2020-2021年北京高一数学上学期期末汇编：函数解答题(含解析)
北京市2020-2021学年高一上学期期末数学试题汇编：三角函数 (答案详解)
2021北京高一数学上学期期末汇编：三角函数一．选择题（共23小题）1．（2020秋•通州区期末）“，”是“”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2020秋•通州区期末）已知函数：①，②，③，则其中最小正周期为的是 A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③3．（2020秋•通州区期末）已知为第三象限角，则下列判断正确的是 A ．B ．C ．D ．4．（2020秋•通州区期末）下列各角中与终边相同的角是 A ．B ．C ．D ．5．（2020秋•顺义区期末）单位圆圆周上的点以为起点做逆时针方向旋转，10分钟转一圈，24分钟之后，从起始位置转过的角是 A ．B ．C ．D ．6．（2020秋•海淀区校级期末）可化简为 A ．B ．C ．D ．7．（2020秋•东城区期末）若扇形的半径为1，周长为，则该扇形的圆心角为 A ．B ．C ．D ．8．（2020秋•东城区期末）已知，则 A ．B ．C ．D ．9．（2020秋•海淀区校级期末）已知，，，那么的值为 A ．2B ．C ．D ．10．（2020秋•丰台区期末）已知，，则的值为 26k παπ=+k Z ∈1sin 2α=()tan y x =sin ||y x =|sin |y x =π()θ()sin 0θ>cos 0θ>sin tan 0θθ⋅>sin 2tan 0θθ⋅>60︒()300-︒240-︒120︒390︒O e P A OP OA ()245π-125π145π245πsin 2021︒()sin 41︒sin 41-︒cos 41︒cos 41-︒π()π1π-2π-12π-tan 1α=-222sin 3cos (αα-=)74-12-1234222cos 3sin 1αα-=3(2πα∈-)π-tan α()2-1212-3sin 5α=2παπ<<tan α()A ．B ．C ．D ．11．（2020秋•西城区校级期末）已知角的终边经过点，那么 A ．B ．C ．D ．12．（2020秋•顺义区期末）“是“”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．（2020秋•通州区期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象 A ．向右平移个单位长度B ．向左平移个单位长度C ．向右平移个单位长度D ．向左平移个单位长度14．（2020秋•朝阳区期末）设函数，若存在实数，，，，满足当时，，则正整数的最小值为 A ．505B ．506C ．507D ．50815．（2020秋•朝阳区期末）已知，均为第一象限角，则“”是“”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．（2020秋•大兴区期末）等于 A ．B ．CD ．117．（2020秋•顺义区期末）在平面直角坐标系中，角，角的终边关于直线对称，若，则 )A ．BC ．D ．18．（2020秋•大兴区期末）下列函数中，周期为且为偶函数的是 A ．B ．C ．D ．19．（2020秋•海淀区校级期末）已知，则的取值可以为 ABC ．D ．20．（2020秋•海淀区校级期末）如图，一个摩天轮的半径为，轮子的最低处距离地面3434-4343-α(3,4)P -sin (α=)3545-3434-sin θ3πθ=()cos 2y x =sin 2y x =()4π4π2π2π()4|sin|2xf x π=1x 2x ⋯n x 12n x x x <<⋯<12231|()()||()()||()()|2021n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋯⋯+-=n ()αβαβ<sin sin αβ<()3tan4π()1-αβy x =1cos 3α=-sin (β=1313-π()()tan 2f x x =()sin cos f x x x=()cos(2)2f x x π=+22()cos sin f x x x=-3sin()sin()2παπα--+=cos sin αα-()10m 2m．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点（点与摩天轮天轮中心的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于的时间大约是 A ．8分钟B ．10分钟C ．12分钟D ．14分钟21．（2020秋•海淀区校级期末）函数，，的值域为 A ．B ．C ．D ．22．（2020秋•丰台区期末）函数在区间上的最大值为 A ．B ．1CD ．223．（2020秋•顺义区期末）如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点，，分别是半径，及扇形弧上的三个动点（不同于，，三点），则关于的周长说法正确的是 A ．有最大值，有最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值D．无最大值，无最小值二．填空题（共12小题）24．（2020秋•通州区期末） ．25．（2020秋•通州区期末）已知某扇形的圆心角是2，圆心角所对的弧长也是2，则该扇形的半径为 ；面积为 ．26．（2020秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 ．27．（2020秋•大兴区期末）已知角终边与单位圆的交点为，则 ； ．28．（2020秋•顺义区期末）已知是第三象限角，且， ．29．（2020秋•顺义区期末） ．P P O 17m ()sin()2y x π=+(3x π∈-5]6π()1[2[1[,1]2-1[2-()2sin(6f x x π=-[,32ππ()2-OPQ r 4πA B C OP OQO P Q ABC ∆()5sin6π=αx P tan α=α1()2cos α=sin()απ+=α4cos 5α=-sin α=sin()4π-=30．（2020秋•海淀区校级期末）若角与角的终边关于直线对称，则角的终边上的所有角的集合可以写为 31．（2020秋•东城区期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第一象限内的点，则 ．保持角始边位置不变，将其终边逆时针旋转得到角，则 ．32．（2020秋•丰台区期末）若函数的一个零点为，则 ．33．（2020秋•丰台区期末） ．34．（2020秋•朝阳区期末）若函数的图象关于直线对称，则常数的一个取值为 ．35．（2020秋•通州区期末）若，是第二象限的角，则 ．三．解答题（共13小题）36．（2020秋•朝阳区期末）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的最大值和最小值；（Ⅲ）将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，求实数的最小值．37．（2020秋•通州区期末）已知函数，再从①，；②，这两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面问题．（Ⅰ）求；（Ⅱ）写出的最小正周期及一条对称轴方程（只写结果）；（Ⅲ）求函数在，上的最大值和最小值．38．（2020秋•通州区期末）已知函数．（Ⅰ）写出函数的振幅、周期、初相；（Ⅱ）用“五点法”作出在一个周期内的图象（先列表，再画图）．β23πα=y x =βxOy αOx 12(,)13P m tan α=α2πβcos β=()sin(2)()22f x x ππϕϕ=+-<<6x π=ϕ=5tan4π=()cos(2)f x x ϕ=+3x π=ϕ4sin 5α=αtan 2α=2()2sin cos(2)13f x x x π=+--()6f π[0,]2x π∈()f x ()f x (0)m m >cos 2y x =m 212()2cos sin f x x x ωω=+11ω=22ω=11ω=21ω=(0)f ()f x ()f x [0]2π()2sin(26f x x π=+()f x ()f x39．（2020秋•通州区期末）已知锐角、的终边与单位圆的交点分别为，．（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）求．40．（2020秋•通州区期末）（1）若，求的值；（2）已知锐角，满足，若，求的值．41．（2020秋•顺义区期末）已知函数．（1）当时，求的最小正周期及单调递增区间；（2）求在上的最大值及最小值，并指出相应的值．42．（2020秋•大兴区期末）（Ⅰ）已知，求的值；（Ⅱ）若，求的一个值．43．（2020秋•海淀区校级期末）已知关于的方程的两根为和，．（1）求实数的值；（2）求的值．44．（2020秋•丰台区期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边与单位圆的交点为．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）若，求函数的最小正周期和单调递增区间．45．（2020秋•朝阳区期末）已知函数αβ1(2A B tan βcos()πα+sin()αβ-3tan 4α=-sin cos sin cos αααα+-αβ11cos()14αβ+=-sin()αβ-=cos β1()sin(2)23f x x π=-x R ∈()f x ()f x [,]44ππ-x 1sin ,(,)32πααπ=∈tan αcos 2sin()x x x ϕ-=+ϕx 21204x bx -+=sin θcos θ3(,)44ππθ∈b 2sin cos 1cos sin θθθθ+-xOy αOx O e 1)2sin αsin()2πα-(0,)2πα∈()sin(sin )f x x αα=-()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<只能同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为；②最大值为2；③；④．（Ⅰ）请指出同时满足的三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求的解析式；（Ⅲ）求的单调递增区间．46．（2020秋•通州区期末）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若函数在，上单调递增，求实数的取值范围．47．（2020秋•大兴区期末）已知函数．（Ⅰ）用“五点法”画出函数在一个周期内的简图；（Ⅱ）说明函数的图象可以通过的图象经过怎样的变换得到？（Ⅲ）若，写出的值．48．（2020秋•东城区期末）已知函数，其中．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求：（Ⅰ）的单调递增区间；（Ⅱ）在区间的最大值和最小值．条件①：函数最小正周期为；条件②：函数图象关于点对称；条件③：函数图象关于对称．2π(0)1f =-(03f π-=()f x ()f x ()f x ()2cos()sin 3f x x x π=-()f x ()f x ()f x [0]m m ()3sin(26f x x π=+()y f x =()y f x =sin y x =003(),[2,3]2f x x ππ=∈0x ()sin()f x x ωϕ=+0,(0,)2πωϕ>∈()f x ()f x [0,2π()f x π()f x (,0)6π-()f x 12x π=2021北京高一数学上学期期末汇编：三角函数参考答案一．选择题（共23小题）1．【分析】先利用特殊角的三角函数值，求出，再利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：等价于或，所以“，”是“”的充分不必要条件．故选：．【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了三角方程的求解，属于基础题．2．【分析】根据三角函数的周期性进行判断即可．【解答】解：①的周期，满足条件．②是偶函数，图象不具备周期性，不满足条件．③的周期，则的周期，满足条件，故选：．【点评】本题主要考查三角函数周期的判断，结合三角函数的周期公式是解决本题的关键，是基础题．3．【分析】由的范围逐一核对四个选项得答案．【解答】解：为第三象限角，，，，故，错误；，故错误；，故正确．故选：．【点评】本题考查三角函数值的符号，是基础题．4．【分析】把角化为对于，，，的形式，再判断即可．【解答】解：对于，，与是终边相同的角；对于，，与不是终边相同的角；对于，，与不是终边相同的角；对于，，与不是终边相同的角．故选：．【点评】本题考查了终边相同的角的概念与应用问题，是基础题．5．【分析】利用一周为，然后求出每分钟转的弧度数，再求解24分钟转的弧度数即可．【解答】解：因为一周为，1sin 2α=1sin 2α=26k παπ==52,6k k Z παπ=+∈26k παπ=+k Z ∈1sin 2α=A tan y x =T π=sin ||y x =sin y x =2T π=|sin |y x =T π=B θθ tan 0θ∴>sin 0θ<cos 0θ<A B sin tan 0θθ⋅<C sin 2tan 2sin cos tan 0θθθθθ⋅=>D D 360k α⨯︒+k Z ∈[0α∈︒360)︒A 300136060-︒=-⨯︒+︒60︒B 2401360120-︒=-⨯︒+︒60︒C 120︒60︒D 390136030︒=⨯︒+︒60︒A 2π2π故10分钟转了，所以每分钟就转了，故24分钟转了，所以从起始位置转过的角是．故选：．【点评】本题考查了角的概念的理解和应用，解题的关键是求出每分钟转的弧度数，属于基础题．6．【分析】直接利用诱导公式化简即可．【解答】解：．故选：．【点评】本题主要考查了诱导公式，属于基础题．7．【分析】计算扇形的弧长，再求扇形弧长所对的圆心角．【解答】解：扇形的半径为1，周长为，所以扇形的弧长为，扇形弧长所对的圆心角为．故选：．【点评】本题考查了计算扇形弧长所对的圆心角应用问题，是基础题．8．【分析】利用“弦化切”及其平方关系化简已知等式即可得出．【解答】解：因为，则．故选：．【点评】本题考查了“弦化切”及同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．9．【分析】利用同角三角函数间的基本关系即可求解．【解答】解：因为，可得，，因为，，所以．故选：．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，属于基础题．2π2105ππ=242455ππ⨯=OP OA 245πD sin 2021sin(3606139)︒=︒⨯-︒sin(139)sin139sin 41=-︒=-︒=-︒B π2π-221ππ-=-C tan 1α=-222222222232321312sin 3cos 1(1)12sin cos tan sin cos tan αααααααα--⨯--====-++-+B 22222cos 3sin 2(1sin )3sin 1αααα-=--=21sin 5α=24cos 5α=3(2πα∈-)π-sin α=cos α=sin 1tan cos 2ααα==-D10．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可得，．【解答】解：，，，则．故选：．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得的值．【解答】解：由于角的终边经过点，，，，，故选：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．12．【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案．【解答】解：推不出，不是充分条件，推出，是必要条件，故选：．【点评】本题考查了充分必要条件，考查了三角函数问题，是一道基础题．13．【分析】利用诱导公式化简函数为，然后利用函数图象的平移推出正确选项．【解答】解：因为函数，所以可由的图象，向左平移个单位长度，得到函数的图象．故选：．【点评】本题是基础题，考查三角函数的诱导公式的应用，函数图象的平移变换，注意三角函数的平移原则为“左加右减上加下减”．14．【分析】利用函数，得到的值域，从而得到，然后迭加得到，根据选项进行判断即可．【解答】解：由的值域可得，，即，故，即，当时，，当时，，故正整数的最小值为507．cos αtan α 3sin 5α=2παπ<<4cos 5α∴==-sin 3tan cos 4ααα==-B sin αα(3,4)P -3x ∴=4y =-||5r OP ==4sin 5y r α∴==-B sin θ=3πθ=3πθ=sin θ=B cos 2y x =sin(2)2y x π=+cos 2sin(22y x x π==+sin 2y x =4πsin[2()]sin(2)cos 242y x x x ππ=+=+=B ()4|sin|2xf x π=()f x 12|()()|4f x f x -…20214(1)n -…sin y x =()[0f x ∈4]12|()()|4f x f x -…12231|()()||()()||()()|4(1)n n f x f x f x f x f x f x n --+-+⋯+--…20214(1)n -…506n =4(1)20202021n -=<507n =4(1)20242021n -=>n故选：．【点评】本题考查了三角函数性质的应用，涉及了三角函数值域的应用，解题的关键是构造绝对值相加的等式，属于中档题．15．【分析】举例说明前面不能推后面，后面不能推前面，结合充分条件、必要条件的定义进行判定即可．【解答】解：取、，、均为第一象限角，且，但，、均为第一象限角，，取、，但，所以“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：．【点评】本题主要考查了三角不等式，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了学生逻辑推理的能力和运算求解的能力，属于基础题．16．【分析】利用诱导公式得到：．【解答】解：．故选：．【点评】本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．17．【分析】设的终边经过点，则由题意的终边经过点，利用任意角的三角函数的定义即可得解．【解答】解：在平面直角坐标系中，角，角的终边关于直线对称，设的终边经过点，则的终边经过点，，．故选：．【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．18．【分析】利用三角函数的周期性和奇偶性即可求解．【解答】解：，函数的周期为，故不满足题意；，函数的周期为，，是奇函数，故不满足题意；，是奇函数，故不满足题意；，最小正周期为且为偶函数，故满足题意．故选：．【点评】本题考查了函数的周期性以及函数的奇偶性，是基础题．C 60α=︒390β=︒αβαβ<sin sin αβ>αβsin sin αβ<390α=︒60β=︒αβ>αβ<sin sin αβ<D 3tantan 44ππ=-3tan tan()tan 1444ππππ=-=-=-B α(,)m n β(,)n m αβy x =∴α(,)m n β(,)n m 1cos 3α==- 1sin 3β∴==-D ()tan 2f x x =2πA ()sin cos sin 2f x x x x ==π()sin(2)sin 2()f x x x f x -=-=-=-B ()cos(2)sin 22f x x x π=+=-C 22()cos sin cos 2f x x x x =-=πD D19．【分析】直接利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的值的应用求出结果．【解答】解：因为所以，整理得，所以①当时，②当时，，则故选：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，诱导公式，同角三角函数的关系式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．20．【分析】根据题意求出此人相对于地面的高度函数，利用，求出此人相对于地面的高度不小于17的时间即可．【解答】解：由题意知，，解得，所以在时摩天轮上某人所转过的角为，所以在时此人相对于地面的高度为，由，得，解得，所以，且，所以此人有10分钟相对于地面的高度不小于17 ．故选：．【点评】本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．21．【分析】利用诱导公式将函数化简，再由余弦函数的性质即可求值域．【解答】解：，3sin()sin()3cos sin 2παπααα--+=+=223cos sin cos sin 1αααα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩210cos 10αα++=cos α=-cos α=sin α=cos sin αα-=cos α=sin α=cos sin αα-=C ()h t ()17h t …230T πω==15πω=t 15t πt 10sin12(0)15h t t π=+…10sin 121715t π+…1sin 152t π…56156t πππ… (52522)t (255)1022-=m B sin(cos 2y x x π=+=因为，，所以，，即函数的值域为，．故选：．【点评】本题主要考查诱导公式、三角函数的最值，属于基础题．22．【分析】直接利用三角函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最大值．【解答】解：由于，所以，则：，故．所以当故选：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23．【分析】将、分别关于半径，对称的线段为，，将的周长的最值转化为三条线段的最值进行分析求解即可．【解答】解：将、分别关于半径，对称的线段为，，则的周长，当，，，共线时取等号，故的周长有最小值，最大值无限趋近，但取不到，故无最大值．故选：．(3x π∈-5]6πcos [x ∈1][1]B [,32x ππ∈[,663x πππ-∈1sin()[62x π-∈()f x ∈2x π=C AC BC AP AQ AC ''BC 'ABC ∆BC AB AC '++''AC BC AP BQ AC ''BC 'ABC ∆L BC AB AC BC AB AC C C =++='++'''''…C 'A B C ''ABC ∆OPQ ∆C【点评】本题考查了三角形周长最值的求解，涉及了线段求和的最值的解法，解题的关键是将其中两条线段作对称，当三条线段共线时找到最值，属于中档题．二．填空题（共12小题）24．【分析】利用诱导公式化简求值即可得解．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，考查了转化思想，属于基础题．25．【分析】根据扇形的弧长公式求出扇形的半径，再计算扇形的面积．【解答】解：扇形的圆心角是2，圆心角所对的弧长也是2，所以该扇形的半径为；面积为．故答案为：1，1．【点评】本题考查了扇形的弧长与面积公式应用问题，是基础题．26．