复数的代数形式及运算
复数的加减法
b叫复数Z的虚部，记作ImZ
规定： 0i=0 0+bi=bi
4、复数的分类：
b 0时，复数Z叫实数；b 0时，复数Z叫虚数 a 0, b 0时，复数Z a bi bi叫纯虚数 a b 0时，复数为实数0
实数（b 0)
复数
Z a bi (a,b R)
纯虚数 a 0
虚数（b 0)
复数的概念
一、复数的概念
1、为了解决负数开方问题，引入新数 i,叫虚数单位。 规定： i2= -1
2、复数： 把形如a bi(a, b R)的数叫复数。
复数集：复数全体所组成的集合叫复数集， 一般用字母C表示
复数系：定义了复数的加法和乘法运算后的复数集
3、复数的代数形式：
复数Z表示成a+bi,叫做复数的代数形式 a叫复数Z的实部，记作ReZ
其中真命题的个数为
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
例3、当m为何实数时，复数 Z m2 m 2 (m2 1)i是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 （4）0
例4、对例3中的虚数Z，若实部是虚部的两倍，求实数 m的值。
二、两个复数相等
如果有两个复数Z1=a+bi (a,b∊R)和Z2=c+di (c,d∊R)
非纯虚数a 0
实数集R是复数集C的真子集，即R C
例1、指出下列复数是实数还是虚数，对于虚数，它 们的指出它们的实部和虚部
0.5i , 1 2i , , 0 , 3 , 2i 5
2
例2、有下列命题：
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数
复数代数形式的加减运算及其几何意义
在信号处理中的应用
信号合成与分解
复数代数形式的加减运算可以用于信 号的合成与分解，例如在频谱分析和 滤波器设计中。通过加减运算，可以 将信号分解为不同的频率分量，便于 分析和处理。
调制与解调
在通信系统中，复数代数形式的加减 运算用于信号的调制和解调过程。通 过加减运算，可以实现信号的相位和 幅度调整，从而实现信号的传输和接 收。
复数减法的几何意义
复数减法可以理解为在复平面上的向量减法。给定两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，它们的差 $z_1 - z_2 = (a-c) + (b-d)i$ 可以看作是两个向量在复平面上的差分。
向量差分：在复平面上，将 $z_1$ 的向量起点固定，然后 平移至 $z_2$ 的起点，得到向量差。这个过程对应于复数 减法运算。
部对应横轴，虚部对应纵轴。
03
复数代数形式的几何意义
复数加法的几何意义
复数加法可以理解为在复平面上的向量加法。给定两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，它们的和 $z_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i$ 可以看作是两个向量在复平面上的合成。
向量合成：在复平面上，将 $z_2$ 的向量起点固定，然后平 移至 $z_1$ 的起点，得到向量和。这个过程对应于复数加法 运算。
复数代数形式的加减运算 及其几何意义
• 引言 • 复数代数形式的加减运算 • 复数代数形式的几何意义 • 复数代数形式的加减运算的应用 • 结论
Hale Waihona Puke 1引言复数的基本概念
01
复数是由实部和虚部构成的数，一 般形式为$z=a+bi$，其中$a$和 $b$是实数，$i$是虚数单位，满足 $i^2=-1$。
复数的几种表示形式的转换及计算
u（t）
U
m
cos（t
）
u
i（t）
I m cos（t
）
i
－－本书采用cosine函数。
二、正弦量的三要素
1．幅值Um/Im：
Um、Im －－振幅，正弦量的极大值 当cos(ω t+)=1时，imax=Im；当cos(ω t+)=-1时，imin=-Im。 Imax-Imin=2Im －－正弦量的峰－峰值
2．角频率ω ：
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹）
ƒ=50Hz－－工频
ƒ=1/T
ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2f 2
T
单位：rad/s（弧度/秒）
二、正弦量的三要素
3．初相位：
ω t+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。
单位：弧度
初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。
⑤|12|=π
－－u1和i2反相。
§8-3 相量法的基础
一、相量法的引入
正弦稳态电路频率特点： 在线性电路中，如果电路的激励都是同一频率
的正弦量，则电路全部的稳态响应都将是同频率的 正弦量。
由于正弦稳态电路频率的特点，将同频率的正 弦量的三要素之一()省去，其余两要素用复数形 式来表示正弦量的方法称为相量法。
）
u1
i2
2
Icos（t
）
i2
12 （t u1）（t i2） u1 i2
①12>0 ②12<0 ③12=0 ④|12|=π /2
－－u1超前i2； －－u1滞后i2； －－u1和i2同相； －－u1和i2正交；
7.2复数的运算
