河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学(理)试卷(扫描版)
【真题】2018年河北省衡水市武邑中学高三(下)数学期中试卷含答案(理科)
2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高三（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣x2+x+6＞0，x∈N}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）已知实数m，n满足（m+ni）（4﹣2i）=3i+5，则m+n=（）A．B．C．D．3．（5分）给出下列命题：①已知a，b∈R，“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件；②已知平面向量，，||＞1，||＞1“是“|+|＞1”的必要不充分条件；③已知a，b∈R，“a2+b2≥1”是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件；④命题P：“∃x0∈R，使且lnx0≤x0﹣1”的否定为¬p：“∀x∈R，都有e x＜x+1且lnx＞x﹣1”．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数是（）A．2 B．3 C．4 D．65．（5分）设函数f（x）=cos（φ），其中常数φ满足﹣π＜φ＜0．若函数g （x）=f（x）+f′（x）（其中f′（x）是函数f（x）的导数）是偶函数，则φ等于（）A．﹣B．C．D．6．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a，b，k分别为1，2，3，输出的，那么判断框中应填入的条件为（）A．n＜k B．n≥k C．n＜k+1 D．n≥k+17．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．018．（5分）已知k∈R，点P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，则ab的最大值为（）A．15 B．9 C．1 D．﹣9．（5分）若不等式，所表示的平面区域内存在点（x0，y0），使得x0+ay0+2≤0成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a≥110．（5分）北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（）A．25 B．32 C．60 D．10011．（5分）已知Rt△ABC，两直角边AB=1，AC=2，D是△ABC内一点，且∠DAB=60°，设（λ，μ∈R），则=（）A．B．C．3 D．12．（5分）已知函数f（x）的定义域为D，若对于∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的边长，则称f（x）为“三角形函数”．给出下列四个函数：①f（x）=lnx（e2≤x≤e3）；②f（x）=4﹣cosx；③；④．其中为“三角形函数”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（理科）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是．14．（5分）若（ax﹣1）5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是．15．（5分）已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为．16．（5分）若函数f（x）的图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1，y1，x2，y2使得|x1x2+y1y2|﹣的最大值为0，则称函数f （x）是“柯西函数”．给出下列函数：①f（x）=lnx（0＜x＜3）；②f（x）=x+（x＞0）；③f（x）=；④f（x）=．其中是“柯西函数”的为（填上所有正确答案的序号）．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=（a n﹣1），n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=log2a n，记数列{}的前n项和为T n．证明：≤T n．18．（12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm）的茎叶图如图：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于[170，180）（单位：cm）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[170，180）（单位：cm）的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．20．（12分）设抛物线y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，以F1，F2为焦点，离心率e=的椭圆与抛物线的一个交点为E（）；自F1引直线交抛物线于P，Q两个不同的点，设=．（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程；（Ⅱ）若λ∈[），求|PQ|的取值范围．21．（12分）已知函数，f'（x）为其导函数．（1）设，求函数g（x）的单调区间；（2）若a＞0，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为函数f（x）图象上不同的两点，且满足f（x1）+f（x2）=1，设线段AB中点的横坐标为x0，证明：ax0＞1．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线曲线C2的参数方程是，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系（极坐标系与直角坐标系xOy的长度单位相同）．若曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C1交于极点O外的三点A，B，C．（Ⅰ）求证：|OB|+|OC|=|OA|（Ⅱ）当φ=时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+m|+|2x﹣1|．（1）当m=1时，解不等式f（x）≥3；（2）若，且当x∈[m，2m]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高三（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣x2+x+6＞0，x∈N}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{﹣1，0，1，2}【解答】解：∵集合A={x|﹣x2+x+6＞0，x∈N}={x|﹣2＜x＜3，x∈N}={0，1，2}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}．故选：B．2．（5分）已知实数m，n满足（m+ni）（4﹣2i）=3i+5，则m+n=（）A．B．C．D．【解答】解：由（m+ni）（4﹣2i）=（4m+2n）+（4n﹣2m）i=3i+5，得，解得m=，n=．∴m+n=．故选：A．3．（5分）给出下列命题：①已知a，b∈R，“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件；②已知平面向量，，||＞1，||＞1“是“|+|＞1”的必要不充分条件；③已知a，b∈R，“a2+b2≥1”是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件；④命题P：“∃x0∈R，使且lnx0≤x0﹣1”的否定为¬p：“∀x∈R，都有e x＜x+1且lnx＞x﹣1”．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①由a＞1且b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如取a=﹣2，b=﹣3，因此“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件，正确；②平面向量，，||＞1，||＞1，取=（2，1），=（﹣2，0），则|+|=1，因此|+|＞1不成立．反之取，==，则||＞1，||＞1不成立，∴平面向量，，||＞1，||＞1“是“|+|＞1”的既不必要也不充分条件；③如图在单位圆x2+y2=1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件，因此正确；④命题P：“∃x0∈R，使且lnx0≤x0﹣1”的否定为¬p：“∀x∈R，都有e x＜x+1或lnx＞x﹣1”，因此不正确．其中正确命题的个数是2．故选：C．4．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数是（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），故函数的周期为2．当x∈[0，1]时，f（x）=x，故当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x．函数y=f（x）﹣log3|x|的零点的个数等于函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象，如图所示：显然函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象有4个交点，故选：C．5．（5分）设函数f（x）=cos（φ），其中常数φ满足﹣π＜φ＜0．若函数g （x）=f（x）+f′（x）（其中f′（x）是函数f（x）的导数）是偶函数，则φ等于（）A．﹣B．C．D．【解答】解：函数f（x）=cos（φ），则f′（x）=﹣sin（φ），那么函数g（x）=f（x）+f′（x）=cos（φ）﹣sin（φ）=2cos（+φ+），∵g（x）是偶函数，∴φ+=kπ，k∈Z即φ=∵﹣π＜φ＜0．∴当k=0时，可得φ=，故选：A．6．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a，b，k分别为1，2，3，输出的，那么判断框中应填入的条件为（）A．n＜k B．n≥k C．n＜k+1 D．n≥k+1【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，b=2，k=3，n=1满足判断框内的条件，执行循环体，M=，a=2，b=，n=2满足判断框内的条件，执行循环体，M=，a=，b=，n=3满足判断框内的条件，执行循环体，M=，a=，b=，n=4由题意，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出，判断框中应填入的条件为n＜k+1？故选：C．7．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．8．（5分）已知k∈R，点P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，则ab的最大值为（）A．