第一章 导数及其应用 单元测试
新人教A版选修(2-2)第一章《导数及其应用》word单元测试
4 27《导数及其应用》训练题一、选择题（每小题5分，共50分）1 .设函数y = f （x ）可导，则 蚂 f （1 +^x ） - f（1）等于（ A . f'(1)B . 3f'(1)3LX1C . - f'(1) 3 ).D .以上都不对 1 2.已知物体的运动方程是 S r ^t 44-4t 3 16t 2 （t 表示时间，S 表示位移），则瞬时速度 为0的时刻是A . 0 秒、 C . 2 秒、 ）.2秒或4秒 8秒或16秒 B . 0秒、D . 0秒、 2秒或16秒 4秒或8秒3.若曲线y = xx 3在x = x 0处的切线互相垂直，则 X ）等于（）.336B .64•若点P 在曲线 3-3x 2• (3 - . 3)x 3上移动，经过点 4P 的切线的倾斜角为:-,则角〉的取值范围是A . [0,二] ).B .[02)U [2 二兀）能的是（ ).6.函数 f （X ）= x37.已知函数 f(x )C .［訂：）II 2■:D .叱七P5 •设f '（x ）是函数•ax -2在区间［1「二）内是增函数，则实数 a 的取值范围是（).C . (-3,::)D . (-3 2=x - px -qx 的图像与x 轴切于点（1,0），则 f （x ）的极大值、 极小值分别为（4 A .).4B . 0,27 4C . —, 0 D . 0,27271 1&由直线x , x = 2，曲线y 及x 轴所围图形的面积是(2x1517 1 , A.B.C. In 2D. 2ln 244239.函数f(x)二x -3bx 3b 在(0,1)内有极小值，则().A . 0 ::: b < 1B . b =1C . b 010. y = ax 2V 的图像与直线y = x 相切，则a 的值为().111A .B .C .-8 4 2、填空题(每小题5分，共20分)11.由定积分的几何意义可知I 4 一 x 2 = -----------12. 函数f(x)=xln x(x 0)的单调递增区间是13.已知函数f(x)二ax-lnx ，若f(x)・1在区间(1,=：)内恒成立，则实数 a 的范围为14.设函数f(x)=x 「ax 的导数为f'(x)=2x ・1，则数列{-^}( n ・N *)的前n 项和 f (n) 是 _______________ .三、解答题(共6题，共80分)15.(本题12分)1求经过点(2,0)且与曲线y相切的直线方程x16.(本题12分)已知 x 1，求证：x In(1 - x).).D .b ：.-17.(本题14分) 已知函数f (x) = -x3 3x2 9x a ,(i)求f (x)的单调递减区间；(n)若f (x)在区间［一2,2］上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.18.(本题14分)已知函数f (x) =x4 -4x3• ax2 -1在区间［0,1］上单调递增，在区间［1,2］上单调递减，(i)求a的值；(n)设g(x) =bx2 -1，若方程f (x) =g(x)的解集恰有3个元素，求b的取值范围.19.(本题14分)某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格。
一元函数的导数及其应用单元测试卷(A卷)
一元函数的导数及其应用单元测试卷(A卷)ʏ四川省广安市广安友实学校孟召臣一㊁单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分㊂在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的㊂)1.下列四个函数中,在区间[0,1]上的平均变化率最大的为()㊂A.y=xB.y=e xC.y=s i n xD.y=1x+12.当x>0时,可导函数f(x)满足: f(x)+2f1x=2x,则f'(x)=()㊂A.2+1x2B.-x2+2C.2xD.4x2+23x23.已知函数f(x)=(x2-a)e x,则 aȡ-1 是 f(x)有极值 的()㊂A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.近几年,出现了一些网络流行语,如 y y d s 内卷 躺平 等,现定义方程f(x)= f'(x)的实数根x叫做函数f(x)的 躺平点 ㊂若函数g(x)=e x-x,h(x)=l n x,φ(x)=1024x+1024的 躺平点 分别为a, b,c,则a,b,c的大小关系为()㊂A.b>a>cB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a5.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一,内容为:如果函数f(x)在闭区间[a,b]上的图像连续不间断,在开区间(a,b)内的导数为f'(x),那么在区间(a,b)内至少存在一点c,使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)成立,其中c叫做f(x)在[a,b]上的 拉格朗日中值点 ㊂根据这个定理,可得函数f(x)=l n x在[1,e]上的 拉格朗日中值点 为()㊂A.1B.eC.e-1D.e+126.已知函数f(x)=a x2+l n x,g(x)=x3-x2-3㊂若对任意的s,tɪ13,2,都有s f(s)ȡg(t)成立,则实数a的取值范围为()㊂A.2021B.2022C.2023D.[1,+ɕ)7.在数列{a n}中,a1=1,且函数f(x)= x5+a n+1s i n x-(2a n+3)x+3的导函数有唯一零点,则a10-a4+a2的值为()㊂A.2021B.2022C.2023D.20248.英国数学家布鲁克㊃泰勒(B r o o k T a y-l o r,1685年8月~1731年11月)以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世㊂根据泰勒公式,我们可知:如果函数f(x)在包含x0的某个开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数,那么对于∀xɪ(a,b),有f(x)=f(x0)0!+ f'(x0)1!(x-x0)+f''(x0)2!(x-x0)2+ + f(n)(x0)n!(x-x0)n+ ㊂若取x0=0,则f(x)=f(0)0!+f'(0)1!x+ f''(0)2!x2+ +f(n)(0)n!x n+ ,此时称该式为函数f(x)在x=0处的n阶泰勒公式㊂计算器正是利用这一公式将s i n x,c o s x,e x, l n x,x等函数转化为多项式函数,通过计算多项式函数值近似求出原函数的值,如s i n x=x-x33!+x55!-x77!+ ,c o s x=1-x22!