最新高三一轮复习函数的性质[偏难题]含答案及解析

合集下载

2025年高考数学一轮复习讲义含答案解析第5节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

第五节函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念五个关键点如下表所示：x05－φωπ2ω－φω06π－φω3π2ω－φω072π－φωωx＋φ008π2π093π22πy＝A sin(ωx＋φ)0A0－A0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径提醒：两种变换的区别：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位长度．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin 12x.()(2)将y＝sin(－2x)的图象向右平移π6个单位长度，得到y＝sin －2x－π3的图象．()(3)利用图象变换作图时，可以“先平移，后伸缩”，也可以“先伸缩，后平移”，平移的长度一致．()(4)y＝2sin 13x－π4的初相为－π4.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)y＝2sin 12x－π3的振幅、频率和初相分别为()A．2，4π，π3B．2，14π，π3C．2，14π，－π3D．2，4π，－π3答案C解析由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.故选C.(2)(人教A 必修第一册习题5.6T1改编)为了得到函数y ＝2sin x y＝2sin2x 的图象()A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度答案A解析y ＝x 2sin 2故选A.(3)(人教B 必修第三册7.3.2练习B T1改编)为了得到y ＝3cos x y ＝3cos ()A ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变B ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变C ．纵坐标缩短到原来的13，横坐标不变D ．横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变答案D解析因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把y ＝3cos纵坐标不变，横坐标缩短到原来的13，即可得到函数y ＝3cos x ．故选D.(4)(人教A 必修第一册5.7例1改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，A ＞0，ω＞0，0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为________．答案y ＝10，x ∈[6，14]解析从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的半个周期，则＋B ＝15，A ＋B ＝5，所以A ＝12×(15－5)＝5，B ＝12×(15＋5)＝10.又12×2πω＝14－6，所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z ，0<φ<π，所以φ＝3π4，所以y ＝10，x ∈[6，14]．考点探究——提素养考点一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换例1(1)将函数f (x )＝cos x 的图象向左平移π2个单位长度，得到的图象的函数解析式为()A ．y ＝－xB ．y ＝xC ．y ＝－xD ．y ＝x 答案D解析由题意知，将函数f (x )＝cosx 图象向左平移π2个单位长度，得g (x )＝cos 3＋π6＝x ＋3π2＋cos πx ＋π2＋x ＋π2＋x 所以函数解析式为y ＝x 故选D.(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ>0，0<φ－π6，f (x )的相邻两个零点的距离为π2，为得到y ＝f (x )的图象，可将y ＝sin x 图象上的所有点()A ．先向右平移π3个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变B ．先向左平移π3个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变C ．先向左平移π3个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变D ．先向右平移π3个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变答案B解析因为相邻两个零点的距离为π2，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2×π2＝π，则ω＝2πT＝2，又点B －π6，，所以sin 2×φ＝0，解得－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋k π，k ∈Z ，又0<φ<π2，所以当k ＝0时，φ＝π3，所以f (x )＝x 则将y ＝sin x 的图象先向左平移π3个单位长度可得y ＝sin ，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝f (x )的图象．故选B.【通性通法】三角函数图象变换的关键点及解题策略(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到哪一个函数的图象．(2)变同名：如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．(3)选方法：根据变换前后函数的特点，选择先平移后伸缩还是先伸缩后平移．注意：对于函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象，向左平移|φ|个单位长度得到的是函数y ＝sin[ω(x ＋|φ|)]的图象，而不是函数y ＝sin(ωx ＋|φ|)的图象．【巩固迁移】1．(2023·武汉模拟)为了得到y ＝sin y ＝sin x 图象上的所有点的纵坐标不变()A ．所有点的横坐标变为原来的14，再向右平移π8个单位长度B ．所有点的横坐标变为原来的4倍，再向右平移π8个单位长度C ．先向右平移π8个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的4倍D ．先向右平移π2个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的14答案C解析y ＝sin x 图象上所有点的横坐标变为原来的4倍得到y ＝sin x 4的图象，再向右平移π2个单位长度得到y ＝sin ，故A ，B 错误；y ＝sin x 的图象先向右平移π8到y ＝sin，再将所有点的横坐标变为原来的4倍得到y ＝sin ，故C 正确，D 错误．考点二求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的表达式可以为()A ．f (x )＝xB ．f (x )＝xC ．f (x )＝xD ．f (x )＝答案A解析不妨令A ＞0，ω＞0.由题图可知，A ＝2，34T ＝13π12－π3，∴T ＝π，∴ω＝2πT＝2，f (x )的2×13π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，故φ＝－13π6＋π2＋2k π，k ∈Z ，∴f (x )＝x －13π6＋π2＋2k x －π6＋x 故选A.【通性通法】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT.(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时，ωx ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )；“最小值点”(即图象的“谷点”)时，ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )．提醒：如果已知图象上有最值点，最好代入最值点求解．若将图象上的非最值点代入解析式求解时，注意点在上升区间还是在下降区间．【巩固迁移】2．(2024·湘潭模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ>0，ω>0，|φ将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为()A ．y ＝－cos2xB ．y ＝cos2xC ．y ＝xD ．y ＝x 答案C解析观察图象得A ＝1，令函数f (x )的周期为T ，则有3T 4＝11π12－π6＝3π4，解得T ＝π，则ω＝2πT＝2，而当x ＝π6时，f (x )max ＝1，则有2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，又|φ|<π2，则φ＝π6，因此f (x )＝x 将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度得x 所以将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y ＝x 故选C.考点三函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质(多考向探究)考向1图象与性质的综合应用例3(1)已知函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的最小正周期为π，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度后，再将图象上的所有点的纵坐标缩短为原来的33，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )－3cos x 的最小值为()A ．4B ．－4C ．178D ．－178答案D解析f (x )＝sin ＋sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx ＋sin ωx ＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3sin因为f (x )的最小正周期为π，ω>0，所以π＝2πω，所以ω＝2，所以f (x )＝3sin x 又将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度后，再将图象上的所有点的纵坐标缩短为原来的33，得到函数y ＝g (x )的图象，所以g (x )＝33×3sin 2＋π6＝cos2x ，所以y ＝g (x )－3cos x ＝cos2x －3cos x ＝2cos 2x －3cos x －1，当cos x ＝34时，y ＝g (x )－3cos x 有最小值，为－178.故选D.(2)已知函数f (x )＝ω>0)，若函数f (x )在区间(0，π)上有且只有两个零点，则ω的取值范围为________．答案，136解析由x ∈(0，π)可得ωx －π6∈－π6，ωπ若函数f (x )在区间(0，π)上有且只有两个零点，则π<ωπ－π6≤2π，解得76<ω≤136故ω，136.【通性通法】(1)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．(2)解决三角函数中的零点(方程根)问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后利用数形结合思想求解．【巩固迁移】3．(多选)(2023·黑龙江佳木斯一中模拟)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋1的图象向左平移π3个单位长度后关于直线x ＝0对称，则下列说法正确的是()A ．f (x )在区间π3，4π3上有一个零点B ．f (x )C ．f (x )在区间π12，5π12上单调递增D ．f (x )在区间π12，π4上的最大值为32＋1答案AD解析函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋1的图象向左平移π3个单位长度后的图象对应的解析式为g (x )＝sin 2φ＋1＝x ＋2π31，又g (x )的图象关于直线x ＝0对称，且|φ|<π2，所以2π3＋φ＝π2，φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝x 1，因为0，所以f (x )的图象，故B 错误；当π3≤x ≤4π3时，π2≤2x －π6≤5π2，令t ＝2x －π6，则f (x )在π3，4π3的零点个数可转化为y ＝sin t ＋1在t ∈π2，5π2的零点个数，结合图象可知，当π2≤t ≤5π2时，y ＝sin t ＋1的图象与x 轴只有一个交点，即f (x )在π3，4π3上只有一个零点，故A 正确；当π12≤x ≤5π12时，0≤2x －π6≤2π3，结合图象可知，此时f (x )有增有减，故C 错误；当π12≤x ≤π4时，0≤2x －π6≤π3，结合图象可知，此时f (x )单调递增，所以当x ＝π4时，函数取最大值，为sin π3＋1＝32＋1，故D 正确．故选AD.考向2三角函数模型的简单应用例4如图，点A ，B 分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A 从初始位置A cos π3，2rad/s 做圆周运动，同时点B 从初始位置B 0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2rad/s 做圆周运动．记t 时刻，点A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2.(1)求t ＝π4时，A ，B 两点间的距离；(2)若y ＝y 1＋y 2，求y 关于时间t (t >0)的函数关系式，并求当t ，π2时，y 的取值范围．解(1)连接AB ，OA ，OB (图略)，当t ＝π4时，∠xOA ＝π2＋π3＝5π6，∠xOB ＝π2，所以∠AOB ＝2π3.又OA ＝1，OB ＝2，所以AB 2＝12＋22－2×1×2cos 2π3＝7，即A ，B 两点间的距离为7.(2)依题意，y 1＝t y 2＝－2sin2t ，所以y ＝t 2sin2t ＝32cos2t －32sin2t ＝3cos t即函数关系式为y ＝3cos t t >0)，当t ，π2时，2t ＋π3∈，4π3，所以t ∈－1故当t ，π2时，y ∈－3【通性通法】利用三角函数模型解决实际问题的步骤(1)寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型．(2)寻找数据，建立函数解析式并解题；最后将所得结果“翻译”成实际答案，要注意根据实际作答．解题思路如下：【巩固迁移】4．(多选)(2024·西南大学附中模拟)水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A (3，－33)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t 秒后，水斗旋转到点P ，设点P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足y ＝f (t )＝R sin(ωt ＋φ0，ω>0，|φ()A ．水斗做周期运动的初相为－π3B ．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其高度不断增加C ．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其最高点离平衡位置的纵向距离是33D ．当水斗旋转100秒时，其和初始点A 的距离为6答案AD解析对于A ，由A (3，－33)，知R ＝32＋(－33)2＝6，T ＝120，所以ω＝2πT ＝π60.当t ＝0时，点P 在点A 位置，有－33＝6sin φ，解得sin φ＝－32，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，故A 正确；对于B ，由A 项可知f (t )＝当t ∈(0，60]时，π60t －π3∈－π3，2π3，所以函数f (t )先增后减，故B 错误；对于C ，当t ∈(0，60]时，π60t －π3∈－π3，2π3，－32，1，所以点P 到x 轴的距离的最大值为6，故C 错误；对于D ，当t ＝100时，π60t －π3＝4π3，点P 的纵坐标为y ＝－33，横坐标为x ＝－3，所以|PA |＝|－3－3|＝6，故D 正确．