重庆八中高2012级高三(下)第一次月考数 学 试 题(理)

重庆八中高2012级高三（下）第一次月考数 学 试 题（理）本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数31i i=+A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+ D ．1122i -- 2．已知集合{1}M x x =<，1{1}N xx=<，则M N =A ．∅B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,1)-3．把函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移6π个单位长度得到函数A ．sin 2y x =B ．sin(2)6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+ D ．cos 2y x =4．已知向量a ,b 满足a 1=，b =4，()⋅+a b a 3=，则向量a 与b 的夹角为A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 5．在ABC ∆中，2AB =，45A =，30C =，则AC =A ．31+B ．21+C ．3D ．26．已知数列{}n a 的前n 项和2(*)n n S a n N =∈，则下列判断中正确的是 A ．{}n a 是等差数列B ．{}n a 是等比数列C ．{}n a 既是等差数列，又是等比数列D ．{}n a 既不是等差数列，又不是等比数列7．已知正数,a b 满足2a b +=，则1a b ++的最大值为A ．3B ．21+C ．6D ．31+8．5个人排成一列，其中甲不排在末位，且甲、乙两人不能相邻，则满足条件的所有不同的排列有 A ．18种 B ．36种 C ．48种 D ．54种9．已知(),(1)f x f x +均是定义域为R 的偶函数，且12x ≤≤时，21()log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则95(6),(),()24f f f --的大小关系为A ．95(6)()()24f f f -<-<B ．95()(6)()24f f f -<-<C ．59()(6)()42f f f <-<-D ．59()()(6)42f f f <-<-10．已知定义在(0,1)上的函数()f x ，对任意的,(1,)m n ∈+∞且m n <时，都有111m n f f f m n mn -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭．记21()55n a f n n =++，*n N ∈，则在数列{}n a 中，128a a a +++=A ．1()2fB ．1()3fC ．1()4fD ．1()5f第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置． 11．向量a (1,3)=，b (,9)m =-，若a ∥b ，则m =________．12．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，45a =，520S =，则6S =_______．13．已知OAB ∆中，(1,2)OA =，(4,5)OB =，点C 满足2AC CB =，则OC =___． 14．已知4cos()65πα+=，5cos()313πβ-=，且2363πππαβ-<<-<<,则cos()αβ-=_________．15．已知0a >且1a ≠，则使方程222log ()log ()a a x ak x a -=-有解的k 的取值范围为_____________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）设a R ∈，函数()sin (cos sin )f x x a x x =+满足)32()0(πf f =，求()f x 在5[,]242ππ上的最大值和最小值．17．（本小题满分13分，（1）小问6分，（2）小分7分．） 进行一次掷骰子放球游戏，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，共掷4次． （1）求丙盒中至少放3个球的概率；（2）记甲、乙两盒中所放球的总数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．18．（本小题满分13分）已知函数2()()(,,)x f x e x ax b x R a b R -=++∈∈在1x =-处取得极值e -，求()f x 的单调区间．19．（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小分7分．）如图所示，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长与侧棱长均为2，D 为AC 中点． （1）求证：1B C ∥平面1A DB ；（2）求直线BD 与平面11A BC 所成的角的正弦值．BA1C 1B 1A D20．（本小题满分12分，（1）小问6分，（2）小分6分．）设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足(1)(1)f x f x +=-+，(2)0f =，且方程()f x x =有等根．（1）求()f x 的解析式；（2）若对一切[2,)x ∈+∞有不等式3()8f x m mx +≥成立，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分12分，（1）小问6分，（2）小分6分．） 已知函数22()1x f x x =+，数列{}na 满足112a =，1()n n a f a +=，*n N ∈．（1）求证：1112n n a a +≤<<； （2）求证：()()()2222132112231218n nn n a a a a a a a a a a a a ++---++++<．参考答案一、选择题 DCBBAACDAC解析：10．2211(2)(3)551(56)1(2)(3)n n n a f f f n n n n n n ⎛⎫⎛⎫-+-+⎛⎫==== ⎪ ⎪⎪++-++-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1123f f n n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以1281111()()()()3445a a a f f f f ⎛⎫⎛⎫+++=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11113111()()()()()101131113114f f f f f f -⎛⎫⎛⎫+-=-== ⎪ ⎪-⨯⎝⎭⎝⎭． 二、填空题 11．-3 12．2713．514．336515．(,1)(0,1)-∞-解析：15．