+x44!-x66!+ ,则运用上面的想法求2c o sπ2+12s i n12的近似值为()A.0.50B.-0.46C.-0.54D.0.56二㊁多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分㊂在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求㊂全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分㊂)6 1演练篇核心考点A B卷高二数学2024年1月9.已知函数y=f(x)满足:f(1)=1,且f(x)在R上的导数f'(x)<12,则不等式f(l n x)>1+l n x2的整数解可以为()㊂A.4B.3C.2D.110.已知直线y=a与曲线y=x e x相交于A,B两点,与y=l n x x相交于B,C两点,A, B,C的横坐标分别为x1,x2,x3,则()㊂A.x2=a e x2B.x2=l n x1C.x3=e x2D.x1x3=x2211.已知函数f(x)=x l n x,若0<x1< x2,则下列选项正确的是()㊂A.x1+f(x1)<x2+f(x2)B.x2f(x1)<x1f(x2)C.当x2>x1>1e时,x1f(x1)+ x2f(x2)>x2f(x1)+x1f(x2)D.若方程f(x)=a有一个根,则a=-1e12.已知定义在R上的可导函数f(x),记g(x)=f'(x)为f(x)的导函数㊂若f(x-2024)+f(2024-x)=0,且f(x)= f(2)+f(4-x),f(1)=2023,则下列说法正确的是()㊂A.f(x)的图像关于x=2对称B.g(x)为偶函数C.g(2022)=0D.f(2023)=2023三㊁填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分㊂)13.已知2f(x)+x f'(x)=2x c o s2x+ 2(c o s x+s i n x)2,且x>0,fπ2=5,那么f(π)=㊂14.已知正实数x,y满足e x=y l n x+ y l n y,则l n x+1x-l n y的最大值为㊂15.函数f(x)=e x-1+a x2-(2a+1)x (其中a为实数),若x=1不是f(x)的极值点,则a=㊂16.函数f(x)=e2k x-l n x k x+1(kʂ0),函数g(x)=x l n x,若k f(x)ȡg(x)对∀xɪ(0,+ɕ)恒成立,则实数k的取值范围为㊂四㊁解答题(本题共6小题,共70分,解答时应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤㊂)17.(本小题10分)已知函数f(x)满足f(x)=e x x+1-x l n x+f'(1)(x3-x+3)㊂(1)求f'(1)的值;(2)求这个函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程㊂18.(本小题12分)已知在直角坐标系x O y 中矩形的四个顶点都在椭圆C:y24+x23=1上,将该矩形绕y轴旋转一周,得到一个圆柱体,当该圆柱体的体积最大时,求该圆柱体的侧面积㊂19.(本小题12分)已知函数f(x)=1-l n xx2㊂(1)求函数f(x)的零点及单调区间;(2)求证:曲线y=l n x x存在斜率为6的切线,且切点的纵坐标y0<-1㊂20.(本小题12分)已知函数f(x)= e2x-2x-1㊂(1)证明:f(x)ȡ0㊂(2)∃x0ɪ(0,+ɕ),使得f(x0)<a x0-1成立,求a的取值范围㊂21.(本小题12分)已知函数f(x)=a x-x l n x㊂(1)讨论f(x)在[1,e]上的最大值㊂(2)是否存在实数a,使得对任意x>0,都有f(x)ɤa?若存在,求a的取值范围;若不存在,说明理由㊂22.(本小题12分)已知函数f(x)=a l n x-x,a>1e,e是自然对数的底数㊂(1)若x1,x2(0<x1<x2)是函数y= f(x)的两个零点,证明:x1l n x1<2x2-x1;(2)当a=2时,若对于∀k>0,曲线C: y=m-k x2与曲线y=f(x)都有唯一的公共点,求实数m的取值范围㊂(责任编辑徐利杰)71演练篇核心考点A B卷高二数学2024年1月。
高中数学选修22：第一章导数及其应用单元测试题.doc
数学选修 2-2 第一章单元测试题一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个1 12．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在1同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是()C．8D．423．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( )ππ3A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π)3 π 3C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π]14．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()3 3A．m≥2 B．m＞23 3C．m≤2 D．m＜2x2 25．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 ()f x 0＋3 －f x 06．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx＝1，Δx→0则 f ′(x0)等于( )A．1 B．0C．3x＋97．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为()A．x＋y＝0B．x＋25y＝0C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0D．以上皆非8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0 时，f ( x) 是()A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数13 29．若a>2，则方程3x －ax ＋1＝0 在(0,2) 上恰好有 ()A．0 个根B．1 个根C．2 个根D．3 个根1 10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s＝4t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A．1 s 末B．0 sC．4 s 末D．0,1,4 s 末x2，x∈[0，1]，2f(x) d x 等于 () 11．