课时作业一、单项选择题1．为了得到函数y ＝2sin y ＝sin x －3cos x 的图象()A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度答案C解析y ＝sin x －3cos x ＝x －32cos x cos π3－cos x 故将其图象向左平移π2个单位长度可得y ＝＋π2－2sin ．故选C.2．关于函数f (x )＝x ()A ．－π是f (x )的一个周期B ．f (x )的图象可由y ＝sin2x 的图象向右平移π3个单位长度得到C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝17π12对称答案B解析f (x )＝sinx π，故－π也是其周期，故A 正确；f (x )的图象可由y＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故B sin2π＝0，故C 正确；sin 5π2＝sin π2＝1，故D 正确．3.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ，ω，φ是常数，A >0，ω>0，0<φ为了得到函数f (x )的图象，可以将函数y ＝2sin x 的图象()A ．先向右平移π6个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变B ．先向左平移π6个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变C ．先向左平移π3个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变D ．先向左平移π3个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变答案D解析由题图可知，A ＝2，14T ＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.当x ＝7π12时，7π12×2＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3.所以f (x )＝2sin x将y ＝2sin x 的图象先向左平移π3个单位长度，得到y ＝2sin ，再将所得图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到f (x )＝2sin x ．故选D.4．(2023·湖南永州模拟)将函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －1的图象向右平移π6个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的单调递增区间是()A ．－π12＋k π2，π6＋k π2(k ∈Z )B ．－π24＋k π2，5π24＋k π2(k ∈Z )C ．－π3＋2k π，2π3＋2k π(k ∈Z )D ．－π6＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )答案A解析f (x )＝32sin2x ＋1＋cos2x 2－1＝32sin2x ＋cos2x 2－12＝x －12，则g (x )＝x －12，令－π2＋2k π≤4x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π12＋k π2≤x ≤π6＋k π2(k ∈Z )．5．(2023·贵州贵阳模拟)将函数f (x )＝sin(2x －φ)(φ>0)的图象向右平移π8个单位长度，得到函数g (x )的图象．若g (x )在0，φ2上单调递增，则φ的最大值为()A ．3π4B ．π2C ．π3D ．π4答案D解析由题意可得g (x )＝f＝sin x －π4－当x ∈0，φ2时，2x －π4－φ∈－π4－φ，－π4，因为g (x )在0，φ2上单调递增，所以－π2≤－π4－φ<－π4，解得0<φ≤π4，所以φ的最大值为π4.6.已知函数f (x )＝4sin(ωx ＋φ＋φω>0，|φ|<π2，如图是y ＝f (x )的部分图象，则＝()A ．－3B ．3C ．－2D ．2答案A解析f (x )＝4sin(ωx ＋φ＋φ4sin(ωx ＋φ)cos(ωx ＋φ)＝2sin(2ωx ＋2φ)．由题图可知f (0)＝3，即sin2φ＝32，由于点(0，3)在单调递增的区间内，所以2φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝π6＋k π，k ∈Z ，根据题意知φ＝π6，则5π6ω＋π3＝2π，解得ω＝2，故f (x )＝x 则2sin 4π3＝－2sin π3＝－ 3.故选A.7．若关于x 的方程23cos 2x －sin2x ＝3－m 在区间－π4，π6上有且只有一个解，则m 的取值范围为()A ．(－1，0]B ．{－2}∪(－1，0]C ．[－2，0]D ．{－1}∪[0，1)答案B解析23cos 2x －sin2x ＝3－m 整理可得x ＝－m 2，令t ＝2x ＋π6，因为x ∈－π4，π6，则t ∈－π3，π2，所以cos t ＝－m2在区间－π3，π2上有且只有一个解，即y ＝cos t 的图象和直线y ＝－m 2只有1个交点．由图可知，－m 2＝1或0≤－m 2<12，解得m ＝－2或－1<m ≤0.故选B.8．(2023·湖北三校联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)ω>0，0<φ<π2f (x 1)＝f (x 2)＝－32，则cos π6(x 2－x 1)＝()A ．－34B ．－74C ．34D ．74答案C解析由f (0)＝2sin φ＝1，得sin φ＝12，因为0<φ<π2，所以φ＝π6，又由图象可知12T >52，即T ＝2πω>5，解得0<ω<2π5，又由f 52＝2sin 52ω＋π60，即52ω＋π6＝k π，k ∈Z ，即ω＝－π15＋25k π，k ∈Z ，从而ω＝π3，故f (x )＝2sin π3x ＋π6，令π3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，则x ＝1＋3k ，k ∈Z ，从而函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝1＋3k ，k ∈Z ，由图象可知，直线x ＝x 1与直线x ＝x 2关于直线x ＝－2对称，即x 1＋x 2＝－4，则x 2＝－4－x 1，且x 1∈－72，－2，因为f (x 1)＝2sin π3x 1＋π6＝－32，所以sin π3x 1＋π6＝－34，所以cos π6(x 2－x 1)＝cos π6(－4－2x 1)＝cos π3x 1＋π6＋π2sin π3x 1＋π6＝34.二、多项选择题9．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|≤π)的部分图象如图所示，则()A ．ω＝πB ．f (x )的单调递减区间为2k －14，2k ＋34，k ∈Z C ．φ＝π4D ．f (x )的单调递减区间为k －14，k ＋34，k ∈Z 答案ABC解析由图象可知T 2＝πω＝54－14，所以ω＝π，则f (x )＝cos(πx ＋φ)，故A 正确；因为点14，0在图象上，所以cos π4＋φ0，所以π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋k π，k ∈Z ，又|φ|≤π，f (0)＝cos φ∈(0，1)，所以φ＝π4，所以函数f (x )＝cos πx ＋π4故C 正确；令2k π≤πx ＋π4≤2k π＋π，k ∈Z ，即2k －14≤x ≤2k ＋34，k ∈Z ，所以f (x )的单调递减区间为2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故B正确，D 错误．故选ABC.10．函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则()A ．f (x )＝3sin 2x ＋5π8B ．f (x )图象的一条对称轴方程是x ＝－5π8C ．f (x )k π－π8，0k ∈ZD ．函数y ＝f 答案BD解析由函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)的图象知，12T ＝3π8－＝π2，所以T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x ＋φ)，因为3，所以φ－π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝3π4＋2k π，k ∈Z ，因为0<φ<π，所以φ＝3π4，f (x )＝x 对于A ，由以上分析可知A错误；对于B ，－5π4＋3，故B 正确；对于C ，令2x ＋3π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝12k π－3π8，k ∈Z ，所以f (x )－3π8，k ∈Z ，故C错误；对于D ，设g (x )＝x ＋7π4＋x 3cos2x ，则g (x )的定义域为R ，g (－x )＝3cos(－2x )＝3cos2x ＝g (x )，所以g (x )为偶函数，故D 正确．故选BD.三、填空题11．(2023·山东日照模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则φ＝________．答案π6解析由题图知T 2＝5π12＝π2，T ＝π，ω＝2ππ＝2，由五点法可知，φ＝0＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π，所以φ＝π6.12．已知函数f (x )＝－12(ω>0)，将f (x )图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．已知g (x )在[0，π]上恰有5个零点，则ω的取值范围是________．答案2解析g (x )＝ωx －12，令t ＝2ωx －π3，由题意g (x )在[0，π]上恰有5个零点，即cos t＝12在t ∈－π3，2πω－π3上恰有5个不相等的实根，由y ＝cos t 的性质可得11π3≤2πω－π3<13π3，解得2≤ω<73.故ω的取值范围为213．函数y ＝tan x 的相邻两个周期的图象与直线y ＝2及y ＝－2围成的图形的面积是________．答案4π解析由题意，画出图象如图所示．根据正切函数的对称性可知，两个阴影部分的面积相等，因此由y ＝tan x 的相邻两个周期的图象与直线y ＝2及y ＝－2围成的图形的面积可以看成矩形ABCD 的面积，因而S 矩形ABCD ＝4π.14．已知M ，N 是函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0)的图象与直线y ＝3的两个不同的交点．若|MN |的最小值是π12，则ω＝________．答案4解析由于M ，N 是函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0)的图象与直线y ＝3的两个不同的交点，故M ，N 的横坐标是方程2cos(ωx ＋φ)＝3的解，即M ，N 的横坐标x 1，x 2(不妨令x 1<x 2)是方程cos(ωx ＋φ)＝32的解，设u ＝ωx ＋φ，作出函数y ＝cos u 的图象如图所示，设u 1＝ωx 1＋φ，u 2＝ωx 2＋φ，当x 2－x 1取最小值时，u 2－u 1＝ω(x 2－x 1)取得最小值，即π12ω＝π6－＝π3，解得ω＝4.四、解答题15．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的最小正周期是π.(1)求ω的值；(2)求f (x )图象的对称中心；(3)将f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间．解(1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝又ω>0，∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π6，k ∈Z ，∴f (x )－π6，k ∈Z .(3)将f (x )的图象向右平移π3个单位长度后可得y ＝2sin x ，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g (x )＝2sin ，由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z .∴g (x )的单调递增区间为2k π－π6，2k π＋5π6，k ∈Z .16．(多选)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ>0，|φ()A ．f (x )＝xB ．∀x ∈R ，f (x )≥C ．f (x )在－π2，π上的零点之和为πD ．若f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 2－x 1|≥π答案ABC解析T 2＝7π12－π12＝π2，所以T ＝π＝2πω，所以ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)，1，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝x 所以A 正确；－5π6＋1，f (x )≥f ，所以B 正确；f (x )＝0，则2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，则x ＝－π6＋k π2，k ∈Z ，k＝0时，x 1＝－π6，k ＝1时，x 2＝π3，k ＝2时，x 3＝5π6，x 1＋x 2＋x 3＝－π6＋π3＋5π6＝π，所以C 正确；若f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则x 1＝－5π12＋k π，k ∈Z ，x 2＝π12＋k π，k ∈Z ，所以|x 2－x 1|≥π2，所以D 错误．故选ABC.17.风车发电是指把风的动能转化为电能．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为120°.现有一座风车，塔高60米，叶片长度为30米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且6秒旋转一圈，风车开始旋转时，某叶片的一个端点P 在风车的最低点(P 离地面30米)，设点P 离地面的距离为S (单位：米)，转动时间为t (单位：秒)，则S 与t 之间的函数解析式为________，一圈内点P 离地面的高度不低于45米的时长为________秒．答案S ＝60－30cos π3t (t >0)4解析因为风车6秒旋转一圈，则其转动的角速度为π3rad/s ，经过t 秒时，叶片转过的圆心角为π3t ，此时离地面的高度为30＋－故S ＝60－30cos π3t (t >0)．由S ＝60－30cos π3t ≥45，得cos π3t ≤12，因为0≤t ≤6，cos π3t ≤12，所以π3≤π3t ≤5π3，解得1≤t ≤5，故一圈内点P 离地面的高度不低于45米的时长为4秒．18．设f (x )＝m x m －1(m ≠0)．(1)若m ＝2，求函数f (x )的零点；(2)当x ∈0，π2时，－3≤f (x )≤4恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)由m ＝2，得f (x )＝x1，令f (x )＝0，则x ＝－12，即2x －π3＝2k π＋2π3(k ∈Z )或2x －π3＝2k π＋4π3(k ∈Z )，解得x ＝k π＋π2(k ∈Z )或x ＝k π＋5π6(k ∈Z )，所以f (x )的零点是x ＝k π＋π2(k ∈Z )或x ＝k π＋5π6(k ∈Z )．(2)由0≤x ≤π2可得－π3≤2x －π3≤2π3，所以－12≤x1，当m >0时，易得m 2－1≤f (x )≤2m －1，由－3≤f (x )≤4x )min ≥－3，x )max ≤4，1≥－3，－1≤4，，解得0<m ≤52；当m <0时，可得2m －1≤f (x )≤m 2－1，由－3≤f (x )≤4x )min ≥－3，x )max ≤4，－1≥－3，1≤4，，解得－1≤m <0.综上可得，实数m 的取值范围是[－1，0)，52.。

