全等三角形的性质和判定(复习课)
数学 第一讲全等三角形的性质及判定(一)
第一讲全等三角形的性质及判定（一）一、要点提示1、全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
能够相互重合的顶点、边、角分别叫做对应的顶点、对应边、对应角。
全等符号为“≌”。
2、组成全等三角形的基本图形：（1）平移型：如图所示（对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到）（2）轴对称型：如图所示（重合的顶点就是全等三角形的对应顶点）。
（3）旋转型：如图所示。
它们可以看成以某一顶点为中心旋转所构成的，故一般有一对相等的角隐含在对应顶角、某些角的和或差中。
3、全等三角形的性质： ●对应角相等●对应边相等 ●对应边上的中线相等 ●对应边上的高相等●对应角的角分线相等 4、全等三角形的判定方法：（1）边角边定理（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（2）角边角定理（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）边边边定理（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等。
（4）斜边、直角边定理（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两具直角三角形全等。
5、判定三角形全等的基本思路：6、全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，已知一边一角边为角的对边→找任意一角→AAS边就是角的一条边找这条边上的另一角→ASA 找这条边上的对角→AAS 找该角的另一边→SAS已知两边找夹角→SAS找直角→HL 找另一边→SSS找两角的夹边→ASA找任意一边→AAS已知两角在证明的过程中，注意有时会添加辅助线。
7、主要考点：能通过判定两个三角形全等，进而可以证明两条线段间的位置关系和大小关系，而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等，是几何证明的基础，进而还会涉及到数学思想中的转化思想和构造法等。
二、全等三角形的判定公理1、边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)。
例1已知：如图，∠1＝∠2，AB ＝AD 。
全等三角形的性质及判定(经典讲义)
全等三角形的性质及判定知识要点1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等， 对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等．3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS ）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ） （3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（ ）A.全等图形的面积相等B.面积相等的两个图形是全等形C.形状相同的两个图形是全等形D.周长相等的两个图形是全等形 例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=39°，则AN =____cm ，NM =____cm ，NAB ∠= .【仿练1】如图2，已知ABC ADE ∆≅∆，AB AD =，BC DE =，那么与BAE ∠相等的角是 . 【仿练2】如图3，ABC ADE ∆≅∆，则AB= ，∠E= _．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= .、图4EDCB A图2 图3M DA NBC 图1三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点∵AE=CF ∵CM 是△的中线∴_____________( )∴____________________∴__________（ ） 或 ∵AC=EF∴____________________∴__________（ ）AB=AB （ ）在△ABC 和△DEF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ）例1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？例２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ．BFECAFE DCB ACMBA B A例３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．练习1..如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）A．∠A=∠C B．AB=AD C．AD∥BC D．AB∥CD2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACE D．以上都不对3.如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（）A．SSS B．SAS C．AASD．HL4.如图,AB=AC,D为BC的中点，则△ABD≌_________.5.如图，已知AB=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：．6.如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是°．7、.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌ADE。
京改版八年级上册第十二章《全等三角形的判定与性质复习课》优秀教学案例
3.成果展示：各小组展示自己的讨论成果，其他小组进行评价，教师进行指导，促进学生之间的交流与学习。
（四）总结归纳
1.引导学生总结全等三角形的判定与性质的关键点，帮助他们巩固知识，提高他们的归纳总结能力。
2.让学生反思自己在学习过程中的优点和不足，明确今后的学习方向。
固所学知识，提高他们的实际问题解决能力。
2.要求学生在作业中运用全等三角形的判定与性质，培养他们的实践能力。