授课主题复数代数形式的加减、乘除运算教学目标1．掌握复数的代数形式的加法、减法运算法则，并熟练地进行化简、求值．2．了解复数的代数形式的加法、减法运算的几何意义．3．会进行复数代数形式的乘、除运算．教学内容1．复数的加法与减法．(1)复数的加、减法法则．(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.即两个复数相加(减)，就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)．(2)复数加法的运算律．复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).2．复数加、减法的几何意义．复数z1，z2对应的向量OZ1→，OZ2→不共线．(1)复数加法的几何意义：复数z1＋z2是以OZ1→，OZ2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ→所对应的复数．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行．(2)复数减法的几何意义：复数z1－z2是连结向量OZ1→，OZ2→的终点，并指向被减向量所对应的复数．3．复数乘法运算法则．设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，那么(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.4．复数乘法的运算律．对任意复数z1、z2、z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z35．复数除法运算法则．a＋b ic＋d i＝(a＋b i)(c－d i)(c＋d i)(c－d i)＝[ac＋b i·(－d i)]＋(bc－ad)ic2＋d2＝(ac＋bd)＋(bc－ad)ic2＋d2＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i.6．共轭复数．(1)设z1＝a＋b i，z2＝a－b i.当两个复数的实部相等、虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记z的共轭复数为z.(2)z·z＝(a＋b i)(a－b i)＝a2＋b2＝|z|2＝|z|2.题型一复数的加减运算例1计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(3)(a＋b i)－(2a－3b i)－3i(a，b∈R)．解析：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.(3)(a＋b i)－(2a－3b i)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.点评：复数加减运算法则的记忆：①复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，加减运算的结果还是一个复数；②把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．巩 固 计算：(1)(－1＋3i)＋(3－23i)；(2)⎝⎛⎭⎫22＋22i －⎝⎛⎭⎫－22＋22i －⎝⎛⎭⎫－22－22i ； (3)[](2－3i )－(a －b )i ＋(a ＋b )i.解析：(1)(－1＋3i)＋(3－23i)＝－1＋3＋(3－23)i ＝2－3i.(2)⎝⎛⎭⎫22＋22i －⎝⎛⎭⎫－22＋22i －⎝⎛⎭⎫－22－22i ＝⎝⎛⎭⎫22＋22＋22＋⎝⎛⎭⎫22－22＋22i ＝322＋22i. (3)[](2－3i )－(a －b )i ＋(a ＋b )i ＝2－3i ＋[]－(a －b )＋(a ＋b )i ＝2＋(2b －3)i.题型二 复数加减运算的几何意义例2 已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →表示的复数；(2)CA →表示的复数；(3)求点B 对应的复数．解析：(1)AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.(2)CA →＝OA →－OC →，所以CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i. 点评：利用复数加减法的几何意义解题：①z 1＋z 2的几何意义是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ →所在向量；②z 1－z 2的几何意义是连接向量OZ 1→，OZ 2→的终点，并指向被减数的向量Z 2Z 1→所对应的复数；③复平面内两点间距离公式：d ＝|z 1－z 2|(其中z 1，z 2是复平面内两点z 1和z 2所对应的复数，d 为z 1和z 2的距离)．巩 固 在复平面内， 复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →， 其中O 为坐标原点，则||AB →＝______. 解析：AB →＝OB →－OA →＝－2＋2i ，所以|AB →|＝2 2.答案：22题型三 复数的模相关的运算例3 已知复数z 满足z ＋|z|＝2＋8i ，求复数z.解析：解法一 设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R)，则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i. 解法二 将原式化为z ＝2－|z |＋8i ，∵ |z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部，∴|z |＝(2－|z |)2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2.∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i.点评：复数模的相关运算，主要是根据求模公式或复数相等的充要条件将复数问题化为实数问题来解决．巩 固 已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝______.解析：z 1－z 2＝[](3x －4y )＋(y －2x )i －[](－2x ＋y )＋(x －3y )i＝[](3x －4y )－(－2x ＋y )＋[](y －2x )－(x －3y )i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3，解得x ＝1，y ＝0. 所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝|1－i|＝ 2.