原方程等价于()2222200x ak x a x ak x a ⎧->⎪⎪->⎨⎪-=-⎪⎩即202(1)x ak kx a k ->⎧⎨=+⎩，若0k =，显然方程无解；若0k ≠，则由2(1)2a k x ak k+=>解得(,1)(0,1)k ∈-∞-． 三、解答题 16．由2(0)()3f f π=知313()0222a -+=，从而3a =，．．．．．．．．．5 311()sin (3cos sin )sin 2(1cos 2)sin(2)2262f x x x x x x x π∴=+=+-=-+，．．．10 5[,]242x ππ∈时，52[,]646x πππ-∈，1sin(2)[,1]62x π+∈， 故()f x 的最大值为32，当3x π=时取得；最小值为1，当2x π=时取得．．．．．．．．．．．1317．（1）由题意，每一次球放入丙盒的概率为3162=，则4次中丙盒恰好放3球的概率为3341111224C ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，恰好放4球的概率为411216⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故丙盒至少放3个球的概率为11541616+=．．．．．．．．．．．．．．6（2）每一次球放入甲盒或乙盒的概率为12162+=，故1(4,)2B ξ，40411(0)216P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，41411(1)24P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，42413(2)28P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 43411(3)24P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，44411(4)216P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ξ的分布列为ξ1234P116 14 38 14 1161422E ξ=⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13 18．由题意，(1)f e -=-且'(1)0f -=，由(1)(1)f e a b e -=-+=-得2a b -=．．．．①．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．322'()()()(2)[(2)]x x x f x e x ax b e x a e x a x a b ---=-++++=-+-+-，由'(1)(23)0f e a b -=--=得23a b -=．．．．②．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 联立①②，解得1,1a b ==-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9 从而2'()(2)x f x e x x -=---，令'()0f x >解得12x -<<，令'()0f x <解得1x <-或2x >，所以()f x 的单调增区间为(1,2)-，单调减区间为(,1)-∞-和(2,)+∞．．．．．．．．．．1319．（1）连接1AB 与1A B 交于E ，则E 为1AB 中点，又D 为AC 中点，所以DE ∥1B C ，又DE ⊂平面1A DB ，所以1B C ∥平面1A DB ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 （2）法一：（构造垂面，作线面角的平面角）取11AC 中点F ，连接,DF BF ，则DF ⊥11AC ，又1122BA BC ==，所以BF ⊥11AC ，从而11AC ⊥平面BDF ，所以平面11A BC ⊥平面BDF ，作DH BF ⊥于H ，则 DH ⊥平面11A BC ，所以DBF ∠为直线BD 与平面11A BC 所成角的平面角，Rt BDF ∆中，3,2BD DF ==，所以7BF =，所以2sin 77DF DBH BF ∠==．法二：（等体积法）设D 与平面11A BC 的距离为h ，由1111D A BC B A DC V V --=得 11111133A BC A DC S h S BD ∆∆⨯⨯=⨯⨯，等腰11A BC ∆中1122BA BC ==，112AC =，所以117A BC S =，又112A DC S =，3BD =，代入求得2217h =，从而直线BD 与平面11A BC 所成的角的正弦值为277h BD =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1220．（1）由(1)(1)f x f x +=-+知函数关于直线1x =对称，从而12ba-=．．．．．．．．．．．．① 由(2)0f =知420a b c ++=．．．．．．．．．．．．．．．．②，又由方程()f x x =有等根知2(1)40b ac ∆=--=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．③ 联立①②③解得1,1,02a b c =-==，从而21()2f x x x =-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 （2）不等式3()8f x m mx +≥等价于21(2)(22)02x m x x x ⎡⎤-+++≤⎢⎥⎣⎦， 当2x =时，不等式显然成立；当2x >时，不等式等价于2111422422x m x x x x≤-=-++++， 因为2x >时44x x +>，所以111041222x x-<-<++，从而112m ≤-．．．．．．．．1221．（1）首先用数学归纳法证明112n a ≤<，1n =时，显然成立；假设11(*)2k a k N ≤<∈，则1()k k a f a +=，因为2()1f x x x=+在(0,1)上单调递增，所以41()()(1)152k f f a f =≤<=即也有1112k a +≤<成立． 从而21222(1)011n n n n n n n n a a a a a a a a +--=-=>++，所以1n n a a +>．．．．．．．．．．．．．．．6 （2）122111111121(1)2141448222(1)21n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ++++-=-≤=≤=++-++-+所以()21111121211188n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++-⎛⎫-++≤=- ⎪⎝⎭，()()()222213211223112231211111118n nn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++---⎛⎫++++≤-+-++- ⎪⎝⎭111211*********2288818n n a a a ++⎛⎫⎛⎫++++⎛⎫=-=-<-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．12。