15 B．9 C．1 D．﹣【解答】解：由题意，圆心（0.0）到直线的距离d=≤解得﹣3≤k≤1，又∵k2﹣2k+3＞0恒成立∴k的取值范围为﹣3≤k≤1，由点P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，得（a+b）2﹣a2﹣b2=2ab=3k2+2k﹣3=3（k+）2﹣，∴k=﹣3时，ab的最大值为9．故选：B．9．（5分）若不等式，所表示的平面区域内存在点（x0，y0），使得x0+ay0+2≤0成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a≥1【解答】解：作出不等式，可行域如图：∵平面区域内存在点M（x0，y0），满足x0+ay0+2≤0，∴直线x+ay+2=0与可行域有交点，解方程组得B（0，2）．∴点B在直线x+ay+2=0下方．可得：0+2a+2≤0．解得a≤﹣1．故选：A．10．（5分）北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（）A．25 B．32 C．60 D．100【解答】解：根据题意，要“确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅”，则除6、15、24号之外的另外一组三人的编号必须都大于25或都小于6号，则分2种情况讨论选出的情况：①、如果另外三人的编号都大于等于25，则需要在编号为25、26、27、28、29、30的6人中，任取3人即可，有C63=20种情况，②、如果另外三人的编号都小于6，则需要在编号为1、2、3、4、5的5人中，任取3人即可，有C53=10种情况，选出剩下3人有20+10=30种情况，再将选出的2组进行全排列，对应江西厅、广电厅，有A22=2种情况，则“确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅”的选取种数为30×2=60种；故选：C．11．（5分）已知Rt△ABC，两直角边AB=1，AC=2，D是△ABC内一点，且∠DAB=60°，设（λ，μ∈R），则=（）A．B．C．3 D．【解答】解：如图以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，2），∠DAB=60°，设D点坐标为（m，），=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）⇒λ=m，μ=，则=．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）的定义域为D，若对于∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的边长，则称f（x）为“三角形函数”．给出下列四个函数：①f（x）=lnx（e2≤x≤e3）；②f（x）=4﹣cosx；③；④．其中为“三角形函数”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，f（x）=lnx（e2≤x≤e3），对于∀a，b，c∈[e2，e3]，f（a），f（b），f（c）∈[2，3]，∴f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的边长，故①是“三角形函数”；在②中，f（x）=4﹣cosx，对于∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）∈[3，5]，∴f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的边长，故②是“三角形函数”；在③中，，对于∀a，b，c∈（1，4），f（a），f（b），f（c）∈（1，2），∴f（a），f（b），f（c）为某个三角形的边长，故③是“三角形函数”；在④中，，对于∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）∈（0，1），∴f（a），f（b），f（c）不一定是某个三角形的边长，故④不是“三角形函数”．故选：C．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（理科）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是﹣3．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，将z=x﹣y整理得到y=x﹣z，要求z=x﹣y的最小值即是求直线y=x﹣z的纵截距的最大值，当平移直线x﹣y=0经过点A（0，3）时，x﹣y最小，且最小值为：﹣3，则目标函数z=x﹣y的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．14．（5分）若（ax﹣1）5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是2．=C5r（ax）5﹣r（﹣1）r=（﹣1）r a5﹣r C5r x5﹣r 【解答】解：二项展开式的通项T r+1令5﹣r=3可得r=2∴a3C52=80∴a=2故答案为：215．（5分）已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为4+2．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，底面是正方形，对角线长为2，侧棱PA⊥平面ABCD，且PA=2．∴正方形底面边长为，PB=PD=，PC=．正方形ABCD的面积为4；；在△PBC中，∵PB=，BC=，PC=2，∴PB2+BC2=PC2，可得BC⊥PB，则．∴该几何体的表面积为．故答案为：．16．（5分）若函数f（x）的图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1，y1，x2，y2使得|x1x2+y1y2|﹣的最大值为0，则称函数f （x）是“柯西函数”．给出下列函数：①f（x）=lnx（0＜x＜3）；②f（x）=x+（x＞0）；③f（x）=；④f（x）=．其中是“柯西函数”的为①④（填上所有正确答案的序号）．【解答】解：由柯西不等式得：对任意实数x1，y1，x2，y2，|x1x2+y1y2函数f（x）的图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1，y1，x2，y2使得|x1x2+y1y2|﹣≤0恒成立（当且仅当存在实数k，使得x1=kx2，y1=ky2取等号），若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|x1x2+y1y2|﹣的最大值为0，则函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得、共线，即存在点A、B与点O共线．对于①，f（x）=lnx（0＜x＜3）存在；对于②，f（x）=x+（x＞0）不存在；对于③，f（x）=不存在；对于④，f（x）=存在．故答案为：①④．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=（a n﹣1），n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=log2a n，记数列{}的前n项和为T n．证明：≤T n．【解答】解：（I）当n=1时，有，解得a1=4，=（a n﹣1﹣1），当n≥2时，有S n﹣1则，整理得a n=4a n﹣1，则数列{a n}是以q=4为公比，以4为首项的等比数列，∴；（II）证明：由（I）有，则，可得前n项和为T n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣），易知数列{T n}为递增数列，∴，即≤T n．18．（12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm）的茎叶图如图：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于[170，180）（单位：cm）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[170，180）（单位：cm）的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）第一组学生身高的中位数为，第二组学生身高的中位数为；（2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A，，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为；（3）X的可能取值为0，1，2，3，，，，∴X的分布列为．19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，又AE=CF=，∴，则EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，∵AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH==1，则DH=D′H=3，∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2，则D′H⊥OH，又OH∩EF=H，∴D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=5，AC=6，∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0），，，设平面ABD′的一个法向量为，由，得，取x=3，得y=﹣4，z=5．∴．同理可求得平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，则|cosθ|=．∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值为sinθ=．20．（12分）设抛物线y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，以F1，F2为焦点，离心率e=的椭圆与抛物线的一个交点为E（）；自F1引直线交抛物线于P，Q两个不同的点，设=．（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程；（Ⅱ）若λ∈[），求|PQ|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题设得：+=1，=，a2=b2+c2．解得a=2，b2=3，c=1．椭圆的方程为：=1．由抛物线的准线：x=﹣1．∴抛物线的方程是：y2=4x．（Ⅱ）记P（x1，y1），Q（x2，y2），=λy2．①=．得：y设直线PQ的方程为：y=k（x+1），与抛物线的方程联立，得：ky2﹣4y+4k=0（*）y1y2=4，②y1+y2=，③由①②③消去y1，y2，得：k2=，∴|PQ|=•=•，∴|PQ|2==﹣16=﹣16=﹣16，∵λ∈[），∴＞2，同时，令f（x）=x+，则f′（x）=1﹣=，当λ∈[）时，f′（x）＜0，∴f（x）≤=，因此≤，于是：0＜|PQ|2≤，那么：|PQ|∈．21．（12分）已知函数，f'（x）为其导函数．（1）设，求函数g（x）的单调区间；（2）若a＞0，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为函数f（x）图象上不同的两点，且满足f（x1）+f（x2）=1，设线段AB中点的横坐标为x0，证明：ax0＞1．