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义即可求解．【解答】解：一个角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，．故答案为：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．27．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求出结果．【解答】解：由于角终边与单位圆的交点为，则，．故答案为：，．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．28．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算求解．【解答】解：因为是第三象限角，且，所以．故答案为：．51sin sin()sin 6662ππππ=-==1221||2l r α===221121122S r α=⋅=⨯⨯=扇形 αx P 1tan 2α∴==12α1(2cos α=1sin()sin 2απα+=-=-12-α4cos 5α=-3sin 5α==-35-【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．29．【分析】由题意利用诱导该公式，计算求得要求式子的值．【解答】解：，故答案为：．【点评】本题主要考查诱导该公式的应用，属于基础题．30．【分析】由已知利用终边相同的角的概念即可求解．【解答】解：角的取值集合是，，角与角的终边关于直线对称，可得，，可得角的取值集合是，，故答案为：，．【点评】本题主要考查终边相同的角的定义和表示方法，属于基础题．31．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式即可求解．【解答】解：角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若角以为始边，它的终边与单位圆交于第一象限内的点，则，则，保持角始边位置不变，将其终边逆时针旋转得到角，则．故答案为：，．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中应用，属于基础题．32．【分析】由函数的零点代入，由三角函数的值及的范围，可得的值．【解答】解：因为函数的一个零点为，所以，可得，，又因为，所以，故答案为：【点评】本题考查三角函数的性质及零点与方程根的关系，属于基础题．sin(sin 44ππ-=-=α2{|23k πααπ=+}k Z ∈β23πα=y x =2222(23346k k ππππβππ=+-⨯-=-+k Z ∈β{|26k πββπ=-+}k Z ∈{|26k πββπ=-+k Z ∈}αβOx x αOx 12(,)13P m 513m ==121213tan 5512α==α2πβ12cos cos()sin 213πβαα=+=-=-1251213-ϕϕ()sin(2)(22f x x ππϕϕ=+-<<6x π=sin(2)06πϕ⋅+=3k πϕπ=-k Z ∈22ππϕ-<<3πϕ=-3π-33．【分析】由题意利用诱导公式，计算求得结果．【解答】解：，故答案为：1．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．34．【分析】余弦函数的图象的对称性，求得常数的一个取值．【解答】解：函数的图象关于直线对称，，，令，可得常数，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．35．【分析】先求出的值，再由正切函数的二倍角公式可得答案．【解答】解：因为为第二象限的角，又，所以，，，故答案为：．【点评】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式，同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能．三．解答题（共13小题）36．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数的关系式的变换，变形成正弦型函数，进一步求出结果；（Ⅱ）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值；（Ⅲ）利用函数的图象的平移变换的应用和函数的对应关系的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）函数．所以．（Ⅱ）由于，所以，所以当时，，当时，．（Ⅲ）将函数的图象向左平移个单位长度，5tan tan 144ππ== ϕ ()cos(2)f x x ϕ=+3x π=23k πϕπ∴⨯+=k Z ∈1k =3πϕ=3πtan αα4sin 5α=3cos 5α=-sin 4tan cos 3ααα∴==-22tan 24tan 217tan ααα==-24721()2sin cos(2)1cos 22cos 2sin(2)326f x x x x x x x ππ=+--=+-=-1()sin()6362f πππ=-=[0,]2x π∈52[,]666x πππ-∈-0x =1()(0)2min f x f ==-3x π=()()13max f x f π==()f x (0)m m >所得函数的图象与函数的图象重合，故，解得，当时，．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换，属于基础题．37．【分析】若取①：（Ⅰ）利用三角函数恒等变换化简函数解析式，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．（Ⅱ）利用正弦函数的周期公式可求的最小正周期，利用正弦函数的对称性即可求解一条对称轴方程．（Ⅲ）由题意可求，利用正弦函数的性质即可求解其最值．若取②：（Ⅰ）利用三角函数恒等变换及配方法化简函数解析式，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．（Ⅱ）利用函数的周期性和对称性即可求解．（Ⅲ）由题意可求，利用二次函数的性质即可求解其最值．【解答】解：若取①，（Ⅰ），；（Ⅱ），的最小正周期，一条对称轴方程为．（Ⅲ），，函数在，，函数在，．若取②，（Ⅰ），；()sin(22)6g x x m π=+-cos 2y x =22()62m k k Z πππ-=+∈()3m k k Z ππ=+∈0k =3min m π=()f x 52444x πππ+……0sin 1x ……11ω=22:ω=2()2cos sin 2cos 2sin 21)14f x x x x x x π=+=++=++(0)1124f π∴=+==()14f x x π=++ ()f x ∴22T ππ==8x π=02x π……∴52444x πππ+……∴()f x [02π112π+=+()f x [0]2π5104π+=11ω=21:ω=222171()2cos sin 22sin sin 2(sin )84f x x x x x x =+=-+=--2171(0)2(0)284f ∴=-⨯-=（Ⅱ），的最小正周期，一条对称轴方程为．（Ⅲ），，函数在，上的最大值为：，函数在，上的最小值为：．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化与运算能力，属于中档题．38．【分析】（Ⅰ）根据函数的解析式的形式，根据振幅为，周期，初相为，可得答案．（Ⅱ）根据列表、描点、连线的基本步骤，画出函数在一个周期，的大致图象即可．【解答】解：（Ⅰ）由于，可得函数的振幅为2、周期为、初相为．（Ⅱ）列表如下：0200在一个周期内的图象如图所示：【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，解题时应根据画三角函数的图象的基本步骤画出图形，是基础题．39．【分析】先由已知求出，角的大小，进而可以对应各个问题逐个求解．【解答】解：由已知可得：，2171()2(sin )84f x x =-- ()f x ∴2T π=2x π=02x π……0sin 1x ∴……∴()f x [02π178()f x [0]2π21712(1184-⨯-=sin()y A x ωϕ=+A 2T πω=ϕ[02]π()2sin(26f x x π=+()f x π6π26x π+2ππ32π2πx12π-6π512π23π1112π()f x 2-()f x αβ,34ππαβ==（Ⅰ），，故，；（Ⅱ）故．【点评】本题考查了三角函数的定义以及求解三角函数值，考查了学生的运算能力，属于基础题．40．【分析】（1）弦化切即可求解；（2）根据已知求出对应的三角函数值，利用配凑法求出的值，由此可以求解．【解答】解：（1）因为，则；（2）因为锐角，满足，，则，，则，，所以，所以【点评】本题考查了两角和与差的三角函数求值的问题，涉及到角的范围，考查了学生的运算能力，属于基础题．41．【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质求出函数的最小正周期和函数的单调区间；（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值．【解答】解：（1）函数，所以函数的最小正周期为．令，解得，tan tan14πβ==1cos()cos(cos332πππαπ+=+=-=-tan 1β=1cos()2πα+=-sin()sin cos cos sin sin coscossin3434ππππαβαβαβ-=-=-12-=sin()αβ-=cos 2β3tan 4α=-31sin cos tan 1143sin cos tan 1714αααααα-+++===-----αβ11cos()14αβ+=-sin()αβ-=(,)2παβπ+∈(0,)2παβ-∈sin()αβ+==1cos()7αβ-==cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()βαβαβαβαβαβαβ=+--=+-++-11111472=-⨯+=cos β==1()sin(223f x x π=-22T ππ==222()232k x k k Z πππππ-+-+∈……5()1212k x k k Z ππππ-++∈……故函数的单调递增区间为．（2）由于，所以，故，当时，函数的最小值为，当时，函数的最大值为．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．42．【分析】（Ⅰ）由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解．（Ⅱ）利用二倍角的正弦公式化简已知等式，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为，可得，可得（Ⅱ）若，可得，可得的一个值为．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．43．【分析】（1）根据题意，利用韦达定理列出关系式，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简求出的值即可；（2）由的值，利用完全平方公式求出的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，即可求出值．【解答】解：（1）方程的两根为、，，，，，，即，，解得：（负值舍去），5[,]()1212k k k Z ππππ-++∈[,]44x ππ∈-52[,]366x πππ-∈-11()[,]24f x ∈-12x π=-12-4x π=141sin ,(,)32πααπ=∈cos α==sin tan cos ααα==cos 2sin()x x x ϕ=+152(cos )2sin(2sin()26x x x x πϕ=+=+ϕ56πbb sin cos θθ± 21204x bx -+=sin θcos θsin cos 2b θθ∴+=1sin cos 08θθ=> 3(,)44ππθ∈(42ππθ∴+∈)πsin cos )04πθθθ+=+>22221(sin cos )sin cos 2sin cos 1284b θθθθθθ∴+=++=+⨯=b =则（2），，．【点评】此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题．44．【分析】（Ⅰ）利用三角函数的定义与诱导公式即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，根据，可得，进而得出及其周期、及其单调性．【解答】解：（Ⅰ）依题意知，所以．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，因为，所以，所以，令，由得，，且的最小正周期为，即，于是，所以，由周期函数的定义可知，函数的最小正周期为．（在求周期时，直接用公式获得答案的，同样给分）由得，，所以函数的单调递增区间是．（9分）【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．45．【分析】（Ⅰ）若函数满足条件③，则由，推出与，矛盾，可得函数不能满足条件③；b =22213(sin cos )sin cos 2sin cos 1284θθθθθθ-=+-=-⨯= sin cos θθ∴-=sin cos θθ+ ∴22sin cos 1(sin cos )cos sin cos sin θθθθθθθθ++==--1sin 2α=(0,)2πα∈α()f x 1sin 2α=cos α=sin()cos 2παα-==⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1sin 2α=(0,2πα∈6πα=1()sin(26f x x π=-126z x π=-x R ∈z R ∈sin y z =2πsin(2)sin z z π+=11sin(2)sin(2626x x πππ-+=-11sin((4))sin()2626x x πππ+-=-()f x 4π2||T πω=122,2262k x k k Z πππππ-+-+∈……2444,33k x k k Z ππππ-++∈……()f x 24[4,4],33k k k Z ππππ-++∈⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()f x (0)sin 1f A ϕ==-0A >02πϕ<<()f x（Ⅱ）由条件①，利用周期公式可求，由条件②，可得，由条件④，可得，结合范围，可求，可得函数解析式；（Ⅲ）利用正弦函数的单调性即可求解．【解答】解：（Ⅰ）若函数满足条件③，则，这与，矛盾，故函数不能满足条件③，所以函数只能满足条件①，②，④，（Ⅱ）由条件①，可得，又因为，可得，由条件②，可得，由条件④，可得，又因为，所以，所以；（Ⅲ）由，，可得：，，可得的单调递增区间为，．【点评】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．46．【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式进行化简，结合周期公式进行计算即可．（Ⅱ）根据函数的单调性进行求解即可．（Ⅲ）根据函数的单调性建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ），即函数的周期．（Ⅱ）由，，得，，即，，即函数的单调递增区间为，，，1ω=2A =()06f π-=02πϕ<<3πϕ=()f x (0)sin 1f A ϕ==-0A >02πϕ<<()f x ()f x 22||ππω=0ω>1ω=2A =(2sin()033f ππϕ-=-+=02πϕ<<3πϕ=()2sin()3f x x π=+22232k x k πππππ-++……k Z ∈52266k x k ππππ-+……k Z ∈()f x 5[26k ππ-2]()6k k Z ππ+∈sin()y A x ωϕ=+21()2(cos )sin sin cos 2f x x x x x x x=+=+11cos 21sin 2sin 22sin(2)2223x x x x x π-==-+=-22T ππ==222232k x k πππππ--+……k Z ∈522266k x k ππππ-+……k Z ∈51212k x k ππππ-+……k Z ∈[12k ππ-5]12k ππ+k Z ∈由，，得，，即，，即函数的单调递减区间为，，．（Ⅲ）当时，函数的递增区间为，，若函数在，上单调递增，则，即实数的取值范围是．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的周期性，单调性的性质是解决本题的关键，是中档题．47．【分析】（Ⅰ）用五点法作函数在一个周期上的简图；（Ⅱ）根据函数的图象变换规律，可得结论；（Ⅲ）由正弦函数的性质即可求解．【解答】解：（Ⅰ）列表：0300描点，连线，作图如下：（Ⅱ）法一：将函数的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到，再将得到的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，再将得到的图象向左平移得到．法二：将函数的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到，3222232k x k πππππ+-+…k Z ∈51122266k x k ππππ++……k Z ∈5111212k x k ππππ++……k Z ∈5[12k ππ+1112k ππ+k Z ∈0k =[12π-512π()f x [0]m 5012m π<…m 5012m π<…sin()y A x ωϕ=+sin()y A x ωϕ=+26x π+2ππ32π2πx12π-6π512π23π1112π()f x 3-sin y x =3sin y x =123sin 2y x =12π()3sin(2)6f x x π=+sin y x =3sin y x =再将得到的图象向左平移得到，再将得到的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到．（Ⅲ）若，则，即，或，，即，或，，又，所以或或．【点评】本题主要考查五点法作函数的图象，函数的图象变换规律以及正弦函数的性质，属于中档题．48．【分析】（Ⅰ）根据所选条件确定函数的解析式，再由正弦函数的单调性即可求得的单调递增区间；（Ⅱ）由正弦函数的性质即可求得最值．【解答】解：选择条件①②解答如下：（Ⅰ）由函数最小正周期，得．又图象关于点对称，有，又已知，故．因此．，解得，．所以的单调递增区间为．（Ⅱ）因为，所以．当，即时，取得最大值1；当，即时，取得最小值．如果选择条件①③解答如下：由函数最小正周期，得．又函数图象关于对称，有，6π3sin(6y x π=+12()3sin(2)6f x x π=+03()2f x =033sin(2)62x π+=02266x k πππ+=+k Z ∈052266x k πππ+=+k Z ∈0x k π=k Z ∈03x k ππ=+k Z ∈0[2x π∈3]π02x π=03x π=73πsin()y A x ωϕ=+sin()y A x ωϕ=+()f x ()f x ()f x 2||T ππω==2ω=()f x (,0)6π-sin[2()]06πϕ⨯-+=(0,)2πϕ∈3πϕ=()sin(23f x x π=+222,232k x k k Z πππππ-+++∈由……51212k x k ππππ-++……k Z ∈()f x 5[,]()1212k k k Z ππππ-++∈02x π (423)33x πππ+……232x ππ+=12x π=()f x 4233x ππ+=2x π=()f x ()f x 2||T ππω==2ω=()f x 12x π=sin(2)112πϕ⨯+=±。
2020-2021北京市高一数学上期末一模试卷(含答案)