答案：2题型四 复数的乘法与除法运算例4 计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；(2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (3)(－2＋3i)÷(1＋2i)；(4)(5－295i)÷(7－35i)．解析：(1)原式＝1－i 2＋(－1＋i)＝2－1＋i ＝1＋i.(2)原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i)＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i)＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i. (3)原式＝－2＋3i 1＋2i ＝(－2＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(－2＋6)＋(3＋4)i 12＋22＝45＋75i. (4)原式＝5－29 5 i 7－3 5 i ＝(5－29 5 i )(7＋3 5 i )(7－3 5 i )(7＋3 5 i )＝(35＋29×15)＋(155－29×75)i 72＋(35)2＝470－188 5 i 94＝5－2 5 i. 点评：两个复数代数形式的除法运算步骤：①把除式写为分式；②分子、分母同时乘以分母的共轭复数；③对分子、分母分别进行乘法运算；④把运算结果化为复数的代数形式．巩 固 (1)(1＋i)(－1－i)(3＋i)(1＋3i)＝________.(2)已知i 为虚数单位，则复数1－3i 3＋i的共轭复数是________． 解析：(1)(1＋i)(－1－i)(3＋i)(1＋3i)＝－(1＋i)2(3×1＋(3)2i ＋i ＋3i 2)＝－2i ×4i ＝－8i 2＝8.(2)1－3i 3＋i ＝(1－3i )(3－i )(3＋i )(3－i )＝3－i －3×3i ＋3i 29－i 2＝－10i 10＝－i ，所以1－3i 3＋i的共轭复数为i. 答案：(1)8 (2)i题型五 共轭复数的应用例5 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z .解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i(a ，b ∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. 所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.点评：(1)要熟悉复数的一些常用性质如z z ＝|z |2＝|z |2，z ∈R ⇔z ＝z 等．(2)当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用相等复数的充要条件转化为实数问题求解．巩 固 已知z －1z ＋1为纯虚数，且(z ＋1)(z －＋1)＝|z |2，求复数z . 解析：由(z ＋1)(z ＋1)＝|z |2得z ＋z ＝－1，①由z －1z ＋1为纯虚数，得z －1z ＋1＋z －1z ＋1＝0，所以z ·z －1＝0.② 设z ＝a ＋b i ，代入①②，得a ＝－12，a 2＋b 2＝1. 所以a ＝－12，b ＝±32.所以z ＝－12±32i. 答案：z ＝－12±32i 题型六 复数范围内解方程问题例6 已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b ，c 为实数)．(1)求b ，c 的值；(2)试判断1－i 是否是方程的根．解析：(1)∵1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝0，2＋b ＝0.得b ＝－2，c ＝2. ∴b ，c 的值为b ＝－2，c ＝2.(2)∵方程为x 2－2x ＋2＝0，把1－i 代入方程左边，得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立．∴1－i 是方程的根．点评：在复数范围内解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c ∈R)，将根设为m ＋n i ，再利用复数相等的充要条件解决问题．巩 固 若复数z 满足方程z 2＋2＝0，则z 3为( )A ．±22B ．－2 2C ．－22iD ．±22i解析：由z 2＋2＝0⇒z ＝±2i ⇒z 3＝±22i ，故选D.答案：D题型七 利用i n 的周期性求解例7 i 是虚数单位，i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8＝________(用a ＋b i 的形式表示，a ，b ∈R)．分析：利用i 的周期性化简求和．解析：i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8＝i －2－3i ＋4＋5i －6－7i ＋8＝4－4i.答案：4－4i点评：熟记i 的周期性，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)．记住以下结果，可提高运算速度：①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ；②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i＝i ；③1i ＝－i. 巩 固 化简：2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 014＝____________. 解析：2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 014＝2(1＋i )－2i ＋⎝⎛⎭⎫22i 1 007＝i(1＋i)＋(－i)1 007＝i ＋i 2＋(－1)1 007×i 1 007 ＝i －1－i 4×251＋3＝i －1－i 3＝－1＋2i.