【解答】（1）解：，，①a＞0时，g（x）定义域为（0，+∞），在上g'（x）＜0，故g（x）在上单调递减；在上g'（x）＞0，故g（x）在上单调递增．②a＜0时，g（x）定义域为（﹣∞，0），在上g'（x）＞0，故g（x）在上单调递增；在上g'（x）＜0，故g（x）在上单调递减．（2）证明：法一：，故f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．只需证：，即证（*）注意到，不妨设．令，则，，从而F（x）在上单减，故，即得（*）式．法而二：故f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．注意到且．设，则h（x）单调递增且图象关于中心对称．构造函数，，当时，g'（x）＞0，g（x）单增；当时，g'（x）＜0，g（x）单减，故，且等号仅在处取到．所以h（x）与f（x）图象关系如下：取h（x3）=f（x1），h（x4）=f（x2），则显然有x1＞x3，x2＞x4，从而x1+x2＞x3+x4，另外由三次函数h（x）的中心对称性可知，则有．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线曲线C2的参数方程是，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系（极坐标系与直角坐标系xOy的长度单位相同）．若曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C1交于极点O外的三点A，B，C．（Ⅰ）求证：|OB|+|OC|=|OA|（Ⅱ）当φ=时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，，，则|=．（Ⅱ）当时，B，C两点的极坐标分别为，，化为直角坐标为，．C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为，所以m=2，．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+m|+|2x﹣1|．（1）当m=1时，解不等式f（x）≥3；（2）若，且当x∈[m，2m]时，不等式恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）当m=1时，f（x）=|x+1|+|2x﹣1|，则f（x）=，由f（x）≥3解得x≤﹣1或x≥1，即原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）；…（5分）（2）由，即，又x∈[m，2m]且，所以，且x＞0所以，即m≤x+2﹣|2x﹣1|；令t（x）=x+2﹣|2x﹣1|，则t（x）=，所以x∈[m，2m]时，t（x）min=t（m）=3m+1，所以m≤3m+1，解得，所以实数m 的取值范围是．…（10分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x=，令()u g x=，若()y f u=为增，()u g x=为增，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为减，()u g x=为减，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为增，()u g x=为减，则[()]y f g x=为减；若()y f u=为减，()u g x=为增，则[()]y f g x=为减．（2）打“√”函数()(0)af x x ax=+>的图象与性质()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x=的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I∈，都有()f x M≤；yxo（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2018届河北省武邑中学高三下学期期中考试数学理试题图片数理化
lar>x-r\M中正确命题的个数是()A.OB. 1C.2D. 3开始/输入gb,k /输出M /结束a=6b=二M r河北武邑中学2017-2017学年下学期高三期中考试数学(理)试题本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项:1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.2. 回答选择砂选出每d题答案后用钳笔把答碗卜对应题目的答棠剧涂黑.如需改动，m3・考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.一. 选抒题：本题共12小题，每小题5分・共60分.在每小题给出的四个选项中•只有一项是符合题目要冑的•.空八T.- (I)1. 己知集= {x|-x2 + x + 6 > 09XE N]9B = {-l,0,1,2}.贝=A・{1, 2}・ B・{0, L 2) C・(0, 1} D・{-1» 0, 1> 2}2. 己知实数加,办满A(m + n/)(4-2r) = 3/ + 5 •萸1加+丹=()9 “11厂9 f 11A. —B. —C. —D・—5 5 4 43. 给出下列命题:①已知a,b w /? M > 1且b>V^ab > 1 •啲充分条件;②已知平面向*a,b r\a\> 1悶> 1H是*+Q| > 1 ”的必要不充分条件;③己知a9b e R ra2 + F 21"是••制+同21 ”的充分不必要条件；④命題P: “丸wR ,使且lnx0<x0-l-的否定为一p: ••匕虫心都有e”<x + l且M = a + 丄b髙三(理〉数学期中考试试题36.执行石面的程序框图，如果输入的a, b.斤分别为1, 2, 3,输出的M= — 9那么，判断榷中应填・ 8入的条件为A ・ n<kB ・ n^kC ・ n<k^\ y ］：D ・ n<A + l7•总体由編号为01,02,・・・,・19,20的20个个体ST ・.：成，利用下面的晞机数表选取5个个体.•选 取方法是从建机数表笫1行的第5列和第6列数字开始 由左到右依次选取两个数字•【则选出来的第5个个体編号为 「•・『78166572Q862 63J4 0702 4369' 9728 01981 .解— 2234 ___49 35二 8200 3623 —4869.69387481A.03B. 07C. 02D.01•♦c • • • ••• • ••J ■ ■& ◎知w /? •点P(a,b)是直线x+y = 2k 与圆+ +护=疋-2R + 3的公共点,则ab 的最大值为()AA5 ' R 9 :CU ・1 : D.~ -・ .亠• •： 3 •• p-> + 2>01 ・•「'： ：9、若不等我如—5》+ 10S0；所农示的平面区域存在点(£,%)•,使心+a 儿+2M0成立，则实数・• ； : K x + y-8<0 ・・• ・ .a 的取值范国足()：•；••、二A. a <-1B. a <-\C. a >1D. a i 110. 北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志足者(编号分别杲1. 2.….30号)，现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作••其中三个編号较小的人在一组.三个編号较大 的在另一组.那么确保6号.15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数杲()D・A. 25B. 32 D. 1006311. RtLABC .两直角边SB = 1,/1C = 2 • D 定 MBC内一点，且ZDJB = 60° ,设'AD^XAB^R).则△=A.—B.—C.3D.2 历3 3】2.己知毬数/⑴的定义域为£>•若对于Va,^c€D,/(a)./(feX/(c)分别为某个三角形的边长，则称/(x)为^三角形函数：给出下列四个函数：①/⑴=lnx(e2 SxSK)；②/(x) = 4-cosx；③/(x)=込(1 vx v4)$④/⑴=-^―•其中为“三e +1角形前数"的个数是A.lB.2C.3D.4高三(理)数学期中考试试題・2・二. 填空题(每小题5分.共20分.把答案填写在答题纸的相应位置上)x>0x + 2 八313.若x・y满足约束条件〔2如川3,则z F-y的最小值是__________________ .14 •若(血・厅的展开式中『的系数一是80.則实数“的值是________________ ・15. 已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，則该儿何体的表面积为 ____________________ ・16. 若函数/(x)的图歩上存在不同的两点A(x l9y｛) > 〃(勺必"其中X P/P X2»-V2使得I片不+y』2|・ Jx； + y：・+y：大值为0,贝IJ称函数/(x)是"柯西函数"・给出下列函数：(D/(x) = lnx(0<x<3)； ®/(x) = x + -(x>0)：③ /(x) = V2x1 2 3+8；④ /(x) = 72x2-8 ・x其中足“柯西因数”的为_____________________ (填上所冇正确答秦的序号)•9三. 解答题(本大题共70分列0分+12x5分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤417. (本小题12分〉已知数列｛碍｝的前n项和为S,且满足S fl=^(a…-l),nG?r・(I)求数列｛*｝的通项公式；(U)令^=iog2a n.记数列打_［； +］)的前”项和为证明：18・(本小题12分)离二某班共有20名男生，在一次体脸中这20名男生被平均分成两个小组.第一组和第一•组男生的身高(单位：cm )的茎叶图如下:1根裾茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；2 从该班身高超过18(kvn的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；3在两纽身高位于［170,180)(单位cm)的男生中各随机选出2人.设这4人中身高位于［175,180)(单位：cm )的人数为% .求随机变"X的分布列和数学期虫.19. (木小题12分〉菱形ABCD的对角线/C与交于点O,AB = 5.AC^6 ,点E,F 分别在AD.CD上.亦三〈理)数学期中考试试题/1£ = CF = -, EF 交 BD 予AH ・将ADEF 沿 EF 析到 ADEF 位置.0D f = VlO ・4(】)证明：D77丄平面ABCDx (II)求二面角BW-C的正弦值.20. (本小题12分)设抛物线/=4mx(m>0)的准线与x轴交于你抛物线的焦点为巧.以你坊为魚点，离心率e = *的桶圆与拋物线的一个交点为E扌,芈)；自厅引宜线交抛物线于P、0两个不同的点.设丽二久屜・(1)求拋物线的方程和桶圆的方程；(J)若久€ £,1}求|PQ［的取值范围.21・(本小懸12分)已知函数/(x) = a2x-丄一2aln(axH丄・x 2(1)设g(x) = /(x)+丄.求的数g(x)的单调区间；(2)若a>09设A(x l J(x})). B(x29f(x2))为函数/(x)图娥上不同的两点.且满足/U)^/U) = >-设线段肋中点的横坐标为心证明，<^>1.四、请考生在第22. 23题中任选一题做答.如果多做.则按所做的第一题记分.做答时.用2B«5g在答题卡上把所选題目对应的題号涂黑.22•［选修44：坐标系与參数方程］(10分〉己知宜线/的参数方程^r Sm+rC°Sa(/为参数.OSav/r).以坐标原点为极点.x轴的正y-tsina半紬为极艳建立极坐标系•曲线C的极坐标方程为p = 48S0•射线0 = © (-兰v卩v兰)，0 =+兰.4 4 4 ・B 十丄分别与曲线C交于/!、B. C三点(不包括极点O).4(I)求证:\OB\^\OC\^42\OA\, (II)当0二誇时・若从C两点在直统/上，求加与a的值.23・(本小题10分)选修4・5：不竽式选讲己知函数/(x) = |x +加l+|2x-l|・(1)当加=1时.解不等式/(x)^3：⑵若mV*,且当xwpn,2初时.不零式”(x)s|x + l血成立，•求实数加的取值范围.拓三(理〉数学期中考试试理= 174,高三(理〉数学期中考试试JS试题解析：＜1)第一组学生身胚的中位数为172 + 176~2~ ■高三数学(理)试卷参考答案I. B 2. A 3.C4.B5. A6. C7. D &B 9. A 10.CII. A 12. C 13. -314.2.15. 4迈+ 2@+2、“・①④417.解：(I)当/i = 1时，有⑷・1),解得a 严4.4当几22时，有S-严亍,贝!J4 4碍=S. - S-i =亍(％-I)-j (a,, _ 1)昶得•厶=4a...数列｛%｝是以＜7 = 4为公比，以。