2020-2021 北京市高一数学上期末一模试卷(含答案)一、选择题1． 已知会合 A ｛2， 1, 0，1, 2｝， B x | ( x 1)(x2) 0 ,则 AI B（ ）A ．1,0B ． 0,1C ．1,0,1D ． 0,1,2． 已知奇函数 y f (x) 的图像对于点 ( ,0) 对称，当x [0, ) 时， f ( x)1 cos x，222则当 x5,3 ] 时， f (x) 的分析式为（）(2A ． f ( x) 1 sin xB ． f (x)1 sin xC ． f (x) 1 cosxD ． f ( x)1 cos x3． 设会合 A x |2x 1 1 ， By | ylog 3 x, x A ，则 e B A（） A ． 0,1B ． 0,1C ．0,1D ．0,14． 已知 alog 1 15b11， ， c 6 3 ，则（）3 44A ． a b cB ． a c bC ． c a bD ． b c a5． 已知函数f ( x ) ln x ，若 af (2) ， bf (3) ， cf (5) ，则 a ， b ， c 的大小关x系是（ ）A ． b c aB ． b a cC ． a c bD ． c a b6． 函数fxlog 1 x 2 2x 的单一递加区间为（）2． ,1． 2,． ,0．1,ABCD7． 已知函数 fxlog 2 x 1 xff x 3 的零点个数为（ ）x 4x ，则 yAB C D ． 3． 4． 5 ． 68． 已知函数 f(x)＝log 1 x, x 1,则 f ( f (1)) ) 等于 (2)2 4 x , x 1,2A ． 4B ．－ 2C ． 2D ． 19． 已知 a log 3 2 ， b 20.1 ， c sin 789o ，则 a ， b ， c 的大小关系是A ． a b cB ． a c bC ． c a bD ． b c axxa=m ，若函数 f 10． 已知函数 f （ x ）=x （ e +ae ﹣）（ x ∈ R ），若函数 f （ x ）是偶函数，记 （x ）为奇函数，记 a=n ，则 m+2n 的值为（ ） A ．0B ． 1C ． 2D ．﹣ 1x1, x1,011．若函数f x{4，则 f(log 43) ＝()4x , x0,11B．1C． 3D．4A．4312．函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，在 ( －∞， 0] 上是减函数且f（ 2） =0 ，则使 f（ x）<0 的 x 的取值范围（）A．（－∞， 2）B．（ 2， +∞）∞ - 2 2 +∞D．（－22C．（－，）∪（，），）二、填空题213．已知函数f x x 2 , x0，则对于 x 的方程f2x af x0 a0,3x 3 , x 0的全部实数根的和为_______.14．己知函数f x x22ax1 a 在区间 01，上的最大值是2, 则实数a______. 15．若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，在 (－∞， 0]上是减函数，且f(2)＝ 0，则使得 f(x)<0的 x 的取值范围是 ________．16．已知 f (x) ? g( x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且 f ( x)g( x)2x x ，则f (1)g(1)__________ .17．a 1.10.1， b log 12， c ln 2 ，则a，b，c从小到大的关系是________.2218．已知y f ( x)x2是奇函数，且 f （1） 1，若 g( x) f ( x) 2，则 g( 1)___．19．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）知足函数关系（为自然对数的底数，k、 b 为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计 192 小时，在 22的保鲜时间是48 小时，则该食品在33的保鲜时间是小时 .20．已知函数f ( x)2x ,0x1,则对于 x 的方程4x f ( x)k 0 的全部根的和1f ( x1),1x 3,2的最大值是 _______.三、解答题21．定义在,00,上的函数 y f x知足 f xy f x f 1，且函数yf x在,0 上是减函数.（1）求f 1 ，并证明函数y f x是偶函数；（2）若f 2 1 ，解不等式 f 24f1 1 .x x22． 已知函数 f ( x) ln( x 2 ax 3) .(1) 若 f (x) 在 (,1] 上单一递减，务实数a 的取值范围；(2) 当 a 3 时，解不等式f (e x ) x .23． 已知函数 f ( x)ax 2 (b 8) xa ab 的零点是 -3 和 2(1) 求函数 f ( x) 的分析式 .(2) 当函数 f ( x) 的定义域是[0,1] 时求函数 f ( x) 的值域 .24． 已知函数 f ( x)2 x , x, m, 此中 0 , m 1.lg x1, xm,（Ⅰ）当 m 0 时，求函数 yf ( x) 2 的零点个数；（Ⅱ）当函数 y f 2( x)3 f ( x) 的零点恰有 3 个时，务实数 m 的取值范围 .25． 已知函数 f ( x)2 x k 2 x ， g ( x) log a f (x)2x （ a 0 且 a 1 ），且f (0) 4 .（1）求 k 的值；（2）求对于 x 的不等式 g ( x) 0 的解集；（3）若 f ( x)t 8 对 x R 恒建立，求 t 的取值范围 .2x26． 设函数 f ( x)3x ，且 f (a 2)18 ，函数 g( x)3ax4x ( x R) ．（1）求 g( x) 的分析式；（2）若方程 g( x) － b=0 在 [－ 2，2] 上有两个不一样的解，务实数b 的取值范围．【参照答案】 *** 试卷办理标志，请不要删除一、选择题1．A 分析： A【分析】【剖析】【详解】由已知得 Bx | 2 x 1 ，因为 A ｛2， 1, 0，1, 2｝，所以 AB 1,0 ，应选 A ．2．C分析： C【分析】【剖析】当 x5,3时， 3x0,2, 联合奇偶性与对称性即可获得结果.2【详解】因为奇函数 y f x 的图像对于点,0对称，所以f x f x0 ，2且 f x f x，所以 f x f x，故 f x 是以为周期的函数 .当 x 5,3时， 3x0,，故 f3x 1 cos 3x1cosx 22因为 f x是周期为的奇函数，所以f3x f x f x故 f x1cosx ，即 f x1cosx ，x5,32应选 C【点睛】此题考察求函数的表达式，考察函数的图象与性质，波及对称性与周期性，属于中档题. 3．B分析： B【分析】【剖析】先化简会合A,B, 再求e B A得解 .【详解】由题得 A x |2x 1 20{ x | x 1} ，B y | y 0 .所以 e B A { x | 0 x1} .应选 B【点睛】此题主要考察会合的化简和补集运算，考察指数函数的单一性和对数函数的值域的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握水平.4．C分析： C【分析】【剖析】第一将 b 表示为对数的形式，判断出b 0，而后利用中间值以及对数、指数函数的单一性比较3与 a, c 的大小，即可获得a, b, c的大小关系.2【详解】因为 5b1 ，所以 b log 5 1 log 5 1 0 ，4 4又因为 alog 1 1 log 3 3,log 3 3 3 ，所以 a 1,3log 3 4 ，3 423113 313,2 ，又因为 c63,83 ，所以 c22所以 ca b .应选： C. 【点睛】此题考察利用指、对数函数的单一性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单一性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或许负的状况可利用中间值进行比较.5．D分析： D【分析】【剖析】能够得出 a1 ln 32, c 1 ln 25 ，从而得出 ＜ ，相同的方法得出 ＜ ，从而得出 ，10 10c a a b ab ，c 的大小关系． 【详解】af 2ln 2ln 32 , c f 51ln 5 ln 25,依据对数函数的单一性获得a>c,2 105 10bf 3ln 3 ,又因为 a f 2ln 2 ln8， bln 3ln 932 6 f 3，再由对数函数36的单一性获得 a<b,∴ c ＜a ，且 a ＜ b ；∴ c ＜ a ＜ b ．应选 D ． 【点睛】考察对数的运算性质，对数函数的单一性．比较两数的大小常有方法有：做差和 0 比较，做商和 1 比较，或许结构函数利用函数的单一性获得结果.6．C分析： C 【分析】【剖析】求出函数fxlog 1 x 2 2x 的定义域，而后利用复合函数法可求出函数y f x 的2单一递加区间 . 【详解】解不等式 x 2 2x0 ，解得 x 0 或 x 2 ，函数 y f x 的定义域为 ,0 U 2,.内层函数 u x 2 2x 在区间 ,0 上为减函数，在区间2,上为增函数，外层函数ylog 1u在 0,上为减函数，2由复合函数同增异减法可知，函数f x log 1 x 22x 的单一递加区间为 ,0 .2应选： C.【点睛】此题考察对数型复合函数单一区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考察计算能力，属于中等题 .7．C分析： C【分析】【剖析】由题意，函数y f f x3 的零点个数，即方程 f f x 3 的实数根个数，设t f x ，则 f t 3 ，作出 f x 的图象，联合图象可知，方程f t 3 有三个实根，从而可得答案 .【详解】由题意，函数 y f f x 3 的零点个数，即方程 f f x3 的实数根个数，设 tf x ，则 ft3 ，作出 f x 的图象，f t3 有三个实根 t 11 ， t 21 4 ，以下图，联合图象可知，方程， t 34则 fx1 有一个解， f x1 有一个解， f x4 有三个解，4故方程 f fx 3 有 5个解.【点睛】此题主要考察了函数与方程的综合应用，此中解答中合理利用换元法，联合图象，求得方程 ft 3 的根，从而求得方程的零点个数是解答的重点，侧重考察了剖析问题和解答问题的能力，以及数形联合思想的应用.8．B分析： B【分析】1112 4 22 2 4，则 f f4log 1 4 2 ，应选B.f f2229．B分析： B【分析】【剖析】【详解】33 3 ，由对数函数的性质可知a log 3 2log 33442由指数函数的性质b20.11，由三角函数的性质c sin 7890sin(23600690 )sin 690sin 600，所以c (3,1)，2所以 a c b ，应选 B.10．B分析： B【分析】试题剖析：利用函数f（ x） =x（ e x+ae﹣x）是偶函数，获得g（x） =e x+ae﹣x为奇函数，而后利x x x x﹣﹣为偶函用 g（0） =0，能够解得 m．函数 f（ x） =x（ e +ae ）是奇函数，所以g（ x） =e +ae数，可得 n，即可得出结论．x x x x x x解：设 g（ x） =e﹣﹣g（ x） =e﹣为奇函+ae，因为函数f（ x） =x（ e +ae ）是偶函数，所以+ae数．又因为函数 f （ x）的定义域为R，所以 g（ 0） =0，即 g（0） =1+a=0，解得 a=﹣ 1，所以 m=﹣ 1．因为函数x x xxf（ x） =x（ e+ae﹣）是奇函数，所以g（ x） =e +ae﹣为偶函数所以（ e﹣x+ae x） =e x+ae﹣x即（ 1﹣ a）（ e﹣x﹣e x）=0 对随意的x 都建立所以 a=1，所以 n=1，所以 m+2n=1应选 B．考点：函数奇偶性的性质．11．C分析： C【分析】【剖析】依据自变量范围代入对应分析式，化简得结果.【详解】f(log43) ＝4log43 =3,选 C.【点睛】此题考察分段函数求值，考察基本求解能力，属基础题.12．D分析： D【分析】【剖析】依据偶函数的性质,求出函数f x 0在 ( －∞， 0] 上的解集 , 再依据对称性即可得出答案 .【详解】由函数 f,2 f 20,∞ 0]是减函数 ,所x 为偶函数所以 f又因为函数 f x 在(－，以函数 f x0 在(－∞，0]上的解集为2,0, 由偶函数的性质图像对于y 轴对称,可得在(0,+∞x0 的解集为(0,2),综上可得 , f x0 的解集为(-2,2). ) 上f应选 :D.【点睛】此题考察了偶函数的性质的应用,借助于偶函数的性质解不等式,属于基础题 .二、填空题13．【分析】【剖析】由可得出和作出函数的图象由图象可得出方程的根将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标利用对称性可得出方程的全部根之和从而可求出原方程全部实根之和【详解】或方程的根可视为直线与函数图象分析： 3【分析】【剖析】由2f x af x可得出f x 0和 f x a a0,3，作出函数y f x的图0象，由图象可得出方程 f x0 的根，将方程 f x a a0,3 的根视为直线y a 与函数 y f x 图象交点的横坐标，利用对称性可得出方程根之和，从而可求出原方程全部实根之和.f x a a0,3的全部【详解】Q f 2 x af x 0 0 a 3 ， f x 0 或 f x a 0 a 3 .方程 f x a 0 a 3 的根可视为直线y a 与函数 y f x 图象交点的横坐标，作出函数 y f x 和直线 y a 的图象以下列图：由图象可知，对于x 的方程 f x0 的实数根为2、3.因为函数 y x22x 2 对称，函数 y x 3 的图象对于直线 x 3的图象对于直线对称，对于 x 的方程f x a 0a 3 存在四个实数根x1、 x2、 x3、 x4以下图，且 x1 x22， x3x4 3 ，x1x2x3 x4462，22所以，所求方程的实数根的和为2 3 2 3 .故答案为： 3 .【点睛】此题考察方程的根之和，实质上就是求函数的零点之和，利用图象的对称性求解是解答的重点，考察数形联合思想的应用，属于中等题.14．或【分析】【剖析】由函数对称轴与区间关系分类议论求出最大值且等于2解对于的方程即可求解【详解】函数对称轴方程为为；当时；立即（舍去）或（舍去）；当时综上或故答案为:或【点睛】此题考察二次函数的图像与分析：1或 2.【分析】【剖析】由函数对称轴与区间关系，分类议论求出最大值且等于2，解对于a的方程，即可求解 .【详解】函数 f x x22ax1 a( x a)2a2a1，对称轴方程为为 x a；当 a0 时，f ( x)max f(0)1a2, a1；当 0a1, f ( x) max f(a)a2a12，即a2a 1 0, a15（舍去），或 a =1-5（舍去）；22当 a 1 时， f (x)max f(1)a 2 ，综上 a 1 或 a2.故答案为 :1或2.【点睛】此题考察二次函数的图像与最值，考察分类议论思想，属于中档题.15．(－ 22)【分析】【详解】∵函数 f(x) 是定义在 R 上的偶函数且在 (－∞ 0)上是增函数又 f(2) ＝0∴f(x) 在(0＋∞)上是增函数且 f( － 2)＝f(2) ＝0∴当－２＜ x ＜2 时f(x) ＜ 0 即 f(x) ＜分析：(－ 2,2)【分析】【详解】∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在( －∞， 0) 上是增函数，又f(2)＝0，∴ f(x)在(0 ，＋∞ ) 上是增函数，且f(－2) ＝f(2)＝ 0，∴当－２＜x＜ 2 时， f(x)＜ 0，即f(x)＜ 0的解为 (－ 2,2)，即不等式的解集为(－ 2,2), 故填 (－ 2,2).16．【分析】【剖析】依据函数的奇偶性令即可求解【详解】 ?分别是定义在上的偶函数和奇函数且故答案为：【点睛】此题主要考察了函数的奇偶性属于简单题分析：32【分析】【剖析】依据函数的奇偶性，令x1即可求解.【详解】Q f (x) ?g( x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数, 且f (x) g ( x) 2x xf ( 1) g( 1) f (1)g (1) 2 1 13,2故答案为：32【点睛】此题主要考察了函数的奇偶性，属于简单题.17．【分析】【剖析】依据指数函数和对数函数的图象与性质分别求得实数的取值范围即可求解获得答案【详解】由题意依据指数函数的性质可得由对数函数的运算公式及性质可得且所以 abc 从小到大的关系是故答案为：【点睛分析： b c a【分析】【剖析】依据指数函数和对数函数的图象与性质，分别求得实数a,b, c 的取值范围，即可求解，得到答案 .【详解】由题意，依据指数函数的性质，可得a 1.10.1 1.101，由对数函数的运算公式及性质，可得b log212log21(1)211，2221ln 2ln e 1，c ln 2 ln e，且c2所以 a， b， c 从小到大的关系是b c a .故答案为： b c a .【点睛】此题主要考察了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，此中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，求得实数a, b, c 的取值范围是解答的重点，侧重考察了推理与运算能力，属于基础题.18．-1【分析】试题分析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性分析： -1【分析】试题分析：因为 y f (x) x2是奇函数且 f (1)1，所以，则，所以．考点：函数的奇偶性．19．24【分析】由题意得：所以时考点：函数及其应用分析： 24【分析】由题意得： {e b192e22k48 1 , e11k1，所以 x33 时，e22kb,4819242ye33k b(e11k )3e b119224 .8考点：函数及其应用.20．5【分析】【剖析】将化简为同时设可得的函数分析式可适当k 等于 8 时与的交点的全部根的和的最大可得答案【详解】解：由可得：设由函数的性质与图像可适当 k 等于 8 时与的交点的全部根的和的最大此时根分别为：当时分析： 5【分析】【剖析】2x ,0x 1,2x ,0 x1,12x ,1将 f (x)1 f ( x化简为 f ( x)x2, 同时设1),1 x 3,4212x, 2x3,164x f (x) g( x) ，可得g (x)的函数分析式，可适当k 等于 8 时与g (x)的交点的全部根的和的最大，可得答案 .【详解】2x,0x 1,2x ,0 x1,1 2x,1解：由 f ( x)1f ( x1),1 x可得： f ( x)x 2,3,421 2x ,2 x 3,168x ,0 x 1,设 4x f (x)g (x) ， g( x)18x ,1 x 2,41 8x, 2 x 3,16由 g( x) 函数的性质与图像可得，当 k 等于 8 时与 g( x) 的交点的全部根的和的最大，此时根分别为：当 0 x 1 时， 8x 18 ， x 1 1，当 1 x2时，18x 28 ， x 2 5 ，43 当 2 x3时，18x 38 ， x 37 ，163此时全部根的和的最大值为： x 1 x 2x 3 5 ，故答案为： 5.【点睛】此题主要考察分段函数的图像与性质，注意分段函数需分对分段区间进行议论，属于中档题.三、解答题．（ ）f 1 0，证明看法析；（2） [1,2) (2,3]211【分析】【剖析】（1）依据函数分析式，对自变量进行合理赋值即可求得函数值，同时也能够获得 f x 与fx之间的关系，从而证明；（2）利用函数的奇偶性和单一性，合理转变求解不等式即可【详解】.（1）令 y1 0 ，则 f x1f xf 1 ，xx1x 得 f 1f x f x0 ，再令 x 1， y1 ，可得 f 1 f 1 f1 ，得 2 f 1f 1 0 ，所以 f1 0，令 y1，可得 f xfxf1f x ，又该函数定义域对于原点对称， 所以 fx 是偶函数，即证 .（2）因为f 2 1，又该函数为偶函数，所以f 21.因为函数 f x 在,0 上是减函数，且是偶函数所以函数 fx 在 0,上是增函数 . 又f 24f1 f 2x 4 xf 2x 4 ，xxx所以 f2x 4f 2 ，等价于2x 4 0, 2x 4 0,2x4 或2x42,2,解得 2 x 3 或 1 x 2 .所以不等式f2 4f1 1的解集为 [1,2)(2,3] .xx【点睛】此题考察抽象函数求函数值、证明奇偶性，以及利用函数奇偶性和单一性求解不等式 .22． (1) 2 a 4 ； (2) x x 0 或 x ln3【分析】 【剖析】（1 ）依据复合函数单一性的性质 ,联合二次函数性质即可求得 a 的取值范围 .（2 ）将 a3 代入函数分析式 ,联合不等式可变形为对于e x 的不等式 ,解不等式即可求解 .【详解】（1）Q f ( x) 在 (,1] 上单一递减,依据复合函数单一性的性质可知y x2 ax 3需单一a1递减则21a30解得2a4.（2）将a 3 代入函数分析式可得 f (x) ln( x23x 3)则由f (ex )x,代入可得ln e2 x3e x3x同取对数可得e2x3e x3e x 即 (e x )24e x30 ,所以 (e x1) e x30即 e x1或e x3x0或 x ln 3 ,所以原不等式的解集为x x 0或x ln 3【点睛】此题考察了对数型复合函数单一性与二次函数单一性的综合应用,对数不等式与指数不等式的解法 ,属于中档题 .23．（ 1）f (x)3x23x18 （2）[12,18]【分析】【剖析】【详解】（1）Q 3 2b 8, 3 2 a ab a3, b 5 , f x3x2 3 x 18 a a（ 2）因为 f x3x23x 18 张口向下，对称轴x1, 在0,1 单一递减，2所以当x 0, f max x 18,当x1, f min x12所以函数 f (x) 的值域为[12,18]【点睛】此题将函数的零点、分析式、最大小值等相关知识与性质有机整合在一同，旨在考察函数的表示、零点、最大小值等基础知识及综合运用．求解时先依照函数零点与方程的根之间的关系，求出函数分析式中的参数的值；解答第二问时，借助二次函数的图像和性质，运用数形联合的数学思想求出最大小值从而使得问题获解．24．（Ⅰ）零点3个. （Ⅱ）0,1 100【分析】【剖析】 （I ）当 m0时，由 f (x)2 0 ，联合分段函数分析式，求得函数的零点，由此判断出yf (x) 2的零点的个数 .（II ）令 f 2 ( x) 3 f (x) 0，解得 f (x) 0 （依据分段函数分析式可知 fx 0 ，故舍去.）或 f ( x)3 .联合分段函数分析式，求得f ( x) 3 的根，联合分段函数f x 的分段点，求得 m 的取值范围 .【详解】x,0,（Ⅰ）当 m 0 时， f (x)2 , xlg x 1, x0.令 yf ( x) 20，得 f (x) 2 ，则 | lg x | 1 2 或 2|x|2.解 | lg x | 12 ，得 x 10 或 1，10解 2|x| 2 ，得 x1 或 x 1（舍） .所以当 m0 时，函数 yf (x)2 的零点为 1，1，10，共 3 个.10（Ⅱ）令 f 2 ( x) 3 f (x) 0 ，得 f ( x) 0 或 f ( x) 3 .由题易知 f ( x) 0恒建立 .所以 f (x)3一定有 3 个实根，即 | lg x |13 和 2|x|3共有 3个根.①解 2|x| 3 ，得 xlog 2 3 或 x log 2 3 1（舍），故有 1 个根 .②解 |lg x | 1 3 ，得 x 100 或 x 1 ，100要使得两根都知足题意，则有 m 1.100又 0, m 1 ，所以 0, m 1.100所以实数 m 的取值范围为0,1.100【点睛】本小题主要考察分段函数零点个数的判断，考察依据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题 .25． (1) k3； (2) 当 a 1 时， x ,log 2 3 ；当 0 a 1时， x log 2 3,；(3), 13【分析】【剖析】（1）由函数过点0,4 ，待定系数求参数值；（2）求出g x 的分析式，解对数不等式，对底数进行分类议论即可.（3）换元，将指数型不等式转变为二次不等式，再转变为最值求解即可.【详解】（1）因为f ( x)2x k 2 x且f (0)4，故： 1k 4 ，解得 k 3 .（2）因为g (x)log a f ( x)2x，由（ 1），将f x代入得：g x log a (3n 2 x ?) ，则log a(3n 2x ?) 0 ，等价于：当 a1时，3n 2x 1 ，解得x,log 2 3当 0 a 1时，3 2 x 1 ，解得x log 2 3,.n（3）f ( x)t8在R上恒建立，等价于：2x2x 28n2x t30 恒建立；令 2x m ，则m0,，则上式等价于：m28m t 30 ，在区间0,恒建立 .即：t m28m 3 ，在区间0,恒建立，又m28m3m4213 ，故：( m28m 3) 的最小值为：-13，故：只要 t13即可 .综上所述， t,13.【点睛】此题考察待定系数求参数值、解复杂对数不等式、由恒建立问题求参数范围，属函数综合问题 .26．（ 1）g( x) 2x4x，（2） b 3 , 1164【分析】试题剖析：（ 1）；此题求函数分析式只要利用指数的运算性质求出 a 的值即可，（2）对于同时含有 a x, a2 x的表达式，往常能够令进行换元，但换元的过程中必定要注意新元的取值范围，换元后转变为我们熟习的一元二次的关系，从而解决问题．试题分析：解：（1）∵f ( x)3x，且 f (a 2)18 ∴∵∴（2）法一：方程为令，则1t 4 -4且方程为在有两个不一样的解．设 y t t 2(t 1 )21，y b两函数图象在1, 4 内有两个交点244由图知 b 3 , 1时，方程有两不一样解．164法二：方程为，令，则1t4 4∴方程在1,4上有两个不一样的解．设 f (t )t 2t b,t1, 4 44=1-4b01 b410b 3{ f164f (4)0b12解得 b 3 , 1164考点：求函数的分析式，求参数的取值范围【方法点睛】求函数分析式的主要方法有待定系数法，换元法及赋值消元法等；已知函数的种类（如一次函数，二次函数，指数函数等），便可用待定系数法；已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意自变量的取值范围；求分段函数的分析式时，必定要明确自变量的所属范围，以便于选择与之对应的对应关系，防止犯错．。
2020-2021学年北京市顺义区高一上学期期末考试数学试卷及答案