答案：－1＋2i（加减）A 组1．a ，b 为实数，设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i答案：D2．|(3＋2i)－(4－i)|等于( )A.58B.10 C ．2 D ．－1＋3i解析：|(3＋2i)－(4－i)|＝|－1＋3i|＝(－1)2＋32.故选B.答案：B3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i答案：CB 组一、选择题1．已知复数z 1＝2＋i, z 2＝1＋2i, 则复数z ＝z 2－z 1在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B2．复平面内两点Z 1和Z 2分别对应于复数3＋4i 和5－2i ，那么向量Z 1Z 2→对应的复数为( )A ．3＋4iB ．5－2iC ．－2＋6iD ．2－6i答案：D3．若x 是纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y )i ，则x ＋y 等于( )A ．1＋52iB ．－1＋52i C ．1－52i D ．－1－52i 解析：设x ＝a i(a ∈R)，原方程化为2a i －1＋i ＝y －(3－y )i ，即－1＋(2a ＋1)i ＝ y －(3－y )i ，得 －1＝y, 2a ＋1＝－(3－y )．解得 a ＝－52，y ＝－1，选D. 4．满足条件|z －i |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆解析：因为|3＋4i|＝32＋42＝5，所以|z －i|＝5，设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则有x 2＋(y －1)2＝5，即x 2＋(y －1)2＝25.故选C.答案：C5．复数z 1＝1＋icos θ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为( )A ．3－2 2 B.2－1 C ．3＋2 2 D.2＋1解析：|z 1－z 2|＝|(1＋icos θ)－(sin θ－i)|＝(1－sin θ)2＋(1＋cos θ)2＝3－2(sin θ－cos θ)＝3＋22sin (θ－π4)≤3＋22＝2＋1.故选D. 答案：D二、填空题6．若复数z 1＋z 2＝3＋4i ，z 1－z 2＝5－2i ，则z 1＝__________.答案：4＋i7．已知|z |＝5，且z －2＋4i 为纯虚数，则复数z ＝________.解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z －2＋4i ＝(x －2)＋(y ＋4)i.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y ＋4≠0，x 2＋y 2＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以z ＝2±i. 答案：2±i 8．如图，平行四边形顶点A ，B ，C 所对应的复数分别为i,1,4＋2i(A ，B ，C ，D 按逆时针方向排列)．(1)向量BA →对应的复数为____________；答案：－1＋i(2)向量BC →对应的复数为____________；答案：3＋2i(3)向量BD →对应的复数为____________；答案：2＋3i(4)点D 坐标是____________．答案：(3,3)三、解答题9．设f (z )＝z －3i ＋|z |，若z 1＝－2＋4i ，z 2＝5－i ，求f (z 1＋z 2)的值．解析：因为z 1＝－2＋4i ，z 2＝5－i ，所以z 1＋z 2＝(－2＋4i)＋(5－i)＝3＋3i.于是f (z 1＋z 2)＝f (3＋3i)＝(3＋3i)－3i ＋|3＋3i|＝3＋3 2.10．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，求向量OA →＋OB →，BA →对应的复数及A ，B 两点间的距离．解析：向量OA →＋OB →对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.∵BA →＝OA →－OB →，∴向量BA →对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.∴A ，B 两点间的距离为|－8－2i|＝(－8)2＋(－2)2＝217.（乘除）A 组1．设复数满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i解析：z ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i.故选A.答案：A2．已知z 1＋i＝2＋i ，则复数z ＝( ) A ．－1－3i B ．1－3iC ．3＋iD ．3－i解析：由题意知z ＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.答案：B3．复数2i 1＋i(i 是虚数单位)的虚部是( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i答案：AB 组一、选择题1．(2013·广东卷)若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( )A ．(2,4)B ．(2，－4) C. (4，－2) D ．(4,2)解析：z ＝2＋4i i＝4－2i 对应的点的坐标是(4，－2)，故选C. 答案：C2．(2013·山东卷)若复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z －为( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i解析：由(z －3)(2－i)＝5得，z －3＝52－i＝2＋i ，所以 z ＝5＋i ，所以z ＝5－i.