(推荐)河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学(理)试卷(含答案)
河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合},06|{2N x x x x A ∈>++-=，}2,1,0,1{-=B ，则=B A （ ） A ．}2,1{ B ．}2,1,0{ C ．}1,0{ D ．}2,1,0,1{- 2．已知实数n m ,满足53)24)((+=-+i i ni m ，则=+n m （ ） A ．59 B ．511 C ．49 D ．4113．给出下列命题：①已知R b a ∈,，“1>a 且1>b ”是“1>ab ”的充分条件；②已知平面向量,，“1||,1||>>”是“1||>+”的必要不充分条件； ③已知R b a ∈,，“122≥+b a ”是“1||||≥+b a ”的充分不必要条件； ④命题p ：“R x ∈∃0，使100+≥x ex 且1ln 00-≤x x ”的否定为p ⌝：“R x ∈∀，都有1+<x e x 且1ln ->x ”.其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．若定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，且当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则函数||log )(3x x f y -=的零点个数是（ ）A ．6个B ．4个C ．3个D ．2个 5．设函数)3cos()(ϕ+=x x f ，其中常数ϕ满足0<<-ϕπ.若函数)(')()(x f x f x g +=（其中)('x f 是函数)(x f 的导数）是偶函数，则ϕ等于（ ） A ．3π-B ．65π-C ．6π-D ．32π- 6．执行如图的程序框图，如果输入的k b a ,,分别为3,2,1，输出的815=M ，那么判断框中应填入的条件为（ ）A ．k n <B ．k n ≥C ．1+<k nD ．1+≥k n 7．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体编号为A ．08B ．07C ．02D ．018．已知R k ∈，点),(b a P 是直线k y x 2=+与圆32222+-=+k k y x 的公共点，则ab 的最大值为（ ） A.15B.9C.1D. 35-9．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x 所表示的平面区域存在点),(00y x ，使0200≤++ay x 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1-≤aB ．1-<aC ．1>aD ．1≥a10．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…，30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） A ．25 B ．32 C ．60 D ．10011．已知在ABC Rt ∆中，两直角边1=AB ，2=AC ，D 是ABC ∆内一点，且060=∠DAB ，设),(R ∈+=μλμλ，则=μλ（ ） A ．332 B ．33C ．3D ．32 12．已知函数)(x f 的定义域为D ，若对于)(),(),(,,c f b f a f D b a ∈∀分别为某个三角形的边长，则称)(x f 为“三角形函数”.给出下列四个函数：①)(ln )(32e x e x xf ≤≤=；②x x f cos 4)(-=；③)41()(21<<=x x x f ；④1)(+=x xe e xf .其中为“三角形函数”的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥32320y x y x x ，则y x z -=的最小值是 .14．若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 . 15．已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为 .16．若函数)(x f 的图象上存在不同的两点),(11y x A ，),(22y x B ，其中2211,,,y x y x 使得222221212121||y x y x y y x x +⋅+-+的最大值为0，则称函数)(x f 是“柯西函数”. 给出下列函数：①)30(ln )(<<=x x x f ；②)0(1)(>+=x xx x f ；③82)(2+=x x f ；④82)(2-=x x f .其中是“柯西函数”的为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*),1(34N n a S n n ∈-=. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）令n n a b 2log =，记数列})1)(1(1{+-n n b b 的前n 项和为n T ，证明：2131<≤n T . 18．高二某班共有20名男生，在一次体检中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm ）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm 的7名男生中随机选出2名男生参加篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于)180,170[（单位：cm ）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于)180,175[（单位：cm ）的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.19．菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，6,2==AC AB ，点F E ,分别在CD AD ,上，45==CF AE ，EF 交BD 于点H ，将D E F ∆沿EF 折到EFD '∆位置，10'=OD .（1）证明：⊥H D '平面ABCD ； （2）求二面角C A D B --'的正弦值.20．设抛物线)0(42>=m mx y 的准线与x 轴交于1F ，抛物线的焦点2F ，以21,F F 为焦点，离心率21=e 的椭圆与抛物线的一个交点为)362,32(E ；自1F 引直线交抛物线于Q P ,两个不同的点，设F F 11λ=. （1）求抛物线的方程椭圆的方程； （2）若)1,21[∈λ，求||PQ 的取值范围. 21．已知函数21)ln(21)(2+--=ax a x x a x f . （1）设xx f x g 1)()(+=，求函数)(x g 的单调区间； （2）若0>a ，设))(,()),(,(2211x f x B x f x A 为函数)(x f 图象上不同的两点，且满足1)()(21=+x f x f ，设线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：10>ax . 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos t y t m x （t 为参数，πα<≤0），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，射线)44(πϕπϕθ<<-=，4πϕθ+=，4πϕθ-=分别与曲线C交于C B A ,,三点（不包括极点O ）. （1）求证：||2||||OA OC OB =+；（2）当12πϕ=时，若C B ,两点在直线l 上，求m 与α的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数|12|||)(-++=x m x x f . （1）当1=m ，解不等式3)(≥x f ； （2）若41<m ，且当]2,[m m x ∈时，不等式|1|)(21+≤x x f 恒成立，求实数m 的取值范围.数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13．3- 14．2 15．23224++ 16．①④三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：(1)当1=n 时，有)1(34111-==a S a ，解得41=a ， 当2≥n 时，有)1(3411-=--n n a S ，则 )1(34)1(3411---=-=--n n n n n a a S S a 整理得41=-n na a ∴数列}{n a 是以4=q 为公比，以41=a 为首项的等比数列∴)(444*1N n a n n n ∈=⨯=-. （2）由（1）有n a b nn n 24log log 22===，则)12(1121(21)12)(12(1)1)(1(1+--=-+=-+n n n n b b n n∴)12)(12(1531311+-++⨯+⨯=n n T n )121121()5131()311[(21+--++-+-=n n)1211(21+-=n 易知数列}{n T 为递增数列， ∴211<≤n T T ，即2131<≤n T .18．(1) 第一组学生身高的中位数为1742176172=+， 第二组学生身高的中位数为5.1742175174=+； （2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A ，761)(2723=-=C C A P ，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为76； （3）X 的所有可能取值是0，1，2，3101)0(23252223===C C C C X P ，52)1(23251223221213=+==C C C C C C C X P ，3013)2(23251213122222=+==C C C C C C C X P ，151)3(23251222===C C C C X P X 的分布列为15153302521)(=⨯+⨯+⨯=X E . 