绝密★启用前2020-2021学年北京市顺义区高一上学期期末考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知全集{}1,3,5,7,9U =，{}1,3A =，则UA（）A ．{}1,3B ．{}5,7,9C ．{}1,3,5,7,9D ．∅答案：B【分析】根据集合的运算直接求解即可 解：由全集{}1,3,5,7,9U =，{}1,3A = 则5,7,9UA故选：B2．设命题:,10P x x ∃∈+≥R ，则P ⌝为（） A ．,10x x ∀∈+≥R B ．,10x x ∃∈+<R C ．,10x x ∀∈+<R D ．,10x x ∃∉+≥R答案：C【分析】特称命题的否定是全称命题，先否定量词，再否定结论. 解：命题:,10P x x ∃∈+≥R ，则P ⌝为：,10x x ∀∈+<R 故选：C3．已知实数a ，b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A ．11b a> B ．22a b > C ．0b a -> D ．b a a b <答案：A【分析】根据图象可得0b a <<，逐一分析选项，即可得答案.解：对于A ：由图象可得0b a <<，所以11b a>，故A 正确； 对于B ：因为0b a <<，所以22a b <，所以B 错误； 对于C ：因为b a <，所以0b a -<，故C 错误；对于D ：当2,1b a =-=-时，满足0b a <<，此时2,1b a ==， 所以2,2a b b a =-=-，即b a a b =，故D 错误， 故选：A4．三个实数0.33a =，0.32b =，lg 0.3c =的大小关系是（） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>答案：B【分析】利用对数函数的单调性得出c 与0的大小关系，利用指数函数的单调性得出b 与1的大小关系，由此可得出a 、b 、c 的大小关系.解：0.30221b =>=，lg 0.3lg10c =<=，0.33a =，因此，b a c >>.故选：B.5．函数()ln 23f x x x =+-的零点所在的大致区间是（） A ．()1,2 B ．()2,3C ．(3,4)D ．()4,5答案：A【分析】利用零点存在性定理结合(1)(2)0f f <可得解. 解：函数()ln 23f x x x =+-为增函数，且(1)2310f =-=-<，()2ln 2430f =+->，(1)(2)0f f <由零点存在性定理可知函数()ln 23f x x x =+-的零点所在的一个区间为()1,2. 故选：A.点评：思路点晴：应用零点存在性定理求解.6．“sin 2α=”是“3πα=”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案． 解：3sin 2θ=推不出3πθ=，所以“3sin α=”是“3πα=”非充分条件，3πθ=推出3sin θ=，“3sin α=”是“3πα=”必要条件.故选：B ．点评：本题考查了必要不充分条件的判断，考查了三角函数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是一道基础题．7．单位圆O 圆周上的点P 以A 为起点做逆时针方向旋转，10分钟转一圈，24分钟之后OP 从起始位置OA 转过的角是（）A ．245π-B ．125πC ．145πD ．245π答案：D【分析】根据题意可出关于α的等式，即可求得结果.解：设24分钟之后OP 从起始位置OA 转过的角α，由题意可得22410απ=，解得245πα=. 故选：D.8．在平面直角坐标系中，角α、角β的终边关于直线y x =对称，若1cos 3α=-，则sin β=（）A ．13B ．223C ．223±D ．13-答案：D【分析】由题意可知，点()sin ,cos αα在角β的终边上，由此可求得sin β的值.解：由三角函数的定义可知，点()cos ,sin αα在角α的终边上， 由于角α、角β的终边关于直线y x =对称，则点()sin ,cos αα在角β的终边上，所以，221sin 3sin cos βαα==-+.故选：D.9．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至10000，则C 大约增加了（） A ．11% B ．22%C ．33%D ．100%答案：C【分析】根据题意，分别表示出SN等于1000和10000时对应的12,C C ，相比即可求得答案. 解：由题意得SN比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计. 所以21232log log 1000l g 1010o 3W W W C ===，22242log l 10000104g 0l 1o og W W W C ===所以22214104 1.log lo 33g 3310W W C C ==≈， 所以C 大约增加了33%. 故选：C10．如图，已知OPQ 是半径为r ，圆心角为4π的扇形，点A 、B 、C 分别是半径OP 、OQ 及扇形弧上的三个动点（不同于O 、P 、Q 三点），则关于ABC 的周长说法正确的是（）A ．有最大值，有最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值答案：C【分析】作出点C 关于OQ 的对称点1C ，作出点C 关于OP 的对称点2C ，利用1C 、B 、A 、2C 四点共线时，ABC 的周长取得最小值可得出结论.解：如下图所示，作出C 关于OQ 的对称点1C ，作出点C 关于OP 的对称点2C ，连接1BC 、2AC ，由对称性可知1BC BC =，2AC AC =， 由于4POQ π∠=，则1222C OC POQ π∠=∠=，12OC OC r ==，则122C C r =，所以，ABC 的周长为21122AC BC AB AC BC AB C C r ++=++≥=， 当且仅当1C 、B 、A 、2C 四点共线时，等号成立，但ABC 的周长无最大值. 因此，ABC 的周长有最小值，无最大值. 故选：C.点评：思路点睛：本题考查三角形周长的最值问题的求解，求解此类问题的基本思路就是求得动点关于所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，利用四点共线时取得最值来求解. 二、填空题 11．sin 4π⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________. 答案：22-【分析】根据诱导公式三将角化为正角,再计算对应的三角函数值.解：sin sin 442ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：2-. 12．函数1()ln(1)2f x x x =-+-的定义域是___________. 答案：{1x x >且2}x ≠【分析】根据真数大于0，分母不为0，即可求得答案.解：由题意得1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，所以定义域为：{1x x >且2}x ≠故答案为：{1x x >且2}x ≠13．已知α是第三象限角，且4cos 5α=-，sin α=___________. 答案：35【分析】由平方关系结合角所在象限可得sin α=，将条件代入可得答案. 解：已知α是第三象限角，4cos 5α=-，则3sin 5α===- 故答案为：3514．若函数()f x 在其定义域上单增，且零点为2，则满足条件的一个()f x 可能是____________.(写出满足条件的一个()f x 即可) 答案：()2f x x =-【分析】根据函数的单调性及零点，写出满足题意的一个函数即可. 解：根据()f x 在其定义域上单增，且零点为2，即(2)0f =， 可写出一个函数()2f x x =-. 故答案为：()2f x x =-15．已知函数()f x 的图象为如图所示的两条线段组成，则下列关于函数()f x 的说法：①((1))3f f =； ②(2)(0)f f >；③()211,[0,4]f x x x x =--+∈；④0a ∃>，不等式()f x a ≤的解集为123⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 其中正确的说法有_________.(写出所有正确说法的序号) 答案：①③【分析】根据图象，可求得(1)f 的值，即可判断①的正误；根据图中数据及()f x 在[1,4]上的单调性，可判断②的正误；分别讨论14x ≤≤和01x ≤<两种情况，求得()f x 解析式，检验即可判断③的正误；根据不等式()f x a ≤解集，即求()f x a =的根，根据()f x 解析式，即可判断④的正误，即可得答案.解：对于①：由图象可得：(1)0f =，所以((1))(0)3f f f ==，故①正确； 对于②：(0)(4)3f f ==，且()f x 在[1,4]上为单调递增函数，所以(2)(4)3f f <=， 所以(2)(0)f f <，故②错误；对于③：当14x ≤≤时，()2112(1)11f x x x x x x =--+=--+=-，(1)0,(4)3f f ==，满足图象；当01x ≤<时，()2112(1)133f x x x x x x =--+=--+=-，(0)3f =，斜率3k =-，满足图象，故③正确；对于④：由题意得()f x a ≤的解集为123⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，即()f x a =的根为1,23， 根据()f x 解析式可得1()23f =，当14x ≤≤时，令12x -=，解得3x =，所以解集为1[,3]3，故④错误. 故答案为：①③三、解答题16．已知集合{}13A x x =<<，{}24B x x =<<，{}0C x x a =<<. （1）求AB ，A B ；（2）若A C ⊆，求实数a 的取值范围.答案：（1）()1,4A B ⋃=，()2,3A B ⋂=（2）3a ≥ 【分析】（1）由交集和并集运算直接求解即可. （2）由A C ⊆，则3a ≥解：(1)由集合{}13A x x =<<，{}24B x x =<< 则()1,4A B ⋃=，()2,3A B ⋂=（2）若A C ⊆，则{}{}130x x x x a <<⊆<<，所以3a ≥ 17．已知不等式2520ax x -+<的解集是M. （1）若1M ∈，求实数a 的取值范围；（2）若122M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，求不等式()22360ax a x -++-<的解集.答案：（1）(,3)-∞；（2）3{2x x <或2}x > 【分析】（1）根据1M ∈，代入不等式成立，即可求得a 的范围； （2）根据M 可得1,22为方程2520ax x -+=的两根，利用韦达定理，可求得a 的值，代入所求，即可求得答案.解：（1）因为1M ∈，所以215120a ⨯-⨯+<，解得3a <，所以实数a 的取值范围为(,3)-∞（2）因为122M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，所以1,22为方程2520ax x -+=的两根，由韦达定理可得1222a⨯=，解得2a =， 所以不等式()22360ax a x -++-<即为22760x x -+-<，即22760x x -+>，所以(2)(23)0x x -->，解得32x <或2x >， 所以方程的解集为：3{2x x <或2}x >. 18．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R (单位：元)关于月产量x (单位：台)满足函数21400,1400280000,400x x x R x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩. （1）将利润()P x (单位：元)表示为月产量x 的函数；(利润=总收入-总成本) （2）若称()()g x xP x =为月平均单件利润(单位：元)，当月产量x 为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？答案：（1）()2130020000,1400210060000,400x x x P x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪-+>⎩；（2）当月产量为200时，月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元.【分析】（1）本题可分为1400x ≤≤、400x >两种情况，然后根据“利润=总收入-总成本”即可得出结果；（2）本题首先可根据()()g x x P x =得出()20000300,1400260000100,400xx xg x x x ⎧-+-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩，然后分为1400x ≤≤、400x >两种情况进行讨论，依次求出最值，即可得出结果. 解：（1）当1400x ≤≤时，利润()2220000100300200114000202P x x x x x x --=--=+-；当400x >时，利润()800002000010010060000P x x x =--=-+，故()2130020000,1400210060000,400x x x P x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪-+>⎩.（2）因为()()g x x P x =，所以()20000300,1400260000100,400xx xg x x x ⎧-+-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩，当1400x ≤≤时，()200002000030022300x x x x g x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝-⎭+因为220000200x x +≥=，当且仅当200x =时取等号，所以()200003001002x x g x ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝+⎭，当200x =时，()g x 取最大值100；当400x >时，()60000100g xx =-+，()g x 为单调递减函数， 此时()()40050g g x <=，综上所述，当月产量为200时，月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元. 点评：关键点点睛：本题考查分段函数在实际生活中的应用，能否根据题意确定每一段区间内对应的函数解析式是解决本题的关键，考查基本不等式求最值，是中档题. 19．已知函数1()sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）当x ∈R 时，求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （2）求()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值及最小值，并指出相应x 的值. 答案：（1）T π=，单调递增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）12x π=-时函数取得最小值12-，4x π=时函数取得最大值14.【分析】（1）根据周期公式计算，用整体代换法化简222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈即可得出单调递增区间；（2）用整体代换法得当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时52636πππ-≤-≤x ，当232x ππ-=-时函数取得最小值12-，当236x ππ-=时函数取得最大值14.解：解：（1）()f x 的最小正周期为22T ππ== 由222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时52636πππ-≤-≤x所以当232x ππ-=-即12x π=-时函数取得最小值12-， 当236x ππ-=即4x π=时函数取得最大值14. 点评：求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.20．已知函数2()4x mf x x +=-是定义在()2,2-上的奇函数. （1）确定()f x 的解析式；（2）用定义证明：()f x 在区间()2,2-上是减函数； （3）解不等式()()10f t f t -+<. 答案：（1）2()4x f x x =-；（2）详见解析；（3）1,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）本题可根据()()f x f x -=-求出()f x 的解析式；（2）本题可在()2,2-上任取1x 、2x 且12x x >，然后通过转化得出12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，即可证得结论；（3）本题首先可根据奇函数性质将()()10f t f t -+<转化为()()1f t f t -<-，然后根据减函数性质转化为212221t t t t -<-<⎧⎪-<<⎨⎪->-⎩，最后通过计算即可得出结果.解：（1）因为2()4x mf x x +=-，所以2()4x m f x x -+-=-， 因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-， 即2244x m x m x x +-+-=--，解得0m =，2()4xf x x =-. （2）在()2,2-上任取1x 、2x ，且12x x >，则()()()()22122112122222121244()()4444x x x x x x f x f x x x x x ----=-=---- ()()()()()()()()()()2212212112211212122222221212124444444444x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+--===-----+--， 因为2140x -<，2240x -<，1240x x +>，210x x -<，所以12())0(f x f x -<，12()()f x f x <，()f x 在区间()2,2-上是减函数.（3）因为()f x 是定义在()2,2-上的奇函数和减函数，所以()()10f t f t -+<即()()1f t f t -<-，()()1f t f t -<-，则212221t t t t-<-<⎧⎪-<<⎨⎪->-⎩，解得122t <<，不等式()()10f t f t -+<的解集为1,22⎛⎫⎪⎝⎭.点评：关键点点睛：本题考查利用函数奇偶性求函数解析式、定义法判断函数单调性以及利用函数性质解不等式，偶函数满足()()f x f x =-，奇函数满足()()f x f x -=-，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.21．设集合*S ⊆N ，且S 中至少有两个元素，若集合T 满足以下三个条件：①*T ⊆N ，且T 中至少有两个元素；②对于任意,x y S ∈，当y x ≠，都有xy T ∈；③对于任意,x y T ∈，若y x >，则yS x∈；则称集合T 为集合S 的“耦合集”. （1）若集合{}11,2,4S =，求集合1S 的“耦合集”1T ；（2）若集合2S 存在“耦合集”2T ，集合{}21234,,,S p p p p =，且4321p p p p >>>，求证：对于任意14i j ≤<≤，有2j ip S p ∈；（3）设集合{}1234,,,S p p p p =，且43212p p p p >>>≥，求集合S 的“耦合集”T 中元素的个数.答案：（1）{}12,4,8T =；（2）证明见详解；（3）5个 【分析】（1）根据“耦合集”定义可得.（2）由条件②可知2T 的可能元素为：121314232434,,,,,PP PP PP P P P P P P ；由条件③可知13212PP S PP ∈得322P S P ∈同理其它比得证； （3）由（2）知21P S P ∈得211P P P =即221P P =，同理343141,P P P P ==，故{}3456711111,,,,T P P P P P =共5个元素.解：解：（1）由已知条件②得1T 的可能元素为：2，4，8；又满足条件③，所以{}12,4,8T =； （2）证明：因为{}21234,,,S p p p p =，由已知条件②得2T 的可能元素为：121314232434,,,,,PP PP PP P P P P P P ，由条件③可知13212PP S PP ∈得322P S P ∈，同理得324442222211123,,,,P P P P PS S S S S P P P P P ∈∈∈∈∈，所以对于任意14i j ≤<≤，有2j ip S p ∈； （3）因为43212p p p p >>>≥，由（2）知21P S P ∈得211P P P =即221P P =，同理342311,P P P P P P ==，所以343141,P P P P ==，又因为T 的可能元素为：121314232434,,,,,PP PP PP P P P P P P ，所以{}3456711111,,,,T P P P P P =共5个元素.点评：解题关键是正确理解“耦合集”的定义.。
北京市2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