高三一轮复习精题组函数的奇偶性与周期性有详细答案(供参考)(新)

§2.3 函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数,关于y 轴对称奇函数,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数,关于原点对称 2.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．( × ) (2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称． ( √ ) (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( √ ) (4)若函数f (x )＝x(x －2)(x ＋a )为奇函数，则a ＝2.( √ )(5)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数．( √ ) (6)函数f (x )为R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，则f (2 014)＝0. ( √ )2．(2013·山东)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．2答案 A解析 f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2.3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－12答案 B解析依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)，∴a ＝13，则a ＋b ＝13.4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 015)等于( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98答案 A解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (－1)．又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2，即f (2 015)＝－2.5．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________．答案 (－1,0)∪(1，＋∞)解析画草图，由f (x )为奇函数知：f (x )>0的x 的取值范围为 (－1,0)∪(1，＋∞).题型一判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9；(2)f (x )＝(x ＋1) 1－x1＋x ；(3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3.思维启迪确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证f (－x )＝±f (x )或其等价形式f (－x )±f (x )＝0是否成立．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0x 2－9≥0，得x ＝±3.∴f (x )的定义域为{－3,3}，关于原点对称．又f (3)＋f (－3)＝0，f (3)－f (－3)＝0. 即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x1＋x ≥01＋x ≠0，得－1<x ≤1.∵f (x )的定义域(－1,1]不关于原点对称． ∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称． ∴f (x )＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2x. ∴f (x )＝－f (－x )，∴f (x )是奇函数．思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x >0)0(x ＝0)－x 2－2(x <0).解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0|x －2|－2≠0，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，f (x )＝lg (1－x 2)－(x －2)－2＝－lg (1－x 2)x .∵f (－x )＝－lg[1－(－x )2]－x ＝－lg (1－x 2)－x ＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(2)f (x )的定义域为R ，关于原点对称，当x >0时，f (－x )＝－(－x )2－2＝－(x 2＋2)＝－f (x )；当x <0时，f (－x )＝(－x )2＋2＝－(－x 2－2)＝－f (x )；当x ＝0时，f (0)＝0，也满足f (－x )＝－f (x )．故该函数为奇函数．题型二函数周期性的应用例2 (1)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)等于 ( )A ．335B ．336C ．1 678D ．2 012(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.思维启迪 (1)f (x )的周期性已知，可以通过一个周期内函数值的变化情况求和．(2)通过题意先确定函数的周期性．答案 (1)B (2)2.5解析 (1)利用函数的周期性和函数值的求法求解． ∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6.∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12)＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝1×2 0106＝335.而f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝1＋2－1＋0－1＝1. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝335＋1＝336. (2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )．故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5.思维升华 (1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． (2)求函数周期的方法(1)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2 (2)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52等于 ( ) A ．－12B ．－14C.14D.12答案 (1)A (2)A解析 (1)由f (x )是R 上周期为5的奇函数知 f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2， f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (3)－f (4)＝－1，故选A.(2)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12 ＝－2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12. 题型三函数性质的综合应用例3 设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调区间．思维启迪可以先确定函数的周期性，求f (π)；然后根据函数图象的对称性、周期性画出函数图象，求图形面积、写单调区间．解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π) ＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得：f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4.(3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1] (k ∈Z )，单调递减区间为[4k ＋1,4k ＋3] (k ∈Z )．思维升华关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．(1)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25) C ．f (11)<f (80)<f (－25) D ．f (－25)<f (80)<f (11) 答案 (1)A (2)D解析 (1)偶函数满足f (x )＝f (|x |)，根据这个结论，有f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13⇔f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫13，进而转化为不等式|2x －1|<13，解这个不等式即得x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，23.(2)由函数f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是增函数可以推知， f (x )在[－2,2]上递增，又f (x －4)＝－f (x )⇒f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，故函数f (x )以8为周期，f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)， f (80)＝f (0)，故f (－25)<f (80)<f (11)．忽视定义域致误典例：(10分)(1)若函数f (x )＝k －2x 1＋k ·2x在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．易错分析 (1)解题中忽视函数f (x )的定义域，直接通过计算f (0)＝0得k ＝1. (2)本题易出现以下错误由f (1－x 2)>f (2x )得1－x 2>2x ，忽视了1－x 2>0导致解答失误．解析 (1)∵f (－x )＝k －2－x1＋k ·2－x ＝k ·2x －12x ＋k，∴f (－x )＋f (x )＝(k －2x )(2x ＋k )＋(k ·2x －1)·(1＋k ·2x )(1＋k ·2x )(2x＋k ) ＝(k 2－1)(22x ＋1)(1＋k ·2x )(2x ＋k ).由f (－x )＋f (x )＝0可得k 2＝1，∴k ＝±1.(2) 画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象，由图象可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋2，得x ∈(－1，2－1)．答案 (1)±1 (2)(－1，2－1)温馨提醒 (1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域． (2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注： ①抓住对变量所在区间的讨论．②保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系． ③弄清最终结果取并还是交．方法与技巧1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件； (2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．3．若对于函数f (x )的定义域内任一个自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f (x )或f (x ＋a )＝－1f (x )(a 是常数且a ≠0)，则f (x )是一个周期为2a 的周期函数．失误与防范1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )是奇函数，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)．对于偶函数的判断以此类推．3．分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性.A 组专项基础训练一、选择题1．(2013·广东)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 C解析由奇函数的定义可知y ＝x 3，y ＝2sin x 为奇函数．2．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于 ( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3答案 A解析 ∵f (x )是奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ， ∴f (1)＝－f (－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.3．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)答案 A解析由题意知f (x )为偶函数，所以f (－2)＝f (2)，又x ∈[0，＋∞)时，f (x )为减函数，且3>2>1， ∴f (3)<f (2)<f (1)，即f (3)<f (－2)<f (1)，故选A.4．定义两种运算：a b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝(a －b )2，则f (x )＝2x 2－(x ⊗2)是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数答案 A 解析因为2x ＝4－x 2，x ⊗2＝(x －2)2，所以f (x )＝4－x 22－(x －2)2＝4－x 22－(2－x )＝4－x 2x，该函数的定义域是[－2,0)∪(0,2]，且满足f (－x )＝－f (x )．故函数f (x )是奇函数．5．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)等于( )A ．2 B.154C.174D ．a 2答案 B解析 ∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数， ∴f (－2)＝－f (2)，g (－2)＝g (2)＝a ， ∵f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，①∴f (－2)＋g (－2)＝g (2)－f (2)＝a －2－a 2＋2，②由①、②联立，g (2)＝a ＝2，f (2)＝a 2－a －2＝154.二、填空题6．函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 答案－－x －1解析 ∵f (x )为奇函数，x >0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x <0时，－x >0， f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.答案 0解析 ∵函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |，∴a ＝0.8．已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2 015)＝________.答案 14解析方法一令x ＝1，y ＝0时，4f (1)·f (0)＝f (1)＋f (1)，解得f (0)＝12，令x ＝1，y ＝1时，4f (1)·f (1)＝f (2)＋f (0)，解得f (2)＝－14，令x ＝2，y ＝1时，4f (2)·f (1)＝f (3)＋f (1)，解得f (3)＝－12，依次求得f (4)＝－14，f (5)＝14，f (6)＝12，f (7)＝14，f (8)＝－14，f (9)＝－12，…可知f (x )是以6为周期的函数，∴f (2 015)＝f (335×6＋5)＝f (5)＝14.方法二 ∵f (1)＝14，4f (x )·f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，∴构造符合题意的函数f (x )＝12cos π3x ，∴f (2 015)＝12cos ⎝⎛⎭⎫π3×2 015＝14. 三、解答题9．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称． (1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式． (1)证明由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．(2)解由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0. x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x .故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x .x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]，f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x －4. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．B 组专项能力提升1．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 013)＋f (2 015)的值为( ) A ．－1B ．1C ．0D ．无法计算答案 C解析由题意，得g (－x )＝f (－x －1)，又∵f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)，∴f (x )的周期为4，∴f (2 013)＝f (1)，f (2 015)＝f (3)＝f (－1)，又∵f (1)＝f (－1)＝g (0)＝0，∴f (2 013)＋f (2 015)＝0.2．设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是( ) A ．a <－1或a ≥23 B ．a <－1C ．－1<a ≤23D ．a ≤23答案 C 解析函数f (x )为奇函数，则f (1)＝－f (－1)．由f (1)＝－f (－1)≥1，得f (－1)≤－1；函数的最小正周期T ＝3，则f (－1)＝f (2)，由2a －3a ＋1≤－1，解得－1<a ≤23. 3．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________．答案 ①②解析在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x 是增函数，则f (x )在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；在区间[－1,1]上，f (x )的最大值为f (1)＝f (－1)＝2，f (x )的最小值为f (0)＝1，故③错误．4．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1.∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}．5．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0.(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 005,2 005]上的根的个数，并证明你的结论．解(1)∵f(1)＝0，且f(x)在[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0，又∵f(2－x)＝f(2＋x)，令x＝－3，f(－1)＝f(5)≠0，∴f(－1)≠f(1)，且f(－1)≠－f(1)．∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f(10＋x)＝f[2＋8＋x]＝f[2－(8＋x)]＝f(－6－x)＝f[7－(13＋x)]＝f[7＋13＋x]＝f(20＋x)，∴f(x)以10为周期．又f(x)的图象关于x＝7对称知，f(x)＝0在(0,10)上有两个根，则f(x)＝0在(0,2 005]上有201×2＝402个根；在[－2 005,0]上有200×2＝400个根；因此f(x)＝0在闭区间上共有802个根．。