设f ( x) ＝则2－x，x∈ 1，2] ，0D．不存在sin x sin x1 sin x2 12．若函数 f(x) ＝x，且 0<x1<x2 <1，设 a＝x1 ，b＝x2 ，则 a，b 的大小关系是 ( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a、b的大小不能确定二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )1 3 213．若 f(x) ＝3x －f ′(1)x ＋x＋5，则 f ′(1) ＝ ________.π π14．已知函数 f(x) 满足 f(x) ＝f( π－x) ，且当 x∈ －2，2 时，f(x) ＝x＋sin x，设a＝f(1) ，b＝f(2) ，c＝f(3) ，则a、b、c 的大小关系是 ________．15．已知函数f(x) 为一次函数，其图像经过点(2,4) ，且1f(x) d x＝3，则函数f(x) 的解析式为________．16．(2010 ·江苏卷) 函数2y＝x(x＞0)的图像在点 2(a k，a k) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*. 若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(10 分) 如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．18．(12 分) 已知函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 上单调递增，在区间 [1,2) 上单调递减．(1)求 a 的值；(2)若点 A(x0，f(x0)) 在函数 f(x) 的图像上，求证：点 A关于直线x＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19．(12 分) 设 x＝－ 2 与 x＝4 是函数 f(x) ＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点．(1)求常数 a，b；(2)试判断 x＝－ 2，x＝ 4 是函数 f(x) 的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12 分) 已知 f(x) ＝ax3－6ax2＋b，x∈[ －1,2] 的最大值为 3，最小值为－ 29，求 a，b 的值．21．(12 分)(2010 ·重庆卷 ) 已知函数 f(x) ＝ax3＋x2＋ bx( 其中常数a，b∈R) ，g( x) ＝f ( x) ＋f′(x) 是奇函数．(1)求 f ( x)的表达式；(2)讨论 g( x)的单调性，并求 g( x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．1－x22．(12 分) 已知函数f ( x) ＝ln( ax＋1) ＋1＋x，x≥0，其中a>0.(1)若 f ( x)在 x＝1处取得极值，求 a 的值；(2)求 f ( x)的单调区间；(3)若 f ( x)的最小值为1，求 a 的取值范围．参考答案1.答案 A解析设极值点依次为 x1，x2，x3且 a＜x1＜x2＜x3＜b，则 f ( x) 在( a，x1) ，( x2，x3) 上递增，在 ( x1，x2) ，( x3，b) 上递减，因此，x1、x3是极大值点，只有x2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A1解析因为函数 f ( x)＝2x4－2x3＋3m，所以 f ′(x)＝2x3－6x2.令 f ′(x)＝0，得 x＝0或 x＝3，经检验知 x＝3是函数的一个最27小值点，所以函数的最小值为 f (3)＝3m－2.不等式 f ( x)＋9≥0恒成27 3立，即 f ( x)≥－9恒成立，所以3m－2≥－9，解得 m≥2.5.答案 A解析 f ( x)＝cos2x－cos x－1，∴f′(x)＝－2sin x·cos x＋sin x＝sin x·(1－2cos x)．令 f ′(x)>0，结合选项，选A.6. 答案 D7. 答案 D8. 答案 A9. 答案 B解析 1 3 2设 f ( x ) ＝3x －ax ＋1，则2f ′(x )＝x －2ax ＝x ( x －2a ) ，当 x ∈(0,2) 时， f ′(x )<0，f ( x ) 在(0,2) 上为减函数，又 f (0) f (2) ＝8 111 3－4a ＋1 ＝ 3 －4a <0，f ( x ) ＝0 在(0,2) 上恰好有一个根，故选 B.10. 答案 D11. 答案 C解析 数形结合，如图．2f(x) d x ＝ 1x 2d x ＋ 2(2 －x) d x0 11 3 11 22＝ 3x＋ 2x －2x11 1＝ 3＋(4 －2－2＋2)5＝ 6，故选 C .12. 答案Af ′(x) ＝x cos x －sin x解析 x 2， 令 g(x) ＝x cos x －sin x ，则g ′(x) ＝－ x sin x ＋cos x －cos x ＝－ x sin x.∵0<x<1，∴ g ′(x)<0 ，即函数 g(x) 在 (0,1) 上是减函数，得 g(x)<g(0) ＝0，故 f ′(x)<0 ，函数 f(x) 在(0,1) 上是减函数，得 a>b ，故选A .213. 答案 32 2解析 f ′(x) ＝ x －2f ′(1)x ＋ 1，令 x＝1，得 f ′(1) ＝3.14. 答案 c<a<b解析f(2) ＝ f( π－2) ， f(3) ＝ f( π－ 3) ，因为 f ′(x) ＝ 1＋π ππcos x≥0，故f(x)在－2，2上是增函数，∵2 >π－2>1>π－3>0，∴f( π－2)>f(1)>f( π－3) ，即 c<a<b.2815.答案 f(x) ＝3x＋3解析设函数 f(x) ＝ax＋b(a ≠0) ，因为函数 f(x) 的图像过点(2,4) ，所以有 b＝4－2a.∴1 f(x) d x＝ 1 (ax ＋4－2a) d x0 01 2 1 1＝[ ax ＋(4 －2a)x] | 0＝a＋4－2a＝1.2 22 8 2 8∴a＝3. ∴b＝3. ∴f(x) ＝3x＋3.16. 答案21解析2 2∵y′＝2x，∴过点( a k，a k)处的切线方程为y－a k＝2a k( x1－a k)，又该切线与 x 轴的交点为( a k＋1,0)，所以 a k＋1＝2a k，即数列{ a k}1是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝2，∴ a3＝4，a5＝1，∴ a1＋a3 ＋a5＝21.17. 