19．解：(1)∵45==CF AE ， ∴CDCFAD AE =，∴AC EF //，∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD AC ⊥，∴BD EF ⊥，∴DH EF ⊥，∴H D EF '⊥ ∵6=AC ， ∴3=AO ；又5=AB ，OB AO ⊥，∴4=OB ，∴1=⋅=OD AOAEOH ，∴3'==H D DH ， ∴222|'||||'|H D OH OD +=，∴H D OH '⊥，又∵H EF OH = ， ∴⊥H D '平面ABCD .（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系：)0,3,1(),3,0,0('),0,3,1(),0,0,5(-A D C B ，)0,6,0(),3,3,1(),0,3,4(=-==，设平面'ABD 的一个法向量为),,(1z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0'011AD n n 得⎩⎨⎧=++-=+033034z y x y x ，取⎪⎩⎪⎨⎧=-==543z y x ， ∴)5,4,3(1-=n ，同理可得平面C AD '的法向量为)1,0,3(2=n ，∴25571025|59||||||cos |2121=⨯+==n n θ，∴25952sin =θ.20.解：(1)设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by ax ，由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+211924942222a b a a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3422b a∴椭圆的方程为13422=+y x ∴点2F 的坐标为)0,1(，∴1=m ，∴抛物线的方程是x y 42=(2)由题意得直线PQ 的斜率存在，设其方程为)0)(1(≠+=k x k y ， 由⎩⎨⎧=+=xy x k y 4)1(2消去x 整理得0442=+-k y ky （）∵直线PQ 与抛物线交于两点， ∴016162>-∆k ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则421=y y ①，ky y 421=+②， ∵F F 11λ=，)0,1(1-F ∴),1(),1(2211y x y x +=+λ ∴21y y λ=，③由①②③消去21,y y 得22)1(4+=λλk .∴||PQ 22221221222121616)11(4))[(11())(11(k k ky y y y ky y k-+=-++=-+=441616k k -=，即=2||PQ 441616k k -，将22)1(4+=λλk 代入上式得， =2||PQ 16)21(16)12(16)4(222224-++=-++=-+λλλλλλλ，∵λλλ1)(+=f 在)1,21[∈λ上单调递减，∴)21()()1(f f f ≤<λ，即2512≤+<λλ， ∴<041716)21(2≤-++λλ， ∴217||0≤<PQ ，即||PQ 的取值范围为]217,0(. 21．解：(1) 21)ln(2)(2+-=ax a x a x g ,xax a x a a x g )2(2)('2-=-= ①0>a 时， )(x g 定义域为),0(+∞当)2,0(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)2,0(a上单调递减； 当),2(+∞∈a x 时，0)('>x g ，故)(x g 在),2(+∞a上单调递增； ②0<a 时，)(x g 定义域为)0,(-∞当)2,(a x -∞∈时，0)('>x g ，故)(x g 在)2,(a-∞上单调递增； 当)0,2(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)0,2(a上单调递减.（2）10>ax 2121212x ax a x x ->⇔>+⇔0)1(21)('222≥-=-+=a xx ax a x f ，故)(x f 在定义域),0(+∞上单调递增， 只需证：1)()1(2=+x f x f ，21)1(=af ，不妨设2110x ax <<< axa x x a ax x ax a a x f x a f x F ln 21)2ln(221)2(1)()2()(22--+-----=-+-=则0)2()1(4222)2(1)('2232222≤---=-+---=ax x ax ax a x a ax a x x F ax 1≥∀， 从而)(x F 在),1[+∞a 上单调递减，故0)1()(2=<aF x F ，即（）式. 22.解：(1)证明：依题意，ϕcos 4||=OA ，)4cos(4||πϕ+=OB ，)4cos(4||πϕ-=OC ，则=+||||OC OB ++)4cos(4πϕ||2cos 24)4cos(4OA ==-ϕπϕ（2）当12πϕ=时，C B ,两点的极坐标分别为)6,32(),3,2(ππ-，化为直角坐标)3,1(B ，)3,3(-C ， 经过点C B ,的直线方程为)2(3--=x y ， 又直线l 经过点)0,(m ，倾斜角为α，故2=m ，32πα=. 23.解：(1) 当1=m 时，|12||1|)(-++=x x x f ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤---<-=)21(3)211(2)1(3)(x x x x x x x f由3)(≥x f 解得1-≤x 或1≥x ，即原不等式的解集为),1[]1,(+∞--∞ . （2）|1|)(21+≤x x f ，即|1||12|21||21+≤-++x x m x ，又]2,[m m x ∈且41<m 所以410<<m ，且0>x 所以|12|21|1|221--+≤+x x m x 即|12|2--+≤x x m 令|12|2)(--+=x x x t ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<+=)21(3)210(13)(x x x x x t ，所以]2,[m m x ∈时， 13)()(min +==m m t x t ， 所以13+≤m m ，解得21-≥m ， 所以实数m 的取值范围是)41,0(.欢迎访问“高中试卷网”——。
河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学(理)试卷(含答案)
）
3
B．
5 6
C．
6
D．
2 3
6．执行如图的程序框图，如果输入的 a, b, k 分别为 1,2,3 ，输出的 M
15 ，那么判断框中应填入的 8
条件为（
）
A． n k
B． n k
C． n k 1
D． n k 1
7．总体由编号为 01，02，…，19，20 的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方 法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个 体编号为
0
11．已知在 RtABC 中，两直角边 AB 1 ， AC 2 ， D 是 ABC 内一点，且 DAB 60 ，设
AD AB AC ( , R) ，则
2 3 3 3 3
（
C．3
）
A．
B．
D． 2 3
12．已知函数 f ( x ) 的定义域为 D ，若对于 a, b D, f ( a ), f (b), f (c ) 分别为某个三角形的边长，则 称 f ( x ) 为“三角形函数”.给出下列四个函数： ① f ( x ) ln x (e x e ) ；② f ( x ) 4 cos x ；③ f ( x ) x 2 (1 x 4) ；④ f ( x ) 为“三角形函数”的个数是（ A．1 B．2 ） C．3 D．4
2
）
2．已知实数 m , n 满足 ( m ni )( 4 2i ) 3i 5 ，则 m n （ A．
9 5
B．
11 5
C．
9 4
(精)河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学(理)试卷(含答案)
河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合},06|{2N x x x x A ∈>++-=，}2,1,0,1{-=B ，则=B A （ ） A ．}2,1{ B ．}2,1,0{ C ．}1,0{ D ．}2,1,0,1{- 2．已知实数n m ,满足53)24)((+=-+i i ni m ，则=+n m （ ） A ．59 B ．511 C ．49 D ．4113．给出下列命题：①已知R b a ∈,，“1>a 且1>b ”是“1>ab ”的充分条件；②已知平面向量,，“1||,1||>>”是“1||>+”的必要不充分条件； ③已知R b a ∈,，“122≥+b a ”是“1||||≥+b a ”的充分不必要条件； ④命题p ：“R x ∈∃0，使100+≥x ex 且1ln 00-≤x x ”的否定为p ⌝：“R x ∈∀，都有1+<x e x 且1ln ->x ”.其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．若定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，且当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则函数||log )(3x x f y -=的零点个数是（ ）A ．6个B ．4个C ．3个D ．2个 5．设函数)3cos()(ϕ+=x x f ，其中常数ϕ满足0<<-ϕπ.若函数)(')()(x f x f x g +=（其中)('x f 是函数)(x f 的导数）是偶函数，则ϕ等于（ ） A ．3π-B ．65π-C ．6π-D ．32π- 6．执行如图的程序框图，如果输入的k b a ,,分别为3,2,1，输出的815=M ，那么判断框中应填入的条件为（ ）A ．k n <B ．k n ≥C ．1+<k nD ．1+≥k n 7．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体编号为A ．08B ．07C ．02D ．018．已知R k ∈，点),(b a P 是直线k y x 2=+与圆32222+-=+k k y x 的公共点，则ab 的最大值为（ ） A.15B.9C.1D. 35-9．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x 所表示的平面区域存在点),(00y x ，使0200≤++ay x 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1-≤aB ．1-<aC ．1>aD ．1≥a10．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…，30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） A ．25 B ．32 C ．60 D ．10011．已知在ABC Rt ∆中，两直角边1=AB ，2=AC ，D 是ABC ∆内一点，且060=∠DAB ，设),(R ∈+=μλμλ，则=μλ（ ） A ．