北京市东城区2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（）A．M＝∅B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M2．（5分）下列函数为偶函数的是（）A．y＝|x| B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x33．（5分）已知函数y＝sin x在区间M上单调递增，那么区间M可以是（）A．（0，2π）B．（0，π）C．D．4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（）A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B 5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．a D．6．（5分）下列各式正确的是（）A．B．C．D．7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100 B．900 C．81 D．9二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．（5分）关于函数f（x）＝1+cos x，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A．当t＜0或t≥2时，有0个交点B．当t＝0或时，有1个交点C．当时，有2个交点D．当0＜t＜2时，有2个交点10．（5分）已知函数f（x）＝4|x|+x2+a，下列命题正确的有（）A．对于任意实数a，f（x）为偶函数B．对于任意实数a，f（x）＞0C．存在实数a，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是．12．（5分）sin的值为．13．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f （x）可以为．（写出符合条件的一个函数即可）14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为．15．（5分）已知函数f（x）＝则f（﹣2）＝；若f（t）＝1，则实数t＝．16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t﹣1（a＞0且a≠1），它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3．其中正确命题的序号有．（注：请写出所有正确结论的序号）四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．（1）求∁U A；（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁U A，求m的取值范围．18．（13分）已知函数，f（0）＝．（1）求f（x）的解析式和最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为．（1）求tanβ的值；（2）求的值．20．（16分）已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）的单调性并说明理由；（3）若f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，求x的取值范围．21．（15分）对于集合A，定义函数f A（x）＝对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；（2）证明：f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．2020-2021学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（）A．M＝∅B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M【分析】利用集合与集合的关系直接求解．【解答】解：∵集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，∴M⫋N．故选：C．【点评】本题考查集合的关系的判断，考查交集、并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）下列函数为偶函数的是（）A．y＝|x| B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x3【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝|x|，是偶函数，符合题意；对于B，y＝lnx，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；对于C，y＝e x，是指数函数，不是偶函数，不符合题意；对于D，y＝x3，是幂函数，不是偶函数，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性，属于基础题．3．（5分）已知函数y＝sin x在区间M上单调递增，那么区间M可以是（）A．（0，2π）B．（0，π）C．D．【分析】直接利用函数的单调性和子区间之间的关系求出结果．【解答】解：根据函数y＝sin x的单调递增区间：[]（k∈Z），当k＝0时，单调增区间为[]，由于为[]的子区间，故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（）A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为∃x∈A，2x∉B，故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．a D．【分析】直接利用不等式的应用和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：由于a＞b，且a和b的正负号不确定，所以选项ACD都不正确．对于选项：B由于函数y＝2x为单调递增函数，且a＞b，故正确故选：B．【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6．（5分）下列各式正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式直接求解．【解答】解：在A中，sin＞0＞sin＝﹣sin，故A错误；在B中，＜cos，故B正确；在C中，＞，故C错误；在D中，＞cos＝sin，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】可以取特殊值讨论充要性．【解答】解：若a，b为正实数，取a＝1，b＝1，则a+b＝2，则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的不充分条件；若a+b＞2，取a＝1，b＝0，则b不是正实数，则“a+b＞2”是“a，b为正实数''的不必要条件；则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题考查命题充要性，以及不等式，属于基础题．8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100 B．900 C．81 D．9【分析】由题意令V＝2m/s，0m/s，则可求出耗氧量，求出之比．【解答】解：鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量为：令v＝2＝，即，即，即o＝8100，鲑鱼静止时耗氧量为：令v＝0＝，即，即o'＝100，故鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为，故选：C．【点评】本题考查对数求值，属于中档题．二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．（5分）关于函数f（x）＝1+cos x，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A．当t＜0或t≥2时，有0个交点B．当t＝0或时，有1个交点C．当时，有2个交点D．当0＜t＜2时，有2个交点【分析】直接利用函数的图象和函数的性质及参数的范围求出函数的交点的情况，进一步确定结果．【解答】解：根据函数的解析式画出函数的图象：①对于选项A：当t＜0或t≥2时，有0个交点，故正确．②对于选项B：当t＝0或时，有1个交点，故正确．③对于选项C：当t＝时，只有一个交点，故错误．④对于选项D：当，只有一个交点，故错误．故选：AB．【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的应用，利用函数的图象求参数的取值范围，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10．（5分）已知函数f（x）＝4|x|+x2+a，下列命题正确的有（）A．对于任意实数a，f（x）为偶函数B．对于任意实数a，f（x）＞0C．存在实数a，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】直接利用函数的对称性和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：函数f（x）＝4|x|+x2+a，①对于选项A：由于x∈R，且f（﹣x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数．故选项A正确．②对于选项B：由于x2≥0，所以，故4|x|+x2≥1所以当x＝0时a＝﹣2时，f（x）＜0，故选项B错误．③对于选项C：由于函数f（x）的图象关于y轴对称，在x＞0时，函数为单调递增函数，在x＜0时，函数为单调递减函数，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，故选项C正确．④对于选项D：由于函数的图象关于y轴对称，且在x＞0时，函数为单调递增函数，在x＜0时，函数为单调递减函数，故存在实数a＝0时，当x∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）时，不等式成立，故选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是（﹣1，1）．【分析】解不等式1﹣x2＞0即可．【解答】解：令1﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题．12．（5分）sin的值为﹣．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：sin＝sin（2π﹣）＝﹣sin＝﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．13．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f （x）可以为f（x）＝．（写出符合条件的一个函数即可）【分析】由函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，即是符合要求的一个函数．【解答】解：∵函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，∴函数f（x）＝（）x即是符合要求的一个函数，故答案为：f（x）＝（）x．【点评】本题主要考查了指数函数的单调性和值域，是基础题．14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C．【分析】①利用交集定义直接求解．②利用并集定义直接求解．【解答】解：①设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B．故答案为：A∩B．②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C．故答案为：A∪C．【点评】本题考查并集、交集的求法，考查并集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．（5分）已知函数f（x）＝则f（﹣2）＝；若f（t）＝1，则实数t＝0或1 ．【分析】结合已知函数解析式，把x＝﹣2代入即可求解f（﹣2），结合已知函数解析式及f（t）＝1，对t进行分类讨论分别求解．【解答】解：f（x）＝则f（﹣2）＝2﹣2＝，∵f（t）＝1，①当t≥1时，可得＝1，即t＝1，②当t＜1时，可得2t＝1，即t＝0，综上可得t＝0或t＝1．故答案为：；0或1【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t﹣1（a＞0且a≠1），它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3．其中正确命题的序号有①②④．（注：请写出所有正确结论的序号）【分析】直接利用函数的图象求出函数的解析式，进一步利用函数的额关系式再利用函数的性质的应用求出结果．【解答】解：浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t ﹣1（a＞0且a≠1），函数的图象经过（2，2）所以2＝a2﹣1，解得a＝2．①当x＝0时y＝，故选项A正确．②当第8个月时，y＝28﹣1＝27＝128＞60，故②正确．③当t＝1时，y＝1，增加0.5，当t＝2时，y＝2，增加1，故每月的增加不相等，故③错误．④根据函数的解析式，解得t1＝log210+1，同理t2＝log220+1，t3＝log230+1，所以2t2＝2log220+2＝log2400+2＞t1+t2＝log2300+2，所以则2t2＞t1+t3．故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，定义性函数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．（1）求∁U A；（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁U A，求m的取值范围．【分析】（1）根据题意，求出集合A，进而由补集的性质分析可得答案；（2）根据题意，结合集合间的关系分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，因为A＝{x|x2+3x+2＜0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1}．因为全集U＝R，所以∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，（2）根据题意，∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，若B⊆∁U A，当m﹣1≥﹣1或m≤﹣2，即m≥0或m≤﹣2，所以m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）．【点评】本题考查集合的补集运算，涉及集合的子集关系，属于基础题．18．（13分）已知函数，f（0）＝．（1）求f（x）的解析式和最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．【分析】（1）利用函数值，转化求解函数的解析式，推出函数的周期；（2）利用函数的自变量的范围，求出相位的范围，然后求解正弦函数的最值．【解答】解：（1）因为，所以．又因为φ∈，所以φ＝．所以．所以f（x）最的小正周期．（2）因为x∈[0，2π]，所以．当，即时，f（x）有最大值2，当，即x＝2π时，f（x）有最小值．【点评】本题考查函数的周期以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为．（1）求tanβ的值；（2）求的值．【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得tanβ的值．（2）由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：（1）因为β的终边与单位圆交于点B，B点的纵坐标为，所以．因为，所以．所以．（2）因为α的终边与单位圆交于点A，A点的纵坐标为，所以．因为，所以，故＝＝＝．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于基础题．20．（16分）已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）的单调性并说明理由；（3）若f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，求x的取值范围．【分析】（1）定义域为R，然后求出f（﹣x），得f（﹣x）＝﹣f（x），所以为奇函数；（2）直接由指数函数的单调性可判断函数f（x）的单调性；（3）不等式变形，由奇函数的性质得出ax﹣1＞x﹣2对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，令关于a的函数g（a）＝xa+1﹣x＞0在（﹣∞，2]上恒成立，g（a）一定单调递减，所以满足则只需解出x的范围．【解答】解：（1）f（x）为奇函数．因为f（x）定义域为R，，所以f（﹣x）＝﹣f（x）．所以f（x）为奇函数；（2）在（﹣∞，+∞）是增函数．因为y＝3x在（﹣∞，+∞）是增函数，且y＝3﹣x在（﹣∞，+∞）是减函数，所以在（﹣∞，+∞）是增函数，（3）由（1）（2）知f（x）为奇函数且f（x）（﹣∞，+∞）是增函数．又因为f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0，所以f（ax﹣1）＞﹣f（2﹣x）＝f（x﹣2）．所以ax﹣1＞x﹣2对任意a∈（﹣∞，2]恒成立．令g（a）＝xa+（1﹣x），a∈（﹣∞，2]．则只需，解得所以﹣1＜x≤0．所以x的取值范围为（﹣1，0]．【点评】考查函数的奇函数的判断即函数的单调性，使用中档题．21．（15分）对于集合A，定义函数f A（x）＝对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；（2）证明：f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．【分析】（1）由新定义的元素即可求出f A（1）与f B（1）的值，再分情况求出A*B；（2）对x是否属于集合A，B分情况讨论，即可证明出f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）利用（2）的结论即可证明出*运算具有交换律和结合律．【解答】解：（1）∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，∴f A（1）＝﹣1，f B（1）＝1，∴A*B＝{1，4，5}；（2）①当x∈A且x∈B时，f A（x）＝f B（x）＝﹣1，所以x∉A*B．所以f A*B（x）＝1，所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x），②当x∈A且x∉B时，f A（x）＝﹣1，f B（x）＝1，所以x∈A*B．所以f A*B（x）＝﹣1，所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x），③当x∉A且x∈B时，f A（x）＝1，f B（x）＝﹣1．所以x∈A*B．所以f A*B（x）＝﹣1．所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）．④当x∉A且x∉B时，f A（x）＝f B（x）＝1．所以x∉A*B．所以f A*B（x）＝1．所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）．综上，f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）因为A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}，B*A＝{x|f B（x）•f A（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}，所以A*B＝B*A．因为（A*B）*C＝{x|f A*B（x）•f C（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）•f C（x）＝﹣1}，A*（B*C）＝{x|f A（x）•f B*C（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）•f C（x）＝﹣1}，所以（A*B）*C＝A*（B*C）．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了新定义问题，是中档题．。
2020-2021学年北京市昌平区高一上学期期末数学试卷(附答案解析)
2020-2021学年北京市昌平区高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1.全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={2,3}，B={x|x2−6x+8=0}，则集合(∁U A)∩B=()A. {4,6}B. {2,4}C. {2}D. {4}2.不等式的解集为()A. B.C. D.3.若x<3，则√9−6x+x2−|x−6|的值是()A. −3B. 3C. −9D. 94.已知a⃗=(1,2),b⃗ =(m,m+3)，若a⃗⊥b⃗ ，则m=()A. −2B. 2C. −7D. 75.若b<0<a，d<c<0，则()A. ac>bdB. ac >bdC. a−c>b−dD. a−d>b−c6.袋中有2个白球，3个黑球，从中依次取出2个，则取出2个都是白球的概率是()A. 35B. 12C. 25D. 1107.已知定义在R上的函数f(x)是偶函数，且满足f(1+x)=f(1−x)，当x∈[−1,1]时，f(x)=1−x2，若函数g(x)=log5x，则ℎ(x)=f(x)−g(x)在区间(0,5]内的零点的个数是()A. 2B. 3C. 4D. 58.已知函数f(x)是定义在R上的函数，当x>0时，f(x){2|x−1|−1,0<x≤212f(x−2),x>2则函数g(x)=xf(x)−1在[−6,+∞)上的所有零点之和为()A. 7B. 8C. 9D. 109.若z∈C，则“|Rez|≤1，|Imz|≤1”是“|z|≤1”成立的条件．()A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要10.方程的解为等于()A. 1B. eC. 10D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）11. 若命题“∃x 0∈R ，2x 02−3mx 0+9<0”为假命题，则实数m 的取值范围是 ．12. 幂函数y =f(x)的图象经过点(−2, −18)，则满足f(x)=64的x 的值是______ ．13. 在△ABC 所在平面内一点P ，满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，延长BP 交AC 于点D ，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=_______．14. 已知函数f(x)=x 3+sinx +m −3是定义在[n,n +6]上的奇函数，则m +n = ______ ． 三、多空题（本大题共2小题，共10.0分）15. 如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学在期末考试中的数学成绩，则甲组数据的中位数是 (1) ；乙组数据的平均数是 (2) ．16. 设函数f(x)={log 2x,x >0x 2+x,x ≤0，则f[f(−2)]= ，方程f(x)=2的解为 ．四、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17. 某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[30,40)，[40,50)，…[90,100]，整理得到如图频率分布直方图：(Ⅰ)若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；(Ⅱ)若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；(Ⅲ)若规定分数在[80,90)为“良好”，[90,100]为“优秀”.用频率估计概率，从该校高三年级随机抽取三人，记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．18. 如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为交点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ (1)试以a ⃗ ，b ⃗ 为基底表示DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、CG ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)若AD =2，AB =3，∠DAB =60°，求BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CG ⃗⃗⃗⃗⃗19. 孝感为中国生活用纸之乡．为庆祝“2021年中国孝感纸都节”，在开幕式现场进行嘉宾现场抽奖活动．抽奖盒中装有大小相同的6个小球，分别印有“孝感纸都”和“纸都孝感”两种标志，摇匀后抽奖，规定：参加者每次从盒中同时抽取两个小球(登记后放回并摇匀)，若抽到的两个小球都印有“孝感纸都“即可中奖，并停止抽奖，否则继续，但每位嘉宾最多抽取3次．已知从盒中抽取两个小球不都是“纸都孝感”标志的概率为35． (1)求盒中印有“纸都孝感”标志的小球个数； (2)求某位嘉宾抽奖两次的概率．20. 某企业为打入国际市场，决定从A 、B 两种产品中只选择一种进行投资生产．已 知投资生产这两种产品的有关数据如下表：(单位：万美元)项目类别 年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A 产品 10 m 5 100B 产品204960其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m∈[3,4].另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．21. 已知集合A=，其中}，B=}，且A B=R，求实数的取值范围．参考答案及解析1.答案：D解析：本题考查补集、交集的求法，属于基础题．先求出集合B和∁U A，由此能求出集合(∁U A)∩B．解：∵全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={2,3}，B={x|x2−6x+8=0}={2,4}，∴∁U A={1,4,5,6}，则集合(∁U A)∩B={4}．故选：D．2.答案：A解析：此题考查了其他不等式的解法，考查了转化的数学思想，解答此类题的关键是掌握两数相除，同号得正，异号得负的取符号法则．解：故不等式的解集为。