解析抛物线 y ＝x －x 2 与 x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与 x 轴所围图形面积 S ＝ 12) d x ＝x 2 x 3 11 (x －x 2 －3 0＝2－1 13＝6.y ＝x －x 2，又 由此可得抛物线 y ＝x －x 2 与 y ＝kx 两交点的横y ＝kx ，S－ 2 x 3 －坐标 x 3＝ ， 4＝ － ，所以 ＝ 1-k (x － x 2 kx) d x ＝1 k x － 1k －0 x 1 k 2 02313＝6(1 －k) .3又 S ＝ ，所以 (1 －k) 3＝1，∴ k ＝1－ 4.622118. 解析 (1) 由函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 单调递增，在区间 [1,2) 单调递减，∴x ＝1 时，取得极大值，∴ f ′(1) ＝ 0.又 f ′(x) ＝ 4x3－12x2＋2ax ，∴4－12＋2a ＝ 0? a ＝ 4.(2) 点 A(x0，f(x0)) 关于直线 x ＝1 的对称点 B 的坐标为 (2 －x0， f(x0)) ，f(2 －x0) ＝(2 －x0)4 －4(2 －x0)3 ＋4(2 －x0)2 －1＝ (2 －x0)2[(2 －x0) －2]2 －1＝ x 40－4x30＋ ax20－ 1＝f(x0) ，∴A 关于直线 x ＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19.解析 f ′(x) ＝3x2＋2ax＋b.(1) 由极值点的必要条件可知：12－4a＋b＝0，f ′( － 2) ＝f ′(4) ＝ 0，即48＋8a＋b＝0，解得 a＝－ 3，b＝－ 24.或f ′(x) ＝ 3x2＋2ax＋b＝3(x ＋2)(x －4)＝3x2－6x－24，也可得 a＝－ 3，b＝－ 24.(2) 由 f ′(x) ＝ 3(x ＋2)(x －4) ．当 x＜－ 2 时， f ′(x) ＞ 0，当－ 2＜x＜4 时， f ′(x) ＜ 0. ∴x＝－ 2 是极大值点，而当x＞4 时， f ′(x) ＞ 0，∴x＝4 是极小值点．20.解析 a≠0( 否则 f(x) ＝b 与题设矛盾 ) ，由f ′(x) ＝ 3ax2－12ax＝0 及 x∈[ － 1,2] ，得 x＝0. (1) 当 a＞0 时，列表：x ( －1,0) 0 (0,2)f ′(x) ＋0 －f(x) 增极大值 b 减由上表知， f(x) 在[ － 1,0] 上是增函数，f(x) 在[0,2] 上是减函数．则当 x＝0 时， f(x) 有最大值，从而b＝3.又f( －1) ＝－ 7a＋3，f(2) ＝－ 16a＋3，∵a＞0，∴ f( －1) ＞f(2) ．从而 f(2) ＝－ 16a＋3＝－ 29，得a＝2.(2)当 a＜0 时，用类似的方法可判断当 x＝0 时 f(x) 有最小值．当x＝2 时， f(x) 有最大值．从而 f(0) ＝b＝－ 29, f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－ 2.综上， a＝ 2，b＝3 或 a＝－ 2，b＝－ 29.21.解析 (1) 由题意得f′(x) ＝ 3ax2＋2x＋b. 因此g( x) ＝f ( x) ＋f′(x)＝ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b.因为函数 g( x)是奇函数，所以g(－x)＝－ g( x)，即对任意实数x，有 a(－ x)3＋(3 a＋1)(－x)2＋( b ＋2)( －x) ＋b＝－ [ ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b] ，从而 3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－1，b＝0，因此f ( x) 的解析式为f ( x) ＝－x3＋x2. 331(2)由(1) 知g( x) ＝－1x3＋2x，所以g′(x) ＝－x2＋2. 3令g′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2，则当x<－2或x> 2时，g′(x)<0，从而 g( x)在区间(－∞，－2]，[ 2，＋∞)上是减函数；当－ 2<x< 2时，g′(x)>0 ，从而g( x) 在[ － 2， 2] 上是增函数．由前面讨论知， g( x)在区间[1,2] 上的最大值与最小值只能在x＝1，2，2 时取得，而g(1)5＝3，g( 2) ＝4 23，g(2)4＝3. 因此g( x)在区间 [1,2] 上的最大值为g( 2) ＝4 2，最小值为3g(2)4＝3.22. 分析解答本题，应先正确求出函数 f ( x)的导数f ′(x)，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．a 2 ax2＋a－2解析 (1) f′(x) ＝ax＋1－1＋x 2＝ax＋1 1＋x 2，∵f ( x)在 x＝1处取得极值，2∴f ′(1)＝0，即 a·1＋a－2＝0，解得 a＝1.(2) f′(x) ＝ax2＋a－22，ax＋1 1＋x∵x≥0， a>0，∴ ax＋1>0.①当 a≥2时，在区间[0，＋∞)上， f ′(x)>0，∴f( x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当 0<a<2 时，由 f ′(x)>0，解得 x> 2－a a.由 f ′(x)<0，解得 x< 2－a a.∴f ( x)的单调减区间为(0, 2－a 2－a a ) ，单调增区间为 ( a，＋∞ ) ．(3) 当a≥2时，由 (2) ①知，f ( x) 的最小值为f (0) ＝1；当 0<a<2，由 (2) ②知，f ( x) 在x＝2－aa 处取得最小值，且2－af ( a )< f (0) ＝1.综上可知，若 f ( x)的最小值为1，则 a 的取值范围是[2，＋∞)．。
高中数学：第一章《导数及其应用》单元测试(1)(选修一)旧人教版
4x 3 3x 2 4x 3.
11、 2sin(4 x
2 ).
12
、（1） 6.8 rad/s; (2)
3
13、（ 1） 215； 210.5 ； 210.05. （ 2） 210.
20 (s).
3
14、 f '( x)
1 (x 0) 1x
不存在（ x 0)
sin 2x sin 2 x
x
x2 .
-2- / 2
()
10
A．
27
10
B.
27
2 C. 128
3
D .以上皆非
6. （ 05 湖北卷）在函数 y x3 8x 的图象上，其切线的倾斜角小于
数的点的个数是
的点中，坐标为整
4
(
)
A．3
B．2
C． 1
D．0
3
x 7. ( 05 全国卷 III )曲线 y 2x
在点（ 1， 1）处的切线方程为
x2
8．函数 y=
的导数为 ______.
sin x
x3
9．函数 y= x 2
在点 x=3 处的导数值为 _____.
