直线与圆的位置关系课件修改版(2)
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高中数学同步教学课件 直线与圆的位置关系 (2)
2．已知圆心为 C 的圆，满足下列条件：圆心 C 位于 x 轴正半轴上，圆 C 与 直线 3x－4y＋7＝0 相切，且被 y 轴截得的弦长为 2 3 ，圆 C 的面积小于 13. (1)求圆 C 的标准方程； (2)设过点 M(0，3)的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A，B，以 OA，OB 为邻 边作平行四边形 OADB.是否存在这样的直线 l，使得直线 OD 与 MC 恰好平 行？如果存在，求出 l 的方程；如果不存在，请说明理由．
A，B 两点，则四边形 PAOB 面积的最小值为
．
解析：如图所示，因为 S 四边形 PAOB＝2S△POA.又 OA⊥AP，
所以 S 四边形 PAOB＝2×12 |OA|·|PA|
＝2 |OP|2－|OA|2 ＝2 |OP|2－4 .
为使四边形 PAOB 面积最小，当且仅当|OP|达到最小，
即为点 O 到直线 2x＋y＋10＝0 的距离：|OP|min＝
为
．
[解析] ∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点 A 在圆外．
当直线 l 的斜率不存在时，l 的方程是 x＝－1，不满足题意．
设直线 l 的斜率为 k，则切线 l 的方程为 y－4＝k(x＋1)，即 kx－y＋4＋k＝0.
圆心(2，3)到切线
l
的距离为|2k－3＋4＋k| k2＋1
＝1，解得 k＝0 或 k＝－34
综上可知，满足题意的直线有两条，
对应的方程分别为 x＝－3 或 3x＋4y＋15＝0.
通性通法
求弦长的两种方法 (1)由半径长 r、弦心距 d、弦长 l 的一半构成直角三角形，利用勾股 定理 d2＋2l 2 ＝r2 求解，这是常用解法； (2)联立直线与圆的方程，消元得到关于 x(或 y)的一元二次方程，利 用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入 两点间距离公式求解．此解法很烦琐，一般不用．
必修2：4.2.1直线与圆的位置关系课件
直线 l是⊙A的
割线
r
r
d
d
C
C
l
直线 l与⊙A
相切 d ＝r
直线 l与⊙A
相离 d ＞r
唯一公共点
直线 l是⊙A的
切线 点C是切点
没有公共点
例１：k为何值时直线2x+y=k①与圆x2+y2=4② 相交；相切；相离。 解：利用直线与圆的位置关系判定d与r大小
思考:能否①代入②求解方程组，判定Δ，从而确 定直线与圆的位置关系？
5、已知圆x2+y2=25上到直线4x+3y-20=0 的距 离等于4的点的个数为 .
变1：已知圆x2+y2=25上到直线4x+3y-20=0 的距 离等于h的点的个数只有3个，则h的值＝——.
解：设P(x, y), O(0,0) y y 0 表示直线OP的斜率。 x x0 又由题义可知 P在圆(x 2)2 y2 1上。 问题转化为：在圆上作 一点P，使直线 OP的斜率 最大，求此斜率的最大 值。
课堂小结：
1、通过本课学习，应知道直线与圆有三种位置关系。
2、会根据数量关系和几何关系来判断直线与圆的位置 关系。
3、掌握切线的最基本的判定方法：d=r，会求圆的切 线；注意讨论直线的斜率； 4、掌握直线被圆所截的得弦长求法： ⑴几何法：用弦心距，半径及半径构成
直角三角形的三边 ⑵代数法：弦长公式：
y
受台风影响的圆形区域的圆的方程：
x2+y2=9 轮船航线所在直线的方程为：
4x+7y-28=0
港口
轮船
O
x
问题归结为：圆与直线有无公共点？
直线与圆的位置关系
观察
思考：
割线
r
r
d
d
C
C
l
直线 l与⊙A
相切 d ＝r
直线 l与⊙A
相离 d ＞r
唯一公共点
直线 l是⊙A的
切线 点C是切点
没有公共点
例１：k为何值时直线2x+y=k①与圆x2+y2=4② 相交；相切；相离。 解：利用直线与圆的位置关系判定d与r大小
思考:能否①代入②求解方程组，判定Δ，从而确 定直线与圆的位置关系？
5、已知圆x2+y2=25上到直线4x+3y-20=0 的距 离等于4的点的个数为 .
