PM =QM .推论 2 已知直线 AB 与 ⊙ O 相离 . OM ⊥ AB, M 为垂足 . 过 M 作 ⊙ O任意两条割线 MC, M E分别交 ⊙ O 于 C, D 和 E, F.连结 DE,FC 并延长分别交 AB 于 P, Q.求证 : PM = QM.证明：过 F 作 FK ∥ AB, 交直线 OM 于 N, 交 ⊙ O 于 K .连结 M K 交 ⊙ O 于 G.连结 GQ, GC. 由于 ON ⊥ FK,故有 FN = KN, 从而 M F =M K( 因为 M 在FK 的垂直平分线上 ) .又由割线定理知 M E ·M F = MG ·M K . 因此 M E = MG. ③又由 ∠ FMN = ∠ KMN, OM ⊥ AB,知∠ EM P = ∠ GMQ. ④从 ∠ CQM = ∠CFK = ∠CGK 知 ∠ CGM +∠ CQM= 180° ,从而 G,M, Q, C 四点共圆 .所以∠MGQ =∠ MCQ.又由于 ∠ M EP = ∠ DEF = ∠ DCF = ∠ MCQ, 知∠ M EP = ∠MGQ. ⑤- 4 -可以猜想 , 如果把两条不相交的曲线换成两条不相交的直线( 也即是两条平行线 ) , 仍可能会有PM = QM .推论 3设点 A 、 B 分别在两条平行线l 1、 l 2 上 , 过 AB 的中点 M任意作两条直线 CD 和 EF 分别交 l 1、 l 2 于 C、 D 和 E 、 F,连结 ED、 CF 交 AB 于 P 、 Q.求证 : PM =QM.证明：由于 l 1∥ l 2 ,M 平分 AB, 从而利用△ MAC≌△ MBD知 M平分CD,利用△ MAE≌△ MBF知 M 平分 EF.在四边形 CEDF 中 , 由对角线相互平分知CEDF 是平行四边形 , 从而 DE ∥ CF. 又由于 M 平分 EF, 故利用△ M EP ≌△ M FQ知 PM = QM。
[4]。