2020-2021学年北京市海淀区高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年北京市海淀区高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={n2|n∈Z}，B={n+12|n∈Z}，则下列图形中能表示A与B关系的是()A. B.C. D.2.命题p：∀x∈(0,+∞)，e x>x+1+12x2，则￢p为()A. ∀x∈(0,+∞)，e x≤x+1+12x2B. ∃x0∈(0,+∞),e x0<x0+1+12x02C. ∀x∈(0,+∞)，e x<x+1+12x2D. ∃x0∈(0,+∞),e x0≤x0+1+12x023.函数是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是A. B.C. D.4.某广告公司有职工1500人．其中业务人员1000人，管理人员150人，后勤人员350人，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，则应抽取管理人员()A. 200人B. 30人C. 70人D. 40人5.下列四个命题中正确的是()A. 若a>b，c>d，则ac>bdB. 若ab≥0，则|a+b|=|a|+|b|C. 若x>2，则函数y=x+1x有最小值2D. 若a<b<0，则a2<ab<b26.同时掷两个骰子，向上的点数不相同的概率为()A. 56B. 16C. 23D. 137.函数f(x)=√x −(14)x 的零点所在的区间为( )A. (0,14)B. (14,12)C. (12,1)D. (1,2)8.对于直线m ，n 和平面α，β，α⊥β的一个充分条件是( )A. m ⊥n ，m//α，n//βB. m ⊥n ，α∩β=m ，n ⊂αC. m//n ，n ⊥β，m ⊂αD. m//n ，m ⊥α，n ⊥β9.已知正实数，且，则的最小值为( )A.B.C.D. 510. 出租车按如下方法收费：起步价7元，可行3km (不含3 km)；3 km 到7 km (不含7 km)按1.6元/ km 计价；7 km 以后按2.2元/ km 计价，到目的地结算时还需付1元的燃油附加费.若从甲地坐出租车到乙地(路程12.2 km)，需付车费 ( )(精确到1元)A. 26元B. 27元C. 28元D. 25元二、单空题（本大题共5小题，共20.0分）11. 已知不等式ax 2+bx +2<0的解集是(1,2)，则a +b 的值为______． 12. 某校高中一年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示(如图).S 1、S 2分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则S 1______S 2.(填“>”、“<”或“=”)13. 已知函数f(x)=2+log 3x ，x ∈[1,9]，函数y =[f(x)]2+f(x 2)的最大值为______ ． 14. 一种计算装置，有一个数据输入口A 和一个运算输出口B ，执行的运算程序是： ①当从A 口输入自然数l 时，从B 口输出实数12，记为f(1)=12；②当从A 口输入自然数n(n ≥2)时，在B 口得到的结果f(n)是前一结果f(n −1)的n−1n+1倍．通过计算f(2)、f(3)、f(4)的值，归纳猜想出f(n)的表达式为______ ．15. 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表累计计算：全月应纳税所得额 税率%不超过1500元的部分 3% 超过1500元至4500元的部分 10% 超过4500元至9000元的部分20%某人一月份应交纳此项税款300元，则他当月工资、薪金所得是 元． 三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）16. 集合A ={y|y =√16−x 2}，B ={x|m ≤x <1+3m}． (1)当m =1时，求A ∩B ，∁R A ∪B ； (2)若B ⊆A ，求m 的范围．17. 已知函数f(x)对任意的a ，b ∈R ，都有f(a +b)=f(a)+f(b)，并且当x >0时，f(x)>0． (1)求证：f(x)是R 上的增函数；(2)若f(4)=6，解关于m 的不等式f(3m 2−m −2)<3．18. 在中国足球超级联赛中，甲、乙两队将分别在城市A ，城市B 进行两场比赛．根据两队之间的历史战绩统计，在城市A 比赛时，甲队胜乙队的概率为35，平乙队的概率为15；在城市B 比赛时，甲队胜乙队的概率为13，平乙队的概率为16，两场比赛结果互不影响．规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．(Ⅰ)求两场比赛甲队恰好负一场的概率； (Ⅱ)求两场比赛甲队得分X 的分布列．19. 已知二次函数的定义域为[−1,2]，(1)若，求函数的值域；(2)若 >0，且函数是[−1,2]上的单调函数，求的范围及此时函数的最值．参考答案及解析1.答案：A解析：本题考查集合的关系，考查Venn图，属于基础题．根据集合A，B所表达的意思，进行分析，进而可得结果．解：根据题意，由于集合A={n2|n∈Z}，B={n+12=12(2n+1)|n∈Z}，根据集合的元素n是整数集可知，集合A是12的整数倍，集合B是12的奇数倍，故B⫋A，故选A．2.答案：D解析：解：因为原命题为全称命题，所以其否定为特称命题；即：∃x0∈(0,+∞)，e0x≤x0+1+12⋅x02；故选：D．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，以及特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3.答案：D解析：试题分析：解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(−x)=−f(x)且f(0)=0，可变形为：f(−x)+ f(x)=0，f(−x)−f(x)=−2f(x)，f(x)⋅f(−x)≤0，而由f(0)=0，由知D不正确．故选D考点：函数奇偶性点评：本题主要考查函数奇偶性模型的各种变形，数学建模，用模，解模的意识要加强，每一个概念，定理，公式都要从模型的意识入手．4.答案：B解析：解：某广告公司有职工1500人．其中业务人员1000人，管理人员150人，后勤人员350人，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，应抽取管理人员：300×1501500=30(人)．故选：B．按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，利用分层抽样的性质能求出应抽取管理人员的数量．本题考查抽取的管理人员的人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：B解析：解：A，均为正数，才能相乘，不正确；B，若ab≥0，则|a+b|=|a|+|b|，正确；C，若x>2，则函数y=x+1x 有最小值2+12=52，不正确；D，a=−2，b=−1时不成立．故选：B．对4个选项分别进行判断，即可得出结论．本题考查不等式的性质，考查学生的计算能力，比较基础．6.答案：A解析：解：同时掷两个骰子，向上的点数共有36种不同情况，分别为：其中向上的点数相同的事件共有6种，故向上的点数相同的概率P=636=16，故向上的点数不相同的概率P=1−16=56，故选：A列举出所有情况，及出现相同点数的情况数，先求出向上点数相同的概率，进而利用对立事件概率减法公式，得到答案．如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P(A)=mn ．7.答案：B解析：解：根据题意可计算得f(0)=−1<0，f(14)=12−(14)14<0，f(12)=√12−(14)12>0，所以函数的零点所在区间为(14,12)， 故选：B ．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通可采用代入排除的方法求解． 本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．8.答案：C解析：对于C 项：∵m//n ，n ⊥β，∴m ⊥β， 又m ⊂α，∴α⊥β．9.答案：A解析：试题分析：因为，正实数，且，所以，=，故选A 。
2020-2021学年北京市昌平区高一(上)期末数学复习卷2(解析版)
2020-2021学年北京市昌平区高一(上)期末数学复习卷2一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 已知集合A ={−1,1}，B ={−1,2}，则A ∪B =( )A. {−1}B. {1,2}C. {−1,1，2}D. {−1,−1,1，2}2. 已知角α的终边经过点P(−3,4)，则sinα的值等于( )A. −35B. 35C. 45D. −453. sin 225°=( )A. −12B. −√22C. −√32D. −14. 已知向量a ⃗ =(−1,m)，b ⃗ =(2,1).若向量a ⃗ +b ⃗ 与b ⃗ 垂直，则实数m 的值为 ( )A. −3B. 3C. −12D. 125. 下列函数中，既是偶函数，又在(−∞,0)上单调递增的是( )A. f(x)=x 2B. f(x)=2|x|C. f(x)=log 21|x|D. f(x)=|1x+1|6. 已知a =(53)0.2，b =(23)10，c =log 0.36，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. b >a >cC. b >c >aD. a >c >b7. 若二次函数y =x 2+2x +(m +3)有两个不同的零点，则m 的取值范围是( )A. (−∞,−2)B. (−∞,−2]C. (−∞,4)D. (4,+∞)8. 要得到函数y =sin(2x −π3)的图象，只要将函数y =sin(2x +π3)的图象( )A. 向左平行移动π3个单位B. 向左平行移动π6个单位C. 向右平行移动π3个单位D. 向右平行移动π6个单位9. 在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 为AD 中点，MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 45a⃗+310b⃗ B. 45a⃗+1310b⃗ C. −45a⃗−310b⃗ D. 34a⃗+14b⃗10.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100℃，水温y(℃)与时间t(min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y(℃)与时间t(min)近似满足的函数关系式为y=80(12)t−a10+b(a,b为常数).通常这种热饮在40℃时口感最佳．某天室温为20℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为()A. 35minB. 30minC. 25minD. 20min二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.设集合A=｛x｜x>0｝，B=｛x｜−2<x<1｝，则A∩B=__________12.lg32−lg4lg2+(27)23=________.13.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角为30°，且|a⃗|=1，|2a⃗−b⃗ |=1，则|b⃗ |=__________．14.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则ω=______；φ=______．15.若函数f(x)是二次函数，且满足f(0)=1，f(x+1)=f(x)+2(x−1)，则f(x)的解析式为______．16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2−ax+a，其中a∈R，若f(x)的值域是R，则a的取值范围是________．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17.已知角α是第二象限角，sin(α)=35，tan(α+β)=1，求cos2α及tanβ的值．18.已知函数f(x)=cos2(x−π6)−sin2x，x∈R．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[−π12, π6]上的最大值和最小值．19.已知函数f(x)=ln(3+x)+ln(3−x)．(1)求函数y=f(x)的定义域并判断奇偶性；(2)若f(2m−1)<f(m)，求实数m的取值范围．20.为响应低碳绿色出行，某市推出‘’新能源分时租赁汽车‘’，其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费得标准由以下两部分组成：(1)根据行驶里程数按1元/公里计费；(2)当租车时间不超过40分钟时，按0.12元/分钟计费；当租车时间超过40分钟时，超出的部分按0.20元/分钟计费；(3)租车时间不足1分钟，按1分钟计算．已知张先生从家里到公司的距离为15公里，每天租用该款汽车上下班各一次，且每次租车时间t∈[20,60](单位：分钟).由于堵车，红绿灯等因素，每次路上租车时间t是一个随即变量．现统计了他50次路上租车时间，整理后得到下表：将上述租车时间的频率视为概率．(1)写出张先生一次租车费用y(元)与租车时间t(分钟)的函数关系式；(2)公司规定，员工上下班可以免费乘坐公司接送车，若不乘坐公司接送车的每月(按22天计算)给800元车补．从经济收入的角度分析，张先生上下班应该选择公司接送车，还是租用该款新能源汽车？21.已知函数f(x)，若在定义域内存在x0，使得f(−x0)=−f(x0)成立，则称x0为函数f(x)的局部对称点．(1)若a，b，c∈R，证明函数f(x)=ax3+bx2+cx−b必有局部对称点；(2)是否存在常数m，使得定义在区间[−1,2]上的函数f(x)=4x+2x+m有局部对称点？若存在，求出m的范围，否则说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合A={−1,1}，B={−1,2}，则A∪B={−1,1，2}．故选：C．根据并集的定义写出A∪B．本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．2.答案：C解析：解：∵已知角α的终边经过点P(−3,4)，由任意角的三角函数的定义可得x=−3，y=4，r=5，∴sinα=yr =45，故选C．由任意角的三角函数的定义可得x=−3，y=4，r=5，由此求得sinα=yr的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，3.答案：B解析：本题考查诱导公式及特殊角三角函数值，属于基础题．由sin(α+π)=−sinα及特殊角三角函数值解之．解：sin225°=sin(45°+180°)=−sin45°=−√22，故选B．4.答案：A解析：本题考查向量垂直的充要条件，向量加法和数量积的坐标运算．可求出a⃗+b⃗ =(1,m+1)，根据(a⃗+b⃗ )⊥b⃗ ，即可得出(a⃗+b⃗ )⋅b⃗ =0，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．。
2020-2021学年北京师大附中高一上学期期末数学试卷(附答案解析)
2020-2021学年北京师大附中高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共30.0分） 1.设集合M ={x|x 2−2x ≤0}，N ={x|x <1}，则M ∩N =( )A. {x|x <1}B. {x|−2≤x <1}C. {x|0≤x <1}D. {x|−2≤x ≤0}2.已知向量 a ⃗ =(−2,1)，b ⃗ =(x,2)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则x 的值等于( )A. 1B. −1C. −4D. 43.在△ABC 中，“sinA <cosB ”是“△ABC 为钝角三角形”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.为了得到函数y =√2sin(2x +π4)的图象，可以将函数y =√2sin2x 的图象( )A. 向右平移π4个单位 B. 向左平移π4个单位 C. 向右平移π8个单位D. 向左平移π8个单位5.在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 5B. 4C. 3D. 26.已知函数f(x)=sin2x ，要得到函数g(x)=sin(2x −π4)的图象，只需将y =f(x)的图象( )A. 向左平移π8个单位长度 B. 向右平移π8个单位长度 C. 向左平移π4个单位长度D. 向右平移π4个单位长度7.已知向量a ⃗ =(x −3,2)，b ⃗ =(1,1)，则“x >1”是“a ⃗ 与b ⃗ 夹角为锐角”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.在△ABC 中，已知2ccosC =√3bcosA +√3acosB ，则C 的值为( )A. 30︒B. 60︒C. 60︒或120︒D. 30︒或150︒9. 已知函数，若对任意 2，都有<0成立，则的取值范围是( )A. (0, ]B. (，1)C. (1,2)D. (−1,2)10. 已知函数y ={x 2+1−2x (x >0)(x <0)，使函数值为5的x 的值是( )A. −2B. 2或−52C. 2或−2D. 2或−2或−52二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 已知正方形ABCD 的边长为2，若在该正方形内任取一点P ，则使得AP ≤1的概率为______ ． 12. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A 在第二象限，cosα=−35，则点A 的坐标为______．13. 已知sin(α+45°)=√55，则sin2α= ______ ．14. 已知△ABC 为边长3的正三角形，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．15. 设M 是△ABC 内一点,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3,∠BAC =30∘，定义f(M)=(m,n,p)，其中m 、n 、p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积，若f(M)=(12,x,y),则1x +4y 的最小值是____________． 16. 在△ABC 中，AB =2，AC =1，BC =√7，D 是边BC 上一点，且DC =2DB ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 17. 化简： ①cos(α−π2)sin(5π2+α)⋅sin(α−2π)⋅cos(2π−α)②cos 2(−α)−tan(360°+α)sin(−α)．18. 已知α，β均为锐角，且sinα=35，sin(α−β)=−√1010．(1)求tan(α−β)的值； (2)求cosβ的值．19. 在△ABC 中，BC =√6，| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2． (1)求证：△ABC 三边的平方和为定值；(2)当△ABC的面积最大时，求cosB的值．20.向量a⃗=(cos23°，cos67°)，向量b⃗ =(cos68°，cos22°)．(1)求a⃗⋅b⃗ ；(2)若向量b⃗ 与向量m⃗⃗⃗ 共线，u⃗=a⃗+m⃗⃗⃗ ，求u⃗的模的最小值．21.已知f(x)的值域为[38,49]，求y=√1−2f(x)的值域．22.已知二次函数f(x)=−x2+ax−a2+1(a∈R)(1)求函数f(x)在区间[−1,1]上的最大值f(x)max；(2)在(1)的条件下，记f(x)max=g(a)，求g(a)的最小值．参考答案及解析1.答案：C解析：解：由一元二次不等式的解法得：因为x2−2x≤0，解得0≤x≤2，即M={x|0≤x≤2}，又N={x|x<1}，所以M∩N={x|0≤x<1}，故选：C．由一元二次不等式的解法得：M={x|0≤x≤2}，由集合的交集的运算得：M∩N={x|0≤x<1}，得解．本题考查了一元二次不等式的解法及集合的交集的运算，属简单题．2.答案：A解析：解：向量a⃗=(−2,1)，b⃗ =(x,2)，若a⃗⊥b⃗ ，可得−2x+2=0，解得x=1．故选：A．利用向量的垂直关系，列出方程求解即可．本题考查向量的垂直的充要条件的应用，考查计算能力．3.答案：A解析：解：①若sinA<cosB，∴cos(π2−A)<cosB，在△ABC中，A，B，C∈(0,π)，∴π2−A>B，∴A+B<π2，∴C>π2，△ABC中，π2<C<π，∴△ABC为钝角三角形．②若△ABC为钝角三角形，当角B为钝角，则cosB<0，sinA>0，∴“sinA<cosB”不成立．∴在△ABC中，“sinA<cosB”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件．故选：A．