人教版高中数学选修1-2教案 3.2.2复数代数形式的乘除运算
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》优质课教案_30
?=?z z-+=?z z-⋅=§3.2.2复数代数形式的乘除运算教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化的问题情感态度与价值观：利用多项式乘除法和复数乘除法的类比，知道事物之间是普遍联系的。
通过学习复数乘除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教具准备：多媒体、实物投影仪。
教学过程：一、复习回顾：1.虚数单位i：i2=-1；2.复数的代数形式：z=a+bi；3.复数z1=a+bi与z2=c+di的和差的定义：z1+ z2=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+ (b+d) i二、讲解新课：教师提出：（a+b）（c+d）=? （类比多项式的乘法引入新课）1、复数的乘法运算：（1）复数乘法运算法则规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数。
（2）复数的乘法运算律：(1) z1·z2= z2·z1(2) z1(z2z3)=(z1z2)z3(3) z1(z2+z3)=z1z2+z1z3例1计算(-2-i)(3-2i)(-1+3i)解：(-2-i)(3-2i)(-1+3i)＝(-8+i) (-1+3i)= 5-25i.例2计算：（a+bi）2解：（a+bi）2=a2+2abi-b2例3 计算（a+bi）（a-bi）解：（a+bi）（a-bi）=a2-（bi）2= a2+b2（由例3引出共轭复数）2、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数z的共轭复数为z。
高中数学 3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案 选修1-2
3.2.2 复数代数形式的乘除运算(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，了解共轭复数的概念．2．过程与方法理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化问题，通过运算过程体会这一变形本质意图．3．情感、态度与价值观利用多项式除法和复数除法类比，知道事物之间是普遍联系的．通过复数除法运算，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力．●重点难点重点：复数代数形式的乘除法运算．难点：复数除法法则的运用．(教师用书独具)●教学建议建议本节教学采用自学指导法，在学生自主学习的基础上可利用一下教学方法及手段完成本节教学：(1)类比分析法，通过对比多项式的乘法法则推出复数乘法法则．(2)归纳推理法，运用已有的多项式乘法法则和分母有理化及复数加减法的知识，通过归纳类比，推导复数除法法则．(3)合理、恰当地运用多媒体教学手段，将静态事物动态化，将抽象事物直观化，以突破教学难点．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生思考两个复数如何进行代数形式的乘法与除法运算．让学生自主完成填一填，使学生进一步熟悉复数代数形式的乘法、除法运算的法则，及其满足的运算律．引导学生分析例题1的运算方法并求解，教师只需指导完善，解答疑惑并要求学生独立完成变式训练．由学生分组探究例题2解法，引导学生去发现i n运算的周期性，及其应用方法．完成互动探究．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．通过易错辨析纠正运算中出现的错误．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．课标解读1.掌握复数代数形式的乘、除运算．(重点)2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(难点)3．理解共轭复数的概念．(易错点)复数的乘法【问题导思】1．如何规定两个复数相乘？【提示】 两个复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．2．复数乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律吗？ 【提示】 满足．(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.(2)对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3) 乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3复数的除法与共轭复数【问题导思】如何规定两个复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i≠0)相除？ 【提示】z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋b i c －d i c ＋d i c －d i ＝ac ＋bd ＋bc －ad ic 2＋d 2.(1)z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d 为实数，c ＋d i≠0)，z 1，z 2进行除法运算时，通常先把(a ＋b i)÷(c ＋d i)写成a ＋b ic ＋d i的形式再把分子与分母都乘以c －d i 化简后可得结果：ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i. (2)共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.复数代数形式的乘除法运算)A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i (2)(2013·大纲全国卷)(1＋3i)3＝( ) A ．－8 B ．8 C ．－8iD ．8i(3)计算(1＋i 1－i )6＋2＋3i3－2i＝________.【思路探究】 (1)先设出复数z ＝a ＋b i ，然后运用复数相等的充要条件求出a ，b 的值．(2)直接利用复数的乘法运算法则计算．