332 B ．33C ．3D ．32 12．已知函数)(x f 的定义域为D ，若对于)(),(),(,,c f b f a f D b a ∈∀分别为某个三角形的边长，则称)(x f 为“三角形函数”.给出下列四个函数：①)(ln )(32e x e x xf ≤≤=；②x x f cos 4)(-=；③)41()(21<<=x x x f ；④1)(+=x xe e xf .其中为“三角形函数”的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥32320y x y x x ，则y x z -=的最小值是 .14．若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 .15．已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为 .16．若函数)(x f 的图象上存在不同的两点),(11y x A ，),(22y x B ，其中2211,,,y x y x 使得222221212121||y x y x y y x x +⋅+-+的最大值为0，则称函数)(x f 是“柯西函数”. 给出下列函数：①)30(ln )(<<=x x x f ；②)0(1)(>+=x xx x f ；③82)(2+=x x f ；④82)(2-=x x f .其中是“柯西函数”的为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*),1(34N n a S n n ∈-=. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）令n n a b 2log =，记数列})1)(1(1{+-n n b b 的前n 项和为n T ，证明：2131<≤n T . 18．高二某班共有20名男生，在一次体检中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm ）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm 的7名男生中随机选出2名男生参加篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于)180,170[（单位：cm ）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于)180,175[（单位：cm ）的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.19．菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，6,2==AC AB ，点F E ,分别在CD AD ,上，45==CF AE ，EF 交BD 于点H ，将D E F ∆沿EF 折到EF D '∆位置，10'=OD .（1）证明：⊥H D '平面ABCD ； （2）求二面角C A D B --'的正弦值.20．设抛物线)0(42>=m mx y 的准线与x 轴交于1F ，抛物线的焦点2F ，以21,F F 为焦点，离心率21=e 的椭圆与抛物线的一个交点为)362,32(E ；自1F 引直线交抛物线于Q P ,两个不同的点，设F F 11λ=. （1）求抛物线的方程椭圆的方程； （2）若)1,21[∈λ，求||PQ 的取值范围. 21．已知函数21)ln(21)(2+--=ax a x x a x f . （1）设xx f x g 1)()(+=，求函数)(x g 的单调区间； （2）若0>a ，设))(,()),(,(2211x f x B x f x A 为函数)(x f 图象上不同的两点，且满足1)()(21=+x f x f ，设线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：10>ax . 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos t y t m x （t 为参数，πα<≤0），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，射线)44(πϕπϕθ<<-=，4πϕθ+=，4πϕθ-=分别与曲线C交于C B A ,,三点（不包括极点O ）. （1）求证：||2||||OA OC OB =+；（2）当12πϕ=时，若C B ,两点在直线l 上，求m 与α的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数|12|||)(-++=x m x x f . （1）当1=m ，解不等式3)(≥x f ； （2）若41<m ，且当]2,[m m x ∈时，不等式|1|)(21+≤x x f 恒成立，求实数m 的取值范围.数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13．3- 14．2 15．23224++ 16．①④三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：(1)当1=n 时，有)1(34111-==a S a ，解得41=a ， 当2≥n 时，有)1(3411-=--n n a S ，则 )1(34)1(3411---=-=--n n n n n a a S S a 整理得41=-n na a ∴数列}{n a 是以4=q 为公比，以41=a 为首项的等比数列∴)(444*1N n a n n n ∈=⨯=-. （2）由（1）有n a b nn n 24log log 22===，则)12(1121(21)12)(12(1)1)(1(1+--=-+=-+n n n n b b n n∴)12)(12(1531311+-++⨯+⨯=n n T n )121121()5131()311[(21+--++-+-=n n )1211(21+-=n 易知数列}{n T 为递增数列，∴211<≤n T T ，即2131<≤n T .18．(1) 第一组学生身高的中位数为1742176172=+， 第二组学生身高的中位数为5.1742175174=+； （2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A ，761)(2723=-=C C A P ，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为76； （3）X 的所有可能取值是0，1，2，3101)0(23252223===C C C C X P ，52)1(23251223221213=+==C C C C C C C X P ，3013)2(23251213122222=+==C C C C C C C X P ，151)3(23251222===C C C C X P X 的分布列为15153302521)(=⨯+⨯+⨯=X E . 19．解：(1)∵45==CF AE ， ∴CDCFAD AE =，∴AC EF //， ∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD AC ⊥，∴BD EF ⊥，∴DH EF ⊥，∴H D EF '⊥ ∵6=AC ，∴3=AO ；又5=AB ，OB AO ⊥，∴4=OB ，∴1=⋅=OD AOAEOH ，∴3'==H D DH ， ∴222|'||||'|H D OH OD +=，∴H D OH '⊥，又∵H EF OH = ， ∴⊥H D '平面ABCD .（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系：)0,3,1(),3,0,0('),0,3,1(),0,0,5(-A D C B ，)0,6,0(),3,3,1('),0,3,4(=-==AC AD AB ，设平面'ABD 的一个法向量为),,(1z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n AB n 得⎩⎨⎧=++-=+033034z y x y x ，取⎪⎩⎪⎨⎧=-==543z y x ， ∴)5,4,3(1-=n ，同理可得平面C AD '的法向量为)1,0,3(2=n ，∴25571025|59||||||cos |2121=⨯+==n n θ，∴25952sin =θ. 20.解：(1)设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by ax ，由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+211924942222a b a a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3422b a∴椭圆的方程为13422=+y x ∴点2F 的坐标为)0,1(，∴1=m ，∴抛物线的方程是x y 42=(2)由题意得直线PQ 的斜率存在，设其方程为)0)(1(≠+=k x k y ，由⎩⎨⎧=+=xy x k y 4)1(2消去x 整理得0442=+-k y ky （） ∵直线PQ 与抛物线交于两点， ∴016162>-∆k ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则421=y y ①，ky y 421=+②， ∵F F 11λ=，)0,1(1-F ∴),1(),1(2211y x y x +=+λ ∴21y y λ=，③由①②③消去21,y y 得22)1(4+=λλk . ∴||PQ 22221221222121616)11(4))[(11())(11(k k ky y y y ky y k-+=-++=-+=441616k k -=，即=2||PQ 441616k k -，将22)1(4+=λλk 代入上式得， =2||PQ 16)21(16)12(16)4(222224-++=-++=-+λλλλλλλ，∵λλλ1)(+=f 在)1,21[∈λ上单调递减，∴)21()()1(f f f ≤<λ，即2512≤+<λλ， ∴<041716)21(2≤-++λλ， ∴217||0≤<PQ ，即||PQ 的取值范围为]217,0(. 21．解：(1) 21)ln(2)(2+-=ax a x a x g ,xax a x a a x g )2(2)('2-=-= ①0>a 时， )(x g 定义域为),0(+∞当)2,0(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)2,0(a上单调递减； 当),2(+∞∈a x 时，0)('>x g ，故)(x g 在),2(+∞a上单调递增； ②0<a 时，)(x g 定义域为)0,(-∞当)2,(a x -∞∈时，0)('>x g ，故)(x g 在)2,(a-∞上单调递增； 当)0,2(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)0,2(a上单调递减. （2）10>ax 2121212x ax a x x ->⇔>+⇔0)1(21)('222≥-=-+=a xx ax a x f ，故)(x f 在定义域),0(+∞上单调递增， 只需证：1)()1(2=+x f x f ，21)1(=af ， 不妨设2110x ax <<< axa x x a ax x ax a a x f x a f x F ln 21)2ln(221)2(1)()2()(22--+-----=-+-=则0)2()1(4222)2(1)('2232222≤---=-+---=ax x ax ax a x a ax a x x F ax 1≥∀， 从而)(x F 在),1[+∞a上单调递减，故0)1()(2=<aF x F ，即（）式. 22.