在△ABC 中，若sinA <cosB 时，根据诱导公式和三角函数的单调性，可知A +B <π2，C >π2，所以△ABC 为钝角三角形；反之不一定成立．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，以及三角函数单调性的综合应用，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．4.答案：D解析：解：将函数y =√2sin2x 的图象向左平移π8个单位，可得函数y =√2sin(2x +π4)的图象， 故选：D ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．5.答案：A解析：本题主要考查了向量加法的平行四边形法则及向量数量积的坐标表示，属于基础试题．由向量加法的平行四边形法则可求AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，然后代入向量数量积的坐标表示可求AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 解：由向量加法的平行四边形法则可得，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−1)． ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×2+(−1)×1=5． 故选：A ．6.答案：B解析：解：把函数f(x)=sin2x 的图象向右平移π8个单位长度，即可得到函数g(x)=sin(2x −π4)的图象， 故选：B ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．7.答案：A解析：解：a ⃗ ⋅b ⃗ =x −3+2=x −1，若a ⃗ 与b ⃗ 同向共线， 则b ⃗ =λa ⃗ ，λ>0， 则{x −3=λ2=λ，得x =5，当x=5时，满足x>1，但此时两个向量关系，夹角为0°，则a⃗与b⃗ 夹角为锐角不成立，若a⃗与b⃗ 夹角为锐角，则a⃗⋅b⃗ =x−1>0，则x>1，成立，即“x>1”是“a⃗与b⃗ 夹角为锐角”的必要不充分条件，故选：A．根据向量夹角与向量数量积的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量夹角与数量积的关系是解决本题的关键．8.答案：A解析：解：由2ccosC=√3bcosA+√3acosB，得2sinCcosC=√3sinBcosA+√3sinAcosB，即2sinCcosC=√3sin(A+B)=√3sinC，则cosC=√3，2∵0°<C<180°，∴C=30°．故选：A．，再由C的范围得答案．利用正弦定理化边为角，再由两角和的正弦化简，可得cosC=√32本题考查两角和与差得正弦，考查三角形的解法，是基础题．9.答案：A<0可知函数单调递减，解析：解：由f(x1)−f(x2)x1−x2则满足，即，∴，故选A．10.答案：B解析：解：当x>0时，x2+1=5，解得x=2．当x<0时，−2x=5，解得x=−52．故选：B．利用已知条件列出方程求解即可．本题考查函数的零点的应用，考查计算能力．11.答案：π16解析：解：当点P满足|PA|≤1时，P在以A为圆心、半径为1的圆内其面积为S′=14π×12=π4∵正方形ABCD边长为2，得正方形的面积为S=22=4∴所求概率为P=S′S =π16．故答案为：π16．由扇形面积公式，结合题意算出满足条件的点P对应的图形的面积，求出正方体ABCD的面积并利用几何概型计算公式，即可算出所求概率．本题在正方形中求点P满足条件的概率，着重考查了扇形面积、正方形面积计算公式和几何概型计算公式等知识，属于基础题．12.答案：(−35,4 5 )解析：解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A在第二象限，cosα=−35，则点A的纵坐标为sinα=√1−cos2α=45，故点A的坐标为(−35,45 )，故答案为：(−35,4 5 ).由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得点A的坐标．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．13.答案：−35解析：解：sin(α+45°)=√55，可得√22(sinα+cosα)=√55，可得12(1+2sinαcosα)=15． ∴sin2α=−35．故答案为：−35．利用两角和的正弦函数化简已知条件，利用平方即可求出所求结果． 本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，考查计算能力．14.答案：−92解析：本题考查平面向量的数量积的定义，考查向量夹角的概念，属于基础题． 运用向量的数量积的定义，注意夹角为π−B ，运用公式计算即可得到． 解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos(π−B)．故答案为：−92．15.答案：18解析：解：由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3,∠BAC =30∘， 得|AB⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4， 所以S △=12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinA =1， ∴x +y =12，则1x +4y =2(x+y x +4x+4y y)=2(5+y x +4xy )≥18，当且仅当{x =16y =13时，1x +4y的最小值为18． 故答案为：1816.答案：−83解析：解：因为在△ABC 中，AB =2，AC =1，BC =√7， 所以cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB×BC=2×2×√7=2√7，所以AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2×√7×2√7)+73=−83； 故答案为：−83．首先利用余弦定理求出∠B 的度数，然后将所求利用三角形的边表示，利用数量积公式解答． 本题考查了余弦定理解三角形、向量的三角形法则以及平面向量的数量积的计算；关键是求出B 的余弦值，注意向量的夹角与三角形内角的关系．17.答案：解：①cos(α−π2)sin(5π2+α)⋅sin(α−2π)⋅cos(2π−α)=sinαcosα⋅sinα⋅cosα =sin 2α. ②cos 2(−α)−tan(360°+α)sin(−α)=cos 2α−tanα−sinα=cos 2α+1cosα．解析：本题考查利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系式化简求值，是基础题． ①直接利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系式化简求值即可． ②利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系式化简求值即可．18.答案：解：(1)∵α,β∈(0,π2)，∴−π2<α−β<π2.…(2分)又sin(α−β)=−√1010，∴−π2<α−β<0…(4分)∴cos(α−β)=3√1010，∴tan(α−β)=−13…(7分)(2)∵α为锐角，sinα=35，∴cosα=45. …(8分)∴cosβ=cos[α−(α−β)]=cosαcos(α−β)+sinαsin(α−β)…(12分) =45×3√1010+35×(−√1010)=9√1050. …(14分)解析：(1)确定−π2<α−β<0，求出cos(α−β)=3√1010，即可求tan(α−β)的值；(2)利用cosβ=cos[α−(α−β)]=cosαcos(α−β)+sinαsin(α−β)，即可求cosβ的值． 本题考查两角和与差的三角函数，考查角的变换，正确运用公式是关键． 19.答案：(1)证明：∵| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，∴AB ⋅AC ⋅cosA =2， 在△ABC 中，由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cosA ， 代入数据可得(√6)2=AB 2+AC 2−4，整理可得AB 2+AC 2=10， ∴△ABC 三边的平方和AB 2+BC 2+AC 2=10+6=16为定值； (2)由(1)知AB 2+AC 2=10，∴AB ⋅AC ≤ AB 2+AC 22=5，当且仅当AB=AC时取“=”号，∵AB⋅AC⋅cosA=2，∴cosA=2AB⋅AC，∴sinA=√1−cos2A=√ 1−4AB2⋅AC2，∴△ABC的面积S=12AB⋅AC⋅sinA=12AB⋅AC⋅√ 1−4AB2⋅AC2=12√AB2AC2−4 ≤ 12√25−4=√212，当且仅当AB=AC时取“=”号．∵AB2+AC2=10，∴当AB=AC时，AB=AC=√5，∴cosB= BC2 AB=√62√5=√3010解析：(1)由数量积定义和余弦定理整体可得AB2+AC2=10，代值可得答案；(2)由(1)知AB2+AC2=10，由基本不等式和三角形的面积公式可得S的最小值，以及取最小值时的条件，由三角函数的定义可得．本题考查正余弦定理解三角形，涉及基本不等式求最值和三角函数定义，属中档题．20.答案：解(1)a⃗⋅b⃗ =cos23°⋅cos68°+cos67°⋅cos22°=cos23°⋅sin22°+sin23°⋅cos22°=sin45°=√22．(2)由向量b⃗ 与向量m⃗⃗⃗ 共线，得m⃗⃗⃗ =λb⃗ (λ∈R)，u⃗=a⃗+m⃗⃗⃗ =a⃗+λb⃗=(cos23°+λcos68°,cos67°+λcos22°)=(cos23°+λsin22°,sin23°+λcos22°)，|u⃗|2=(cos23°+λsin22°)2+(sin23°+λcos22°)2=λ2+√2λ+1=(λ+√22)2+12，∴当λ=−√22时，|u|有最小值为√22．解析：(1)利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积，利用三角函数的诱导公式及两角差的余弦公式化简数量积．(2)利用向量共线的充要条件将m⃗⃗⃗ 用b⃗ 表示，利用向量模的平方等于向量的平方求出u⃗的模的平方，利用二次函数最值的求法求出最小值．本题考查向量的数量积公式、向量共线的充要条件、三角函数的诱导公式、两角和差的正弦余弦公式、二次函数的最值的求法．21.答案：解：∵38≤f(x)≤49，∴−89≤−2f(x)≤−34，∴19≤1−2f(x)≤14， ∴13≤y ≤12∴y 的值域为：[13,12]解析：根据f(x)的值域，应用不等式的性质先求出被开方数的取值范围，进而求得y 的值域． 本题考查不等式的性质，函数的值域，属于基础题． 22.答案：解：(1)f(x)=−x 2+ax −a 2+1的对称轴为x =a 2，当a 2≥1即a ≥2时，f(x)在[−1,1]递增，可得f(1)=a 2，当a 2≤−1即a ≤−2时，f(x)在[−1,1]递减，可得f(−1)=−32a ，当−1<a 2<1，即−2<a <2时，f(x)的最大值为f(a 2)=a 24−a 2+1， 综上可得 f(x)max ={ a 2,a ≥2a 24−a 2+1,−2<a <2−32a,a ≤−2． (2)a ≥2时，g(a)=a 2单调递增，∴g(a)的最小值为g(2)=1；−2<a <2时，g(a)=a 24−a 2+1=14(a −1)2+34，且a =1∈(−2,2)，∴g(a)的最小值为g(1)=34；a ≤−2时，g(x)=−32a 单调递减，∴g(a)的最小值为g(−2)=3．综上，g(a)的最小值为34．解析：(1)求出二次函数的对称轴，通过对称轴是否在区间内，结合函数的单调性求解函数的最值．(2)利用(1)得到函数的最值的分段函数，然后求解分段函数的最小值即可．本题考查函数与方程的应用，二次函数的性质以及分类讨论思想的应用，考查转化思想以及计算能力．。
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2021北京高一数学上学期期末汇编：函数解答题一．解答题（共17小题）1．（2020秋•房山区期末）已知函数1122()log (2)log (2)f x x x =++-．（Ⅰ）求函数()f x 的定义域，并判断函数()f x 的奇偶性； （Ⅰ）求解关于x 的不等式12()log (3)f x x ．2．（2020秋•海淀区期末）已知函数1()f x x x=-． （Ⅰ）用函数单调性的定义证明()f x 在区间(0,)+∞上是增函数； （Ⅰ）解不等式1(2)(4)x x f f +>．3．（2020秋•西城区校级期末）已知M 是满足下列性质的所有函数()f x 组成的集合：对任何1x ，2f x D ∈（其中fD 为函数()f x 的定义域），均有1212|()()|||f x f x x x --成立．（Ⅰ）已知函数211()1,[,]22f x x x =+∈-，判断()f x 与集合M 的关系，并说明理由；（Ⅰ）是否存在实数a ，使得()2ap x x =+，[1x ∈-，)+∞属于集合M ？若存在，求a 的取值范围，若不存在，请说明理由；（Ⅰ）对于实数a ，()b a b <，用[,]a b M 表示集合M 中定义域为区间[a ，]b 的函数的集合，定义：已知()h x 是定义在[p ，]q 上的函数，如果存在常数0T >，对区间[p ，]q 的任意划分：011n n p x x x x q -=<<⋯<<=，和式11|()()|nii i h x h xT -=-∑恒成立，则称()h x 为[p ，]q 上的“绝对差有界函数”，其中常数T 称为()h x 的“绝对差上界”， T 的最小值称为()h x 的“绝对差上确界”，符号121ni n i t t t t ==++⋯+∑．求证：集合[1010,1010]M -中的函数()h x 是“绝对差有界函数”，并求()h x 的“绝对差上确界”． 4．（2020秋•大兴区期末）已知函数2()()21xf x a a R =-∈+． （Ⅰ）判断()f x 在(0,)+∞内的单调性，并证明你的结论；（Ⅰ）是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 5．（2020秋•顺义区期末）已知函数2()4x mf x x +=-是定义在(2,2)-上的奇函数． （1）确定()f x 的解析式；（2）用定义证明：()f x 在区间(2,2)-上是减函数； （3）解不等式(1)()0f t f t -+<．6．（2020秋•石景山区期末）已知函数2()log ||f x x =．（Ⅰ）求函数()f x 的定义域及(f 的值； （Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性；（Ⅰ）判断()f x 在(,0)-∞上的单调性，并给予证明． 7．（2020秋•海淀区校级期末）已知函数||()1(22)2x xf x x -=+-<． （1）求函数()f x 的值域：（2）若函数()log a g x x =的图象与函数()f x 的图象有交点，请直接写出实数a 的取值范围． 8．（2020秋•丰台区期末）已知函数()2x f x a b =⋅+的图象过原点，且f （1）1=． （Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅰ）若x R ∀∈，()f x m >，请写出m 的最大值； （Ⅰ）判断并证明函数1()y f x =在区间(0,)+∞上的单调性． 9．（2020秋•西城区校级期末）已知函数2()21x x af x -=+为奇函数．（1）求函数()f x 的解析式； （2）若()0.5f x <，求x 的范围； （3）求函数()f x 的值域．10．（2020秋•昌平区期末）已知函数1()log (0||2af x a x =>+且1)a ≠． （Ⅰ）试判断函数()f x 的奇偶性； （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的值域；（Ⅰ）若对任意x R ∈，()1f x 恒成立，求实数a 的取值范围． 11．（2020秋•西城区期末）设函数4()3f x x x=++． （Ⅰ）求函数()f x 的图象与直线2y x =交点的坐标； （Ⅰ）当(0,)x ∈+∞时，求函数()f x 的最小值；（Ⅰ）用单调性定义证明：函数()f x 在(2,)+∞上单调递增．12．（2020秋•西城区期末）设函数21()21x x f x +=-．（Ⅰ）若f （a ）2=，求实数a 的值；（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅰ）若()f x m 对于[1x ∈，)+∞恒成立，求实数m 的最小值．13．（2020秋•海淀区校级期末）已知函数1133()5x xf x --=，1133()5x x g x -+=．（1）①直接写出函数()f x 的奇偶性；②写出函数()f x 的单调递增区间，并用定义证明；（2）计算：111()5()()422f fg -= ；f （4）5f -（2）g （2）= ；f （9）5f -（3）g （3）= ；（3）由（2）中的各式概括出()f x 和()g x 对所有不等于0的实数x 都成立的一个等式，并加以证明． 14．（2020秋•东城区期末）已知函数1()21xf x a =-+是奇函数． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅰ）判断()f x 的单调性；（只需写出结论）（Ⅰ）若不等式2()()0f x x f x m -++<恒成立，求m 的取值范围．15．（2020秋•房山区期末）设函数()f x 的定义域为D ，若存在正实数a ，使得对于任意x D ∈，有x a D +∈，且()()f x a f x +>，则称()f x 是D 上的“a 距增函数”．（Ⅰ）判断函数()2x f x x =-是否为(0,)+∞上的“1距增函数”？说明理由；（Ⅰ）写出一个a 的值，使得2,0()0x x f x x +<⎧⎪=是区间(,)-∞+∞上的“a 距增函数”；（Ⅰ）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()||f x x a a =--．若()f x 为R 上的“2021距增函数”，求a 的取值范围．16．（2020秋•丰台区期末）设函数()f x 的定义域为I ，如果存在区间[m ，]n I ⊆，使得()f x 在区间[m ，]n 上是单调函数且值域为[m ，]n ，那么称()f x 在区间[m ，]n 上具有性质P ．（Ⅰ）分别判断函数()cos f x x =和3()g x x =在区间[1-，1]上是否具有性质P ；（不需要解答过程）（Ⅰ）若函数()h x a =在区间[m ，]n 上具有性质P ， （Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅰ）求n m -的最大值．17．（2020秋•朝阳区期末）“函数()x ϕ的图象关于点(,)m n 对称”的充要条件是“对于函数()x ϕ定义域内的任意x ，都有()(2)2x m x n ϕϕ+-=”．若函数()f x 的图象关于点(1,2)对称，且当[0x ∈，1]时，2()1f x x ax a =-++． （Ⅰ）求(0)f f +（2）的值； （Ⅰ）设函数4()2xg x x=-． （Ⅰ）证明函数()g x 的图象关于点(2,4)-对称；（Ⅰ）若对任意1[0x ∈，2]，总存在22[,1]3x ∈-，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．2021北京高一数学上学期期末汇编：函数解答题参考答案一．解答题（共17小题）1．【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式可得2020x x +>⎧⎨->⎩，解可得函数的定义域，由奇偶性的定义可得结论，（Ⅰ）根据题意，原不等式变形可得21122log (4)log (3)x x -，则有2043x x <-，解可得x 的取值范围，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数1122()log (2)log (2)f x x x =++-，则有2020x x +>⎧⎨->⎩，解可得2x >，则函数()f x 的定义域为(2,)+∞，所以函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数． （Ⅰ）由2111222()log (2)log (2)log (4)f x x x x =++-=-，得21122log (4)log (3)x x -，因为12log y x =在(0,)+∞是减函数，所以有2043x x <-，解得24x <，因此不等式12()log (3)f x x 的解集为{|24}x x <．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及对数不等式的解法，属于基础题． 2．【分析】（Ⅰ）任取1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，由作差法证明可得结论，（Ⅰ）根据题意，由指数的运算性质可得120x +>，40x >，结合()f x 的单调性可得124x x +>，变形可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）证明：任取1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <， 则1212121212111()()()()()(1)f x f x x x x x x x x x -=---=-+， 1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <， ∴121210,10x x x x -<+>， 12()()0f x f x ∴-<．即12()()f x f x <，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增； （Ⅰ）根据题意，对于1(2)(4)x x f f +>，有120x +>，40x >，而函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增， 则有124x x +>，即121x -<， 解可得1x <．不等式的解集为(,1)-∞．【点评】本题考查函数单调性的证明以及性质的应用，涉及不等式的解法，属于基础题． 3．【分析】（Ⅰ）利用已知条件，通过任取1x ，21[2x ∈-，1]2，证明1212|()()|||f x f x x x --成立，说明()f x 属于集合M ．（Ⅰ）若()p x M ∈，则有1212||||22a ax x x x --++，然后可求出当[1a ∈-，1]时，()p x M ∈．（Ⅰ）直接利用新定义加以证明，并求出()h x 的“绝对差上确界T ”的值． 