变1：已知圆x2+y2=25上到直线4x+3y-20=0 的距 离等于h的点的个数只有3个，则h的值＝——.
解：设P(x, y), O(0,0) y y 0 表示直线OP的斜率。 x x0 又由题义可知 P在圆(x 2)2 y2 1上。 问题转化为：在圆上作 一点P，使直线 OP的斜率 最大，求此斜率的最大 值。
课堂小结：
1、通过本课学习，应知道直线与圆有三种位置关系。
2、会根据数量关系和几何关系来判断直线与圆的位置 关系。
3、掌握切线的最基本的判定方法：d=r，会求圆的切 线；注意讨论直线的斜率； 4、掌握直线被圆所截的得弦长求法： ⑴几何法：用弦心距，半径及半径构成
直角三角形的三边 ⑵代数法：弦长公式：
y
受台风影响的圆形区域的圆的方程：
x2+y2=9 轮船航线所在直线的方程为：
4x+7y-28=0
港口
轮船
O
x
问题归结为：圆与直线有无公共点？
直线与圆的位置关系
观察
思考：
《直线和圆的位置关系》圆PPT课件(第2课时)
观察与思考 与△ABC的三条边都相切的圆有几个？ 因为∠B和∠C的平分线的交点只有一个,并且交 点O到△ABC三边的距离相等且唯一，所以与 △ABC三A边都相切的圆有且只有一个.
O
B
C
D
概念学习
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
3.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
O
E
B
PC
∴∠OPB=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
5.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以
O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.
求证证明：：CD连与接⊙OOM相，切过．点O作
ON⊥CD于点N，
N
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC.
M
又∵ON⊥CD，O为正方形
ABCD对角线AC上一点，
是圆的切线.
要点归纳 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，
我们说这条直线是圆的切线; 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等
于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
l
dr
l
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.
O Al
做一做 用三角尺过圆上一点画圆的切线.
讲授新课
一 圆的切线的判定
合作探究
问题1 如图，OA是⊙O的半径， 经过OA 的外端点A， 作一条
直线l⊥OA，圆心O 到直线l 的距离是多少？ 直线l 和⊙O有
怎样的位置关系？
ll
由圆的切线定义可知直线l 与圆 O 相切.
圆心O到直线l的
ll
课件《直线和圆的位置关系》优秀课件完整版_人教版2
思A、考相：交直线和B、圆相的切位置C关、系相有离几种D？、相切或相交 直点线到和 圆圆心只的有距一离个为公d，共圆点的，半径为r，则：
思考
直线与圆有第四种关系吗？ 希点望和大 圆家的如位这置朝关阳系有, 几种？
点即在直圆 线上与圆是否d=有r；第三个交点？ “3、直当线r满和足圆_的__位__置__关_时系，”能否像“点和圆的位置关系”一样进行数量分析？
希望大家如这朝阳,
1、P110——1、2、
在Rt△ABC中∠C= 90°，AC=3cm，BC=4cm，以点C为圆心,r长为半径的圆与AB有怎样的关系？为什么？
2、把圆形教具固定在桌面上，把直尺看作直线，移动直尺，即圆不动线动。
本节课你学到了那些知识？
1、在纸上画一条直线，把圆形教具的边缘看作圆，在纸上移动圆形教具，即线不动圆动。
1、在 当纸r满上足画__一__条__直__线__，__把_时圆，形⊙教C具与的直边线缘A看B相作离圆。，在纸上移动圆形教具，即线不动圆动。
毛本主节席 课曾你说学过到：了“那我些们知的识青？少年好比早上8、9点钟的太阳。
有直哪线些 和收圆获只?有与一同个伴公分共享点。，
12、在 把纸圆上形画教一具条固直定线在，桌把面圆上形，教把具直的尺边看缘作看直作线圆，，移在动纸直上尺移，动即圆形不教动具线，动即。线不动圆动。
距离为4cm，则直线l与⊙O的位置关系是……（ D）
A、相交 B、相切 C、相离 D、相切或相交
P
P
4cm
4cm
l
l
A
A
3、 已知⊙A的直径为6，点A的坐标为
（-3，-4），则X轴与⊙A的位置关系是_相__离__, Y 轴与⊙A的位置关系是__相__切__。
2.5.1 直线与圆的位置关系(第2课时)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第一册)
x
圆的最值
1
解：（1）x 和 y 满足以(－1，0)为圆心，以 为半径的圆
2
（x－2）2＋（y－3）2表示圆上的点（x,y）到点 M(2，3)的距离，
1
1
因为|CM|＝3 2，因此最大值为 3 2＋ ，最小值为 3 2－ .