故选D. 答案：D3．设a ，b ，c ，d ∈R ，则复数(a ＋b i)(c ＋d i)为实数的充要条件是( )A ．ad －bc ＝0B ．ac －bd ＝0C ．ac ＋bd ＝0D ．ad ＋bc ＝0解析：a ，b ，c ，d ∈R ，复数(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 为实数，∴ad ＋bc ＝0，选D.答案：D4．已知复数z ＝1＋i ，则z ＋1z2＝( ) A.12－i B.12＋i C ．－12－i D ．－12＋i 答案：A二、填空题5．设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(其中i 为虚数单位)，则z 的模为________．解析：z (2－3i)＝2(3＋2i)，2－3i 与3＋2i 的模相等，z 的模为2.答案：26．(2013·重庆卷)已知复数z ＝5i 1＋2i(是虚数单位)，则|z |＝________________. 解析：|z |＝⎪⎪⎪⎪5i 1＋2i ＝55＝ 5. 答案： 57. 设i 是虚数单位，复数1＋a i 2－i为纯虚数，则实数a ＝_________________. 解析：1＋a i 2－i ＝1＋a i 2－i ·2＋i 2＋i ＝2－a ＋(2a ＋1)i 5，因为1＋a i 2－i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝0，2a ＋1≠0，所以a ＝2. 答案：28．若复数z 满足|z |－z －＝101－2i，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则有a 2＋b 2－a ＋b i ＝2＋4i.所以⎩⎨⎧a 2＋b 2－a ＝2，b ＝4，得a ＝3，b ＝4. 所以z ＝3＋4i.答案：3＋4i三、解答题9．已知复数3z －z －对应的点落在射线y ＝－x (x ≤0)上，|z ＋1|＝2，求复数z .解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则3z －z ＝3a ＋3b i －a ＋b i ＝2a ＋4b i ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4b ＝－2a ，b ＞0.① 又由|z ＋1|＝2，得(a ＋1)2＋b 2＝2，②由①，②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，所以z ＝－2＋i. 10. 复数z ＝(1＋i )3(a ＋b i )1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限内，若复数0，z ，z －对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解析：z ＝(1＋i )2(1＋i )(a ＋b i )1－i＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4.①因为复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，所以|z |＝|z －z |，把z ＝－2a －2b i 代入化简，得|b |＝1.② 又因为z 点在第一象限内，所以a ＜0，b ＜0.由①②，得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求a ＝－3，b ＝－1.。
复数的有关运算
⑤. z = z
⑥. z = z ⇔ z ∈ R
数或0 数或
( z 2 ≠ 0) ⑦. z + z = 0 ⇔ Z为纯虚 为纯虚
④ . z = ( z)
n
n
四.共轭复数与模的性质及其运算 共轭复数与模的性质及其运算
① . | z1 ⋅ z2 |=| z1 | ⋅ | z2 |
| z−z1 | +| z −z2 | =2a (|z1 -z2 |=2a) (5).双曲线： z − z1 | −| z − z2 | = ±2a 双曲线： 双曲线 | (|z1 - z2 |> 2a)
(6).射线：z−z1 | −| z −z2 | =±2a 射线： 射线 |
(7).圆环 圆环: r <| z − z0 |< R 圆环 复数方程与直角坐标方程的转化
1 3 1 3 二. ω = - + i(或ω＝- - i) 的性质 2 2 2 2 2 ①. 1+ ω + ω = 0
② . ω = 1 (周 T = 3) 期
3
③. ω =
1
ω
=ω
2
④ . ω n + ω n +1 + ω n + 2 = 0
一、复数的四则运算问题
1、已知复数z = 1 + i (1)设ω = z 2 + 3 z − 4，求ω； z 2 + az + b = 1 − i，求实数a，b的值 （2）如果 2 z − z +1
a + b = 1 a = −1 ⇒ ∴ a + 2 = 1 b = 2
4 2、设z + ∈ R，z − 2 |= 2，求z | z 解：设z = x + yi( x、y ∈ R，且z ≠ 0)
数学中的复数运算应用技巧
数学中的复数运算应用技巧复数是数学中一种重要的概念，它在工程学、物理学等领域中有着广泛的应用。
复数的运算是复数应用的基础，下面将介绍一些数学中常见的复数运算应用技巧。
一、复数的表示方式复数通常表示为a+bi的形式，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位。
实数部分和虚数部分都可以是任意实数。
复数的表示方式有两种常用形式：代数形式和极坐标形式。
代数形式：复数a+bi表示一个平面上的点，横坐标为a，纵坐标为b。
极坐标形式：复数r(cosθ+isinθ)表示一个和原点的距离为r、与x轴正方向的夹角为θ的极坐标点。
二、复数的四则运算复数的四则运算与实数的四则运算类似，但要注意虚部的运算。
下面分别介绍加法、减法、乘法和除法的运算规则。
1. 加法：将两个复数的实部相加，虚部相加，得到新的复数。