解：(1)证明：依题意，ϕcos 4||=OA ，)4cos(4||πϕ+=OB ，)4cos(4||πϕ-=OC ，则=+||||OC OB ++)4cos(4πϕ||2cos 24)4cos(4OA ==-ϕπϕ（2）当12πϕ=时，C B ,两点的极坐标分别为)6,32(),3,2(ππ-，化为直角坐标)3,1(B ，)3,3(-C ， 经过点C B ,的直线方程为)2(3--=x y ， 又直线l 经过点)0,(m ，倾斜角为α，故2=m ，32πα=. 23.解：(1) 当1=m 时，|12||1|)(-++=x x x f ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤---<-=)21(3)211(2)1(3)(x x x x x x x f由3)(≥x f 解得1-≤x 或1≥x ，即原不等式的解集为),1[]1,(+∞--∞ . （2）|1|)(21+≤x x f ，即|1||12|21||21+≤-++x x m x ，又]2,[m m x ∈且41<m 所以410<<m ，且0>x 所以|12|21|1|221--+≤+x x m x 即|12|2--+≤x x m令|12|2)(--+=x x x t ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<+=)21(3)210(13)(x x x x x t ， 所以]2,[m m x ∈时， 13)()(min +==m m t x t ， 所以13+≤m m ，解得21-≥m ， 所以实数m 的取值范围是)41,0(.欢迎访问“高中试卷网”——。
(全优试卷)河北省武邑中学高三下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1）A2）A3．给出下列命题：.其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34）A．6个 B．4个 C．3个 D．2个5）A6应填入的条件为（ ）A ．k n <B ．k n ≥C ．n 7．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体编号为A ．08B ．07C ．02D ．018．最大值为（ ）A.159．）A10．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…，30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ）A ．25B ．32 C ．60 D ．10011．） A．3 D12.给出下列四个函数：其中为“三角形函数”的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13的最小值是 .1480的值是 .15．已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为 . 16.给出下列函数：其中是“柯西函数”的为 .三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17（1（218．高二某班共有20名男生，在一次体检中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm ）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3cm）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于cm.19．（1（2.20（1）求抛物线的方程椭圆的方程；（2.21（1（2请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22．选修4-4：坐标系与参数方程，以坐标原点为极点，.（1（2.23．选修4-5：不等式选讲（1（2）.数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.1314．2 1516．①④三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解：(1)（2）由（118．(1)（2）记“这2名男生至少有1∴这2名男生至少有1（30，1，2，3，，19．解：(1)（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系：20.解：(1)(2)*）∴21．解：.（2*）式.22.解：(1)（223.解：(1)（2。
河北省武邑中学2018届高三下学期第五次模拟考试数学(理)试题(解析版)
河北武邑中学2018届高三下学期第五次模拟考试数学试题（理)第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.将正确答案填涂在答題卡上.1. 已知全集，，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式12≤8x﹣x2，可得全集U，由补集的定义可得B，进而由并集的定义计算可得答案．【详解】根据题意，12≤8x﹣x2，则有x2﹣8x+12≤0，解可得2≤x≤6，则全集U={x∈Z|12≤8x﹣x2}={2，3，4，5，6}，∁R B={5，6}，则B={2，3，4}，则A∪B={2，3，4，5}；故选：D．【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 欧拉公式(为虚数本位）是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数的模为( )A. B. C. 1 D.【答案】C【解析】【分析】直接由题意可得=cos+isin，再由复数模的计算公式得答案．【详解】由题意，=cos+isin，∴表示的复数的模为．故选：C．【点睛】本题以欧拉公式为背景，考查利用新定义解决问题的能力，考查了复数模的求法，属于基础题．3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为-4时，则输入的的值为( )A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】【分析】根据程序框图，知当i=4时，输出S，写出前三次循环得到输出的S，列出方程求出S0的值．【详解】根据程序框图，知当i=4时，输出S，∵第一次循环得到：S=S0﹣1，i=2；第二次循环得到：S=S0﹣1﹣4，i=3；第三次循环得到：S=S0﹣1﹣4﹣9，i=4；∴S0﹣1﹣4﹣9=﹣4，解得S0=10故选：D．【点睛】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．4. 是表示空气质量的指数，指数值越小，表明空气质置越好，当以指数值不大于100 时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日指数值的统计数据，图中点表示4月1日的指数值为201.则下列叙述不正确的是( )A. 这12天中有6天空气质量为“优良”B. 这12天中空气质量最好的是4月9日C. 这12天的指数值的中检数是90D. 从4日到9日，空气质置越来越好【答案】C【解析】由图可知,不大于100天有6日到11日,共6天,所以A对,不选. 最小的一天为10日,所以B对,不选.中位为是,C错.从图中可以4日到9日越来越小,D对.所以选C.5. 非零向量满足：，，则与夹角的大小为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，设=，=，则﹣=﹣=，结合题意分析可得△OAB为等腰直角三角形，结合向量夹角的定义分析可得答案．【详解】根据题意，设=，=，则﹣=﹣=，若||=||，，即||=||，且⊥，则△OAB为等腰直角三角形，则与的夹角为180°﹣45°=135°，故选：A．【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.6. 2018年武邑中学髙三第四次模拟考试结束后，对全校的数学成绩进行统计，发现数学成绩的频率分布直方图形状与正态分布的密度曲线非常拟合.据此统计：在全校随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的数学成绩超过95分的概率是 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，数学成绩超过95分的概率是，利用相互独立事件的概率公式，即可得出结论．【详解】由题意，数学成绩超过95分的概率是，∴在全校随机柚取的4名高三同学中，恰有2名冋学的数学成绩超过95分的概率是=，故选：D．【点睛】本题考查正态分布，考查相互独立事件的概率公式，考查学生解决实际问题的能力，属于基础题．7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】由题可知其立体图形C-DEFG：可得面积小于的有8. 己知为等差数列，为其前项和，若，( )A. 49B. 91C. 98D. 182【答案】B【解析】∵，∴，即，∴，故选B．9. 球与棱长为2的正方体的各个面都相切，点为棱的中点，则平面截球所得截面的面积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】设圆心到截面距离为，截面半径为，连结，由，即,∴，又，∴，所以截面的面积为.故选D.【方法点晴】本题主要考球的性质、棱锥的体积公式及等积变换的应用，属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质.10. 函数在内的值域为，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】函数，，，则，解得，选D.11. 己知双曲线的离心率，对称中心为，右焦点为，点是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的点，，的面积为，则双曲线的方程为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先求得点A的坐标，结合离心率和三角形的面积得到关于a,b的方程组，求解方程组即可求得a,b的值，进一步可得双曲线的方程.详解：由题意点A所在的渐近线为bx-ay=0，设该渐近线的倾斜角为，则，因为∠AOF=∠OAF，所以直线AF的倾斜角为，，联立方程组，解得，即，所以.因为曲线的离心率，，所以.结合，得a=3，b=.所以双曲线的方程为.本题选择C选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.12. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：将原问结合函数的单调性转化为对任意的恒成立，结合导函数的性质求解实数的最大值即可.详解：不等式.设，则,于是f(x)在上是增函数.因为，，所以，即对任意的恒成立，因此只需.设，，所以在上为增函数，所以，所以，即m的最大值是e.本题选择D选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应的位置.13. 