3
10．函数 y=2x2－ 3x+4－ 3 x
2 x 2 的导数为 ______.
11．函数 y= sin 2 (2x ) 的导数为 ______. 3
12．在受到制动后的七秒种内飞轮转过的角度（弧度）由函数
(t) 4t－ 0.3t2 给出，求：
（1） t=2( 秒 )时，飞轮转过的角度； (2)飞轮停止旋转的时刻 .
13．动点沿 ox 轴的运动规律由 x=10t+5t 2 给出， 式中 t 表示时间 （单位： s）,x 表示距离 （单 位： m），求在 20≤ t≤ 20+△t 时间段内动点的平均速度，其中 ① △t=1； ② △t= O.1； ③ △t=0.01 当 t=20 时，运动的瞬时速度等于什么？
11-12学年高中数学 第一章 导数及其应用 综合检测 新人教A版选修2-2
导数及其应用综合检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1[答案] A[解析] y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.2．一物体的运动方程为s＝2t sin t＋t，则它的速度方程为( )A．v＝2sin t＋2t cos t＋1B．v＝2sin t＋2t cos tC．v＝2sin tD．v＝2sin t＋2cos t＋1[答案] A[解析] 因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，S′＝2sin t＋2t cos t＋1，故选A.3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是( )A．4B．5C．6D．7[答案] D[解析] 由导数的几何意义知，曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x ＝2时的导数，y′|x＝2＝7，故选D.4．函数y＝x|x(x－3)|＋1( )A．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝1B．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1C．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝f(3)＝1D．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1，f(－1)＝－3[答案] B[解析] y ＝x |x (x －3)|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x 2＋1 (x <0或x >3)－x 3＋3x 2＋1 (0≤x ≤3)∴y ′＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－6x (x <0或x >3)－3x 2＋6x (0≤x ≤3)x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋＋－＋f (x )无极值极大值5极小值1f x 极大f f x 极小f 故应选B.5．(2009·安徽理，9)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3 [答案] A[解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式． ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8， ∴f (2－x )＝2f (x )－x 2－4x ＋4， ∴f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，切线方程为y －1＝2(x －1)，∴y ＝2x －1. 6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 [答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3， ∵f (x )在x ＝－3时取得极值， ∴x ＝－3是方程3x 2＋2ax ＋3＝0的根， ∴a ＝5，故选D.7．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)[答案] D[解析] 令F(x)＝f(x)·g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即F′(x)>0，知F(x)在(－∞，0)内单调递增，又F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)内也单调递增，且由奇函数知f(0)＝0，∴F(0)＝0.又由g(－3)＝0，知g(3)＝0∴F(－3)＝0，进而F(3)＝0于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示∴F(x)＝f(x)·g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故应选D.8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )A．①②B．③④C．①③D．①④[答案] B[解析] ③不正确；导函数过原点，但三次函数在x ＝0不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选B.9．(2010·湖南理，5)⎠⎛241xd x 等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2 [答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x，所以 ⎠⎛241xdx ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2.10．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确 [答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.11．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( ) A ．有最大值152B ．有最大值－152C ．有最小值152D ．有最小值－152[答案] B[解析] 由题意f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在[－1,2]上，f ′(x )≤0恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0f ′(2)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c －3≥04b ＋c ＋12≤0令b ＋c ＝z ，b ＝－c ＋z ，如图 过A ⎝⎛⎭⎪⎫－6，－32得z 最大， 最大值为b ＋c ＝－6－32＝－152.故应选B.12．设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (x ) [答案] C [解析] 令F (x )＝f (x )g (x )则F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0f (x )、g (x )是定义域为R 恒大于零的实数∴F (x )在R 上为递减函数， 当x ∈(a ，b )时，f (x )g (x )>f (b )g (b )∴f (x )g (b )>f (b )g (x )．故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13.⎠⎛－2－1d x(11＋5x )3＝________.[答案]772[解析] 取F (x )＝－110(5x ＋11)2，从而F ′(x )＝1(11＋5x )3则⎠⎛－2－1d x(11＋5x )3＝F (－1)－F (－2)＝－110×62＋110×12＝110－1360＝772. 14．若函数f (x )＝ax 2－1x的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x ′＝a ＋1x2，由题意得，a ＋1x2≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥－1x2，x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥0.15．(2009·陕西理，16)设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．[答案] －2[解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线l ：y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，x ＝n n ＋1，∴a n ＝lg nn ＋1， ∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg 12×23×…×99100＝lg 1100＝－2.16．如图阴影部分是由曲线y ＝1x，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0围成，则其面积为________．[答案] 23＋ln2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x ，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1x得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12.