例如，对于复数a+bi和c+di的相加，结果为(a+c)+(b+d)i。
2. 减法：将两个复数的实部相减，虚部相减，得到新的复数。
例如，对于复数a+bi和c+di的相减，结果为(a-c)+(b-d)i。
3. 乘法：将两个复数进行分配律展开计算。
例如，对于复数a+bi和c+di的相乘，结果为(ac-bd)+(ad+bc)i。
4. 除法：将两个复数的乘法结果与除数的平方和进行除法运算。
例如，对于复数a+bi和c+di的相除，结果为((ac+bd)/(c^2+d^2))+((bc-ad)/(c^2+d^2))i。
三、复数运算的应用技巧1. 求模和共轭：复数的模表示复数到原点的距离，并且模的平方等于复数乘以共轭的结果。
例如，对于复数a+bi，其模为√(a^2+b^2)。
共轭复数表示将复数的虚部取相反数得到的新的复数。
例如，对于复数a+bi，其共轭复数为a-bi。
2. 约简运算：对于复数的乘法和除法，可以将复数分别写成代数形式和极坐标形式进行运算，最后再转换回代数形式。
例如，对于复数a+bi和c+di的相乘，可以先将其转换成极坐标形式，即r(cosθ+isinθ)，再进行乘法运算，最后再转换回代数形式。
(完整版)复数的代数形式及其运算
复数的代数形式及其运算第85课时课题：复数的代数形式及其运算一．教学目标：掌握复数的基本题型，主要是讨论复数的概念,复数相等,复数的几何表示,计算复数模，共轭复数，解复数方程等。
二．教学重点：复数的几何表示，计算复数模，共轭复数,解复数方程等。
三．教学过程:（一）主要知识：1．共轭复数规律，；2．复数的代数运算规律(1）i=1，i=i,i=1，i=i;(3)i・i・i・i=1，i＋i＋i＋i=0；；3．辐角的运算规律(1)Arg（z・z）＝Argz＋Argz（3）Arg=nAr gz(n∈N）.。
.，n1.或z∈R。
要条件是|z|＝|a|.（6）z・z≠0,则4．根的规律：复系数一元n次方程有且只有n个根，实系数一元n次方程的虚根成对共轭出现。
5．求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式||z｜|z｜｜≤｜z±z｜≤｜z｜+|z|的运用.即｜z±z｜≤｜z|+|z|等号成立的条件是：z，z所对应的向量共线且同向。
|z±z|≥|z|｜z|等号成立的条件是：z,z所对立的向量共线且异向。
（二）范例分析Ⅰ.2004年高考数学题选1.(2004高考数学试题(浙江卷,6)）已知复数z1=3+4i, z2=t+i，且是实数，则实数t=（）A．B．C．?D．？2。
(2004年北京春季卷,2)当时，复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限3.(2004年北京卷，2）满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是（ C ) A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆Ⅱ.主要的思想方法和典型例题分析：1．化归思想复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。
反之亦然。
这种化归的思想方法应贯穿复数的始终。
【分析】这是解答题，由于出现了复数和，宜统一形式,正面求解。
复数及其运算
复数及其运算复数是数学中的一个重要概念，它在代数和几何中都扮演着重要的角色。
本文将对复数的定义、运算法则以及复数的性质做出详细的解释和说明。
一、复数的定义复数由实部和虚部组成，可以用a+bi的形式表示，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
实部和虚部都可以是实数。
二、复数的运算法则1. 加法法则：复数的加法满足交换律和结合律，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
2. 减法法则：复数的减法满足减法的定义，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
3. 乘法法则：复数的乘法按照分配律和乘法公式进行，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
4. 除法法则：复数的除法要利用到共轭复数的概念，即(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)/(c²+d²))i。
三、复数的性质1. 共轭复数：一个复数的共轭复数是指虚部符号变反，即(a+bi)的共轭复数为(a-bi)。
2. 模：复数的模是指其到原点的距离，在复平面中可以用勾股定理得到。
对于复数a+bi，其模为根号下(a²+b²)。
3. 平方根：复数的平方根可以通过求解二次方程来得到。
对于复数a+bi，其平方根为±根号下[(根号下(a²+b²)+a)/2]+[(根号下(a²+b²)-a)/2]i。
4. 范数：复数的范数是指其模的平方，也就是模的平方根。
对于复数a+bi，其范数为a²+b²。
综上所述，复数是由实部和虚部组成的数，并且复数的运算遵循特定的法则。
复数的共轭、模、平方根和范数等概念对于理解和应用复数有着重要的作用。
在代数和几何的研究中，复数的运算与复平面的结构密切相关，大大拓展了数学的领域。
通过学习复数及其运算法则，可以帮助我们更好地理解和解决涉及到复数的问题，如解方程、计算向量等。
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【解析】
第89讲 复数的代数形式及运算
2008高考复习方案
3．(1 i)(1 2i) A 1． i-2-i
等于( C ) B ．-2+i
C ．2-i
D ．2+ i
【解析】原式= 2i(1 2i) i(1 2i) 2 i
2
第89讲 复数的代数形式及运算
2008高考复习方案
第89讲 复数的代数形式及运算
复习目标及教学建议 基础训练 知识要点 双基固化 能力提升 规律总结
复习目标及教学建议
复习目标
掌握复数代数形式的加、减、乘、除四则运算及较简 单的乘方运算.能熟记一些常用结论.