【解答】解：（Ⅰ）设1x ，21[2x ∈-，1]2，则2212121212|()()|||||||f x f x x x x x x x -=-=-+， 因为11122x -，21122x -， 所以1211x x -+，所以221212121212|()()|||||||||f x f x x x x x x x x x -=-=+--，所以函数()f x 属于集合M ． （Ⅰ）若函数()2aP x x =+，[1x ∈-，)+∞属于集合M ， 则当1x ，2[1x ∈-，)+∞时，1212|()()|||P x P x x x --恒成立，即1212||||22a ax x x x --++，对1x ，2[1x ∈-，)+∞恒成立，所以12|||(2)(2)|a x x ++，对1x ，2[1x ∈-，)+∞恒成立，因为1x ，2[1x ∈-，)+∞， 所以12|(2)(2)|1x x ++， 所以||1a ，即11a -， 所以a 的取值范围为[1-，1]．（Ⅰ）取1010p =-，1010q =， 则对区间[1010-，1010]的任意划分，和式1102111|()()||()()||()()||()()|ni i n n i h x h x h x h x h x h x h x h x --=-=-+-+⋯+-∑10211102110||||||()()()1010(1010)2020n n n n n x x x x x x x x x x x x x x ---+-+⋯+-=-+-+⋯+-=-=--=，所以集合[1010,1010]M -中的函数()h x 是“绝对差有界函数”，且()h x 的“绝对差上确界” 2020T =． 【点评】本题考查函数的新定义，解题中需要一定的阅读理解能力，属于中档题． 4．【分析】()I 先设120x x <<，然后利用作差法比较1()f x 与2()f x 的大小即可判断，()II 若()f x 为奇函数，则(0)0f =，代入可求a ，然后结合奇函数定义进行检验即可判断．【解答】解：()()I f x 在(0,)+∞内的单调递增，证明如下： 设120x x <<，则12211212222(22)()()01212(12)(12)x x x x x x f x f x --=-=<++++， 所以12()()f x f x <，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增， ()II 存在1a =使得()f x 为奇函数，若()f x 为奇函数，则(0)10f a =-=，故1a =，此时221()11221x x x f x -=-=++，2112()()2112x xx xf x f x -----===-++，故()f x 为奇函数，此时1a =．【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，定义法的应用是求解问题的关键． 5．【分析】（1）由奇函数的性质得，(0)0f =，代入可求m ，进而可求函数解析式； （2）先设1222x x -<<<，然后利用作差法比较1()f x 与2()f x 的大小即可判断； （3）结合()f x 在区间(2,2)-上是减函数且为奇函数即可直接求解． 【解答】解：（1）由奇函数的性质得，(0)04mf =-=， 故0m =，2()4xf x x =-， 证明：（2）设1222x x -<<<， 则1212211222221212(4)()()()044(4)(4)x x x x x x f x f x x x x x +--=-=>----， 所以12()()f x f x >，故()f x 在区间(2,2)-上是减函数；（3）因为()f x 在区间(2,2)-上是减函数且为奇函数， 由(1)()0f t f t -+<得(1)()()f t f t f t -<-=-， 所以212t t >->->-， 解得，122t <<， 故不等式的解集1(2，2)．【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的定义及性质的应用，还考查了利用函数的性质求解不等式，属于中档题．6．【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式可得||0x >，然后求出x 的取值范围，再求出(f 的值； （Ⅰ）先求出函数的定义域，根据()f x ，可得()()f x f x -=，从而判断()f x 为偶函数； （Ⅰ）先判断()f x 的单调性，然后设120x x <<，利用定义法证明()f x 的单调性即可． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数2()log ||f x x =，则有||0x >， 解得0x ≠，即函数的定义域为{|0}x x ≠，221(log |log (2f ===； （Ⅰ）2()log ||f x x =，其定义域为{|0}x x ≠，则22()log ||log ||()f x x x f x -=-==，则()f x 为偶函数； （Ⅰ）()f x 在(,0)-∞上为减函数， 证明：当(,0)x ∈-∞时，2()log ()f x x =-，设120x x <<，则112212222()()log ()log ()log x f x f x x x x --=---=-， 又由120x x <<，则120x x ->->，所以121x x ->-， 所以11222()()log 0x f x f x x --=>-， 故()f x 在(,0)-∞上为减函数．【点评】本题考查了函数的奇偶性和利用定义法证明函数的单调性，考查了转化思想，属于中档题． 7．【分析】（1）分段去掉绝对值，即可求解值域；（2）对a 进行讨论，根据图象有交点，可得实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）函数||()1(22)2x xf x x -=+-<．则1,02()1,20x f x x x ⎧=⎨--<<⎩，因为1y x =-在(2,0)-单调递减， 可得()f x 值域为[1，3)．（2）当01a <<，当02x <时，()log a g x x =的图象与函数()f x 的图象恒有交点， 当1a <时，当02x <时，()log a g x x =是单调递增函数，则log 21a ，可得2a ． 则12a <．故得实数a 的取值范围是01a <<或12a <．【点评】本题考查函数值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，解答此题的关键是理解题意，是中档题． 8．【分析】（Ⅰ）利用函数()2x f x a b =⋅+的图象过原点，且f （1）1=，列出方程组，求解即可；（Ⅰ）利用()21x f x =-是单调递增函数，求出()f x 的范围，利用恒成立的解法，可得到m 的取值范围，进而得到答案；（Ⅰ）利用函数单调性的定义进行证明即可．【解答】解：（Ⅰ）因为()2x f x a b =⋅+的图象过原点，且f （1）1=， 所以021a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩．（Ⅰ）因为1a =，1b =-，所以()21x f x =-是单调递增函数，对x R ∀∈，()1f x >-，所以1m -，故m 的最大值为1-．（Ⅰ）由（Ⅰ）知，()21x f x =-， 所以11()21xy f x ==-， 所以1()y f x =在区间(0,)+∞上是单调递减函数，证明如下： 令1()21x g x =-，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <， 则21211212121211(21)(21)22()()2121(21)(21)(21)(21)x x x x x x x x x x g x g x -----=-==------， 因为1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，所以121222,21,21x x x x <>>，所以2112220(21)(21)x x x x ->--，即12()()g x g x >， 所以1()21x g x =-在区间(0,)+∞上是单调递减函数， 即1()y f x =在区间(0,)+∞上是单调递减函数． 【点评】本题考查了函数单调性的性质与判断，涉及了指数函数单调性的应用、不等式恒成立的求解，证明函数单调性的关键是掌握函数单调性的定义以及证明的一般步骤．9．【分析】（1）可看出()f x 的定义域为R ，即()f x 在原点有定义，并且()f x 是奇函数，从而得出1(0)02af -==，从而得出1a =；（2）由()0.5f x <即可得出23x <，从而求出x 的范围； （3）分离常数得出2()121x f x =-+，根据20x>即可求出2121x -+的范围，即得出()f x 的值域． 【解答】解：（1）()f x 的定义域为R ； ()f x ∴在原点有定义，且()f x 是奇函数； ∴1(0)02af -==； 1a ∴=；∴21()21x x f x -=+；（2）由211212x x -<+得：23x <；2log 3x ∴<；（3）212()12121x x xf x -==-++； 20x >；211x ∴+>，10121x <<+； ∴211121x -<-<+； ()f x ∴的值域为(1,1)-．【点评】考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，指数函数的单调性，指数与对数的互化，指数函数的值域，分离常数法的运用． 10．【分析】（Ⅰ）利用函数奇偶性的定义即可求解；（Ⅰ）由对数函数的性质即可求解值域；（Ⅰ）对a 分类讨论，由对数函数的性质即可求解a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数1()log (0||2a f x a x =>+且1)a ≠的定义域为R ， 且11()log log ()||2||2aa f x f x x x -===-++，所以()f x 为偶函数． （Ⅰ）当2a =时，21()log ||2f x x =+， 因为110||22x <+，所以2211log log 1||22x =-+， 所以函数()f x 的值域为(-∞，1]-．（Ⅰ）若对任意x R ∈，()1f x 恒成立，即1log log ||2a a a x +恒成立，当1a >时，则有1||2a x +恒成立，因为110||22x <+，所以0a <，不符合题意； 当01a <<时，则有1||2a x +恒成立，因为110||22x <+，所以112a <， 综上，实数a 的取值范围是1[2，1)．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，函数值域的求法，对数函数的性质，以及不等式恒成立问题，属于中档题．11．【分析】（Ⅰ）联立方程组，解出即可；（Ⅰ）根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可； （Ⅰ）根据函数的单调性的定义证明即可．【解答】（Ⅰ）解：令()y f x =，则由题意得：432y x xy x⎧=++⎪⎨⎪=⎩， 解得：12x y =-⎧⎨=-⎩或48x y =⎧⎨=⎩，故函数()f x 的图象与直线2y x =交点的坐标是(1,2)--，(4,8)；（Ⅰ）解：44()32337f x x x x x =++⋅+==，当且仅当4x x=即2x =时“=”成立， 故()f x 在(0,)+∞上的最小值是7； （Ⅰ）证明：不妨设212x x >>，则1212212121212112124()444()()33()()x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x ---=++---=-+=-⋅， 212x x >>，210x x ∴->，121240x x x x ->， 故21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >， 故函数()f x 在(2,)+∞上单调递增．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查根据定义证明函数的单调性问题，考查图象交点问题，是基础题．12．【分析】（Ⅰ）将x a =代入解析式，解指数方程即可求出a 得值；（Ⅰ）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算()f x 、()f x -得数量关系，结合定义可得结论；（Ⅰ）先求出()f x 在[1，)+∞上得最大值，再根据要使()f x m 对于[1x ∈，)+∞恒成立，即()max m f x ，求出m 得最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f （a ）2=，所以21221a a +=-，所以21222a a +=⋅-且21a ≠，所以23a =，所以2log 3a =； （Ⅰ）()f x 为奇函数，证明如下：因为210x -≠，所以定义域为{|0}x x ≠关于原点对称，又因为211221()()211221x x x x x x f x f x --+++-===-=----，所以()f x 为奇函数；（Ⅰ）因为212122()1212121x x x x x f x +-+===+---， 又因为21x y =-在[1，)+∞上单调递增，所以221x y =-在[1，)+∞上单调递减，所以()max f x f =（1）3=，又因为()f x m 对于[1x ∈，)+∞恒成立， 所以()3max m f x =，即3m ． 所以m 得最小值为3．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算的能力，属于中档题．13．【分析】（1）①由幂函数的奇偶性及奇偶性的性质可直接判断；②利用增函数的定义即可证明； （2）代入计算即可得结论；（3）由（2）归纳出等式2()5()()0(0)f x f x g x x -=≠，代入即可证明．【解答】解：（1）①函数()f x 为奇函数． ②()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，(0,)+∞， 证明：任取1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，则1111113333112233121211331211()()()(1)555x x x x f x f x x x x x -----=-=-+ 因为1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <， 所以113312x x <，所以1133120x x -<，所以12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，由奇函数的性质可得()f x 在(,0)-∞上单调递增， 故()x 的单调递增区间为(,0)-∞，(0,)+∞．（2）经过代入计算可得111()5()()0422f fg -=，f （4）5f -（2）g （2）0=，f （9）5f -（3）g （3）0=．（3）由（2）中的各式概括出()f x 和()g x 对所有不等于0的实数x 都成立的一个等式为2()5()()0(0)f x f x g x x -=≠，证明：221111222233333333332()5()()05055555x x x x x x x x x x f x f x g x -------+---==-⋅⋅=-=．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，属于中档题．14．【分析】()I 由奇函数的性质可得(0)0f =，即可求得a 值，并验证其成立即可； （Ⅰ）由复合函数的单调即可判断；（Ⅰ）由函数的奇偶性与单调性将不等式转化为2x x x m ->+恒成立，由△0<即可求得m 的取值范围． 【解答】解：()I 因为()f x 为奇函数，定义域为R ， 所以(0)0f =，即102a -=，解得12a =． 则1121()2212(21)x x x f x -=-=++，验证1112()()2212(21)xxx f x f x ---=-==-++，满足题意． （Ⅰ）11()221xf x =-+为增函数． （Ⅰ）由奇函数()f x 在定义域R 上单调递增，不等式2()()0f x x f x m -++<恒成立， 得2()()f x x f x m ->+恒成立， 即2x x x m ->+恒成立．由220x x m -->恒成立，有△440m =+<，得1m <-． 所以，m 的取值范围是(,1)-∞-．【点评】本题主要考查函数单调性与奇偶性的综合，考查不等式恒成立问题，属于中档题．15．【分析】()I 要判断函数()2x f x x =-是否为(0,)+∞上的“1距增函数”，只要任意(0,)x ∈+∞，检验(1)()f x f x +>是否成立即可判断；（Ⅰ）结合已知函数及()()f x a f x +>，即可求解；（Ⅰ）由已知结合函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对x 进行分类讨论及绝对值不等式性质进行转化可求． 【解答】解：（Ⅰ）函数()2x f x x =-是(0,)+∞上的“1距增函数”， 任意(0,)x ∈+∞，有1(0,)x +∈+∞，且21x >， 所以1(1)()2(1)(2)210x x x f x f x x x ++-=-+--=->， 因此()2x f x x =-是(0,)+∞上的“1距增函数”． （Ⅰ）10a =（答案不唯一，不小于4即可） （Ⅰ）||,0()0,0||,0x a a x f x x x a a x -->⎧⎪==⎨⎪-++⎩因为()f x 为R 上的“2021距增函数”，()i 当0x >时，由定义|2021|||x a a x a a +-->--恒成立即|2021|||x a x a +->-恒成立，由绝对值几何意义可得20210a a +-<，20212a < ()ii 当0x <时，分两种情况：当2021x <-时，由定义|2021|||x a a x a a -+++>-++恒成立即|2021|||x a x a ++<+恒成立，由绝对值几何意义可得20210a a --->，20212a <- 当20210x -<时，由定义|||2021|x a a x a a -++<+--恒成立 即|2021||||20212|2x a x a a a +-++->恒成立当0a 时，显然成立当0a >时，可得202104a <<综上，a 的取值范围为2021(,)4-∞． 【点评】本题以新定义为载体，综合考查函数性质的综合应用，属于中档试题． 16．【分析】（Ⅰ）直接根据题中给出的信息判断即可；（Ⅰ）()i 根据题意，()h x x =在[0，)+∞有两个不相等的实数根m ，(0)n m (0)t t ，转化为20t t a --=在[0，)+∞有两个不相等的实数根， 方法1：利用二次方程根的分布列出不等关系，求解即可； 方法2：利用换元法，转化为求解函数的值域问题，求解即可． ()ii 利用n m -的表达式结合a 的范围，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）函数()cos f x x =在区间[1-，1]上不具有性质P ，3()g x x =在区间[1-，1]上具有性质P ．（Ⅰ）()i 方法1：因为函数()h x a =在区间[m ，]n 上具有性质P ， 则()h x x =在[0，)+∞有两个不相等的实数根m ，(0)n m ，a x =在[0，)+∞有两个不相等的实数根．(0)t t ，即20t t a --=在[0，)+∞有两个不相等的实数根． 所以00a >⎧⎨-⎩，即1400a a +>⎧⎨-⎩．解得104a -<所以，实数a 的取值范围1(,0]4-．方法2：因为函数()h x a =在[0，)+∞单调递增，函数()h x a =在区间[m ，]n 上具有性质P ，则()h x x =在[0，)+∞有两个不相等的实数根m ，(0)n m ，a x =在[0，)+∞有两个不相等的实数根．(0)t t ，即2a t t =-在[0，)+∞有两个不相等的实数根． 所以，实数a 的取值范围1(,0]4-．()ii 因为n m -= 又104a -<，所以当0a =时，n m -取最大值1．【点评】本题考查了函数性质的综合应用问题，涉及了函数单调性的性质与判断、方程根的分布问题，对学生知识的综合应用能力有较高的要求．17．【分析】（Ⅰ）由函数()x ϕ的图象关于点(,)m n 对称”的充要条件，计算可得所求和；（Ⅰ）（Ⅰ）计算()(2)g x g x +-，由函数()x ϕ的图象关于点(,)m n 对称”的充要条件即可得证；（Ⅰ）求得()g x 的值域，记函数()y f x =，[0x ∈，2]的值域为A ．再由二次函数的最值求法和恒成立思想，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由函数()f x 的图象关于点(1,2)对称，可得()(2)4f x f x +-=， 则(0)f f +（2）4=； （Ⅰ）（Ⅰ）证明：4()2xg x x=-，(x ∈-∞，2)(2⋃，)+∞， 4(4)164(4)2(4)2x xg x x x --∴-==---， 4164816()(4)8222x x x g x g x x x x--∴+-=+==----． 即对任意的(x ∈-∞，2)(2⋃，)+∞，都有()(4)8g x g x +-=-成立． ∴函数()g x 的图象关于点(2,4)-对称．（Ⅰ）48()422x g x x x ==----， 易知()g x 在2(3-，1)上单调递增，()g x ∴在2[3x ∈-，1]时的值域为[1-，4]．记函数()y f x =，[0x ∈，2]的值域为A ．若对任意的1[0x ∈，2]，总存在22[3x ∈-，1]，使得12()()f x g x =成立，则[1A ⊆-，4]．[0x ∈，1]时，2()1f x x ax a =-++，f ∴（1）2=，即函数()f x 的图象过对称中心(1,2)．（1）当02a，即0a 时，函数()f x 在(0,1)上单调递增．由对称性知，()f x 在(1,2)上单调递增． ∴函数()f x 在(0,2)上单调递增．易知(0)1f a =+．又(0)f f +（2）4=，f ∴（2）3a =-，则[1A a =+，3]a -． 由[1A ⊆-，4]，得11340a a a +-⎧⎪-⎨⎪⎩，解得10a -．（2）当012a <<，即02a <<时，函数()f x 在(0,)2a 上单调递减，在(2a，1)上单调递增．由对称性，知()f x 在(1,2)2a -上单调递增，在(22a-，2)上单调递减．∴函数()f x 在(0,)2a 上单调递减，在(2a ，2)2a -上单调递增，在(22a-，2)上单调递减．∴结合对称性，知[A f =（2），(0)]f 或[()2a A f =，(2)]2af -．02a <<，(0)1(1f a ∴=+∈，3)．又(0)f f +（2）4=，f ∴（2）3(1,3)a =-∈．易知2()1(1,2)24a a f a =-++∈．又()(2)422a af f +-=，(2)(22af ∴-∈，3)．∴当02a <<时，[1A ⊆-，4]成立．（3）当12a，即2a 时，函数()f x 在(0,1)上单调递减． 由对称性，知()f x 在(1,2)上单调递减． ∴函数()f x 在(0,2)上单调递减．易知(0)1f a =+．又(0)f f +（2）4=， f ∴（2）3a =-，则[3A a =-，1]a +． 由[1A ⊆-，4]，得31142a a a --⎧⎪+⎨⎪⎩．解得23a ．综上可知，实数a 的取值范围为[1-，3]．【点评】本题考查函数的对称性的运用，考查分类讨论思想和转化思想，考查运算能力、推理能力，属于难题．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。