(3)先计算1＋i 1－i 再乘方，且将2＋3i3－2i的分母实数化后再合并．【自主解答】 (1)设z ＝a ＋b i ，则(1－i)(a ＋b i)＝2i ，即(a ＋b )＋(b －a )i ＝2i.根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b －a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，∴z ＝－1＋i.故选A.(2)原式＝(1＋3i)(1＋3i)2＝(1＋3i)(－2＋23i)＝－2＋6i 2＝－8.(3)法一 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i226＋2＋3i3＋2i5＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.法二 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i226＋2＋3i i3－2i i＝i 6＋2＋3i i2＋3i＝－1＋i.【答案】 (1)A (2)A (3)－1＋i1．复数的乘法类比多项式相乘进行运算，复数除法要先写成分式形式后，再将分母实数化，注意最后结果要写成a ＋b i(a ，b ∈R )的形式．2．记住以下结论可以提高运算速度 (1)(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ； (2)1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ； (3)1i ＝－i. 计算：(1)(1－i)2；(2)(－12＋32i)(32＋12i)(1＋i)；(3)2i 2＋i. 【解】 (1)(1－i)2＝1－2i ＋i 2＝－2i. (2)(－12＋32i)(32＋12i)(1＋i)＝(－34－14i ＋34i ＋34i 2)(1＋i) ＝(－34＋12i －34)(1＋i) ＝(－32＋12i)(1＋i) ＝－32－32i ＋12i －12＝－1＋32＋1－32i.(3)2i2＋i＝2i 2－i 2＋i 2－i ＝2＋4i 5＝25＋45i.虚数单位i 的幂的周期性及其应用(1)计算：－23＋i 1＋23i ＋(21－i )2 013；(2)若复数z ＝1＋i 1－i，求1＋z ＋z 2＋…＋z 2 013的值．【思路探究】 将式子进行适当的化简、变形，使之出现i n的形式，然后再根据i n的值的特点计算求解．【自主解答】 (1)原式＝i1＋23i 1＋23i＋[(21－i )2]1 006·(21－i ) ＝i ＋(2－2i)1 006·21＋i 2＝i ＋i 1 006·21＋i2＝－22＋2－22i (2)1＋z ＋z 2＋…＋z2 013＝1－z2 0141－z，而z ＝1＋i 1－i ＝1＋i 21－i 1＋i ＝2i 2＝i ，所以1＋z＋z2＋…＋z2 013＝1－i2 0141－i＝1－i21－i＝1＋i.1．要熟记i n的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与i n联系起来以便计算求值．2．如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解．在本例(2)中若z＝i，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值．【解】由题意知1＋z＋z2＋…＋z2 013＝1＋i＋i2＋…＋i2 013＝1·1－i2 0141－i＝1－i4×503＋21－i＝1－i21－i＝1＋i.∴原式＝1＋i.共轭复数的应用设z1，z2∈C，A＝z1·z2＋z2·z1，B＝z1·z1＋z2·z2，问A与B是否可以比较大小？为什么？【思路探究】设出z1，z2的代数形式→化简A，B→判断A，B是否同为实数→结论【自主解答】设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＝a－b i，z2＝c－d i，∴A＝z1·z2＋z2·z1＝(a＋b i)(c－d i)＋(c＋d i)(a－b i)＝ac－ad i＋bc i－bd i2＋ac－bc i＋ad i－bd i2＝2ac＋2bd∈R，B＝z1·z1＋z2·z2＝|z1|2＋|z2|2＝a2＋b2＋c2＋d2∈R，∴A与B可以比较大小．1．z·z＝|z|2＝|z|2是共轭复数的常用性质．2．实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝z，利用此性质可以证明一个复数是实数．3．若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．已知z∈C，z为z的共轭复数，若z·z－3i z＝1＋3i，求z.【解】设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z＝a－b i(a，b∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.记错i 2值而致误设复数z 满足1＋2iz＝i ，则z ＝( )A ．－2＋iB ．－2－iC ．2－iD ．2＋i【错解】 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )满足1＋2i z＝i ，所以1＋2i ＝a i ＋b . 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i ，故选D 项． 【答案】 D【错因分析】 将i 2＝－1当成i 2＝1来运算漏掉负号．【防范措施】 在进行乘除法运算时，灵活运用i 的性质，并注意一些重要结论的灵活应用．【正解】 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )满足1＋2i z＝i ，所以1＋2i ＝a i －b . 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，所以z ＝2－i ，故选C 项． 【答案】 C1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题． 3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化.1．(2012·北京高考)在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1)【解析】10i 3＋i ＝10i 3－i 32＋12＝10i 3－i10＝1＋3i ， ∴其对应点的坐标为(1,3)，选A. 