高考数学一轮复习函数性质的综合问题

第4讲函数性质的综合问题函数的单调性与奇偶性(1)设f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f(x－1)≥f(3)的解集为()A．[－3，3]B．[－2，4]C．[－1，5] D．[0，6](2)(多选)定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的是() A．f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)B．f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)C．f(a)＋f(－b)<g(b)－g(－a)D．f(a)＋f(－b)>g(b)－g(－a)【解析】(1)因为f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，所以－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，由函数f(x)在[－6，0]上为增函数，得f(x)在[0，6]上为减函数．故f(x－1)≥f(3)⇒f(|x－1|)≥f(3)⇒|x－1|≤3，故－2≤x≤4.(2)函数f(x)为R上的奇函数，且为单调减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，由a>b>0，得f(a)<f(b)<0，f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)；对于A，f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)⇔f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝2f(b)<0(因为f(a)＝g(a)在a>0上成立)，所以A正确；对于B，f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)⇔f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝2f(b)>0，这与f(b)<0矛盾，所以B错误；对于C，f(a)＋f(－b)<g(b)－g(－a)⇔f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝2[f(a)－f(b)]<0，这与f(a)<f(b)符合，所以C正确；对于D，f(a)＋f(－b)>g(b)－g(－a)⇔f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝2[f(a)－f(b)]>0，这与f (a )<f (b )矛盾，所以D 错误．【答案】 (1)B (2)AC函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于y 轴对称的两个区间上具有相反的单调性．(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x 1)>f (x 2)或f (x 1)<f (x 2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．1．已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a 0，则实数m 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，43D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，43解析：选C.因为f (x )为偶函数，且在[0，3)上是减函数，所以f (x )在(－3，0)上是增函数．f (m －1)－f (3m －1)>0可化为f (m －1)>f (3m －1)，因为f (x )为偶函数，所以f (m －1)>f (3m －1)即为f (|m －1|)>f (|3m －1|)．又f (x )在[0，3)上为减函数，所以⎩⎨⎧－3<m －1<3，－3<3m －1<3，|m －1|<|3m －1|，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，43，故选C.函数的周期性与奇偶性(1)(2021·河南模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )，对任意实数x ，恒有f (x ＋3)＝－f (x )，且当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32时，f (x )＝x 2－6x ＋8，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2020)＝( )A ．6B ．3C ．0D ．－3(2)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝ ( )A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3【解析】 (1)根据题意，对任意实数x ，恒有f (x ＋3)＝－f (x )．则有f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，即函数f (x )是周期为6的周期函数，又由f (x )为定义在R 上的奇函数，得f (0)＝0，则f (3)＝－f (0)＝0.又由当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32时，f (x )＝x 2－6x ＋8，得f (1)＝3，f (2)＝f (－1＋3)＝－f (－1)＝f (1)＝3.f (4)＝f (1＋3)＝－f (1)＝－3，f (5)＝f (2＋3)＝－f (2)＝－3. 则有f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝0，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 020)＝[f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (5)]×336＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝3.故选B.(2)由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2)．所以f (x ＋4)＝f (x )，则y ＝f (x )的周期为4.所以F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝2π3.【答案】(1)B(2)B周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解．1．已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝2a－3a＋1，则实数a的取值范围为()A．(－1，4) B．(－2，1)C．(－1，2) D．(－1，0)解析：选A.因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，所以f(5)＝f(－1)＝f(1)，即2a－3a＋1<1，化简得(a－4)(a＋1)<0，解得－1<a<4.2．(2021·全国高考冲刺压轴卷(样卷))已知定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(x＋8)＋f(x)＝0，且f(5)＝5，则f(2 019)＋f(2 024)＝()A．－5 B．5C．0 D．4 043解析：选B.由f(x＋8)＋f(x)＝0，得f(x＋8)＝－f(x)，所以f(x＋16)＝－f(x＋8)＝f(x)，故函数y＝f(x)是以16为周期的周期函数．在f(x＋8)＋f(x)＝0中，令x ＝0，得f(8)＋f(0)＝0，因为函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.故f(8)＝0.故f(2 024)＝f(16×126＋8)＝f(8)＝0.又在f(x＋8)＋f(x)＝0中，令x＝－3，得f(5)＋f(－3)＝0，得f(5)＝－f(－3)＝f(3)＝5，则f(2 019)＝f(16×126＋3)＝f(3)＝5，所以f(2 019)＋f(2 024)＝5.故选B.函数的奇偶性、周期性与对称性的综合问题(1)若函数y＝f(x)在(0，2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论正确的是()A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72(2)(多选)(2021·福建高三毕业班质量检查测试)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1，0)对称，下列关于f (x )的结论，正确的是( )A ．f (x )是周期函数B ．f (x )满足f (x )＝f (4－x )C ．f (x )在(0，2)上单调递减D ．f (x )＝cos πx2是满足条件的一个函数【解析】 (1)因为y ＝f (x ＋2)是偶函数．所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (1)＝f (3)．又f (x )在(0，2)上为增函数，所以f (x )在(2，4)上为减函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.(2)因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，因为f (x )的图象关于点(1，0)对称，则f (－x )＝－f (2＋x )，故f (x ＋2)＝－f (x )，故有f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是以4为周期的周期函数，故A 正确；可得f (－x )＝f (x )＝f (x ＋4)，把x 替换成－x 可得f (x )＝f (4－x )，故B 正确；f (x )＝cos πx2是定义在R 上的偶函数，(1，0)是其图象的一个对称中心，可得D 正确；f (x )＝－cos πx2满足题意，但f (x )在(0，2)上单调递增，故C 错误．【答案】 (1)B (2)ABD函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．特别注意“奇函数若在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；偶函数一定有f (|x |)＝f (x )”在解题中的应用．函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )＝f (2－x )．若f (x )在区间[1，2]上是减函数，则f (x )( )A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数解析：选B.由f(x)＝f(2－x)得f(x)的图象关于直线x＝1对称．又f(x)是偶函数，故函数f(x)的周期是2，f(x)在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数．思想方法系列4活用函数性质中的“三个二级”结论函数的奇偶性、周期性、对称性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．一、奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x) 在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.设函数f(x)＝（x＋1）2＋sin xx2＋1的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．【解析】函数f(x)的定义域为R，f(x)＝（x＋1）2＋sin xx2＋1＝1＋2x＋sin xx2＋1，设g(x)＝2x＋sin xx2＋1，则g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，所以M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.【答案】 2二、抽象函数的周期性(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.(2)如果f(x＋a)＝1f（x）(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 023)＋f(2 024)＝()A．3B．2C．1 D．0【解析】因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(－2 023)＝－f(2 023)．因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次．又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，所以f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝2，f(2 024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝3.故f(－2 023)＋f(2 024)＝－f(2 023)＋3＝1.【答案】 C三、抽象函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数．(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称．(多选)(2021·山东日照联考)已知定义在R上的函数f(x)满足条件f(x ＋2)＝－f(x)，且函数f(x－1)为奇函数，则下列结论正确的是() A．函数f(x)是周期函数B．函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称C ．函数f (x )为R 上的偶函数D ．函数f (x )为R 上的单调函数【解析】因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )是周期函数，故A 正确；因为函数f (x －1)为奇函数，所以函数f (x －1)的图象关于原点中心对称，所以函数f (x )的图象关于点(－1，0)对称，故B 正确；因为函数f (x －1)为奇函数，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，根据f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋1)＝f (－x －1)，f (－x )＝f (x )，即函数f (x )为R 上的偶函数，故C 正确；因为函数f (x －1)为奇函数，所以f (－1)＝0，又函数f (x )为R 上的偶函数，所以f (1)＝0，所以函数f (x )不单调，D 不正确．【答案】 ABC[A 级基础练]1．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．1解析：选A.因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且周期为2，所以f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)，所以f (1)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2.2．下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x ) C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：选B.通解：设所求函数的图象上的任一点坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数y ＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x )．故选B.优解：由题意知，对称轴x ＝1上的点(1，0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，将点(1，0)代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D.故选B.3．若f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∀x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (1)<f (－2)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (－2)<f (1)解析：选 D.因为∀x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<0，所以当x ≥0时，函数f (x )为减函数，因为f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，所以f (3)<f (2)<f (1)，即f (3)<f (－2)<f (1)．4．已知函数f (x )满足f (x －1)＝f (5－x )，且对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0成立，若p ＝f (7)，q ＝f (－8)，m ＝f (－2)，则p ，q ，m 的大小关系为( )A ．q <m <pB ．p <m <qC ．q f (7)>f (12)，即m >p >q ，故选C.5．(多选)已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且函数f (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A ．函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称B ．f (4)＝0C ．f (x ＋8)＝f (x )D ．若f (－5)＝－1，则f (19)＝－1解析：选BCD.根据题意，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (－x )＝－f (x )，又由函数f (x ＋2)为偶函数，则函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则有f (－x )＝f (4＋x )，则有f (x ＋4)＝－f (x )，则f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是周期为8的周期函数；据此分析选项：对于A ，函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，A 错误；对于B ，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0，又由函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则f (4)＝0，B 正确；对于C ，函数f (x )是周期为8的周期函数，即f (x ＋8)＝f (x )，C 正确；对于D ，若f (－5)＝－1，则f (19)＝f (－5＋24)＝f (－5)＝－1，D 正确．6．若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1，x >0，a ， x ＝0，g （2x ）， x <0为奇函数，则a ＝________，f (g (－2))＝________．解析：因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即a ＝0，若x <0，则－x >0，则f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－f (－x )，则g (2x )＝－(x 2－2x －1)，令x ＝－1，则g (－2)＝－(1＋2－1)＝－2，f (－2)＝－f (2)＝－(4＋4－1)＝－7，故f (g (－2))＝－7.答案：0 －77．设函数f (x )＝x 3x 2＋1＋1在x ∈[－9，9]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．解析：f (x )＝x 3x 2＋1＋1，其中x 3x 2＋1上奇下偶明显是奇函数，最大、最小值之和为零，那么f (x )的最大值与最小值之和就是2×1＝2.答案：28．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x －2，x ≤0，f （x －2）＋1，x >0，则f (2 021)＝________．解析：当x >0时，f (x )＝f (x －2)＋1，则f (2 021)＝f (2 019)＋1＝f (2 017)＋2＝… ＝f (1)＋1 010＝f (－1)＋1 011，而f (－1)＝0，故f (2 021)＝1 011. 答案：1 0119．已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3. (1)试求f (x )在R 上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．解：(1)因为函数f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数，则f (0)＝0. 设x <0，则－x >0，因为x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ＋3)＝－x 2－2x －3.所以f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0.(2)先画出函数在y 轴右侧的图象，再根据对称性画出y 轴左侧的图象，如图．由图象可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1，0)，(0，1)．10．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论．解：(1)因为对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数．证明如下：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝12f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．[B级综合练]11．(2020·新高考卷Ⅰ)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A．[－1，1]∪[3，＋∞)B．[－3，－1]∪[0，1]C．[－1，0]∪[1，＋∞)D．[－1，0]∪[1，3]解析：选D.通解：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x＞0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，所以1≤x≤3；当x ＜0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，所以－1≤x≤1，又x＜0，所以－1≤x ＜0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，选D.优解：当x＝3时，f(3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f(4－1)＝f(3)＜0，此时不符合题意，排除选项A，C.故选D.12．(多选)已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x＋1)＝f(x－3)，f(1＋x)＝f(3－x)，当0≤x≤2时，f(x)＝x2－x，则下列说法正确的是() A．f(x)的最小正周期为4B．f(x)的图象关于直线x＝2对称C．当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为2D．当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为－1 2解析：选ABC.由f(x＋1)＝f(x－3)得，f(x)＝f[(x－1)＋1]＝f[(x－1)－3]＝f(x－4)，故函数f (x )的周期为4，A 正确；由f (1＋x )＝f (3－x )可得f (2＋x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，B 正确；作出函数f (x )在[0，8]上的大致图象如图所示，由图可知，当0≤x ≤4时，函数f (x )的最大值为f (2)＝2.C 正确；当6≤x ≤8时，函数f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14，D 错误．13．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①对任意的实数x ，y ∈R ，有f (x －y ＋1)＝f (x )·f (y )＋f (1－x )f (1－y )； ②f (x )在区间[0，1]上单调递增． (1)求f (0)的值；(2)求证：f (x )是图象关于直线x ＝1对称的奇函数．解：(1)令x ＝y ＝0，则f (1)＝f 2(0)＋f 2(1)， ① 再令x ＝0，y ＝12可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则f (1)＝f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，这与f (x )在区间[0，1]上单调递增矛盾，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≠0，故1＝f (0)＋f (1)． ②联立①②解得f (0)＝0且f (1)＝1，或f (0)＝12且f (1)＝12(舍去)．综上，f (0)＝0，f (1)＝1.(2)证明：用y 代替1－y 得f (x ＋y )＝f (x )·f (1－y )＋f (1－x )f (y )． ③ 在③中令y ＝－x ，可得f (0)＝f (x )f (1＋x )＋f (1－x )·f (－x )． ④ 由③式可知f (x ＋1)＝f (x )f (0)＋f (1－x )·f (1)＝f (1－x )，即f (x ＋1)＝f (1－x )，故f (x )的图象关于直线x ＝1对称，将上式代入④可得0＝f (x )f (1＋x )＋f (1＋x )f (－x )．又f (x ＋1)不恒为0，故f (x )＋f (－x )＝0恒成立，故f (x )为奇函数． 14．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c x ＋d (其中a ，b ，c ，d 是实数常数，x ≠－d )．(1)若a ＝0，函数f (x )的图象关于点(－1，3)成中心对称，求b ，d 的值；(2)若函数f (x )满足条件(1)，且对任意x 0∈[3，10]，总有f (x 0)∈[3，10]，求c 的取值范围．解：(1)因为a ＝0，所以f (x )＝bx ＋c x ＋d ＝b ＋c －bdx ＋d. 我们知道函数y ＝kx (x ≠0)的图象关于点(0，0)对称，而f (x )＝b ＋c －bd x ＋d 相当于将f (x )＝c －bdx 向左平移d 个单位，再向上平移b 个单位得到，因此f (x )的对称中心是(－d ，b )．又因为函数f (x )的图象的对称中心是(－1，3)，所以⎩⎨⎧b ＝3，d ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝3＋c －3x ＋1. 依据题意，对任意x 0∈[3，10]，恒有f (x 0)∈[3，10]．①当c ＝3时，f (x )＝3，符合题意．②当c ≠3且c <3时，对任意x ∈[3，10]，恒有f (x )＝3＋c －3x ＋1<3，不符合题意．所以c >3，函数f (x )＝3＋c －3x ＋1在[3，10]上是单调递减函数，且满足f (x )>3.因此，当且仅当f (3)≤10，即3<c ≤31时符合题意．综上，所求实数c 的取值范围是[3，31]．[C 级创新练]15．如果定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数y ＝f (x )为“H 函数”．下列函数为“H 函数”的是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝e xC ．f (x )＝x 3－3xD ．f (x )＝x |x |解析：选 D.根据题意，对于任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)恒成立，则有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，即函数f (x )是定义在R 上的增函数，则“H 函数”为奇函数且在R 上为增函数．对于A ，f (x )＝sin x 为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B ，f (x )＝e x 为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C ，f (x )＝x 3－3x 为奇函数，但在R 上不是增函数，不符合题意；对于D ，f (x )＝x |x |＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0为奇函数且在R 上为增函数，符合题意．故选D.16．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数．给出以下四个命题： ①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称；③函数f (x )为R 上的偶函数； ④函数f (x )为R 上的单调函数．其中真命题的序号为________．解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，得f (x ＋3)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，即f (x ＋3)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为3的周期函数，①正确．由函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －34，所以函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，②正确．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋34＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －34，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －34，即f (x )＝f (－x )，故③正确．由①知f (x )为周期函数，所以f (x )不可能单调，故④错误．因此真命题的序号为①②③.