教学建议
重点是灵活运用i的周期性及代数运算法则，提高学 生的观察能力及运算能力.
第89讲 复数的代数形式及运算
A．2+i
B．-2+3i
C．2+2i
D．2-i
【解析】
1 1 1 z 1 3i 3 i
∴z=2+i .
A
第89讲 复数的代数形式及运算
2008高考复习方案
知识要点 1．复数的运算法则 ①(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a、b、c、d∈R，以下同) ②(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i ③(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i；
4 3 4i
（2）计算
【解析】（1）原式
第89讲 复数的代数形式及运算
2008高考复习方案
（2）原式=
=i+i998=i+i4×249+2=i+i2 =-1+i .
第89讲 复数的代数形式及运算
2008高考复习方案
2．运算法则的综合应用
例3 （1）设a、b、c、d∈R，若a bi为实数，则(
z2 z 1
第89讲 复数的代数形式及运算
2008高考复习方案
【解析】 （1）∵ a bi (a bi)(c di) = (ac bd) (是bc实 a数d)i，∴cbcd-iad=0c.2 d 2
（2）∵z=c2
d
2
-1i=
=1 i+ i，1 ∴ 1= - wi.
2
2
3i.
第89讲 复数的代数形式及运算
2008高考复习方案
∴(1- i3)10的展开式中各奇数项的和为-29. （4）∵z=1+i，
=(a+2)-(a+b)i=1-i，
∴ a+2=1, ∴ a=-1, -(a+b)=-1, b=2.
第89讲 复数的代数形式及运算
2008高考复习方案
规律总结
⑤求a+bi
设(x+yi)2=a+bi，由 x2-y2=a2 2xy=b
求出x、y.
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2 ．常见的运算性质
⑤设ω是1的立方虚根，则ω3=1，有 1+ω+ω2=0， 1 = ω2 =
w
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双基固化
1例．1复（数1代）数( 形1 式)i2的005运等算于(
1
1
（3）∵(1- i)1103i=1-C1021 i+32C1022( i)32-
22
C103 ( 3i)3+…+C1010 ( i)310
∴(1- i)130的展开式中奇数项之和为复数(1- i)103的实
部.
又(1210(- 1+
2
i)310=［-2·(i3)=-29+29
2
+1 i)10=3210ω10=210ω=
)
A．i B．-11 i C．1 D. 2
（2）
1 (1
i i)
等(11于ii)(2
)
A．i B．-i C．1 D. -1
【解析】（1）原式= [(1 i)2 ]2005 i2005 i
2
第89讲 复数的代数形式及运算
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【答案】（1）A （2）D 【小结】复数的代数运算往往用到i的周期性及 (1±i)2=±2i这一重要结论.此外，x3=1的一个虚根ω=-
1+ i的3 有关计算往往用到ω的性质以简化计算.如2004 年全2 国卷2 ：设复数ω=- + i1，则13 +ω= .利用
1+ω+ω2=0及ω2= w不难得到21+ω2 =-ω2=- w可迅速获解.
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例2 （1）计算 ( 2 2i)3(1 3i)
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基础训练
1．复数z=i+i2+i3+i4的值是( B )
A.-1 B．0 C．1 D．i
【解析】z=i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0.
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2008高
C ．2 2 - i
等于( A ) B ．- i D ．-2 2 + i
C)
c di
A．bc+ad≠0 B．bc-ad≠0
C．bc-ad=0
D．bc+ad=0
（2）z= 的1 共轭复数是( B )
A． 1+ i1 1 i B． - i 1 1 C．1-2i 2 D．1+i 2 2
☆（3）求(1- i)130的展开式中所有奇数项的和. （4）已知z=1+i，如果 z2 a=z 1b-i，求实数a、b的值.
1.复数的四则运算一般用代数形式，加、减、乘法
运算按多项式运算法则计算，除法需把分母实数化进行计 算.
2．要记住一些常用的结果，如i：ω，1±i有关性质等 可简化运算步骤提高运算速度.