【答案】 A2．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3【解析】 因为a －103－i ＝a －103＋i 3－i 3＋i ＝a －103＋i10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.【答案】 D3．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x ＝________，y ＝________.【解析】 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3x ，y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.【答案】 －1 1 4．计算：(1)(1－i)(－12＋32i)(1＋i)；(2)2＋3i3－2i；(3)(2－i)2.【解】 (1)法一 (1－i)(－12＋32i)(1＋i)＝(－12＋32i ＋12i －32i 2)(1＋i)＝(3－12＋3＋12i)(1＋i) ＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二 原式＝(1－i)(1＋i)(－12＋32i)＝(1－i 2)(－12＋32i)＝2(－12＋32i)＝－1＋3i. (2)2＋3i3－2i ＝2＋3i 3＋2i 3－2i 3＋2i＝2＋3i3＋2i32＋22＝6＋2i ＋3i －65＝5i5＝i. (3)(2－i)2＝(2－i)(2－i) ＝4－4i ＋i 2 ＝3－4i.一、选择题1．复数(2＋i)2等于( ) A ．3＋4i B ．5＋4i C ．3＋2iD ．5＋2i【解析】 (2＋i)2＝4＋4i ＋i 2＝4＋4i －1＝3＋4i.故选A. 【答案】 A2．i 是虚数单位，复数5＋3i4－i＝( )A ．1－iB ．－1＋iC ．1＋iD ．－1－i【解析】5＋3i 4－i ＝5＋3i 4＋i 42＋1＝17＋17i17＝1＋i. 【答案】 C3．(2013·课标全国卷Ⅰ)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45C ．4D ．45【解析】 ∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝42＋323－4i ＝53＋4i 25＝35＋45i ，∴z 的虚部为45.【答案】 D4．若z ＋z ＝6，z ·z ＝10，则z ＝( ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6a 2＋b 2＝10，解得a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i.【答案】 B5．(2013·湖北高考)在复平面内，复数z ＝2i 1＋i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 z ＝2i 1＋i ＝2i 1－i 1＋i 1－i＝1＋i ，所以z ＝1－i ，故复数z 的共轭复数对应的点位于第四象限．【答案】 D 二、填空题6．(2013·江苏高考)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________． 【解析】 z ＝(2－i)2＝3－4i ，所以|z |＝|3－4i|＝32＋－42＝5.【答案】 57．若3＋b i 1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.【解析】3＋b i 1－i ＝3＋b i 1＋i2＝12[(3－b )＋(3＋b )i]＝3－b 2＋3＋b2i. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3－b 2，3＋b 2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3.【答案】 38．当z ＝－1－i 2时，z 2 012＋z 2 014＝________.【解析】 z ＝－1－i 2，∴z 2＝－2i 2＝－i ，∴z2 012＝(－i)2 012＝1，z 2 014＝(－i)2 014＝－1，∴z2 012＋z2 014＝1－1＝0.【答案】 0 三、解答题 9．计算下列各题： (1)1＋i71－i＋1－i 71＋i－3－4i 2＋2i 34＋3i；(2)1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i )7； (3)(－32－12i)12＋(2＋2i 1－3i)8. 【解】 (1)原式＝[(1＋i)2]31＋i 1－i ＋[(1－i)2]3·1－i 1＋i －83－4i1＋i 21＋i3－4i i＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－8·2i 1＋i i＝8＋8－16－16i ＝－16i.(2)1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i )7 ＝－i·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋[11＋i2]2＋i 7＝162(－1＋i)－14－i＝－(162＋14)＋(162－1)i. (3)(－32－12i)12＋(2＋2i 1－3i)8 ＝(－i)12·(－32－12i)12＋(1＋i 12－32i )8 ＝(－12＋32i)12＋[1＋i 2]4·12－32i [12－32i 3]3 ＝[(－12＋32i)3]4＋(－8＋83i) ＝1－8＋83i ＝－7＋83i.10．复数z ＝1＋i 2＋31－i 2＋i ，若z 2＋a z <0，求纯虚数a . 【解】 z ＝2i ＋3－3i 2＋i＝1－i ， ∵a 为纯虚数，设a ＝m i(m ∈R ，m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋(m2－2)i<0， ⎩⎪⎨⎪⎧ －m 2<0m 2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.11．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2i 1－i 1＋i ＝0的复数z 所对应的点在第几象限？ 