答案：①②③第4讲函数性质的综合问题函数的单调性与奇偶性(1)设f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f(x－1)≥f(3)的解集为()A．[－3，3]B．[－2，4]C．[－1，5] D．[0，6](2)(多选)定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的是() A．f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)B．f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)C．f(a)＋f(－b)<g(b)－g(－a)D．f(a)＋f(－b)>g(b)－g(－a)【解析】(1)因为f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，所以－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，由函数f(x)在[－6，0]上为增函数，得f(x)在[0，6]上为减函数．故f(x－1)≥f(3)⇒f(|x－1|)≥f(3)⇒|x－1|≤3，故－2≤x≤4.(2)函数f(x)为R上的奇函数，且为单调减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，由a>b>0，得f(a)<f(b)<0，f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)；对于A，f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)⇔f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝2f(b)<0(因为f(a)＝g(a)在a>0上成立)，所以A正确；对于B，f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)⇔f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝2f(b)>0，这与f(b)<0矛盾，所以B错误；对于C，f(a)＋f(－b)<g(b)－g(－a)⇔f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝2[f(a)－f(b)]<0，这与f(a)<f(b)符合，所以C正确；对于D，f(a)＋f(－b)>g(b)－g(－a)⇔f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝2[f(a)－f(b)]>0，这与f (a )<f (b )矛盾，所以D 错误．【答案】 (1)B (2)AC函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于y 轴对称的两个区间上具有相反的单调性．(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x 1)>f (x 2)或f (x 1)<f (x 2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．1．已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a 0，则实数m 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，43D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，43解析：选C.因为f (x )为偶函数，且在[0，3)上是减函数，所以f (x )在(－3，0)上是增函数．f (m －1)－f (3m －1)>0可化为f (m －1)>f (3m －1)，因为f (x )为偶函数，所以f (m －1)>f (3m －1)即为f (|m －1|)>f (|3m －1|)．又f (x )在[0，3)上为减函数，所以⎩⎨⎧－3<m －1<3，－3<3m －1<3，|m －1|<|3m －1|，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，43，故选C.函数的周期性与奇偶性(1)(2021·河南模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )，对任意实数x ，恒有f (x ＋3)＝－f (x )，且当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32时，f (x )＝x 2－6x ＋8，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2020)＝( )A ．6B ．3C ．0D ．－3(2)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝ ( )A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3【解析】 (1)根据题意，对任意实数x ，恒有f (x ＋3)＝－f (x )．则有f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，即函数f (x )是周期为6的周期函数，又由f (x )为定义在R 上的奇函数，得f (0)＝0，则f (3)＝－f (0)＝0.又由当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32时，f (x )＝x 2－6x ＋8，得f (1)＝3，f (2)＝f (－1＋3)＝－f (－1)＝f (1)＝3.f (4)＝f (1＋3)＝－f (1)＝－3，f (5)＝f (2＋3)＝－f (2)＝－3. 则有f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝0，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 020)＝[f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (5)]×336＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝3.故选B.(2)由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2)．所以f (x ＋4)＝f (x )，则y ＝f (x )的周期为4.所以F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝2π3.【答案】(1)B(2)B周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解．1．已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝2a－3a＋1，则实数a的取值范围为()A．(－1，4) B．(－2，1)C．(－1，2) D．(－1，0)解析：选A.因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，所以f(5)＝f(－1)＝f(1)，即2a－3a＋1<1，化简得(a－4)(a＋1)<0，解得－1<a<4.2．(2021·全国高考冲刺压轴卷(样卷))已知定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(x＋8)＋f(x)＝0，且f(5)＝5，则f(2 019)＋f(2 024)＝()A．－5 B．5C．0 D．4 043解析：选B.由f(x＋8)＋f(x)＝0，得f(x＋8)＝－f(x)，所以f(x＋16)＝－f(x＋8)＝f(x)，故函数y＝f(x)是以16为周期的周期函数．在f(x＋8)＋f(x)＝0中，令x ＝0，得f(8)＋f(0)＝0，因为函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.故f(8)＝0.故f(2 024)＝f(16×126＋8)＝f(8)＝0.又在f(x＋8)＋f(x)＝0中，令x＝－3，得f(5)＋f(－3)＝0，得f(5)＝－f(－3)＝f(3)＝5，则f(2 019)＝f(16×126＋3)＝f(3)＝5，所以f(2 019)＋f(2 024)＝5.故选B.函数的奇偶性、周期性与对称性的综合问题(1)若函数y＝f(x)在(0，2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论正确的是()A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72(2)(多选)(2021·福建高三毕业班质量检查测试)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1，0)对称，下列关于f (x )的结论，正确的是( )A ．f (x )是周期函数B ．f (x )满足f (x )＝f (4－x )C ．f (x )在(0，2)上单调递减D ．f (x )＝cos πx2是满足条件的一个函数【解析】 (1)因为y ＝f (x ＋2)是偶函数．所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (1)＝f (3)．又f (x )在(0，2)上为增函数，所以f (x )在(2，4)上为减函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.(2)因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，因为f (x )的图象关于点(1，0)对称，则f (－x )＝－f (2＋x )，故f (x ＋2)＝－f (x )，故有f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是以4为周期的周期函数，故A 正确；可得f (－x )＝f (x )＝f (x ＋4)，把x 替换成－x 可得f (x )＝f (4－x )，故B 正确；f (x )＝cos πx2是定义在R 上的偶函数，(1，0)是其图象的一个对称中心，可得D 正确；f (x )＝－cos πx2满足题意，但f (x )在(0，2)上单调递增，故C 错误．【答案】 (1)B (2)ABD函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．特别注意“奇函数若在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；偶函数一定有f (|x |)＝f (x )”在解题中的应用．函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )＝f (2－x )．若f (x )在区间[1，2]上是减函数，则f (x )( )A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数解析：选B.由f(x)＝f(2－x)得f(x)的图象关于直线x＝1对称．又f(x)是偶函数，故函数f(x)的周期是2，f(x)在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数．思想方法系列4活用函数性质中的“三个二级”结论函数的奇偶性、周期性、对称性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．一、奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x) 在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.设函数f(x)＝（x＋1）2＋sin xx2＋1的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．【解析】函数f(x)的定义域为R，f(x)＝（x＋1）2＋sin xx2＋1＝1＋2x＋sin xx2＋1，设g(x)＝2x＋sin xx2＋1，则g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，所以M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.【答案】 2二、抽象函数的周期性(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.(2)如果f(x＋a)＝1f（x）(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 023)＋f(2 024)＝()A．3B．2C．1 D．0【解析】因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(－2 023)＝－f(2 023)．因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次．又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，所以f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝2，f(2 024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝3.故f(－2 023)＋f(2 024)＝－f(2 023)＋3＝1.【答案】 C三、抽象函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数．(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称．(多选)(2021·山东日照联考)已知定义在R上的函数f(x)满足条件f(x ＋2)＝－f(x)，且函数f(x－1)为奇函数，则下列结论正确的是() A．函数f(x)是周期函数B．函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称C ．函数f (x )为R 上的偶函数D ．函数f (x )为R 上的单调函数【解析】因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )是周期函数，故A 正确；因为函数f (x －1)为奇函数，所以函数f (x －1)的图象关于原点中心对称，所以函数f (x )的图象关于点(－1，0)对称，故B 正确；因为函数f (x －1)为奇函数，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，根据f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋1)＝f (－x －1)，f (－x )＝f (x )，即函数f (x )为R 上的偶函数，故C 正确；因为函数f (x －1)为奇函数，所以f (－1)＝0，又函数f (x )为R 上的偶函数，所以f (1)＝0，所以函数f (x )不单调，D 不正确．【答案】 ABC[A 级基础练]1．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．1解析：选A.因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且周期为2，所以f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)，所以f (1)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2.2．下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x ) C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：选B.通解：设所求函数的图象上的任一点坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数y ＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x )．故选B.优解：由题意知，对称轴x ＝1上的点(1，0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，将点(1，0)代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D.故选B.3．若f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∀x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (1)<f (－2)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (－2)<f (1)解析：选 D.因为∀x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<0，所以当x ≥0时，函数f (x )为减函数，因为f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，所以f (3)<f (2)<f (1)，即f (3)<f (－2)<f (1)．4．已知函数f (x )满足f (x －1)＝f (5－x )，且对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0成立，若p ＝f (7)，q ＝f (－8)，m ＝f (－2)，则p ，q ，m 的大小关系为( )A ．q <m <pB ．p <m <qC ．q f (7)>f (12)，即m >p >q ，故选C.5．(多选)已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且函数f (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A ．函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称B ．f (4)＝0C ．f (x ＋8)＝f (x )D ．若f (－5)＝－1，则f (19)＝－1解析：选BCD.根据题意，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (－x )＝－f (x )，又由函数f (x ＋2)为偶函数，则函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则有f (－x )＝f (4＋x )，则有f (x ＋4)＝－f (x )，则f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是周期为8的周期函数；据此分析选项：对于A ，函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，A 错误；对于B ，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0，又由函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则f (4)＝0，B 正确；对于C ，函数f (x )是周期为8的周期函数，即f (x ＋8)＝f (x )，C 正确；对于D ，若f (－5)＝－1，则f (19)＝f (－5＋24)＝f (－5)＝－1，D 正确．6．若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1，x >0，a ， x ＝0，g （2x ）， x <0为奇函数，则a ＝________，f (g (－2))＝________．解析：因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即a ＝0，若x <0，则－x >0，则f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－f (－x )，则g (2x )＝－(x 2－2x －1)，令x ＝－1，则g (－2)＝－(1＋2－1)＝－2，f (－2)＝－f (2)＝－(4＋4－1)＝－7，故f (g (－2))＝－7.答案：0 －77．设函数f (x )＝x 3x 2＋1＋1在x ∈[－9，9]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．解析：f (x )＝x 3x 2＋1＋1，其中x 3x 2＋1上奇下偶明显是奇函数，最大、最小值之和为零，那么f (x )的最大值与最小值之和就是2×1＝2.答案：28．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x －2，x ≤0，f （x －2）＋1，x >0，则f (2 021)＝________．解析：当x >0时，f (x )＝f (x －2)＋1，则f (2 021)＝f (2 019)＋1＝f (2 017)＋2＝… ＝f (1)＋1 010＝f (－1)＋1 011，而f (－1)＝0，故f (2 021)＝1 011. 答案：1 0119．已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3. (1)试求f (x )在R 上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．解：(1)因为函数f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数，则f (0)＝0. 设x <0，则－x >0，因为x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ＋3)＝－x 2－2x －3.所以f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0.(2)先画出函数在y 轴右侧的图象，再根据对称性画出y 轴左侧的图象，如图．由图象可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1，0)，(0，1)．10．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论．解：(1)因为对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数．证明如下：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝12f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．[B级综合练]11．(2020·新高考卷Ⅰ)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A．[－1，1]∪[3，＋∞)B．[－3，－1]∪[0，1]C．[－1，0]∪[1，＋∞)D．[－1，0]∪[1，3]解析：选D.通解：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x＞0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，所以1≤x≤3；当x ＜0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，所以－1≤x≤1，又x＜0，所以－1≤x ＜0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，选D.优解：当x＝3时，f(3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f(4－1)＝f(3)＜0，此时不符合题意，排除选项A，C.故选D.12．(多选)已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x＋1)＝f(x－3)，f(1＋x)＝f(3－x)，当0≤x≤2时，f(x)＝x2－x，则下列说法正确的是() A．f(x)的最小正周期为4B．f(x)的图象关于直线x＝2对称C．当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为2D．当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为－1 2解析：选ABC.由f(x＋1)＝f(x－3)得，f(x)＝f[(x－1)＋1]＝f[(x－1)－3]＝f(x－4)，故函数f (x )的周期为4，A 正确；由f (1＋x )＝f (3－x )可得f (2＋x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，B 正确；作出函数f (x )在[0，8]上的大致图象如图所示，由图可知，当0≤x ≤4时，函数f (x )的最大值为f (2)＝2.C 正确；当6≤x ≤8时，函数f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14，D 错误．13．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①对任意的实数x ，y ∈R ，有f (x －y ＋1)＝f (x )·f (y )＋f (1－x )f (1－y )； ②f (x )在区间[0，1]上单调递增． (1)求f (0)的值；(2)求证：f (x )是图象关于直线x ＝1对称的奇函数．解：(1)令x ＝y ＝0，则f (1)＝f 2(0)＋f 2(1)， ① 再令x ＝0，y ＝12可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则f (1)＝f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，这与f (x )在区间[0，1]上单调递增矛盾，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≠0，故1＝f (0)＋f (1)． ②联立①②解得f (0)＝0且f (1)＝1，或f (0)＝12且f (1)＝12(舍去)．综上，f (0)＝0，f (1)＝1.(2)证明：用y 代替1－y 得f (x ＋y )＝f (x )·f (1－y )＋f (1－x )f (y )． ③ 在③中令y ＝－x ，可得f (0)＝f (x )f (1＋x )＋f (1－x )·f (－x )． ④ 由③式可知f (x ＋1)＝f (x )f (0)＋f (1－x )·f (1)＝f (1－x )，即f (x ＋1)＝f (1－x )，故f (x )的图象关于直线x ＝1对称，将上式代入④可得0＝f (x )f (1＋x )＋f (1＋x )f (－x )．又f (x ＋1)不恒为0，故f (x )＋f (－x )＝0恒成立，故f (x )为奇函数． 14．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c x ＋d (其中a ，b ，c ，d 是实数常数，x ≠－d )．(1)若a ＝0，函数f (x )的图象关于点(－1，3)成中心对称，求b ，d 的值；(2)若函数f (x )满足条件(1)，且对任意x 0∈[3，10]，总有f (x 0)∈[3，10]，求c 的取值范围．解：(1)因为a ＝0，所以f (x )＝bx ＋c x ＋d ＝b ＋c －bdx ＋d. 我们知道函数y ＝kx (x ≠0)的图象关于点(0，0)对称，而f (x )＝b ＋c －bd x ＋d 相当于将f (x )＝c －bdx 向左平移d 个单位，再向上平移b 个单位得到，因此f (x )的对称中心是(－d ，b )．又因为函数f (x )的图象的对称中心是(－1，3)，所以⎩⎨⎧b ＝3，d ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝3＋c －3x ＋1. 依据题意，对任意x 0∈[3，10]，恒有f (x 0)∈[3，10]．①当c ＝3时，f (x )＝3，符合题意．②当c ≠3且c <3时，对任意x ∈[3，10]，恒有f (x )＝3＋c －3x ＋1<3，不符合题意．所以c >3，函数f (x )＝3＋c －3x ＋1在[3，10]上是单调递减函数，且满足f (x )>3.因此，当且仅当f (3)≤10，即3<c ≤31时符合题意．综上，所求实数c 的取值范围是[3，31]．[C 级创新练]15．如果定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数y ＝f (x )为“H 函数”．下列函数为“H 函数”的是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝e xC ．f (x )＝x 3－3xD ．f (x )＝x |x |解析：选 D.根据题意，对于任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)恒成立，则有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，即函数f (x )是定义在R 上的增函数，则“H 函数”为奇函数且在R 上为增函数．对于A ，f (x )＝sin x 为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B ，f (x )＝e x 为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C ，f (x )＝x 3－3x 为奇函数，但在R 上不是增函数，不符合题意；对于D ，f (x )＝x |x |＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0为奇函数且在R 上为增函数，符合题意．故选D.16．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数．给出以下四个命题： ①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称；③函数f (x )为R 上的偶函数； ④函数f (x )为R 上的单调函数．其中真命题的序号为________．解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，得f (x ＋3)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，即f (x ＋3)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为3的周期函数，①正确．由函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －34，所以函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，②正确．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋34＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －34，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －34，即f (x )＝f (－x )，故③正确．由①知f (x )为周期函数，所以f (x )不可能单调，故④错误．因此真命题的序号为①②③.答案：①②③。