故所求面积S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛121xd x＝23x 32| 10＋ln x | 21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2010·江西理，19)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)求曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 得x 1＝0，x 2＝2.由图可知，所求图形的面积为S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＋|⎠⎛02(2x 2－4x )d x |＝⎠⎛02(2x －x 2)d x －⎠⎛02(2x 2－4x )d x .因为⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3′＝2x －x 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2′＝2x 2－4x ，所以S ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20－⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2⎪⎪⎪2＝4.19．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．[分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )没有极值点． 当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点． 20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.[解析] (1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝x ＋1x，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． (2)设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (x )>g (1)＝16>0，∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.21．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．[分析] 本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)．f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立． 所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时f ′(x )>0. 所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >52.22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋1(a ∈R )．(1)若函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上递减，求a 的值； (2)当x ∈[0,1]时，设函数y ＝f (x )图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，求θ的取值范围；(3)在(1)的条件下，是否存在实数m ，使得函数g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象与函数y ＝f (x )的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m 的值；若不存在，试说明理由．[解析] (1)依题意f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，由f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，得－3⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ·23＝0，即a ＝1.(2)当x ∈[0,1]时，tan θ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a23.由a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，得a 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. ①当a 3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，即a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3时，f ′(x )max ＝a 23，f (x )min ＝f ′(0)＝0.此时0≤ta n θ≤a 23.②当a3∈(1，＋∞)，即a ∈(3，＋∞)时，f ′(x )max ＝f ′(1)＝2a －3，f ′(x )min ＝f ′(0)＝0，此时，0≤tan θ≤2a －3.又∵θ∈[0，π)，∴当32<a ≤3时，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，arctan a 23， 当a >3时，θ∈[0，arctan(2a －3)]．(3)函数y ＝f (x )与g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象恰有3个交点，等价于方程－x 3＋x 2＋1＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1恰有3个不等实根，∴x 4－4x 3＋(1－m )x 2＝0，显然x ＝0是其中一个根(二重根)，方程x 2－4x ＋(1－m )＝0有两个非零不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16－4(1－m )>01－m ≠0∴m >－3且m ≠1故当m >－3且m ≠1时，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象恰有3个交点．。
汉寿一中数学选修2-2第一章导数及其应用练习卷四
汉寿一中数学选修2-2第一章导数及其应用练习卷四（单元检测）一、选择题：1．设'0()2f x =，则000()()lim 2k f x k f x k®--=（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．12 2．过原点作曲线x y e =的切线，则切点坐标是（ ）A ．(1,)eB ．(0,)eC ．(,1)eD ．(,0)e3．sin ()cos(sin )x f x e x =，则'(0)f =（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．24．若曲线()y h x =在点(,())P a h a 处的切线方程为210x y ++=，那么（ ）A ．'()0h a <B ．'()0h a >C ．'()0h a =D ．'()h a 的符号无法确定5．定积分21(30x dx +ò等于（ ） A ．44ln 33- B ．42ln 3+ C ．44ln 33-- D ．42ln 3-+ 6．sin cos 0t x e tdt =ò（ ） A ．cos 1x e - B ．sin sin 1x e x - C ．sin cos 1x e x - D ．sin 1x e -7．函数4()4f x x x =-在[1,2]-上的最大、最小值分别为（ ）A ．(1)f 与(1)f -B ．(1)f 与(2)fC ．(1)f -与(2)fD ．(2)f 与(1)f -8．对于函数3()x f x xì=íî (0)(0)x x <³，下列说法正确的是（ ） A ．在(,)-¥+¥上单调递增 B ．在(,)-¥+¥上单调递减C ．在0x =处无意义D ．(0,)x Î+¥时单调递增，(,0)x Î-¥时单调递减9．已知2'()2(1)f x x xf =+，则'(0)f =（ ）A ．0B ．2-C ．4-D ．210．函数()(4)0x f x t t dt =-ò在[1,5]-上（ ） A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值和最小值C ．有最小值，无最大值D ．无最值11．在半径为r 的半圆内作一个内接梯形，使其底为直径，其他三边为半圆的弦，则当梯形面积最大时，其上底长为（ ）A ．2rB ．2rC ．3r D ．r 12．关于函数32()3f x x x =-，给出下列命题：①()f x 在R 上单调递增，无极值；②()f x 在R 上单调递减，无极值；③()f x 的单调递增区间为(,0)-¥和(2,)+¥，单调递减区间为(0,2)；④(0)0f =是极大值，(2)4f =-是极小值。
第一章导数及其应用单元测试_A———高中数学选修2-2
第一章导数及其应用单元测试(A)参考答案
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一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A D A C B
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21． （本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) = x - 3 x.
3
（1）求曲线 y = f ( x ) 在点 x = 2 处的切线方程； （2）若过点 A(1, m) ( m ¹ -2) 可作曲线 y = f ( x ) 的三条切线，求实数 m 的取值范围.