【解】 结合⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc 可知⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2i 1－i 1＋i ＝z (1＋i)－(1－i)(1＋2i)＝0， ∴z ＝1－i 1＋2i 1＋i ＝1－i 21＋2i 1＋i 1－i＝2－i ，∴复数z 所对应的点在第四象限.(教师用书独具)已知z 1、z 2∈C ，z 1＋2z 2∈R ，且5z 1z 2＋5z 22z 1＝1，求证：z 2－3z 1为纯虚数． 【思路探究】 由题目条件推出(z 2－3z 1)2，再证明其小于0即可．【自主解答】 ∵5z 1z 2＋5z 22z 1＝1， ∴10z 21＋5z 22＝2z 1·z 2，即z 21＋4z 22＋4z 1·z 2＝－9z 21－z 22＋6z 1·z 2，也即－(z 1＋2z 2)2＝(3z 1－z 2)2.∵z 1＋2z 2∈R ，z 1≠0，z 2≠0，∴－(z 1＋2z 2)2<0，∴(3z 1－z 2)2<0，∴(3z 1－z 2)2为负实数，∴z 2－3z 1为纯虚数．1．证明z 为纯虚数的方法：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，证明a ＝0且b ≠0；(2)z 2<0⇔z 为纯虚数；(3)z ≠0，且z ＋z ＝0⇔为纯虚数．2．证明z ∈R 的方法：(1)设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，证明b ＝0；(2)z ∈R ⇔z ＝z ；(3)z ∈R ⇔z 2≥0；(4)z ∈R ⇔|z |2＝z 2.设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，若z 1＋z2∈R ，则a 、b 应满足什么条件？并说明理由． 【解】 z1＋z 2＝a ＋b i 1＋a 2－b 2＋2ab i ＝a ＋b i a 2－b 2＋1－2ab i a 2－b 2＋12＋2ab 2＝a 3＋ab 2＋a －b a 2＋b 2－1i a 2－b 2＋12＋4a 2b 2∈R ，∴b(a2＋b2－1)＝0，∴b＝0或a2＋b2＝1.复数复数的概念复数相等的充要条件复数与复数分类共轭复数复数的模复数的运算复数的减法法则(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i复数减法的几何意义复平面上两点间的距离d ＝|z1－z2|复数的加法法则(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i复数加法的几何意义复数的乘法法则(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i复数的除法法则a＋b ic＋d i＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋d i≠0)。
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》优质课教案_15
§3.2.2复数代数形式的乘除运算【学习目标】1.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；2.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题；【重点难点】重点：复数代数形式的除法运算. 难点：对复数除法法则的运用.【学法指导】复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将2i 换成1-；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质. 【知识链接】1.复数1z 与2z 的和的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z +++=+++=+21；2.复数1z 与2z 的差的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z -+-=+-+=-21；3.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+；4.复数的加法运算满足结合律: ()()321321z z z z z z ++=++；5.复数()R b a bi a z ∈+=,的共轭复数为bi a z -=.【问题探究】探究一、复数的乘法运算引导1:乘法运算规则设bi a z +=1、di c z +=2()R d c b a ∈,,,是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行：=⋅21z z其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且 把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.引导2:试验证复数乘法运算律（1）1221z z z z ⋅=⋅（2）()()321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅（3）()3121321z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.探究二、复数的除法运算引导1：复数除法定义：满足()()()bi a yi x di c +=++的复数()R y x yi x ∈+,叫复数bi a +除以复数di c + 的商，记为：()()di c bi a +÷+或者di c bi a ++()0≠+di c . 引导2：除法运算规则：利用()()22d c di c di c +=-+.于是将dic bi a ++的分母有理化得： 原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d++-+⋅-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++. 