作为一名特级教师，我将以导入新课、讲授新知、学生小组讨论、总结归纳和作业小结五个环节为主线，环环相扣，注重知识的系统性、实践性和探究性，努力提高学生的综合素质，为他们的全面发展奠定基础。
（二）问题导向
1.提出问题：教师针对全等三角形的判定与性质，设计具有引导性的问题，引导学生深入思考，自主探索。
2.分析问题：教师引导学生从全等三角形的判定方法和性质出发，分析问题的本质，培养学生解决问题的能力。
3.解决问题：教师组织学生进行小组讨论，共同解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.总结问题：教师引导学生总结问题的解决过程和答案，帮助学生巩固知识，提高他们的归纳总结能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发他们学习数学的内在动力。
2.培养学生的自主学习能力，使他们养成良好的学习习惯。
3.引导学生认识到全等三角形在实际生活中的重要性，提高他们学以致用的能力。
4.培养学生严谨的逻辑思维态度，使他们形成科学的思维方式。
作为一名特级教师，我深知教学目标的重要性。在教学过程中，我将始终关注学生的知识掌握情况、过程与方法的应用以及情感态度与价值观的培养，努力提高他们的综合素质，为他们的全面发展奠定基础。
全等三角形的判定(总复习)
图（1） B D
C
学习提示：公共边，公共角， 对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件！
9
二.添条件判全等
B
4、如图，已知AD平分∠BAC， A D 要使△ABD≌△ACD， • 根据“SAS”需要添加条件 ； C AB=AC ∠BDA=∠CDA • 根据“ASA”需要添加条件 ； • 根据“AAS”需要添加条件 ； ∠B=∠C
全等三角形共有6组元素(3组对应边、3组对应角)
三角形的6组元素(3组对应边、3组对应角) 中，要使两个三角形全等，到底需 要满足哪些条件？
要使两个三角形全等， 应至少有 3 组元素对应相等。
边边边 (SSS) 两边一角 6选 3
两边和它的夹角(SAS)
两角一边
角角角×
两边和它一边的对角 × 两角和夹边(ASA)
性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
例、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点 E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平 分线上. M
D C F A E B N
练一练 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在 三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要 使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处 修建 ? 2、直线表示三条相互交叉的公路 ,现要建一个货
解: 连接AC
在△ABC和△ADC中， AB=AD(已知) BC=DC(已知) AC=AC(公共边)
∴△ADC≌△ABC(SSS)
∴ ∠ABC=∠ADC (全等三角形的对应角相等)
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实际运用
9. 测量如图河的宽度，某人在河的对岸找到一参照物 树木Ａ，视线 ＡＢ与河岸垂直，然后该人沿河岸 步行１０步（每步约0.75M）到O处，进行标记， 再向前步行10步到D处，最后背对河岸向前步行20 步，此时树木A，标记O，恰好在同一视线上，则 河的宽度为 米。 15
京改版八年级上册第十二章《全等三角形的判定与性质复习课》教学设计
（二）过程与方法
1.通过复习全等三角形的性质和判定方法，巩固ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ生的几何基础知识，提高逻辑思维能力。
2.通过小组讨论、合作探究的方式，培养学生合作解决问题的能力，激发学生的学习兴趣。
3.设计丰富的例题和练习题，让学生在解题过程中体会全等三角形的运用，提高分析问题和解决问题的能力。
4.培养学生团队合作意识，让他们在合作中学会互相尊重、互相帮助，共同提高。
二、学情分析
八年级学生对全等三角形的认识已具有一定的基础，他们在前期学习中已经掌握了全等三角形的定义、性质及判定方法。但在实际应用中，部分学生对全等三角形的判定定理理解不够深入，对复杂的几何问题缺乏解题思路。此外，学生在团队合作中解决问题的能力有待提高，对几何学习的兴趣和自信心也有待进一步激发。因此，在本章节的教学中，教师应关注以下几点：
（三）学生小组讨论
1.将学生分成小组，每组挑选一个全等三角形的性质或判定方法，进行讨论和交流。
2.各小组派代表分享讨论成果，总结全等三角形性质和判定方法的应用技巧。
3.教师点评各小组的表现，引导学生互相学习，共同提高。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的练习题，涵盖全等三角形的性质和判定方法，让学生独立完成。
（二）讲授新知
1.全等三角形的性质
a.对应边相等
b.对应角相等
c.对应边上的中线、高线、角平分线相等
2.全等三角形的判定方法
a. SSS（边-边-边）判定法
b. SAS（边-角-边）判定法
c. ASA（角-边-角）判定法
d. AAS（角-角-边）判定法
e. HL（斜边-直角边）判定法
全等三角形的性质与判定复习课
6．如图，AB⊥CD于B，CF交AB于E，
CE＝AD，BE＝BD，求证：CF⊥AD.
证明：∵AB⊥CD，
∴∠ABC＝∠ABD＝90°，
在 Rt△BEC 和 Rt△BDA 中， ∴∠C＝∠A，
CE＝AD，
∵∠A＋∠D＝90°，
BE＝BD， ∴Rt△BEC≌Rt△BDA(HL)，
∴∠C＋∠D＝90°， ∴∠CFD＝180°－90° ＝90°，
∴AD⊥BC．
考点二 全等三角形的判定
3 已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，
求证：△ABC≌△DCB．
【分析】运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形
全等”进行判定．
A
证明： 在△ABC和△DCB中，
∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知），B
∴△ABC≌△DCB（ASA ）.