a2 ， g ( x ) = x + ln x ，其中 a > 0 ． 22． （本小题满分14分）已知函数 f ( x ) = x + x （1）若 x = 1 是函数 h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) 的极值点，求实数 a 的值；
第一章导数及其应用单元测试(A)
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. f ( x) = x , f '( x0 ) = 6 ，则 x0 = (
3
) D. ±1
b
A． 2 2．设连续函数
B. - 2
C. ± 2
f ( x) > 0 ，则当 a < b 时，定积分 òa f ( x )dx 的符号
2 3 21．解（1） f ¢( x ) = 3 x - 3, f ¢(2) = 9, f (2) = 2 - 3 ´ 2 = 2
………………………2 分
高中数学第一章导数及其应用单元质量测评新人教A版选修22
高中数学第一章导数及其应用单元质量测评新人教A版选修22 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题，共60分)答案C解析由导数的运算法则易得，注意A选项中的a为常数，所以(sin a)′＝0.答案B答案 C答案 C答案 B答案 B7.设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )A.∀x∈R，f(x)≤f(x0)B.－x0是f(－x)的极小值点C.－x0是－f(x)的极小值点D.－x0是－f(－x)的极小值点答案 D解析函数f(x)的极大值f(x0)不一定是最大值，故A错误；f(x)与－f(－x)关于原点对称，故x0(x0≠0)是f(x)的极大值点时，－x0是－f(－x)的极小值点，故选D.答案 D9.直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A.2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4 答案 D解析 由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4|20＝4.10.关于x 的方程x 3－3x 2－m ＝0有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是( ) A.(0,1) B ．(－∞，0) C.(1，＋∞) D ．(－4,0)答案 D解析 令g(x )＝x 3－3x 2，则可知函数g(x )的极大值为0和极小值为－4，则得出m 的取值范围是(－4,0).答案 B答案 D第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝2，则实数k ＝________.答案 1解析 ∵⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝(x 2＋k x )10＝1＋k ，∴1＋k ＝2，∴k ＝1.14.已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________. 答案 3解析 因为 f ′(x )＝(2x ＋3)e x ，所以f ′(0)＝3.答案 2解析 ∵f (x )＝x ＋12＋sinx x 2＋1＝1＋2x ＋sinxx 2＋1， 令g(x )＝2x ＋sinxx 2＋1，∴f ′(x )＝g′(x )＝2－2x 2＋x 2＋1cosx －2xsinxx 2＋12.∵g(－x )＝－g(x )，∴f ′(－x )＝f ′(x ).∴f (2019)＋f ′(2019)＋f (－2019)－f ′(－2019)＝1＋g(2019)＋f ′(2019)＋1－g(2019)－f ′(2019)＝2.16.已知函数f (x )＝x ＋3a2x－2a ln x 在区间(1,2)内是增函数，则实数a 的取值范围是______.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 解析 f ′(x )＝1－3a 2x 2－2a x ，由已知得1－3a 2x 2－2a x≥0在x ∈(1,2)内恒成立，即x 2－2ax－3a 2≥0在x ∈(1,2)内恒成立．设g(x )＝x 2－2ax －3a 2，则⎩⎪⎨⎪⎧g 1≥0，a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧g 2≥0，a ≥2或Δ＝(－2a )2＋12a 2≤0，解得－1≤a ≤13或a 无解或a ＝0，所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，求过P 的切线l 与C围成的图形的面积.18.(本小题满分12分)已知f (x )＝ax 3＋b x 2＋c x (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1.(1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由.解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2 b x ＋c ，因为x ＝±1是函数f (x )的极值点，所以x ＝±1是方程f ′(x )＝0即3ax 2＋2 b x ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2b3a＝0，①c3a ＝－1，②又f (1)＝－1，所以a ＋b ＋c ＝－1.③ 由①②③，解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)因为f (x )＝12x 3－32x ，所以f ′(x )＝32x 2－32＝32·(x －1)·(x ＋1)．当x <－1或x >1时，f ′(x )>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0.所以函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．所以当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1，x ＝－1为极大值点；当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1，x ＝1为极小值点.19.(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx －3在x ＝1处取得极值，且在(0，－3)点处的切线与直线2x ＋y ＝0平行.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g(x )＝xf (x )＋4x 的单调递增区间及极值. 解 (1)由f (x )＝ax 2＋bx －3，可得f ′(x )＝2ax ＋b . 由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝0，f ′0＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，b ＝－2.解得a ＝1，b ＝－2. 所以f (x )＝x 2－2x －3.(2)由题意得，g(x )＝xf (x )＋4x ＝x 3－2x 2＋x ， 所以g′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(3x －1)(x －1). 令g′(x )＝0，得x 1＝13，x 2＝1.所以函数g(x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13，(1，＋∞).极大值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427，极小值为g(1)＝0. 20.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －ax 2－(1－2a )x (a >0). (1)若存在x >0，使得不等式f (x )>6a 2－4a 成立，求实数a 的取值范围；(2)设函数y ＝f (x )图象上任意不同的两点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为C (x 0，y 0)，记直线AB 的斜率为k ，证明k >f ′(x 0).解 (1)因为f (x )＝ln x －ax 2－(1－2a )x ，其定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝1x －2ax －(1－2a )＝－x －12ax ＋1x ，因为a >0，x >0，所以2ax ＋1>0，所以当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)上单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减；从而当x ＝1时，f (x )取得最大值f (1)＝ln 1－a －(1－2a )＝a －1，由题意得a －1>6a 2－4a ，解得13<a <12， 即实数a 的取值范围⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12. (2)证明：因为f ′(x )＝1x－2ax －(1－2a )， 所以f ′(x 0)＝1x 0－2ax 0－(1－2a )＝2x 1＋x 2－a (x 1＋x 2)－(1－2a )， 又k ＝f x 2－f x 1x 2－x 1＝ [ln x 2－ax 22－1－2a x 2]－[ln x 1－ax 21－1－2a x 1]x 2－x 1＝ln x 2－ln x 1－a x 22－x 21－1－2ax 2－x 1x 2－x 1＝ln x 2x 1x 2－x 1－a (x 2＋x 1)－(1－2a ). 不妨设x 2>x 1>0，要证明k>f ′(x 0)，即证明lnx 2x 1x 2－x 1－a (x 2＋x 1)－(1－2a )>2x 1＋x 2－a (x 1＋x 2)－(1－2a )， 只需证明lnx 2x 1x 2－x 1>2x 1＋x 2，即证明ln x 2x 1>2x 2－x 1x 2＋x 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－1x 2x 1＋1， 构造函数g(x )＝ln x －2x －1x ＋1， 则g′(x )＝1x －4x ＋12＝x －12x x ＋12≥0， 所以g(x )在[1，＋∞)上是增函数，当x >1时，g(x )>g(1)＝0，又x 2x 1>1， 所以ln x 2x 1>2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－1x 2x 1＋1，从而k>f ′(x 0)成立. 21.