点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数di c +与复数di c -，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而()()22d c di c di c +=-+是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法【典例分析】例1计算()()()i i i +-+-24321引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘.点拨：在复数的乘法运算过程中注意将2i 换成－1.例2计算：（1）()()i i 4343-+ ； （2）()21i +.引导:按照复数乘法运算展开即可.点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等.例3计算(12)(34)i i +÷-引导:可按照复数除法运算方法，先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简即可.点拨：本题可将除法运算转化为乘法运算，但是相对麻烦，易于采用先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简的办法，学习时注意体会总结，寻求最佳方法.例4计算ii i i 4342)1)(41(++++- 引导:可先将分子化简，再按照除法运算方法计算，注意计算的准确性.点拨：对于混合运算，注意运算顺序，计算准确.【目标检测】1.复数22i 1+i ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．4i B ．4i - C ．2i D ．2i - 2.设复数z 满足12i i z +=，则z =（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i - D ．2i +3.复数32321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+i 的值是（ ）A.i -B.iC.1-D.14.已知复数z 与()i z 822-+都是纯虚数，求z . 提示：复数z 为纯虚数，故可设()0z bi b =≠，再代入求解即可.5*.(1)试求87654321,,,,,,,i i i i i i i i 的值.(2)由（1）推测()*N n i n ∈的值有什么规律？并把这个规律用式子表示出来. 提示：通过计算，观察计算结果，发现规律.【总结提升】复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法则和方法，在乘法运算中注意把2i 换成－1，在除法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性.【总结反思】知识 .重点 .能力与思想方法 .【自我评价】你完成本学案的情况为( )A.很好B.较好C.一般D.较差。
人教版A版高中数学选修1-2课件3.2.2《复数代数形式的乘除运算》教学设计
教学设计§3.2.2复数代数形式的乘除运算教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教具准备：多媒体、实物投影仪。
教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小教学过程：一．复习引入学生回顾并回答：复数的加减法及其几何意义。
（师）前面学习了复数的代数形式的加减法，其运算法则与两个多项式相加减的办法一致，那么两个复数的乘法运算是否仍可与两个多项式相乘类似的办法进行呢？（师生互动）让学生先按此办法计算，然后将同学们运算所得的结果与教科书的规定对照，从而引入新课。
二．讲解新课１．乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2.乘法运算律：(1)z 1(z 2z 3)=(z 1z 2)z 3(2)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3(3)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3 ，（师讲解）例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i.例2计算：（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)2.解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i ）2=9-(-16)=25;(2) （1+ i)2=1+2 i+i 2=1+2 i-1=2 i.（生）练习1若复数12121,3,z i z i z z =+=-=（ ）答案42i +思考：例2中3+4i 与3-4i 有何特殊关联？引出共轭复数概念。
高中数学人教版选修1-2同课异构教学课件：3.2.2 复数代数形式的乘除运算 探究导学课型
【过 关 小练】
1.若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2等于( )
A.4+2i
B.2+i
C.2+2i
D.3
【解析】选A.z1·z2=(1+i)(3-i)=(3+1)+(3-1)i=4+2i.
2.计 算下列各式的值： ①i6= ；②i29= ；③i15= . 【解析】①i6=i2=-1；②i29=i1=i；③i15=i3=-i. 答案：①-1 ②i ③-i
所以1+z+z2+…+z2014=
【规 律总结 】in和ωn(n∈N*)的性质 1.in(n∈N*)的性质 (1)对 任意4个连续 的正整数a，b，c，d都有ia+ib+ic+id=0. (2)i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，n∈N*. (3)(1±i)2=±2i，
A.-2
B.2
C.-2i
D.2i
【解题指南】本题考查复数的运算，可直接利用运算法则求解.
【解析】选D.(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.
【补 偿 训 练 】计 算：(1)(2+i)(2-i). (2)(1+2i)2. (3)
【解析】(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5. (2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i. (3)方法一：原式=
-4i，z· =13，试求 .