高中数学高考总复习----函数的基本性质知识讲解及巩固练习题(含答案解析)

高中数学高考总复习----函数的基本性质知识讲解及巩固练习题（含答案解析）【考纲要求】1.了解函数的定义域、值域，并能简单求解．2.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．3.会运用函数图象理解和研究函数的性质．

【知识网络】

【考点梳理】1．单调性

（1）一般地，设函数的定义域为如果对于定义域内某个区间上的任意两个自

变量的值，当时，若都有，那么就说函数在区间上单调递增，若都有，那么就说函数在区间上单调递减。（2）如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有严格的单调性，区间叫做的单调区间。（3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像定义法：

用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设，且；②作差；

③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断的正负符号；⑤根据定义下结论。复合函数分析法

设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，

函数的基本性质奇偶性

单调性周

期性“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：增增增增减减减增减减减增导数证明法：

设在某个区间内有导数，若在区间内，总有

，则在区间上为增函数（减函数）；反之，若在区间内为增函数（减函数），则。图像法：一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。2、奇偶性

(1)定义:如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数.

理解：(Ⅰ)上述定义要求一对实数x,-x必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x在x轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件.

(Ⅱ)判断函数奇偶性的步骤:①考察函数定义域;②考察f(-x)与f(x)的关系;③根据定义作出判断.(Ⅲ)定义中条件的等价转化

函数及其性质专项练习——2023届高考数学一轮复习(Word版含答案)

2023高考数学一轮复习函数及其性质专项练习一、单选题1．已知集合104x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，全集{}21,R U y y x x ==-∈，则U A （）A ．(,1)[4,)-∞-+∞B ．(4,)+∞C ．[4,)+∞D ．(,1)(4,)-∞-+∞2．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）A ．B ．C ．D ．3．已知偶函数()g x 在[0,)+∞上单调递增，若3(log 2)a g =，0.2(2)b g =，(ln )c g e =-，则（）A ．b a c <⎩，若数列{}n a 满足()()*n a f n n N =∈，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,3B ．17,39⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．17,39⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)2,35．已知函数()f x 在定义域R 上单调，且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=，则(2)f -的值为（）A ．3B ．1C ．0D ．1-二、填空题6．已知a R ∈，函数()24,22,2x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩．若()3f f =，则=a ________．7．已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则=a __________.8．函数sin 212⎛⎫= ⎪⎝⎭x y 的单调递减区间是______________.9．已知一次函数()y f x =满足3(1)2(1)43f x f x x +--=+，则()f x ＝________.10．函数()f x x =___．三、解答题11．已知1()425,[2,2]x x f x x -=-+∈-．（1）求()f x 的值域．（2）若2()32f x m am >++对任意[1,1]a ∈-和[2,2]x ∈-都成立，求m 的取值范围．12．已知()()400x x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，，（1）求()()1f f -；（2）若()12f a =，求a 的值；（3）若其图像与y =b 有三个交点，求b 的取值范围.13．如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为cm ，当一条垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从B 点开始由左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x (0≤x ≤7)，左边部分的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，画出程序框图，并写出程序．14．函数()y f x =的定义域为I ，对于区间D I ⊆，如果存在12,x x D ∈，12x x ≠，使得()()122f x f x +=，则称区间D 为函数()y f x =的“P 区间”．（1）判断(,)-∞+∞是否是函数sin 312y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的“P 区间”，并说明理由；（2）设ω为正实数，若[,2]ππ是函数cos y x ω=的“P 区间”，求ω的取值范围． 15．（1）已知()f x 是一次函数，且满足()()3129f x f x x +-=+，求()f x 的解析式.（2）已知)11f x =+，求()f x 的解析式，4 答案1．C2．B3．B4．C5．A6．0或27．-38．,,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 9．41155x + 10．9411．（1）[4,5]；（2）2233m -<<. 12．（1）3（2）12（3）04b <<13．221,02222,251(7)10,572x x y x x x x ⎧≤≤⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+<<⎩， 14．（1）不是；（2）{2}[3,)+∞.15．（1）()3f x x =+；（2）()()2221f x x x x =-+≥.。

高三一轮复习精题组二次函数与幂函数有详细答案

§2.4二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝2＋＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝2＋＋c(a>0)f(x)＝2＋＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在x∈上单调递减；在x∈上单调递增在x∈上单调递减在x∈上单调递增对称性函数的图象关于x＝－对称(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较特征函数y＝x y＝x2y＝x3y＝y＝x－1性质定义域R R R[0，＋∞){∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){∈R且y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y＝2＋＋c，x∈[a，b]的最值一定是. (×)(2)二次函数y＝2＋＋c，x∈R，不可能是偶函数．(×)(3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．(×)(4)当n>0时，幂函数y＝是定义域上的增函数．(×)(5)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±. (×)(6)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)＝f(0)＝5，f(x)＝f(3)＝2. (×) 2．(2013·重庆)(－6≤a≤3)的最大值为() A．9 C．3答案 B解析因为＝＝，所以当a＝－时，的值最大，最大值为.3．函数f(x)＝(m－1)x2＋2＋3为偶函数，则f(x)在区间(－5，－3)上() A．先减后增B．先增后减C．单调递减D．单调递增答案 D解析由f(x)为偶函数可得m＝0，∴f(x)＝－x2＋3，∴f(x)在区间(－5，－3)上单调递增．4．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为．答案[1,2]解析y＝x2－2x＋3的对称轴为x＝1.当m<1时，y＝f(x)在[0，m]上为减函数．∴＝f(0)＝3，＝f(m)＝m2－2m＋3＝2.∴m＝1，无解．当1≤m≤2时，＝f(1)＝12－2×1＋3＝2，＝f(0)＝3.当m>2时，＝f(m)＝m2－2m＋3＝3，∴m＝0或m＝2，无解．∴1≤m≤2.5．若幂函数y＝(m2－3m＋3)2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为．答案1或2解析由错误!，解得m＝1或2.经检验m＝1或2都适合.题型一二次函数的图象和性质例1已知函数f(x)＝x2＋2＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f()的单调区间．思维启迪对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．解(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f()＝x2＋2＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，且f(x)＝错误!，∴f()的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．思维升华(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．(1)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是．答案y＝(x－2)2－1(2)若函数f(x)＝2x2＋－1在区间[－1，＋∞)上递增，则f(－1)的取值范围是_ ．答案(－∞，－3]解析∵抛物线开口向上，对称轴为x＝－，∴－≤－1，∴m≥4.又f(－1)＝1－m≤－3，∴f(－1)∈(－∞，－3]．题型二二次函数的应用例2已知函数f(x)＝2＋＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．思维启迪利用f(x)的最小值为f(－1)＝0可列两个方程求出a、b；恒成立问题可以通过求函数最值解决．解(1)由题意有f(－1)＝a－b＋1＝0，且－＝－1，∴a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x2＋x＋1>k在区间[－3，－1]上恒成立．设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3，－1]上递减．∴g(x)＝g(－1)＝1.∴k<1，即k的取值范围为(－∞，1)．思维升华有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．已知函数f(x)＝x2＋2＋2，x∈[－5,5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．解(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，所以当x＝1时，f(x)取得最小值1；当x＝－5时，f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，因为y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5.故a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．题型三幂函数的图象和性质例3 (1)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为 ( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2(2)若(2m ＋1)21 >(m 2＋m －1) 21，则实数m 的取值范围是( )C ．(－1,2)思维启迪 (1)由幂函数的定义可得n 2＋2n －2＝1，再利用f (x )的单调性、对称性求n ；(2)构造函数y ＝x 21，利用函数单调性求m 范围．答案 (1)B (2)D解析 (1)由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意，故选B. (2)因为函数y ＝x 21的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于错误! 解2m ＋1≥0，得m ≥－；解m 2＋m －1≥0，得m ≤或m ≥. 解2m ＋1>m 2＋m －1，得－1<m <2，综上≤m <2.思维升华 (1)幂函数解析式一定要设为y ＝x α (α为常数的形式)；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解 (1)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *，而m 与m ＋1中必有一个为偶数， ∴m (m ＋1)为偶数．∴函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． (2)∵函数f (x )经过点(2，)， ∴＝2(m 2＋m )－1，即221＝2(m 2＋m )－1.∴m 2＋mm ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x 21.由f(2－a)>f(a－1)得错误!解得1≤a<.∴a的取值范围为[1，)．分类讨论思想在函数中的应用典例：(12分)已知函数f(x)＝2－＋2a－1(a为实常数)．(1)若a＝1，作出函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．思维启迪(1)因f(x)的表达式中含，故应分类讨论，将原表达式化为分段函数的形式，然后作图．(2)因a∈R，而a的取值决定f(x)的表现形式，或为直线或为抛物线，若为抛物线又分为开口向上和向下两种情况，故应分类讨论解决．规范解答解(1)当a＝1时，f(x)＝x2－＋1＝错误!.[3分]作图(如右图所示)[5分](2)当x∈[1,2]时，f(x)＝2－x＋2a－1.[6分]若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1,2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝－3.[7分]若a≠0，则f(x)＝2＋2a－－1，f(x)图象的对称轴是直线x＝.当a<0时，f(x)在区间[1,2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3.当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1,2]上是增函数，g(a)＝f(1)＝3a－2.当1≤≤2，即≤a≤时，g(a)＝＝2a－－1.当>2，即0<a<时，f(x)在区间[1,2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3.[11分]综上可得，g(a)＝错误![12分]温馨提醒本题解法充分体现了分类讨论的数学思想方法，在二次函数最值问题的讨论中，一是要对二次项系数进行讨论，二是要对对称轴进行讨论．在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论.方法与技巧1．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解．2．幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．失误与防范1．对于函数y＝2＋＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.A组专项基础训练一、选择题1．若f(x)＝x2－＋1有负值，则实数a的取值范围是() A．a≤－2 B．－2<a<2C．a>2或a<－2 D．1<a<3答案 C解析∵f(x)＝x2－＋1有负值，∴Δ＝a2－4>0，则a>2或a<－2.2．一次函数y＝＋b与二次函数y＝2＋＋c在同一坐标系中的图象大致是()答案 C解析若a >0，则一次函数y ＝＋b 为增函数，二次函数y ＝2＋＋c 的开口向上，故可排除A ；若a <0，一次函数y ＝＋b 为减函数，二次函数y ＝2＋＋c 开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a >0，b >0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B ，因此选C.3．如果函数f (x )＝x 2＋＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么 ( )A ．f (－2)<f (0)<f (2)B ．f (0)<f (－2)<f (2)C ．f (2)<f (0)<f (－2)D ．f (0)<f (2)<f (－2) 答案 D解析由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )的图象关于x ＝对称，又抛物线开口向上，结合图象(图略)可知f (0)<f (2)<f (－2)．4．设二次函数f (x )＝2－2＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]答案 D解析二次函数f (x )＝2－2＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)<0，x ∈[0,1]，所以a >0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. 5．已知f (x )＝x 21，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是 ( )A ．f (a )<f (b )<f ()<f ()B ．f ()<f ()<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f ()<f ()D ．f ()<f (a )<f ()<f (b ) 答案 C解析因为函数f (x )＝x 21在(0，＋∞)上是增函数，又0<a 0，∴0<m≤.综上0≤m≤.7．若方程x2－11x＋30＋a＝0的两根均大于5，则实数a的取值范围是．答案0<a≤解析令f(x)＝x2－11x＋30＋a.结合图象有错误!，∴0<a≤错误!.8．当α∈时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第象限．答案二、四解析当α＝－1、1、3时，y＝xα的图象经过第一、三象限；当α＝时，y＝xα的图象经过第一象限．三、解答题9．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．若方程f(x)＋6a ＝0有两个相等的根，求f(x)的单调区间．解∵f(x)＋2x>0的解集为(1,3)，设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，∴f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝2－(2＋4a)x＋3a.①由方程f(x)＋6a＝0得2－(2＋4a)x＋9a＝0.②∵方程②有两个相等的根，∴Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，解得a＝1或a＝－.由于a<0，舍去a＝1.将a＝－代入①式得f(x)＝－x2－x－＝－(x＋3)2＋，∴函数f(x)的单调增区间是(－∞，－3]，单调减区间是[－3，＋∞)．10．已知函数f(x)＝－x2＋2＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．解函数f(x)＝－x2＋2＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a.(1)当a<0时，f(x)＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，∴a＝－1.(2)当0≤a≤1时，f(x)＝a2－a＋1，∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0，∴a＝(舍)．(3)当a>1时，f(x)＝f(1)＝a，∴a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2.B组专项能力提升1．设函数f(x)＝错误!若f(a)<1，则实数a的取值范围是() A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)答案 C解析当a<0时，()a－7<1，即2－a<23，∴a>－3，∴－3<a<0.当a≥0时，<1，∴0≤a<1.故－3<a<1.2．已知函数f(x)＝2＋＋c，且a>b>c，a＋b＋c＝0，集合A＝{(m)<0}，则() A．∀m∈A，都有f(m＋3)>0B．∀m∈A，都有f(m＋3)<0C．∃m0∈A，使得f(m0＋3)＝0D．∃m0∈A，使得f(m0＋3)<0答案 A解析由a>b>c，a＋b＋c＝0可知a>0，c<0，且f(1)＝0，f(0)＝c<0，即1是方程2＋＋c＝0的一个根，当x>1时，f(x)>0.由a>b，得1>，设方程2＋＋c＝0的另一个根为x1，则x1＋1＝－>－1，即x1>－2，由f(m)<0可得－2<m<1，所以1<m＋3<4，由抛物线的图象可知，f(m＋3)>0，选A.3．已知函数f(x)＝x2－2＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值域为．答案－1或3解析由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)，所以f(x)＝1且Δ<0.∴－＋1<a<＋1.又f(x)＝(x－a)2－a2＋2a＋4，当x∈R时，f(x)＝f(a)＝－a2＋2a＋4＝1，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1.4．已知函数f(x)＝32＋2＋c，a＋b＋c＝0，且f(0)·f(1)>0.(1)求证：－2<<－1；(2)若x1、x2是方程f(x)＝0的两个实根，求1－x2|的取值范围．(1)证明当a＝0时，f(0)＝c，f(1)＝2b＋c，又b＋c＝0，则f(0)·f(1)＝c(2b＋c)＝－c2<0与已知矛盾，因而a≠0，则f(0)·f(1)＝c(3a＋2b＋c)＝－(a＋b)(2a＋b)>0即(＋1)(＋2)<0，从而－2<<－1.(2)解x1、x2是方程f(x)＝0的两个实根，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，那么(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－)2＋4×＝·()2＋＋＝(＋)2＋.∵－2<<－1，∴≤(x1－x2)2<，∴≤1－x2|<，即1－x2|的取值范围是[，)．5．已知函数f(x)＝2＋＋c(a>0，b∈R，c∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝错误!求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．解(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，解得a＝1，b＝2.∴f(x)＝(x＋1)2.∴F(x)＝错误!∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f(x)＝x2＋，原命题等价于－1≤x2＋≤1在(0,1]上恒成立，即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立．又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.∴－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2,0]．11 / 11。