2
2
y
（2） 可认为是圆上的点与坐标原点连线的斜率，由图形知当过原点的直线与圆
因为 > 0,所以 =
2
2
= 14.52
+ + 10.5
2
= 14.52 .
14.52 − (−2)2 − 10.5 ≈ 14.36 − 10.5 = 3.86(m).
直线与圆的位置关系应用
例2.一个小岛的周围有环岛暗礁, 暗礁分布在以小岛中心为圆心, 半径为20km的圆形区域内. 已知
小岛中心位于轮船正西40km处, 港口位于小岛中心正北30km处. 如果轮船沿直线返港, 那么它是
离为 1 即可．设圆心(0，0)到直线 12x－5y＋c＝0 的距离为 d，则 r－d>1，所以
|c|
d<r－1＝1.即 <1，解得－13<c<13.
13
圆的最值
总结
当直线与圆相交时，设圆心到直线的距离为 d(d＞0)，圆的半径为 r，则圆上
的点到直线的最大距离为 r＋d，劣弧上的点到直线的最大距离为 r－d.
人教A版2019选修第一册
第 二 章 直线和圆的方程
2.5.1 直线与圆的位置关系
学习目标
1.能正确理解直线与圆的方程，培养数学抽象的核心素养；
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学运算、逻辑推
圆的最值
1
解：（1）x 和 y 满足以(－1，0)为圆心，以 为半径的圆
2
（x－2）2＋（y－3）2表示圆上的点（x,y）到点 M(2，3)的距离，
1
1
因为|CM|＝3 2，因此最大值为 3 2＋ ，最小值为 3 2－ .
2
2
y
（2） 可认为是圆上的点与坐标原点连线的斜率，由图形知当过原点的直线与圆
因为 > 0,所以 =
2
2
= 14.52
+ + 10.5
2
= 14.52 .
14.52 − (−2)2 − 10.5 ≈ 14.36 − 10.5 = 3.86(m).
直线与圆的位置关系应用
例2.一个小岛的周围有环岛暗礁, 暗礁分布在以小岛中心为圆心, 半径为20km的圆形区域内. 已知
小岛中心位于轮船正西40km处, 港口位于小岛中心正北30km处. 如果轮船沿直线返港, 那么它是
离为 1 即可．设圆心(0，0)到直线 12x－5y＋c＝0 的距离为 d，则 r－d>1，所以
|c|
d<r－1＝1.即 <1，解得－13<c<13.
13
圆的最值
总结
当直线与圆相交时，设圆心到直线的距离为 d(d＞0)，圆的半径为 r，则圆上
的点到直线的最大距离为 r＋d，劣弧上的点到直线的最大距离为 r－d.
人教A版2019选修第一册
第 二 章 直线和圆的方程
2.5.1 直线与圆的位置关系
学习目标
1.能正确理解直线与圆的方程，培养数学抽象的核心素养；
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学运算、逻辑推
2直线与圆的位置关系PPT课件(北京课改版)
l .O
1) 相离
.O1
.O2
l
●
●
2) 直线l与O1相离 l 直线l与 O2相交
l .O
●
3) 相切
● .