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》优质课教案_13
复数代数形式的乘除运算教学设计教学目标：1. 掌握复数代数形式的乘除运算；2. 理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律；3. 理解共轭复数的概念。
教学重点：掌握复数代数形式的乘除运算。
教学难点：共轭复数的概念。
教学过程：诱学指导一：自主预习，3分钟，完成填空设),,,(,,,,2121R d c b a di c z bi a z C z z ∈+=+=∈，1. 复数的乘法法则：i bc ad bd ac bdi bci adi ac di c bi a z z )()())((.221++-=+++=++=2. 复数的乘法运算律：31213213213211221)()().(..z z z z z z z z z z z z z z z z z +=+==反馈达标一：独立完成、5分钟、提问,,,,,,,,,,.5)1(,)1.(4)23)(23.(3)21)(43)(21.(2)3)(67.(1109876543222i i i i i i i i i i i i i i i i i i i +-+---+-+诱学指导二：自主预习，2分钟，完成填空当两个复数的实部 相等 ，虚部互为 相反数 时，这两个复数叫做共轭复数；虚部不为零 的两个共轭复数也叫做共轭虚数反馈达标二：说出下列复数的共轭复数i i i i 21,3,6,,522+--+拓展探究一：小组讨论，3分钟，提问设21,z z 为共轭复数，),(,21R b a bi a z bi a z ∈-=+=1. 在复平面内，他们所对应的点有怎样的位置关系？2. 计算：212121,z z z z z z -+⋅，思考：如何化简2-325+？ 610152)23)(2-3()23)(25(2-325+++=+++=+ 分母有理化 诱学指导三：复数的除法法则自主预习，3分钟，归纳复数除法的3个步骤。
1. 变形2. 分母实数化：乘以分母的共轭复数3. 化简反馈达标三：独立完成，5分钟，演板 ii i i i i i i -++-++-+)2)(1(437111，，， 拓展探究二：独立完成，小组讨论，结果展示i i i i i i i i i i i i i i i i 34)22)(43(1)1(1)1().4()34)(7()26)(4).(3(1).2()21()12).(1(377117310022215++-++-+-+-+++-+++++-+小结：1. 复数乘法法则2.复数乘法运算律3.共轭复数定义4.复数除法运算步骤作业：课本P61:A组 4.5;B组。
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》优质课教案_7
§3.2.2复数代数形式的乘法运算一、教材分析复数代数形式的乘法运算这节课是数学选修2-2第三章第二节复数代数形式的乘除法运算中的一部分内容。
复数四则运算是学生在学习了《数系的扩充和复数的概念》的基础上，对复数的进一步认识，是本章知识的重点。
复数的四则运算是实数四则运算的扩充，是研究复数应用的基础，本节课学习的是复数代数形式的乘法运算，复数的乘法与多项式乘法类似的，在计算的过程中把2i 换成-1，再把实部，虚部分别合并。
二、学情分析虽然我们的学生数学成绩不是很理想，但学生在上课的时候学习态度端正积极主动地回答问题，学生思维比较活跃，因此我在授课的注重引导，启发，为了充分调动学生学习的积极性，变被动学习为主动学习我在班上成立了小组，高二（9）班分成了5个学习小组，在课堂上小组讨论，合作学习，小组与小组之间合作学习，小组与小组之间和平竞争学习，培养学生学习数学的兴趣，慢慢喜欢上数学课，在课堂练习时小组为单位，做题比赛。
三、教学目标（一）知识与技能：1、掌握复数代数形式的乘法运算法则，能熟练进行复数代数形式乘法运算；2、了解复数乘法的交换律、结合律、分配律、复数的完全平方及平方差公式的应用；（二）过程与方法：由实数系中乘法运算到复数系中乘法的过程中，培养学生掌握类比、通过实数乘法运算发现复数乘法运法则，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力；（三）情感、态度与价值观：培养学生学习数学的兴趣和敢于猜想的精神；通过小组讨论学习，培养学生自主学习习惯；四、教学重难点1、教学重点：复数代数形式的乘法运算2、教学难点：复数代数形式的乘法运算五、教法与学法1、教法：根据教学内容和学生的实际情况，为了突出学生的主体地位，我采用类比教学法。
2、学法：本节用小组讨论学习方法六、教学资源准备导学案、多媒体七、教学过程（一）复习引入1. 每年高考复数的四则运算每年高考必考的一个知识点。
2.上一节课我们学习了复数的加减运算法则：老师：问谁能回答复数的加法运算？学生：回答，老师：放 PPT 并讲解， 老师：问那复数的加法运算呢？学生：回答老师：放PPT 并讲解。
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》优质课教案_17
课题 3.2.2复数代数形式的乘除运算
一、教学目标：
知识与技能：理解并掌握复数代数形式的乘法与除法运算法则，熟练进行运算。
掌握共轭复数的概念及性质。
过程与方法：理解并掌握复数的乘法实质就是多项式展开.除法运算实质是分母实数化类问题。
情感、态度与价值观：通过类比的方法，把实数系中乘法与除法运算法则和运算律推广到
复数系中，使学生对运算的发展史有了连续完整的认识。
同时培养
学生探究新知的科学思维能力。
二、学情分析：本节课的内容是人教A版选修1-2第三章第二节的内容（文科）。
这一知
识点在高考中是热点，这几年来均以选择题和填空题出现.该节课内
容简单，而学生的理解能力，分析能力都已经比较成熟，因此能够
调动起学生学习的积极性，最后很好的掌握及应用本节课的知识 .