若函数的值域为，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】f（x）=log4x，在x＞2的值域（，+∞），要使值域为R，x+a最大值必须大于等于，由一次函数图象及性质即可得到答案．【详解】∵f（x）=log4x，在x＞2的值域（，+∞），要使值域为R，x+a最大值必须大于等于，即满足：，解得：﹣≤a．故答案为：．【点睛】本题考查了分段函数的值域问题，求值域要抓住定义域为出发点，要使值域为R，其中一个函数值域为（，+∞），那么（﹣∞，]必须是另一个函数值域的真子集．即可得到答案．属于中档题．14. 已知向量，且变量满足，则的最大值为__________．【答案】【解析】，作出题中可行域，如图内部（含边界），作直线，向上平移直线，当直线过点时，为最大值．15. 己知抛物线的焦点为为坐标原点，点，射线分别交抛物线于异于点的点，若三点共线，则的值为__________．【答案】2【解析】分析：由题意联立直线方程与抛物线方程可得A,B两点的坐标，然后利用斜率相等得到关于p的方程，求解方程即可求得最终结果.详解：直线OM的方程为，将其代入x2=2py，解方程可得，故.直线ON的方程为，将其代入x2=2py，解方程可得，故.又，所以，，因为A，B，F三点共线，所以k AB=k BF，即，解得p=2.点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．16. 设是函数的导数，若是的导数，若方程方有实数解，则称.点为函数的“拐点”.已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设，数列的通项公式为，则__________．【答案】4034【解析】【分析】由题意对已知函数求两次导数可得f′′（x）=2x﹣4，由题意可得函数的图象关于点（2，2）对称，即f（x）+f（4﹣x）=2，由数列{a n}的通项公式分析可得{a n}为等差数列，且a1+a2017=a2+a2016=…=2a1009=4，而=f（a1）+f（a2）+…+f（a2016）+f（a2017），结合f（x）+f（4﹣x）=2，计算可得答案．【详解】根据题意，三次函数，则=x2﹣4x+，则=2x﹣4，若=2x﹣4=0，则有x=2，又由，则f（2）=2，即（2，2）是三次函数的对称中心，则有f（x）+f（4﹣x）=4，数列{a n}的通项公式为a n=n﹣1007，为等差数列，则有a1+a2017=a2+a2016=…=2a1009=4则=f（a1）+f（a2）+…+f（a2016）+f（a2017）=f（a1）+f（a2017）+f（a2）+f（a2016）+…+f（a1008）+f（a1010）+f（a1009）=4×1008+2=4034；故答案为：4034．【点睛】本题考查了三次函数的中心对称性，考查了数列求和，解题关键是利用对称性成对求和即可,属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 如图，在中，点在边上，，.(I)求；(Ⅱ)若的面积是，求.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（I）根据余弦定理，求得，则△是等边三角形.，故（II）由题意可得，又由，可得以，再结合余弦定理可得，最后由正弦定理可得，即可得到的值试题解析：(Ⅰ)在△中, 因为,由余弦定理得,所以,整理得,解得.所以.所以△是等边三角形.所以(Ⅱ) 法1: 由于是△的外角, 所以.因为△的面积是, 所以.所以.在△中,,所以.在△中, 由正弦定理得,所以.法2: 作, 垂足为,因为△是边长为的等边三角形,所以.因为△的面积是, 所以.所以.所以.在Rt△中, ,所以, .所以.18. 质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别随机抽取100桶检测某項质量指标，由检测结果得到如图的頻率分布直方图：(I)写出頻率分布直方图(甲）中的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的貭量指标的方差分别为，试比较的大小（只要求写出答案）；(Ⅱ)佑计在甲、乙两种食用油中各随机抽取1桶，恰有一个桶的质量指标大于20，且另—个桶的质量指标不大于20的概率；(Ⅲ)由頻率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值服从正态分布.其中近似为样本平均数，近似为样本方差，设表示从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于（14.55， 38.45)的桶数，求的数学期望.注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得：②若，则，.【答案】(1);(2)0.42;(3)6.826.【解析】【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质能求出a的值，并能比较，的大小．（Ⅱ）设事件A：在甲种食用油中随机抽取1桶，其质量指标不大于20，事件B：在乙种食用油中随机抽取1桶，其质量指标不大于20，事件C：在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一个桶的质量指标大于20，且另一个桶的质量指标不大于20，由题意分别求出P（A）和P（B），由P（C）=P（）P（B）+P（A）P（），能求出在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一个桶的质量指标大于20，且另一个不大于20的概率．（Ⅲ）先求出=26.5，由条件得Z～N（26.5，142.75），从而知X～B（10，0.6826），由此能求出EX．【详解】(1) ；(Ⅱ)设事件：在甲种食用油中随机抽取1捅，其质量指标不大于20，事件：在乙种食用油中随机抽取1捅，其质量指标不大于20，事件：在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一个桶的质量指标大于20，且另一个不大于20，则，，；（Ⅲ）计算得:，由条件得从而，从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于(14.55，38.45)的概率是0.6826，依题意得，.【点睛】本题考查概率统计实际问题，属于中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质和正态分布性质的合理运用．19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，分别是的中点.(1)证明：；(2)设为线段上的动点，若线段长的最小值为，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（1）证明线线垂直则需证明线面垂直，根据题意易得，然后根据等边三角形的性质可得，又，因此得平面，从而得证（2）先找到EH什么时候最短，显然当线段长的最小时，，在中，，，，∴，由中，，，∴.然后建立空间直角坐标系，写出两个面法向量再根据向量的夹角公式即可得余弦值解析：（1）证明：∵四边形为菱形，，∴为正三角形.又为的中点，∴.又，因此.∵平面，平面，∴.而平面，平面且，∴平面.又平面，∴.（2）如图，为上任意一点，连接，.当线段长的最小时，，由（1）知，∴平面，平面，故.在中，，，，∴，由中，，，∴.由（1）知，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又，分别是，的中点，可得，，，，，，，所以，.设平面的一法向量为，则因此，取，则，因为，，，所以平面，故为平面的一法向量.又，所以.易得二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为.20. 在平面直角坐标系中，是轴上的动点，且，过点分别作斜率为，的两条直线交于点，设点的轨迹为曲线.(I)求曲线的方程；(Ⅱ)过点的两条直线分别交曲线于点和，且，求证直线的斜率为定值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】（Ⅰ）求出M，N的坐标，利用|OM|2+|ON|2=8求曲线E的方程；（Ⅱ）利用点差法，求出CD的斜率，即可证明结论．【详解】(1)设，直线，令，得直线，令，得..曲线的方程是；(Ⅱ) ，设，，，则，即，①，同理，②将，代入椭圆方程得，化简得③把①②代入的，得将，代入椭圆方程，同理得代入上式得.即，直线的斜率为定值.【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 设函数.(I)讨论的单调性；(Ⅱ)当时，讨论的零点个数.【答案】(1)见解析;(2)当时，共有3个零点.【解析】【分析】（I）求出导函数 f'（x）=2（x﹣1）（1nx+a）（x＞0）．通过①当a=0时，②当a＞0时，③当a＜0时，判断导函数的符号，然后判断函数的单调性．（Ⅱ）当a＜﹣2时，由（I）知f（x）在（0，1）上递增，（1，e﹣a）上递减，（e﹣a，+∞）上递增，当x∈（0，1）时存在x0，使f（x0）＜0．推出函数f（x）在（0，1）上的单调性，可知f（x）在（0，1）上有唯一的一个零点．说明在x∈（e﹣a，+∞）上，存在x1，使f（x1）＞0，然后推出f（x）当a＜﹣2时，共有3个零点．【详解】(I) .①当时，，当时，，当时，，当时，.在递增②当时，令，得，此时.易知在递增，递减，递增③当时，.易知在递增，递减，递增(Ⅱ)当时，由(I)知在上递增，上递减，上递增，且，将代入，得，下面证明当时存在，使.首先，由不等式，，.考虑到，.再令，可解出一个根为，，，就取.则有.由零点存在定理及函数在上的单调性，可知在上有唯一的一个零点.由，及的单调性，可知在上有唯一零点.下面证明在上，存在，使，就取，则，，由不等式，则，即.根据零点存在定理及函数单调性知在有一个零点.综上可知，当时，共有3个零点.【点睛】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22. 选修4-4;坐标系与参数方程已知直线的参数方程为(为参数，)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立级坐标系，圆的级坐标方程为.(I)讨论直线与圆的公共点个数；(Ⅱ)过极点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹与圆相交所得弦长.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：(Ⅰ)根据直线参数方程的几何意义可知直线式过定点，将极坐标方程化为直角坐标，可知圆心为，半径为，动态讨论倾斜角可得结果；(Ⅱ)直线与圆的极坐标方程联立，求出极径，即可得结果.试题解析：(Ⅰ)直线式过定点，倾斜角在内的一条直线，圆的方程为，∴当时，直线与圆有1个公共点；当时，直线与圆有2个公共点(Ⅱ)依题意，点在以为直径的圆上，可得轨迹极坐标方程为.联立得.∴点的轨迹与圆相交所得弦长是.23. 选修4-5:不等式选讲已知 .(I)当时，求不等式的解集；(Ⅱ)若函数的值域为，且，求的取值范国 .【答案】(1)或;(2).【解析】【分析】(I)将a=1代入f（x），通过讨论x的范围求出各个区间上的x的范围，取并集即可；(Ⅱ)通过讨论a的范围，得到关于a的不等式组，解出即可．【详解】(I)当时，不等式即为.当时，不等式可化为，；当时，不等式可化为，；当时，不等式可化为，.综上所述:原不等式的解集为或，(Ⅱ) ，.函数的值域，，，解得或，的取值范围是.【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。