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析第三章 §3.2 导数与函数的单调性

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析§3.2导数与函数的单调性课标要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．知识梳理1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上可导f ′(x )>0f (x )在区间(a ，b )上单调递增f ′(x )<0f (x )在区间(a ，b )上单调递减f ′(x )＝0f (x )在区间(a ，b )上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数f (x )的定义域；第2步，求出导数f ′(x )的零点；第3步，用f ′(x )的零点将f (x )的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x )在各区间上的正负，由此得出函数y ＝f (x )在定义域内的单调性．常用结论1．若函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≥0恒成立；若函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≤0恒成立．2．若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递增区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )>0有解；若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递减区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )<0有解．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性．(√)(2)在(a ，b )内f ′(x )≤0且f ′(x )＝0的根有有限个，则f (x )在(a ，b )内单调递减．(√)(3)若函数f (x )在定义域上都有f ′(x )>0，则f (x )在定义域上一定单调递增．(×)(4)函数f (x )＝x －sin x 在R 上是增函数．(√)2.(选择性必修第二册P86例2改编)(多选)如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下列判断正确的是()A ．在区间(－2,1)上f (x )单调递增B ．在区间(2,3)上f (x )单调递减C ．在区间(4,5)上f (x )单调递增D ．在区间(3,5)上f (x )单调递减答案BC解析在区间(－2,1)上，当x 2f ′(x )<0，当x －32，f ′(x )>0，故f (x )2－32，A 错误；在区间(3,5)上，当x ∈(3,4)时，f ′(x )<0，当x ∈(4,5)时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(3,4)上单调递减，在区间(4,5)上单调递增，C 正确，D 错误；在区间(2,3)上，f ′(x )<0，所以f (x )单调递减，B 正确．3．(选择性必修第二册P97习题5.3T2(4)改编)已知f (x )＝x 3＋x 2－x 的单调递增区间为________．答案(－∞，－1)解析令f ′(x )＝3x 2＋2x －1>0，解得x >13或x <－1，所以f (x )＝x 3＋x 2－x 的单调递增区间为(－∞，－1)4．已知f (x )＝2x 2－ax ＋ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，5]解析f ′(x )＝4x －a ＋1x ＝4x 2－ax ＋1x，x ∈(1，＋∞)，故只需4x 2－ax ＋1≥0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，则a ≤4x ＋1x 在x ∈(1，＋∞)上恒成立，令y ＝4x ＋1x，因为y ′＝4－1x 2＝4x 2－1x 2>0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，所以y ＝4x ＋1x 在(1，＋∞)上单调递增，故4x ＋1x>5，所以a ≤5.题型一不含参函数的单调性例1(1)函数f(x)＝x ln x－3x＋2的单调递减区间为________．答案(0，e2)解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x－2，当x∈(0，e2)时，f′(x)<0，当x∈(e2，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递减区间为(0，e2)．(2)若函数f(x)＝ln x＋1e x，则函数f(x)的单调递增区间为________．答案(0,1)解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ln x－1e x，令φ(x)＝1x－ln x－1(x>0)，φ′(x)＝－1x2－1x<0，φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0，即f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，即f′(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)．思维升华确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．跟踪训练1已知函数f(x)＝x sin x＋cos x，x∈[0,2π]，则f(x)的单调递减区间为()A.0，π2 B.π2，3π2C．(π，2π) D.3π2，2π答案B解析由题意f(x)＝x sin x＋cos x，x∈[0,2π]，则f ′(x )＝x cos x ，当x f ′(x )>0，当x f ′(x )<0，故f (x )题型二含参数的函数的单调性例2已知函数g (x )＝(x －a －1)e x －(x －a )2，讨论函数g (x )的单调性．解g (x )的定义域为R ，g ′(x )＝(x －a )e x －2(x －a )＝(x －a )(e x －2)，令g ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝ln 2，①若a >ln 2，则当x ∈(－∞，ln 2)∪(a ，＋∞)时，g ′(x )>0，当x ∈(ln 2，a )时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，ln 2)，(a ，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a )上单调递减；②若a ＝ln 2，则g ′(x )≥0恒成立，∴g (x )在R 上单调递增；③若a <ln 2，则当x ∈(－∞，a )∪(ln 2，＋∞)时，g ′(x )>0，当x ∈(a ，ln 2)时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，a )，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a ，ln 2)上单调递减．综上，当a >ln 2时，g (x )在(－∞，ln 2)，(a ，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a )上单调递减；当a ＝ln 2时，g (x )在R 上单调递增；当a <ln 2时，g (x )在(－∞，a )，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a ，ln 2)上单调递减．思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．跟踪训练2(2023·北京模拟)已知函数f (x )＝2x －a(x ＋1)2.(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )的单调区间．解(1)当a ＝0时，f (x )＝2x(x ＋1)2(x ≠－1)，则f (0)＝0，因为f ′(x )＝－2x ＋2(x ＋1)3，所以f ′(0)＝2.所以曲线y ＝f (x )在(0,0)处的切线方程为y ＝2x .(2)函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．f ′(x )＝(－2x ＋2a ＋2)(x ＋1)(x ＋1)4＝－2(x －a －1)(x ＋1)3，令f ′(x )＝0，解得x ＝a ＋1.①当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，f ′(x )＝－2x －2(x ＋1)3＝－2(x ＋1)(x ＋1)3＝－2(x ＋1)2<0，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递增区间；②当a ＋1<－1，即a <－2时，令f ′(x )<0，则x ∈(－∞，a ＋1)∪(－1，＋∞)，令f ′(x )>0，则x ∈(a ＋1，－1)，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，a ＋1)和(－1，＋∞)，单调递增区间为(a ＋1，－1)；③当a ＋1>－1，即a >－2时，令f ′(x )<0，则x ∈(－∞，－1)∪(a ＋1，＋∞)，令f ′(x )>0，则x ∈(－1，a ＋1)，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(a ＋1，＋∞)，单调递增区间为(－1，a ＋1)．综上所述，当a ＝－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递增区间；当a <－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，a ＋1)和(－1，＋∞)，单调递增区间为(a ＋1，－1)；当a >－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(a ＋1，＋∞)，单调递增区间为(－1，a ＋1)．题型三函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例3(1)(多选)(2024·深圳模拟)若0<x 1<x 2<1，则()A ．21e e x x －>ln x 2＋1x 1＋1B ．21e e x x －<ln x 2＋1x 1＋1C ．1221e e xx x x >D ．1221e e x x x x <答案AC解析令f (x )＝e x －ln(x ＋1)且x ∈(0,1)，则f ′(x )＝e x －1x ＋1>0，故f (x )在区间(0,1)上单调递增，因为0<x 1<x 2<1，所以f (x 1)<f (x 2)，即1e x －ln(x 1＋1)<2e x －ln(x 2＋1)，故21e e x x －>lnx 2＋1x 1＋1，所以A 正确，B 错误；令f (x )＝e xx 且x ∈(0,1)，则f ′(x )＝e x (x －1)x 2<0，故f (x )在区间(0,1)上单调递减，因为0<x 1<x 2<1，所以f (x 1)>f (x 2)，即1212e e >x x x x ，故1221e e x xx x >，所以C 正确，D错误．常见组合函数的图象在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果．典例(多选)如果函数f (x )对定义域内的任意两实数x 1，x 2(x 1≠x 2)都有x 1f (x 1)－x 2f (x 2)x 1－x 2>0，则称函数y ＝f (x )为“F 函数”．下列函数不是“F 函数”的是()A ．f (x )＝e xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝sin x答案ACD解析依题意，函数g (x )＝xf (x )为定义域上的增函数．对于A ，g (x )＝x e x ，g ′(x )＝(x ＋1)e x ，当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，－1)上单调递减，故A 中函数不是“F 函数”；对于B ，g (x )＝x 3在R 上为增函数，故B 中函数为“F 函数”；对于C ，g (x )＝x ln x ，g ′(x )＝1＋ln x ，x >0，当x g ′(x )<0，∴g (x )故C 中函数不是“F 函数”；对于D ，g (x )＝x sin x ，g ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x －π2，g ′(x )<0，∴g (x )－π2，故D 中函数不是“F 函数”．(2)(2023·成都模拟)已知函数f (x )＝e x －e －x－2x ＋1，则不等式f (2x －3)＋f (x )>2的解集为________．答案(1，＋∞)解析令g (x )＝f (x )－1＝e x －e －x －2x ，定义域为R ，且g (－x )＝e －x －e x ＋2x ＝－g (x )，所以g (x )＝f (x )－1＝e x －e －x －2x 为奇函数，f (2x －3)＋f (x )>2变形为f (2x －3)－1>1－f (x )，即g (2x －3)>－g (x )＝g (－x )，g ′(x )＝e x ＋e －x －2≥2e x ·e －x －2＝0，当且仅当e x ＝e －x ，即x ＝0时，等号成立，所以g (x )＝f (x )－1＝e x －e －x －2x 在R 上单调递增，所以2x －3>－x ，解得x >1，所以所求不等式的解集为(1，＋∞)．命题点2根据函数的单调性求参数例4已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)．(1)若f (x )在[1,4]上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解(1)因为f (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，f ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x2－2x 恒成立．设G (x )＝1x 2－2x ，x ∈[1,4]，所以a ≥G (x )max ，而G (x )－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以实数a 的取值范围是－716，(0，＋∞)．(2)因为f (x )在[1,4]上存在单调递减区间，则f ′(x )<0在[1,4]上有解，所以当x ∈[1,4]时，a >1x 2－2x 有解，又当x ∈[1,4]＝－1(此时x ＝1)，所以a >－1，又因为a ≠0，所以实数a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．思维升华由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立．(2)函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集．跟踪训练3(1)(2024·郑州模拟)函数f (x )的图象如图所示，设f (x )的导函数为f ′(x )，则f (x )·f ′(x )>0的解集为()A ．(1,6)B ．(1,4)C ．(－∞，1)∪(6，＋∞)D ．(1,4)∪(6，＋∞)答案D解析由图象可得，当x <4时，f ′(x )>0，当x >4时，f ′(x )<0.结合图象可得，当1<x <4时，f ′(x )>0，f (x )>0，即f (x )·f ′(x )>0；当x >6时，f ′(x )<0，f (x )<0，即f (x )·f ′(x )>0，所以f (x )·f ′(x )>0的解集为(1,4)∪(6，＋∞)．(2)已知函数f (x )＝(1－x )ln x ＋ax 在(1，＋∞)上不单调，则a 的取值范围是()A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)答案A解析依题意f ′(x )＝－ln x ＋1x＋a －1，故f ′(x )在(1，＋∞)上有零点，令g (x )＝－ln x ＋1x ＋a －1，令g (x )＝0，得a ＝ln x －1x ＋1，令z (x )＝ln x －1x ＋1，则z ′(x )＝1x ＋1x2，由x >1，得z ′(x )>0，z (x )在(1，＋∞)上单调递增，又由z(1)＝0，得z(x)>0，故a＝z(x)>0，所以a的取值范围是(0，＋∞)．课时精练一、单项选择题1．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递减区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)答案A解析由已知得，f′(x)＝e x＋(x－3)e x＝(x－2)e x，当x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递减区间是(－∞，2)，单调递增区间是(2，＋∞)．2．已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()答案D解析根据导函数的图象可得，当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上单调递减；当0<x<2时，f′(x)>0，f(x)在(0,2)上单调递增；当x>2时，f′(x)<0，f(x)在(2，＋∞)上单调递减，所以只有D选项符合．3．(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝13ax3＋x2＋x＋4，则“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案C解析由题意知，f′(x)＝ax2＋2x＋1，若f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0恒成立，>0，＝4－4a≤0，解得a≥1，故“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的必要不充分条件．4．(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝a e x－ln x在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为()A．e2B．e C．e－1D．e－2答案C解析依题可知，f′(x)＝a e x－1x≥0在(1,2)上恒成立，显然a>0，所以x e x≥1a在(1,2)上恒成立，设g(x)＝x e x，x∈(1,2)，所以g′(x)＝(x＋1)e x>0，所以g(x)在(1,2)上单调递增，g(x)>g(1)＝e，故e≥1a，即a≥1e＝e－1，即a的最小值为e－1.5．(2024·苏州模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝e x＋sin x，则不等式f(2x－1)<eπ的解集是()答案D解析当x≥0时，f′(x)＝e x＋cos x，因为e x≥1，cos x∈[－1,1]，所以f′(x)＝e x＋cos x≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(－π)＝f(π)＝eπ，所以由f(2x－1)<eπ可得－π<2x－1<π，解得x6．(2023·信阳模拟)已知a＝1100，b＝99100e-，c＝ln101100，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 答案B解析设函数f(x)＝e x－x－1，x∈R，则f′(x)＝e x－1，当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上单调递减；当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)≥f(0)＝0，即e x≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号，∵e x≥1＋x，∴99100e->1－99100＝1100，∴b>a，由以上分析可知当x>0时，有e x－1≥x成立，当x＝1时取等号，即ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号，∴ln 101100<101100－1＝1100，∴a>c，故b>a>c.二、多项选择题7．(2023·临汾模拟)若函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[m －1，m ＋1]上单调，则实数m 的值可以是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案BD解析f ′(x )＝x －9x ＝x 2－9x (x >0)，令f ′(x )>0，得x >3，令f ′(x )<0，得0<x <3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(0,3)，因为函数f (x )在区间[m －1，m ＋1]上单调，－1>0，＋1≤3或m －1≥3，解得1<m ≤2或m ≥4.8．(2024·邯郸模拟)已知函数f (x )x ，且a ＝f b ＝f c ＝12(e )f ，则()A ．a >bB ．b >aC ．c >bD ．c >a答案ACD解析由f (x )x ，得f ′(x )x 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，因为c ＝f 0<1e <23<45<1，所以f f f c >a >b .三、填空题9．函数f (x )＝e －x cos x (x ∈(0，π))的单调递增区间为________．答案解析f ′(x )＝－e －x cos x －e －x sin x ＝－e －x (cos x ＋sin x )＝－2e －x当x e －x >0，，则f ′(x )<0；当x e －x >0，，则f ′(x )>0，∴f (x )在(0，π)10．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋x 恰有三个单调区间，则实数b 的取值范围为________．答案(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析由题意得f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋1，函数f (x )＝x 3＋bx 2＋x 恰有三个单调区间，则函数f (x )＝x 3＋bx 2＋x 有两个极值点，即f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋1的图象与x 轴有两个交点，则判别式Δ＝4b 2－12>0，解得b >3或b <－ 3.所以实数b 的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．11．(2024·上海模拟)已知定义在(－3,3)上的奇函数y ＝f (x )的导函数是f ′(x )，当x ≥0时，y ＝f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式f ′(x )x>0的解集为________．答案(－3，－1)∪(0,1)解析依题意f (x )是奇函数，图象关于原点对称，由图象可知，f (x )在区间(－3，－1)，(1,3)上单调递减，f ′(x )<0；f (x )在区间(－1,1)上单调递增，f ′(x )>0.所以f ′(x )x>0的解集为(－3，－1)∪(0,1)．12．已知函数f (x )＝3x a－2x 2＋ln x (a >0)，若函数f (x )在[1,2]上不单调，则实数a 的取值范围是________．答案解析f ′(x )＝3a －4x ＋1x，若函数f (x )在[1,2]上单调，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x≤0在[1,2]上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x在[1,2]上恒成立．令h (x )＝4x －1x，则h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a≤h (1)，即3a ≥152或3a≤3，又a >0，所以0<a ≤25或a ≥1.因为f (x )在[1,2]上不单调，所以25<a <1.四、解答题13．(2024·毕节模拟)已知函数f (x )＝(a －x )ln x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围．解(1)根据题意，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (1)＝0，f ′(x )＝－ln x ＋a －x x，∴f ′(1)＝a －1，∴曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝(a －1)(x －1)．(2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－ln x ＋a －x x ＝－x ln x －x ＋a x，令g (x )＝－x ln x －x ＋a ，则g ′(x )＝－ln x －2，令g ′(x )＝0，则x ＝1e2，令g ′(x )>0，则0<x <1e2，令g ′(x )<0，则x >1e2，∴g (x )g (x )max ＝＝1e 2＋a ，∵f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，即1e2＋a ≤0，∴a ≤－1e2.14．(2023·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋1.(1)若f (x )≤x ＋c ，求c 的取值范围；(2)设a >0，讨论函数g (x )＝f (x )－f (a )x －a的单调性．解(1)f (x )≤x ＋c 等价于ln x －x ≤c －1.令h (x )＝ln x －x ，x >0，则h ′(x )＝1x －1＝1－x x.当0<x <1时，h ′(x )>0，所以h (x )在(0,1)上单调递增；当x >1时，h ′(x )<0，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递减．故h (x )max ＝h (1)＝－1，所以c －1≥－1，即c ≥0，所以c 的取值范围是[0，＋∞)．(2)g (x )＝ln x ＋1－(ln a ＋1)x －a ＝ln x －ln a x －a(x >0且x ≠a )，因此g ′(x )＝x －a －x ln x ＋x ln a x (x －a )2，令m (x )＝x －a －x ln x ＋x ln a ，则m ′(x )＝ln a －ln x ，当x >a 时，ln x >ln a ，所以m ′(x )<0，m (x )在(a ，＋∞)上单调递减，当0<x <a 时，ln x <ln a ，所以m ′(x )>0，m (x )在(0，a )上单调递增，因此有m (x )<m (a )＝0，即g ′(x )<0在x >0且x ≠a 上恒成立，所以函数g (x )在区间(0，a )和(a ，＋∞)上单调递减．15．已知函数f (x )＝e x x －ax ，当0<x 1<x 2时，不等式f (x 1)x 2－f (x 2)x 1<0恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．(－∞，e)B ．(－∞，e]－∞，e 2答案D解析因为当0<x 1<x 2时，不等式f (x 1)x 2－f (x 2)x 1<0恒成立，所以f (x 1)x 2<f (x 2)x 1，即x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，令g (x )＝xf (x )＝e x －ax 2，则g (x 1)<g (x 2)，又因为0<x 1<x 2，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以g ′(x )＝e x －2ax ≥0在(0，＋∞)上恒成立，分离参数得2a ≤e x x恒成立，令h (x )＝e x x(x >0)，则只需2a ≤h (x )min ，而h ′(x )＝e x ·x －1x2，令h ′(x )>0，得x >1，令h ′(x )<0，得0<x <1，所以h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h (x )≥h (1)＝e ，故2a ≤e ，即a ≤e 2.16．已知偶函数f (x )在R 上存在导函数f ′(x )，当x ＞0时，f (x )x＞－f ′(x )，且f (2)＝1，则不等式(x 2－x )f (x 2－x )＞2的解集为()A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．(－1,2)答案C 解析令g (x )＝xf (x )，由于f (x )为偶函数，则g (x )为奇函数，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )．因为当x ＞0时，f (x )x ＞－f ′(x )，即f (x )＋xf ′(x )x＞0，所以f(x)＋xf′(x)＞0，即g′(x)＞0.所以当x＞0时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为g(x)在R上为奇函数且在R上存在导函数，所以g(x)在R上为增函数．因为f(2)＝1，所以g(2)＝2f(2)＝2，又(x2－x)f(x2－x)＞2等价于g(x2－x)＞g(2)，所以x2－x＞2，解得x＜－1或x＞2.综上所述，x的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