O
●4) 相交
直线与圆的位置关系量化
如图，圆心O到直线的距离d与⊙O的半径r的大小有什 么关系？
r ● O┐d
相交 1)直线和圆相交 2) 直线和圆相切 3) 直线和圆相离
r ● Od ┐
相切 d<r；
解 过O 作OD⊥CA 交CA 于D. 在Rt△CDO 中， ∠C = 30°， ∴ OD 12OC = 3(cm). 即圆心O 到直线CA 的距离d=3 cm.
(1) 当r=2.5cm 时，有d>r， 因此⊙O 与直线CA 相离； (2) 当r=3cm 时，有d=r， 因此⊙O 与直线CA 相切； (3) 当r=5cm 时，有d<r， 因此⊙O 与直线CA 相交.
的 割线
直线 l叫做⊙A 点C叫做
的 切线
切点
如图，在Rt△ABC中∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm. 以点C为圆心，2cm，2.4cm，3cm分别为半径画⊙C，斜 边AB分别与⊙C有怎样的位置关系？为什么？
解：如图29-2-4，过点C作CD⊥AB，垂足 为D．在Rt△ABC中， AB AC2 BC2 32 42 （ 5 cm）. 由三角形的面积公式，并整理，得
把钥匙环看作一个圆，把直尺边缘看成一条直线. 固定圆，平移直尺，
直线和圆分别有几个公共点？
两个公共 点●
O
一个公共
没有公共点
点 ● 直线与圆的交点●个
O 数可判定它们关O系
相交
相切
相离
人教版数学九年级上册24.直线和圆的位置关系(第2课时)课件
O.
图1
图2
猜猜看：图2中直线l与⊙O由怎样的位置关系？
相切的语言把这一结论总结出来吗？
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直
线是圆的切线
符号表示： ∵OA是⊙O半径，l⊥OA于点A， ∴l是的⊙O切线.
及时练
问题：定理中的两个条件缺少一个行不行?
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ×） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ×）
03
练习
例1
如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与 ⊙O相切于点D. 求证：AC是⊙O的切线.
分析：根据切线的判定定理，要证明AC是 ⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂 线段OE是⊙O的半径就可以了，而OD是的 半径，因此需要证明OE=OD.
例1
证明：如图，过点 O 作 OE⊥AC，垂足为 E，连接 OD，OA. ∵⊙O 与 AB 相切于点 D， ∴OD⊥AB. 又为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点， ∴AO 是∠BAC 的平分线. ∴OE=OD，即 OE 是⊙O 的半径. 这样，AC 经过⊙O 的半径 OE 的外端 E，并且垂直于半径 OE，所以 AC 与⊙O 相切.
1.要解决此问题用什么方法？ 切线的判定定理 2.AB要具备哪些条件？ 经过半径的外端并且垂直于这条半径 3.连接OB就使AB过半径的外端，只需证明 OB⊥AB即可，如何证明呢？
例
常用证两条 线段（或直 线）垂直的 方法
例
证法1：连接OB ∵OB=OC,CA=OC ∴BC= 1 OA
2
∴ ∠OBA=90º， 即AB⊥OB ∴AB是⊙O的切线
反证法：假设AB与OC不垂直， 则过点O作OM⊥AB，垂足为M， 根据垂线段最短，得OM<OC， 即圆心O到直线AB的距离d<R ∴直线AB与⊙O相交， 这与已知“AB是⊙O的切线”矛盾 ∴假设不成立，即AB⊥OC.
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有两个公共点，则实数
5 5 或k k的取值范围是___________. 2 2 k
【变式2】已知直线 l : y x b 与曲线y 4 x 2
b2 2 有两个公共点，则实数 b 的取值范围是 2________.