(本小题满分12分)一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km /h 时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km /h ，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解 设火车的速度为x km /h ，甲、乙两城距离为a km .由题意，令40＝k·203，∴k＝1200， 则总费用f (x )＝(k x 3＋400)·a x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫k x 2＋400x . ∴f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1200x 2＋400x (0<x ≤100). 由f ′(x )＝a x 3－40000100x2＝0，得x ＝2035. 当0<x <2035时，f ′(x )<0；当2035<x <100时，f ′(x )>0，∴当x ＝2035时，f (x )取最小值，即速度为2035 km /h 时，总费用最少.22.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x －a ln x ＋1＋a x(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若在[1，e](e ＝2.71828…)上存在一点x 0，使得f (x 0)≤0成立，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )＝x －a ln x ＋1＋a x，x ∈(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝1－1＋a x 2－a x ＝x 2－ax －1＋a x 2＝x ＋1[x －1＋a ]x 2，x ∈(0，＋∞)，①当1＋a ≤0，即a ≤－1时，在(0，＋∞)上总有f ′(x )≥0，所以，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增.②当1＋a >0时，即a >－1时，在区间(0,1＋a )上f ′(x )<0，在区间(1＋a ，＋∞)上f ′(x )>0，所以f (x )在(0,1＋a )单调递减，在(1＋a ，＋∞)单调递增.(2)在[1，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)≤0成立，即函数f (x )＝x －a ln x ＋1＋a x在[1，e]上的最小值不大于0， 由(1)知，当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )在[1，e]上单调递增，f (x )的最小值是f (1)，有f (1)＝1＋1＋a ≤0，得a ≤－2.当a >－1时：①当1＋a ≥e，即a ≥e－1时，f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )的最小值是f (e)，由f (e)＝e ＋1＋a e －a ≤0可得a ≥e 2＋1e －1， 因为e 2＋1e －1>e －1，所以a ≥e 2＋1e －1. ②当1＋a ≤1，即a ≤0时，f (x )在[1，e]上单调递增，f (x )的最小值是f (1)，有f (1)＝1＋1＋a ≤0，得a ≤－2，这与a >－1矛盾，③当1<1＋a <e ，即0<a <e －1时，可得f (x )的最小值是f (1＋a )，因为0<ln (1＋a )<1，所以有0<a ln (1＋a )<a ，故有f (1＋a )＝a ＋2－a ln (1＋a )>2，此时f (1＋a )≤0不成立.综上所述，所求a 的取值范围是a ≤－2或a ≥e 2＋1e －1.。
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选修1-1导数及其应用单元检测 班级_____________姓名_______________分数______________
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)
1．设函数y ＝f (x )在(a ，b )上可导，则f (x )在(a ，b )上为增函数是f ′(x )>0的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．设函数f(x)在0x 处可导，则x
x f x x f x ∆-∆-→∆)
()(lim 000
等于 （ ）
A ．
)('0x f B ．)('0x f - C ．()0'f x - D ．()0'f x --
3．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程是2x ＋y －1＝0，则( )
A ．f ′(x 0)>0
B ．f ′(x 0)<0
C ．f ′(x 0)＝0
D ．f ′(x 0)不存在
4．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－5
3)处切线的倾斜角为( )
A ．30°
B ．45°
C ．135°
D ．150°
5．已知曲线方程为2
y x =，则过点B （3,5）且与曲线相切的直线方程 ( ) A ．210x y --= B ．21010250x y x y --=--=或 C.10250x y -+= D ．21010250x y x y +-=--=或 6．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A ．y ＝sin 2x
B ．y ＝x 3－x
C ．y ＝x e x
D ．y ＝－x ＋ln(1＋x )
7.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下图所示，则导函数y=f '(x)可能为（ ）
8．已知函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ，x ∈(－2,2)，则f (x )有( )
A ．极大值5，极小值为－27
B ．极大值5，极小值为－11
C ．极大值5，无极小值
D ．极小值－27，无极大值 9．函数y ＝2x 3＋x 2的单调递增区间是( )
A ．(－∞，－13)∪(0，＋∞)
B ．(－1
6
，＋∞)
A
B
C
D
C ．(－∞，－13)和(0，＋∞)
D ．(－∞，－1
6
)
10．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝1
a 处有极值，则ac ＋2
b 的值为( )
A ．－3
B ．0
C ．1
D ．3
11. 设函数f(x)＝kx 3＋3(k －1)x 22k -＋1在区间（0，4）上是减函数，则k 的取值范围是 （ ）
A.13
k <
B.1
03
k <≤
C.103
k ≤≤
D.13
k ≤
12.对于R 上可导的任意函数f(x)，且()'10f =若满足()()1'0x f x ->，则必有（ ） A. f (0)＋f (2)<2f (1) B. f (0)＋f (2)≥2f (1) C. f (0)＋f (2)>2f (1) D. f (0)＋f (2)≥2f (1)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13. 函数sin x
y x
=的导数为_________________
14. 已知函数
3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则
M m -=____________________．
15．若函数f (x )＝1
3
x 3－f ′(1)·x 2＋2x ＋5，则f ′(2)＝__________________.
16．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0， 且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集___________________.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．) 17．(10分)已知函数
()3126f x x x =-++
(1)求函数()f x 的极值；(2)求函数()f x 在区间[]3,1-的最值．
18．(12分)用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面的长比宽多
0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积．
19．(12分)设函数()3239f x x x x a =-+++ (1)求()f x 的单调递减区间；
(2)若()f x 在区间[]2,2-上的最大值为-20，求它在开区间的最小值．
20．(2010·北京)(12分)设函数f (x )＝a
3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两根分别为1,4.
(1)当a ＝3，且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．
21．(12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图像经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线 x ＋9y ＝0垂直．
(1)求实数a ，b 的值；
(2)函数()9g x x m =+若方程()()f x g x =在[)1,-+∞有两个不相等的实根，求m 的取值范围．
22．(2010·全国Ⅰ)(12分)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1. (1)若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1，求a 的取值范围； (2)证明：(x －1)f (x )≥0.。