函数的性质及其应用教师用函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。

函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。

研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。

函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。

对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。

掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等。

要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。

一、函数与反函数（±，}，﹣}，﹣，，﹣，，﹣，﹣}定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，二、函数值域及最值求法例2、（1）（2011•上海）设g（x）是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（2）（2013•黄浦区二模）已知，若存在区间[a，b]⊆（0，+∞），使得﹣﹣﹣m≠0，∴（3）．（2012•虹口区一模）已知函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，对于任意的都能找到，使得g（x 2）=f（x1），则实数a的取值范围是[﹣2，6] ．，解得﹣2≤a≤6．故答案为：三、函数单调性与奇偶性例3、（1）（2013•资阳一模）已知函数2，∴函数在（2）已知是R上的增函数，那么a的取值范围是（1，3）．四、函数的周期性例4、（1）已知奇函数满足的值为。

解：（2）设函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x﹣2）=﹣f（x）对一切x∈R都成立，又当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x3，则下列四个命题：①函数y=f（x）是以4为周期的周期函数；②当x∈[1，3]时，f（x）=（2﹣x）3；③函数y=f（x）的图象关于x=1对五、函数图像的对称性例5、（1）已知函数(21)y f x =+为偶函数，则函数(2)y f x =图像关于直线对称，函数()y f x =图像关于直线对称。

解：(2)y f x =图像关于直线 12x =对称，函数()y f x =图像关于直线 1x =对称。

（2）设．则 ==1 （））（）（①若f （x ﹣2）是偶函数，则函数f （x ）的图象关于直线x=2对称；若f （x+2）=﹣f （x ﹣2），则函数f （x ）的图象关于原点对称；函数y=f （2+x ）与函数y=f （2﹣x ）的图象关于直线x=2对称；函数y=f （x ﹣2）与函数y=f （2﹣x ）的图象关于直线x=2对由f （x+2）=﹣f （x ﹣2）变形得f （x+8）=f （x ）是周期函数．不能得出函数f（x ）的图象关于原点对称，故不正确．不正确，因为函数y=f （2+x ）是由f （x ）如图所示，正确．故答案为：④例6、（2013•上海春季）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”．（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；（2）求函数h（x）=图象对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数 y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题=．由不等式=例7、已知函数f（x）=ax2+bx+1，a，b为实数，a≠0，x∈R，F（x）=，（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣1，1]时，g（x）=f（x）+kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于0．）依题意，有，解得x=．解得（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x））由=lg＜得：1（1）存在唯一的x2∈D满足等式，则称M为函数y=f （x）的“均值”．判断1是否为函数f（x）=2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；（2）若函数f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数f（x）的“均值”情况（是时，有，满足故有或的取值范围是）的“均值”为；）的“均值”为；（1）若当0≤x≤1时，f（x）=x（1﹣x），求函数y=f（x），x∈[0，1]的值域；（2）在（1）的条件下，求函数y=f（x），x∈[n，n+1），n∈N的解析式；（3）若当0＜x≤1时，f（x）=3x，试研究函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是否可能是单）∵，∴1、（2009•上海）将函数（x∈[0，6]）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（0≤θ≤α），得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则α的最大值为arctan．（arctan，（2013•上海）对区间I上有定义的函数义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，﹣1+g（x）的值域为[1，3），则f（x）﹣g（x）的值域为（﹣3，﹣1] ．称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）．函数g （x）=关于原点的中心对称点的组数为 2 ．=sin=sin=sin=sin 6．（2013•上海）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．．解：因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以当﹣=9x+9x+9x+9x+﹣7≥2=6|a|，所以．故答案为7．（2012•上海）若f（x）=为奇函数，则实数m= ﹣2 ．为奇函数，∴f（﹣9．（2012•上海）已知y=f（x）+x是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，10．（2013•四川）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x﹣4x，那么，11．（2013•黄浦区二模）已知，若存在区间，使得在上为减函数，所以函数因为区间，则，即说明方程有两个大于实数根．由得：13．设函数f（x），g（x）的定义域分别为D f，D g，且D f⊂D g．若对于任意x∈D f，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D g上的一个延拓函数．设f（x）=x2+2x，x∈（﹣∞，0]，g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则214．（2013•普陀区一模）已知函数，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），则b•f（a）的取值范围是．解：由函数，，[已知f（x）是定义在R上的函数，x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数，如果定义域是[﹣1，+∞）217．定义在R上的函数f（x）满足f（m+n）=f（m）+2[f（n）]，其中m，n∈R，且f（1）2是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b∈[a，b]，已知向量，若不等式恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（）横坐标相等，，k≥，）y=（﹣（﹣（+≤19．（2012•交大附中）若函数f（x）定义域为R，满足对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）≤f （x1）+f（x2），则称f（x）为“V形函数”；若函数g（x）定义域为R，g（x）恒大于0，且对任意x1，x2∈R，有lgg（x1+x2）≤lgg（x1）+lgg（x2），则称g（x）为“对数V形函数”．（1）当f（x）=x2时，判断f（x）是否为V形函数，并说明理由；（2）当g（x）=x2+2时，证明：g（x）是对数V形函数；（3）若f（x）是V形函数，且满足对任意x∈R，有f（x）≥2，问f（x）是否为对数V形函数？证明你的结论．﹣（））≥2，∴•f（a﹣x）=b恒成立，则称y=f（x）为“Ω函数”．（1）判断下列函数，是否为“Ω函数”，并说明理由；①f（x）=x3②f（x）=2x（2）已知函数f（x）=tanx是一个“Ω函数”，求出所，，+，±，00则称函数y=f（x）在D上封闭．（1）若定义域D1=（0，1），判断下列函数中哪些在D1上封闭（写出推理过程）：f1（x）=2x﹣1，f2（x）=﹣﹣+1，f3（x）=2x﹣1；（2）若定义域D2=（1，2），是否存在实数a，使得函数f（x）=在D2上封闭？若存﹣+∈（，对称中心为（﹣在上为增函数，只需在上为减函数，只需23．若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”（1）请分别判断f（x）=x+4，g（x）=x2+4x在x∈（1，2）是否是“弱增函数”，并简要说明理由．22=但≤0，开口向上，所以。