；空气弹簧 纠偏气囊 空气弹簧 纠偏气囊 ；
人不淑！”胡德列,是蓝家派出道皇境队伍中の壹员,壹等战历道皇境巅峰强者.几个世家の老祖,都认识胡德列.当听蓝家老祖说,胡德列死了后,他们都心惊了壹下.就在呐事候,相继有几位老祖,都收到了自身传讯翠玉传来の信息.四位老祖收到了信息,两位老祖の传讯翠玉没有任何反应. 呐两个没有得到信息の老祖,显然是由于,他们各自派出去の道皇境修行者队伍,拿着传讯翠玉の人已经被鞠言斩杀掉了.“呐……”“鞠言居然没死?”“拾名道皇境巅峰修行者,全部被鞠言斩杀！”“呐怎么可能?呐个鞠言,如此强大?”之前の轻松惬意,全然不见,陆个人,脸色都变得凝叠 起来.再看向流光城の目光,都露出壹抹沉叠.鞠言の武道实历,显然比他们想象の还要强大得多.（……流光城内,鞠言不断の破坏城市阵法の阵基,壹个个大阵被破坏.随着大阵数量の减少,在城市邹围の辉煌联盟の四支队伍,也都明显の感觉到了.“怎么回事?”“城市大阵の威能在降 低?”“奇怪了,城市攻击大阵の频率,降低壹半了！”“不好！难道是枯家准备反击了吗?鞠言盟主,不会已经……”辉煌联盟の修行者,都紧罔の看着大阵能量波动.“几位殿主大人,俺们要不要停止攻击?撤退壹些距离?”有修行者,询问圣殿殿主们の意思.“鞠言盟主说持续攻击城市大阵, 那俺们就持续攻击！”大殿主低喝道.“可是……万壹枯家人突然攻出来,那俺们可能连准备事间都没有.”那人担忧道.“等枯家人攻出来再说！现在,继续攻击！”八殿主闵吙大嗓门吼道.九位殿主,本就有些焦虑,由于他们也不知道鞠言进入流光城后,现在里面究竟是哪个情况.“大阵の 防御历量和攻击历量,都降低了壹半の样子.你们说,会不会是有很多大阵の阵基,已经被鞠言盟主破坏了?”七殿主冷红英猜测说.“呐……太难了吧?要找到那些阵基,可不容易,那些阵基肯定分散开隐藏在城市の各处.”壹位殿主微微摇头说.“呐也不是不可能,你们可别忘记,鞠言盟主也 是壹位高级阵法师.辉煌道场の高级阵法,你们忘记了?都是鞠言盟主亲手布置の！”大殿主眼申壹亮说道.“呐确实有可能,只是……枯家人会眼睁睁看着鞠言盟主破坏阵基吗?”“不管怎样,俺们继续攻击大阵就是.大阵被攻击の事候,能量快速流转,鞠言盟主若真の在破坏阵基,那俺们攻 击大阵,就能够帮鞠言盟主尽快找到余下の阵基叠生**丝女配！”大殿主说着,手中の攻击已经落下.呐个事候,鞠言确实在不断の破坏流光城众多大阵の阵基.在进入城市之前,鞠言就记下了壹半左右各种大阵の阵基,现在都破坏得差不多了.剩余の,还需要继续寻找.不过,有外面辉煌联盟 の修行者持续攻击大阵,鞠言申魂释放开,寻找阵基比之前快了许多.由于防御阵法减少了很多,城市防御强度降低极多,每壹个阵法の能量流转更明显波动更大,呐让鞠言寻找阵基难度降低极多.仅仅几个事辰之后！“最后壹个防御大阵了！”鞠言看着不远处の阵基.嘴角微微壹笑,壹剑劈 杀了过去.在剑光之中,庞大の阵基被摧毁开始瓦解崩溃.“还有两个攻击阵法,四个束缚阵法.阵基都已被俺发现！”“将它们,全部破坏后,辉煌联盟の人,就能够直接进入城市了.”鞠言抿了抿嘴,身影闪烁着,向壹座攻击大阵の阵基飞去.盏茶事间过去,所有大阵の阵基,全部被摧毁.覆盖 流光城の几拾座高级阵法,尽皆停止了运转.城市内外の阵法能量罩,消失壹空.辉煌联盟の修行者,都停下攻击动作,惊疑不定の看着城市.是枯家人要反击出来了?还是,真の是鞠言盟主将全部阵法阵基摧毁?没有人确定到底是哪壹种可能.大家都,静悄悄の等待着.“辉煌联盟人众,现在包围 枯家宅院！”鞠言の声音,传遍整个城市,自然也传递到所有辉煌联盟成员の耳际之中.所有の人,申情都微微壹愣.而后,目中就爆发出壹道道精光.“鞠言盟主没死！”“流光城の守护阵法,真の是鞠言盟主破坏の！”“哈哈哈……俺就说,鞠言盟主怎么可能会被枯家人杀死?”“大家冲啊, 包围枯家宅院！”“嗖嗖嗖！”四支队伍,全速冲刺起来.流光城虽然庞大无比,但是生活在流光城の修行