5.课堂小结：
☆知识：1、直线与圆的位置关系； ☆思想：1、数形结合； ☆方法：
4b2 32
① ②
当 2 2 b 2 2时,即 0，直线和圆的位置关系是相交
当b 2 2时,即=0，直线和圆的位置关系是相切
当b 2 2或b 2 2时，即<0，直线和圆的位置关系是相离
【变式1】已知直线 l : y kx 3 和圆 C：x 2 y 2 4 ，
2 2
消去y（或x）
px 2 qx t 0
d r : 相交 d r : 相切 d r : 相离
0 : 相交 0 : 相切 0 : 相离
4.例题解析 例1:已知直线 l : y x b 和圆 C：x y 4 ，当 实数 b 取何值时，直线与圆相交？相切？相离？
1.问题引入
船长SOS 现在台风“海燕” 正在移动，准备袭 击海南省时，一艘轮船在沿直线返回海南港 口的途中，船长接到气象台的台风预报：台 风中心位于轮船正西60km处，受影响的范围 是半径长为50km的圆形区域．已知海南港口 位于台风中心正北60km处，如果这艘轮船不 改变航线，那么它是否会受到台风“海燕” 的影响？
3. 得出新知
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝ r 2 已知直线l：Ax＋By＋C＝0
几何法
2 （x a） ( y b)2 r 2
解析法
( x a ) 2 ( y b) 2 r 2 Ax By C 0
Ax By C 0
d
Aa Bb C A B
d
006
6 3 2„„ 2 12 12
„„
求距离 比大小
d 3 2 r 5
所以，直线 l 与圆相交,船长要
改变航线.
„„
作结论
已知直线 l：x
2 2
y 6 0和圆心为O的圆
x y 25 ，判断直线 l与圆 O 的位置关系；
分析 :根据直线与圆的方程组成的方程组解的情况来 判断（解析法） 解法二：
x y 6 0 建立方程组 2 2 x y 25
2 消去y, 得 2 x 12x 11 0
① „„ ②
联立方程组 消元 计算 结 论
由①可得 y x 6 代入②，
„„
-12 - 4 2 11 56 0
2
„„ „„
所以，直线 l 与圆相交．船长要 改变航线.
港口 60km
60km
思考：你能用初中所学的平面几何知识来解决这一问题吗？
同升湖实验学校高中部 数学组
为解决这个问题，我们以台风中心为原点 O， 东西方向为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系， 其中取 10km 为单位长度．
这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的 圆的方程为:
x y 25
几何法 1 解析法
2
让我们撑着载满知识的风帆，创 造美好的家园，抵达理想的彼岸……
2 2
y
6
渔船航线所在直线 l 的方程为：
港口
x y 6 0
-5
ห้องสมุดไป่ตู้
O
5
渔船
6
x
问题归结为圆心为O的圆与直 线l的位置关系．
2.合作解决问题
已知直线 l： x
y 6 0 和圆心为O的圆 x 2 y 2 25
判断直线l 与圆 O的位置关系； 分析：依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直 线 与圆的位置关系（几何法）； 解法一：圆 x 2 y 2 25 其圆心O的坐标为（0，0）,半径长为 5 点O（0，0）到直线 l的距离
当b 2 2或b 2 2时，即d r，直线和圆的位置关系是相离
例1:已知直线 l : y x b 和圆 C：x y 4 ，当 实数 b 取何值时，直线与圆相交？相切？相离？
2 2
y xb 解法二： 建立方程组 2 2 x y 4
由① y x b 代入②， 消去y, 得 2 x 2 2bx b2 4 0
2 2
解法一：圆x2
y 2 4 其圆心O的坐标为（0，0）,半径长为 2 ，
00b 12 12 b 2
点O（0，0）到直线 l : x y b 0的距离
d
当 2 2 b 2 2时,即d r，直线和圆的位置关系是相交
当b 2 2时,即d r，直线和圆的位置关系是相切
5 5 或k k的取值范围是___________. 2 2 k
【变式2】已知直线 l : y x b 与曲线y 4 x 2
b2 2 有两个公共点，则实数 b 的取值范围是 2________.