全等三角形的性质与判定
一、全等三角形的性质性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等. 应用格式：
如图：∵△ABC≌△DEF， B ∴AB=DE，BC=EF，AC=DF
全（等三角形的对应边相等 ）， ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F （全等三角形的对应角相等 ）E .
A C
D
F
二、三角形全等的判定方法
证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，在
∠AEB＝∠ADC，
△ABE 和 △ACD 中 ， ∠A＝∠A，
∴ △ ABE ≌ △
AB＝AC，
ACD(AAS)，∴AD＝AE，∠B＝∠C，∴AB－AD＝AC－AE，
即 BD ＝ CE ， 在 △BDO 和 △CEO 中 ，
∠BOD＝∠COE（对顶角相等），
全等三角形复习资料(搜集整理版)
特别鸣谢资源原创者，本人仅仅便于自己的备课整理排版了一下。
第十一章全等三角形复习一、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
2、全等三角形有哪些性质（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题：（1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；（2表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”第十二章轴对称一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点4.轴对称的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线1. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上三、用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为______.点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为______.2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等四、（等腰三角形)知识点回顾1.等腰三角形的性质①.等腰三角形的两个底角相等。
全等三角形性质和判定复习课
找一边 SAS
已知一边一角 找一角AAASSA
ASA
已知两角找一边 AAS
题1 在△ABC和△DCB中，给出条件：
①AB=DC ②AC=DB ③∠ABC=∠DCB
④∠2=∠3 ⑤∠1=∠4
其中两个条件
可以说明
△ABC ≌ △DCB（填序号）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
D
E
12
B
34
问：图中有相等的线段吗？ 请说明理由
B E
O
A
CD
如图, △ABC 中, ∠ABC=90°,BD是 A
过B点的任一直线 ,CD⊥BD于D, AE⊥BD于E,找出
E D
DE,AE,CD之间的关 B
C
系,并说明理由.
将一张长方形纸片沿对角线剪开得到两张全 等的三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆 成如图②形式，使点A、C、E、F在同一条 直线上，且点A与点E重合
C
开放二 如何根据条件，探索结论？
题2 如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AO 是角平分线，点D在AC的延长线上，DE过点 O且DE⊥AB，垂足为E。
问：图中有几对全等三角形？ 请说明理由
B E
O
A
CD
题2 如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AO 是角平分线，点D在AC的延长线上，DE过点 O且DE⊥AB，垂足为E。
D
B
P
N
M
EC
F
A
图④
问:BA与AD有何关系，并说理。 D
B
图①
C
A (E) F
图②
若将△DEF的边EF沿AC的方向 移动，其余条件不变，在移动过 程中结论AB⊥ED 还成立吗？如 D 果成立，请以图③说明理由。
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全等三角形复习课教学设计
教学目标：
1、熟练掌握全等三角形的性质和判定方法，并能灵活运用。
2、培养自己的逻辑推理能力，重视文字语言、符号语言、图形语言的相互转译，并能正确书写推理过程。
3、在学生操作过程中，激发学生学习的兴趣，培养学生主动探索，敢于实践的精神，培养学生之间合作交流的习惯。
学习目标：
教学的重点和难点：
重点：运用全等三角形的识别方法来探寻三角形以及运用全等三角形的知识解决实际问题。
难点：运用全等三角形知识来解决实际问题。
教学过程设计：
一、复习回顾：已知AB//DE，且AB=DE，
（1）请你只添加一个条件，使△ABC≌△DEF，你添加的条件是
（2）添加条件后，证明△ABC≌△DEF？
今天我们这节课来复习全等三角形。
（引出课题）。
师：识别三角形全等的方法有哪些？
生：SAS 、SSS、ASA、AAS 、HL。
二、探求拓展：
1、基础过关：
已知:点A,D,B,F在一条直线上，AC=FE,BC=DE, AD=BF, 求证：∠E=∠C 多媒体展示
练习1：已知：如图，AC和BD相交于点O,DC∥AB,OB=OD求证：OA=OC
练习2:如图,分别以⊿ABC的边AB,AC为一边画正方形ABED和正方形ACGF,连结CD,BF. 求证
BF=CD
练习3:如图,AE=AD,要使ΔABD≌ΔACE,请你增加一个条件是.
E
D
C B
A
2、能力提升
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，
求证：①△ACD≌△CEB；②DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，
求证：DE=AD-BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。
三、小结:通过今天的学习，你有哪些收获？
四、作业：中考一本通相关内容。