二、教学重点、难点：
教学重点：复数代数形式的乘法与除法运算法则
教学难点：灵活运用复数乘法与除法进行运算
三、教学辅助手段：多媒体
四、教学方法：问题式、探究法、小组合作讨论法。
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3. 2.2复数代数形式的乘除运算（学案）
预习目标： 1.复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念
2.掌握复数的代数形式的乘、除运算。
预习内容：
1.虚数单位i :----------------------------------
2. i 与－1的关系: ---------------------------------------
3. i 的周期性：----------------------------------------------------
4.复数的定义------------------------------------------------------------ 3. 复数的代数形式: -------------------------------------------------------------------
4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：-------------------------- --
5. 两个复数相等的定义：-------------------------------------------------
6. 复平面、实轴、虚轴：-------------------------------------------------------
8．复数z 1与z 2的和的定义：-----------------------------
9. 复数z 1与z 2的差的定义：----------------------------------------- 10. 复数的加法运算满足交换律: ------------------------------------ 11. 复数的加法运算满足结合律:-----------------------------------------------------
提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
学习目标：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
学习重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念 学习难点：乘除运算 学习过程：
1.复数代数形式的乘法运算：
例1．计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+
（3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+
（4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[
探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？
例2．1、计算（1）(14)(14)i i +⨯- （2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i +
探究：类比
12(12)(23)23
(23)(23)
+++=
--+，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：
例3．计算(32)(23)i i -÷+，(12)(32)i i +÷-+（师生共同板演一道，再学生练习）
练习：计算
232(12)i i -+，23(1)1
i
i -+-
当堂检测： 1.设z =3+i ,则
z
1
等于 A.3+i
B.3－i
C.
10
1103+i D.
i 10
1103+ 2.
ai
b bi
a ai
b bi a +-+
-+的值是 A.0
B.i
C.－i
D.1
3.已知z 1=2－i ,z 2=1+3i ,则复数5
2
1z z i +的虚部为 A.1
B.－1
C.i
D.－i
4.设
i
y
i i x -+
-=+1231 (x ∈R ,y ∈R ),则x =___________,y =___________.
课后练习与提高： 1. 已知复数z 满足
z z ，求复数z.
2. 复数z=a+bi,a,b ∈R,且b ≠0,若2
4z bz -是实数，则有序实数对（a,b ）可以
是 .(写出一个有序实数对即可) 3.设z 的共轭复数是z ，或z +z =4,z ·z ＝8，则
z
z
等于D （A ）1 （B ）-i (C)±1 (D) ±i
4.计算复数2
2(1)12i
i i
+--
-等于 （ ）
A ．0
B ．2
C ．3i
D ．3i -
5. Z ∈C ，若12z z i -=- 则
43i
z
+的值是（ ） A ．2i B ．2i - C ．2 D ．2-
3.2.2复数代数形式的乘除运算（教案）
教学目标： 知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算
过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题
情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教学过程：
学生探究过程：
1. 复数的加减法的几何意义是什么？
2. 计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(52)(14)(23)i i i --+--+ （3）
(32)(43)(5)]i i i --+-+-[
3. 计算：（1）(13)(23)+⨯- （2）()()a b c d +⨯+ （类比多项式的乘法引入复数的乘法） 讲解新课：
1.复数代数形式的乘法运算
①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+ （3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+ （4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[
探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？ 例2．1、计算（1）(14)(14)i i +⨯- （2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i + ②共轭复数：两复数a bi a bi +-与叫做互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。
12(12)(23)23
(23)(23)
+++=
--+，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：2222
()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad
a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+=
==+++-++ 其中c di -叫做实数化因子
例3．计算(32)(23)i i -÷+，(12)(32)i i +÷-+（师生共同板演一道，再学生练习） 练习：计算
2
32(12)i i -+，23(1)1
i
i -+- 2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
三、巩固练习：
1．计算（1）
()()3
12i i i -++ （2）2345i i i i i ++++ （3
3
2．若122,34z a i z i =+=-，且12z z 为纯虚数，求实数a 的取值。
变：12
z
z 在复平面的下方，求a 。