5.课堂小结：
☆知识：1、直线与圆的位置关系； ☆思想：1、数形结合； ☆方法：
4b2 32
① ②
当 2 2 b 2 2时,即 0，直线和圆的位置关系是相交
当b 2 2时,即=0，直线和圆的位置关系是相切
当b 2 2或b 2 2时，即<0，直线和圆的位置关系是相离
【变式1】已知直线 l : y kx 3 和圆 C：x 2 y 2 4 ，
2 2
消去y（或x）
px 2 qx t 0
d r : 相交 d r : 相切 d r : 相离
0 : 相交 0 : 相切 0 : 相离
4.例题解析 例1:已知直线 l : y x b 和圆 C：x y 4 ，当 实数 b 取何值时，直线与圆相交？相切？相离？
1.问题引入
船长SOS 现在台风“海燕” 正在移动，准备袭 击海南省时，一艘轮船在沿直线返回海南港 口的途中，船长接到气象台的台风预报：台 风中心位于轮船正西60km处，受影响的范围 是半径长为50km的圆形区域．已知海南港口 位于台风中心正北60km处，如果这艘轮船不 改变航线，那么它是否会受到台风“海燕” 的影响？
3. 得出新知
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝ r 2 已知直线l：Ax＋By＋C＝0
几何法
2 （x a） ( y b)2 r 2
解析法
( x a ) 2 ( y b) 2 r 2 Ax By C 0
Ax By C 0
d
Aa Bb C A B
d
006
6 3 2„„ 2 12 12
„„
求距离 比大小
d 3 2 r 5
所以，直线 l 与圆相交,船长要
改变航线.
„„
作结论
已知直线 l：x
2 2
y 6 0和圆心为O的圆
x y 25 ，判断直线 l与圆 O 的位置关系；
分析 :根据直线与圆的方程组成的方程组解的情况来 判断（解析法） 解法二：
x y 6 0 建立方程组 2 2 x y 25
2 消去y, 得 2 x 12x 11 0
① „„ ②
联立方程组 消元 计算 结 论
由①可得 y x 6 代入②，
„„
-12 - 4 2 11 56 0
2
„„ „„
所以，直线 l 与圆相交．船长要 改变航线.
港口 60km
60km
思考：你能用初中所学的平面几何知识来解决这一问题吗？
同升湖实验学校高中部 数学组
为解决这个问题，我们以台风中心为原点 O， 东西方向为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系， 其中取 10km 为单位长度．
这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的 圆的方程为:
x y 25
几何法 1 解析法
2
让我们撑着载满知识的风帆，创 造美好的家园，抵达理想的彼岸……
2 2
y
6
渔船航线所在直线 l 的方程为：
港口
x y 6 0
-5
ห้องสมุดไป่ตู้
O
5
渔船
6
x
问题归结为圆心为O的圆与直 线l的位置关系．
2.合作解决问题
已知直线 l： x
y 6 0 和圆心为O的圆 x 2 y 2 25
判断直线l 与圆 O的位置关系； 分析：依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直 线 与圆的位置关系（几何法）； 解法一：圆 x 2 y 2 25 其圆心O的坐标为（0，0）,半径长为 5 点O（0，0）到直线 l的距离
当b 2 2或b 2 2时，即d r，直线和圆的位置关系是相离
例1:已知直线 l : y x b 和圆 C：x y 4 ，当 实数 b 取何值时，直线与圆相交？相切？相离？
2 2
y xb 解法二： 建立方程组 2 2 x y 4
由① y x b 代入②， 消去y, 得 2 x 2 2bx b2 4 0
2 2
解法一：圆x2
y 2 4 其圆心O的坐标为（0，0）,半径长为 2 ，
00b 12 12 b 2
点O（0，0）到直线 l : x y b 0的距离
d
当 2 2 b 2 2时,即d r，直线和圆的位置关系是相交
当b 2 2时,即d r，直线和圆的位置关系是相切